Bài tập tự luận và trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 - Phan Quốc Cường - TOANMATH.com

Một chất điểm chuyển động theo phương trình st = t3 − 3t2 − 9t + 2021 với t giây là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s mét là quãng đường vật đi được trong thời gi[r]

ỆU LI TỰ ỌC H TÀ I PHAN QUỐC CƯỜNG N HI ỆM TỰ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ  https://www.facebook.com/qcuongp ĐỨC HÒA, 3/09/2021 UẬ C G N TRẮ TOÁN 11 L MỤC LỤC MỤC LỤC Chương §1 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A Kiến thức cần nắm B Bài tập tự luận  Dạng 1.1: Tập Xác Định Của Hàm Số LG  Dạng 1.2: Tính Tuần Hoàn Của Hàm Số Lượng Giác  Dạng 1.3: Tính Chẵn, Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác  Dạng 1.4: Tập Giá Trị, Min-Max Của Hàm Số Lượng Giác C Bài tập trắc nghiệm Bảng đáp án 12 §2 – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 12 A Kiến thức cần nắm 12 B Bài tập tự luận 14  Dạng 2.1: Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản 14  Dạng 2.2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Điều Kiện Nghiệm 15  Dạng 2.3: Sử Dụng Công Thức Biến Đổi Đưa Về Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản 15 C Bài tập trắc nghiệm 16 Bảng đáp án 24 §3 – MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 24 A Kiến thức cần nắm 24 B Bài tập tự luận 25  Dạng 3.1: Phương Trình Bậc Hai Đối Với Hàm Số Lượng Giác 25  Dạng 3.2: Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Sin Và Cos 26  Dạng 3.3: Phương Trình Bậc Hai Đối Với sin x và cos x 27  Dạng 3.4: Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x cos x 27  Dạng 3.5: Phương Trình Tích 28 C Bài tập trắc nghiệm 28 Bảng đáp án 35  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  MỤC LỤC Chương §1 – 36 TỔ HỢP - XÁC SUẤT QUY TẮC ĐẾM 36 A Kiến thức cần nắm 36 B Bài tập tự luận 37  Dạng 1.1: Quy Tắc Cộng 37  Dạng 1.2: Quy Tắc Nhân 38  Dạng 1.3: Tổng hợp 39 C Bài tập trắc nghiệm 39 Bảng đáp án 43 §2 – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 43 A Kiến thức cần nắm 43 B Bài tập tự luận 45  Dạng 2.1: Hoán Vị 45  Dạng 2.2: Chỉnh Hợp 46  Dạng 2.3: Tổ Hợp 46  Dạng 2.4: Công thức hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp 48 C Bài tập trắc nghiệm 48  Dạng 2.5: Hoán Vị 48  Dạng 2.6: Chỉnh Hợp 49  Dạng 2.7: Tổ Hợp 50  Dạng 2.8: Tổng Hợp 51 Bảng đáp án 54 §3 – NHỊ THỨC NEWTON 55 A Kiến thức cần nắm 55 B Bài tập tự luận 56 C Bài tập trắc nghiệm 57 Bảng đáp án 58 §4 – BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 59 A Kiến thức cần nắm 59 B Bài tập tự luận 61  Dạng 4.1: Mô tả không gian mẫu và xác định số kết có thể phép thử 61  Dạng 4.2: Xác định biến cố phép thử 61  Dạng 4.3: Xác suất biến cố 62 C Bài tập trắc nghiệm 63  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường ii “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An ii iii  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  MỤC LỤC Bảng đáp án 69 Chương §1 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 70 Nhị Thức Niu-Tơn 70 A Kiến thức cần nắm 70 B Bài tập tự luận 70  Dạng 1.1: Chứng minh đẳng thức 70  Dạng 1.2: Một số bài toán số học 71  Dạng 1.3: Chứng minh bất đẳng thức 72 C Bài tập trắc nghiệm 72 Bảng đáp án 73 §2 – Dãy Số 73 A Kiến thức cần nắm 73 B Bài tập tự luận 74  Dạng 2.1: Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát dãy số 74  Dạng 2.2: Xét tăng giảm dãy số 76  Dạng 2.3: Xét tính bị chặn dãy số 77 C Bài tập trắc nghiệm 78 Bảng đáp án 83 §3 – Cấp Số Cộng 84 A Kiến thức cần nắm 84 B Bài tập tự luận 85  Dạng 3.1: Chứng Minh Một Dãy Số un Là Cấp Số Cộng 85  Dạng 3.2: Số hạng tổng quát 86  Dạng 3.3: Tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng 86 C Bài tập trắc nghiệm 88 Bảng đáp án 95 §4 – CẤP SỐ NHÂN 96 A Kiến thức cần nắm 96 B Bài tập tự luận 97  Dạng 4.1: Chứng Minh Một Dãy Số Là Cấp Số Nhân Và Các Yếu Tố Liên Quan 97  Dạng 4.2: Xác định q uk cấp số nhân 98  Dạng 4.3: Các bài toán thực tế liên quan cấp số nhân 99 C Bài tập trắc nghiệm 100  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An iii  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  MỤC LỤC Bảng đáp án 107 Chương §1 – 108 GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ 108 A Kiến thức cần nắm 108 B Bài tập tự luận 109  Dạng 1.1: Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn 109  Dạng 1.2: Tìm Giới Hạn Của Dãy Số Có Giới Hạn Hữu Hạn 109  Dạng 1.3: Dãy số có giới hạn vô hạn 111 C Bài tập trắc nghiệm 112 Bảng đáp án 119 §2 – GIỚI HẠN HÀM SỐ 120 A Kiến thức cần nắm 120 B Bài tập tự luận 121  Dạng 2.1: Giới Hạn Của Hàm Số Tại Điểm 121  Dạng 2.2: Giới hạn hàm số vô cực 122 C Bài tập trắc nghiệm 123 Bảng đáp án 133 §3 – GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ 134 A Kiến thức cần nắm 134 B Bài tập tự luận 134  Dạng 3.1: Giới Hạn Hữu Hạn 134  Dạng 3.2: Giới Hạn Vô Hạn 135  Dạng 3.3: Bài Toán Chứng Minh Sự Tồn Tại Của Giới Hạn Tại Điểm 135 C Bài tập trắc nghiệm 136 Bảng đáp án 139 §4 – HÀM SỐ LIÊN TỤC 140 A Kiến thức cần nắm 140 B Bài tập tự luận 141  Dạng 4.1: Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Tại Một Điểm 141  Dạng 4.2: Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Trên Khoảng, Nửa Khoảng, Đoạn 144  Dạng 4.3: Chứng minh phương trình có nghiệm 144 C Bài tập trắc nghiệm 145 Bảng đáp án 150  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường iv “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An iv v  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Chương §1 –  MỤC LỤC 151 ĐẠO HÀM ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM 151 A Kiến thức cần nắm 151 B Bài tập tự luận 152  Dạng 1.1: Tìm số gia hàm số 152  Dạng 1.2: Tính Đạo Hàm Bằng Định Nghĩa Tại Điểm 152  Dạng 1.3: Tính Đạo Hàm Của Hàm Số Trên Khoảng Bằng Định Nghĩa 153  Dạng 1.4: Mối Quan Hệ Giữa Liên Tục Và Đạo Hàm 153 C Bài tập trắc nghiệm 154 Bảng đáp án 156 §2 – QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 157 A Kiến thức cần nắm 157 B Bài tập tự luận 157  Dạng 2.1: Quy tắc tính đạo hàm 157  Dạng 2.2: Chứng minh, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm 158 C Bài tập trắc nghiệm 159 Bảng đáp án 169 §3 – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM 169 A Tóm tắt lý thuyết 169 B Các dạng toán thường gặp 170  Dạng 3.1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm 170  Dạng 3.2: Viết phương trình tiếp tuyến biết điểm qua 171  Dạng 3.3: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k 172  Dạng 3.4: Ý nghĩa vật lý đạo hàm 173 C Bài tập trắc nghiệm 174 Bảng đáp án 181 §4 – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 182 A Kiến thức cần nắm 182 B Bài tập tự luận 182  Dạng 4.1: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác 182  Dạng 4.2: Chứng minh, giải phương trình và bất phương trình 183 C Bài tập trắc nghiệm 184 Bảng đáp án 189  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An v  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  MỤC LỤC §5 – ĐẠO HÀM CẤP CAO 189 A Kiến thức cần nắm 189 B Bài tập tự luận 190 C Bài tập trắc nghiệm 191 Bảng đáp án 195 §6 – VI PHÂN 195 A Kiến thức cần nắm 195 B Bài tập tự luận 196 C Bài tập trắc nghiệm 196 Bảng đáp án 199  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường vi “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An vi LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG CHƯƠNG CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HÀM -SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG HÀM GIÁC SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NẮM Hàm Hàm số ysố = ysin = xsin x ✓ Tập xác định D = R; ✓ Tập giá trị T = [−1; 1] , tức là −1 ≤ sin x ≤ 1; ✓ Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, tức là sin (x + k2π) = sin x với k ∈ Z;  π  π ✓ Hàm số đồng biến trên khoảng − + k2π; + k2π và 2ã Å 3π π nghịch biến trên khoảng + k2π; + k2π ,k ∈ Z; 2 ✓ Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng y π − −2π 3π − 3π O −1 Hàm Hàm số ysố = ycos = xcos x ✓ Tập xác định D = R; π 2π x  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ✓ Tập giá trị T = [−1; 1] , tức là −1 ≤ sin x ≤ 1; ✓ Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, tức là cos (x + k2π) = cos x với k ∈ Z; ✓ Hàm số đồng biến trên khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên khoảng (k2π; π + k2π),k ∈ Z; ✓ Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng y −π −2π − − π π 3π π 3π 2π O −1 Hàm Hàm số ysố = ytan =x tan x ✓ Tập xác định D = R\ nπ o + kπ, k ∈ Z ; ✓ Tập giá trị T = R; ✓ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, tức là tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;  π  π ✓ Hàm số đồng biến trên khoảng − + kπ; + kπ với k ∈ Z; 2 ✓ Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng y −2π −π 3π −  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường π π − O π 2 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” 3π 2π x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An x  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hàm Hàm số ysố = ycot = xcot x ✓ Tập xác định D = R\ {kπ, k ∈ Z} ; ✓ Tập giá trị T = R; ✓ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, tức là tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z; ✓ Hàm số nghịch biến trên khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ Z; ✓ Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Chú ý 1) Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = 2π |a| 2) Hàm số y = cos (ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = 2π |a| 3) Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = π |a| 4) Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = π |a| B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Tập Xác Định Của Hàm Số LG Bài Tìm tập xác định các hàm số sau  π a) y = tan 2x + c) y =  π b) y = cot −2x − √ d) y = cos x2 − 3x + 2 sin 2x Bài Tìm tập xác định các hàm số sau: a) y c) y e) y g) y − 2x2 = − cos 2x √ = − sin x … − cos x = + cos x π  = cot − 2x − − cos x 3x b) y = cos √ x −1 √ d) y = sin x −  π f) y = tan x + Bài Tìm tập xác định các hàm số sau:  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC a) y =  π b) y = tan 3x − ; ; − sin 4x c) y = √ sin x sin x + cos x d) y = tan x + cotx cot2 x − Bài Tìm m để hàm số sau xác định trên R √ sin2 x − sin x + m − p Bài Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = − m sin x − (m + 1) cos x xác định trên R a) y = b) y = √ 2m − cos x DẠNG Tính Tuần Hoàn Của Hàm Số Lượng Giác Bài Tìm chu kì tuần hoàn các hàm số sau a) y = − sin 5x b) y = cos2 2x c) y = tan (−3x + 1) d) y = − cot(2x − 1) Bài Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) các hàm số sau: a) y = − sin 5x Å ã Å ã 2 x cos x c) y = sin 5 b) y = cos2 x − d) y = cos x + cos √ 3.x
Bài Tìm chu kỳ hàm số y = sin 3x + cos 2x Bài Chứng minh các hàm số sau đây là hàm số tuàn hoàn, tìm chu kì hàm số b) y = cos2 x − sin2 x; a) y = sin2 2x + 1; c) y = cos2 x + sin2 x DẠNG Tính Chẵn, Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác Bài 10 Xét tính chẵn lẻ các hàm số sau a) y = cos 3x; b) y = x + sin x; c) y = x cot x + cos x; d) y = x2 + tan |x| Bài 11 Xét tính chẵn lẻ các hàm số sau a) y = 2x sin x ; c) y = b) y = cos x + sin 2x ; cos 2x ; x d) y = tan7 2x sin 5x Bài 12 Xét tính chẵn lẻ các hàm số sau  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a) y = |x| sin x; c) )y = b) )y = cos x + x2 − ; sin4 x d) y = tan x − sin x ; + cos x + cot2 x sin4 x + + cos6 x Bài 13 Xét tính chẵn lẻ các hàm số sau 1) y = f (x) = tan x + cot x ; Å ã 9π 2) y = f (x) = sin 2x + ; 3) f (x) = sin2020n x + 2020 ,n∈Z cos x Bài 14 Xác định tất các giá trị tham số m để hàm số y = f (x) = 3m sin 4x + cos 2x là hàm chẵn DẠNG Tập Giá Trị, Min-Max Của Hàm Số Lượng Giác Bài 15 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ  π a) y = sin 3x − − 3; b) y = −5 + cos √ c) y = cos 3x − 1; d) y =  π 2x − ; sin2 (3x) − cos2 (3x) Bài 16 Tìm giá trị lớn và nhỏ (nếu có) các hàm số sau √ a) y = − cos 2x b) y = + sin2020 x c) y = sin x − cos x + ï π 5π e) y = cos x − cos x + với x ∈ ; d) y = sin2 x + sin x cos x − cos2 x + ò ï π 5π f) y = cos 2x + sin x + với x ∈ ; ò C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tập xác định D hàm số y = sin x là A D = [−2; 2] B D = [−1; 1] √ Câu Tập xác định D hàm số y = cos x là A D = [−1; 1] B D = [0; 1] C D = [0; 2] D D = R C D = [0; +∞) D D = R 2021 không xác định? Câu Trên [0; 2π] có bao nhiêu điểm mà hàm số y = cos x + sin x A B C D Vô số  Câu Tập xác định D hàm số y = π  là sin x − nπ o nπ o A D = R\ + kπ, k ∈ Z B D = R\ + k2π, k ∈ Z 3 C D = R\{k2π, k ∈ Z} D D = R\{kπ, k ∈ Z}  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2021 − sin x là cos x − nπ o A D = R B D = R\ + kπ, k ∈ Z C D = R\{kπ, k ∈ Z} D D = R\{k2π, k ∈ Z} Å ã π 3π 2021 Câu Trên − ; có bao nhiêu điểm mà hàm số y = không xác định? 2 sin2 x − A B C D   π Câu Tập xác định D hàm số y = cot 2x − + sin 2x là A D = ∅ n B D = R n o o π π π C D = R\ + k ,k ∈ Z D D = R\ + Kπ, K ∈ Z x π  Câu Tập xác định D hàm số y = tan2 − là ß ™ nπ o 3π A D = R\ + k2π, k ∈ Z B D = R\ + k2π, k ∈ Z ß2 ™ nπ o 3π C D = R\ + kπ, k ∈ Z D D = R\ + kπ, k ∈ Z 2 Câu Tập xác định D hàm số y = Câu Tập xácnđịnh D hàmosố y = 2020 tan2021 2x là n π o π A D = R\ + kπ, k ∈ Z B D = R\ k , k ∈ Z n π2 π o C D = R D D = R\ + k ,k ∈ Z Câu 10 Tập xác D n định o hàm số y = tan x − cot 2x là n π o π A D = R\ k , k ∈ Z B D = R\ k , k ∈ Z C D = R\{kπ, k ∈ Z} D D = R\{k2π, k ∈ Z}  Câu 11 Tập xác định D hàm số y = π  là tan x − ™ ß o nπ 3π + kπ, k ∈ Z + kπ, k ∈ Z A D = R\ B D = R\ n π4 o nπ o π C D = R\ + k ,k ∈ Z D D = R\ + kπ, k ∈ Z 4 tan x − Câu 12 Tập xác định D hàm số y = là − sin2 x nπ o nπ o A D = R\ B D = R\ + k2π, k ∈ Z + kπ, k ∈ Z 2 C D = R\{Kπ, K ∈ Z} D D = R cos 2x không xác định khoảng nào sau đây? Câu 13 Hàm số y = + tan Å ãx  π  π 3π π A + k2π; + k2π với k ∈ Z B − + k2π; + k2π với k ∈ Z Å2 ã Å ã 3π 3π 3π C + k2π; + k2π với k ∈ Z D π + k2π; + k2π với k ∈ Z 2 Câu 14 Tập xác định D hàm số y = là sin x − cos x o n π A D = R B D = R\ − + kπ, k ∈ Z o o nπ nπ + k2π, k ∈ Z + kπ, k ∈ Z C D = R\ D D = R\ 4 √ Câu 15 Tập xác định D hàm số y = sin 2x + là A D = R\{kπ, k ∈ Z} B D = R  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường o nπ o π + kπ, k ∈ Z D D = R\ + k2π, k ∈ Z 2 √ Câu 16 Tập xác định D hàm số y = sin x − là A D = ∅ B D = [−1; 1] C D = [2; 3] D D = R √ √ Câu 17 Tập xác định D hàm số y = − sin 2x − + sin 2x là A D = ï∅ B D = ïR ò ò π 5π 5π 13π C D = + k2π; + k2π , k ∈ Z D D = + k2π; + k2π , k ∈ Z 6 6 … − cos x Câu 18 Tập xác định D hàm số y = là cos2 x A D = R\{kπ, B D = R n n π k ∈ Z} o o π C D = R\ D D = R\ + kπ, k ∈ Z + k2π, k ∈ Z 2 … − sinx Câu 19 Tập xác định D hàm số y = là cos x − A D = ∅ n B D = n R o o π π C D = R\ + k2π, k ∈ Z D D = + k2π, k ∈ Z 2 Câu 20 Mệnh đề nào sau đây đúng? 2021 có tập xác định là D = R A Hàm số y = + tan2 x sin x B Hàm số y = có tập xác định là D = R\{3} − cos x √ C Hàm số y = cos x + có tập xác định là D = R D Hàm số y = tan2 x + cot2 x có tập xác định là D = R C D = R\ nπ  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + kπ; Câu 21 Tập xác định D hàm số y = √ là − sin x A D = ∅ n B D = R n o o π π C D = R\ + kπ, k ∈ Z D D = R\ + k2π, k ∈ Z 2 π  Câu 22 Tập xác định D hàm số y = tan cos x là nπ o nπ o A D = R\ + kπ, k ∈ Z B D = R\ + k2π, k ∈ Z 2 C D = R D D = R\{kπ, k ∈ Z} √ Câu 23 Tập xác định D hàm số y = − cos x là A D = [−π B D = [π + k2π; 2π + k2π], k ∈ Z ï + k2π; k2π], k ∈òZ h π i π 3π π C D = + k2π; + k2π , k ∈ Z D D = − + k2π; + k2π , k ∈ Z 2 2 − sin 2x Câu 24 Tìm m để hàm số y = √ xác định trên toàn trục số m cos x + A −1 ≤ m ≤ B −1 < m < C m > D < m < √ Câu 25 Cho hàm số y = 2m − sin x Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m thuộc (0; 2022) để hàm số xác định trên R? A 2018 B 2019 C 2020 D 2021 Câu 26 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A y = sin x B y = cos x C y = tan x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An D y = cot x  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 27 Đồ thị hàm số nào sau đây có trục đối xứng? A y = sin 2x C y = cos x · cot x B y = x cos x D y = Câu 28 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A y = | sin x| B y = x2 sin x C y = |x| sin x tan x sin x D y = x + sin x Câu 29 Cho các hàm số y = x sin x, y = x2 cos x, y = 2x3 tan x và y = cot 4x Trong các hàm số đã cho có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn? A B C D Câu 30 Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?  π A y = sin x cos 2x B y = sin x · cos x − tan x C y = D y = cos x sin3 x tan2 x + Câu 31 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A y = − sin x B y = cos x − sin x C y = cos x + sin2 x D y = cos x sin x Câu 32 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A y = cos x + sin4 x B y = sin x + cos x C y = − cos x D y = sin x · cos 3x Câu 33 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A y = − sin2 x B y = | cot x| · sin2 x C y = x2 tan 2x − cot x D y = + | cot x + tan x|  π Câu 34 Cho các hàm số y = 2022 + tan4x, y = sin x2 − , y = tan2 x và y = | cot x| Trong các hàm số đã cho có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn? A B C D Câu 35 Mệnh đề nào sau đây sai? A Đồ thị hàm số y = | sin x| đối xứng qua gốc tọa độ O B Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy C Đồ thị hàm số y = | tan x| đối xứng qua trục Oy D Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O Câu 36 Cho hàm số f (x) = sin 2x và g(x) = tan2 x Mệnh đề nào sau đây đúng ? A f (x) lẻ và g(x) chẵn B f (x) chẵn, g(x) lẻ C f (x) và g(x) cùng chẵn D f (x) và g(x) cùng lẻ cos 2x |sin 2x| − cos 3x và g (x) = Mệnh đề nào sau đây đúng? + sin 3x + tan2 x A f (x) lẻ và g(x) chẵn B f (x) chẵn, g(x) lẻ C f (x) và g(x) cùng chẵn D f (x) và g(x) cùng lẻ Câu 37 Cho f (x) = Câu 38 Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng quagốc tọađộ? π A y = B y = sin x + sin x   √ √ π C y = cos x − D y = sin 2x Câu 39 Trong các số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?  hàm   π π π A y = cos x + + sin(π − 2x) B y = sin x − + sin x + 4  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  √ √ π sin x + − sin x D y = sin x + cos x Câu 40 Trong các hàm  sốπ sau,  hàm số nào là hàm số lẻ?  π 2021 A y = x + cos x − B y = x + cos x − 2022 2021 2022 C y = 2023 + cos x + sin x D y = tan x + sin x C y = √ Câu 41 Mệnh đề nào sau đây sai? A Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π B Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π C Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π D Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π x  Câu 42 Tìm chu kì T hàm số y = cos + 2021 A T = −2π B T = π C T = 2π D T = 4π Câu 43 Tìm chu kì T hàm số y = tan(3πx + 2020) π 2π A T = B T = C T = D T = 3 3 Câu 44 Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau? x A y = cos x và y = cot B y = sin x và y = tan 2x x x C y = sin và y = cos D y = tan 2x và y = cot 2x 2 Câu 45 Trong các hàm số y1 = sin x, y2 = sin 2x, y3 = tan x, y4 = cot x có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất f (x + kπ) = f (x) với x ∈ R và k ∈ Z A B C D Câu 46 Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2π? x x A y = cos3 x B y = sin cos 2 C y = sin2 (x + 2) Câu 47 Cho các hàm số y = sin x, y = x + sin x, y = x cos x và y = bao nhiêu hàm số có tính tuần hoàn? A B C D y = cos2 x  +1 sin x Trong các hàm số đã cho có x D Câu 48 Cho hàm số y = sin x Mệnh đề nào sau đây đúng? Å ã π  3π ; π , nghịch biến trên khoảng π; A Hàm số đồng biến trên khoảng Å2 ã  π π 3π π B Hàm số đồng biến trên khoảng − ; − , nghịch biến trên khoảng − ;  π2  π 2 C Hàm số đồng biến trên khoảng 0; , nghịch biến trên khoảng − ; Å2 ã  π2 π  π 3π , nghịch biến trên khoảng ; D Hàm số đồng biến trên khoảng − ; 2 2  π Câu 49 Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0; khác với các hàm số còn lại? A y = sin x B y = cos x C y = tan x D y = − cot x Å ã 31π 33π Câu 50 Với x ∈ ; , mệnh đề nào sau đây đúng? 4 A Hàm số y = sin x đồng biến B Hàm số y = cos x nghịch biến C Hàm số y = cot x nghịch biến D Hàm số y = tan x nghịch biến π π i Câu 51 Hàm số nào sau đây đồng biến trên nửa khoảng ; ? A y = tan x B y = cot x C y = sin 2x D y = cos 4x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  π π  π Câu 52 Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số đồng biến trên − ; ? y = sin 2x + , 6       π π π y = cos 2x + , y = tan 2x + và y = cot 2x + 6 A B C D   π Câu 53 Để hàm số y = sin x + đồng biến, ta chọn x thuộc khoảng nào sau đây?  