Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết giới thiệu tóm tắt một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định. Một số ví dụ minh họa về kỹ thuật đối ngẫu được giới thiệu và bình luận nhằm đánh giá các nghiên cứu phát triển tiếp theo.
Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 238-243, DOI 10.15625/vap.2019000284 Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng phân tích dao động ổn định Nguyễn Đông Anh(1,2,3*), Nguyễn Cao Thắng(1,2) (1) Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam (2) (3) Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tuyến tính hóa kdn hệ số trở Mở đầu Thiên nhiên sống chứa đựng khuynh hướng đối ngẫu Đó yếu tố có tính chất trái ngược nhau, bổ trợ cho Do vậy, việc nghiên cứu khoa học cần phản ánh tính chất Gần đây, cách tiếp cận đối ngẫu đề xuất để nghiên cứu đáp ứng hệ phi tuyến [1,2] phát triển nhiều cơng trình, ví dụ [3-17] Một ưu điểm quan trọng cách tiếp cận đối ngẫu vấn đề khoa học ln xem xét hai khía cạnh khác (đối ngẫu) vấn đề; điều cho phép việc nghiên cứu trở nên hài hòa phản ánh thực chất Bài báo giới thiệu tóm tắt số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng phân tích dao động ổn định Một số ví dụ minh họa kỹ thuật đối ngẫu giới thiệu bình luận nhằm đánh giá nghiên cứu phát triển Thay tương đương đối ngẫu Trong Cơ học ta thường hay thay gần đối tượng A mô tả hàm A(x) đối tượng B mô tả hàm B(x) Như vậy, ta thay A(x) xấp xỉ kttB(x) với hệ số thay tương đương ktt xác định tiêu chuẩn bình phương tối thiểu: Stt A(x ) ktt B(x ) (1) ktt số tt viết tắt chữ thông thường, < > phép lấy trung bình tiền định trung bình xác suất Trong trường hợp B(x) hàm tuyến tính hệ số thay tương đương ktt thường gọi hệ số tuyến tính hóa tương đương Với cách tiếp cận đối ngẫu cho toán thay thế, ta xét dạng mở rộng tiêu chuẩn (1) thành tiêu chuẩn đối ngẫu sau Sdn p A(x ) p kdn B(x ) kdn B(x ) A(x ) dn số dn ký hiệu đối ngẫu, 2 (2) kdn , dn dn hệ số trở về, p trọng số thay trở chuẩn hóa p (3) Với p=0 tiêu chuẩn (3) trở thành tiêu chuẩn (2) Giả sử cho trước trọng số p, từ điều kiện cực tiểu (2) dẫn tới phương trình xác định hệ số thay tương đương kdn p p AB dn B2 ; dn sau dn kdn AB (4) A2 Giải hệ phương trình (4) p AB , r 2p B2 kdn dn p r 2p r2 (5) r đại lượng đặc trưng cho mức độ phụ thuộc A B, xác định theo công thức AB r (6) A2 B2 Trong báo [17] giá trị trọng số p chọn theo công thức p r2 (7) r2 Có thể nhận thấy từ (6) (7) giá trị trọng số p phụ thuộc vào đại lượng r mà số cho mức độ khác biệt A B Thay (7) vào (5) cho giá trị hệ số thay tương đương kw 2r AB r B2 (8) Như sử dụng tiêu chuẩn thay đối ngẫu (3) với giá trị trọng số xác định theo (7), (6) hàm A(x) thay tương đương kdnB(x) hệ số thay tương đương kdn xác định theo (8) Với cách thay ta làm việc với hàm A(x) mà phải làm việc với hàm B(x) Đặc biệt khi B(x) hàm tuyến tính x ta đưa tốn phi tuyến tốn tuyến tính dễ giải nhiều Thay tương đương địa phương-toàn thể Năm 2012, dựa cách tiếp cận đối ngẫu, N D Anh, L.X Hung L D Viet [5] phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương địa phương – tổng thể cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến cách kết hợp hai phạm trù địa phương tổng thể Giả sử ta thay hàm ngẫu nhiên A(x) xấp xỉ kB(x) với hệ số thay k xác định tiêu chuẩn bình phương tối thiểu: Nguyễn Đơng Anh, Nguyễn Cao Thắng S A(x ) kB(x ) k (9) kB(x ) P(x )dx k (10) Trong P(x ) hàm mật độ xác suất (PDF) x [x ]r A(x )B(x ) (11) B (x ) Do khoảng tích phân (10) ( ), tiêu , chuẩn (10) gọi tiêu chuẩn bình phương tối thiểu tồn thể Với giả thiết cho phép lấy tích phân cần tập trung nghiệm xác hơn, Anh Di Paola vào năm 1995 đề nghị tiêu chuẩn bình phương tối thiểu địa phương r [(A(x ) x kB(x ))2 ] kB(x ))2P(x )dx (A(x ) r k x (12) với r số dương đó, x độ lệch chuẩn x [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương r x r x (.)P (x )dx [ ] (13) A(x )B(x ) (14) B (x ) Ta thấy từ (12) (13) hệ số k hàm số r Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta chọn k giá trị trung bình toàn thể sau [5]: k k (r ) Lim s s s k (r )dr (15) (17) b r r r 1 xn r (n 1) x ndx rn r n (18) Giá trị trung bình địa phương-tồn thể lát cắt s hàm xn n [[x )]]s (n 1 [y(x )]r dr s s rn 1)2 (1 s ) (n s rn 1 s s n (1 s n ) 1)2 (1 dr (19) s) Ta thấy giá trị trung bình địa phương-tồn thể lát cắt s hàm xn hàm s, s = giá trị giá trị trung bình thơng thường xn (20) [[x n ]]1 xn (n 1) Như giá trị trung bình địa phương-tồn thể lát cắt s mở rộng giá trị trung bình thơng thường chứa giá trị trung bình thơng thường trường hợp riêng Một phát triển khác cách lấy trung bình thơng thường cách lấy trung bình trọng số Ta xét hàm x(t) miền từ đến vô Giá trị trung bình trọng số x(t) xác định sau W (x (t )) Giá trị trung bình địa phương-tồn thể Giả sử y(x) hàm khả tích xє[a, b] Ta đưa giá trị trung bình địa phương-tồn thể y(x) sau Ta xác định giá trị trung bình địa phương lát cắt r hàm y(x) với r є [a,b] theo công thức r r a y(x )dx (16) a Giá trị trung bình địa phương-toàn thể lát cắt s hàm y(x) với s є [a,b] theo công thức h(t )x (t )dt (21) h(t) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa d ký hiệu giá trị trung bình thơng thường cho hàm số Ta thu tiêu chuẩn thay tương đương gọi tiêu chuẩn thay địa phương – toàn thể Theo tiêu chuẩn hàm ngẫu nhiên A(x) thay tương đương hàm kB(x) với hệ số thay k xác định theo (13), (14), (15) [y(x )]r [y(x )]r dr s Giá trị trung bình trọng số đối ngẫu Tương tự (11) từ (12) ta có k (r ) s y(x )dxdr b s s r a a Ví dụ với y(x) = xn a=0, b=1 ta có n Suy ra: k b Viết chi tiết (7) ta có A(x ) b [[y(x )]]s h(t )dt (22) Hàm số h(t) gọi hàm trọng số Phép lấy trung bình trọng số sử dụng nhiều toán học sống thường ngày Sự hiệu phụ thuộc nhiều vào cách chọn hàm trọng số Trong báo hàm trọng số đối ngẫu sau giới thiệu [10] h(t ) s 2te s t ; s, t (23) Như ta thấy hàm trọng số đối ngẫu (23) thu cách lấy tích hàm đồng biến t với hàm nghịch biến e s t Kết hàm trọng số đối ngẫu (23) vừa đồng biến vừa nghịch biến (xem Hình 1) Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng phân tích dao động ổn định Hình Hàm trọng số đối ngẫu (23) Dựa hàm trọng số đối ngẫu (23) giá trị trung bình trọng số đề nghị áp dụng cho hàm số ω-tuần hoàn x(ωt) sau Ws (x ( t )) x( t) s2 e s s 2te s s t Hình Plots of cos n s versus n for s=2 Hình Plots of sin n s versus s for n=2 Hình Plots of sin n s versus n for s=2 x ( t )dt (24) x ( )d Ta sử dụng hai ký hiệu cho giá trị trung bình trọng số (24) để dùng chúng trường hợp tùy theo tiện lợi Chỉ số s dùng để phân biệt với giá trị trung bình thơng thường thu cho s→0 Sử dụng phép biến đổi Laplace ta có Ws (cos n t ) s2 Đồ thị s t cos(n t )dt s cos(n )e Ws (sin(n t )) s2 s 2te 0 cos n s 2te s t sin(n )e s s d s2 s (s 2 n (25) n )2 sin(n t )dt s2 d (26) 2sn 2 (s n ) theo s n cho Hình 2-3 Ta thấy giá trị trung bình trọng số (25) có giá trị cực tiểu 0