Bài giảng trọng tâm Toán 11: Giới hạn

D¹ng to¸n 3: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn mét kho¶ng Phương pháp áp dụng Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng I, chúng ta thực hiện [r]

chương − giới hạn A KiÕn thøc cÇn nhí I D·y sè cã giíi h¹n định nghĩa dãy số có giới hạn §Þnh nghÜa: Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n lµ (hay cã giíi h¹n 0) nÕu mäi sè h¹ng dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở Khi đó, ta viết: lim (u n ) = 0, viÕt t¾t lµ lim(un) = hoÆc limun = hoÆc un → n → +∞ NhËn xÐt: D·y sè (un) cã giíi h¹n vµ chØ d·y sè (un) cã giíi h¹n Dãy số không đổi (un) với un = có giới hạn số dãy số có giới hạn thường gặp Từ định nghĩa, ta có các kết quả: a lim = n b lim n = c lim n = §Þnh lÝ 1: Cho hai d·y sè (un) vµ (vn) NÕu un ≤ víi mäi n vµ limvn = th× limun = §Þnh lÝ 2: NÕu q < th× limqn = II D·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n định nghĩa dãy số có giới hạn §Þnh nghÜa: Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n lµ sè thùc L nÕu lim (u n − L ) = n → +∞ Khi đó, ta viết: lim (u n ) = L, viÕt t¾t lµ lim(un) = L hoÆc limun = L hoÆc un → L n → +∞ số định lí Định lí 1: Giả sử limun = L Khi đó: a limun = L vµ lim u n = L b NÕu un ≥ víi mäi n th× L ≥ vµ lim un = L 183 Định lí 2: Giả sử limun = L, limvn = M và c là số Khi đó: a C¸c d·y sè (un + vn), (un − vn), (un.vn) vµ (cun) cã giíi h¹n vµ:  lim(un + vn) = L + M  lim(un − vn) = L − M  lim(un.vn) = LM  lim(cun) = cL u b NÕu M ≠ th× d·y sè  n   u L  cã giíi h¹n vµ lim n = M  tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n Víi cÊp sè nh©n (un) cã c«ng béi q tho¶ m·n q < th×: u S = u + u2 + … = 1− q III D·y sè cã giíi h¹n v« cùc d·y sè cíi giíi h¹n +∞ Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ số hạng dãy số lớn số dương lớn tuỳ ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở Khi đó, ta viết: lim (u n ) = +∞, viÕt t¾t lµ lim(un) = +∞ hoÆc limun = +∞ hoÆc un → +∞ n → +∞ Từ định nghĩa, ta có các kết quả: a lim n = +∞ b lim n = +∞ c lim n = +∞ d·y sè cã giíi h¹n −∞ Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −∞ số hạng dãy số nhỏ số âm tuỳ ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở Khi đó, ta viết: lim (u n ) = −∞, viÕt t¾t lµ lim(un) = −∞ hoÆc limun = −∞ hoÆc un → −∞ n → +∞ NhËn xÐt: NÕu limun = −∞ th× lim(−un) = +∞  Chó ý: C¸c d·y sè cã giíi h¹n +∞ vµ −∞ ®­îc gäi chung lµ c¸c d·y sè cã giíi h¹n v« cùc hay dần đến vô cực D·y sè cã giíi h¹n lµ sè thùc L ®­îc gäi lµ d·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n 184 mét vµi quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc Quy t¾c 1: NÕu limun = ±∞ vµ limvn = ±∞ th× lim(un.vn) ®­îc cho b¶ng sau: limun +∞ +∞ −∞ −∞ limvn +∞ −∞ +∞ −∞ lim(un.vn) +∞ −∞ −∞ +∞ Quy t¾c 2: NÕu limun = ±∞ vµ limvn = L ≠ th× lim(un.vn) ®­îc cho b¶ng sau: limun +∞ +∞ −∞ −∞ DÊu cña L + − + − lim(un.vn) +∞ −∞ −∞ +∞ Quy t¾c 3: NÕu limun = L ≠ 0, limvn = vµ ≠ víi mäi n th× lim un ®­îc cho b¶ng sau: DÊu cña L DÊu cña + + − − + − + − un +∞ −∞ −∞ +∞ lim Mét sè kÕt qu¶ qn n a lim = +∞ vµ lim n = 0, víi q > n q Më réng: Ta cã lim qn nk = +∞ vµ lim , víi q > vµ k lµ mét sè nguyªn nk qn dương b Cho hai d·y sè (un) vµ (vn)  NÕu un ≤ víi mäi n vµ lim un = +∞ th× lim = +∞ u  NÕu lim un = L ∈ R vµ limvn = +∞ th× lim n =  NÕu lim un = +∞ (hoÆc −∞) vµ lim = L ∈ R th× lim (un + vn) = +∞ (hoÆc −∞) 185 IV Định nghĩa và số định lí giới hạn hàm số giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm §Þnh nghÜa (Giíi h¹n h÷u h¹n): Gi¶ sö (a; b) lµ mét kho¶ng chøa ®iÓm x0 vµ y = f(x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x0 Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L x dần đến x0 (hoÆc t¹i ®iÓm x0) nÕu víi mäi sè d·y sè (xn) tËp hîp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta có lim f(xn) = L Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoÆc f(x) → L x → x0 x→x Từ định nghĩa, ta có các kết quả: lim c = c, víi c lµ h»ng sè x→x Nếu hàm số f(x) xác định điểm x0 thì lim f (x) = f(x0) x→ x §Þnh nghÜa (Giíi h¹n v« cùc): Gi¶ sö (a; b) lµ mét kho¶ng chøa ®iÓm x0 vµ y = f(x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x0 Ta nói hàm số f(x) có giới hạn vô cực x dần đến x0 (hoÆc t¹i ®iÓm x0) nÕu víi mäi sè d·y sè (xn) tËp hîp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta có limf(xn) = ±∞ Khi đó, ta viết: lim f(x) = ±∞ hoÆc f(x) → ±∞ x → x0 x→x giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc Định nghĩa 3: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L x dần đến +∞ với số dãy số (xn) khoảng (a; +∞) mà lim xn = +∞ ta có lim f(xn) = L Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoÆc f(x) → L x → x0 x → +∞  Chó ý: Các giới hạn lim f(x) = L, lim f(x) = ±∞, lim f(x) = ±∞ định x → −∞ x → +∞ x → −∞ nghĩa tương tự Ta có, các kết sau với số nguyên dương k bất kì cho trước: lim x k = +∞ = lim xk = lim x → −∞ x k x → +∞ x → +∞ 186 + ∞ nÕu k ch½ n lim x k =  x → −∞ − ∞ nÕu k lÎ số định lí giới hạn hữu hạn Định lí 1: Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M (L, M ∈ R) Khi đó: x→x x→x a b lim [f(x) ± g(x)] = L ± M; x→x lim [f(x).g(x)] = L.M; x→x §Æc biÖt, nÕu c lµ h»ng sè th× lim [c.f(x)] = cL; x→x c NÕu M ≠ th× lim x→x L f (x) = M g(x) Định lí 2: Giả sử lim f(x) = L ∈ R Khi đó: x→x a b lim f(x) = L; x→x lim x→x f (x) = L; c NÕu f(x) ≥ víi th× L ≥ vµ lim x→x f (x) = L Định lí 3: Giả sử f(x), g(x) và h(x) là ba hàm số xác định trên khoảng (a; b) chøa ®iÓm x0, cã thÓ trõ ë mét ®iÓm x0 NÕu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) víi mäi x ∈ (a; b)\{x0} vµ lim f(x) = lim h(x) = L th× lim g(x) = L x→x x→x x→x  Chú ý: Các định lí 1, định lí 2, định lí đúng thay x → x bëi x → ±∞ V Giíi h¹n mét bªn Định nghĩa (Giới hạn phải): Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (x0; b) (x0 ∈ R) Ta nãi hµm sè f(x) cã giíi h¹n ph¶i lµ sè thùc L x dÇn đến x0 (hoặc điểm x0) với số dãy số (xn) khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta có lim f(xn) = L Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoÆc f(x) → L x → x +0 x→x+ Định nghĩa (Giới hạn trái): Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; x0) (x0 ∈ R) Ta nãi hµm sè f(x) cã giíi h¹n tr¸i lµ sè thùc L x dÇn đến x0 (hoặc điểm x0) với số dãy số (xn) khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta có lim f(xn) = L Khi đó, ta viết: lim f(x) = L hoÆc f(x) → L x → x −0 x→x− 187 Định lí: Điều kiện cần và đủ để lim f (x) = L là lim f (x) = lim f (x) = L x→x x→x− x→x+ 0  Chó ý: Các giới hạn lim f(x) = ±∞, lim f(x) = ±∞ định nghĩa tương tự x→x− x→x+ Định lí đúng với giới hạn vô cực VI Mét vµi quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc Quy t¾c 1: NÕu lim f (x) = ±∞ vµ lim g(x) = L ≠ th× lim [f(x).g(x)] ®­îc cho x→x0 x→x0 x→x0 b¶ng sau: lim f (x) lim [f(x).g(x)] DÊu cña L x→x0 x→x0 + +∞ +∞ − + −∞ −∞ − Quy t¾c 2: NÕu lim f(x) = L ≠ 0, lim g(x) = vµ x→x0 lim x→x0 x→x0 +∞ −∞ −∞ +∞ g(x) ≠ víi mäi x ≠ x0 th× f (x) ®­îc cho b¶ng sau: g( x ) DÊu cña L DÊu cña g(x) + + − − + − + − lim x→x0 f (x) g( x ) +∞ −∞ −∞ +∞  Chó ý: NÕu lim f(x) = vµ f(x) ≠ víi x ≠ x0 th× lim x→x0 x→x0 NÕu lim f(x) = +∞ th× lim x→x0 x→x0 VII Các dạng vô định = +∞ | f (x) | = | f (x) | Khi tìm giới hạn hàm số, chúng ta có thể gặp các trường hợp sau: u( x ) lim víi u(x) → vµ v(x) → v( x ) u( x ) víi u(x) → ∞ vµ v(x) → ∞ lim v( x ) lim[u(x) − v(x)] víi u(x) → ∞ vµ v(x) → ∞ 188 lim[u(x).v(x)] víi u(x) → vµ v(x) → ∞ ∞ Ta gọi là các dạng vô định dạng , , ∞ − ∞, 0.