π  π A − + k2π; + k2π B (π + k2π; 2π + k2π) Å ã Å ã 3π π 3π π C − + kπ; + kπ D − + k2π; + k2π 4 4  π Câu 54 Trong khoảng 0; , hàm số y = sin x − cos x là A hàm số đồng biến B hàm số nghịch biến C hàm D hàm số không đơn điệu     π π Câu 55 Cho hàm số y = sin x + cos x − − sin 2x Mệnh đề nào sau đây đúng?  6π  Å 3π ã và A Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 0; ;π 4 B Hàm số đã cho đồng biến trên (0; π) ã Å 3π C Hàm số đã cho nghịch biến trên 0; π   π 4 và nghịch biến trên ;π D Hàm số đã cho đồng biến trên 0; 4 Câu 56 Tìm giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số y = sin x − A M = 1, m = −5 B M = −3, m = −1 C M = 2, m = −2 D M = 0, m = −2 Câu 57 Tìm tập giá trị T hàm số y = cos 2x + A T = [−1; 1] B T = [−1; 11] C T = [2; 8] Câu 58 Tìm tập giá trị T hàm số y = − sin x A T = [−1; 1] B T = [−3; 3] C T = [2; 8]  √ π Câu 59 Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = − sin 2021x + √ √ √ A m = −2017 B m = −2016 C m = − Câu 60 Hàm số y = cos |3x − 5| có giá trị nhỏ A B −1 C D T = [5; 8] D T = [5; 8] D m = −1 D −2 Câu 61 Tìm giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số y = − 2| cos 3x| A M = 3, m = −1 B M = 1, m = −1 C M = 2, m = −2 D M = 0, m = −2 Câu 62 Hàm số y = (3 − sin x)2022 có giá trị lớn là M và giá trị nhỏ là m Giá trị M + m A 22022 B 24044 C 22022 (1 + 24044 ) D 26066  π |sin x| là Câu 63 Giá trị nhỏ và lớn hàm số f (x) = sin √3 √ √ 3 A −1 và B và C − và D và 2 Câu 64 Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = cos x + √ 1 A m = B m = √ C m = D m = 2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 10 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 10 11  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Câu 65 Giá trị nhỏ và lớn hàm số f (x) = + + cos 3x là √ √ √ √ A + 3; + B 3; √ √ √ √ C − 3; + D −1 + 3; −1 + Câu 66 Hàm số y = + sin 2x cos 2x có tất bao nhiêu giá trị nguyên? A B C D Câu 67 Tập giá trị hàm số y = sin 2021x − cos 2021x là  √ √  A [−1; 1] B [−4042; 4042] C − 2;  √  D 0; Câu 68 Hàm số y = sin4 x − cos4 x đạt giá trị nhỏ x = x0 Mệnh đề nào sau đây đúng? π π A x0 = + kπ, k ∈ Z B x0 = + k2π, k ∈ Z 4 π C x0 = kπ, k ∈ Z D x0 = + kπ, k ∈ Z 4 Câu 69 Cho hàm số y = cos x + sin x Mệnh đề nào sau đây đúng? √ A y ≤ 2, ∀x ∈ R B y ≤ 2, ∀x ∈ R C y ≤ 1, ∀x ∈ R D y ≤ , ∀x ∈ R 6 Câu 70 Tập giá trị hàm số yï = sin ò x + cos x là ò ï ï ò 1 ;1 ;1 A [0; 2] B C D 0; 4  π Câu 71 Hàm số y = sin x + − sin x có tất bao nhiêu giá trị nguyên? A B C D Câu 72 Tìm giá trị lớn M hàm số y = + tan2 x A M = B M = C M = D M = 2  √ π Câu 73 Tìm giá trị lớn M hàm số y = sin2 x + sin 2x + √ √ √ A M = B M = − C M = + D M = Câu 74 Hàm số y = + cos2 x đạt giá trị nhỏ x = x0 Chọn mệnh đề đúng: π A x0 = π + k2π, k ∈ Z B x0 = + kπ, k ∈ Z C x0 = k2π, k ∈ Z D x0 = kπ, k ∈ Z √ Câu 75 Tìm giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số y = − cos2 x √ √ A M = 10, m = B M = 7, m = √ √ C M = 10, m = D M = 0, m = √ Câu 76 Giá trị nhỏ và lớn hàm số y = là + + sin2 x −3 3 3 √ và √ B √ và √ C √ và √ D √ và √ A 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ Câu 77 Tổng giá trị lớn và nhỏ hàm số y = sin2 x + cos 2x A B C 11 D 15 Câu 78 Hàm số y = cos2 x + sin x + đạt √ giá trị nhỏ x0 Mệnh đề nào sau đây đúng? A sin x0 = −1 B sin x0 = − C sin x0 = − D sin x0 = 2 Câu 79 Hàm số y = cos2 x − cos x đạt giá trị nhỏ x0 và có giá trị nhỏ là m Giá trị m + sin2 x0  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 11  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC C D Câu 80 Hàm số y = sin4 x − cos 4x − cos 2x − đạt giá trị nhỏ x1 và đạt giá trị lớn x2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A cos 2x1 − cos 2x2 = −2 B cos 2x1 − cos 2x2 = −1 C cos 2x1 − cos 2x2 = D cos 2x1 − cos 2x2 = √ √ Câu 81 Cho hàm số y = + cos x + − cos x có giá trị lớn là M và giá trị nhỏ là m Giá trị biểu thức M + m2 √ A 2 B C D A B Câu 82 Hằng ngày mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâuÅh (mét) ã mực nước πt π kênh tính thời điểm t (giờ) ngày công thức h = cos + + 12 Mực nước kênh cao A t = 13 (giờ) B t = 14 (giờ) C t = 15 (giờ) D t = 16 (giờ) BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 51 61 71 81 D C D C C D B C C 12 22 32 42 52 62 72 82 C B D D D B D D B 13 23 33 43 53 63 73 B B C C A D D C 14 24 34 44 54 64 74 A D B C B A A B 15 25 35 45 55 65 75 D B C A C A A B 16 26 36 46 56 66 76 B A B A C A C D 17 27 37 47 57 67 77 C B D C A C C B 18 28 38 48 58 68 78 A C A A D C C A 19 29 39 49 59 69 79 D D C C B C C B 10 20 30 40 50 60 70 80 B C B B A B C D BÀI PHƯƠNG LƯỢNG TRÌNH GIÁC LƯỢNG GIÁC 2PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC CẦN NẮM Phương Phương trìnhtrình sin xsin =xa = a ✓ Trường hợp 1: |a| > Phương trình vô nghiệm, vì −1 ≤ sin x ≤ với x ✓ Trường hợp 2: |a| ≤ Đặt a = sin α a = sin β ◦ , phương trình tương đương với " x = α + k2π  α đặc biệt ⇒ (k ∈ Z) x = π − α + k2π " x = arcsin a + k2π  α không đặc biệt ⇒ (k ∈ Z) x = π − arcsin a + k2π  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 12 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 12 13  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường " ◦  sin x = sin β ⇔  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x = β ◦ + k.360◦ (k ∈ Z) x = 180◦ − β ◦ + k.360◦ " f (x) = g (x) + k2π  Tổng quát 2.1 sin f (x) = sin g (x) ⇔ (k ∈ Z) f (x) = π − g (x) + k2π Chú ý π + k2π (k ∈ Z) π 2) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π (k ∈ Z) 1) sin x = ⇔ x = 3) sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) Phương Phương trìnhtrình cos xcos =xa = a ✓ Trường hợp 1: |a| > ⇒ Phương trình vô nghiệm ✓ Trường hợp 2: |a| ≤ Đặt a = sin α a = sin β ◦ , phương trình tương đương với  α đặc biệt " cos x = cos α ⇔ "  α không đặc biệt: cos x = a ⇔ x = α + k2π x = −α + k2π x = arccos a + k2π x = − arccos a + k2π , (k ∈ Z) (k ∈ Z)  cos x = cos β ◦ ⇔ x = ±β ◦ + k.360◦ (k ∈ Z)  Tổng quát 2.2 cos f (x) = cos g (x) ⇔ f (x) = ±g (x) + k2π (k ∈ Z) Chú ý 1) cos x = ⇔ x = k2π (k ∈ Z) 2) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z) 3) cos x = ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z) Phương Phương trìnhtrình tan x tan =xa = a Điều kiện cos x 6= ⇔ x 6= π + kπ Đặt a = tan α ✓ α đặc biệt tan x = a ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 13  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ✓ α không đặc biệt tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z) ✓ tan x = tan β ◦ ⇔ x = β ◦ + k.180◦ (k ∈ Z)  Tổng quát 2.3 tan f (x) = tan g (x) ⇔ f (x) = g (x) + kπ(k ∈ Z) Phương Phương trìnhtrình cot xcot =xa = a Điều kiện sin x 6= ⇔ x 6= kπ Đặt a = cot α ✓ α đặc biệt cot x = a ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ✓ α không đặc biệt cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ, k ∈ Z ✓ cot x = cot β ◦ ⇔ x = β ◦ + k.180◦ (k ∈ Z)  Tổng quát 2.4 cot f (x) = cot g (x) ⇔ f (x) = g (x) + kπ(k ∈ Z) B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bài Giải các phương trình sau: √ x π  − =− a) sin Å ã π  3π c) sin 3x − = sin −x  π = e) cos −x + √ ◦ g) cos (2x + 25 ) = − b) sin (3x − 30◦ ) = sin 45◦  π d) sin 4x − = Å ã  7π π = sin − 2x f) cos 5x − h) cos Bài Giải các phương trình sau:  π a) tan (2x − 1) = tan −x +  π c) tan 3x + = −1 b) tan (3x − 10◦ ) = √  π d) cot 2x − =   π π f) cot x + = cot −2x + e) cot (3x) =  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường  − 2x = − π 14 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 14 15  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Điều Kiện Nghiệm  π  Bài Giải các phương trình sau, biết nghiệm thuộc khoảng − ; 2π π  a) sin + 2x = −1   π π b) cos 2x + = cos x − 3   π π c) tan 3x − = tan x + Bài Giải các phương trình sau, biết nghiệm thuộc khoảng [−π; π] Å ã 3π a) cot −x + =  π √ b) sin x + = c) tan (−x) = tan (2x + 1) DẠNG Sử Dụng Công Thức Biến Đổi Đưa Về Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bài Giải các phương trình sau:   π π − sin 2x + = a) cos 3x − Bài Giải các phương trình sau: Å ã  4π π 2 a) cos x − = sin 2x + 5 b) tan 3x + tan x = b) cos2 (2x − 1) = Bài Giải các phương trình sau: a) cos x + cos 2x + cos 3x = b) sin 2x cos 2x cos 4x = c) cos 3x − cos 5x = sin x d) sin 7x − sin 3x = cos 5x √ Bài Giải các phương trình sau: Å ã  5π π a) cot b) cot x cot 2x = −1 − 3x − tan 2x + = 3  √ π Bài Giải các phương trình: sin 2x + = sin x + cos x + Bài 10 Tìm m để: Å ò π 3π a) Phương trình sin x = m có đúng hai nghiệm thuộc − ; 4 ò Å π 3π b) Phương trình (2 cos x − 1) (sin 2x − m) = có đúng hai nghiệm thuộc − ; 4  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 15  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1." Phương trình s inx = sin α có nghiệm là x = α + k2π A ; k ∈ Z x = π − α + k2π " x = α + kπ C ; k ∈ Z x = −α + kπ " B " D Câu Chọn đáp án đúng các câu sau: π A sin x = ⇔ x = + k2π, k ∈ Z C sin x = ⇔ x = k2π, k ∈ Z x = α + kπ x = π − α + kπ x = α + k2π x = −α + k2π ; k ∈ Z ; k ∈ Z B sin x = ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z π D sin x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z Câu Nghiệm phương trình sin x = −1 là: π π A x = − + kπ B x = − + k2π 2 Câu Phương trình sin x = có nghiệm là: π A x = + k2π B x = kπ Câu Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai π A sin x = −1 ⇔ x = − + k2π C sin x = ⇔ x = k2π C x = kπ D x = 3π + kπ C x = k2π D x = π + kπ B sin x = ⇔ x = kπ π D sin x = ⇔ x = + k2π Câu Nghiệm phương trình sin x = là: π π A x = + k2π B x = + kπ C x = kπ D x = ã Å 2x π = (với k ∈ Z) có nghiệm là Câu Phương trình sin − 3 2π k3π π A x = kπ B x = + C x = + kπ D x = 3 π π Câu Phương trình sin x = có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ là : 2 5π π π A x = + k2π B x = C x = + k2π D x = 6 √ Câu Nghiệm phương trình sin 2x = là:   π π x = + k2π x = + kπ   4 A  (k ∈ Z) B  (k ∈ Z) 3π 3π + k2π + kπ x= x= 4   π π x = + kπ x = + k2π   8 (k ∈ Z) (k ∈ Z) C  D  3π 3π x= + kπ x= + k2π 8 Câu 10 Nghiệm phương trình sin(x + 10◦ ) = −1 là A x = −100◦ + k360◦ B x = −80◦ + k180◦ C x = 100◦ + k360◦ D x = −100◦ + k180◦ x + π  = − có tập nghiệm là Câu 11 Phương trình sin  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 16 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” π + k2π π k3π + 2 π  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 16 17  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  11π x= + k10π  A  (k ∈ Z) 29π x=− + k10π  11π x=− + k10π  C  (k ∈ Z) 29π x=− + k10π  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  11π + k10π  B  (k ∈ Z) 29π x= + k10π  11π x= + k10π  D  (k ∈ Z) 29π x= + k10π √ x=− Câu 12 Số nghiệm phương trình sin 2x = khoảng (0; 3π) là A B C D   π Câu 13 Nghiệm phương trình sin x + = là π π A x = + k2π B x = − + k2π C x = kπ D x = k2π 2 Câu 14 Phương trình: + sin 2x = có nghiệm là: π π π π A x = − + k2π B x = − + kπ C x = − + k2π D x = − + kπ 4  π Câu 15 Số nghiệm phương trình: sin x + = với π ≤ x ≤ 5π là A B C D   π Câu 16 Nghiệm phương trình sin 4x − − = là: π π 7π π π A x = + k ; x = +k B x = k2π; x = + k2π 24 2 π C x = kπ; x = π + k2π D x = π + k2π; x = k √ Câu 17 Phương trình + sin x = có nghiệm là: π π π 2π A x = + k2π ∨ x = − + k2π B x = − + k2π ∨ x = + k2π 3 3 π π 2π 4π C x = + k2π ∨ x = D x = − + k2π ∨ x = + k2π + k2π 3 3 Câu 18 Nghiệm phương trình sin 3x = sin x là: π π π A x = + kπ B x = kπ; x = + k π C x = k2π D x = + kπ; k = k2π Câu 19 Phương trình sin 2x = − có bao nhiêu nghiệm thõa < x < π A B C D   π Câu 20 Số nghiệm phương trình sin x + = với π ≤ x ≤ 3π là: A B C D Câu 21 Nghiệm phương trình cos x = là π A x = kπ B x = + k2π Câu 22 Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng π A cos x 6= ⇔ x 6= + kπ π C cos x 6= −1 ⇔ x 6= − + k2π Câu 23 Phương trình: cos 2x = có nghiệm là π A x = + k2π B x = kπ  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An C x = k2π D x = π + kπ π + kπ π D cos x 6= ⇔ x 6= + k2π B cos x 6= ⇔ x 6= C x = k2π 17 D x = π + kπ  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 24 Nghiệm phương trình cos x = −1 là π 3π A x = π + kπ B x = − + k2π C x = π + k2π D x = + kπ 2 Câu 25 Nghiệm phương trình cos x = là   π π x = + k2π x = + k2π  6 A  (k ∈ Z) B  (k ∈ Z) π 5π x = − + k2π x= + k2π 6   π π x = + k2π x = + k2π  3  C  (k ∈ Z) D (k ∈ Z) π 2π x = − + k2π x= + k2π 3 Câu 26 Nghiệm phương trình cos 2x + = là π π π 2π A x = − + k2π; x = + k2π B x = − + k2π; x = + k2π 3 2π 2π π π C x = + k2π; x = − + k2π D x = + kπ; x = − + kπ 3 3  π Câu 27 Phương trình cos 2x − = có nghiệm là π kπ A x = + B x = π + kπ C x = kπ D x = k2π 2  π Câu 28 Nghiệm phương trình cos x + = là: π π A x = + k2π B x = − + k2π C x = kπ D x = k2π 2 √ Câu 29 trình lượng giác: cos x + = có nghiệm là  Phương    π π 3π 5π x = + k2π x = + k2π x= + k2π x= + k2π     4 4 A  B  C  D  −π 3π −3π −5π x= + k2π + k2π x= x= + k2π x= + k2π 4 4 √ Câu 30 Nghiệm phương trình: cos 2x = là     π π π π x = + k2π x = + kπ x = + kπ x = + k2π 4 8 A  B  C  D  π π π π x = − + k2π x = − + kπ x = − + kπ x = − + k2π 4 8 Câu 31 Nghiệm phương trình cos x = − là: π π 2π π A x = ± + k2π B x = ± + k2π C x = ± + k2π D x = ± + kπ 6 √ Câu 32 Nghiệm phương trình cos x + = là: 5π π π 2π + kπ + k2π A x = B x = − + k2π C x = + k2π D x = ± 6  √ π Câu 33 Số nghiệm phương trình: cos x + = với ≤ x ≤ 2π là A B C D √ Câu 34 Phương trình cos x − = có họ nghiệm là π π A x = ± + kπ(k ∈ Z) B x = ± + k2π(k ∈ Z) 3 π π C x = ± + k2π(k ∈ Z) D x = ± + kπ(k ∈ Z) 6  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 18 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 18 19  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Câu 35 Giải phương trình lượng giác: cos 2x − = có nghiệm là π π π π A x = ± + k2π B x = ± + k2π C x = ± + kπ D x = ± + k2π 12 12 x √ Câu 36 Giải phương trình lượng giác: cos + = có nghiệm là 5π 5π 5π 5π A x = ± + k4π B x = ± + k4π C x = ± + k2π D x = ± + k2π 6 √ Câu 37 Giải phương trình cos x = cos √ √ 3 A x = ± + k2π; k ∈ Z B x = ± arccos + k2π; k ∈ Z 2 π π C x = ± arccos + k2π; k ∈ Z D x = ± + k2π; k ∈ Z 6 √ x Câu 38 Nghiệm phương trình cos = cos (với k ∈ Z) là √ √3 √ √ A x = ± + kπ B x = + k6π C x = ± + k4π D x = ±3 + k6π Câu 39 Nghiệm phương trình cos 3x = cos x là: π A x = k2π B x = k2π; x = + k2π π π C x = k D x = kπ; x = + k2π 2 √ √ Câu 40 Phương trình 2 cos x + = có các nghiệm là: 5π π A x = ± + k2π(k ∈ Z) B x = ± + k2π(k ∈ Z) 6 5π π C x = ± + k2π(k ∈ Z) D x = ± + k2π(k ∈ Z) 3 π Câu 41 Phương trình cos 4x = cos có nghiệm là   π π x = + k2π x= + k2π 20   A B , (k ∈ Z) , (k ∈ Z) π π x = − + k2π x = − + k2π 20   π π π π x= +k x= +k 5 , (k ∈ Z) 20 , (k ∈ Z) C  D  π π π π x=− +k x=− +k 5 20 x √ Câu 42 Giải phương trình lượng giác cos + = có nghiệm là   5π 5π x= + k2π x= + k2π   A  (k ∈ Z) B  (k ∈ Z) 5π 5π x=− x=− + k2π + k2π   5π 5π + k4π + k4π x= x=   (k ∈ Z) (k ∈ Z) C  D  5π 5π + k4π + k4π x=− x=−   √ π Câu 43 Số nghiệm phương trình cos x + = với ≤ x ≤ 2π là A B C D x π  + = thuộc khoảng (π, 8π) là Câu 44 Số nghiệm phương trình cos A B C D   π π π √ − = khoảng − ; là Câu 45 Nghiệm phương trình cos x − 2 ™ ™ ß ß ™ ß nπo −π −7π 7π π 7π ; ; A B C D 12 12 12 12 12 12  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 19  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 46 Phương trình cos2 x = có nghiệm là π π A x = k B x = ± + kπ 4 π C x = k D vô nghiệm π Câu 47 Tìm tổng các nghiệm phương trình:2 cos(x − ) = trên (−π; π) 2π π 4π 7π A B C D 3 3 √ Câu 48 Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: cos π(3 − + 2x − x2 ) = −1 A B C D Câu 49 Giải phương trình cos2 2x = π π π 2π A x = ± + k2π, x = ± + kπ; k ∈ Z B x = ± + kπ, x = ± + kπ; k ∈ Z 6 π π π π C x = ± + kπ, x = ± + kπ; k ∈ Z D x = ± + kπ, x = ± + kπ; k ∈ Z 6 Câu 50 Nghiệm phương trình: + tan x = là π π π π A x = + kπ B x = − + kπ C x = + k2π D x = − + k2π 4 4  π √ Câu 51 Họ nghiệm phương trình tan x + + = là 8π 8π + kπ; k ∈ Z + kπ; k ∈ Z A B − 15 15 8π 8π + k2π; k ∈ Z + k2π; k ∈ Z C − D 15 15 x Câu 52 Phương trình tan x = tan có họ nghiệm là A x = k2π(k ∈ Z) B x = kπ(k ∈ Z) C x = π + k2π(k ∈ Z) D x = −π + k2π(k ∈ Z) √ Câu 53 Nghiệm phương trình + tan x = là: π π π π A x = + kπ B x = + k2π C x = − + kπ D x = + kπ √ Câu 54 Phương trình + tan x = có nghiệm là π π A x = + kπ B x = − + kπ 3 π 2π π 4π C x = + k2π; x = + k2π D x = − + k2π; x = + k2π 3 3 √ Câu 55 Phương trình lượng giác: · tan x + = có nghiệm là π π π π A x = + kπ B x = − + k2π C x = + kπ D x = − + kπ 3 x Câu 56 Phương trình tan = tan x có nghiệm là A x = k2π, k ∈ Z B x = kπ, k ∈ Z C x = π + k2π, k ∈ Z D Cả A, B, C đúng √ Câu 57 Nghiệm phương trình 3tan3x − = (với k ∈ Z) là π kπ π kπ π kπ π kπ A x = + B x = + C x = + D x = + 9 3 9 Câu 58 Nghiệm phương trình tan x = là A x = arctan + kπ B x = arctan + k2π π C x = + kπ D x = + kπ Câu 59 Họ nghiệm phương trình tan 2x − tan x = là: −π π π + kπ, k ∈ Z + kπ, k ∈ Z A B C + kπ, k ∈ Z D kπ, k ∈ Z 6  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 20 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 20 21  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Câu 60 Phương trình lượng giác: · tan x − = có nghiệm là π π π π A x = + kπ B x = − + k2π C x = + kπ D x = − + kπ 3 Å ã √ 3π Câu 61 Giải phương trình tan 3x + = π π π π A x = + k ; k ∈ Z B x = − + k ; k ∈ Z π π π π C x = − + k ; k ∈ Z D x = − + k ; k ∈ Z 5 x √ Câu 62 Nghiệm phương trình tan − = nửa khoảng [0; 2π) là ™ ™ ß ß ™ ß ß ™ π 2π 3π π 3π 2π ; ; A B C D 3 2 Câu 63 Phương trình tan(2x + 12◦ ) = có nghiệm là A x = −6◦ + k90◦ , (k ∈ Z) B x = −6◦ + k180◦ , (k ∈ Z) C x = −6◦ + k360◦ , (k ∈ Z) D x = −12◦ + k90◦ , (k ∈ Z) Câu 64 Nghiệm phương trình tan(2x − 15◦ ) = 1, với −90◦ < x < 90◦ là A x = −30◦ B x = −60◦ C x = 30◦ D x = −60◦ , x = 30◦ π  3π Câu 65 Số nghiệm phương trình tan x = tan trên khoảng ; 2π 11 A B C D Câu 66 Giải phương trình: tan2 x = có nghiệm là π π A x = − + kπ B x = ± + kπ C vô nghiệm D 3 Câu 67 Nghiệm phương trình + cot x = là: π π π A x = + kπ B x = − + kπ C x = + k2π D 4 √ Câu 68 Nghiệm phương trình cot x + = là: π π π A x = − + kπ B x = − + kπ C x = + k2π D √ Câu 69 Phương trình lượng giác: cot x − = có nghiệm là π π π A x = + kπ B x = + kπ C x = + k2π D 3 √ Câu 70 Phương trình lượng giác: cot x − = có nghiệm là  π √ x = + k2π  + kπ A  B x = arc cot −π x= + k2π· π π C x = + kπ D x = + kπ  π √ = là Câu 71 Nghiệm phương trình cot x + π π π + kπ A x = B x = + kπ C x = − + kπ D 12 12 √ π Câu 72 Giải phương trình cot(5x − ) = π π π A x = + kπ; k ∈ Z B x = + k ; k ∈ Z 8 π π π π C x = + k ; k ∈ Z D x = + k ; k ∈ Z 8 √ x Câu 73 Nghiệm phương trình cot( + 10◦ ) = − (với k ∈ Z) là A x = −200◦ + k360◦ B x = −200◦ + k720◦  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 21 x= π + kπ x=− x= π + k2π π + kπ Vô nghiệm x= π + kπ  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC C x = −20◦ + k360◦ D x = −160◦ + k720◦ Câu 74 Giải phương trình tan x = cot x π π A x = + k ; k ∈ Z B π C x = + kπ; k ∈ Z D Câu 75 Phương x · cot x = có tập nghiệm là ß trình tan ™ kπ ;k ∈ Z A T = R\ B C T = R\{π + kπ; k ∈ Z} D Câu 76 Giải phương trình tan 3x tan x = π π A x = + k ; k ∈ Z B 8 π π C x = + k ; k ∈ Z D Câu 77 Nghiệm phương trình tan 3x · cot 2x = là π π π A k , k ∈ Z B − + k , k ∈ Z C Câu 78 Nghiệm phương trình tan 4x · cot 2x = là π π + k , k ∈ Z A kπ, k ∈ Z B C Câu 79 Phương trình nào sau đây vô nghiệm A tan x = B cot x = π x = − + kπ; k ∈ Z π π x = + k ; k ∈ Z 4 T = R\ nπ T = R o + kπ; k ∈ Z π π + k ; k ∈ Z 4 π π x = + k ; k ∈ Z x= kπ, k ∈ Z D Vô nghiệm π k , k ∈ Z D Vô nghiệm C cos x = D sin x = √
Câu 81 Phương trình (sin x + 1) sin x − = có nghiệm là: π π π A x = − + k2π(k ∈ Z) B x = ± + k2π,x = − + kπ(k ∈ Z) π π C x = + k2π D x = ± + k2π 2 √
Câu 82 Phương trình s in2x · sin x − = có nghiệm là     π π π x=k x=k x = kπ x=k 2     π     π π π + k2π x =     A x = + k2π B x = + kπ C  D x = + k2π 4 4     3π π 3π 3π x= + k2π x = − + k2π x= + k2π x= + kπ 4 4 Câu 83 Nghiệm phương trình · sinx · cosx = là: π π A x = k2π B x = + kπ C x = k D x = kπ Câu 84 Giải phương trình sin x cos x cos 2x + = π π A x = − + k2π; k ∈ Z B x = − + kπ; k ∈ Z 8 π π π π C x = − + k ; k ∈ Z D x = − + k ; k ∈ Z 8 √ Câu 85 Giải phương trình cos x(2 cos x + 3) = 5π 5π π π + kπ; k ∈ Z + k2π; k ∈ Z A x = + kπ, x = ± B x = + kπ, x = 6 π 5π π 2π C x = + kπ, x = ± + k2π; k ∈ Z D x = + kπ, x = ± + k2π; k ∈ Z Câu 86 Nghiệm phương trình sin4 x − cos4 x = là π π π 3π π + k2π A x = − + kπ B x = + k C x = D x = ± + k2π 4 4  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 22 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 22 23  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 87 Phương trình nào tương đương với phương trình sin2 x − cos2 x − = A cos 2x = B cos 2x = −1 C cos x − = D (sin x − cos x)2 = Câu 88 Phương trình − cos2 x = tương đương với phương trình nào sau đây? 1 1 A cos 2x = B cos 2x = − C sin 2x = D sin 2x = − 2 2 √
