Ghi chú: ếu thí sinh có cách giải khác nhưng vẫn đúng thì ban giám khảo cần thảo luận thống nhất biểu điểm và cho điểm phù hợp với thang điểm..[r]
(1)http://edufly.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) a) iải phương trình: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 Ngày thi : 02/10/2013 Môn thi : TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 3x x 2x x 8 x 3x 13x 15 y3 y (x, y ) b) iải hệ phương trình: 2 y 5y (x 2x 2) Câu (4,0 điểm) 2014 u1 2013 a) Cho dãy số (un) xác định bởi: 2u n 1 u n 2u n , n * 1 Đặt Sn Tính: limSn u1 u un b) Tìm tất các hàm số f liên tục trên thỏa mãn: f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y), x, y đó là số thực cho trước Câu (5,0 điểm) a) Cho tam giác phẳng chứa tam giác C có diện tích ọi M là điểm nằm mặt C Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T MA.h a MB.h b MC.h c (với ha, hb, hc là độ dài các đường cao vẽ từ , , C) b) Cho tam giác C có hai đỉnh , C cố định và đỉnh thay đổi ọi và là trực tâm và trọng tâm tam giác C ọi E là điểm đối xứng với qua Tìm tập hợp các điểm , biết điểm E thuộc đường thẳng C Câu (3,0 điểm) a) Tìm tất các số nguyên dương a, b, c cho: 3 a + 2b = c và a + 8b = c b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0) Chứng minh f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a Câu (3,0 điểm) TRUNG TÂM 130 EDUFLY oàng ăn Thái, Thanh Xuân, à ội Hotline: 0968 58 28 38 (2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = Chứng minh với k *, ta có: a2 k (a b)(a b2 )(a b4 ) (a k 1 b2 k 1 b2 k ) (b c)(b2 c2 )(b4 c4 ) (b2 k 1 c2 k 1 c2 k ) (c a)(c2 a )(c4 a ) (c2 k 1 a2 k 1 ) 2k 1 - ết - (3) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT Câu 5.0 a) Giải PT: 3x x 2x x (1) + Điều kiện: x (*) Khi đó: 2x (1) (2x 3)(x 1) 3x x (2) 2x x (3) 3x x (2) x = 3/2 (thỏa (*)) Vì x nên < và x + > 3x x (3) vô nghiệm ậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3/2 8 x 3x 13x 15 y y b) Giải hệ PT (I): 2 y 5y (x 2x 2) + Điều kiện: y ≠ (*) Khi đó: 2 (x 1)(x 2x 15) y y (I) 1 5[(x 1) 1] y2 a(a 16) b b 2 1 b 5(a 1) a b3 16a 4b 2 b 5a (1) a3 – b3 = (b2 – 5a2)(4a – b) 21a3 – 5a2b – 4ab2 = 2 1.0 uk 1 u k u k (u k 2) u k u k (u k 2) = u k 2u k 1 u k u k 1 0.25 0.25 0.25 u n 1 (u n2 0.5 u1 > 1.CM: 2u n ) / 1, n N* 0.25 un > 1, n N* 0.25 Ta có: u n 1 u n u n / 0, n N* (un) tăng 0.25 0.25 iả sử (un) bị chặn trên thì (un) tồn giới 0.25 hạn hữu hạn: limu = a (a ≥ 1) n 2a=a2 + 2a a = Mâu thuẫn với a≥1 0.25 2.5 limun = + lim(1/ u n 1) 0.25 ậy: limSn 1/ u1 2013/ 2014 0.25 b) f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y), x,yR (1) 2.0 Trong (1), thay x y 3x ' y ' ta được: 0.25 3x ' y ' , x’, y’R f (3x ' y ' ) 2f 3x y , x, yR (2) f (3x y ) 2f Từ (1) và (2) suy ra: f x y f x f y ,x,yR (3) 0.25 2 0.25 0.25 0.25 Thay x = 0, y = vào (3) ta được: f(0) = 3f(0)/2–f(0)/2 f(0) = b, b tùy ý (3) f x y f (0) = 2.0 0.25 S 1/ u 1/ u n n 1 2 a = a b a 4b 4.0 2014 , 2u n 1 u n2 2u n , n N * 2.5 a) u1 2013 ới k N*, ta có : 0.25 Đặt a = x + 1, b (b ≠ 0), hệ trên trở thành: y Câu 0.25 [f x f (0)] [f y f (0)] , 2 x,yR 0.25 Đặt g(x) = f(x) – f(0), ta có: g(0) = và: 0.25 3 g x y g x g y ,x,yR 2 2 0.25 