bài tập phương trình và hệ phương trình 10

bài tập phương trình và hệ phương trình 10 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) Đề xuất: Với a ,b,c >0 14) Đề xuất : (Với a + 2 < b ) 15)

Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 & HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYỂN CHỌN 100 BÀI PHƯƠNG TRÌNH Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5x + 14 x − − x − x − 20 = x + 2) x − 15x + 45x − 27 = 11 25 − =1 3) x ( x + 5) 1) 4) ( x − 2)( − x ) + x − + 4 − x + 6x 3x = x + 30 x − xy + 2000 y = 5)   y − yx − 500x = 6) 27 x 10 − 5x + 864 = x2 + x −1 + − x2 + x +1 = x2 − x + 12x − 48x + 64 = y  8) 12 y − 48 y + 64 = z  12z − 48z + 64 = x x 19 + y = 1890z + z 2001  19 2001 9)  y + z = 1890 x + x  19 2001 z + x = 1890 y + y 7) 2 x + = y + y + y  10) 2 y + = z + z + z  2z + = x + x + x 11) ( x − 18)( x − )( x + 35)( x + 90 ) = 2001x 12) ( 2001 − x ) + ( 2003 − x ) = 2000 − x 2x + x 13) = x 1+ x2 a − bx ( b + c ) x + x Đề xuất: Với a ,b,c >0 = cx a + x2 14) x − + − x = x − 5x − Đề xuất :  b2 − a b−a  a +b  b−a x −  x − a + b − x = ( b − a ) x −  − −      2 (Với a + < b ) 15) 3x − x + 2001 − 3x − x + 2002 − x − 2003 = 2002 Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10  8x + 2001  16)   2002  = 4004x − 2001   ( x − a )( x − b ) + ( x − c )( x − b ) + ( x − a )( x − c ) = 17) c( c − a )( c − b ) a ( a − c )( a − b ) b( b − a )( b − c ) x Trong a;b;c khác khác khơng ( 18) x = − 1978 − 1978x ( ) 19) x x − = 20) ) 2 x + x + + x + 3x = x 21) − x + x + x − + − x − = 2  22) − x =  − x  3  2 23) x − = 24) + − x 25) − x3 [ (1 + x ) (1 − x ) − ]= 2+ 1− x2 36 + = 28 − x − − y − x−2 y −1 26) x − 10 x − 2( a − 11) x + 2( 5a + ) x + 2a + a = 27) Tìm m để phương trình : (x ) − ( x + 3)( x + 5) = m có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn 1 1 + + + = −1 x1 x x x x − x + x y =  28)  y − y + y z = Tìm nghiệm dương phương trình  z − z + 2z x = 29) 18x − 18x x − 17 x − x − = 30) 17 − x − x − = 31) x + − x = x 2 − x x + y + z = 8( x + y + z ) 32)  xyz = ( 33) 19 + 10 x − 14 x = 5x − 38 34) x 6125 210 12x + + − =0 x x ) x2 − Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10  y − 6x + 12 x − =  35) x − 6z + 12z − =  z − y + 12 y − = 36) x + x + x + x + 18 = 168x ( )( ) 37) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ( x + y ) = 256  x + y = m + 38) x = − x − x + − x − x + − x − x 2 39) + x = x+9 x +1 a Đề xuất: + x = x + a +1 (a > 1) x +1 40) 13 x − + x + = 16 x 28 27 41) 27 x + 24 x + = 1+ x+6 42) 5x − + − x = x + 3x − x + y + z =  43)  x y z x+y y+z y + z + x = y + z + x + y +1  44) x − 3x + ( x + 2) − 6x = a b  − = c − xz x z b c 45)  − = a − xy Trong a;b;c ∈ R *+ y x c a  − = c − yz z y ( )( ) 46) x − 12 x − 64 x + 30 x + 125 + 8000 = 47) ( x − ) x − − 2x + =  x + x + + x n = n 48)   x + + x + + + x n + = 3n Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 49) Cho hệ phương trình: n ∑ x i = n i =1 ; b > CMR:Hệ phương trình có