∞, … ∞ VIII Hµm sè liªn tôc Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) Hàm số ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈ (a, b) nÕu : lim f (x) = f(x0) y = f(x) x→ x NÕu t¹i ®iÓm x0 hµm sè y = f(x) kh«ng liªn tôc, th× ®­îc gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i x0 vµ ®iÓm x0 ®­îc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n cña hµm sè y = f(x) Chó ý 1: Hµm sè y = f(x) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 nÕu ba ®iÒu kiÖn sau đồng thời thoả mãn : (i) f(x) xác định x0 (ii) lim f (x) tån t¹i x→ x (iii) lim f (x) = f(x0) x→ x Hµm sè y = f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x0 nÕu mét ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng ®­îc tho¶ m·n  Chó ý 2: NÕu sö dông giíi h¹n mét phÝa th× : NÕu lim f (x) tån t¹i vµ x → x −0 lim f (x) = f(x0) th× hµm sè y = f(x) ®­îc x → x −0 gäi lµ liªn tôc tr¸i t¹i ®iÓm x0 NÕu lim f (x) tån t¹i vµ lim f (x) = f(x0) th× hµm sè y = f(x) ®­îc x → x +0 x → x +0 gäi lµ liªn tôc ph¶i t¹i ®iÓm x0 Hµm sè y = f(x) liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f(x0) x → x +0 x → x −0 §Æc tr­ng kh¸c cña tÝnh liªn tôc t¹i mét ®iÓm Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b) Giả sử xO và x(x ≠ xO) là hai phần tử cña (a ; b)  Hiệu x − xO, kí hiệu là ∆x (đọc là đen - ta x), gọi là số gia đối số ®iÓm xO Ta cã : ∆x = x − xO ⇔ x = xO + ∆x  Hiệu y − yO = f(x) − f(xO), kí hiệu là ∆y, gọi là số gia tương ứng hµm sè t¹i ®iÓm xO Ta cã : ∆y = y − yO = f(x) − f(xO) = f(xO + ∆x) − f(xO) 189 Đặc trưng : Dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trưng tính liên tục hàm số y = f(x) ®iÓm xO nh­ sau: Định lí Một hàm số y = f(x), xác định trên (a; b), là liên tục xO ∈ (a; b) và chØ nÕu lim ∆y = ∆x → Chøng minh ThËt vËy, ta cã : lim f (x) = f(xO) ⇔ lim (f(x) − f(xO)) = ⇔ lim ∆y = x→ x x →x ∆x → Hµm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng §Þnh nghÜa 2: Ta cã : Hµm sè y = f(x) ®­îc gäi lµ liªn tôc kho¶ng (a; b) nÕu nã liªn tôc t¹i điểm khoảng đó Hµm sè y = f(x) ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] nÕu nã  Liªn tôc kho¶ng (a; b),  lim f (x) = f(a) (liªn tôc bªn ph¶i t¹i ®iÓm a), x →a +  lim f (x) = f(b) (liªn tôc bªn tr¸i t¹i ®iÓm b) x →b −  Chó ý: §å thÞ cña mét hµm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng lµ mét "®­êng liÒn" trªn khoảng đó Khi ta nãi hµm sè y = f(x) liªn tôc mµ kh«ng chØ trªn kho¶ng nµo th× cã nghĩa là hàm số liên tục trên tập xác định nó Các định lí hàm số liên tục Định lí Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) các hàm số liên tục điểm là hàm số liên tục điểm đó Định lí Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định chúng B Phương pháp giải các dạng toán liên quan §1 giíi h¹n D·y sè D¹ng to¸n 1: D·y sè cã giíi h¹n ThÝ dô Chøng minh r»ng c¸c d·y sè (uu) sau ®©y cã giíi h¹n 0: sin n a un = b un = n +1 n+4 190  Gi¶i a Ta cã: 1 < vµ lim = 0, n n n +1 từ đó, suy điều cần chứng minh b Ta cã: 1 sin n < < vµ lim = 0, n+4 n n n+4 từ đó, suy điều cần chứng minh  NhËn xÐt: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn chúng ta đã sử 1 dụng phép đánh giá để khẳng định un < và kết lim = n n ThÝ dô Chøng minh r»ng d·y sè (uu) víi sè h¹ng tæng qu¸t un = cã giíi h¹n ( n +1 − n )  Gi¶i Ta cã: n +1 − n = n +1− n n +1 + n = n +1 + n < n < n = 0, n từ đó, suy điều cần chứng minh vµ lim  NhËn xÐt: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn chúng ta đã sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < n vµ lim ThÝ dô Chøng minh r»ng d·y sè (uu) víi sè h¹ng tæng qu¸t un =  Gi¶i n cos( nπ) 4n = cã giíi h¹n Ta cã: n n 1 1  < n =   vµ lim   = 0,  n 4 4 4 từ đó, suy điều cần chứng minh cos( nπ)  NhËn xÐt: Như vậy, để chứng minh các dẫy số trên có giới hạn chúng ta đã sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < qn và limqn = với q < 191 Dạng toán 2: Sử dụng định nghĩa chứng minh lim un = L Phương pháp áp dụng Ta ®i chøng minh lim(un − L) = ThÝ dô Chøng minh r»ng: a lim  Gi¶i 3n − = 2n + b lim n2 + n = n2 + 3n − , ta cã nhËn xÐt: 2n + 3n − −5 − ) = lim = 0, lim (un − ) = lim( 2 2n + 2n + từ đó suy limun = n2 + n b §Æt un = , ta cã nhËn xÐt: n +1 n −1 n2 + n lim ( − 1) = lim = 0, n +1 n +1 từ đó suy limun = a §Æt un = ThÝ dô Chøng minh r»ng:  (−1) n  lim  +  =   n  Gi¶i §Æt un = (−1) n n + , ta cã nhËn xÐt: lim (un − 2) = lim (−1) n n = 0, từ đó suy limun = Dạng toán 3: Tính giới hạn dãy số các định lí giới hạn Phương pháp áp dụng Đưa dãy số cần tìm giới hạn dạng tổng hiệu, tích, thương dãy số mà ta đã biết giới hạn Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: limc = c, víi c lµ h»ng sè Kết định lí Kết định lí 192 ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim  Gi¶i n +1 3n − b lim n −1 n2 − a Ta cã: 1 lim1 + lim 1+ n +1 n = n = = lim lim 3n − lim3 − lim 3− n n b Ta cã: 1 1 lim − lim − n −1 n n = = = lim n n = lim 2 n −2 lim1 − lim 1− n n  NhËn xÐt: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực phép chia tö vµ mÉu cho bËc cao nhÊt cña n vµ sö dông kÕt qu¶ lim víi k > a =0 nk ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim n2 + n +1 b lim n + n n3 + n n2 + +  Gi¶i a Chia c¶ tö vµ mÉu cho n, ta ®­îc: 1+ n2 + n = = lim lim n +1 1+ n b Chia c¶ tö vµ mÉu cho n , ta ®­îc: n = = lim lim 1 n n2 + + 1+ + n n n + n n3 + 1+ 1+ ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim n + sin( nπ) n b lim 8n + cos( nπ) n 193  Gi¶i a Ta cã: n + sin( nπ) sin( nπ) = lim + = n n lim = 2, v× lim sin( nπ) = n = 2, v× lim cos( nπ) = n b Ta cã: lim  cos( nπ) 8n + cos( nπ) = lim + = n n Nhận xét: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực phép tách thµnh c¸c giíi h¹n nhá ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: n − n +1 n → ∞ 3n + + n − 4n n →∞ + n a lim b lim  Gi¶i a Ta biến đổi: n − 4n n →∞ + n lim 1 lim   − −1 n n →∞  = lim = = − n n →∞ 1   +1 lim   + 4n n →∞  b Ta biến đổi: 3n n 3   −4 4 −4 n 3 lim   − n →∞  n n − n +1 = lim n = lim = = − + n n n n n →∞ n →∞ n →∞ +4 3     n + 3  + lim 3.  + n →∞   4 lim  NhËn xÐt: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực phép chia tö vµ mÉu cho c¬ sè cao nhÊt vµ sö dông kÕt qu¶ limqn = víi q< ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim( n + − n ) c lim 3n + − n + b lim( n + n − n) d lim n2 + − n + 3n +  Gi¶i a Ta thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp: n +1− n = lim = lim( n + − n ) = lim n +1 + n n +1 + n 194 b Ta thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp: 1 n2 + n − n2 n = lim = lim = lim( n + n − n) = lim 2 n +n +n n +n +n 1+ +1 n c Ta thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp: lim 3n + − n + = lim 3n + + n + = lim n +1 + + n n2 1+ n + n n2 = d Ta thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp: lim n2 − n n2 + − n + = lim 3n + (3n + 2)( n + + n + ) 1− = lim  NhËn xÐt: n  (3 + ) + +  n  n 1  + n n  = Như vậy, để tính các giới hạn trên trước tiên chúng ta cần sử dụng phép nhân liên hợp để khử dạng ∞ − ∞ và ThÝ dô TÝnh giíi h¹n lim n + − n3 n →∞ n2 + − n k ∞−∞  Gi¶i Ta thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp: lim n →∞ n + − n3 ( n + − n )( n + + n ) n →∞ ( n + − n ) n − n − n + (1 − n )2    = lim n2 + − n = lim n +1 + n n →∞ n − n − n + (1 − n )2 = lim n →∞ 1 + + n n n   − 3 − +  − 1 n n  = ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: + a + a + + a n , víi a, b < n → ∞ + b + b + + b n L = lim 195  Gi¶i Ta biến đổi: (1 − a n +1 ) (1 − b ) (1 + a + a + + a n )(1 − a )(1 − b ) = lim n →∞ − b n +1 − a n → ∞ (1 + b + b + + b n )(1 − b )(1 − a ) ( )( ) L = lim a n +1 − b − nlim 1− b →∞ = = − a − lim b n +1 1− a n →∞  NhËn xÐt: Như vậy, để tính giới hạn trên chúng ta cần sử dụng kiến thức khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n D¹ng to¸n 4: TÝnh tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n Phương pháp áp dụng Sö dông c«ng thøc: S = u + u2 + … = u1 , víi q < 1− q ThÝ dô TÝnh tæng c¸c tæng sau: a S = + 1 + +… b S = −1 +  Gi¶i a XÐt cÊp sè nh©n (un) cã u1 = vµ c«ng béi q = (−1) n 1 − + + n −1 + 10 10 10 < 1, ta ®­îc: u1 = = 1− q 1− (−1) n 1 , , n −1 lµ mét cÊp sè nh©n cã u1 = −1 vµ c«ng béi q = − b D·y sè −1, 10 10 10 Từ đó, suy ra: 10 u −1 =− limS = = 11 1− q 1+ 10 S= Thí dụ Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số: a 0,444 b 0,2121 c 0,32111  Gi¶i a NhËn xÐt r»ng: 0,444 = 0,4 + 0,04 + 0,004 = 196 4 + + + 10 100 1000 đó, các số 4 4 , , lµ mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n cã u1 = vµ c«ng 10 100 1000 10 10 Từ đó, suy ra: béi q = u 0,444 = = 1− q 10 = 1− 10 b NhËn xÐt r»ng: 0,2121 = 0,21 + 0,0021 + = đó, các số 21 21 + + 100 10000 21 21 21 , , lµ mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n cã u1 = vµ c«ng 100 10000 100 100 Từ đó, suy ra: béi q = u 0,2121 = = 1− q 21 100 = 21 99 1− 100 c NhËn xÐt r»ng: 1 + + 1000 10000 1 1 , , lµ mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n cã u1 = vµ q = đó, các số 1000 10000 1000 10 Từ đó, suy ra: 32 289 u 0,32111 = 0,32 + = + 1000 = 100 900 1− q 1− 10 0,32111 = 0,32 + 0,001 + 0,0001 = 0,32 + D¹ng to¸n 5: D·y sè cã giíi h¹n v« cùc ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim(n2 − n + 1) b lim(−n2 + n + 1)  Gi¶i a Ta cã: lim(n2 − n + 1) = lim[n2(1 − 1 + ) = +∞ n n 197 b Ta cã: 1 − ) = −∞ n n lim(−n2 + n + 1) = lim[−n2(1 − ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim n − 3n − b lim + n − n  Gi¶i a Ta cã: lim n − 3n − = lim n (2 − − ) = +∞ n n b Ta cã: lim + n − n = lim n ( n + n2 − 1) = −∞ ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: b lim ( n + n + − n + ) a lim( 2n + − n ) c lim n + − n +1  Gi¶i a Ta thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp: 1+ 2n + − n n +1 n = lim = lim lim( 2n + − n ) = lim 2n + + n 2n + + n 1 + + n n n = ∞ b Ta cã: n2 + lim ( n + n + − n + ) = lim n2 + n + + n + 1 1+ n = +∞ = lim 1 1 + + + + n3 n n2 n3 n c Ta cã: = lim ( n + + n + ) = +∞ lim n + − n +1 ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim(2n + cosn) 198 b lim( n2 − 3sin2n + 5)  Gi¶i a Ta cã: 2n + cosn ≥ 2n − vµ lim(2n − 1) = +∞ từ đó, suy ra: lim(2n + cosn) = +∞ b Ta cã: 1 n − 3sin2n + ≥ n2 + vµ lim( n2 + 2) = +∞ 2 từ đó, suy ra: lim( n2 − 3sin2n + 5) = +∞ ThÝ dô Chøng minh r»ng nÕu q > th× limqn = +∞ ¸p dông t×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè (un) víi: a un =  Gi¶i 3n + n −1 b un = 2n − 3n Ta cã: limqn = lim (1/ q ) n = = +∞ a Ta cã: limun = lim 3n + n −1 1+ = lim n 3n 2   − n 3 = +∞ b Ta cã:   n  limun = lim(2n − 3n) = lim 3n   − 1 = −∞    π ThÝ dô Cho hai d·y sè (un) , (vn) víi un = vµ = n n +1 n +1 n  Gi¶i a Ta cã: n cos a TÝnh limun b Chøng minh r»ng limvn = limun = lim n n +1 =0 199 b Ta cã: π n ≤ n vµ lim n = 0, n2 + n2 + n +1 n cos từ đó, suy điều cần chứng minh §2 giíi h¹n hµm sè Dạng toán 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số tìm giới hạn Phương pháp áp dụng Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa Thí dụ Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: a lim x → +∞  Gi¶i a §Æt f(x) = x −1 b lim x → +∞ 3x + x −1 Víi mäi d·y sè (xn) mµ xn ≠ víi mäi n vµ lim xn = +∞, ta cã f(xn) = xn −1 Do đó: lim x → +∞ 2 = lim = = x −1 xn −1 lim x n − b §Æt f(x) = 3x + Víi mäi d·y sè (xn) mµ xn ≠ − víi mäi n vµ lim xn = +∞, ta cã f(xn) = 3x n + Do đó: lim x → +∞ 2 = lim = = 3x + 3x n + lim x n + Thí dụ Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: a lim x →1 200 x − 3x + x −1 b lim x → −1 2x + x + 3x + 3x +  Gi¶i x − 3x + x −1 Víi mäi d·y sè (xn) mµ xn ≠ víi mäi n vµ lim xn = 1, ta cã: x 2n − 3x n + = 2xn − f(xn) = xn −1 a §Æt f(x) = Do đó: x − 3x + = lim(2xn − 1) = 2lim xn − = − = x →1 x −1 2x + b §Æt f(x) = x + 3x + 3x + Víi mäi d·y sè (xn) mµ xn ≠ −1 víi mäi n vµ lim xn = −1, ta cã: 2x n + 2 = f(xn) = (x n + 1) x n + 3x n + 3x n + lim Do đó: lim x → −1 2x + 2 = lim = = +∞ 2 x + 3x + 3x + (x n + 1) (lim x n + 1) Thí dụ Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: a lim 3x + x −1 x →2 1  b lim  x sin  x→0 x   Gi¶i a §Æt f(x) = 3x + x −1 Víi mäi d·y sè (xn) mµ xn ≠ víi mäi n vµ lim xn = 2, ta cã f(xn) = Do đó: lim x →2 3x + x −1 b §Æt f(x) = x.sin = lim 3x n + xn −1 = lim x n + lim x n − = 3.2 + 2 −1 3x n + xn −1 = x Víi mäi d·y sè (xn) mµ xn ≠ víi mäi n vµ lim xn = 0, ta cã f(xn) = xn.sin xn NhËn xÐt r»ng: f(xn) = xn.sin  ≤ xn vµ lim xn = nªn lim f(xn) = xn 201 Do đó: 1  lim f(x) = lim  x sin  = x→0 x→0 x  D¹ng to¸n 2: Chøng minh r»ng lim f(x) kh«ng tån t¹i x →x0 Phương pháp áp dụng Ta thực theo các bước sau: Bước 1: Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với  n →∞ xn→ x0 n→ ∞, đó đánh giá f(xn)  → L1 n →∞  yn→ x0 n→ ∞, đó đánh giá f(yn)  → L2 Bước 2: Nhận xét L1 ≠ L2 Bước 3: Vậy, giới hạn lim f(x) không tồn x →x ThÝ dô Chøng minh r»ng c¸c giíi h¹n sau kh«ng tån t¹i: a lim cosx b lim sinx x → −∞ x → +∞  Gi¶i a §Æt f(x) = cosx Chän hai d·y sè {xn} vµ {yn} víi:  xn = 2nπ ⇒ xn→ +∞ n→ ∞ vµ ta ®­îc: n →∞ f(xn) = cos(xn) = cos(2nπ)  →  yn = π + nπ ⇒ yn→ +∞ n→ ∞ vµ ta ®­îc: π 2  n →∞ f(yn) = cos(yn) = cos  + nπ   →  VËy, giíi h¹n lim cosx kh«ng tån t¹i x → +∞ b §Æt f(x) = sinx Chän hai d·y sè {xn} vµ {yn} víi:  xn = −nπ ⇒ xn→ −∞ n→ ∞ vµ ta ®­îc: n →∞ f(xn) = sin(xn) = sin(−nπ)  →  yn = π − 2nπ ⇒ yn→ −∞ n→ ∞ vµ ta ®­îc: π  n →∞ f(yn) = sin(yn) = sin  − 2nπ   → 2  VËy, giíi h¹n lim sinx kh«ng tån t¹i x → −∞ 202  Chó ý: Víi c¸c hµm sè:  f(x) = cosax chúng ta thường chọn hai dãy số {xn} và {yn} với: π nπ 2nπ vµ yn = xn = + a 2a a  f(x) = sinax chúng ta thường chọn hai dãy số {xn} và {yn} với: nπ π 2nπ vµ yn = xn = + a 2a a Dạng toán 3: Dùng các định lí giới hạn và giới hạn để tìm giới hạn Phương pháp áp dụng Ta lùa chän mét hai c¸ch: Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn dạng tổng hiệu, tích, thương hàm số mà ta đã biết giới hạn Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: lim c = c, víi c lµ h»ng sè x→x Nếu hàm số f(x) xác định điểm x0 thì lim f (x) = f(x0) x→ x lim x = +∞ = x → +∞ k x + ∞ nÕu k ch½ n lim x k =  lim k = x → −∞ − ∞ nÕu k lÎ x → −∞ x C¸ch 2: Sö dông nguyªn lÝ kÑp gi÷a, cô thÓ: Gi¶ sö cÇn tÝnh giíi h¹n cña hµm sè lim f (x) (hoÆc lim f (x) ), ta thùc k lim x → +∞ x→ x x →∞ theo các bước sau: Bước 1: Chọn hai hàm số g(x), h(x) thoả mãn: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Bước 2: Khẳng định: lim g(x) = lim h(x) = L x →x x →x (hoÆc lim g(x) = lim h(x) = L) x →∞ Bước 3: x →∞ KÕt luËn: lim g(x) = L (hoÆc lim f (x) = L) x →∞ x→x  Chó ý: Chóng ta cßn sö dông c¸c kÕt qu¶ sau: NÕu lim f(x) = th× lim f(x) = x→x0 x→x0 Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng (a; b) có thể trừ ®iÓm x0 ∈ (a; b) NÕu lim f(x) = vµ g(x) ≤ M víi x ∈ (a; b)\{x0} x→x0 (trong đó M là số) thì lim [f(x).g(x)] = x→x0 203 ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: x x →1 x − b lim a lim (x2 + x) x →3  Gi¶i a Ta cã: lim (x2 + x) = 32 + = 12 x →3 b Ta cã: x = = +∞ x →1 x − 1−1 lim  NhËn xÐt: Nh­ vËy:  Với hàm số f(x) xác định điểm x0 thì giới hạn nó x→x0 cã gi¸ trÞ b»ng f(x0)  Víi hµm sè f (x) cã f(x0) ≠ vµ g(x0) = th× giíi h¹n cña nã g(x) x→x0 cã gi¸ trÞ b»ng ∞ Trong trường hợp với hàm số cã d¹ng d¹ng f (x) cã f(x0) = vµ g(x0) = (tøc g(x) ) chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử 0 , và thông thường là làm xuất nhân tử chung (x − x0) ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: x2 −1 x →1 x − a lim  Gi¶i b lim x →1 x +8 −3 x + 2x − a Ta cã: (x − 1)(x + 1) x2 −1 = lim = lim(x + 1) = x →1 x →1 x →1 x − x −1 lim b Ta cã: lim x →1 204 x +8 −3 x −1 = lim x → x + 2x − ( x + + 3)(x − 1)(x + 3) 1 = = lim x →1 ( x + + 3)(x + 3) 24  NhËn xÐt: Như vậy, với hàm số f(x) không xác định điểm x0 thì chúng ta cần khử dạng vô định đó (nếu có thể), và đây:  Trong c©u a), chóng ta sö dông phÐp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nhân tử để khử nhân tử x −  Trong câu b), chúng ta sử dụng phép nhân liên hợp để khử nh©n tö x − ThÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau:   1 b lim x  −  x→0 x b  lim x →9 x −3 9x − x  Gi¶i a Ta cã: 1  lim x  −  = lim (2x − 1) = −1 x→0  x  x→0 b Ta cã: x −3 lim x →9 9x − x x −3 1 = − lim =− x → x(9 − x ) 54 x( x + 3) = lim x →9 hoÆc cã thÓ tr×nh bµy theo c¸ch: lim x −3 x →9 9x − x = lim x →9 ( )( x(9 − x) ( x −3 ) = − lim x + 3) x( x +3 x →9 x +3 ) =− 54 ThÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau: a lim x →∞ x2 + x2 − x − b lim x → −∞ 3x − x + 2x3 −  Gi¶i a Chia c¶ tö vµ mÉu cho x2, ta ®­îc: 1+ x2 + x = lim = lim 1 x →∞ x − x − x →∞ 1− − x x b Ta cã: − + 3x − x + x = = lim x x lim x → −∞ x → −∞ 2x − 2− x 205 ThÝ dô T×m c¸c giíi h¹n sau: a lim x → +∞  Gi¶i x6 + 3x − b x6 + lim x → −∞ 3x − a Ta cã: 1+ lim x → +∞ x +2 3x − = lim x → +∞ x6 = 3− x b Ta cã: − 1+ lim x → −∞ x +2 3x − = lim x → −∞ 3− x6 = − x3 ThÝ dô T×m giíi h¹n lim− (x + x + + x n − x →1 n ) 1− x  Gi¶i Ta cã: lim [x(1 − x n ) − n] x(1 − x n ) − n x →1− n = = −∞ ) = lim lim (x + x + + x − − x x →1− 1− x lim (1 − x) x →1− n x →1−  Chó ý: VÝ dô tiÕp theo sÏ minh ho¹ viÑc sö dông nguyªn lý kÑp gi÷a Thí dụ Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng chứa điểm x = và thoả m·n f (x) ≤ M víi mäi x ≠ TÝnh lim f(x) x→0 x ¸p dông: a lim xsin x →0 x b lim x →∞ x − sin x x + sin x  Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt f (x) ≤ M víi mäi x ≠ suy ra: x f(x) ≤ M.x vµ lim x = ⇒ lim f(x) = M.0 = x→0 206 x→0 a Víi mäi x ≠ thuéc l©n cËn cña ®iÓm lu«n cã: x.sin 1 ≤ x ⇔ −x ≤ xsin ≤ x vµ lim (−x) = lim x = x →0 x →0 x x VËy, ta ®­îc lim xsin x →0 = x b Ta cã: víi mäi x ≠ thuéc l©n cËn cña ®iÓm lu«n cã: 1 sin x sin x ⇔− ≤ ≤ , ∀x ≠ 0, ≤ |x| |x| x x x lim (− x →∞ 1 ) = lim = →∞ x |x| |x| VËy, ta ®­îc: sin x 1− x − sin x x = = lim lim x →∞ x + sin x x →∞ sin x 1+ x D¹ng to¸n 4: TÝnh giíi h¹n mét bªn cña hµm sè Phương pháp áp dụng Sử dụng các định nghĩa với lu ý:  x → x +0 hiểu là x → x0 và x > x0 (khi đó x − x0 = x − x0)  x → x 0− hiểu là x → x0 và x < x0 (khi đó x − x0 = x0 − x) Thí dụ áp dụng định nghĩa giới hạn phải và giới hạn trái, tìm các giới hạn sau: a lim+ x − b lim− ( − x + x) x →5 x →1  Gi¶i a Ta cã ngay: lim x − = + x →1 b Ta cã ngay: lim ( − x + x) = 10 x →5 −  NhËn xÐt: Như vậy, hàm số f(x) xác định điểm x0 thì giới hạn bên cña nã kh«ng kh¸c so víi h¹n t¹i x0 Thí dụ áp dụng định nghĩa giới hạn phải và giới hạn trái, tìm các giới hạn sau: a lim x →1 + x x −1 b lim x →1 − x x −1 207  Gi¶i a Ta cã ngay: x = +∞ lim x →1 + x − b Ta cã ngay: x lim = −∞ − x →1 x −1 ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau (nÕu cã): a lim+ x →2 | 3x − | x−2 b lim− x →2 | 3x − | x−2 c lim x →2  Gi¶i a Ta cã: lim+ x →2 3x − | 3x − | = lim+ = lim+ = x−2 x−2 x →2 x →2 b Ta cã: − 3x + | 3x − | = lim− = lim+ (−3) = −3 x−2 x−2 x →2 x →2 x →2 c Tõ c©u a) vµ b), ta thÊy: | 3x − | | 3x − | | 3x − | ≠ lim− ⇒ lim kh«ng tån t¹i lim+ x → x−2 x−2 x−2 x →2 x →2 lim− ThÝ dô TÝnh giíi h¹n lim− 1− x + x −1 x2 − x3 x →1  Gi¶i Ta cã: lim− x →1 1− x + x −1 x2 − x3 = lim− x →1 = lim− x →1 1− x x2 − x3 x − lim− D¹ng to¸n 5: Giíi h¹n cña hµm sè kÐp Phương pháp áp dụng Cho hµm sè f (x) x < x f(x) =  f2 (x) x ≥ x 208 − lim− x →1 x →1 1− x x2 1− x x2 − x3 = | 3x − | x−2 Để tính giới hạn xác định giá trị tham số để hàm số có giới hạn x→ x0, ta thực theo các bước sau: Bước 1: Tính giới hạn các giới hạn: lim f (x) = lim f1 (x) = L1; Bước 2: lim f (x) = lim f2 (x) = L2 x→x− x→x− x→x+ x→x+ Khi đó:  NÕu lim f (x) = lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = L  §Ó hµm sè cã giíi h¹n x→ x0 ®iÒu kiÖn lµ: x→x− x→x+ x→x0 L1 = L2 ⇒ Gi¸ trÞ cña tham sè ThÝ dô Cho hµm sè: − x + x < f(x) =   x + x ≥ TÝnh c¸c giíi h¹n lim− f (x) vµ lim+ f (x) x →0 x →0  Gi¶i Ta cã : lim f (x) = lim (−x + 1) = 1, x → 0− x → 0− lim f (x) = lim+ (x2 + 1) = x → 0+ x →0 VËy, ta ®­îc: lim f (x) = lim f (x) = ⇒ lim f (x) = x → 0− x → 0+ x →0 ThÝ dô Cho hµm sè :  x + a x < f(x) =   x + x ≥ Tìm a để hàm số có giới hạn x →  Gi¶i Ta cã : lim f (x) = lim (x + a) = a vµ lim f (x) = lim (x2 + 1) = x → 0− x → 0− x → 0+ x → 0+ Hµm sè cã giíi h¹n x→0 ⇔ lim f (x) = lim f (x) ⇔ a = x → 0− x → 0+ VËy víi a = ta cã lim f (x) = x →0 209 D¹ng to¸n 6: Mét vµi quy t¾c t×m giøoi h¹n v« cùc ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim (3x3 −5x2 + 7) b x →−∞ lim x →+∞ 2x − 3x + 12  Gi¶i a Ta cã:   lim (3x3 −5x2 + 7) = lim x  − +  = (−∞)3.3 = −∞ x →−∞ x →−∞ x x   b Ta cã: lim x 2 − x →+∞  NhËn xÐt: 12 = (+∞) = +∞ + x3 x Nh­ vËy, víi hµm sè d¹ng: f(x) = anxn + an − 1xn − + … + a0 ⇒ lim = f(x) lim ( a n x n + a n −1x n −1 + + a ) x →±∞ x →±∞ a a  = lim x n  a n + n −1 + + 0n x →±∞ x x   n  = (±∞) a n  ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x →+∞  Gi¶i x3 − x2 + b lim x →−∞ x4 − x − 2x a Ta cã: 1− x3 − x = lim = +∞ lim x →+∞ x + x →+∞ 1 + x x3 1   1  v× lim  −  = vµ lim  +  = vµ + > víi x > x →+∞ →+∞ x x  x x  x x  b Ta cã: 1 1− 3 x −x x = lim x = +∞ = lim lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ − 2x 2   − x2  −  x x x x  2 v× lim − = vµ − > víi x < vµ lim  −  = x →−∞ x x →−∞ x x x x   210 x2 − VÝ dô 1: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a  Gi¶i lim x →2+ 2x + x−2 b lim x →2− 2x + x−2 a Ta cã: 2x + = +∞, x →2 x−2 v× lim+ (2x + 1) = vµ lim+ (x − 2) = vµ x − > víi x > lim+ x →2 x →2 b Ta cã: 2x + = −∞, x−2 v× lim− (2x + 1) = vµ lim− (x − 2) = vµ x − < víi x < lim x →2− x →2 x →2 ThÝ dô TÝnh giíi c¸c h¹n sau: 2x +   a lim  x →1 (x − 1) 2x −   b lim x →1 (x − 1)(x − 3x + 2)  Gi¶i a Ta cã: +1 2x +    = +∞.(−3) = −∞ = lim  lim  x →1 (x − 1)2 2x −  x →1 (1 − 1)2 −      b Ta cã: 5 5 = lim lim = lim = +∞.(−5) =−∞ x →1 (x − 1)(x − 3x + 2) x →1 (x − 1)2 (x − 2) x →1 (1 − 1)2 −  NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i cña vÝ dô trªn, ë c©u b) nÕu c¸c em häc sinh kh«ng biến đổi hàm số dạng ®­îc lim x →1 thì không thể khẳng định (x − 1) (x − 2) = +∞ (1 − 1)2 ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: 1  a lim  −  x→0 x x  b   lim  − − x −  x  x →2−  Gi¶i a Ta biến đổi: 1 x −1 − = x x x 211 V× lim (x − 1) = −1 vµ lim x2 = vµ x2 > víi x ≠ nªn: x→0 x→0 1  lim  −  = −∞ x→0 x x  b Ta biến đổi: x +1 1 = − x−2 x −4 x −4 V× lim− (x + 1) = vµ lim− (x2 − 4) = vµ x2 − < víi x < nªn: x →2 x →2   = −∞ lim−  − x →2  x − x −  D¹ng to¸n 7: TÝnh giíi h¹n d¹ng 0 Phương pháp áp dụng là làm xuất nhân tử chung để: Hoặc là khử nhân tử chung để đưa dạng xác định Bản chất việc khử dạng không xác định  Hoặc đưa giới hạn dạng giới hạn bản, quen thuộc đã biết rõ kết hoÆc c¸ch gi¶i GhÝ chó:  Nếu phương trình f(x) = có nghiệm x0 thì f(x) = (x − x0).g(x)  Liªn hîp cña biÓu thøc: a − b lµ a + b a − b lµ a + b  a − b lµ a + b a + b2 a + b lµ a − b a + b2 ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x →2  Gi¶i a Ta cã: x3 − x2 − b lim x →1 3x − x + x −1 x + 2x + (x − 2)(x + 2x + 4) x3 − = = = lim lim x →2 x →2 x − x →2 (x − 2)(x + 2) x+2 b Ta cã: lim lim x →1 212 (3x − 1)(x − 1) 3x − x + = lim = lim (3x − 1) = x →1 x →1 x −1 x −1  NhËn xÐt: Nh­ vËy, víi giíi h¹n d¹ng: f(x) g(x) đó f(x), g(x) là các hàm đa thức nhận x = x0 làm nghiệm Khi đó: f (x) (x − x )f1 (x) f(x) = lim = lim = lim x → x g(x) x → x (x − x )g (x) x → x g (x) 1 f (x ) f (x) = k = lim k x → x g (x) g k (x ) k lim x →x0 víi ®iÒu kiÖn fk2 (x ) + g2k (x ) > ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim − x →( −3) 2x + 5x − (x + 3)2 b lim + x →( −3) 2x + 5x − (x + 3)2  Gi¶i a Ta cã: lim − x →( −3) (2x − 1)(x + 3) 2x − 2x + 5x − = lim − = +∞ = lim − 2 x →( −3) x →( −3) x + (x + 3) (x + 3) b Ta cã: lim + x →( −3)  Chó ý: (2x − 1)(x + 3) 2x + 5x − 2x − = lim + = −∞ = lim + 2 x →( −3) x →( −3) x + (x + 3) (x + 3) Tiếp theo, chúng ta sử dụng phương pháp khử nhân tử chung trên cho các hàm số khác, cụ thể là các hàm số lượng giác, đó cần nhớ lại các phép biến đổi lượng giác ThÝ dô TÝnh giíi h¹n: lim x→0 − sin x − cos x + sin x − cos x  Gi¶i Ta cã: (1 − cos x) − sin x − sin x − cos x sin x − sin x cos x = = (1 − cos x) + sin x + sin x − cos x sin x + sin x cos x = sin x − cos x sin x + cos x Do đó : lim x→0 − sin x − cos x sin x − cos x = lim = − x → sin x + cos x + sin x − cos x 213  Nhận xét: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã cần tới các phép biến đổi lượng giác để khử nhân tử 0/0 Tiếp theo, chúng ta sử dụng phương pháp khử nhân tử chung cho c¸c hµm sè chøa c¨n, cô thÓ: Víi giíi h¹n d¹ng: lim x →x0 đó f(x) − a g(x) f(x ) = a vµ g(x0) = Khi đó, thực phép nhân liên hợp f(x) + a, ta ®­îc: f(x) − a f(x) − a = lim x →x0 x →x0 g(x) [ f(x) + a]g(x) (x − x )f1 (x) = lim x →x0 [ f(x) + a](x − x )g1 (x) f1 (x) f1 (x ) = = lim x →x0 2a.g1 (x ) [ f(x) + a]g1 (x) Phương pháp mở rộng cho các giới hạn: f(x) − a Víi giíi h¹n lim , víi f(x ) = a vµ g(x ) = b, ta x →x0 g(x) − b cã: [ g(x) + b][f(x) − a ] f(x) − a = lim lim x →x0 x →x0 g(x) − b [ f(x) + a][g(x) − b ] lim [ g(x) + b](x − x )f1 (x) = lim [ f(x) + a](x − x )g1 (x) x →x0 Víi giíi h¹n lim x →x0 f1 (x) − f2 (x) g(x) , víi = [ g(x ) + b]f1 (x ) [ f(x ) + a]g1 (x ) f1 (x ) = g(x0) = 0, ta cã: f1 (x) − f2 (x) f1 (x) − f2 (x) = lim lim x→x x→x g(x) [ f1 (x) + f2 (x)]g(x) (x − x )f(x) = lim x→x [ f1 (x) + f2 (x)](x − x )g1 (x) 0 = lim x →x0 = 214 f(x) [ f1 (x) + f2 (x)]g1 (x) f(x ) [ f1 (x ) + f2 (x )]g1 (x ) f2 (x ) vµ f1 (x) − f2 (x) Víi giíi h¹n lim , víi g1 (x) − g (x) x →x0 f1 (x ) = f2 (x ) vµ g (x ) − Bạn đọc tự trình bày g1 (x ) = ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x→0 x +1 −1 − 2x + x + − 2x b lim x −1 − − x x →2  Gi¶i a Ta cã: lim x→0 x +1 −1 − 2x + = lim x→0 x(3 + x + ) = lim − x( x + + 1) x→0 + 2x + − 2( x + + 1) =− b Ta cã: x + − 2x lim x −1 − − x x →2 ( x + + x )(2 x − 4) x →2 = lim x →2  ( x − + − x )(2 − x) = lim x −1 + − x − 2( x + + x ) =− Nhận xét: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta cần thực phÐp nh©n liªn hîp cho c¶ TS vµ MS ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x →2 4x − x−2 b lim x −1 + x +1 2x + − x + x→0  Gi¶i a Ta cã: lim x →2 4x − 4x − = lim x → x−2 [( x ) + x + 4](x − 2) = lim x →2 = ( 4x ) + 4x + 3 b Ta cã: lim x→0 x −1 + x +1 2x + − x + = lim x→0 = lim x→0 x( x + + x + ) x[ (x − 1)2 − (x − 1)(x + 1) + (x + 1)2 ] 2( x + + x + ) = (x − 1) − (x − 1)(x + 1) + (x + 1) 3 215 ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: x − a + x−a a lim x →a , víi a> x2 − a x −1 b lim x →1 x + + x − 3x  Gi¶i a Ta cã: lim x →a x − a + x−a x −a = lim x →a = lim x →a b Ta cã : lim x →1 x− a = lim x →a x −1 x + + x − 3x ( x + a) x − a x+a x →a + ( x + a) x + a + lim x−a 2a = 2a = lim x →1 x + − x − 3x + + x −1 x −1 = lim x −1 ( x + + 2)(x − 1)  x2 − a 2 x →1 x →a x −a x−a = lim x−a + lim +x−2 = − x +1 x →1 x2 + + +x−2 Nhận xét: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta cần thực phép tách nó thành hai giới hạn nhỏ, từ đó có thể khử d¹ng Víi giíi h¹n d¹ng: lim x →x0 f(x) − a , đó g(x) Thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp lim x →x0 3 f(x ) = a vµ g(x0) = f (x) + f(x) + a2, ta ®­îc: f(x) − a f(x) − a = lim x →x0 g(x) [ f (x) + f(x) + a ]g(x) = lim x →x0 = lim x →x0 (x − x )f1 (x) [ f (x) + f(x) + a ](x − x )g1 (x) f1 (x) [ f (x) + f(x) + a ]g1 (x) 3 = f1 (x ) (2a + a).g1 (x ) Phương pháp mở rộng cho giới hạn dạng: 216 Víi giíi h¹n: f(x) + a , đó lim x→x g(x) thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp Víi c¸c giíi h¹n: f(x) ± a a lim , đó x→x g(x) ± b 3 c lim f(x) ± a g(x) − b x →x0 f1 (x) ± f2 (x) g1 (x) − g (x) x →x0 g1 (x ) = d lim x →x0 , đó 3 f(x ) =  a vµ f(x ) =  a vµ g1 (x) ± g (x) đó 3 g(x ) =  b g(x ) = b f1 (x ) =  f2 (x ) vµ g (x ) f1 (x) ± f2 (x) đó , f (x ) − a f(x ) + a2 b lim f(x ) = − a vµ g(x0) = , f1 (x ) =  f2 (x ) vµ g1 (x ) =  g (x ) Thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp cho c¶ tö sè vµ mÉu sè ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: x − + x − 3x + a lim x →1 x − + x2 − x + b lim x→0 1+ x −3 8− x x  Gi¶i a Ta cã : x − + x − 3x + x − + x − 3x + x −1 lim = lim x →1 x →1 x − + x2 − x + x − + x2 − x + x −1 = lim x →1 2x − 2 x − − x − 3x + +x−2 + ( x − + 1)(x − 1) x −1 x −1 = lim x →1 x −1 x − + x2 − x +x + 3 x −1 x −1 [ (x − 2) − x − + 1](x − 1) 2x − + 1 = lim x →1 +x−2 ( x − 2)2 − x − + = +x 217 b Ta cã : 1+ x −3 8− x 1+ x −2 + −3 8− x = lim lim x→0 x→0 x x  2( + x − 1) 2−3 8−x = lim  +  x→0 x x     x 2x 13 = lim  + =  x→0 x[4 + 23 − x + (8 − x) ]  12  x( + x + 1) ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x →1  Gi¶i 2x − − x −1 b lim x→0 5x + − x a Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã: 2x − − 2x − − = lim lim x →1 x →1 x −1 [ (2x − 1)2 + 2x − + 1](x − 1) = lim x →1 (2x − 1) + 2x − + = C¸ch 2: §Æt t = 2x − , ta ®­îc: t −1 2(t − 1) 2 2x − − = lim = lim = lim = lim x →1 t →1 t + t →1 t → x −1 t + t +1 t −1 −1 b §Æt t = lim x→0  Chó ý: 5x + , ta ®­îc : 5 t −1 5x + − = lim = lim = → x → x x t + t + t + t +1 t −1 Chúng ta đã biết tới giới hạn đặc biệt: lim x→0 sin x = x Từ đó, suy ra: ta n x sin x  sin x  = lim  = = = lim  1.1 x→0 x → x.cos x x→0 x  x cos x  lim Më réng: sin [ f(x)] ta n [ f(x)] = lim 1= vµ lim , với f(x0) = f (x) → x → x f(x) f(x) 218 Tuy nhiên, việc áp dụng chúng để tìm giới hạn hàm số nhiều trưòng hợp cần thực các phép biến đổi phù hợp ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n sau: sin x x → tan 2x a lim  Gi¶i a Ta cã: lim x→0 b lim x→0 − cos2 2x x sin x x  sin x  sin x  sin x 2x  = lim   = = lim   x → x → tan 2x  x tan 2x   x tan 2x  b Ta cã: lim x→0 − cos2 2x sin 2x  sin 2x sin 2x   2sin 2x  = lim = lim  = lim  cos x   → x → x x → sin x  x sin x x sin x  x  2x  =  NhËn xÐt: Trong thÝ dô trªn:  ë c©u a), b»ng viÖc thªm vµo x chóng ta nhËn ®­îc hai d¹ng giới hạn và cần lưu ý tan2x phải tương ứng với 2x  câu b), chúng ta cần sử dụng phép biến đổi lượng giác để chuyển − cos22x thành sin22x Ngoài ra, có thể trình bµy nh­ sau:  sin 2x 4x  − cos2 2x sin 2x  = = lim = lim  x→0  x→0 x → x sin x sin x  x sin x 2x ( )   lim ThÝ dô 10 TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x→0  Gi¶i sin 2x + tan 3x x b lim x→0 tan x − sin x x3 a Ta cã: sin 2x + tan 3x  2sin 2x 3tan 3x   sin 2x tan 3x  = lim  = lim  = + +  x→0 x→0 x  x →  2x 3x  x  x b Ta cã: x 2sin x.sin sin x(1 − cos x) sin x tanx − sinx = − sinx = = cos x cos x cos x Do đó: x x 2sin x.sin sin tan x − sin x sin x = lim = = lim lim 3 x→0 x → cos x x→0 x x cos x x ( x / ) lim 219  NhËn xÐt: Trong thÝ dô trªn:   câu a), chúng ta thực phép tách để nhận tổng hai giíi h¹n c¬ b¶n ë c©u b), chóng ta kh«ng thÓ thùc hiÖn phÐp t¸ch, bëi nÕu lµm nh­ vËy: tan x − sin x  tan x sin x  = lim  −  x→0 x→0 x  x  x lim  tan x sin x  = lim  − = (1 − 1).∞ = 0.∞ x→0 x  x  x  tan x sin x  hoÆc lim  = 1.∞ − 1.∞ = ∞ − ∞ 2− x→0 x x   x x hai là dạng vô định và chúng ta không thể kết luËn ®­îc g× ThÝ dô 11 TÝnh c¸c giíi h¹n sau: cos 4x − cos3x.cos5x a lim x→0 x2 π cos( cos x) b lim x→0 x sin  Gi¶i a Ta cã: (cos8x + cos2x) 1 = (2cos4x − cos8x − cos2x) = [(1 − cos8x) + (1 − cos2x) − 2(1 − cos4x)] 2 = sin24x + sin2x − 2sin22x cos4x − cos3x.cos5x = cos4x − Do đó: lim x→0 cos 4x − cos3x cos5x sin 4x + sin x − 2sin 2x = lim x→0 x2 x  sin 4x sin x 2sin 2x   16sin 4x sin x 8sin 2x  = lim  = lim  + − + −   2 x→0 x x (2x)2  x  x  x →0  (4x) = 16 + − = b Ta cã: x π  π  π π   cos  cos x  sin  − cos x  sin  (1 − cos x)  sin  π sin  2 2 = 2  = 2 =π x x x x 2 2 sin sin sin π sin 2 2 220 Do đó: x  π  sin  π sin  cos  cos x  2  = π   = lim π  lim x→0 x→0 x x π sin sin 2  NhËn xÐt: Trong thÝ dô trªn:  câu a), chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tích thành tổng Và từ đó, với việc định hướng biến đổi TS thành tổng các hàm số sin chúng ta đã sử dụng ccông thức góc nhân đôi hµm sè cosin (cô thÓ cos2x = − 2sin2x)  ë c©u b), c¸c em häc sinh cÇn cã kinh nghiÖm vÒ hµm sè lượng giác lồng tan(a + x).tan(a − x) − tan a x→0 x2 ThÝ dô 12 TÝnh giíi h¹n L = lim  Gi¶i Ta cã: sin(a + x)sin(a − x) sin a − cos(a + x) cos(a − x) cos2 a −2 cos2a(1 − cos2x) cos2x − cos2a − cos2a − = = + cos2a)(1 + cos2a) (cos2x cos2x + cos2a + cos2a −4 cos2a −4 cos2a.sin x = = sin2x (cos2x + cos2a)(1 + cos2a) (cos2x + cos2a)(1 + cos2a) tan(a + x)tan(a − x) − tan2a = Do đó: L = lim x→0  −4 cos2a −4 cos2a sin x = (cos2x + cos2a)(1 + cos2a) x (1 + cos2a)2 Nhận xét: Như vậy, thí dụ trên chúng ta đã cần sử dụng phép biến đổi lượng giác phức tạp nhiều Và câu hỏi thường đặt đây là "Định hướng cách thực trên nào ?", để trả lời chúng ta bắt đầu sau:  Kh«ng thÓ thùc hiÖn phÐp t¸ch, bëi nã kh«ng mang l¹i kÕt qu¶ g× øng víi tan(a + x) cÇn cã a + x vµ tan(a − x) cÇn cã a − x Và đó, nhận dạng vô định ( ∞ − ∞ )  Nếu sử dụng các phép biến đổi tuý với hàm số tang khã cã thÓ t¹o ®­îc nh©n tö chung tan2x cho TS, bëi sù cã mÆt cña sè h¹ng tù tan2a  Từ nhận định trên, chúng ta khẳng định có thể làm xuất nhân tử chung là sin2x cho TS Từ đó, dẫn đến việc biến đổi các hàm số tang dạng sin và cos 221 ThÝ dô 13 T×m A = lim F(x) víi F(x) = x →1  Gi¶i Viết lại giới hạn dạng: ( A = lim x →1 ) ( − x3 − − x2 + − x −1 − x3 − x2 + x2 − ) = lim  − x3 − x2 + −   − x →1  x −   x −1 Trong đó: − x3 − −(x + x + 1) − x3 − = lim = lim =− 3 x → x → x −1 (x + 1)( − x + 2) (x − 1)( − x + 2) lim x →1 lim x →1 x2 + − = lim x →1 x2 − = lim x →1  (x ) ( ( x2 + )  −1   x2 + − ) +2  x2 + +   1 = 12 +2 x +7 +4 x2 + VËy, ta ®­îc: 11 A=− − =− 24 12 Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã thêm bớt vào tử thức F(x) Ba câu hỏi đặt ra: (1) T¹i ph¶i cã sè ? (2) T¹i l¹i lµ sè ? (3) T×m sè nh­ thÕ nµo ? Trả lời ba câu hỏi đó ta có phương pháp giải loại toán này Tr¶ lêi c©u hái 3: §Ó t×m sè 2, ta ®­a thuËt to¸n gäi sè h¹ng v¾ng: Bước 1: Với c∈  ta có: − x3 − c x +7 −c − x3 − x2 + = − 2 x −1 x2 − x −1 Bước 2: Trong các số c đó, ta tìm số c cho x2 − cùng nhân tử chung víi: f1(x) = − x − c vµ f2(x) = x + − c Điều đó xảy và c là nghiệm hệ: f1 (±1) = ⇔ c =  f2 (±1) = §¸p sè c = lµ c©u tr¶ lêi cho c©u hái vµ 222 ThÝ dô 14 TÝnh giíi h¹n: lim x→0 + 2x − + 3x x2  Gi¶i Ta cã: lim x→0 + 2x − + 3x = lim x→0 x2 = lim x→0  + 2x − (x + 1) + (x + 1) − + 3x x2 + 2x − (x + 1) (x + 1) − + 3x + lim x→0 x2 x2 Ta xác định giới hạn: x2 + 2x − (x + 1) = = lim lim 2 x→0 x → x [ + 2x + (x + 1)]x 3 (x + 1) − − 3x (x + 1) − + 3x = lim lim x→0 x→0 x [(x + 1)2 + (x + 1) + 3x + (1 + 3x)2 ]x x+3 = = lim x→0 (x + 1) + (x + 1) + 3x + (1 + 3x)2 VËy, ta ®­îc: + 2x − + 3x = +1= lim x→0 2 x Chú ý: Rất nhiều học sinh gặp giới hạn trên sử dụng phương pháp h»ng sè v¾ng Trong các bài thi tuyển sinh, chúng ta thường gặp yêu cầu tính giới hạn hàm số không mẫu mực (kết hợp đại số và lượng giác) ThÝ dô 15 (§HGTVT − 98): TÝnh giíi h¹n: lim x→0 − 2x + + sin x 3x + − − x  Gi¶i Ta cã: − 2x + + sin x 3x + − − x =( =( =( =( − 2x + + sin x 3x + − − x ):( ) x x sin x 3x + − − 2x + + ):( − 1) x x x −2x x(1 + 2x + 1) −2 + 2x + + + sin x 3x ):( − 1) x x( 3x + + 2) sin x ):( − 1) x 3x + + 223 Do đó: lim − 2x + + sin x 3x + − − x x→0 = lim ( x→0 −2 + 2x + D¹ng to¸n 1: TÝnh giíi h¹n d¹ng Phương pháp áp dụng + sin x ):( − 1) = x 3x + + ∞ ∞ ∞ , ta lùa chän mét c¸c c¸ch sau: ∞ Cách 1: (Được sử dụng cho các phân thức đại số ): Ta chia tử và mẫu cho luỹ thừa bậc cao x có mặt phân thức đó Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa, ta thực theo các bước sau: Bước 1: Chọn hai hàm số g(x), h(x) thoả mãn: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Bước 2: Khẳng định: lim g(x) = lim h(x) = L §Ó tÝnh c¸c giíi h¹n d¹ng x →∞ x →∞ Bước 3: Kết luận lim f (x) = L x →∞ ThÝ dô 16 TÝnh c¸c giíi h¹n: a lim x + x − 10 x → +∞ c lim x →∞ − 3x b (1 − x)(1 + x) (3 + x) (2 − x)(3 − x)2 (4 − x)2 d lim x → +∞ lim x − x + 11 2x − x + 4x + x − ( x + 2)2 x → −∞  Gi¶i a Chia c¶ tö vµ mÉu cho x3, ta ®­îc : 10 + − x + x − 10 x x x = = lim lim x → +∞ x → +∞ − 3x −3 x3 b Chia c¶ tö vµ mÉu cho x4, ta ®­îc : 11 1− + 4 x − x + 11 x x = lim = +∞ lim x → +∞ x → +∞ 2x − − x3 x4 c Chia c¶ tö vµ mÉu cho x6, ta ®­îc : lim x →∞ 224 (1 − x)(1 + x)2 (3 + x)2 (2 − x)(3 − x)2 (4 − x)2 1   3   −  +   +  x  x  x  = = lim  2 x →∞ 2   4   −  −   −  