Câu 89 = là:  Nghiệm phương trình sin x · cos x −  x = kπ x = kπ A  (k ∈ Z) B  (k ∈ Z) π π x = ± + k2π x = ± + kπ 6  x = k2π π C  (k ∈ Z) D x = ± + k2π(k ∈ Z) π x = ± + k2π √ Câu 90 Phương trình (sin x + 1)(2 cos 2x − 2) = có nghiệm là π π A x = − + k2π, k ∈ Z B x = − + kπ, k ∈ Z π C x = + kπ, k ∈ Z D Cả A, B, C đúng Câu 91 Nghiệm phương trình sin x · cos x · cos 2x = là: π π π A x = kπ B x = k C x = k D x = k Câu 92 Cho phương trình cos x · cos 7x = cos 3x · cos 5x (1) Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình (1) A sin 5x = B cos 4x = C sin 4x = D cos 3x = sin 3x = thuộc đoạn [2π; 4π] là Câu 93 Số nghiệm phương trình cos x + A B C D sin 2x − = là Câu 94 Tất các nghiệm phương trình √ · cos x −1 π x = + k2π, k ∈ Z 3π  A x = − + k2π, k ∈ Z B  3π x= + k2π, k ∈ Z π π C x = + kπ, k ∈ Z D x = + k2π, k ∈ Z 4 6 Câu 95 Giải phương trình 4(sin x + cos x) + 2(sin x + cos x) = − cos2 2x π kπ π kπ A x = ± + , k ∈ Z B x = ± + , k ∈ Z 24 kπ π π kπ , k ∈ Z , k ∈ Z C x = ± + D x = ± + 12 Câu 96 ìm số nghiệm x ∈ [0; 14] nghiệm đúng phương trình: cos 3x − cos 2x + cos x − = A B C D Câu 97 Giải phương trình sin x · cos x(1 + tan x)(1 + cot x) = kπ , k ∈ Z A Vô nghiệm B x = k2π, k ∈ Z C x = Câu 98 Nghiệm phương trình cos x cos 5x = cos 6x (với k ∈ Z) là π kπ kπ A x = + kπ B x = C x =  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 23 D x = kπ, k ∈ Z D x = π kπ +  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Câu 99 Phương trình sin6 x + cos6 x = có nghiệm là: 16 π π π π π π A x = ± + k B x = ± + k C x = ± + k x x Câu 100 Phương trình sin 2x = cos4 − sin4 có các nghiệm là; 2    π π π π 2π x= +k x = + kπ x = + k  A  B  C  π π π x = + kπ x = + k2π x = + k2π 2 D x = ± π π +k  π π x= +k  12 D  3π x= + kπ BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 82 92 A B C C D A C 12 22 32 42 83 93 A C B D D B B 13 23 33 43 84 94 A D B B B D A 14 24 34 44 85 95 B B C C C C C 15 25 35 45 86 96 C D D C C B D 16 26 36 46 87 97 D A D B B B A 17 27 37 47 88 98 D D A A A A D 18 28 38 48 89 99 B D B D C A D C 19 B 29 B 39 C 49 C 90 D 100 A 10 20 30 40 81 91 A A C A A D BÀI MỘT3SỐ PHƯƠNG MỘT SỐ TRÌNH PHƯƠNG LƯỢNG TRÌNH GIÁC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP THƯỜNG GẶP A KIẾN THỨC CẦN NẮM Phương Phương trìnhtrình bậc bậc hai hai đối với mộtmột hàm hàm số số lượng lượng giác giác Phương trình bậc hai hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2 + bt + c = đó a, b, c là các số (a 6= 0) và t là hàm số lượng giác Cách giải Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn phụ này Cuối cùng, ta đưa việc giải các phương trình lượng giác Phương Phương trìnhtrình bậc bậc nhấtnhất đối với sin sin x và x và coscos x x Phương trình bậc sin xvàcos x là phương trình có dạng a sin x + b cos x = c Cách giải Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2 √ Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 , ta đựợc  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 24 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 24 25  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a b c √ sin x + √ cos x = √ 2 aÅ+ b a + b2 ã2 aÅ + b ã2 a b a b √ √ √ Do √ + = nên đặt = cos α − → = sin α a + b2 a2 + b a2 + b a2 + b Khi đó phương trình trở thành cos α sin x + sin α cos x = √ c c √ ⇔ sin (x + α) = a2 + b a2 + b Phương Phương trìnhtrình bậc bậc hai hai đối với sin sin x và x và coscos x x Định nghĩa Phương trình bậc hai sin xvàcos x là phương trình có dạng a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d Cách giải ● Kiểm tra cos x = có là nghiệm phương trình ● Khi cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x ta thu phương trình a tan2 x + b tan x + c = Đây là phương trình bậc hai tan x mà ta đã biết cách giải Đặc biệt Phương trình dạng a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d ta làm sau: Phương trình ⇔ a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d
⇔ a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d sin2 x + cos2 x ⇔ (a − d) sin2 x + b sin x cos x + (c − d) cos2 x = Phương Phương trìnhtrình chứachứa sin xsin ±xcos ±x cosvàx sin và sin x cos x cos x x Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x cos x a (sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = √ Cách giải Đặt t = sin x ± cos x (điều kiện − 22) Biểu diễn sin x cos x theo t ta phương trình B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Phương Trình Bậc Hai Đối Với Hàm Số Lượng Giác Bài Giải các phương trình sau: √ √ a) sin2 x − (2 + 3) sin x + = b) c) sin2 2x + sin 2x − = √ √ cot2 x − cot x + = d) cos2 x − 11 cos x + = Bài Giải các phương trình sau : b) cos 2x − cos x = 1; a) sin2 x + cos x + = 0;  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 25  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP c) sin2 2x + √ cos 2x + = 0; d) cos 2x + cos x − √ = Bài Giải các phương trình sau: a) tan x − cot x − = 0; c) tan2 x − b) cot4 x − cot2 x + = 0; + = 0; cos x d) cos2 x + cot2 x = + sin3 x sin2 x Bài Giải các phương trình sau: a) − cot 2x + = 0; sin2 2x b) tan x − + = 0; tan x d) (2 tan x − cot x) sin 2x = sin2 x + c) (sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x = 0; Bài Giải các phương trình sau: a) sin4 x + cos4 x = ; b) sin4 2x + cos4 2x = − sin 4x Bài Cho phương trình cos 2x + (m + 4) sin x − (m + 2) = a) giải phương trình với m = h π πi b) Tìm các giá trị m để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn − ; 2 h πi Bài Định m để phương trình cos2 x − cos x + − m = có nghiệm thuộc đoạn 0; Bài Giải các phương trình sau : a) − cos 2x − = cos 2x b) sin x2 + cos 2x + sin x + = Bài Giải phương trình sau: sin6 x + cos4 x = cos 2x Bài 10 Giải phương trìnhsau :cos2 x − cos x − 2x sin x + x2 + = DẠNG Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Sin Và Cos Bài 11 Giải các phương trình sau: √ √ a) sin x − cos x = √ 3cos7x = √ d) sin x + cos x = √ √ f) cos x + sin x = 3; b) sin 7x + c) cos 2x − 12 sin x = 13 √ e) cos x − sin x = 2; g) sin x + sin2 √ x = + 5; h) cos2 x − √ √ sin 2x = + sin2 x Bài 12 Giải các phương trình sau: sin 2x a) cos2 x + √ = b) sin2 x − cos x sin x + = Bài 13 Định m để các phương trình sau có nghiệm:  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 26 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 26 27  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC b) m sin x cos x + sin2 x = m; √ d) sin x − cos x + = m (2 + sin x) a) m sin x + cos x = 1; c) m cos 2x + (m + 1) sin 2x = m + 2; Bài 14 Cho phương trình m sin x − cos x = −2 √ 1) Giải phương trình m = 2) Định m để phương trình trên vô nghiệm Bài 15 Giải các phương trình sau: √ a) sin 3x − cos 3x = sin 2x;   √ π π b) sin x + − sin x = cos x + 6 Bài 16 Giải các phương trình sau: a) (1 + sin x) (1 + cos x) = 2; b) cos x + 1 10 + sin x + = cos x sin x Bài 17 Giải các phương trình sau: cos2 2x + (sin x + cos x)3 − sin 2x − = DẠNG Phương Trình Bậc Hai Đối Với sin x và cos x Bài 18 Giải các phương trình sau: √ b) sin2 x + 3 sin 2x − cos2 x = 4; √ d) sin2 x − sin x cos x + cos2 x = 1; a) sin2 x + sin x cos x − cos2 x = 0; c) sin2 x − sin x cos x − cos2 x = 0; √ e) cos2 x + sin2 x + sin x cos x − = 0; f) cos4 x − sin2 x cos2 x + sin4 x = Bài 19 Định m để phương trình sin2 x + m sin 2x − cos2 x = có nghiệm Bài 20 Cho phương trình (m + 2) cos2 x + m sin 2x + (m + 1) sin2 x = m − 1) Giải phương trình với m = −1 2) Định m để phương trình đã cho có nghiệm DẠNG Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x cos x Bài 21 Giải các phương trình sau: a) sin 2x − 12 (sin x − cos x) + 12 = 0; √ 3√ c) sin x + cos x = + sin x cos x; Bài 22 Giải các phương trình sau: √ a) sin3 x + cos3 x = ; b) sin x cos x + (sin x + cos x) = 2; d) sin x − cos x + sin 2x = √ b) (1 − sin x cos x) (sin x + cos x) = ; √ d) + tan x = 2 sin x c) (sin x + cos x)3 + sin x cos x − = 0;  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 27  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG Phương Trình Tích Bài 23 Giải các phương trình sau: a) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x; b) + cos x + cos 2x + cos 3x = 0; c) cos 2x − cos 8x + cos 6x = 1; d) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x Bài 24 Giải các phương trình sau a) sin 2x − cos 2x = sin x + cos x − 4; b) cos6 x + sin4 x + cos 2x = 0; c) sin 2x − cos 2x = (4 sin x − 1); d) cos 2x + sin 2x + sin x − cos x = Bài 25 Giải các phương trình sau: a) sin 3x sin 5x = ; b) sin 5x = sin x Bài 26 Giải các phương trình sau: b) tan2 x + tan x tan 3x = a) tan x + cot x = (sin 2x + cos 2x); C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc theo hàm số lượng giác A sin2 x + sin 2x − = B sin2 2x − sin 2x = C cos2 x + cos 2x − = D tan2 x + cot x − = Câu Phương trình sin2 x + sin x − = có nghiệm là: π A x = + k2π, k ∈ Z B x = π + k2π, k ∈ Z π C x = kπ, k ∈ Z D x = + kπ, k ∈ Z √ Câu Phương trình: sin x + sin 2x = có nghiệm là:   π π x = + k2π x = + kπ 6 A  , k ∈ Z B  , k ∈ Z π π x = + k2π x = + kπ 2 π π C x = + kπ, k ∈ Z D x = + k2π, k ∈ Z 2 Câu Nghiệm phương trình sin x − sin x + = là: π π A x = − + k2π, k ∈ Z B x = ± + k2π, k ∈ Z 2 π C x = + k2π, k ∈ Z D x = k2π, k ∈ Z Câu Nghiệm phương trình − sin x − cos2 x = là π π A kπ, k ∈ Z B k2π, k ∈ Z C + k2π, k ∈ Z D + k2π, k ∈ Z  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 28 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 28 29  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu Tìm tất các họ nghiệm phương trình: sin2 x − sin x + = π π 5π A x = + k2π(k ∈ Z) B x = + kπ; x = + kπ(k ∈ Z) 6 π π 5π π C x = + k2π; x = + k2π(k ∈ Z) D x = + kπ; x = − + kπ(k ∈ Z) 6 6 Câu Các họ nghiệm phương trình cos 2x − sin x = là π 2π π −π 2π −π A + k ; + k2π; k ∈ Z B +k ; + k2π; k ∈ Z 6 2π −π 2π π π −π C + k ; + k2π; k ∈ Z D + k ; + k2π; k ∈ Z 6 2 Câu Nghiêm pt sin x = sinx + là: π π −π A x = + k2π B x = + kπ C x = + k2π D x = kπ 2 Câu Nghiệm phương trình cos2 x + sin x + = là π π A x = + k2π, k ∈ Z B x = − + kπ, k ∈ Z 2 π π C x = − + k2π, k ∈ Z D x = ∓ + k2π, k ∈ Z 2 Câu 10 Nghiêm phương trình sin x = − sin x + là π A x = kπ, k ∈ Z B x = + k2π, k ∈ Z π π C x = − + k2π, k ∈ Z D x = + kπ, k ∈ Z 2 Câu 11 Phương trình sin x + sin x − = có nghiệm là π A kπ, k ∈ 𝟋 B + kπ, k ∈ 𝟋 5π π π + k2π, k ∈ Z C + k2π, k ∈ 𝟋 D + k2π; 6 Câu 12 Nghiệm phương trình − sin x + cos2 x =  là π  π x = + k2π x = + k2π  6 A  , k ∈ Z B , k ∈ Z  π 5π x = − + k2π x= + k2π 6   π π x = + k2π x = + k2π  3  C D  , k ∈ Z , k ∈ Z π 2π x = − + k2π x= + k2π 3 Câu 13 Một họ nghiệm phương trình cos2 2x + sin 2x − = là π π π π π A + kπ B k C − + k D k 2 Câu 14 Một họ nghiệm là ã Å ã phương trình cos 2x + sin x − = Å 1 A π + arcsin − + k2π B π − arcsin − + k2π Å4 ã Å 4ã 1 π π + kπ + kπ C − arcsin − D − arcsin − 2 4 x x Câu 15 Phương trình: sin2 − cos + = có nghiệm là: 3 A x = kπ, k ∈ Z B x = k3π, k ∈ Z C x = k2π, k ∈ Z D x = k6π, k ∈ Z √ √
Câu 16 Giải phương trình tan2 x − + tan x + = π π π π A x = + kπ, x = + kπ, k ∈ Z B x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z π π π π C x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z D x = + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 6  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 29  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Câu 17 Phương trình tan x + cot x = (với.k ∈ Z.) có nghiệm là: π π A + k2π, arctan + k2π B + kπ 4 π C arctan + kπ D + kπ, arctan + kπ Câu 18 Nghiệm phương trình sin x sin x = thỏa điều kiện: < x < π π π A x = B x = π C x = D x = − 2 π Câu 19 Nghiệm phương trình lượng giác: sin2 x − sin x + = thỏa điều kiện ≤ x < là: π π π 5π A x = B x = C x = D x = 6 π π Câu 20 Nghiệm phương trình sin2 x + sin x = thỏa điều kiện: − < x < 2 π π A x = B x = π C x = D x = 2 Câu 21 n πTrong [0; o 2π), phương trình sin x = − cos x cóntậpπnghiệm o là n π o A ; π; 2π B {0; π} C 0; ; π D 0; ; π; 2π 2 2 Câu 22 = ß Nghiệm ™ phương trình ß sin 2x™+ sin 2x + ß ™ khoảng (−π; π)ßlà: ™ π 3π π 3π π 3π π 3π A − ; − B − ; C ; D ;− 4 4 4 4 Câu 23 Giải phương trình lượng giác sin4 x + 12 cos2 x − = có nghiệm là: π π π π π A x = ± + k2π B x = + k C x = + kπ D x = − + kπ 4 4 Câu 24 Họ nghiệm phương trình tan 2x + cot 2x − = là π π π π π π A − + k B +k C − arctan + k D arctan + k 4 2 2 2 Câu 25 Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn phương trình tan x + tan x + = là: π π π 5π A − B − C − D − 6  π  Câu 26 Số nghiệm phương trình tan x − cot x − = khoảng − ; π là: A B C D  π  π Câu 27 Phương trình cos x + + cos − x = có nghiệm là: 3 π 2   π π π x = + k2π x = − + k2π x = − + k2π x = + k2π   6 A  B  C  D  π π 3π 5π x = + k2π x = + k2π + k2π + k2π x= x= Câu 28 Cho phương trình cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + cos x + Các nghiệm thuộc khoảng (−π; π) phương trình là: 2π π π 2π π π π π A − , B − , C − , D − , 3 3 2     π π Câu 29 Phương trình: sin4 x + sin4 x + + sin4 x − = có nghiệm là: 4 π π π π π A x = + k B x = + k C x = + kπ D x = π + k2π 4 2  π  Câu 30 Tìm m để phương trình 2sin2 x − (2m + 1)sinx + m = có nghiệm x ∈ − ; A −1 < m < B < m < C −1 < m < D < m < 1 tan x Câu 31 Cho phương trình cos 4x + = m Để phương trình vô nghiệm, các giá trị tham + tan2 x số m phải thỏa mãn điều kiện:  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 30 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 30 31  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A − ≤ m ≤ B < m ≤ C < m ≤ D m < − haym > 2 Câu 32 Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc theo sin x và cos x A sin2 x + cos x − = B sin 2x − cos x = C cos x + sin x = D cos x + sin 3x = −1 Câu 33 Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm: √ A cos x − = B sin 2x − 10 = C cos2 x − cos x − = D sin x + cos x = Câu 34 Phương trình nào sau đây vô nghiệm A sin x = √ C sin 2x − cos 2x = B Câu 35 Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A cos x = √ C sin 2x − cos 2x = B √ sin x − cos x = −3 D sin x − cos x = √ sin x + cos x = −1 D sin x − cos x = Câu 36 Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A sin x − cos x = √ C sin 2x − cos 2x = B tan x = D sin x − cos x = Câu 37 Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? √ 1 A sin x = B cos 4x = C sin x + cos x = D cot2 x − cot x + = Câu 38 Phương trình nào sau đây vô nghiệm? √ A sin 2x − cos 2x = π C sin x = cos Câu 39 Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A sin x − cos x = √ C sin 2x − cos 2x = B sin x − cos x = √ D sin x − cos x = −3 B cosx + 3sinx = −1 D 2sinx + 3cosx = Câu 40 Nghiệm phương trình cos x + sin x = là: π π A x = k2π; x = + k2π B x = kπ; x = − + k2π 2 π π C x = + kπ; x = k2π D x = + kπ; x = kπ √ √ Câu 41 Nghiệm phương trình sin x + cos x = là: π 5π π 3π A x = − + k2π; x = + k2π B x = − + k2π; x = + k2π 12 12 4 2π 5π π π + k2π + k2π C x = + k2π; x = D x = − + k2π; x = − 3 4 √ Câu 42 Phương trình lượng giác: cos x − sin x = có nghiệm là π π π A x = + kπ B Vô nghiệm C x = − + kπ D x = + kπ 6 Câu 43 Số nghiệm phương trình sin x + cos x = trên khoảng (0; π) là A B C D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 31  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường √ √ √

Câu 44 Phương trình − sin x − + cos x + − = có các nghiệm là   π π x = − + k2π x = − + k2π , k ∈ Z , k ∈ Z A  B  π π x = + k2π x = + k2π   π π x = − + k2π x = − + k2π C  , k ∈ Z D  , k ∈ Z π π x = + k2π x= + k2π 12 √ Câu 45 Nghiệm phương trình sin 2x − cos 2x = là π π π A x = + k , k ∈ Z B x = + kπ, k ∈ Z π π π C x = + kπ, k ∈ Z D x = + k , k ∈ Z √ Câu 46 Phương trình: · sin 3x + cos 3x = −1 tương đương trình nào sau đây:   với phương π π π A sin 3x − =− B sin 3x + =− 6   π π C sin 3x + D sin 3x + =− = 6 √ Câu 47 Phương trình sin x − cos x = có nghiệm là 2 5π + k2π, k ∈ Z A x = B x = π + kπ, k ∈ Z 6 −π π C x = + k2π, k ∈ Z D x = + k2π, k ∈ Z 6 Câu 48 Phương trình cos x + 2| sin x| = có nghiệm là: π π π π A x = + kπ B x = + kπ C x = + kπ D x = + kπ √ Câu 49 Với giá trị nào m thì phương trình (m + 1) sin " x + cos x = có nghiệm √ √ m≥1 A −3 ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C D − ≤ m ≤ m ≤ −3 Câu 50 Điều kiện để phương trình m sin x − cos x = có nghiệm là: √ A m ≥ B −4 ≤ m ≤ C m ≥ 34 " D m ≤ −4 m≥4 Câu 51 Với giá trị nào m thì phương trình sin x + cos x = m có nghiệm: √ √ √ A − ≤ m ≤ B m ≥ C −1 ≤ m ≤ D m ≤ Câu 52 Cho phương trình: (m2 + 2) cos2 x − 2m sin 2x + = Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp tham số m là 1 1 A −1 ≤ m ≤ B − ≤ m ≤ C − ≤ m ≤ D |m| ≥ 2 4 m có nghiệm là Câu 53 Tìm m để pt sin 2x + cos2 x = √ √ √ √ A − ≤ m ≤ + B − ≤ m ≤ + √ √ C − ≤ m ≤ + D ≤ m ≤ Câu 54 Điều kiện có nghiệm pt a sin 5x + b cos 5x = c là A a2 + b2 < c2 B a2 + b2 ≤ c2 C a2 + b2 ≥ c2 Câu 55 Điều kiện để phương trình " m sin x + cos x = 10 vô nghiệm là m ≤ −6 A m > B C m < −6 m≥6  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 32 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” D a2 + b2 > c2 D −6 < m <  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 32 33  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Câu 56 Cho phương trình m sin x − A ≤ m ≤ 3 C Không có giá trị nào củam  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ − 3m cos x = m − Tìm m để phương trình có nghiệm B m ≤ D m ≥ Câu 57 Tìm m để phương trình2 sin2 x + m sin 2x = 2m vô nghiệm  m ≤ m<0 4   A ≤ m ≤ B C < m < D 4 3 m≥ m> 3 Câu 58 Giải phương trình sin 2x − cos x = 13 A Vô nghiệm B x = kπ, k ∈ Z C x = π + k2π, k ∈ Z D x = k2π, k ∈ Z √ Câu 59 Phương trình sin x + cos x = sin 5x có nghiệm là   π π π π x= +k x= +k 12 A  B  π π , k ∈ Z π π , k ∈ Z x= +k x= +k 24   π π π π +k +k x= x= 16 18 C  D  π π , k ∈ Z π π , k ∈ Z x= +k x= +k √ Câu 60 Phương trình sin x + sin 2x = có nghiệm là π 2π A x = + kπ, k ∈ Z B x = + kπ, k ∈ Z 3 4π 5π C x = D x = + kπ, k ∈ Z + kπ, k ∈ Z 3 √ Câu 61 Phương trình sin 8x − cos 6x = 3(sin 6x + cos 8x) có các họ nghiệm là:     π π π π x = + kπ x = + kπ x = + kπ x = + kπ A  B  C  D  π π π π π π π π x= +k x= +k x= +k x= +k 12 7 √ Câu 62  Phương trình: sin 3x +  cos 9x = + sin 3x  có các nghiệm là  π π π π 2π 2π 2π 2π x=− +k x=− +k x=− +k x=− +k  B  9 C  12 D  54 A     7π 2π 7π 2π 7π 2π π 2π +k +k +k +k x= x= x= x= 9 12 18 √ Câu 63 Phương trình cos x = + có nghiệm là   sin x π cos xπ  π π π π π π +k x= x= +k +k x= x= +k   16 12 A  B  C  D  π π 4π 2π x = + kπ x = + kπ x= + kπ x= + kπ 3       √ √ π π π Câu 64 Phương trình: sin x − cos x − + cos2 x − = + có nghiệm là: 8     3π 3π 5π 5π x= x= x= x= + kπ + kπ + kπ + kπ     4 A  B  C  D  5π 5π 5π 7π x= x= x= x= + kπ + kπ + kπ + kπ 24 12 16 24 Å ã  2π π · sin x + + cos 3x = có các nghiệm là: Câu 65 Phương trình: sin x · sin x + 3  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 33  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP   π 2π π +k x = + kπ  A  B  C π 2π x=k x=k 3 Câu 66  Giải phương trình sin 3x  − sin x cos 2x = k2π kπ x= x =   A  B  C π 2π x = ± + kπ x=± + kπ x=  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  π x = + k2π  x = kπ  π x = + k2π D  π x=k  x = k2π  π x = ± + kπ  x = kπ D  π x = ± + kπ Câu 67 Tập tất các nghiệm phương trình sin 2x + sin2 x − sin x − cos x + = là π π A x = ± + k2π, k ∈ Z B x = − + k2π, k ∈ Z π π C x = + k2π, k ∈ Z D x = + kπ, k ∈ Z 2 Câu 68 Biểu diễn tập nghiệm phương trình cos x + cos 2x + cos 3x = trên đường tròn lượng giác ta số điểm cuối là A B C D Câu 69 Tổng tất các nghiệm phương trình sin 5x cos 7x = cos 4x sin 8x trên (0; 2π) 19π 9π A B C 5π D 7π Câu 70 Phương trình sin 2x + cos x = có bao nhiêu nghiệm khoảng (0; π) A B C D Câu 71 Khi đặt t = tan x thì phương trình sin2 x + sin x cos x − cos2 x = trở thành phương trình nào sau đây? A 2t2 − 3t − = B 3t2 − 3t − = C 2t2 + 3t − = D t2 + 3t − = √ Câu 72 Giải phương trình sin2 x + sin 2x = 2π π 4π 5π A x = + kπ B x = + kπ C x = + kπ D x = + kπ 3 3 √ Câu 73 Phương trình: cos2 4x + sin2 4x = − sin 4x cos 4x có nghiệm là: π π π π π π π A x = − + k B x = − + k C x = − + kπ D x = − + k 18 24 12 Câu 74 Cho phương trình cos2 x − sin x cos x + = Mệnh đề nào sau đây là sai? A Nếu chia hai vế phương trình cho cos2 x thì ta phương trình tan2 x − tan x + = B Nếu chia vế phương trình cho sin2 x thì ta phương trình cot2 x + cot x + = C Phương trình đã cho tương đương với cos 2x − sin 2x + = D x = kπ không là nghiệm phương trình √ √ √

Câu 75 Phương trình: + sin x − sin x cos x + − cos x = có các nghiệm là:   π π x = + kπ x = − + kπ √ √ A  (Vớitan α = − 3) B  (Vớitan α = −1 + 3) x = α + kπ x = α + kπ   π π x = + kπ x = − + kπ √ √ (Vớitan α = − 3) (Vớitan α = −2 + 3) C  D  x = α + kπ x = α + kπ Câu 76 Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình sin2 x − Ä√  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường ä √ √ + sin x cos x + cos2 x = 34 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 34  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường 35  Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC å 3+1 √ B (cos x − 1) tan x − = 1− D sin x = √ Câu 77 Gọi S là tập nghiệm phương trình sin2 x + 3 sin x cos x − cos2 x = Khẳng định nào sau đâyßlà đúng? ™ ß ™ nπ o nπ π o π 5π π 5π A ; ⊂ S B ; ⊂ S C ; π ⊂ S D ; ⊂ S 12 6 √ √ √

Câu 78 Cho phương trình − sin2 x + sin 2x + + cos2 x − = Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Nếu chia hai vế phương trình cho cos2 x thì ta phương trình tan2 x − tan x − = B Nếu chia hai vế phương trình cho sin2 x thì ta phương trình cot2 x + cot x − = C Phương trình đã cho tương đương với cos 2x − sin 2x = 7π D x = là nghiệm phương trình Câu 79 Phương trình sin x + cos x = − sin 2x có nghiệm là:     π π π π π + k x = x = + kπ x = + kπ x = + k2π A  B  C  D  π π x=k x=k x = kπ x = k2π Câu 80 Giải phương trìnhsin x cos x + 2(sin x + cos x) =   π π x = + k2π x = − + k2π 2 A  , k ∈ Z B  , k ∈ Z x = k2π x = k2π   π π x = − + kπ x = + kπ 2 C  , k ∈ Z D  , k ∈ Z x = kπ x = kπ Ç  π A sin x + = √
