ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 9_2010-2011

Thời gian 150 phút Người thực hiện : Nguyễn Thanh Tuyền *Ma trận đề kiểm tra :.. Chủ đề chính Vận dụng Tổng[r]

PHỊNG GD-ĐT ĐƠNG HÀ Trường THCS Nguyễn Du -

-ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011

Mơn Tốn Thời gian 150 phút Người thực hiện: Nguyễn Thanh Tuyền *Ma trận đề kiểm tra :

Chủ đề chính Vận dụng Tổng

1)Phân tích ĐT thành nhân tử, biến

đổi đồng 1 1

2) Bất đẳng thức

2 2 3)Phép chia hết, phép chia có dư

1 1 4)Số phương

1,5

2 1,5 5)Phương trình nghiệm nguyên

1,5 1,5 6)Diện tích tam giác, tam giác

đồng dạng 3 3

Tổng 10

10 10 10

Câu 1: (1đ)

Cho số x, y, z khác không thoả mãn

2010

1 1

2010 x y z

x y z    

 

   



Chứng minh số x, y, z tồn số đối

Câu 2: (1đ) Cho n  N* Chứng minh :

1

1

n

n

 

 

   

Câu 3: (1đ) Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ

xy yz zx

A

z x y

  

Câu 4: (1đ) Chứng minh :P4n36n23n 17 không chia hết cho 125, n N Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n cho 3n 55 số phương.

b) Cho a + 1 2a + 1 (a  N) đồng thời hai số phương Chứng minh a chia hết cho 24

Câu 7: (3đ) Cho tam giác ABC với tâm O Gọi M điểm bên tam giác ABC Kẻ MH BC MK, AC MI, AB

a) Chứng minh rằng: MH + MK + MI = h ( h chiều cao tam giác ABC) b) Đường thẳng MO cắt cạnh BC, CA, AB A’, B’, C’

Chứng minh rằng:

' ' '

3

' ' '

MA MB MC OA OB OC  .

-Hết -ĐÁP ÁN

Câu 1: Từ

2010

1 1

2010 x y z

x y z           

1 1 1 1

0

x y z x y z x y z x y z

   

         

       

( ) ( ) ( )  x y x y

x y z x y z xy xy z x y z

 

        

 

 (x y zx zy z )   2xy  0 (x y z x z ) (  )y x z(  ) 0

0

( )( )( ) 0

0

x y x y

x y y z z x y z y z

z x z x

                         

Vậy số x, y, z tồn số đối

Câu :

 Với n = 1, ta có :

1

1

1

 

    

  (đúng)

 Với n  2, ta có :

1 ( 1) ( 1)( 3) ( 1)( 2) 2.1

1

2! 3! !

n

n

n n n n n n n n

n

n n n n n n

                 

1 1 1

2! 3! n!

 

      

 

Mặt khác:

1 1 1 1

1

2! 3!  n! 1.2 2.3 (n1)n   n 

Vậy 1 n n      

  (đpcm)

Câu 3:

Vì x > 0, y > 0, z > nên 0,0,0

xyyzzx zxy



Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có :

xy yz xy yz

y

2

yz zx yz zx

z

x  y  x y  (2)

2

zx xy zx xy

x

y  z  y z  (3)

Từ (1), (2), (3) 

2 xy yz zx 2(x y z)

z x y

 

     

 

  (vì x + y + z = 1)

 2A   A 

Vậy Min A = 

1

xy yz zx

x y z

z  x  y    

Câu 4:

Giả sử tồn n  N cho P4n36n2 3n17  125  P   2P2(4n36n23n17) (2 n1)3 35 5

 (2n1) 53  2n1 5  2n 1 ,k k N  k lẻ

Đặt k = 2m + 1, m  N ta có : 2n = 5(2m + 1) –  n = 5m + 2

Khi :P4(5m2)36(5m2)2 3(5m2) 17 125(4  m36m23 ) 45m  không chia hết cho 125, trái với điều giả sử

VậyP4n36n23n 17 không chia hết cho 125, với n N Câu 5:

a) Đặt 3n 55a2, với a  N (1)

Từ (1)  a chẵn  a2 0(mod 4) 3n 1(mod 4) (2) Mặt khác: 31(mod 4) 3n  ( 1) (mod 4)n (3) Từ (2) (3)  n chẵn  n = 2m, (m  N)

pt (1)  a2 (3 )m 55 (a )(m a3 ) 55m  (*)

Vì 0a 3m  a 3mnên từ (*) 

3 11

3 3

3 27

3 55

m

m m

m m

m

a

a m

m a

a      

     

 

   

  

    

 

   

 Với m =  n =  3n55 3 55 64 8   Với m =  n =  3n55 3 55 784 28  Vậy n2;6 3n 55 số phương

b) Đặt a + = k2, 2a + = m2 , (k, m

 N)

Vì 2a + 1 lẻ nên m2 lẻ  m lẻ  m = 2t + 1, (t

 a + 1 lẻ  k2 lẻ  klẻ  k = 2n + 1, (n

 N)

Do từ a + = k2  a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1)  8 (1)

Mặt khác: k2 + m2 = a + + 2a + = 3a + 2(mod 3)

 k2 m2 1(mod 3) m2  k2  a 0(mod 3) hay a3 (2) Từ (1) (2)  a(3.8), (vì (3; 8) = 1)

Vậy a chia hết cho 24

Câu 6: a) x4 x2  1 y2 (1)

Ta có x2  0 x  ( )x2 x4 x2  1 (x2 1)2 Do từ (1) ( )x2  y2 (x2 1)2 (*)

Vì x2và x2 + 1 số tự nhiên liên tiếp nên từ (*) y2 (x2 1)2

 (x21)2 x4 x2 1 x2  0 x0  y2  1 y1

Vậy pt cho có nghiệm nguyên : (0 ; 1), ( ; -1) b) 2x 3y  1 2x 3 y (1)

Từ (1)  2x > 1  x >  y 0

 Xét y số chẵn : Ta có : 31(mod 4) 3y  ( 1) (mod 4)y  3y 1(mod 4) (vì y chẵn)

Do từ pt(1)  2x 2(mod 4) x =  y =

 Xét y số lẻ : đặt y = 2m + 1, (m  N) Ta có : 3y 32m1 3.9m 3(mod8) Do từ pt(1)  2x 4(mod8) x =  y =

Vậy pt cho có nghiệm nguyên : (1; 0), (2; 1)

Câu 7:

Chứng minh:

a) Ta có: SABC SMBCSMCASMAB

1 1

2 BC h BC MH AC MK AB MI

   

 BC h (MH MK MI BC  )  MH MK MI  h (đpcm) b) Từ O kẻ OH'BC OK, 'AC OI, 'AB Theo kết câu a ta có:

OH’ + OK’ + OI’ = h

Mà O tâm tam giác ABC nên:

1

' ' '

3 OH OK OI  h

H C'

K

I B'

A'

I'

H'

K' O

A

B C

Ta có: MH // OH’ nên: '

' '

MA MH

OA OH (1) OK’ // MK nên:

'

' '

MB MK

OB OK (2) IM // OI’ nên:

'

' '

MC MI

OC OI (3) Cộng (1), (2) (3) theo vế ta có:

' ' '

' ' ' ' ' ' '

MA MB MC MH MK MI MH MK MI

OA OB OC OH OK OI OH

 

     

(vì OH’ = OK’ = OI’)

3 h

h

 

Vậy

' ' '

3

' ' '

MA MB MC

OA OB OC  (đpcm)