x  x  x  d Chia c¶ tö vµ mÉu cho x6, ta ®­îc: lim x → −∞ x + 4x + x − ( x + 2)2 1+ = lim x → −∞ x + (1 + x − )2 x = x a x + a n −1x + + a Tæng qu¸t: Gi¶ sö R(x) = n m , víi an ≠ vµ bm ≠ b m x + b m −1x m −1 + + b Ta cã: ∞ n > m  a lim R(x) =  n n = m x →∞  bm 0 n < m n n −1 Chøng minh Nếu n > m Khi đó: |R(x)| = |x|n-m a a n −1 + + 0n an x x n-m > |x| b b 2b m |x| đủ lớn b m + m −1 + + m0 x x an + an V× lim |x|n-m 2b = ∞, nªn ta cã lim R(x) = ∞ x →∞ x →∞ m Nếu n = m Khi đó: a a n −1 + + 0n x x → a n x→∞ R(x) = b b bm b m + m −1 + + m0 x x an + Nếu n < m Khi đó: |R(x)| = | x |m − n V× lim x →∞ a a n −1 + + 0n 2a n x x < |x| đủ lớn m−n b b |x| bm b m + m −1 + + m0 x x an + 2a n = 0, nªn ta cã lim R(x) = m−n x →∞ |x| bm ThÝ dô 17 TÝnh c¸c giíi h¹n: a lim x → +∞ 2x + x − − 2x b lim x →−∞ x4 + x+4  Gi¶i a Ta có dạng vô định ∞ ∞ 225 Víi x > 0, ta cã: lim x →+∞ 1   1 x4  + −  x2 + − x x   x x = lim x →+∞ 1  1  x − 2 x − 2 x  x  2x + x − = lim x →+∞ − 2x = lim x →+∞ b Ta có dạng vô định lim x →−∞ 1 − x x = +∞.2 = −∞ −2    − 2 x   2+ ∞ Víi x < 0, ta cã: ∞   4 x 1 +  x2 + x2 +  x  x x = lim = lim x →−∞ x →−∞  4  4  4 x 1 +  x 1 +  x 1 +   x  x  x x +4 = lim x →−∞ x+4 = lim x = −∞ 1+ x x 1+ x →−∞  1 − x x x = lim x →+∞ 1  x − 2 x  x2 + Chú ý: Như vậy, với dạng vô định ∞ ∞ cã chøa c¨n bËc ch½n d¹ng trªn, chúng ta thực rút bậc cao x ra, từ đó đưa ngoài với dấu trị tuyệt đối kèm theo Khi đó, tuỳ thuộc tính chất âm, dương nó để bỏ dấu trị tuyệt đối này ThÝ dô 18 TÝnh c¸c giíi h¹n: a lim x + x2 + x x + 10 x →−∞ b lim x →−∞ 2x − 7x + 12 | x | −17  Gi¶i a Ta có dạng vô định ∞ ∞ Víi x < 0, ta cã:  1 x 1 + +  −1 − + x x + x +x x = −2  = lim = lim  lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 10 x + 10  10  1+ x 1 +  x x  226 b Ta có dạng vô định lim ∞ Víi x < 0, ta cã: ∞ x →−∞ 2x − 7x + 12 = lim x →−∞ | x | −17 12   12 x2  − +  x 2− + x x   x x = lim →−∞ x 17  −3x − 17  x  −3 −  x  = lim x →−∞  Chó ý: 12 + x x2 = 17 −3 − x − 2− Víi yªu cÇu t×m giíi h¹n cña hµm sè chøa c¨n bËc ch½n x tiÕn tíi ∞, x thÝ dô tÝnh giíi h¹n lim x2 + x →∞ c¸c em häc sinh cÇn thùc hiÖn: x vµ L = lim  Xác định L1 = lim  So sánh L1 và L2 để kết luận giới hạn lim x →+∞ x +1 x →−∞ x →∞ hay kh«mg x+2 ThÝ dô 19 TÝnh giíi h¹n lim x →∞ x2 + x x2 + x x2 + cã tån t¹i  Gi¶i Chia c¶ tö vµ mÉu cho x, víi l­u ý :   + x > x +2 x  =  x  − + x x <  Do đó ta xét hai trường hợp : • • lim x → +∞ lim x → −∞ x = lim = x → +∞ + / x2 x +2 1+ x+2 x = lim = − x → −∞ − + / x2 x +2 1+ x+2 VËy, ta ®­îc: x+2 lim ≠ lim x → +∞ x → −∞ x2 + x+2 x +2 ⇒ lim x →∞ x+2 x2 + kh«ng tån t¹i 227 D¹ng to¸n 2: Giíi h¹n d¹ng ∞ − ∞ Phương pháp áp dụng ∞ chóng ta tÝnh ®­îc giíi ∞ Sử dụng các phương pháp đã biết để tính giới hạn dạng h¹n d¹ng ∞ − ∞ th«ng qua phÐp nh©n liªn hîp ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n: a lim x →+∞ ( ) x2 + − x b lim x → +∞ x + x +1 − x  Gi¶i a Ta cã: lim x →+∞ ( ) x + − x = lim x +1 + x x →+∞ = b Ta cã: lim x → +∞ x2 + x + − x = lim x → +∞ = lim ThÝ dô TÝnh c¸c giíi h¹n: lim x →−∞ ( x + x +1 + x = lim x →+∞ x +1  1  x 1 + +  + x  x x   1 x 1 +   x 1 1 1+ + +1 + +x x x x x = = lim x →+∞  1 1+ x 1 +  x  x x 1+ x →+∞ a ) 2x + + x b lim x →−∞ ( ) x2 + + x −1  Gi¶i a Ta cã: lim x →−∞ ( ) 2x + + x = lim x →−∞ x2 + 2x + − x = lim x →−∞   x 1 +  x     x2  +  − x x         x 1 +  x 1 +  x 1 +   x  = lim  x  = lim  x  = +∞ = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 1 x 2+ −x −x + − x − + −1 x x x 228 b Ta cã: lim x →−∞ ( ) x + − (x − 1) x + + x − = lim x +1 − x +1 2x = lim 2x x +1 − x +1 2x = lim = lim x →−∞ x →−∞ 1   x 1+ − x +1 x 1 +  − x + x  x  2x 2x = lim = lim →−∞ x →−∞ x  1 1 −x + − x + x  − 1+ −1+  x x x  x →−∞ = lim x →−∞ x →−∞ = −1 1 − 1+ −1+ x x ThÝ dô Cho hµm sè : f(x) = x + 2x + − x − 2x + Tính các giới hạn lim f(x) và lim f(x), từ đó nhận xét tồn giới x →−∞ x →+∞ h¹n lim f(x) x →∞  Gi¶i Ta cã : lim y = lim ( x + 2x + − x − 2x + ) = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ = − lim y = lim ( x + 2x + − x − 2x + ) = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ 4x x + 2x + + x − 2x + 4x x + 2x + + x − 2x + = VËy, ta thÊy lim f(x) ≠ lim f(x), suy lim f(x) kh«ng tån t¹i x →+∞ x →−∞ x →∞ D¹ng to¸n 8: Giíi h¹n d¹ng , 0.∞, ∞0 Phương pháp áp dụng §èi víi d¹ng 0.∞ vµ ∞0 , ta chän mét hai c¸ch sau: Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa, với các bước: Bước 1: Chọn hai hàm số g(x), h(x) thoả mãn: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Bước 2: Khẳng định: lim g(x) = lim h(x) = L ∞ x →x0 x →x0 (hoÆc lim g(x) = lim h(x) = L) x →∞ x →∞ 229 Bước 3: Vậy, ta được: lim g(x) = L (hoÆc lim f (x) = L) x →∞ x →x0 ∞ §èi víi d¹ng cÇn nhí c¸c giíi h¹n c¬ b¶n sau: x  1 lim 1 +  = e x →0 x →∞  x Việc áp dụng chúng để tìm giới hạn hàm số nhiều trưòng hợp cần thực các phép biến đổi phù hợp x ThÝ dô TÝnh giíi h¹n lim + (x + 1) x → ( −1) x −1 lim (1 + x) x = e,  Gi¶i Ta cã: x = x −1 lim + (x + 1) x → ( −1) = lim + (x + 1)(x − x + 1) x → ( −1) lim + (x − x + 1) x → ( −1) x(x + 1) = x2 −1 x x −1 x(x + 1) = x −1 lim (x − x + 1) x → ( −1) + x ThÝ dô TÝnh giíi h¹n L = lim (1 + sin 3x) x →0  Gi¶i Ta biến đổi: 1 (1 + sin 3x) x = (1 + sin 3x) sin 3x Do đó: sin 3x x = (1 + sin 3x) sin 3x 1 lim (1 + sin 3x) x = lim (1 + sin 3x) sin 3x x →0 x →0 sin 3x 3x sin 3x 3x = e3 §3 Hµm sè liªn tôc D¹ng to¸n 1: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm − D¹ng I Phương pháp áp dụng Cho hµm sè: f (x) x ≠ x f(x) =  f (x) x = x Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0, chúng ta thực theo các bước sau: Bước 1: Tính giới hạn: lim f( x ) = lim f1 ( x ) = L x→ x Bước 2: Bước 3: 230 x→x TÝnh f(x0) = f2(x0) Đánh giá giải phương trình L = f2(x0), từ đó đưa kết luận ThÝ dô a XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè y = g(x) t¹i x0 = 2, biÕt:  x3 − nÕu x ≠  g(x) =  x − 5 nÕu x =  b Trong biểu thức xác định g(x) trên, cần thay số số nào để hµm sè liªn tôc t¹i x0 =  Gi¶i a Ta cã: lim g(x) = lim g(2) = 5, x→ x →2 x3 − = lim (x2 + 2x + 4) = 12, x →2 x−2 nh­ vËy, ta ®­îc lim g(x) ≠ g(2) x→ VËy, hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x0 = b NÕu thay b»ng 12 th× hs sÏ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 = ThÝ dô XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau t¹i ®iÓm x0 = 1:  x2 −1 x ≠  f(x) =  x −  x + a x =   Gi¶i Hàm số xác định với x∈  Ta cã: f(1) = a + 1, lim f (x) = lim x →1 x →1 x2 −1 = lim (x + 1) = 2, x →1 x −1 VËy, ta cã:  NÕu: = a + ⇔ a = ⇔ f(1) = = lim f (x) , x →1 th× hµm sè liªn tôc t¹i ®iÓm x0 =  NÕu: ≠ a + ⇔ a ≠ ⇔ f(1) ≠2 = lim f (x) , x →1 th× hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x0 = D¹ng to¸n 2: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm − D¹ng II Phương pháp áp dụng Cho hµm sè: f (x) x < x f(x) =  f2 (x) x ≥ x 231 Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0, chúng ta thực theo các bước sau : Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Bước 2: (Liên tục trái) Tính : lim f (x) = lim f1 (x) = L1 x → x −0 x → x −0 Đánh giá giải phương trình L1 = f2(x0), từ đó đưa lời kết luận liªn tôc tr¸i Bước 3: (Liên tục phải) Tính : lim f (x) = lim f2 (x) = L2 x → x +0 x → x +0 Đánh giá giải phương trình L2 = f2(x0), từ đó đưa lời kết luận liªn tôc ph¶i Bước 4: Đánh giá giải phương trình L1 = L2, từ đó đưa lời kết luận ThÝ dô Chøng minh r»ng: a Hµm sè: (x + 1)2 víi x ≤ f(x) =  b Mçi hµm sè: x + víi x > g(x) = gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x =   x − víi x ≤ x − vµ h(x) =  − víi x >  x liên tục trên tập xác định nó  Gi¶i a Hàm số xác định với x ∈  Ta cã: lim+ f(x) = lim+ (x2 + 2) = vµ x →0 ⇒ x →0 lim x →0 + f(x) ≠ lim x →0 − lim x →0 − f(x) = lim x →0 − (x + 1)2 = f(x) Tøc lµ, hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = b Hàm số xác định với x ∈  Trước tiên, ta thấy hàm số liên tục với x ≠ XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i ®iÓm x0 = 1, ta cã:  1 = −1, lim+ f(x) = lim+  −  = −1 vµ lim− f(x) = lim− x →1 x →1  x  x →1 x →1 x − f(1) = −1, ⇒ lim+ f(x) = lim− f(x) = f(1) x →1 x →1 Tøc lµ, hµm sè liªn tôc t¹i ®iÓm x = Vậy, liên tục trên tập xác định nó 232 ThÝ dô Cho hµm sè:  x − 3x + x ≠  f(x) =  | x − 1| a x =   Gi¶i a Tìm a để f(x) liên tục trái điểm x = b Tìm a để f(x) liên tục phải điểm x = c Tìm a để f(x) liên tục trên  Ta cã:  x − x >  f(x) = a x = 2 − x x <  a §Ó f(x) liªn tôc tr¸i t¹i ®iÓm x = ⇔ lim− f (x) tån t¹i vµ lim− f (x) = f(1) x →1 x →1 Ta cã: lim f (x) = lim (2 − x) = vµ f(1) = a x →1− x →1− VËy, ®iÒu kiÖn lµ a = b §Ó f(x) liªn tôc ph¶i t¹i ®iÓm x = ⇔ lim+ f (x) tån t¹i vµ lim+ f (x) = f(1) x →1 x →1 Ta cã: lim f (x) = lim (x − 2) = −1 vµ f(1) = a x →1+ x →1+ VËy, ®iÒu kiÖn