C tan x + + (cos2 x − 1) = √ BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 51 61 71 B D C D A A A D 12 22 32 42 52 62 72 A B B C A D D B 13 23 33 43 53 63 73 B D B D B C B B 14 24 34 44 54 64 74 C B D B B C B B 15 25 35 45 55 65 75  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An C D B D D D A A 16 26 36 46 56 66 76 35 C A D A C C D C 17 27 37 47 57 67 77 C D A C A D C D 18 28 38 48 58 68 78 A A D D D A A C 19 29 39 49 59 69 79 C C B A C C D B 10 20 30 40 50 60 70 80 B A C A D A B A  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” CHƯƠNG LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG TỔ HỢP - XÁC SUẤT TỔ HỢP - XÁC SUẤT BÀI A QUY TẮC ĐẾM QUY TẮC ĐẾM KIẾN THỨC CẦN NẮM 37  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường B  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Quy Tắc Cộng Bài Một lớp có 20 học sinh nam và 24 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn em tham gia đội cờ đỏ trường Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn? Bài Một đội văn nghệ có nam và 10 nữ Trong đêm diễn chào mừng ngày 20/10 có tiết mục múa bị hủy vì lý đột xuất, đội cần thay tiết mục đơn ca Hỏi đội có bao nhiêu cách chọn bạn đội để biểu diễn tiết mục đó, biết khả biểu diễn các bạn là nhau? Bài Bạn Nam có sách tham khảo Toán, sách tham khảo Lý và sách tham khảo Hóa Mỗi buổi tối thứ hàng tuần Nam giành thời gian để đọc sách tham khảo trên Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn sách để đọc? Bài Trong siêu thị A có 10 loại nước không có ga khác và 10 loại nước suối khác An đủ tiền mua chai nước nước suối Hỏi An có bao nhiêu cách chọn mua chai nước? Bài Trên tour du lịch Đà Lạt, đơn vị tổ chức thông báo có địa danh vui chơi cung đường chạy phía đèo và địa danh vui chơi nằm cung đường nhà thờ gà Do thời gian không cho phép nên tour đến địa danh Hỏi có bao nhiêu cách để tour chọn địa danh để vui chơi? Bài Một du khách nước ngoài du lịch Việt Nam muốn từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu Biết rằng, ngày có chuyến xe và chuyến tàu cao tốc từ Sài Gòn Vũng Tàu Hỏi du khách đó có bao nhiêu cách lựa chọn phương tiện để Vũng Tàu? Bài Trong kỳ thi vấn đáp có 40 câu hỏi khoa học xã hội, 45 câu hỏi khoa học tự nhiên và 30 câu hỏi khoa học thường thức gấp bỏ hộp Học sinh phải chọn câu hỏi hộp để trả lời Hỏi có bao nhiêu cách học sinh lựa chọn câu hỏi? Bài Mẫn nhà sách để chọn mua chì màu, nhà sách có 10 loại chì màu loại sáp và 12 loại chì màu loại nước Hỏi Mẫn có bao nhiêu cách chọn mua loại chì màu loại sáp chì màu loại nước? Bài Trong năm học vừa qua Nam đạt danh hiệu học sinh giỏi nên ba đưa mua điện thoại Trong tiệm có 12 dòng máy nhãn hiệu SAM SU N G và 22 dòng máy nhãn hiệu AP P LE có giá nằm giới hạn mà ba Nam có thể mua cho Nam Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn mua điện thoại? Bài 10 Trong ngày, từ thành phố A đến thành phố B có chuyến xe ô tô, chuyến tàu và chuyến bay Hỏi có bao nhiêu cách để du khách từ thành phố A đến thành phố B? Bài 11 Một hộp chứa 10 viên bi màu xanh, viên bi màu đỏ và 12 viên bi màu vàng Hỏi có bao nhiêu cách lấy viên bi từ hộp? Bài 12 Trong cửa hàng có 10 loại bóng đèn dây tóc, 12 loại bóng đèn Nê-ông và 20 loại bóng đèn led Vì lý tiết kiệm lượng nên An không chọn mua bóng đèn dây tóc Hỏi An có bao nhiêu cách chọn mua bóng đèn?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 37  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC ĐẾM DẠNG Quy Tắc Nhân Bài 13 Một người có cái quần và cái áo Người đó cần đồ dự tiệc gồm quần và áo, hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau? Bài 14 Một giá sách có sách tham khảo Toán khác nhau, sách tham khảo Lý khác và sách tham khảo Hóa khác Hỏi có bao nhiêu cách chọn sách tham khảo đó có đầy đủ ba môn? Bài 15 Một hộp có chứa cầu đỏ đánh số từ đến và 10 cầu trắng đánh số từ đến 10 Hỏi có bao nhiêu cách để chọn hai cầu cho tổng các số trên hai cầu là số lẻ? Bài 16 Có 50 cặp vợ chồng dự tiệc Tính số cách chọn người đàn ông và người phụ nữ bữa tiệc để tham gia trò chơi, cho: 1) Hai người đó là vợ chồng? b) Hai người đó không phải là vợ chồng? Bài 17 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Từ các phần tử thuộc tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? Bài 18 Cho tập hợp B = {0, 1, 2, 3, 4} Từ các phần tử thuộc tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? Bài 19 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Từ các phần tử tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác nhau? Bài 20 Cho các số tự nhiên: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a) Hỏi lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số? b) Hỏi lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau? c) Hỏi lập bao nhiêu số chẵn có chữ số khác nhau? Bài 21 Có tất bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác đó phải có mặt chữ số 5? Bài 22 Có cầu xanh đánh số từ đến 8, cầu vàng đánh số từ đến và 11 cầu đỏ đánh số từ đến 11 Hỏi có bao nhiêu cách lấy cầu vừa khác màu vừa khác số? Bài 23 Xếp sách Toán, sách Lý, sách Hóa vào kệ sách theo môn Tất các sách khác Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Bài 24 Một văn phòng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hỏi có cách chọn mua báo cho tuần gồm ngày làm việc để loại nhật báo mua? Bài 25 Một giải đấu Liên Minh Huyền Thoại có đội đó có đội Việt Nam tham gia là YG và GAM Hỏi có bao nhiêu cách xếp đội này thành hàng ngang để khai mạc cho hai đội Việt Nam luôn đứng cạnh nhau?  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 38 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 38 39  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Bài 26 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp thỏa mãn điều kiện: a) Bất kỳ học sinh nào ngồi cạnh đối diện khác trường? b) Bất kỳ học sinh nào ngồi đối diện khác trường? Bài 27 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên: a) Gồm chữ số đó các chữ số cách chữ số đứng thì giống nhau? b) Gồm chữ số đó hai chữ số kề phải khác nhau? DẠNG Tổng hợp Bài 28 Bạn An có bông hoa hồng khác nhau, bông hoa cúc khác nhau,3 bông hoa lan khác nhau, bạn cần chọn bông để cắm vào lọ hoa Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm cho hoa lọ phải có đủ các loại? Bài 29 Một tổ học sinh gồm nam và nữ Giáo viên cần chọn học sinh để lao động Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh chọn: 1) Có học sinh nam b) Có nhiều học sinh nam c) Có số nam luôn nhiêu số nữ Bài 30 Một bàn dài gồm ghế, có bao nhiêu cách xếp người Nam và người nữ vào ghế này cho Nam và Nữ ngồi xen kẽ nhau? Bài 31 Một giá sách có 12 sách Toán khác nhau; 10 sách Vật Lý khác và sách Hoá Học khác Hỏi có bao nhiêu cách chọn sách có môn khác nhau? Bài 32 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác nhau? Bài 33 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác và bé 345? Bài 34 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lớn 600.000? Bài 35 Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập bao nhiêu số có chữ số đôi khác cho hai chữ số đầu tiên là và chia hết cho 5? C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Từ A đến B có đường, từ B đến C có đường Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường từ A đến C (qua B)? A B 12 C 81 D 64  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 39  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC ĐẾM Câu Từ A đến B có đường, từ B đến C có đường Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường từ A đến C (qua B) và trở C đến A (qua B) và không lại các đường đã rồi? A 72 B 132 C 18 D 23 Câu Một hộp có chứa bóng đèn màu đỏ và bóng đèn màu xanh Số cách chọn bóng đèn hộp đó là: A 13 B C D 40 Câu Giả sử công việc có thể tiến hành theo hai phương án A và B Phương án A có thể thực n cách, phương án B có thể thực m cách không trùng với cách nào phương án A Khi đó: A Công việc có thể thực m.n cách B Công việc có thể thực · m · n cách C Công việc có thể thực m + n cách D Công việc có thể thực (m + n) cách Câu Có sách khác và khác Số cách chọn các đó là A B C 14 D 48 Câu Giả sử công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn A và Công đoạn A có thể thực n cách, công đoạn B có thể thực m cách Khi đó: A Công việc có thể thực m.n cách B Công việc có thể thực · m · n cách C Công việc có thể thực m + n cách D Công việc có thể thực (m + n) cách Câu Từ tỉnh A tới tỉnh B có thể ô tô, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Từ tỉnh B tới tỉnh C có thể ô tô tàu hỏa Muốn từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải qua Số cách từ tỉnh A đến tỉnh C là: A B C D Câu Một quán tạp hóa có loại rượu, loại bia và loại nước Ông Ba cần chọn mua đúng loại đồ uống A 13 B 72 C 30 D 42 Câu Đi vào khu di tích có bốn cửa Đông, Tây, Nam, Bắc Một người vào tham quan phải hai cửa khác Số cách vào và người đó là: A B 12 C 14 D 64 Câu 10 Một lớp học có 18 học sinh nam và 20 học sinh nữ Nếu muốn chọn học sinh nam và học sinh nữ dự thi nào đó thì số cách chọn là: A 38 B 18 C 20 D 360 Câu 11 Một du khách đến thành phố Huế, muốn tiêu khiển đủ thời gian đến địa điểm Có hai phòng trà ca hát, ba vũ trường và rạp chiếu bóng Vậy có bao nhiêu cách lựa chọn? A B C D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 40 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 40 41  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Câu 12 Cho tập hợp A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số thành lập từ các chữ số thuộc A? A 360 B 216 C 27 D 120 Câu 13 Cho tập hợp A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác thành lập từ các chữ số thuộc A? A 256 B 216 C 180 D 120 Câu 14 Cho tập hợp A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập bao nhiêu số lẻ có chữ số khác từ A? A 360 B 180 C 27 D 18 Câu 15 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} Có thể lập bao nhiêu số chẵn có chữ số khác từ A? A B 12 C 18 D 24 Câu 16 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số? A 899 B 900 C 901 D 999 Câu 17 Bạn muốn mua cây bút chì và cây bút mực Bút mực có màu, bút chì có màu khác Vậy bạn có bao nhiêu cách chọn? A 64 B 32 C 20 D 16 Câu 18 Cho tập hợp A = {2; 3; 5; 8} Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên x cho 400 < x < 600? A 32 B 44 C 4! D 42 Câu 19 Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau? A 752 B 160 C 156 D 240 Câu 20 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5? A B 15 C 13 D 22 Câu 21 Số các chữ số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đó là hai số chẵn là: A 15 B 16 C 18 D 20 Câu 22 Có bao nhiêu số có chữ số, mà tất các chữ số lẻ: A 25 B 20 C 30 D 10 Câu 23 Cho các số1,2, 3,4, 5,6, Số các số tự nhiên gồm chữ số lấy từ chữ số trên cho chữ số đầu tiên là A 75 B 7! C 240 D 2401 Câu 24 Từ tập A có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số đôi khác chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ A 11523 B 11520 C 11346 D 22311 Câu 25 Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác A 30240 B 32212 C 23460 D 32571 Câu 26 Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ 100 chia hết cho và A 12 B 16 C 17  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 41 D 20  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC ĐẾM Câu 27 Cho tập A = {1,2, 3,4, 5,6, 7,8} Từ tập A có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số đôi khác các số này lẻ không chia hết cho A 15120 B 23523 C 16862 D 23145 Câu 28 Từ các số 1,2, 3,4, 5,6, lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và là số chia hết cho A 360 B 120 C 480 D 347 Câu 29 Cho tập A = {0,1, 2,3, 4,5, 6} Từ tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số và chia hết cho A 660 B 432 C 679 D 523 Câu 30 Số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho 10 là A 3260 B 3168 C 9000 D 12070 Câu 31 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số có bốn chữ số chia hết cho 2? A 1792 B 2240 C 2304 D 2048 Câu 32 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số có ba chữ số khác và chia hết cho 5? A 60 B 280 C 78 D 55 Câu 33 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số có bốn chữ số khác và không chia hết cho 2? A 2048 B 2560 C 1680 D 2304 Câu 34 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số có bốn chữ số khác và không chia hết cho 5? A 3584 B 1900 C 2240 D 1680 Câu 35 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số có ba chữ số và chia hết cho 9? Kết cần tìm là: A 930 B 120 C 150 D 81 Câu 36 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số có ba chữ số khác đôi một, đồng thời chia hết cho 4? Kết cần tìm là: A 30 B 20 C 50 D 74 Câu 37 Cho tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Từ tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác cho số đó không bắt đầu 125? A 265 B 262 C 6702 D 6705 Câu 38 Cho tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Từ tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số cho chữ số đứng vị trí chính giữa? A 360 B 9375 C 3125 D 120 Câu 39 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Hỏi từ tập A lập tất bao nhiêu số có chữ số đôi khác và chia hết cho 2? A 360 B 312 C 288 D 336  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 42 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 42 43  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Câu 40 Có bao nhiêu chữ số có chữ số khác chia hết cho mà biểu diễn thập phân nó không có các chữ số 7, 8, 9? A 660 số B 500 số C 626 số D 520 số BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 B D D A 12 22 32 A B A B 13 23 33 A D D C 14 24 34 C B B D 15 25 35 C D A D 16 26 36 A B C D 17 27 37 D A A D 18 28 38 A D B B 19 29 39 B C A B 10 20 30 40 D C C A BÀI HOÁN HOÁN HỢP VỊ - CHỈNH - TỔ HỢP HỢP - TỔ HỢP VỊ - CHỈNH A KIẾN THỨC CẦN NẮM Hoán Hoán vị vị  Định nghĩa 2.1 (Giai thừa) Cho số tự nhiên n ≥ 1, ta định nghĩa n giai thừa, ký hiệu n!, là n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · ·  Tính chât 2.1 Giai thừa có các tính chất sau đây: 1) n! = n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2)! = 2) 1! = và quy ước 0! =  Định nghĩa 2.2 (Hoán vị) − Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Ta nói cách xếp thứ tự n phần tử tập hợp A là hoán vị n phần tử này − Số các hoán vị n phần tử tập hợp A ký hiệu Pn Chú ý Các hoán vị khác khác thứ tự xếp các phần tử Hoán vị phần tử a, b, c gồm: a, b, c; a, c, b; b, a, c;… Định lý 2.1 [Số các hoán vị] Số các hoán vị n phần tử tính theo công thức: Pn = n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · ·  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 43  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Chỉnh Chỉnh hợp hợp  Định nghĩa 2.3 Cho tập hợp S gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp S và xếp chúng theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử đã cho Định lý 2.2 Số các chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là: n! Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = (n − k)! Chú ý Khi giải bài toán chọn trên tập X có n phần tử, ta dùng chỉnh hợp có dấu hiệu sau: − Chỉ chọn k phần tử X (1 ≤ k ≤ n) − Có thự tự các phần tử đã chọn Tổ3 hợp Tổ hợp  Định nghĩa 2.4 Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi là tổ hợp chập k n phần tử A (hay tổ hợp chập k A) Ký hiệu Ckn Định lý 2.3 Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là Ckn = Akn n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = k! k! Chú ý Với quy ước C0n = thì với số nguyên k thỏa ≤ k ≤ n ta có Ckn = n! k!(n − k)! Tính Tính chất chất của các các số Csốkn Ckn với ≤ k ≤ n  Tính chât 2.2 Ckn = Cn−k n k k  Tính chât 2.3 (Công thức Pascal) Ck−1 n−1 + Cn−1 = Cn với ≤ k < n  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 44 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 44 45  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường B  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Hoán Vị Bài Rút gọn: A = 12!5! (n − 1)!.(n + 1)! Pn − Pn−1 ;B = ;C = ; 10!6! n!(n − 2)! (n − 2)! Bài Phòng thi có 24 học sinh đó có Nhân và Nghĩa xếp vào 12 bàn, bàn có học sinh(không có trùng tên) Có bao nhiêu cách xếp để hai thí sinh Nhân và Nghĩa cùng ngồi chung bàn Bài Cho tập hợp S = {1, 2, 3, 4} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số phân biệt lấy từ tập A? Bài Cho tập hợp S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số phân biệt lấy từ tập A? Bài Bao nhiêu cách xếp bạn A, B, C, D, E, F, G vào hàng cho a) A đứng chính giữa? b) A, B ngồi đứng đầu dãy? Bài Một chồng sách gồm sách Toán khác nhau, sách Vật Lý khác nhau, sách Hóa Học khác Hỏi có bao nhiêu cách xếp các sách trên thành hàng ngang cho a Các sách cùng môn thì đứng cạnh b Các sách toán đứng gần Bài Một tổ có học sinh nam và học sinh nữ a Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó thành hàng dọc b Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó thành hàng dọc cho các học sinh cùng giới tính không đứng kề Bài Có bao nhiêu cách xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào hàng không có viên bi nào cùng màu đứng gần nhau? Bài Cho các số tự nhiên:0, 1, 2, 3, a) Mồi số có chữ số khác thành lập từ các số trên là hoán vị 0; 1; 2; 3; Các số có dạng 0abcd mà a; b; c; d khác là hoán vị các số 1; 2; 3; Nên có tất 5! − 4! = 96 số có chữ số khác thành lập từ các số trên b) Tương tự phần a; các số có dạng ab3de với số hoán vị số 0; 1; 2; Các số có dạng 0a3cd số hoán vị số l; 2; Nên có tất 4!3! = 18 số có chữ số khác có số đứng thành lập từ các số trên Bài 10 Cho tập hợp S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số phân biệt lấy từ tập A và chữ số 1, 2, luôn đứng cạnh nhau?