nghiệm n ∑ x + b − = bn  i =1 i x1 = x2 = = xn = 50) 3−x =x 3+x Tổng quát: bx + c = x px + q với a; b; q; p∈ R & q = −3pb )( ) Tổng quát: ax = ( b + c x )(d − ( 51) x = 2004 + x 1− 1− x d2 − e x số cho trước 52) x − x − 10 = ) với a;b;c;d;e 8x − 6x − 10 x ( + 3y ) = 53)  x y − = x + 3xy = −49 54)  x − 8xy + y = y − 17 x ( ) 55) 16 x + = x + x ( ( ( ) ) ) x ( x + 1) = y − x +  56)  y ( y + 1) = z − y +  z ( z + 1) = x − z + 57) 3x + + − x + x − − x − = Tổng quát: a x + b1 + a x + b + a x + b = ( a + a + a ) x + b1 + b + b x + y = 58)   y + x = x k +3 + y = ( k ∈ N) Tổng quát:   y k +3 + x = 59) x − x − 1000 + 8000 x = 1000 60) x + + x − = 61) Tìm nghiệm dương phương trình: 2x + x −1 1 = 1− + x − x x x Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 x + x (1 − x ) + (1 − x ) = − x + x + x (1 − x ) 62) ( ) 63) x + 3 = 81x − 27 x2 −1 65) x − 3x + = x +  y − 9x + 27 x − 27 =  66) z − y + 27 y − 27 =  x − 9z + 27 z − 27 = 64) x + − x − = ( ) ( ) ( ) 15 30x − 4x = 2004 30060 x + + 68) 5x + 14 x + − x − x − 20 = x +  y 30 + y = 2004  x  z 69) 30 + 4z = 2004  y  x 30 + 4x = 2004  z 67) x + 15 = 3 x − + x + 70) 71) x − 3x − 3x + 3=0  y − 6x + 12 x − =  72) z − y + 12 y − =  x − 6z + 12z − = 73) 3x − x + 2002 − 3x − x + 2003 − 5x − 2004 = 2003 74) x + = 3 3x − 75) x − x + = x + Bài tập tương tự: a) 20 x + 52 x + 53 = x − b) − 18x + 17 x − = − 5x c) 18x − 37 x + = 14 x + 4x + = 7x + 7x 28 d) 76) x + 332 x + 3128 = 316 x +1 Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 77) Cho < a < c < d < b ; a + b = c + d GPT: x + a + x + b2 = x + c2 + x + d2 78) x − x + = 2x − 5x + + − 3x + 9x − 2 x + x y = y  79) 2 y + y z = z  2z + z x = x 80) x − x + 19 + x + 8x + 13 + 13x + 17 x + = 3 ( x + 2) 81) − x + 4x + + x + y − y − = x − 16 + − y x − 8x + 816 + x + 10x + 267 = 2003    1 1 1  3 x +  = 4 y +  = 5 z +  x y z 83)     xy + yz + xz =1   x + 21 = y − + y 84)   y + 21 = x − + x 82) 85) − x = x − 3x 86) x + x + − x − x − = m Tìm m để phương trình có nghiệm 87) Tìm a để phương trình có nghiệm + x + − x − + 2x − x = a x + y + z =  2 88) x + y + z = 10  7 x + y + z = 350  x + 30.4 + y − 2001 = 2121 89)   x − 2001 + y + 30.4 = 2121 ( 90) ( ) ( x + − = x + 3x + x + ) 91) x + − x + = ) Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10  2 x + y + z =    92) xy + yz + xz = −   xyz =  x + x − y 9x =   x − x2 − y2 93)   x + 3x  y = 6( − y )  x + x + x + 3x + 94) + = x + 2x + x + 4x + 25 1369 + + = 86 − x − − y − − z − 606 95) x −5 y−3 z − 606 96) 10 + =4 2−x 3− x 97) x − x + + x − x + − x − 13x − 12 = 98) x − 6 x + − = 99) x − 3x + = − 100) x4 + x2 +1 1+ x3 = x2 + 10 Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT 1) ĐK: x ≥ Chuyển vế bình phương: (x 5x + 14x + = x + 24x + + 10 (x ) (x − 4x − ( x + ) ⇔ 2(x − 4x − 5) + ( x + ) = ( ) − x − 20 ( x + 1) ( x − ) ( x + ) ( x + 1) ⇔ 4x − 10x + = 10 ⇔ 2x − 5x + = ) ) − 4x − ( x + ) u= x − 4x − →   v = ( x + ) ( x + 3) x − 3x − 6x + 18x − = ( ) 2) GPT : x − 3x − 6x + 18x − = x − 3x ( x − 1) − ( x − 1) = Đặt: x- = y 3) ⇒ x − 3x y − 9y = ⇒ 2x = 3y ± 3y ĐK: x ≠ 0; x ≠ −5 Đặt x+5 = y ≠ → x = ( y − ) PT ⇔ y − 10y3 + 39y − 250y + 625 =   625  25  ⇔  y + ÷− 10  y + ÷+ 39 = y y    4) ĐK: ≤ x ≤ 4 Áp dụng Cauchy: Áp dụng Bunhia: ( ) ( (x − 2) ( − x ) ≤ 6x 3x = 27x ≤ 27 + x x −2 + 4−x  x x − y = −2000y ( 1)  5)  2 − y x − y = 500x ( ) Nếu x = ⇒ y = ⇒ ( 0;0 ) n o ( ( x − 2) + ( − x ) ) 11 ) ≤2 =1 Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 Nếu x ≠ 0.Rút x − y từ (1) vào (2) ta có: y ≠  −2000y  −y  = 500y ⇒  ÷  x   x = 4y 6) 27 x 10 − 5x + 864 = Vì x = khơng nghiệm pt nên chia vế cho x6 ta pt: 32.27 =5 x6 x + = 5.5 27 x 27 x + x4 x4 x4 1 Áp dụng CauChy: x + = + + + + ≥ 5.5 3 x 27 x x 7) x2 + x −1 + − x2 + x + = x2 − x + x + x − ≥ ĐK:  − x + x + ≥ Áp dụng Cauchy: x2 + x −1+1 x2 + x = 2 − x2 + x + + − x2 + x + − x2 + x +1 ≤ = 2 x2 + x −1 + − x2 + x + ≤ x + Từ PT ⇒ x − x + ≤ x + ⇔ ( x − 1) ≤ x2 + x −1 ≤ 12x − 48x + 64 = y (1)  8) 12 y − 48 y + 64 = z ( )  12z − 48z + 64 = x ( 3) G/s (x; y; z) nghiệm hệ phương trình dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) nghiệm hệ giả sử : x = max{x; y; z} Từ 12 x − 48x + 64 =12 x − x + + 16 ≥ 16 ( ) ⇒ y ≥ 16 ⇒ y ≥ Tương tự x ≥ ; z ≥ Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z) ⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) VT ≤ 0; VT ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z 12 Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 x 19 + y = 1890z + z 2001  19 2001 9)  y + z = 1890 x + x  19 2001 z + x = 1890 y + y Ta cm hệ có nghiệm x = y = z Giả sử (x,y,z) nghiệm hệ ⇒ (− x; − y; −z) nghiệm hệ ⇒ khơng tính tổng qt ta giả sử số x, y, z không âm Ví dụ: x ≥ 0; y ≥ Từ phương trình ( 1) ⇒ z ≥ Cộng vế phương trình ta có: z 2001 + 1890z + x 2001 + 1890x + y 2001 + 1890z = z19 + z + x19 + x + y19 + y5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ta có: < t ≤ ⇒ t 2001 + 1890t ≥ t19 + t t 2000 + 1890 ≥ t18 + t (đúng) t > ⇒ t 2001 + 1890t > t19 + t 2001 2000 ≥ 2t1000 Thật vậy: t + 1890 > + t cô si > t18 + t (đpcm) Vậy x = y = z Bài 10: + Nếu x < từ ( 3) ⇒ 2z + < ⇒ z < −1 −1 −1 ⇒y< ⇒x< 2 Cộng phương trình với nhau: 2 ( x + 1) ( x − 1) + ( y + 1) ( y − 1) + ( z + 1) ( z − 1) = (*) 1 Với x < − ; y < − ;z < − ⇒ ( *) vô nghiệm 2 ⇒ x > 0; y > 0;z > Gọi ( x; y;z ) nghiệm hệ phương trình, khơng tính tổng qt ta giả sử: x = max { x;y;z} Trừ (1) cho (3) ta được: ( x − z ) = ( y − x ) x + y + xy + x + y + ( )  VT ≤ dấu " = " ⇔ x = y = z ⇒   VP ≥ ( )( ) 2 Bài 11: PT ⇔ x + 17x − 630 x + 83x − 630 = 2001x Do x = khơng phải nghiệm phương trình ⇒ chia vế phương trình cho x 630  630   Ta có:  x + 17 − ÷ x + 83 − ÷ = 2001 x  x   630 =t Đặt: x − x Bài 12: t/d: pt: ( x + a ) + ( x + b ) = c Đặt: y = x + a+b 13 ) Tuyển chọn 100 phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 Bài 13: Đk: < x ≤ 1− x 2x − PT ⇔ = 1+ (*) x 1+ x2 + x = nghiệm pt (*)  VP > 1 + < x ≤1 :   VT < 1  VT>1 + 0