lµ a = −1 c Hàm số liên tục trên  trước hết phải có lim− f (x) = lim+ f (x) ⇔ = −1 (m©u thuÉn) x →1 x →1 Vậy, không tồn a để hàm số liên tục trên  D¹ng to¸n 3: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn mét kho¶ng Phương pháp áp dụng Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục trên khoảng I, chúng ta thực theo các bước sau : Bước 1: Xét tính liên tục hàm số trên các khoảng đơn Bước 2: Xét tính liên tục hàm số các điểm giao Bước 3: Kết luận ThÝ dô Chøng minh r»ng: a Hµm sè f(x) = x4 − x2 + liªn tôc trªn  b C¸c hµm sè f(x) = x3 − x + vµ g(x) = ®iÓm x ∈  x3 − x2 + liªn tôc t¹i mäi 233  Gi¶i a Hµm sè f(x) lµ hµm ®a thøc nªn nã liªn tôc trªn  b Ta có nhận xét:  Hµm sè f(x) lµ hµm ®a thøc nªn nã liªn tôc trªn   Hàm số g(x) là hàm phân thức nên nó liên tục trên tập xác định (tức là trên  ) ThÝ dô Chøng minh r»ng: a Hµm sè f(x) = − 2x liªn tôc trªn ®o¹n [−2; 2] b Hµm sè f(x) = 1  2x − liªn tôc trªn nöa kho¶ng  ; ∞  2   Gi¶i a Hàm số xác định trên đoạn [−2; 2] Víi x0 ∈ (−2; 2), ta cã: lim f (x) = lim x →x0 x →x0 − 2x = − 2x 02 = f(x0) VËy, hµm sè liªn tôc trªn kho¶ng (−2; 2) Ngoµi ra, sö dông giíi h¹n mét bªn, ta chøng minh ®­îc:  Hµm sè f(x) liªn tôc ph¶i t¹i ®iÓm x0 = −2  Hµm sè f(x) liªn tôc tr¸i t¹i ®iÓm x0 = VËy, hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n [−2; 2] 1  b Hàm số xác định trên nửa khoảng  ; ∞  2  1  Víi x0 ∈  ; ∞  , ta cã: 2  lim f (x) = lim x − = x − = f(x0) x→x x →x 1  VËy, hµm sè liªn tôc trªn kho¶ng  ; ∞  2  Ngoµi ra, sö dông giíi h¹n mét bªn, ta chøng minh ®­îc:  Hµm sè f(x) liªn tôc ph¶i t¹i ®iÓm x0 = 1  VËy, hµm sè liªn tôc trªn nöa kho¶ng  ; ∞    ThÝ dô Chøng tá r»ng hµm sè sau liªn tôc trªn R :   x cos x ≠ f(x) =  x 0 x = 234  Gi¶i Hµm sè f(x) liªn tôc víi mäi x ≠ XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x) t¹i ®iÓm x = Ta cã : x.cos 1   = |x| cos ≤ |x| ⇒ −|x| ≤ xcos ≤ |x| ⇒ lim  x.cos  = x →0 x x  x x  MÆt kh¸c f(0) = Do đó, lim f(x) = f(0) ⇒ hàm số liên tục điểm x = x →0 VËy hµm sè liªn tôc trªn toµn trôc sè thùc R ThÝ dô XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn toµn trôc sè :  x + x x < ax + x ≥ f(x) =   Gi¶i Hàm số xác định với x∈R Khi x < 1, ta cã f(x) = x2 + x nªn hµm sè liªn tôc víi x < Khi x > 1, ta cã f(x) = ax + nªn hµm sè liªn tôc víi x > Khi x = 1, ta cã : lim f(x) = lim (x2 + x) = x →1− x →1− lim f(x) = lim+ (ax + 1) = a + x →1+ x →1 f(1) = a + Do đó :  Nếu a = thì lim f(x) = lim f(x) = f(1) = 2, đó hàm số liên tục x0 = x →1−  x →1+ Nếu a ≠ thì lim f(x) ≠ lim f(x), đó hàm số gián đoạn x0 = x → 0+ x → 0− KÕt luËn : - NÕu a = 1, hµm sè liªn tôc trªn toµn trôc sè - NÕu a ≠ 1, hµm sè liªn tôc trªn (− ∞, 1)∪(1, + ∞) vµ gi¸n ®o¹n t¹i x0 = Dạng toán 4: Sử dụng tính liên tục hàm số chứng minh phương trình có nghiÖm Phương pháp áp dụng Cho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình có k nghiệm [a, b], ta thực theo các bước sau: 235 Bước 1: Chän c¸c sè a < T1 < T2 < < Tk − < b chia ®o¹n [a, b] thµnh k kho¶ng tho¶ m·n : f (a).f (T1 ) <   f (T ).f (b) <  k −1 Bước 2: Kết luận số nghiệm phương trình trên đoạn [a, b] Thí dụ Chứng minh phương trình x5 + x − = có nghiệm trên khoảng (−1; 1)  Gi¶i XÐt hµm sè f(x) = x5 + x − liªn tôc trªn  Ta cã: f(−1).f(1) = −3.1 = −3 < 0, Vậy phương trình có ít nghiệm khoảng (−1; 1) Thí dụ Chứng minh phương trình x2cosx + x.sinx + = có ít nghiÖm thuéc kho¶ng (0; π)  Gi¶i XÐt hµm sè f(x) = x2cosx + x.sinx + liªn tôc trªn (0; π) Ta cã: f(0).f(π) = − π2 < 0, Vậy phương trình có ít nghiệm khoảng (0 ; π) Thí dụ Chứng minh phương trình x3 + x + = có ít nghiệm âm lín h¬n −1  Gi¶i XÐt hµm sè f(x) = x3 + x + liªn tôc trªn  Ta cã: f(−1).f(0) = −1.1 = −1 < 0, Vậy, phương trình có ít nghiệm khoảng (−1; 0), đó nó có ít nhÊt mét nghiÖm ©m lín h¬n −1 Thí dụ Chứng minh phương trình 2x + − x = có ba nghiệm phân biÖt thuéc (−7; 9)  Gi¶i Đặt t = − x Khi đó, phương trình có dạng: 2t3 − 6t + = XÐt hµm sè f(t) = 2t3 − 6t + liªn tôc trªn  Ta cã: f(−2) = −3, f(0) = 1, f(1) = −3, f(2) = 5, 236 suy ra:  f(−2).f(0) = −3 < 0, phương trình có nghiệm t1∈(−2; 0), đó: t1 = − x ⇒ x1 = − t13 vµ t1∈(1; 9)  f(0).f(1) = − < 0, phương trình có nghiệm t2∈(0; 1) , đó: t2 = − x ⇒ x2 = − t 32 vµ t2∈(0; 1)  f(1).f(2) = −15 < 0, phương trình có nghiệm t3∈(1; 2) , đó: t3 = − x ⇒ x3 = − t 33 vµ t3∈(−7; 0) Vậy, phương trình có ba nghiệm trên khoảng (−7; 9) Thí dụ Chứng minh với m phương trình x3 + mx2 − = luôn có nghiệm dương  Gi¶i XÐt hµm sè f(x) = x3 + mx2 − liªn tôc trªn R Ta cã : f(0) = − < lim f(x) = + ∞, tồn c > để f(c) > 0, x → +∞ suy : f(0).f(c) < Vậy phương trình f(x) = luôn có nghiệm thuộc (0, c) ⇔ phương trình luôn có nghiệm dương Tổng quát: Chứng minh phương trình: x3 + ax2 + bx + c = lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiÖm  Chøng minh XÐt hµm sè f(x) = x3 + ax2 + bx + c liªn tôc trªn  NhËn xÐt r»ng: lim f(x) = −∞, tồn x1 để f(x1) < 0, x → −∞ lim f(x) = + ∞, tồn x2 để f(x2) > 0, x → +∞ suy f(x1) f(x2) < Vậy phương trình f(x) = luôn có ít nghiệm D¹ng to¸n 5: Sö dông tÝnh liªn tôc cña hµm sè xÐt dÊu hµm sè Phương pháp áp dụng Sö dông kÕt qu¶: "NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ kh«ng triÖt tiªu trªn ®o¹n [a, b] th× cã dÊu nhÊt định trên (a, b)" ThÝ dô XÐt dÊu hµm sè f(x) = x+4 − 1− x − − 2x 237  Gi¶i ] Giải phương trình f(x) = 0, ta có: f(x) = ⇔ − x + − 2x = Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [−4; x+4 1 − x ≥  ⇔ 1 − 2x ≥ ⇔  1 − x + − 2x + (1 − x)(1 − 2x) = x + x ≤   x ≤   (1 − x)(1 − 2x) =2x + 1  x ≤   − ≤ x ≤ ⇔ 2x + ≥ ⇔  2 ⇔ x =   2x + 7x = (1 − x)(1 − 2x) = (2x + 1)  Như vậy, trên các khoảng [−4; 0) và (0; ] hàm số f(x) không triệt tiêu, đó:  V× f( − 1) = − − < nªn f(x) < víi ∀x ∈ [−4; 0) 1  V× f   = 2 1 > nªn f(x) > víi ∀x ∈ (0; ] 2 − C C¸c bµi to¸n chän läc VÝ dô 1: Chøng minh r»ng d·y sè (uu) víi sè h¹ng tæng qu¸t un =  Gi¶i giíi h¹n Ta cã: (−1) n cos n 1 1 cos n = < < < vµ lim = 0, n +1 n +1 n n n n +1 từ đó suy điều cần chứng minh VÝ dô 2: TÝnh c¸c giíi h¹n sau:  a L = lim  − n → ∞  b L = lim   1    −   −  2    n   n +1 238 + 2 n +1 + n +1 + + n −1   n2 +  (−1) n cos n cã n2 +  Gi¶i a Ta biến đổi: 22 − 32 − n − 1 n +1 1.3 2.4 ( n − 1)( n + 1) = lim = = lim 2 n →∞ n →∞ n →∞ n n n L = lim b Ta cã: n +1 + 2 n +1 + n +1 + + n −1 n +1 (1 + + + n − 1) n +1 n( n − 1) n2 − n = = 2 n +1 2( n + 1) = Từ đó, suy ra: n2 − n L = lim = 2 2( n + 1) VÝ dô 3: Cho d·y sè (un) víi un = a Chøng minh r»ng n 3n u n +1 ≤ víi mäi n un n  Gi¶i 2 b Chøng minh r»ng < un ≤   víi mäi n 3 c Chøng minh r»ng d·y sè (un) cã giíi h¹n a Víi mäi n ta cã: u n +1 n +1 2n  n +1  n  =  n +1  :  n  = ≤ = , ®pcm un 3n 3n   3  b Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh − Học sinh tự làm c Tõ kÕt qu¶ c©u b) ta cã: n n 2 2 un ≤   vµ lim   = 0, 3 3 từ đó suy điều cần chứng minh Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 10 vµ un + = un + víi mäi n ≥ a Chứng minh dãy số (vn) xác định = un − sè nh©n b T×m limun 15 lµ mét cÊp 239  Gi¶i a NhËn xÐt r»ng: 15 15 un + − v n +1 = ⇔ + = = = 15 15 5 un − un − 4 từ đó, suy (vn) là cấp số nhân với công bội q = b Tõ kÕt qu¶ c©u a), ta cã: u n +1 − = v1.q n−1 15 25   = (u1 − ) n −1 =   5 n −1 n −1 15 15 25   ⇒ un = + = +   4 5 Từ đó, ta được:  25   n −1 15  15 limun = lim    +  = 4     VÝ dô 5:  Gi¶i Cho: S = + q + q2 + …, víi q < 1, T = + Q + Q2 + …, víi Q < 1, A = + qQ + q2Q2 + … TÝnh A theo S vµ T Víi gi¶ thiÕt q < 1, Q < suy qQ < Khi đó: T −1 S −1 S= ⇒q= , T= ⇒Q= , 1− Q T S 1− q ST A= = = T S − − S + T −1 − qQ 1− T S VÝ dô 6: 240 Cho tam giác ABC cạnh a Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh ∆ABC, ∆A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh ∆A1B1C1, , ∆An + 1Bn + 1Cn + có các đỉnh là trung điểm các c¹nh cña ∆AnBnCn, Gäi p1, p2, , pn vµ S1, S2, Sn, theo thø tù lµ chu vi vµ diÖn tÝch cña c¸c ∆A1B1C1, ∆A2B2C2, , ∆AnBnCn, a T×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè (pn) vµ (Sn) b TÝnh c¸c tæng: p1 + p2 + + pn + vµ S1 + S2 + + Sn +  Gi¶i a Ta có nhận xét:  Víi d·y sè (pn) th× p2 = 1 p1, p3 = p2 = p1, 2 Từ đó, ta dự đoán được: 3a 3a pn = n −1 p1 = = n − Chøng minh b»ng quy n¹p n −1 2.2 2 Do đó:  n 1 = 3a.lim   = n 2 1 Víi d·y sè (Sn) th× S2 = S1, S3 = S2 = S1, 4 Từ đó, ta dự đoán được: a2 a2 = − Chøng minh b»ng quy n¹p Sn = n −1 S1 = 16.4 n −1 n +1 Do đó: 3a limpn = lim limSn = lim a2 n +1 =a 1 lim   4 n +1 = b Ta có nhận xét:  p1 + p2 + + pn + =  3a < vµ p1 = nªn: 2 D·y sè (pn) lµ mét cÊp sè nh©n cã c«ng béi q = p1 = 3a 1− q a2 < vµ S1 = nªn: 16 a2 S S1 + S2 + + Sn + = = 12 1− q D·y sè (pn) lµ mét cÊp sè nh©n cã c«ng béi q = VÝ dô 7: (§HQG/khèi B − 97): TÝnh giíi h¹n lim − + sin 3x − cos x x→0  Gi¶i Ta cã: − + sin 3x − cos x = = − − sin 3x − cos x (3 − 4sin x)sin x − cos x = = sin 3x − cos x = 3sin x − 4sin x − 4sin x − cos2 x − cos x − cos x = + cos x 3 − 4sin2x 241 Do đó: lim x→0 VÝ dô 8: − + sin 3x − cos x = lim ( + cos x 3 − 4sin2x) = x→0 TÝnh c¸c giíi h¹n sau: 2x − − x x −1 x − 3x − b (§HQG − 98): lim x →1 x −1 a (HVNH − 98): lim x →1  Gi¶i a Ta cã: lim x →1 2x − − x x −1 = lim = lim x →1 x →1 x −1 (x − 1)( 2x − + x ) 2x − + x = b Ta cã: lim x →1  x − 3x + x − 3x − = lim x →1 x −1 (x − 1)(x + 3x − 2) (x − 1)(x + x + x + x + x − 2) = lim x →1 (x − 1)(x + 3x − 2) x5 + x + x3 + x2 + x − = = lim x →1 x + 3x − Nhận xét: Trong ví dụ trên, câu c) để tránh gặp phải đa thức bậc chóng ta cã thÓ thùc hiÖn theo c¸ch: x − 3x − x − + − 3x − = lim x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 − 3x − = lim + lim x →1 x − x →1 x −1 − 3x = lim x + x + + lim x →1 x →1 (x − 1) + 3x − lim ( = − lim x →1 ) + 3x − ( = 3− ) 3 = 2 Ngoài ra, ý tưởng này còn có tên là "Phương pháp gọi số vắng" viÖc t×m giíi h¹n, vµ nã sÏ ®­îc tr×nh bµy ë phÝa sau VÝ dô 9: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x →1 242 x −1 x − +1 b lim x →−1 x + x2 + x + x +1  Gi¶i a Ta cã: lim x →1 x −1 x − +1 = lim x →1 [ (x − 2)2 − x − + 1](x − 1) ( x + x + 1)(x − 1) = lim (x − 2)2 − x − + x →1 x2 + x + = b Ta cã: lim x →−1 x2 + x x +1 x + x2 + x + = lim + lim x →−1 x + x →−1 x + x +1 x +1 = lim + lim x = lim x →−1 x →−1 ( x − x + 1)(x + 1) x →−1 −1=− x − x +1 3 VÝ dô 10: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x →1  Gi¶i a Ta cã: lim x →1 2x − + x − = lim x →1 x −1 b lim x→0 (x + 2004) − 2x − 2004 x 2x − − + x − + x −1 x − +1 2x − − + lim = lim x →1 x → x −1 x −1 §Æt: u =  v = 2x − + x − x −1  u4 − x − = ⇔  x−2 x − = v −  2x − Khi đó: 2(u − 1) 2x − − = = vµ x→1 ⇔ u→1 (u + 1)(u + 1) x −1 u −1 v +1 x − +1 = = vµ x→1 ⇔ v→ − x −1 v +1 v − v + v2 − v + VËy, ta ®­îc: 2x − + x − = lim + lim = lim 2 x →1 u →1 (u + 1)(u + 1) v →−1 v − v + v − v + 10 x −1 b Ta cã: (x + 2004) − 2x − 2004 (x + 2004) − 2x − x − 2004 + x = lim lim x→0 x→0 x x   − 2x − 4008 = lim (x + 2004) + x = − x→0 x   243  NhËn xÐt: Trong ví dụ trên, câu b) chúng ta đã thêm bớt x2 để làm xuất đa thức P(x) = x2 + 2004 tử thức, từ đó làm xuất dạng: n lim x→0 a + ax − = , n x ®©y lµ ®iÓm mÉu chèt cña lêi gi¶i VÝ dô 11: TÝnh giíi h¹n: lim x →1 x x + x + + − − x 3 4 + x − 8− x − 1+ x  Gi¶i Gäi tö thøc lµ T, ta cã: x x x x T = 1+ x 1+ 1+ − 1+ 1+ + 2 3 x x x x + 1+ 1+ − 1+ + 1+ − + − 1− x 3   x x x x = + + ( + x − 1) + +  + −  +     x +  + −  − ( − x − 1)   Gäi mÉu thøc lµ M, ta cã: x x M = + − − − + x     x x =  + −  −  − −  − ( + x − 1)     Ta cã: x x T + x + + − − x 24 T = lim = lim x = = lim x →1 x →1 M x →1 M 5 4 + x − 8− x − 1+ x x 24 VÝ dô 12: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: x3 + x2 − x →1 sin(x − 1) a (§HQG/khèi D − 99): lim x − 4x + x →1 tan(x − 1) b (§HDL H¶i Phßng/Khèi A − 2000): lim 244  Gi¶i a Ta cã: lim x →1 b Ta cã: x + 2x + x3 + x2 − (x − 1)(x + 2x + 2) = lim = lim = x →1 x →1 sin(x − 1) sin(x − 1) sin(x − 1) x −1 x − 4x + (x − 1)(x − 3) x−3 = −2 = lim = lim x →1 tan(x − 1) x →1 x → tan(x − 1) tan(x − 1) x −1 lim VÝ dô 13: (§HAN/Khèi A − 2000): TÝnh giíi h¹n: L = lim x→0 98  − cos3x cos5x cos7x   83  sin 7x   Gi¶i Ta cã: − cos3xcos5xcos7x = − (cos8x + cos2x)cos7x (cos8x cos7x + cos2xcos7x) = − (cos15x + cosx + cos9x + cos5x) = [(1 − cos15x) + (1 − cosx) + (1 − cos9x) + (1 − cos5x)] 9x x 5x  1 15x 2 =  2sin + 2sin + 2sin + 2sin  4 9x x 5x   15x 2 =  sin + sin + sin + sin   =1− Do đó: x 9x 5x  98  15x  sin + sin2 + sin2 + sin2   x → 83 2 sin 7x   x 15x  sin 2 sin 15 98     + lim  + =     83 x →   15x 2   x 2  2      L = lim 9x +  9x      sin  5x 2 9    (7x)   +  2  2  5x     sin 7x (7)       sin 245 2  15 2 98 1 9 5  = lim  +   +   +    = 83 x →   2 2    (7)  NhËn xÐt: Nh­ vËy, thÝ dô trªn thùc chÊt chóng ta chØ cÇn sö dông c«ng thức biến đổi tích thành tổng và công thức góc nhận đôi cos Tuy nhiªn, c¸c em häc sinh cÇn thËn trong tÝnh to¸n VÝ dô 14: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a (§HHH/§Ò − 97): lim − cos x − cos x + tan x − + sin x b (§HHH − 2000): lim x→0 x3 x→0  Gi¶i a Ta cã: lim x→0 − cos x − cos x = lim x→0 − cos x (1 − cos x )(1 + cos x ) = lim x→0  x  x   sin 2   x      = lim x→0   x    sin x   2 2sin    x x (1 + cos x )    1  = x  + cos x      2sin b Ta cã: lim x→0 + tan x − + sin x tan x − sin x = lim 3 x → x x ( + tan x + + sin x ) x = lim = lim x→0 x→0 x ( + tan x + + sin x ) x ( + tan x + + sin x )  tan x sin (x / 2)  1 = = lim  x→0  x ( x / ) + tan x + + sin x  tan x(1 − cos x) tan x.sin  NhËn xÐt: Nh­ vËy, lêi gi¶i cña vÝ dô trªn chóng ta cÇn thùc hiÖn phÐp nhân liên hợp trước sử dụng các phép biến đổi lượng giác để chuyÓn chïng vÒ d¹ng c¬ b¶n Víi giíi h¹n d¹ng: lim x →x0 246 f1 (x) − f2 (x) , đó f1(x0) = f2(x0) = c và g(x0) = g(x) Ta lùa chän mét hai c¸ch: C¸ch 1: (ChÌn h»ng sè v¾ng): Ta thùc hiÖn viÖc thªm h»ng sè v¾ng c (víi f1(x0) = f2(x0) = c) vµo biÓu thøc cña giíi h¹n, ta ®­îc: f (x) − c + c − f2 (x) f (x) − c c − f2 (x) = lim + lim lim x→x x → x x → x g(x) g(x) g(x) 0 C¸ch 2: (ChÌn hµm sè v¾ng): Ta thùc hiÖn viÖc thªm hµm sè v¾ng f(x) (víi f(x0) = c) vµo biÓu thøc cña giíi h¹n, ta ®­îc: f (x) − f(x) + f(x) − f2 (x) lim x→x g(x) f(x) − f2 (x) f (x) − f(x) + lim = lim x→x x→x g(x) g(x) 0 VÝ dô 15: (§HQG/Khèi A − 97): TÝnh giíi h¹n lim x→0 1+ x − 8− x x  Gi¶i Ta cã: lim x→0 1+ x − + − 8− x 1+ x − 8− x = lim x→0 x x  2( + x − 1) 2− 8−x  = lim  +  x→0 x x     = lim  x→0  x (   13 +  = 1+ x +1 x  + − x + (8 − x)2   12   2x x ) VÝ dô 16: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim x →1 x + − 2x tan(x − 1) b (§HTM − 99): lim x→0 + x − cos x x2  Gi¶i a Ta cã: x + − 2x x −1 −4x − −4x + x + = lim = lim x →1 tan(x − 1) x →1 x →1 tan(x − 1) x + + 2x ( x + + 2x) tan(x − 1) =− b Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã: lim lim x→0 + x − cos x = lim x→0 x2 ( + x − cos2 x ) + x + cos x x = lim x→0 ( x + sin x ) + x + cos x x 247 = lim x→0 C¸ch 2: Ta cã: + x − cos x = lim x→0 x2 lim x→0      sin x   +  = x  + x + cos x   x  2sin  1 + x − 1 − cos x   = + = lim  +  2 2 x →  x x  1+ x +1 x  4    2   VÝ dô 17: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: a lim (x + 2) x →+∞  Gi¶i x −1 x3 + x b lim x x →−∞ 2x + x x5 − x + a Ta cã: lim (x + 2) x →+∞ (x − 1)(x + 2) x −1 = = lim lim x →+∞ x → +∞ x3 + x x3 + x    1 − 1 +   x  x  = 1 1+ x b Ta cã: 2+ x (2x + x) 2x + x x =− = − lim lim x = − lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ x5 − x + x − x2 + 1− + x x π  VÝ dô 18: TÝnh giíi h¹n limπ  − x  tanx x→ 2   Gi¶i π π π − x suy x = − t NhËn xÐt x → th× t → 2 VËy, ta ®­îc: cos t π  π  = lim  − x  tanx = lim t.tan  − t  = lim t.cott = lim t π t → t → t →  sin t x→    §Æt t = x+2 VÝ dô 19: (HVKTMM − 99): TÝnh giíi h¹n L = lim   x →∞  Gi¶i Ta biến đổi: x +1 x +1   x+2 = 1 +  ,   x +1   x +1  248  x +1 x +1 đặt 1 = ⇔ x = t − t x +1 NhËn xÐt x → ∞ th× t → ∞ VËy, ta ®­îc: x+2    x +1  Do đó: x +1  1 = 1 +  t  x+2 lim   x →∞  x +1  x +1 ( t −1) +1  1 = 1 +  t   1 = lim  +  t →∞ t  t t −1 t t t −1 t = e2 VÝ dô 20: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn toµn trôc sè:  x + x x < ax + x ≥ f(x) =   Gi¶i Hàm số xác định với x∈  Khi x < 1, ta cã f(x) = x2 + x nªn hµm sè liªn tôc víi x < Khi x > 1, ta cã f(x) = ax + nªn hµm sè liªn tôc víi x > Khi x = 1, ta cã: lim f(x) = lim (ax + 1) = a + lim f(x) = lim (x2 + x) = ; x →1− x →1− x →1+ x →1+ f(1) = a + Do đó:  Nếu a = thì lim f(x) = lim f(x) = f(1) = 2, đó hàm số liên tục x0 = x →1−  x →1+ Nếu a ≠ thì lim f(x) ≠ lim f(x), đó hàm số gián đoạn x0 = x → 0+ x → 0− KÕt luËn:  NÕu a = 1, hµm sè liªn tôc trªn toµn trôc sè  NÕu a ≠ 1, hµm sè liªn tôc trªn (− ∞, 1)∪(1, + ∞) vµ gi¸n ®o¹n t¹i x0 = Ví dụ 21: Chứng minh với m phương trình: 1 − =m cos x sin x  Gi¶i (1) lu«n cã nghiÖm π , víi k∈  Biến đổi phương trình dạng: sinx − cosx − msinx.cosx = §iÒu kiÖn x ≠ XÐt hµm sè f(x) = sinx − cosx − msinx.cosx liªn tôc trªn ®o¹n π 249 Ta cã: π π f(0) = − < vµ f   = > ⇒ f(0).f   = − <   2  π Vậy phương trình f(x) = luôn có nghiệm thuộc  0;   2  π ⇔ phương trình (1) luôn có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 VÝ dô 22: XÐt dÊu hµm sè f(x) = + cosx − 2tan  Gi¶i x trªn (0; π) Hµm sè f(x) liªn tôc trªn (0; π) Giải phương trình f(x) = với ẩn phụ t = tan x − t2 , suy cosx = , ta cã: + t2 − t2 − 2t = ⇔ 2t3 − t2 + 2t − = ⇔ (t − 1)(2t2 + t + 3) = + t2 x π ⇔ t = ⇔ tan = ⇔ x = 2 π π Như vậy, trên các khoảng (0; ) và ( ; π) hàm số f(x) không triệt tiêu, đó: 2 π π    V× f   = + − > nªn f(x) > víi ∀x ∈ (0; ) 2 3 π  2π   V× f   = − − < nªn f(x) < víi ∀x ∈ ( ; π) 2   2+ 250