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 45  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP DẠNG Chỉnh Hợp #» Bài 11 Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt Có bao nhiêu véc-tơ khác có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho? Bài 12 Một lớp có 40 học sinh Có bao nhiêu cách chọn ban cán gồm có lớp trưởng, lớp phó học tập và thủ quỹ? Bài 13 Một nhóm có bạn A; B; C; D; E Có tất bao nhiêu cách phân công bạn làm trực nhật: bạn quét nhà, bạn lau bảng, bạn xếp bàn ghế? Bài 14 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? Bài 15 Từ các chữ số 1, 2, 4, 5, 6, 7, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác nhau? Bài 16 Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Có thể lập bao nhiêu số chẵn có chữ số đôi khác nhau? Bài 17 Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Có thể lập bao nhiêu số chẵn có chữ số đôi khác nhau? Bài 18 a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? b) Tính tổng tất các số tìm câu trên Bài 19 Cho tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} a) Từ tập A có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác và số chứa chữ số 5? b) Trong các số trên, có bao nhiêu số không chia hết cho 5? Bài 20 Có 100 người mua 100 vé số, có giải (nhất, nhì, ba, tư) a) Có bao nhiêu kết người giữ vé số 47 đạt giải nhất? b) Có bao nhiêu kết biết người giữ vé số 47 trúng giải? #» Bài 21 Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm điểm phân biệt Có bao nhiêu véc-tơ khác có điểm đầu và điểm cuối tập hợp này? Bài 22 Có 10 sách khác và cây bút máy khác Cần chọn sách và cây bút máy để làm quà tặng cho học sinh, em sách và cây bút máy Hỏi có cách chọn? Bài 23 Trong chương trình văn nghệ, cần chọn bài hát 10 bài hát và tiết mục múa tiết mục múa xếp thứ tự biểu diễn Hỏi có bao nhiêu cách chọn các bài hát xếp kề và các tiết mục múa xếp kề nhau? Bài 24 Một tiệc có 10 nam và nữ giỏi khiêu vũ Người ta chọn có thứ tự nam và nữ để ghép thành cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn? DẠNG  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường Tổ Hợp 46 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 46 47  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Bài 25 Từ đội tuyển bóng đá gồm 20 cầu thủ người ta cần cử cầu thủ dự lễ bốc thăm chia bảng thi đấu Hỏi có bao nhiêu cách cử? Bài 26 Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Chọn học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 27 Có bao nhiêu cách lấy hai lá bài từ bài tú lơ khơ gồm 52 lá? Bài 28 Một tổ gồm học sinh nam và học sinh nữ Cần lấy nhóm người đó có học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 29 Một hộp đựng viên bi màu xanh, viên bi màu vàng Có bao nhiêu cách lấy viên bi bất kỳ? Bài 30 Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? Bài 31 Có bao nhiêu cách cắm bông hoa giống vào lọ khác (mỗi lọ cắm không quá bông)? Bài 32 Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ? Bài 33 Một tổ sinh viên có 20 em, đó có em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp & em biết tiếng Đức Cần lập nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm thực tế từ tổ sinh viên đó? Bài 34 Trên mặt phẳng có 10 đường thẳng song song cắt đường thẳng song song khác Hỏi có bao nhiêu hình bình hành tạo thành? Bài 35 Trong lớp học có 20 học sinh, đó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử học sinh dự Đại hội Đoàn trường cho học sinh đó có ít cán lớp Bài 36 Trong lớp gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên giải bài tập Có bao nhiêu cách gọi cho học sinh gọi có nam và nữ? Bài 37 Một đề thi trắc nghiệm có 20 câu hỏi, câu có phương án trả lời đó có phương án đúng Mỗi câu chọn đúng đáp án thì 0, điểm Một thí sinh A chọn các phương án trả lời Số cách chọn để thí sinh A điểm? Bài 38 Tại họp tổ chức APEC tổ chức Hà Nội vào tháng 12 năm 2016 có 21 đại biểu là thành viên các nước Trước họp, các đại biểu chào hỏi và bắt tay nhau, đại biểu bắt tay đại biểu khác lần Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? Bài 39 Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lý nam Lập đoàn công tác có người cần có nam lẫn nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lý Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 40 Cho 15 điểm nằm trên mặt phẳng đó có điểm nằm trên đường thẳng, ngoài không có điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là số 15 điểm đã cho? Bài 41 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số (chữ số đầu tiên phải khác 0) biết chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 47  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP DẠNG Công thức hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp Bài 42 Giải phương trình a) P2 n2 − P3 n = b) A3x + 5A2x = (x + 15) c) A5n = 30A4n−2 ; d) C32n = e) Cn3 = 5C1n f) C1x + C2x + C3x = x g) A3x + Cxx−2 = 14x h) C2n+1 + 2C2n+2 + 2C2n+3 + C2n+4 = 149 44 C n Bài 43 Giải các bất phương trình sau: a) A3x + 5A2x ≤ 21x c) b) 10C2n+1 ≥ 3nC2n Pn+4 15 < với n ∈ N Pn Pn+2 Pn−1 d) A4n+4 15 < (n + 2)! (n − 1)! Bài 44 Giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình sau: a) 3C2n+1 + nP2 = 4A2n b) A3n+1 + Cn−1 n+1 < 14(n + 1) ( Ax + C3y = 22 c) A3y + C2x = 66 = Ck+1 Bài 45 Cho k, n ∈ N và k < n Chứng minh Ckn + Ck+1 n+1 n m−1 Bài 46 Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn < m < n Chứng minh mCm n = nCn−1 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG Hoán Vị Câu Có bao nhiêu khả có thể xảy thứ tự các đội giải bóng có đội bóng? (giả sử không có hai đội nào có điểm trùng nhau) A 120 B 100 C 80 D 60 Câu Có bao nhiêu cách xếp khác cho người ngồi vào bàn dài? A 120 B C 20 D 25 Câu Số cách xếp nam sinh và nữ sinh vào dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A 6!4! B 10! C 6! − 4! D 6! + 4! Câu Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào ghế dài có chỗ ngồi Số cách xếp cho bạn Chi luôn ngồi chính là A 24 B 120 C 60 D 16  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 48 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 48 49  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Câu Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào ghế dài có chỗ ngồi Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi hai đầu ghế? A 120 B 16 C 12 D 24 Câu Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào ghế dài có chỗ ngồi Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau? A 24 B 48 C 72 D 12 Câu Có viên bi đen khác nhau, viên bi đỏ khác nhau, viên bi xanh khác Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy cho các viên bi cùng màu cạnh nhau? A 345600 B 725760 C 103680 D 518400 Câu Cô dâu và chú rể mời người chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách xếp cho cô dâu, chú rể đứng cạnh A 8! − 7! B · 7! C · 7! D 2! + 6! Câu Có bao nhiêu cách xếp người vào ghế ngồi bố trí quanh bàn tròn? A 12 B 24 C D Câu 10 Có nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh bàn tròn có chỗ ngồi Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? A 576 B 144 C 2880 D 1152 Câu 11 Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau: A 44 B 24 C D 42 DẠNG Chỉnh Hợp Câu 12 Có bao nhiêu cách xếp khác cho người ngồi vào chỗ trên bàn dài? A 15 B 720 C 30 D 360 Câu 13 Giả sử có bảy bông hoa khác và ba lọ hoa khác Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm bông)? A 35 B 30240 C 210 D 21 Câu 14 Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp bóng đèn chọn từ bóng đèn khác nhau? A 15 B 360 C 24 D 17280 #» Câu 15 Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm điểm phân biệt Có bao nhiêu vectơ khác vectơ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? A 15 B 12 C 1440 D 30 Câu 16 Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua đá luân lưu 11 mét Huấn luyện viên đội cần trình với trọng tài danh sách thứ tự cầu thủ số 11 cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Hãy tính xem huấn luyện viên đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm cầu thủ A 462 B 55 C 55440 D 11! · 5! Câu 17 Trong ban chấp hành đoàn gồm người, cần chọn người vào ban thường vụ Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 49  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP A 210 B 200 C 180 D 150 Câu 18 Trong hội cuối năm quan, ban tổ chức phát 100 vé xổ số đánh số từ đến 100 cho 100 người Xổ số có giải: giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Kết là việc công bố trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi có bao nhiêu kết có thể biết người giữ vé số 47 giải nhất? A 944109 B 941409 C 941094 D 941049 Câu 19 Trong hội cuối năm quan, ban tổ chức phát 100 vé xổ số đánh số từ đến 100 cho 100 người Xổ số có giải: giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Kết là việc công bố trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi có bao nhiêu kết có thể biết người giữ vé số 47 trúng bốn giải? A 3766437 B 3764637 C 3764367 D 3764376 Câu 20 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các số 1,2, , 9? A 15120 B 95 C 59 D 126 Câu 21 Cho tập A = {0,1, 2, , 9} Số các số tự nhiên có chữ số đôi khác lấy từ tập A là? A 30420 B 27162 C 27216 D 30240 Câu 22 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác đôi một, đó chữ số đứng liền hai chữ số và 3? A 249 B 7440 C 3204 D 2942 DẠNG Tổ Hợp Câu 23 Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Chọn học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn trên? A 9880 B 59280 C 2300 D 455 Câu 24 Một tổ có 10 người gồm nam và nữ Cần lập đoàn đại biểu gồm người, hỏi có bao nhiêu cách lập? A 25 B 252 C 50 D 455 Câu 25 Trong ban chấp hành đoàn gồm người, cần chọn người ban thường vụ Nếu không có phân biệt chức vụ người ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn? A 25 B 42 C 50 D 35 Câu 26 Một thi có 15 người tham dự, giả thiết không có hai người nào có điểm Nếu kết thi và việc chọn người có điểm cao thì có bao nhiêu kết có thể xảy ra? A 1635 B 1536 C 1356 D 1365 Câu 27 Một hộp đựng viên bi màu xanh, viên bi màu vàng Có bao nhiêu cách lấy viên bi bất kỳ? A 665280 B 924 C D 942 Câu 28 Có bao nhiêu cách lấy hai bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 50 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 50 51  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường A 104  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT B 450 C 1326 D 2652 Câu 29 Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? A 100 B 105 C 210 D 200 Câu 30 Có bao nhiêu cách cắm bông hoa giống vào lọ khác (mỗi lọ cắm không quá bông)? A 10 B 30 C D 60 Câu 31 Cho 10 điểm, không có điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác tạo 10 điểm nói trên? A 90 B 20 C 45 D Một số khác Câu 32 Trong mặt phẳng, cho điểm phân biệt cho không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể lập bao nhiêu tam giác mà các đỉnh nó thuộc tập điểm đã cho? A 15 B 20 C 60 D Một số khác Câu 33 Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ Giáo viên cần chọn học sinh để trang trí trại Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh cho có ít học sinh nữ? Biết học sinh nào lớp có khă trang trí trại A C1 95 B C3 55 − C1 95 C C3 55 − C1 65 D C1 65 Câu 34 Một hộp có viên bi xanh, viên bi đỏ và viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi cho có đủ ba màu Số cách chọn là: A 2163 B 3843 C 3003 D 840 DẠNG Tổng Hợp Câu 35 Cho A = {a; b; c} Số hoán vị ba phần tử A là: A B C D Câu 36 Số hoán vị n phần tử là: A n2 B nn D n! C 2n Câu 37 Có bao nhiêu số có chữ số khác tạo thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5? A P4 B P5 C A45 D C45 Câu 38 Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Từ chữ số này ta lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau? A 120 B 60 C 30 D 40 Câu 39 Một tổ học sinh có nam và nữ xếp thành hàng dọc thì số các cách xếp khác là: A 25 10 10! 40 Câu 40 Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Từ chữ số này, ta lập các số chẵn có chữ số khác Số các số có thể lập là: A 120 B 48 C 32 D 40  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 51  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Câu 41 Có bao nhiêu số lẻ có chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5? A 15 B 120 C 72 D 12 Câu 42 Cho n, k ∈ N với < k ≤ n Mệnh đề nào có giá trị sai? A P0 = B Pn = Cnn C Ckn = Cn−k n D Akn = k! · Ckn Câu 43 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta lập bao nhiêu số chẵn, số gồm chữ số khác nhau? A 120 B 192 C 312 D 216 Câu 44 Trong trường có học sinh giỏi lớp 12, học sinh giỏi lớp 11 và học sinh giỏi lớp 10 Cần chọn học sinh giỏi để tham gia thi với các trường khác cho khối 12 có em và khối 10, 11 có đúng em Vậy số tất các cách chọn là: A 60 B 180 C 330 D 90 Câu 45 Một lớp có 30 học sinh gồm 12 học sinh nam, 18 học sinh nữ, cần chọn học sinh gồm nam và nữ thi giới thiệu sách Hỏi có bao nhiêu cách chọn để đó có ít nữ? A 53856 B 90576 C 28800 D 14400 Câu 46 Một nhóm học sinh gồm nữ, nam Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 bạn thành hàng dọc cho các bạn cùng phái thì đứng cạnh nhau? A 86400 B 43200 C 28800 D 14400 Câu 47 Trong bình đựng viên bi đỏ và viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Có bao nhiêu cách lấy viên cùng màu? A 18 B C 22 D Câu 48 Có 12 tay đua xe đạp cùng xuất phát đua để chọn người đích đầu tiên Số kết có thể xảy là: A 1250 B 1320 C 220 D 240 Câu 49 Trên giá có 15 sách gồm sách Toán, sách Tiếng Anh và sách Văn Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành hàng cho sách cùng loại thì xếp cạnh và sách Văn nằm sáng Toán, sách tiếng Anh? A 7257600 B 3628800 C 1814400 D 907200 Câu 50 Cho ô tô khác và xe máy giống Hỏi có bao nhiêu cách xếp xe vào chỗ trống cho ô tô cạnh và xe máy cạnh nhau? A 48 B 144 C 288 D 432 Câu 51 Cho thẻ đen khác và thẻ trắng khác Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành hàng cho không có thẻ trắng nào cạnh nhau? A 2880 B 4320 C 5760 D 14400 Câu 52 Dũng có người bạn Dũng muốn mời người bạn đó quê chơi vào cuối tuần Nhưng người bạn đó, có bạn là Hùng và Tuấn không thích chơi với Như số cách chọn nhóm người để quê Dũng là? A C48 B C46 + C36 C C46 + 2C36 D C46 + C37 Câu 53 Một tổ có học sinh, đó có học sinh nam và học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh tổ thành hàng dọc cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau? A 36 B 42 C 102 D 72  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 52 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 52 53  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Câu 54 Có 10 sách Toán, sách Lí, sách Văn Cần chọn có ba môn cho số Toán ít là bốn và số Văn nhiều là hai Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A 181440 B 146580 C 164420 D 152280 Câu 55 Một tổ học sinh có nam và nữ xếp thành hàng dọc cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề Số cách xếp là: A 5!.5! B · (5!)2 C 10! D 2.5! Câu 56 Một rổ có 10 loại khác đó có mít và bưởi Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành hàng cho mít và bưởi cách đúng khác? A 2257920 B 645120 C 564480 D 282240 Câu 57 Có nam nữ xếp thành hàng ngang Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho vị trí đầu và cuối là nam và không có nữ nào đứng cạnh nhau? A 118540800 B 152409600 C 12700800 D 3628800 Câu 58 Một nhóm sinh viên có nam nữ ngồi và ghế hàng ngang Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho nam ngồi liền nhau, nữ ngồi liền và nhóm có ít ghế? A 576 B 672 C 288 D 144 Câu 59 Trong buổi chụp ảnh trường A, có giáo viên Toán, giáo viên Hóa và giáo viên Vật Lí xếp thành hàng ngang Hỏi có bao nhiêu cách xếp để giáo viên Hóa và giáo viên Vật Lí không cạnh nhau? A 43200 B 356640 C 357120 D Đáp án khác Câu 60 Cho đường thẳng a||b, tren đường thẳng a lấy điểm phân biệt, trên đường thẳng b lấy điểm phân biệt Hỏi có thể dựng bao nhiêu tam giác từ 12 điểm đã cho? A 1320 B 220 C 210 D 175 Câu 61 An có ảnh EXO, ảnh BTS, ảnh SNSD An muốn chọn ảnh để tặng cho Hà Hỏi An có bao nhiêu cách chọn cho số ảnh EXO số ảnh SNSD? A 240 B 330 C 335 D 480 Câu 62 Hai đơn vị thi đấu cờ tướng A và B có người và người Cần chọn đơn vị người để ghép cặp thi đấu với Hỏi có bao nhiêu cách thực thế? A 1200 B C35 · C36 C A35 · C36 D C35 · A36 Câu 63 Một hội đồng gồm nam và nữ tuyển vào ban quản trị gồm người Hỏi có bao nhiêu cách tuyển chọn? A 240 B 260 C 126 D Kết khác Câu 64 Có bao nhiêu cách chọn và thứ tự cầu thủ để đá bóng luân lưu 11m Biết 11 cầu thủ có khả A 55440 B 20680 C 32456 D 41380 Câu 65 Một hội đồng gồm nam và nữ tuyển vào ban quản trị gồm người Biết ban quản trị có ít nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách tuyển chọn? A 240 B 260 C 126 D Kết khác  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 53  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Câu 66 Một bạn có 13 Hỏi có bao nhiêu cách chọn viết các môn tự nhiên, viết các môn xã hội và viết các môn còn lại? A 657946575 B 6306300 C 360360 D 90090 Câu 67 Một lớp có 50 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách phân công học sinh để làm vệ sinh lớp học ngày? A 117600 B 128500 C 376 D 436 Câu 68 Có tem thư khác và bì thư khác Người ta muốn chọn từ đó tem thư, bì thư và dán tem thư đó lên bì thư đã chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm vậy? A 200 B 30 C 300 D 120 Câu 69 Có môn thi Toán, Lí, Hóa cần xếp vào buổi thi, buổi môn cho môn Toán không thi buổi đầu thì số cách xếp là: A 3! B 2! C 3!2! D Câu 70 Từ 12 người, người ta thành lập ban kiểm tra gồm người lãnh đạo và ủy viên Hỏi có bao nhiêu cách thành lập ban kiểm tra? A C1 22 C1 03 B C1 02 C1 25 C C1 22 C1 25 D Kết khác Câu 71 Có sách toán khác nhau, sách lý khác nhau, sách hóa khác Muốn và kệ dài các sách cùng môn kề nhau, loại toán và lý phải kề thì số cách là: A 4!.3!.2! B 2.4!.3!.2! C 3.4!.3!.2! D 4.4!.3!.2! Câu 72 Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu Mỗi đội có thể nhận nhiều là huy chương và đội nào có thể đoạt huy chương Khi đó, số cách trao loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhì ba là: A 51 B 4896 C 125 D 12070 Câu 73 Một tổ gồm nam nữ xếp thành hàng dọc thể dục Hỏi có bao nhiêu cách xếp để nữ luôn đứng thành cặp không cạnh nhau? A 101606400 B 3386880 C 1128960 D 6773760 Câu 74 Có nhà khoa học Toán (6 nam, nữ) và nhà khoa học Vật Lí (toàn nam) Hỏi có bao nhiêu cách lập đội gồm nhà khoa học đó có nam, nữ, Toán, Vật Lí? A 270 B 300 C 375 D 570 BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 42 52 62 72 A B C C A C A B 12 22 33 43 53 63 73 A D B B C D C D 13 23 34 44 54 64 74 B C A A A A A C 14 24 35 45 55 65 A B B C B B D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 15 25 36 46 56 66 C D D D C C D 16 26 37 47 57 67 54 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” C C D C B D A 17 27 38 48 58 68 C A B A C B D 18 28 39 49 59 69 B C C D A A C 19 29 40 50 60 70 D D B B B D A 10 20 30 41 51 61 71 B A A C D C D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 54 55  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT BÀI A NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON KIẾN THỨC CẦN NẮM Công Công thứcthức nhị thức nhị thức Newton Newton  Định nghĩa 3.1 Ta thừa nhận công thức khai triển biểu thức (a + b)n thành tổng các đơn thức sau (a + b)n = C0n an + C1n an−1 b + + Ckn an−k bk + + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn (1) Công thức (1) gọi là công thức nhị thức Newton  Hệ 3.1 1) Với a = b = 1, ta có 2n = C0n + C1n + + Cnn 2) Với a = 1, b = −1, ta có = C0n − C1n + + (−1)k Ckn + + (−1)n Cnn Chú ý Trong biểu thức vế phải công thức (1): 1) Số các hạng tử là n + 2) Các hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n, tổng các số mũ a và b hạng tử luôn n 3) Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu và cuối thì 4) Số hạng tổng quát là Tk+1 = Ckn an−k bk (số hạng thứ k + 1) Tam Tam giác giác Pascal Pascal Trong công thức nhị thức Newton, cho n = 0, 1, và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 55  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  NHỊ THỨC NEWTON n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 56 1 1 & 1 n=6 n=7 1 n=5 & 10 10 15 21 20 15 35 35 21 Chú ý k Từ công thức Ckn = Ck−1 n−1 + Cn−1 suy cách tính các số dòng dựa vào các số dòng trước nó Chẳng hạn C25 = C14 + C24 = + = 10 B BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Khai triển biểu thức a) (x + y)6 b) (2x − 3)4 c) (a + 2b)5 d) a − √
6 Å ã 13 e) x − x Bài 1) Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ khai triển (3x + 5)7 2) Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ khai triển (1 − 5x)9 √ 18 3) Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ khai triển (2 x − 1) 28 4) Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 25 khai triển (2x + y ) Bài Tìm hệ số 10 a) Số hạng chứa x15 khai triển (3x2 − 2x) b) Số hạng chứa x5 khai triển: (2x − 1)12 Å ã 10 14 c) Số hạng chứa x khai triển: x − d) Số hạng chứa x7 khai triển: (x2 + x) x 11 15 e) Số hạng chứa x25 y 10 khai triển: (x3 + xy) Bài Tìm số hạng không chứa x khai triển Å ã 1) 2x − , với x 6= x Å ã 21 2) x − , với x 6= x  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 56 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 57  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Å ã 3) 2x + , với x 6= x Å ã n Bài Tìm số hạng không chứa x khai triển P (x) = x − (với x khác 0) biết 2C2n = C3n x Å ã n Bài Tìm số hạng không chứa x khai triển P (x) = x − (với x khác 0) biết x 2A2n = C2n−1 + C3n−1 Å Bài Tìm số hạng không chứa x khai triển P (x) = − x3 x ãn (với x khác 0) biết Cn−6 n−4 + n.An = 454 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong khai triển (2a − b)5 , hệ số số hạng thứ3 bằng: A −80 B 80 C −10 D 10 Câu Trong khai triển nhị thức (a + 2)n+6 , (n ∈ N) Có tất cả17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 Câu Trong khai triển (3x2 − y)10 , hệ số số hạng chính là: A 34 · C1 04 B −34 · C1 04 C 35 · C1 05 Câu Trong khai triển (2x − 5y)8 , hệ số số hạng chứa x5 · y là: A −22400 B −40000 C −8960 ã6 Å Câu Trong khai triển x + √ , hệ số x3 , (x > 0) là: x A 60 B 80 C 160 Å ã7 Câu Trong khai triển a2 + , số hạng thứ là: b A 35 · a6 · b−4 B −35 · a6 · b−4 C 35 · a4 · b−5 D −35 · C1 05 D −4000 D 240 D −35 · a4 · b Câu Trong khai triển (2a − 1)6 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a6 − 6a5 + 15a4 B 2a6 − 15a5 + 30a4 C 64a6 − 192a5 + 480a4 D 64a6 − 192a5 + 240a4 √