3 g x g x , g y g y ,x,yR 0.25 2 + Thay a = vào (1) b = và tìm hai nghiệm (–1 ; –1), (–1 ; 1) 0.25 g x y g x g y ,x,yR b 2 2 + Thay a vào (1) b = và tìm g(x+y) = g(x) + g(y),x,yR hai nghiệm (–2 ; 2/3), (0 ; – 2/3) ì g liên tục trên R nên: 0.25 g(x) = ax, xR, với g(1) = a (a tùy ý) 0.25 0.25 (4) f(x) = ax + b, xR (4) (với a, b tùy ý) 0.25 Thay (4) vào (1) ta được: b = a ậy f(x) = ax + a, với a tùy ý 0.25 + Thay a 4b vào (1) : 31 b (vô nghiệm) 49 Kết luận đúng Câu a) T MA.h a MB.h b MC.h c 5.0 3.0 Ta có: h a 2S , h b 2S , h c 2S a a b b c c T MA.GA MB.GB MA.GC b.GB c.GC a.GA MA.GA MB.GB MA.GC 3 b.mc c.mc a.ma 1 a.ma a 2b2 2c2 a 3a (2b2 2c2 a ) 2 a.ma a b2 c2 Tương tự T b.mb a b c2 a b c2 , c.mc 3 (MA.GA MB.GB MC.GC) (1) a b2 c2 Đẳng thức xảy a = b = c MA.GA MB.GB MC.GC MA.GA MB.GB MC.GC (MG GA)GA (MG GB)GB (MG GC)GC a b c2 GA GB2 GC2 (ma2 m2b mc2 ) (2) Đẳng thức xảy MA, GA cùng hướng, MB, GB cùng hướng, MC, GC cùng hướng M trùng G Từ (1) và (2) suy ra: T ậy minT b) C và M trùng 0.25 Câu a) a + 2b = c (1), a3 + 8b3 = c2 (2) 3.0 2.0 0.25 2 0.25 (2) (a + 2b)(a – 2ab + 4b ) = c (3) Từ (1) và (3) suy ra: 2 0.25 (2) a 2– 2ab + 4b = (a2+ 2b) 4b – 2(a + 1)b + a – a = (4) 2 0.25 ’ = (a + 1) – 4(a – a) = –3a + 6a + (4) có nghiệm ’ ≥ 3a2 – 6a 3(a – 1)2 a = a = (vì a N*) 0.25 + a = b = 1, c = + a = b = 1, c = ậy (a;b;c) =(1;1;3) (a;b;c) =(2;1;4) b) 0.25 iả sử: f (x) a n x n a n 1x n 1 a1x1 a 0,25 Ta có: f(a + b) – f(a) = 0.25 = a [(a+b)n a n ] a [(a+b)n 1 a n 1]+ +a b n n 1 0.25 n 1 n 2 n 2 n 1 a n b[(a+b) 0.25 +a n 1b[(a+b) a(a+b) n 2 a(a+b) + +a n 3 + +a (a b) a n 3 (a b) a 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 ] n 2 ] 0.25 Suy ra: f(a + b) – f(a) chia hết cho b 0.25 Mà f(a+b) chia hết cho b nên f(a) chia hết cho b Tương tự, f(b) chia hết cho a 0.25 Câu 0.25 Đặt P là vế trái ĐT đã cho và : 2.0 0.25 0.25 + +a1b 3.0 y C H A G O E x B (5) Xây dựng hệ tọa độ hình vẽ Đặt C = 2b (b>0), ta có: B(0 ; –b), C(0 ; b) iả sử (x0 ; y0) (x0 ≠ 0) Ta có: G(x0/3; y0/3) Tọa độ điểm là nghệm hệ phương trình: y y0 x x (y0 b)(y b) b H x0 E là điểm đối xứng với qua y0 ; y0 2x b y02 x E 2x G x H x0 y 2y y y / G H E E BC xE = 2x b 2x 02 3y02 3b Suy tập hợp các điểm x 2 3b / y b2 y02 x0 x 02 3b / a2 0.25 b2 k 1 b2 ) (b c)(b2 c2 ) (b k 1 a b2 0.25 a2 k c2 a k 1 k 1 ậy tập hợp các điểm là elip có trục nhỏ C, trục lớn có độ dài 3/ 2.BC , loại trừ , C ) 0.5 b2 k 1 b2 c2 k ) (b c)(b2 c2 ) (b2 k 1 c2 k 1 ) 0.25 a2 k 1 ) 0.25 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 2(a4 + b4) ≥ (a2 + b2)2 …………………… k 1 k a b2 k 1 b2 k (a b)(a b2 ) (a 0.25 ) Ta có: k loại trừ điêm , C k 1 k (c a)(c2 a ) (c k 0.25 k 1 k 2(a b2 ) (a mp Oxy là elip: c2 k (a b)(a b2 ) (a 0.25 1 k 1 0.5 k 0.25 k Ta có: P – Q = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 2P P Q 0.25 k 1 c2 k (c a)(c2 a ) (c 0 y02 k (a b)(a b2 ) (a và khi: 0.25 b2 Q k 1 b2 k 1 ) )2 0.5 ab 2k Tương tự với các số hạng khác P+Q, suy 0.5 a b bc ca ra: 2P k k k 2 P a bc 2k 33 abc 2k 0.25 2k 1 0.25 Đẳng thức xảy và a = b = c = Ghi chú: ếu thí sinh có cách giải khác đúng thì ban giám khảo cần thảo luận thống biểu điểm và cho điểm phù hợp với thang điểm (6)