16 Câu Trong khai triển x − y , tổng hai số hạng cuối là: √ √ A −16x y 15 + y B −16x y 15 + y C 16xy 15 + y D 16xy 15 + y ã6 Å Câu Trong khai triển 8a2 − b , hệ số số hạng chứa a9 b3 là: A −80a9 · b3 B −64a9 · b3 C −1280a9 · b3 D 60a6 · b4 Å ã9 Câu 10 Trong khai triển x + , số hạng không chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 D 43008 Câu 11 Trong khai triển (2x − 1)10 , hệ số số hạng chứa x8 là: A −11520 B 45 C 256  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 57 D 11520  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  NHỊ THỨC NEWTON Câu 12 Trong khai triển(a − 2b)8 , hệ số số hạng chứa a4 · b4 là: A 1120 B 560 C 140 D 70 Câu 13 Trong khai triển(3x − y)7 , số hạng chứa x4 y là: A −2835x4 y B 2835x4 y C 945x4 y D −945x4 y Câu 14 Trong khai triển(0,2 + 0,8)5 , số hạng thứ tư là: A 0,0064 B 0,4096 C 0,0512 D 0,2048 Câu 15 Hệ số x3 y khai triển (1 + x)6 (1 + y)6 là: A 20 B 800 C 36 D 400 Câu 16 Số hạng chính khai triển (3x + 2y)4 là: A C24 x2 y B 6(3x)2 (2y)2 C 6C24 x2 y D 36C24 x2 y Câu 17 Trong khai triển(x − y)11 , hệ số số hạng chứa x8 · y là A C311 B −C311 C −C511 D C811 Câu 18 Tìm hệ số x7 khai triển biểu thức sau: f (x) = (1 − 2x)10 A −15360 B 15360 C −15363 D 15363 Câu 19 Tìm hệ số x7 khai triển biểu thức sau: h(x) = x(2 + 3x)9 A 489889 B 489887 C −489888 D 489888 Câu 20 Tìm hệ số x7 khai triển biểu thức sau: g(x) = (1 + x)7 + (1 − x)8 + (2 + x)9 A 29 B 30 C 31 D 32 Câu 21 Tìm hệ số x7 khai triển biểu thức sau: f (x) = (3 + 2x)10 A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831 Câu 22 Tìm hệ số x7 khai triển biểu thức sau: h(x) = x(1 − 2x)9 A −4608 B 4608 C −4618 D 4618 Câu 23 Xác định hệ số x8 các khai triển sau:f (x) = (3x2 + 1)10 A 17010 B 21303 C 20123 Å ã8 Câu 24 Xác định hệ số x các khai triển sau:f (x) = − 5x x A 1312317 B 76424 C 427700 Å ã x 12 Câu 25 Xác định hệ số x các khai triển sau:f (x) = + x 297 29 27 A B C 512 51 52 Câu 26 Tổng T = C0n + C1n + C2n + C3n + · · · + Cnn bằng: A T = 2n B T = 2n C T = 2n + Câu 27 Tính giá trị tổng S = C06 + C16 + · · +C66 bằng: A 64 B 48 C 72 D 21313 D 700000 D 97 12 D T = 4n D 100 Câu 28 Tìm số nguyên dương n cho: C0n + 2C1n + 4C2n + · · · + 2n Cnn = 243 A B 11 C 12 D BẢNG ĐÁP ÁN  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 58 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 58 59  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường B 11 D 21 A C 12 A 22 A D 13 A 23 A  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT A 14 D 24 D C 15 D 25 A D 17 B 27 A A 16 D 26 A A 18 A 28 D C 19 D 10 D 20 A BÀI BIẾN XÁC CỐ SUẤT VÀCỦA XÁCBIẾN SUẤTCỐ CỦA BIẾN CỐ CỐ VÀBIẾN A KIẾN THỨC CẦN NẮM Phép Phép thử, thử, không không giangian mẫumẫu Một khái niệm lí thuyết xác suất là phép thử Một thí nghiệm, phép đo hay quan sát tượng nào đó, gọi là phép thử  Định nghĩa 4.1 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước kết nó, mặc dù đã biết tập hợp tất các kết có thể có phép thử đó  Định nghĩa 4.2 Tập hợp các kết có thể xảy phép thử gọi là không gian mẫu phép thử và kí hiệu là Ω (đọc là ô-mê-ga) Biến Biến cố cố  Định nghĩa 4.3 Biến cố là tập không gian mẫu Mỗi biến cố liên quan đến phép thử mô tả tập không gian mẫu, tức là tập hợp bao gồm các kết nào đó phép thử  Định nghĩa 4.4 Tập ∅ gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) Tập Ω gọi là biến cố chắn Biến cố A xảy phép thử nào đó và kết phép thử đó là phần tử A (hay thuận lợi cho A) Phép Phép toántoán trên trên các các biếnbiến cố cố Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến phép thử  Định nghĩa 4.5 Tập Ω \ A gọi là biến cố đối biến cố A, kí hiệu A A A Ω A xảy và A không xảy  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 59  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 60  Định nghĩa 4.6 Tập A ∪ B gọi là hợp biến cố A và B Tập A ∩ B gọi là giao biến cố A và B Nếu A ∩ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc Chú ý A ∪ B xảy và A xảy B xảy A ∩ B xảy và A và B đồng thời xảy Biến cố A ∩ B còn viết là A.B A và B xung khắc và chúng không nào cùng xảy Kí hiệu A⊂Ω A=∅ A=Ω C =A∪B C =A∩B A∩B =∅ B=A Ngôn ngữ biến cố A là biến cố A là biến cố không A là biến cố chắn C là biến cố: ”A B” C là biến cố: ”A và B” A và B xung khắc A và B đối A B Ω Định Định nghĩa nghĩa cổ điển cổ điển của xácxác suấtsuất  Định nghĩa 4.7 Xác suất biến cố A tính công thức: P(A) = n(A) n(Ω) Trong đó n(A) là số kết thuận lợi biến cố A; n(Ω) là số kết có thể xảy phép thử Tính Tính chất chất của xác xác suấtsuất Định lý 4.1 Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Khi đó, ta có 1) P(∅) = 0, P(Ω) = 2) ≤ P(A) ≤ 1, với biến cố A 3) Nếu A và B xung khắc, thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 60 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 61  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Chú ý Các biến cố A và B là xung khắc và chúng không nào cùng xảy  Hệ 4.1 Với biến cố A, ta có
P A = − P(A) B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Mô tả không gian mẫu và xác định số kết có thể phép thử Bài Trong giỏ có củ khoai, lấy ngẫu nhiên hai củ Hãy mô tả không gian mẫu Bài Gieo đồng xu ba lần liên tiếp Hãy mô tả không gian mẫu phép thử Bài Trong bình có cầu đen khác và cầu trắng khác Lấy ngẫu nhiên hai quả, hãy mô tả không gian mẫu phép thử Bài Xếp người ngồi thành hình vuông, người đỉnh hình vuông Hãy mô tả không gian mẫu phép thử Bài Gieo xúc xắc ba lần liên tiếp Hãy mô tả không gian mẫu phép thử Bài Cắm bông hoa khác vào lọ khác cho lọ có nhiều bông hoa Hãy mô tả không gian mẫu phép thử Bài Trong hộp có bi đen và bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên Hãy mô tả không gian mẫu phép thử đó DẠNG Xác định biến cố phép thử Bài Gieo súc sắc hai lần, biến cố A: ”Tổng số chấm trên mặt xuất hai lần gieo là số chẵn”, và biến cố B là biến cố đối biến cố A Xác định biến cố B và liệt kê các kết thuận lợi cho B Bài Gieo súc sắc hai lần Xác định biến cố A: ”Tổng số chấm trên mặt xuất hai lần gieo nhỏ 4” Bài 10 Gieo súc sắc hai lần, biến cố: ”Tổng số chấm trên mặt xuất hai lần gieo 13” và biến cố ”Tổng số chấm trên mặt xuất hai lần gieo nhỏ 12” biến cố nào là biến cố không, biến cố nào là biến cố chắn?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 61  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài 11 Gieo đồng xu lần liên tiếp Xác định các biến cố: A: ”Trong lần gieo kết nhau”; B: ”Trong lần gieo đúng lần mặt sấp”; C: ”Trong lần gieo có ít lần sấp” Bài 12 Gieo súc sắc liên tiếp súc sắc xuất mặt chấm chấm thì dừng lại Xác định các biến cố: A: ”số lần gieo không vượt quá hai lần”; B: ”Số lần gieo là ba” Bài 13 Một người bắn cung, có hai trường hợp xảy ra, người đó bắn trúng hồng tâm người đó bắn không trúng hồng tâm Người đó bắn liên tiếp lần Xác định biến cố: A: ”Trong lần bắn, có hai lần bắn trúng hồng tâm”; B: ”Trong lần bắn, lần bắn trúng hồng tâm và bắn không trúng hồng tâm xen kẽ nhau” DẠNG Xác suất biến cố Bài 14 Tung đồng xu đồng chất (giả thiết các đồng xu hoàn toàn giống gồm mặt: sấp và ngửa) 1) Mô tả không gian mẫu các kết đạt được? 2) Tính xác suất thu mặt giống nhau? Bài 15 Gieo súc sắc lần Tính xác suất biến cố sau: 1) A: ”3 lần gieo cho kết nhau” 2) B: ”Tích lần gieo là số lẻ” 3) C: ”Tổng lần gieo là 5” 4) D: ”Lần gieo sau gieo số lớn lần gieo trước” Bài 16 Trong hộp kín có 18 bóng khác nhau: trắng, đen, vàng.Lấy ngẫu nhiên đồng thời bóng đó Tính xác suất của: 1) A: ”5 bóng cùng màu” 2) B: ”5 bóng có đủ màu” 3) C: ”5 bóng không có màu trắng” Bài 17 Trong lớp 12A5 có 45 học sinh có 20 học sinh nam, 25 học sinh nữ Lấy ngẫu nhiên học sinh, Xác định xác suất biến cố: 1) học sinh lấy là nam 2) học sinh lấy có đủ nam và nữ 3) Có ít học sinh nữ  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 62 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 62 63  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Bài 18 Một lớp có 41 học sinh đó có 15 bạn nam và 26 bạn nữ Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên bốn bạn trực ban 1) Tính xác suất để bốn bạn đó là nữ 2) Tính xác suất để có ít bạn nam Bài 19 Có hai hòm đựng thẻ, hòm đựng 10 thẻ đánh số từ đến 10 Lấy ngẫu nhiên từ hòm thẻ Tính xác suất để hai thẻ lấy 1) có ít thẻ đánh số 2) tổng hai số ghi trên hai thẻ khác 19 Bài 20 Một lớp có 30 học sinh đó gồm học sinh giỏi, 15 học sinh khá và7học sinh trung bình Người ta muốn chọn ngẫu nhiên em để dự Đại Hội Tính xác suất để chọn được: a) Ba học sinh chọn là học sinh giỏi? b) Có ít học sinh giỏi? Bài 21 Một hộp bóng có 12 bóng đèn, đó có 7bóng tốt, lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để được: a) Ít bóng tốt b) Cả bóng không tốt Bài 22 Một sọt Cam có 10 trái đó có trái hư Lấy ngẫu nhiên trái a) Tính xác suất để lấy trái hư b) Tính xác suất để lấy trái hư c) Tính xác suất để lấy ít trái hư Bài 23 Một hộp có viên bi xanh, viên bi đỏ và viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp, tính xác suất để viên bi chọn có đủ màu và số bi đỏ số bi vàng C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Xét phép thử gieo súc sắc cân đối và đồng chất mặt hai lần Xét biến cố A: “Số chấm xuất hai lần gieo giống nhau” Khẳng định nào sau đây đúng? A n(A) = B n(A) = 12 C n(A) = 16 D n(A) = 36 Câu Gieo đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần Gọi A là biến cố “Có ít hai mặt sấp xuất liên tiếp” và B là biến cố “Kết ba lần gieo là nhau” Xác định biến cố A ∪ B A A ∪ B = {SSS, SSN, N SS, SN S, N N N } B A ∪ B = {SSS, N N N } C A ∪ B = {SSS, SSN, N SS, N N N } D A ∪ B = Ω Câu Gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối và đồng chất lần Tính số phần tử không gian mẫu A 64 B 10 C 32 D 16  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 63  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Câu Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 thì n(Ω) bao nhiêu? A 140608 B 156 C 132600 D 22100 Câu Gieo đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần Xác suất để bốn lần xuất mặt sấp là? A B C D 16 16 16 16 Câu Chọn ngẫu nhiên số có chữ số từ các số 00 đến 99 Xác suất để có số tận cùng là là A 0,2 B 0,1 C 0,3 D 0,4 Câu Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất để số chấm hai lần gieo là 1 1 A B C D Câu Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối và đồng chất Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hai súc sắc đó không vượt quá 5 A B C D 12 18 Câu Gọi S là tập các số tự nhiên có chữ số khác tạo từ tậpE = {1; 2; 3; 4; 5} Chọn ngẫu nhiên số từ tậpS Tính xác suất để số chọn là số chẵn 3 A B C BD D 5 Câu 10 Một hộp chứa 11 cầu gồm màu xanh và cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời cầu từ hộp đó Xác suất để cầu chọn cùng màu A B C D 22 11 11 11 Câu 11 Từ hộp chứa 11 cầu màu đỏ và cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 33 24 4 A B C D 91 455 165 455 Câu 12 Từ hộp chứa cầu màu đỏ và cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh A B C D 22 12 44 Câu 13 Từ hộp chứa cầu đỏ và cầu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh bằng? 24 12 A B C D 91 91 65 21 Câu 14 Từ hộp chứa 10 cầu màu đỏ và cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời3 cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 12 24 A B C D 91 91 12 91 Câu 15 Một lớp có 40 học sinh, đó có học sinh tên Anh Trong lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh lớp lên bảng Xác suất để hai học sinh tên Anh lên bảng 1 1 A B C D 10 20 130 75  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 64 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 64 65  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Câu 16 Hộp A có viên bi trắng, viên bi đỏ và viên bi xanh Hộp B có viên bi trắng, viên bi đỏ và viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi, tính xác suất để hai viên bi lấy có cùng màu 91 44 88 45 A B C D 135 135 135 88 Câu 17 Một tổ có học sinh nam và học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh Xác suất để học sinh chọn luôn có học sinh nữ là 1 13 209 A B C D 14 210 14 210 Câu 18 Một hộp đèn có 12 bóng, đó có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng có bóng hỏng 11 13 28 A B C D 50 112 55 Câu 19 Trong tổ có học sinh nam và học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên bạn tổ tham gia đội tình nguyện trường Tính xác suất để bạn chọn toàn là nam A B C D 5 Câu 20 Trong đợt kiểm tra định kỳ, giáo viên chuẩn bị hộp đựng 15 câu hỏi gồm câu hỏi Hình học và 10 câu hỏi Đại số khác Mỗi học sinh bốc ngẫu nhiên từ hộp đó câu hỏi để làm đề thi cho mình Tính xác suất để học sinh bốc đúng câu hình học 45 200 A B C D 91 273 Câu 21 Một người chọn ngẫu nhiên giày từ đôi giày cỡ khác Tính xác suất để giày chọn tạo thành đôi 1 A B C D 10 9 Câu 22 Giải bóng chuyền VTV Cúp có 16 đội tham gia đó có 12 đội nước ngoài và đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng đấu A, B, C, D bảng đội Tính xác suất để đội Việt Nam nằm bảng đấu khác 391 32 64 A B C D 455 1365 1365 455 Câu 23 Trong hộp có 12 bóng đèn, đó có bóng đèn hỏng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc bóng đèn Tính xác suất để lấy bóng tốt 28 14 28 A B C D 55 55 55 55 Câu 24 Có hành khách bước lên đoàn tàu gồm toa Mỗi hành khách độc lập với và chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người, toa còn lại không có A B C D 16 16 16 Câu 25 Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn là đỉnh hình chữ nhật A B C D 216 969 323 Câu 26 Một hộp chứa 35 cầu gồm 20 cầu đỏ đánh số từ đến 20 và 15 cầu xanh đánh số từ đến 15 Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó cầu Tính xác suất để lấy màu đỏ ghi số lẻ 28 27 A B C D 35 35  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 65  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Câu 27 Có hai hộp, hộp chứa thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên từ hộp thẻ Tính xác suất để thẻ rút ghi số chẵn 21 4 A B C D 25 25 Câu 28 Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số trên hai thẻ lại với Tính xác suất để kết thu là số chẵn 13 A B C D 18 18 Câu 29 Bình có bốn đôi giầy khác gồm bốn màu: đen, trắng, xanh và đỏ Một buổi sáng học, vì vội vàng, Bình đã lấy ngẫu nhiên hai giầy từ bốn đôi giầy đó Tính xác suất để Bình lấy hai giầy cùng màu? 1 A B C D 14 Câu 30 Bạn A có cái kẹo vị hoa và cái kẹo vị socola A lấy ngẫu nhiên cái kẹo cho vào hộp để tặng cho em gái Tính xác suất để cái kẹo có vị hoa và vị socola 140 79 103 14 A P = B P = C P = D P = 143 156 117 117 Câu 31 Một hộp đèn có 12 bóng, đó có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng có ít bóng hỏng 40 55 41 A B C D 51 112 55 Câu 32 Trên giá sách có sách toán, sách lý, sách hóa Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất để lấy có ít là toán 37 10 A B C D 42 21 Câu 33 Trên giá sách có sách Toán, sách Vật Lí và sách Hóa học Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất cho ba lấy có ít sách Toán 37 19 A B C D 42 21 Câu 34 Có học sinh không quen biết cùng đến cửa hàng kem có quầy phục vụ Xác suất để có học sinh cùng vào quầy và học sinh còn lại vào quầy khác là C3 · C1 · 5! C3 · C1 · C1 C3 · C1 · 5! C3 · C1 · C1 A 56 B 56 C 66 D 66 6 5 Câu 35 Trong đợt kiểm tra định kì, giáo viên chuẩn bị hộp đựng 15 câu hỏi gồm câu hỏi Hình học và 10 câu hỏi Đại số khác Mỗi học sinh bốc ngẫu nhiên từ hộp đó câu hỏi để làm đề thi cho mình Tính xác suất để học sinh bốc đúng câu hỏi Hình học 45 200 A B C D 91 273 Câu 36 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 25 số nguyên dương đầu tiên Xác suất để chọn hai số có tổng là số chẵn là 13 12 313 A B C D 25 25 625 Câu 37 Một người làm vườn có 12 cây giống gồm cây xoài, cây mít và cây ổi Người đó muốn chọn cây giống để trồng Tính xác suất để cây chọn, loại có đúng cây 1 15 25 A B C D 10 154 154  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 66 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 66 67  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Câu 38 Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, câu có đáp án và có đáp án đúng Bạn Anh làm đúng 12 câu, còn câu bạn Anh đánh hú họa vào đáp án mà Anh cho là đúng Mỗi câu đúng 0,5 điểm Tính xác suất để Anh điểm 9 63 A B C D 20 10 16384 65536 Câu 39 Một hộp đựng cầu màu trắng và cầu màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất để cầu lấy có đúng cầu đỏ 21 20 62 21 A B C D 71 71 211 70 Câu 40 Một hộp đựng viên bi đó có viên bi đỏ và viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tìm xác suất để viên bi lấy có ít viên bi màu xanh 10 25 A B C D 21 14 42 42 Câu 41 Lớp 11B có 25 đoàn viên, đó có 10 nam và 15 nữ Chọn ngẫu nhiên đoàn viên lớp để tham dự hội trại ngày 26 tháng Tính xác suất để đoàn viên chọn có nam và nữ 27 A B C D 920 92 115 92 Câu 42 Có hai dãy ghế đối diện nhau,mỗi dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh,gồm nam và nữ,ngồi vào hai dãy ghế đó cho ghế có đúng học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ A B C D 10 20 Câu 43 Một tổ học sinh có nam và nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho hai người chọn là nữ A B C D 15 15 15 Câu 44 Một lô hàng có 20 sản phẩm, đó phế phẩm Lấy tùy ý sản phẩm từ lô hàng đó Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có không quá phế phẩm 91 637 91 A B C D 323 969 285 Câu 45 Trên giá sách có sách toán, sách lý, sách hóa Lấy ngẫu nhiên sách Tính xác suất để sách đươc lấy có ít sách toán 24 58 24 33 A B C D 91 91 455 91 Câu 46 Có cái bút khác và khác gói 17 hộp Một học sinh chọ hai hộp Xác suất để học sinh đó chọn cặp bút và là 9 A B C D 17 17 34 Câu 47 Lớp 12A2 có 10 học sinh giỏi, đó có nam và nữ Cần chọn học sinh dự hội nghị “Đổi phương pháp dạy và học” nhà trường Tính xác suất để có đúng hai học sinh nam và học sinh nữ chọn Giả sử tất các học sinh đó xứng đáng dự đại hội 2 A B C D 3 Câu 48 Một đội gồm nam và nữ Lập nhóm gồm người hát tốp ca Tính xác suất để bốn người chọn có ít ba nữ 70 73 56 87 A B C D 143 143 143 143  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 67  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Câu 49 Một bình đựng viên bi xanh và viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Xác suất để có ít hai viên bi xanh là bao nhiêu? 41 14 28 42 A B C D 55 55 55 55 Câu 50 Một túi đựng bi xanh và bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi Xác suất để hai bi đỏ là 7 A B C D 15 45 15 15 Câu 51 Có 100 thẻ đánh số từ 801 đến 900 (mỗi thẻ đánh số khác nhau) Lấy ngẫu nhiên thẻ hộp Tính xác suất để lấy thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 817 248 2203 2179 A B C D 2450 3675 7350 7350 Câu 52 Có bó hoa Bó thứ có hoa hồng, bó thứ hai có bông hoa ly, bó thứ ba có bông hoa huệ Chọn ngẫu nhiên hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để hoa chọn có số hoa hồng số hoa ly 3851 36 994 A B C D 4845 71 71 4845 Câu 53 Có 13 học sinh trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc đó khối 12 có học sinh nam và học sinh nữ, khối 11 có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh để trao thưởng, tính xác suất để học sinh chọn có nam và nữ đồng thời có khối 11 và khối 12 57 24 27 229 A B C D 286 143 143 286 Câu 54 Một đoàn tình nguyện, đến trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi Trong 20 suất quà đó gồm áo mùa đông, thùng sữa tươi và cặp sách Tất các suất quà có giá trị tương đương Biết em nhận suất quà khác loại (ví dụ: áo và thùng sữa tươi) Trong số các em nhận quà có hai em Việt và Nam Tính xác suất để hai em Việt và Nam đó nhận suất quà giống nhau? A B C D 15 Câu 55 Một tổ chuyên môn tiếng Anh trường đại học X gồm thầy giáo và cô giáo, đó thầy Xuân và cô Hạ là vợ chồng Tổ chọn ngẫu nhiên người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp tiếng Anh B1 khung châu Âu Xác suất cho hội đồng có thầy, cô và thiết phải có thầy Xuân cô Hạ không có hai là 5 85 85 A B C D 44 88 792 396 Câu 56 Đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Yên Dũng số gồm học sinh, đó có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh thi học sinh giỏi cấp Huyện Tính xác suất để học sinh chọn thi có nam và nữ và học sinh nam nhiều học sinh nữ 11 45 46 55 A p = B p = C p = D p = 56 56 56 56 Câu 57 Một đoàn tình nguyện đến trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi Trong 20 suất quà đó gồm áo mùa đông, thùng sữa tươi và cặp sách Tất các suất quà có giá trị tương đương Biết em nhận hai suất quà khác loại (ví dụ áo và thùng sữa tươi) Trong số các em nhận quà có hai em Việt và Nam Tính xác suất để hai em Việt và Nam đó nhận suất quà giống nhau? A B C D 15  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 68 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 68 69  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương TỔ HỢP - XÁC SUẤT Câu 58 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh Môn thi này thi hình thức trắc nghiệm với phương án trả lời A, B, C, D Mỗi câu trả lời đúng cộng 0,2 điểm và câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm Bạn Hoa vì học kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên 50 câu trả lời Tính xác xuất để bạn Hoa đạt điểm môn Tiếng Anh kỳ thi trên C30 · (3)20 A30 · (3)20 C30 · (3)20 A30 · (3)20 A 50 50 B 50 50 C 50 D 50 4 50 50 Câu 59 Có học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 xếp ngẫu nhiên vào ghế thành dãy Tính xác suất để xếp học sinh lớp 12 xen kẽ học sinh lớp 11 A B C D 12 12 1728 72 Câu 60 Đội tuyển học sinh giỏi trường THPT có học sinh nam và học sinh nữ Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên xếp thành hàng ngang Tính xác suất để xếp cho học sinh nữ không đứng cạnh 653 41 14 A B C D 660 660 55 55 Câu 61 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, lớp thi gồm 24 thí sinh xếp vào 24 bàn khác Bạn Nam là thí sinh dự thi, bạn đăng ký môn thi và lần thi thi phòng Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để lần thi thì bạn Nam có đúng lần ngồi cùng vào vị trí 253 899 26 A B C D 1152 1152 35 BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 51 61 A D D C B A A 12 22 32 42 52 C A D B B D 13 23 33 43 53 C B B B A A 14 24 34 44 54 D A D B B B 15 25 35 45 55  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An C C C B B D 16 26 36 46 56 69 B B B C B B 17 27 37 47 57 B C D C D B 18 28 38 48 58 D C D C A A 19 29 39 49 59 B A A D D A 10 20 30 40 50 60 C A A C D D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” CHƯƠNG LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG DÃY SỐ - CẤP SỐ DÃY CỘNG SỐ- - CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ NHÂN BÀI A NHỊ THỨC NIU-TƠN NHỊ THỨC NIU-TƠN KIẾN THỨC CẦN NẮM Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N∗ là đúng với n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm sau: • Bước Kiểm tra mệnh đề đúng với n = • Bước Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ≥ (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh nó đúng với n = k + Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì: • Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; • Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh nó đúng với n = k + B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Chứng minh đẳng thức Bài Chứng minh với n ∈ N∗ ta có đẳng thức + + + · · · + 3n − = n(3n + 1) Bài Chứng minh với n ≥ nguyên dương thì: 1 2n − + + ··· + n = 2n 71  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Bài Chứng minh với n nguyên dương thì: 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + + · · · + n)2 Bài Chứng minh với số nguyên dương n ≥ ta có
an − bn = (a − b) an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 Bài Chứng minh với n nguyên dương thì (n + 2)(n + 1)n 3 2n + 3 n b) + + + ··· + n = − 27 4.3n a) 1.2 + 2.3 + · · · + n(n + 1) = c) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n − 1) = 2n(1 + + · · · + n) = d) C22 + C32 + · · · + Cn+1 n(n + 1)(n + 2) DẠNG Một số bài toán số học Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán chứng minh tính chia hết các biểu thức dạng đa thức lũy thừa Bài Chứng minh các mệnh đề sau: a) un = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3, ∀n ∈ N∗ b) = 32n+1 + 2n+2 chia hết cho 7, ∀n ∈ N∗ Bài Chứng minh các mệnh đề sau: ✓ 4n + 15n − chia hết cho 9, với số tự nhiên n b) 42n − 32n − chia hết cho 84, với n ∈ N∗ Bài Chứng minh các mệnh đề sau đây đúng với n ∈ N∗ ✓ n3 + 2n chia hết cho b) 7.22n−2 + 32n−1 chia hết cho c) n3 + 11n chia hết cho  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 71  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Nhị Thức Niu-Tơn DẠNG Chứng minh bất đẳng thức Bài Chứng minh với số nguyên dương n > ta có 1 13 + + + > n+1 n+2 2n 24 (1) Bài 10 Chứng minh với số nguyên dương n ta có 2n − 1 ≤√ 2n 3n + (1) Bài 11 Xét các số a, b không âm Chứng minh với số nguyên dương n ta có Å ã a+b n (1) C an + b n ≥ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) Ở bước chứng minh quy nạp bắt đầu với A n = B n = p C n > p D n ≥ p Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k Mệnh đề nào sau đây đúng? A k < p B k = p C k > p D k ≥ p Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p • Bước 2: Giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên n = k ≥ p và chứng minh mệnh đề đúng với n = k + Trong hai bước trên thì A có bước đúng B có bước đúng C hai bước đúng D hai bước sai Câu Học sinh chứng minh mệnh đề “8n + chia hết cho 7, ∀n ∈ N∗ ” (∗) sau: • Giả sử (∗) đúng với n = k, tức là 8k + chia hết cho • Ta có: 8k+1 + = 8(8k + 1) − 7, kết hợp với giả thiết 8k + chia hết cho nên suy 8k+1 + chia hết cho Vậy đẳng thức (∗) đúng với n ∈ N∗ Mệnh đề nào sau đây đúng? A Học sinh trên chứng minh đúng B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 72 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 72 73  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp 1 1 + + +···+ với n ∈ N∗ Mệnh đề nào sau đây đúng? 1·2 2·3 3·4 n · (n + 1) n−1 n n+1 n+2 A Sn = B Sn = C Sn = D Sn = n n+1 n+2 n+3 Câu Cho Sn = BẢNG ĐÁP ÁN B D C D B BÀI A DÃY SỐ DÃY SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM Định Định nghĩa nghĩa dãy dãy số số  Định nghĩa 2.1 Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N∗ gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu: u : N∗ −→ R n 7−→ u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , , đó un = u (n) viết tắt là (un ) , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát dãy số Số2.hạng Số hạng của dãy dãy số số ✓ Các số dãy gọi là số hạng ✓ Số hạng đầu tiên ký hiệu là u1 , số hạng thứ là u2 , thứ là u3 ,…(các ký hiệu có thể thay đổi) ✓ Một dãy số có dạng tổng quát là u1 , u2 , u3 , u4 , Số3.hạng Số hạng tổngtổng quátquát ✓ Số hạng thứ n (bất kỳ) dãy là un còn gọi là số hạng tổng quát ✓ Số hạng tổng quát cho ta công thức để tính số hạng nào dãy cách thay n thứ tự số hạng cần tính  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 73  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Dãy Số Cách Cách xác xác địnhđịnh mộtmột dãydãy số số Có ba cách cho (cách xác định) dãy số: ✓ Cách 1: Liệt kê vài số hạng đầu: u1 , u2 , u3 , u4 , ✓ Cách 2: Cho quy tắc tính un , dãy ký hiệu là (un ) ✓ Cách 3: Cho kiểu “truy hồi”: Cho vài số hạng đầu và hệ thức un và các số hạng đứng trước nó hay sau nó Tính Tính tăngtăng giảmgiảm của dãydãy số số  Định nghĩa 2.2 Dãy số (un ) gọi là dãy số tăng với n ∈ N∗ ta có un < un+1 Dãy số (un ) gọi là dãy số giảm với n ∈ N∗ ta có un > un+1 Dãy Dãy số bịsốchặn bị chặn  Định nghĩa 2.3 ✓ Dãy số (un ) gọi là bị chặn trên tồn số M cho un ≤ M, ∀n ∈ N∗ ✓ Dãy số (un ) gọi là bị chặn tồn số m cho un ≥ m, ∀n ∈ N∗ ✓ Dãy số (un ) gọi là bị chặn nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn các số M, m cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát dãy số Phương pháp: ✓ Tìm vài số hạng đầu (u1 , u2 , u3 , u4 ) ✓ Từ các giá trị u1 , u2 , u3 , u4 dự đoán công thức tính un ✓ Chứng minh un đúng ∀n ≥ phương pháp quy nạp  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 74 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 74 75  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Bài Cho dãy số (un ) xác định un = n2 + 3n + n+1 1) Viết năm số hạng đầu dãy 2) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên ( u1 = Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: un = 2un−1 + ∀n ≥ 1) Viết năm số hạng đầu dãy 2) Chứng minh un = 2n+1 − 3; Bài Cho dãy số (un ) biết: u1 = 10, un+1 = 2un 1) Tính u2 , u3 , u4 , u5 2) Dùng quy nạp để chứng minh un = 10.2n−1 , ∀n ≥ 2n + n+2 Bài Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un = 1) Viết năm số hạng đầu dãy số 2) Tìm số hạng thứ 100 và 200 3) Số 167 là số hạng thứ mấy? 84 4) Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên? Bài Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát: un = 2n + √ n2 + 1) Viết số hạng đầu dãy số 2) Tính u20 , u2010 3) Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên ( u1 = Bài Cho dãy số (un ) xác định un = 2un−1 + 3, n ≥ 1) Tìm số hạng đầu dãy 2) Chứng minh un = 5.2n−1 − ∀n ≥ 3) Số hạng có chữ số lớn dãy là bao nhiêu?  u1 = Bài Cho dãy số (un ) xác định : un+1 = un + , ∀n ≥ 1) Tìm số hạng đầu dãy  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 75  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Dãy Số 2) Chứng minh un > với ∀n ≥ 3) Tìm công thức tổng quát dãy (un ) Bài Người ta nuôi cấy vi khuẩn ecoli môi trường nhân tạo Cứ 30 phút thì vi khuẩn ecoli nhân đôi lần 1) Tính số lượng vi khuẩn thu sau 1, 2, lần nhân đôi 2) Dự đoán công thức tính số lượng vi khuẩn sau n và chứng minh công thức đó phương pháp quy nạp DẠNG Xét tăng giảm dãy số 1) Phương pháp 1: Xét dấu hiệu số un+1 − un ✓ Nếu un+1 − un > 0, ∀n ∈ N∗ thì (un ) là dãy số tăng ✓ Nếu un+1 − un < 0, ∀n ∈ N∗ thì (un ) là dãy số giảm 2) Phương pháp 2: Nếu un > 0, ∀n ∈ N∗ thì ta có thể so sánh thương un+1 với un un+1 > thì (un ) là dãy số tăng un un+1 < thì (un ) là dãy số giảm ✓ Nếu un ✓ Nếu Nếu un < 0, ∀n ∈ N∗ thì ta có thể so sánh thương un+1 với un un+1 < thì (un ) là dãy số tăng un un+1 ✓ Nếu > thì (un ) là dãy số giảm un ✓ Nếu 3) Phương pháp 3: Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi thì thường dùng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1 > un , ∀n ∈ N∗ (hoặc un+1 < un ∀n ∈ N∗ ) Bài Xét tính tăng giảm các dãy số (un ) với: a) un = n3 − 2n + √ c) un = n 4n − e) un = n +5 g) un = n(n + 1) b) un = − n 2n + n+1 √ √ f) un = n − n + d) un = h) un = n + cos2 n Bài 10 Xét tính tăng giảm dãy số (un ) với ( u1 = 1) √ un+1 = + un , n ∈ N∗  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 76 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 76 77  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN  u1 = 2) un+1 = 3un + , n ∈ N∗ un +   u1 = 3)  , n ∈ N∗ un+1 = un + Bài 11 Câu Cho dãy số (un ) xác định bởi: ( u1 = un+1 = un + 3n − a) Tìm công thức số hạng tổng quát Bài 12 Câu Cho dãy số (un ) định bởi: un = b) Chứng minh dãy số tăng a.n4 + ; n ∈ N ∗ Định a để dãy số (un ) tăng 2n4 + DẠNG Xét tính bị chặn dãy số ✓ Để chứng minh dãy số (un ) bị chặn trên M , ta chứng minh un ≤ M, ∀n ∈ N∗ ✓ Để chứng minh dãy số (un ) bị chặn m, ta chứng minh un ≥ m, ∀n ∈ N∗ ✓ Để chứng minh dãy số bị chặn ta chứng minh nó bị chặn trên và bị chặn ✓ Nếu dãy số (un ) tăng thì bị chặn u1 ✓ Nếu dãy số (un ) giảm thì bị chặn trên u1 Bài 13 Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào bị chặn trên, bị chặn và bị chặn? 1) un = n2 + 2) un = 3n + 2n + 3) un = (−1)n cos π 2n n2 + 2n n2 + n + n 5) un = √ n + 2n + n 4) un = 8n + là dãy số bị chặn 3n + 3n bị chặn trên Bài 15 Chứng minh dãy số (un ) với un = n +9 Bài 16 Cho dãy số (un ) xác định u1 = và un+1 = un + 4, ∀n ≥ Bài 14 Chứng minh dãy số (un ) xác đinh un = 1) Chứng minh dãy (un ) bị chặn trên số 2) Chứng minh dãy (un ) tăng, từ đó suy dãy (un ) bị chặn  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 77  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Dãy Số C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM −n Câu Cho dãy số (un ), biết un = Năm số hạng đầu tiên dãy số đó là số nào n+1 đây? 5 A − ; − ; − ; − ; − B − ; − ; − ; − ; − 6 5 C ; ; ; ; D ; ; ; ; 6 2n − Câu Cho dãy số (un ), biết un = Tìm số hạng u5 n +3 17 71 A u5 = B u5 = C u5 = D u5 = 12 39 n Câu Cho dãy số (un ), biết un = (−1)n · Tìm số hạng u3 n 8 A u3 = B u3 = C u3 = −2 D u3 = − 3 ( u1 = −1 Câu Cho dãy số (un ), biết với ∀n ∈ N∗ Ba số hạng đầu tiên dãy số đó un+1 = un + là số nào đây? A −1; 2; B 1; 4; C 4; 7; 10 D −1; 3;  u1 = Câu Cho dãy số (un ), biết với ∀n ∈ N∗ Mệnh đề nào sau đây sai? un+1 = un + 2 15 31 63 A u2 = B u3 = C u4 = D u5 = 16 ( u1 = Câu Cho dãy số (un ), biết với ∀n ∈ N∗ Giá trị u1 + u2 + u3 un+1 = un + n n−1 A 18 B 13 C un = D 16 n n+1 Câu Cho dãy số (un ), biết un = Số là số hạng thứ dãy số? 2n + 15 A B C D Câu Cho dãy số (un ), biết un = −n2 + n + Số −19 là số hạng thứ dãy? A B C D 2n + Câu Cho dãy số vô hạn (un ) xác định un = Có bao nhiêu số hạng dãy số có giá trị n+1 51 ? A B C D n + 3n + Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên Câu 10 Cho dãy số (un ) với un = n+1 A B C D Không có Câu 11 Cho dãy số (un ), biết un = 2n Tìm số hạng un+1 A un+1 = 2n · B un+1 = 2n + C un+1 = 2(n + 1) D un+1 = 2n + Câu 12 Cho dãy số (un ), biết un = 3n Tìm số hạng u2n−1 A u2n−1 = 32 · 3n − B u2n−1 = 3n · 3n−1  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 78 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 78 79  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN C u2n−1 = 32n − D u2n−1 = 32(n−1) Câu 13 Cho dãy số (un ), biết un = 5n+1 Tìm số hạng un−1 A un−1 = 5n−1 B un−1 = 5n C un−1 = · 5n+1 D un−1 = · 5n−1 Å ã n − 2n+3 Câu 14 Cho dãy số (un ), biết un = Tìm số hạng un+1 n+1 Å ã2(n+1)+3 Å ã n−1 n − 2(n−1)+3 A un+1 = B un+1 = n + n + Å ã2n+3 Å ã2n+5 n n C un+1 = D un+1 = n+2 n+2 Câu 15 Cho dãy số (un ) với un = an2 (a là số) Mệnh đề nào sau đây đúng? n+1 a · n2 + n+1 a · (n + 1)2 = n+2 a · (n + 1)2 n+1 an2 = n+2 A un+1 = B un+1 = C un+1 D un+1 Câu 16 Cho dãy số có các số hạng đầu là:5; 10; 15; 20; 25; ·· Số hạng tổng quát dãy số này là: A un = 5(n − 1) B un = 5n C un = + n D un = · n + Câu 17 Cho dãy số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36, ·· Số hạng tổng quát dãy số này là: A un = 7n + B un = · n C un = · n + D un : Không viết dạng công thức Câu 18 Cho dãy số có các số hạng đầu là:0; ; ; ; ; ··.Số hạng tổng quát dãy số này là: n+1 n n−1 n2 − n A un = B un = C un = D un = n n+1 n n+1 Câu 19 Cho dãy số có các số hạng đầu là:−1; 1; −1; 1; −1; ··.Số hạng tổng quát dãy số này có dạng A un = B un = −1 C un = (−1)n D un = (−1)n+1 Câu 20 Cho dãy số có các số hạng đầu là:−2; 0; 2; 4; 6; ··.Số hạng tổng quát dãy số này có dạng? A un = −2n B un = (−2) + n C un = (−2)(n + 1) D un = (−2) + 2(n − 1) 1 1 Câu 21 Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; ; ; ; ;….Số hạng tổng quát dãy số này là? 3 3 1 1 A un = B un = n+1 C un = n D un = n−1 n+1 33 3 ( u1 = Câu 22 Cho dãy số (un ) với Số hạng tổng quát un dãy số là số hạng nào un+1 = un + n đây? (n − 1)n (n − 1)n A un = B un = + 2 (n + 1)n (n + 1)(n + 2) C un = + D un = + 2 ( u1 = Câu 23 Cho dãy số (un ) với Số hạng tổng quát un dãy số là số hạng nào un+1 = un + (−1)2n+1 đây? A un = − n B un không xác định  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 79  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Dãy Số C un = − n Câu 24 Cho dãy số (un ) với ( u1 = un+1 = un + n2 D un = −n với n Số hạng tổng quát un dãy số là số hạng nào đây? n(n − 1)(2n + 2) n(n + 1)(2n − 2) D un = + n(n + 1)(2n + 1) n(n − 1)(2n − 1) C un = + ( u1 = A un = + Câu 25 Cho dãy số (un ) với B un = + un+1 − un = 2n − Số hạng tổng quát un dãy số là số hạng nào đây? A un = + (n − 1)2 B un = + n2 C un = + (n + 1)2 D un = − (n − 1)2  u1 = −2 Câu 26 Cho dãy số (un ) với Công thức số hạng tổng quát dãy số này là: un+1 = −2 − un n−1 n+1 n+1 n A un = − B un = C un = − D un = − n n n n+1  u1 = Câu 27 Cho dãy số (un ) với Công thức số hạng tổng quát dãy số này là:  un+1 = un − 1 A un = + 2(n − 1) B un = − 2(n − 1) 2 1 C un = − 2n D un = + 2n 2  u1 = −1 Câu 28 Cho dãy số (un ) với Công thức số hạng tổng quát dãy số này là un+1 = un Å ãn Å ãn+1 1 A un = (−1) B un = (−1) Å ãn−1 Å ãn−1 1 C un = D un = (−1) 2 ( u1 = Câu 29 Cho dãy số (un ) với Công thức số hạng tổng quát dãy số này: un+1 = 2un A un = nn−1 B un = 2n C un = 2n+1 D un =  u1 = Câu 30 Cho dãy số (un ) với Công thức số hạng tổng quát dãy số này:  un+1 = 2un −1 −1 A un = −2n−1 B un = n−1 C un = n D un = 2n−2 2  u1 = Câu 31 Cho dãy số (un ) với Số hạng tổng quát dãy số này là  un+1 = 2un A un = n B un = 2n C un = 2n−1 D un = 2n−2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 80 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 80 81  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Câu 32 Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng? 1 1 B 1; − ; ; − ; ; · · · 16 1 1 C 1; 3; 5; 7; 9; · · · D 1; ; ; ; ; · · · 16 Câu 33 Trong các dãy số (un ) cho số hạng tổng quát un sau đây, dãy số nào là dãy số tăng? n+5 n−5 − 3n 2n + A un = B un = C un = D un = 3n + 3n + 2n + n+1 Câu 34 Trong các dãy số (un ) cho số hạng tổng quát un sau đây, dãy số nào là dãy số giảm? n2 + A un = n2 B un = − 2n2 C un = 2n3 + D un = n Câu 35 Trong các dãy số (un ) cho tổng quát un sau đây, dãy số nào là dãy số tăng? Å sốãhạng n A un = n B un = C un = −2n D un = 2n A 1; 1; 1; 1; 1; 1; · · · Câu 36 Mệnh đề nào sau đây sai? A Dãy số (un ) với un = − là dãy số tăng √ n B Dãy số (un ) với un = n + là dãy số tăng 1−n C Dãy số (un ) với un = √ là dãy số giảm n √ √ D Dãy số (un ) với un = n − n − là dãy số tăng Câu 37 Trong các dãy số (un ) cho số hạng tổng quát un sau đây, dãy số nào là dãy số tăng? A un = sin n B un = cos2 (2n + 1) C un = cos n2 − n D un = n − sin2020 n Câu 38 Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng? i) Dãy số (un ) với un = (−1)n · (2n + 1) là dãy số tăng Å ã n ii) Dãy số (un ) với un = + là dãy số giảm n n iii) Dãy số (un ) với un = n là dãy số giảm 2n iv) Dãy số (un ) với un = là dãy số tăng n! A B C D ( u1 = Câu 39 Xét tính tăng giảm dãy số (un ) với p un+1 = u3n + 1, n ≥ A Dãy số (un ) tăng B Dãy số (un ) giảm C Dãy số (un ) không đổi D Dãy số (un ) không tăng, không giảm 3n + a với n ∈ N∗ và a là tham số thực Tìm tất Câu 40 Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un = 4n + các giá trị a để (un ) là dãy số tăng 3 3 A a < B a > C a = D a 6= 4 4 ( u1 = Câu 41 Cho dãy số (un ) với Tìm tất các giá trị tham số a để dãy số un+1 = aun + 1, ∀n ∈ N∗ (un ) là dãy số tăng A a < B a ≤ C a > D a >  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 81  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Dãy Số Câu 42 Cho dãy số (un ) Mệnh đề nào sau đây sai? A Nếu có các số thực m và M thỏa m ≤ un ≤ M với n ∈ N∗ thì (un ) bị chặn B Nếu (un ) là dãy số tăng dãy số giảm thì (un ) luôn bị chặn C Nếu (un ) là dãy số giảm thì (un ) bị chặn trên D Nếu (un ) là dãy số tăng thì (un ) bị chặn Câu 43 Cho dãy số (un ) với un = − 3n − n2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A Dãy số (un ) bị chặn trên B Dãy số (un ) bị chặn C Dãy số (un ) tăng D Dãy số (un ) không tăng, không giảm Câu 44 Cho dãy số (un ) với un = (−1)n Mệnh đề nào sau đây đúng? A Dãy số (un ) là dãy số tăng B Dãy số (un ) là dãy số giảm C Dãy số (un ) là dãy số bị chặn D Dãy số (un ) là dãy số không bị chặn (−1)n−1 Mệnh đề nào sau đây đúng? n+1 A Dãy số (un ) là dãy số tăng B Dãy số (un ) là dãy số giảm C Dãy số (un ) là dãy số bị chặn D Dãy số (un ) là dãy số không bị chặn Câu 45 Cho dãy số (un ) với un = Câu 46 Cho dãy số (un ) với un = (−1)n · 52n+5 Mệnh đề nào sau đây đúng? A Dãy số (un ) bị chặn trên không bị chặn B Dãy số (un ) bị chặn không bị chặn trên C Dãy số (un ) không bị chặn trên và không bị chặn D Dãy số (un ) bị chặn 3n − Mệnh đề nào sau đây đúng? 3n + Dãy số (un ) bị chặn trên không bị chặn Dãy số (un ) bị chặn không bị chặn trên Dãy số (un ) không bị chặn và không bị chặn trên Dãy số (un ) bị chặn Câu 47 Cho dãy số (un ) với un = A B C D 4n + Mệnh đề nào sau đây đúng? n+1 Dãy số (un ) bị chặn trên không bị chặn Dãy số (un ) bị chặn không bị chặn trên Dãy số (un ) không bị chặn và không bị chặn trên Dãy số (un ) bị chặn Câu 48 Cho dãy số (un ) với un = A B C D Mệnh đề nào sau đây sai? n2 + n A Dãy số (un ) là dãy số giảm B Dãy số (un ) bị chặn trên số M = C Dãy số (un ) bị chặn D Dãy số (un ) bị chặn số m = n+1 Câu 50 Xét tính bị chặn dãy số (un ) với un = √ n +1 A Dãy số (un ) bị chặn trên không bị chặn B Dãy số (un ) bị chặn không bị chặn trên C Dãy số (un ) không bị chặn và không bị chặn trên Câu 49 Cho dãy số (un ) với un =  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 82 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 82 83  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN D Dãy số (un ) bị chặn √ Câu 51 Cho dãy số (un ) với un = cos n − sin n Dãy số (un ) bị chặn trên số nào sau đây? √ √ √ A − B + C D π Xét các mệnh đề sau: Câu 52 Cho dãy số (un ) với un = sin n+1 π 1) Số hạng thứ n + dãy là un+1 = sin n+2 2) Dãy số (un ) là dãy số bị chặn 3) Dãy số (un ) là dãy số tăng 4) Dãy số (un ) không tăng, không giảm Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A B C D 1 Câu 53 Cho dãy số (un ) với un = + +···+ , ∀n ∈ N∗ Mệnh đề nào sau đây 1·4 2·5 n(n + 3) đúng? A Dãy số (un ) bị chặn trên không bị chặn B Dãy số (un ) bị chặn không bị chặn trên C Dãy số (un ) không bị chặn trên và không bị chặn D Dãy số (un ) bị chặn Câu 54 Trong các dãy số (un ) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn? A un = (−2)n B un = n C un = 3n D un = 4n − Câu 55 Trong các dãy số (un ) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn? n3 A un = n − sin 3n B un = n +1 √ 3n C un = n3 + n D un = (−1)n + n +2 2n Câu 56 Cho dãy số (un ) với un = Mệnh đề nào sau đây đúng? n! A Dãy số (un ) bị chặn trên không bị chặn B Dãy số (un ) bị chặn không bị chặn trên C Dãy số (un ) không bị chặn trên và không bị chặn D Dãy số (un ) bị chặn BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 51 A A C D C D 12 22 32 42 52 C B B C B B 13 23 33 43 54 D B A B A B 14 24 34 44 55 A D C B C D 15 25 35 45 56  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An A C A D C D 16 26 36 46 83 B B C D C 17 27 37 47 D C B D D 18 28 38 48 A B D A D 19 29 39 49 B C B A D 10 20 30 40 50 C D D A D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Cấp Số Cộng BÀI A CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ CỘNG KIẾN THỨC CẦN NẮM Định Định nghĩa nghĩa cấp cấp số cộng số cộng Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn vô hạn), đó kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước nó cộng với số không đổi d Số d gọi là công sai cấp số cộng un+1 = un + d với n ∈ N∗ Tính Tính chất chất các các số hạng số hạng củacủa cấpcấp số số cộng cộng Định lý 3.1 Cho cấp số cộng (un ) Khi đó uk = uk−1 + uk+1 , ∀k ≥ 2  Hệ 3.1 Nếu (un ) là cấp số cộng và m, n, k, t thỏa m + n = k + t thì um + un = uk + ut Chú ý: Để chứng minh dãy số (un ) là cấp số cộng ta chứng minh un+1 = un +d với n ∈ N∗ un+1 −un = d với d là số không đổi Đặc biệt: Để chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ta có thể chứng minh b − a = c − b Số3.hạng Số hạng tổngtổng quátquát Định lý 3.2 Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un xác định công thức: un = u1 + (n − 1)d với n ≥  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 84 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 84 85  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Tổng Tổng n sốnhạng số hạng đầuđầu củacủa mộtmột cấpcấp số số cộng cộng Định lý 3.3 Cho cấp số cộng (un ) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un Khi đó Sn = n(u1 + un ) (3.1) Chú ý: Vì un = u1 + (n − 1)d nên công thức (3.1) có thể viết Sn = nu1 + B n(n − 1) d (3.2) BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Chứng Minh Một Dãy Số un Là Cấp Số Cộng Bài 17 Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai dãy số là cấp số cộng n a) un = − 3n b) un = − c) un = + d) un = 2n + n Bài 18 Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai dãy số là cấp số cộng − 2n 2n − − d) un = a) un = 2.3n + c) un = b) un = −1 n+1 Bài 19 Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai dãy số là cấp số cộng ( ( u1 = u1 = −1 a) b) un+1 = un − 4, với n ≥ un+1 = 2un + 1, với n ≥ ( ( u1 = −2 u1 = c) d) √ un+1 = − un , với n ≥ un+1 = − un , với n ≥ ( ( u1 = −1 u1 = −1 e) f) un+1 = 3n + un , với n ≥ un+1 = + u2n , với n ≥ Bài 20 Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai dãy số là cấp số cộng  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 85  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Cấp Số Cộng a) un = n2 − b) un = (n + 1)2 c) un = (2n − 1)2 − n d) un = (2n + 1)2 − 4n2 Bài 21 Cho dãy số (un ) với un = (2n − 1)2 Dãy số (vn ) với = un+1 − un , với n ≥ có là cấp số cộng hay không? Bài 22 Tìm x để ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, biết 1) a = 10 − 3x, b = 2x2 + 3, c = − 4x; 2) a = x + 1, b = 3x − 2, c = x2 − DẠNG Số hạng tổng quát Bài Cho cấp số cộng (un ), biết u1 = −3, d = Tìm u15 , u20 , u25 , u30 Bài Cho cấp số cộng (un ), biết: ( u1 = −15 d = 18 a Tìm u5 , u10 , u15 , u20 , u25 b Số 1209 là số hạng thứ bao nhiêu ? Bài Xác định số hạng tổng quát cấp số cộng (un ), biết: ( ( u7 = u11 = a) b) d=2 d = −6 Bài Tìm số hạng đầu và công sai cấp số cộng (un ), biết: ( ( u1 + u5 − u3 = 10 u2 + u5 − u3 = 10 a) b) u1 + u6 = 17 u4 + u6 = 26 Bài a) Giữa các số và 35 hãy đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa các số 10 và 64 hãy đặt thêm 17 số để cấp số cộng a2 1 ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính tỉ số Bài Cho các số a, b, a + b 6= thỏa mãn ; a a+b b b DẠNG Tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng Tìm u1 , d u1 , un và tính Sn theo hai công thức sau: ✓ Sn = n(u1 + un )  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 86 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 86 87  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường ✓ Sn = nu1 +  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN n(n − 1) d Bài Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = và công sai d = Tính tổng S100 100 số hạng đầu tiên Bài Cho dãy số (un ), với un = 2n − 1) Chứng minh (un ) là cấp số cộng b) Tính tổng 30 số hạng đầu c) Biết Sn = 195, tìm n Bài Cho cấp số cộng (un ) có u3 = −15, u4 = 18 Tính tổng S20 20 số hạng đầu tiên Bài 10 Cho cấp số cộng (un ) : 4, 7, 10, 13, 16, Hãy tìm số hạng thứ 50 và tính tổng 50 số hạng đầu cấp số cộng đã cho Bài 11 Tính tổng S = 100 + 105 + 110 + · · · + 995 Bài 12 Tính tổng S = 1002 − 992 + 982 − 972 + · · · + 22 − 12 ( u2 + u5 − u3 = 10 Bài 13 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn Tính tổng S10 10 số hạng đầu u4 + u6 = 26 Bài 14 Cho cấp số cộng (un ) có u3 = −15, u14 = 18 Tính tổng 20 số hạng đầu tiên   S4 = Bài 15 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn: Tính u1 , d S6 = 45 ( u3 + u5 = 14 Bài 16 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn: Tính u1 , d S13 = 129 Bài 17 Cho (un ) là cấp số cộng có u3 + u13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng đầu tiên cấp số cộng đó Bài 18 Tìm x, biết: 1) + + + 11 + · · · + x = 155 2) x−1 x−2 + + ··· + = x x x (x ∈ Z+ ) Bài 19 Gọi Sk là tổng k số hạng đầu tiên cấp số cộng Chứng minh rằng: S3n = 3(S2n − Sn ) Bài 20 Một chuyên viên bắt đầu làm hưởng lương bậc 1, hệ số 2, 34 Cứ sau 36 tháng thì tăng hệ số lương thêm 0, 33 Tiền lương tháng tính tiền lương sở 1, triệu đồng nhân với hệ số lương Tính tổng tiền lương mà chuyên viên đó hưởng thời gian làm việc liên tục 30 năm  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 87  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Cấp Số Cộng C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Khẳng định nào sau đây là sai?    u = − 1 A Dãy số − ; 0; ; 1; ; · · ·· là cấp số cộng:  2 d =   u1 = 1 B Dãy số ; ; ; · · ·· là cấp số cộng:  2 d = ; n = ( u1 = −2 C Dãy số: 2; 2; 2; 2; là cấp số cộng d=0 D Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; không phải là cấp số cộng 1 Câu Cho cấp số cộng có u1 = − ; d = Hãy chọn kết đúng 2 1 1 A Dạng khai triển: − ; 0; 1; ; · ·· B Dạng khai triển: − ; 0; ; 0; · · · · 2 2 1 C Dạng khai triển: ; 1; ; 2; ; · · ·· D Dạng khai triển: − ; 0; ; 1; · · · · 2 2 2 Câu Cho cấp số cộng có u1 = −3; u6 = 27 Tìm d? A d = B d = C d = D d = Câu Cho cấp số cộng có u1 = ; u8 = 26 Tìm d? 11 10 A d = B d = C d = D d = 11 10 Câu Cho cấp số cộng (un ) có: u1 = −0,1; d = 0,1 Số hạng thứ cấp số cộng này là: A 1,6 B C 0,5 D 0,6 Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? A 1; −3; −6; −9; −12; · · · B 1; −2; −4; −6; −8; · · · C 1; −3; −7; −11; −15; · · · D 1; −3; −5; −7; −9; · · · Câu Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng? 1 A − ; − ; 0; ; ; 1; ; · · · B 3 3 √ √ √ √ C 15 2; 12 2; 2; 2; · · · D 11 ; 1; ; ; ; · · · 5√5 √ √ √ ; ; 3; ; √ ;··· 3 3 1 Câu Dãy số: ; 0; − ; −1; − ; · · · là cấp số cộng với 2 1 1 A số hạng đầu u1 = , công sai d = B số hạng đầu u1 = , công sai d = − 2 2 1 C số hạng đầu u1 = 0, công sai d = D số hạng đầu u1 = 0, công sai d = − 2 1 Câu Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = − , công sai d = Năm số hạng liên tiếp đầu tiên 2 cấp số này là 1 1 1 1 A − ; 0; 1; ; B − ; 0; ; 0; C ; 1; ; 2; D − ; 0; ; 1; 2 2 2 2 2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 88 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 88 89  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Câu 10 Một cấp số cộng có hai số hạng liên tiếp là và 10 Số hạng cấp số cộng là A B 14 C 16 D 60 Câu 11 Cho cấp số cộng (un ) có số hạng tổng quát un = 3n − Khi đó số hạng đầu u1 và công sai d là A u1 = 2, d = B u1 = 2, d = −3 C u1 = 2, d = D u1 = 2, d = −5 Câu 12 Nếu cấp số cộng (un ) có công sai là d thì dãy số (vn ) với = un + 13 là cấp số cộng có công sai là A d − 13 B d + 13 C d D 13d Câu 13 Nếu cấp số cộng (un ) có công sai là d 6= thì dãy số (vn ) với = 4un là cấp số cộng có công sai là d A d B 4d C d + D Câu 14 Trong các dãy số cho đây, dãy số nào là cấp số cộng? A un = − 3n B un = − 3n C un = D un = · 3n 3n Câu 15 Trong các dãy số cho đây, dãy số nào là cấp số cộng? π A un = (n + 1)3 B un = sin n ( ( u1 = −1 u1 = C D un+1 = 2un + 1, n ≥ un = un−1 − 1, n ≥ Câu 16 Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A a2 + c2 = 2ab + 2bc B a2 − c2 = 2ab − 2bc C a2 + c2 = 2ab − 2bc D a2 − c2 = ab − bc Câu 17 Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A a2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ac B a2 − c2 = 2ab + 2bc − 2ac C a2 + c2 = 2ab + 2bc − 2ac D a2 − c2 = 2ab − 2bc + 2ac Câu 18 Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào đây lập thành cấp số cộng? A 2b2 , a, c2 B −2b, −2a, −2c C 2b, a, c D 2b, −a, −c Câu 19 Xác định x để số: − x; x2 ; + x theo thứ tự lập thành cấp số cộng? A Không có giá trị nào x B x = ±2 C x = ±1 D x = Câu 20 Xác định x để số:1 + 2x; 2x2 − 1; −2x theo thứ tự lập√thành cấp số cộng? A x = ±3 B x = ± √ C x = ± D Không có giá trị nào x Câu 21 Xác định a để số: + 3a; a2 + 5; − a theo thứ tự lập thành cấp số cộng? A Không có giá trị nào a B a = √ C a = ±1 D a = ± Câu 22 Nếu các số + m; + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bao nhiêu? A m = B m = C m = D m =  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 89  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Cấp Số Cộng Câu 23 Biết bốn số 5; x; 15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị 3x + 2y A 50 B 70 C 30 D 80 Câu 24 Các số C1n ; C2n ; C3n theo thứ tự lập thành cấp số cộng với n > Tìm n A n = B n = C n = D n = 11 Câu 25 Ba góc A, B, C(A < B < C) tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn gấp đôi góc nhỏ Hiệu số đo độ góc lớn với góc nhỏ A 40◦ B 45◦ C 60◦ D 80◦ Câu 26 Một tam giác vuông có chu vi và độ dài các cạnh lập thành cấp số cộng Diện tích tam giác vuông đã cho 3 A B C D 8 Câu 27 Cho cấp số cộng (un ) có các số hạng đầu là 5; 9; 13; 17; · · · Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng A un = 5n + B un = 5n − C un = 4n + D un = 4n − Câu 28 Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = −5 và công sai d = Mệnh đề nào sau đây đúng? A u10 = 35 B u13 = 31 C u15 = 34 D u15 = 45 Câu 29 Cho cấp số cộng (un ) có u3 = 15 và công sai d = −2 Số hạng tổng quát un là 3 A un = −2n + 21 B un = − n + 12 C un = −3n − 17 D un = n2 − 2 Câu 30 Cho cấp số cộng (un ) có u1 = −5 và công sai d = Số 100 là số hạng thứ cấp số cộng? A Thứ 15 B Thứ 20 C Thứ 35 D Thứ 36 Câu 31 Cho hai số −3 và 23 Xen kẽ hai số đã cho n số hạng để tất các số đó lập thành cấp số cộng có công sai d = Mệnh đề nào sau đây đúng? A n = 12 B n = 13 C n = 14 D n = 15 Câu 32 Người ta viết thêm 999 số thực vào số và số 2021 để cấp số cộng có 1001 số hạng Số hạng thứ 501 cấp số cộng là 1011 A 1000 B 1001 C 1011 D Câu 33 Cho cấp số cộng (un ) thỏa u10 − u5 = 10 Giá trị u100 + u200 − 2u50 A 550 B 400 C 500 D 450 Câu 34 Cho cấp số cộng (un ) có u1 = và công sai d = Hỏi kể từ số hạng thứ trở thì các số hạng (un ) lớn 2021? A 288 B 289 C 290 D 291 Câu 35 Một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2021 và công sai d = −5 Hỏi số hạng nào cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm? A u404 B u405 C u406 D u407 Câu 36 Một cấp số cộng có số hạng Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40 Khi đó công sai d cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? A d = B d = C d = D d = 35  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 90 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 90 91  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Câu 37 Cho cấp số cộng (un ) có u4 = −12 và u14 = 18 Khi đó u2 A −24 B −18 C 18 D 24 Câu 38 Một cấp số cộng có số hạng Biết tổng số hạng đầu và số hạng cuối 17; tổng số hạng thứ hai và số hạng thứ tư 14 Tìm công sai d câp số cộng đã cho A d = −16 B d = −3 C d = D d = 16 Câu 39 ( Cho cấp số cộng (un ) có ( u9 = 5u2 và u13 = 2u6 + ( Chọn mệnh đề đúng? ( u1 = u1 = u1 = u1 = A B C D d=4 d=3 d=5 d=5 ( u1 − u3 + u5 = 15 Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 40 Cho cấp số cộng (un ) thỏa u1 + u6 = 27 ( ( ( ( u1 = 21 u1 = 21 u1 = 18 u1 = 21 A B C D d=3 d = −3 d=3 d=4 ( u7 − u3 = Câu 41 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn Mệnh đề nào sau đây sai? u2 u7 = 75 A u1 = B u1 = −17 C d = D d = ( u2 + u4 + u6 = 36 Câu 42 Cho cấp số cộng (un ) thỏa Mệnh đề nào sau đây đúng? u2 u3 = 54 ( ( ( ( u1 = −33 u1 = −33 u1 = u1 = A B C D d = −15 d=3 d=3 d = 15 ( u1 + u7 = 26 Câu 43 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn Mệnh đề nào sau đây đúng? u22 + u26 = 466 ( ( ( ( u1 = −1 u1 = u1 = u1 = 25 A B C D d = −4 d = −4 d=4 d=4 ( u1 + u2 + u3 = 27 Câu 44 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn Tính u2 u21 + u22 + u23 = 275 A u2 = B u2 = C u2 = D u2 = 17 Câu 45 Cho số nguyên dương n ≥ thỏa mãn C1n ; C2n ; C3n là số hạng thứ nhất, thứ và thứ 15 cấp số cộng Giá trị n A B 10 C 11 D 12 Câu 46 Cho cấp số cộng (un ) có u1 = và d = −5 Tổng 100 số hạng đầu tiên cấp số cộng A −24350 B 24350 C −24600 D 24600 Câu 47 Cho cấp số cộng (un ) có số hạng tổng quát un = − 2n, (n ∈ N∗ ) Tổng 20 số hạng đầu tiên cấp số cộng A −350 B −340 C −320 D 440 Câu 48 Xét các số nguyên dương chia hết cho Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên dãy số đó A 3675 B 3750 C 3825 D 3900  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 91  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Cấp Số Cộng Câu 49 Cho cấp số cộng (un ) có d = −2 và S8 = 72 Tìm số hạng đầu tiên u1 1 A u1 = 16 B u1 = −16 · C u1 = D u1 = − · 16 16 Câu 50 Cho cấp số cộng (un ) có u1 = và tổng 40 số hạng đầu là 3320 Công sai cấp số cộng đó A −4 B C −8 D Câu 51 Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng n số hạng đầu là 561 Khi đó số hạng thứ n cấp số cộng đó là un có giá trị là bao nhiêu? A un = 57 B un = 61 C un = 65 D un = 69 Câu 52 Một cấp số cộng có 12 số hạng Biết tổng 12 số hạng đó 144 và số hạng thứ mười hai 23 Công sai cấp số cộng đã cho A B C D Câu 53 Cho cấp số cộng có tổng 10 số hạng đầu tiên là 100 và tổng 100 số hạng đầu tiên là 10 Khi đó tổng 110 số hạng đầu tiên là A −110 B −90 C 90 D 110 Câu 54 Cho cấp số cộng (an ) có công sai d 6= Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên cấp số cộng Biết a3 S6 = S9 , tỉ số a5 5 A B C D Câu 55 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn 5S7 − 7S5 = 70 Công sai cấp số cộng A B C 37,5 D 70 Câu 56 Cho cấp số cộng (un ) với u5 = 18 và 4Sn = S2n Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d cấp số cộng A u1 = 2; d = B u1 = 2; d = C u1 = 2; d = D u1 = 3; d = Câu 57 Một đa giác có n cạnh và có chu vi 158cm Biết số đo các cạnh đa giác lập thành cấp số cộng với công sai d = 3cm và cạnh lớn có độ dài là 44cm Đa giác có số cạnh n A n = B n = C n = D n = Câu 58 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn u2 + u23 = 60 Tổng 24 số hạng đầu tiên cấp số cộng đã cho A 60 B 120 C 720 D 1440 Câu 59 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn u2 + u8 + u9 + u15 = 100 Tổng 16 số hạng đầu tiên cấp số cộng đã cho A 100 B 200 C 300 D 400 Câu 60 Số hạng tổng quát cấp số cộng là un = 3n + với n ∈ N∗ Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên cấp số cộng đã cho Mệnh đề nào sau đây đúng? 3n + 3n2 + 4n 3n + 11 3n2 + 11n A Sn = B Sn = C Sn = D Sn = 2 2 Câu 61 Cho cấp số cộng (un ) có tổng n số hạng đầu tính theo công thức Sn = 5n2 +3n với n ∈ N∗ Tìm số(hạng đầu u1 và công sai d(của cấp số cộng đã cho ( ( u1 = −8 u1 = −8 u1 = u1 = A B C D d = 10 d = −10 d = 10 d = −10  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 92 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 92 93  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Câu 62 Cho cấp số cộng (un ) với u100 = 199 và công sai d = Tính tổng T = u2 +u4 +u6 +···+u20 A T = 200 B T = 210 C T = 220 D T = 190 Câu 63 Tính tổng S = − + − + + · · · + (2n − 1) − 2n với n ∈ N∗ A S = −1 B S = C S = −n D S = n Câu 64 Tính tổng T = 15 + 20 + 25 + · · · + 7515 A T = 5651255 B T = 5651260 C T = 5651265 D T = 5651270 Câu 65 Tính tổng T = 10002 − 9992 + 9982 − 9972 + · · · + 22 − 12 A T = 500496 B T = 500500 C T = 500504 D T = 500508 Câu 66 Một người muốn trang trí quán cho đẹp nên định thuê nhân công xây tường gạch với ximăng (mô hình hình vẽ bên), biết hàng cùng có 500 viên, hàng có ít hàng trước viên và hàng trên cùng cùng có viên Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành tường trên là bao nhiêu viên gạch? A 12550 B 125250 C 25250 D 250500 Câu 67 Trong hội chợ tết, công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1; 3; 5; ·· từ trên xuống (số hộp sữa trên hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp, mô hình hình vẽ bên) Hỏi hàng cùng có bao nhiêu hộp sữa? A 30 B 57 C 59 D 61 Câu 68 Ông Nam đã trồng cây ca cao trên mảnh đất mình có dạng hình tam giác Ông trồng hàng đầu tiên cây ca cao, kể từ hàng thứ hai trở số cây ca cao phải trồng hàng nhiều cây so với số cây đã trồng hàng trước đó và hàng cuối cùng ông đã trồng 2023 cây ca cao Số cây ca cao mà ông Nam đã trồng trên mảnh đất mình là A 406229 cây B 408242 cây C 410265 cây D 412293 cây Câu 69 Trong sân vận động có tất 30 dãy ghế Dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều dãy trước ghế Hỏi sân vận động đó có tất bao nhiêu ghế? A 1740 B 2190 C 2250 D 4380 Câu 70 Một gia đình cần khoan cái giếng để lấy nước Giá mét khoan đầu tiên là 80000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá mét khoan trước đó Biết cần phải khoan sâu xuống 50 mét Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A 4000000 đồng B 4245000 đồng C 10125000 đồng D 52500000 đồng Câu 71 Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực việc trả lương cho người lao động theo phương thức sau: Người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm làm việc thứ hai mức lương tăng thêm triệu đồng năm Tổng số tiền lương người lao động nhận sau năm làm việc là A 100 triệu đồng B 120 triệu đồng C 210 triệu đồng D 420 triệu đồng  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 93  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Cấp Số Cộng Câu 72 Một đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm thì sau số tiếng chuông đánh đúng số mà đồng hồ thời điểm đánh chuông (biết lúc 13 thì xem chiều và đồng đồ đánh tiếng chuông) Hỏi ngày có 24 giờ, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng chuông? A 48 B 78 C 156 D 300 Câu 73 Trên bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt hạt thóc vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều ô thứ là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều ô thứ hai là 5, · · · và tiếp tục đến ô thứ n Biết đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông? A 64 B 98 C 100 D 102 Câu 74 Một sinh viên trường vấn xin việc công ty Sau vấn xong các kiến thức chuyên môn, giám đốc đưa lựa chọn • Một là anh vào làm việc công ty với lương tháng cố định · 000 · 000 đồng tháng • Hai là anh làm việc với mức lương khởi điểm · 000 · 000 đồng cho tháng đầu, sau tháng anh tăng thêm 400 · 000 đồng cho các tháng sau • Ba là anh làm việc với mức lương khởi điểm · 000 · 000 cho tháng đầu, sau tháng anh tăng thêm 200 · 000 đồng cho các tháng sau Thời gian thử việc theo phương án là 12 tháng Hỏi anh sinh viên lựa chọn phương án nào để có lợi thu nhập thời gian thử việc A Phương án B Phương án C Phương án D Cả phương án Câu 75 Nam tiết kiệm để mua cây Guitar có giá 400 Trong tuần đầu tiên Nam để dành 42 và tuần Nam đã thêm vào tài khoản tiết kiệm mình Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì Nam có đủ tiền để mua cây Guitar? A 44 B 45 C 46 D 47 Câu 76 Cho cấp số cộng (un ) có công sai d = −3 và u22 + u23 + u24 đạt giá trị nhỏ Số hạng thứ 2020 cấp số cộng A −6054 B −6051 C 6051 D 6066 π Câu 77 Cho các số thực α, β, γ thỏa mãn α + β + γ = và cot α, cot β, cot γ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị cot α · cot γ A −3 B −2 C D Câu 78 Cho cấp số cộng (un ) với u1 = 3, công sai và cấp số cộng (vn ) có v1 = 2, công sai Hỏi có tất bao nhiêu số có mặt đồng thời 2021 số hạng đầu tiên hai cấp số cộng nói trên? A 335 B 673 C 674 D 1010 Câu 79 Cho cấp số cộng (un ) thỏa um = n và un = m Tính u2021 1 A u2021 = (m + n + 2021) B u2021 = (m + n − 2021) 2 C u2021 = m + n + 2021 D u2021 = m + n − 2021 Câu 80 Cho cấp số cộng (un ) với số hạng đầu u1 , công sai d và tổng n số hạng đầu tiên là Sn thỏa mãn Sm = Sn (m 6= n) Giá trị Sm+n  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 94 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 94 95  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường A  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN B 2Sn D Sn2 C 4Sn Câu 81 Cho cấp số cộng (un ) với số hạng đầu u1 , công sai d và tổng n số hạng đầu tiên là Sn thỏa mãn  n 2 Sn = (m 6= n) Mệnh đề nào sau đây đúng? Sm m A u1 = 2d B u1 = −2d C d = 2u1 D d = −2u1 Câu 82 Cho dãy số C2 30 ; C2 31 ; · · · ; C2 313 Tổng ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng dãy số đã cho có giá trị A 836418 B 1307527 C 2451570 D 3848222 k k+1 Câu 83 Có tất bao nhiêu số nguyên dương (n; k) biết n < 20 và các số Ck−1 theo thứ tự n ; Cn ; Cn đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm cấp số cộng? A B C D Câu 84 Cho cấp sốÅcộngã(un ) có công sai d, các số hạng cấp số cộng đã cho khác Với giá trị nào d thì dãy số là cấp số cộng? un A d = −1 B d = C d = D d = 1 ; ; theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp Câu 85 Nếu b+c c+a a+b số cộng? 1 A a2 ; b2 ; c2 B b2 ; c2 ; a2 C c2 ; a2 ; b2 D ; ; a b c BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 51 61 71 81 B A A A D C C C C 12 22 32 42 52 62 72 82 D C C C C A B C C 13 23 33 43 53 63 73 83 C B B B C A C C B 14 24 34 44 54 64 74 84 A A B C C C C B B 15 25 35 45 55 65 75 85  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An C D A C C A B C A 16 26 36 46 56 66 76 95 C B C B A A B B 17 27 37 47 57 67 77 B C C B C D C D 18 28 38 48 58 68 78 B B B C C C C C 19 29 39 49 59 69 79 D C A A A D B D 10 20 30 40 50 60 70 80 B B D B B D C A  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  CẤP SỐ NHÂN BÀI A CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ NHÂN KIẾN THỨC CẦN NẮM Định Định nghĩa nghĩa và các và các tínhtính chấtchất củacủa cấpcấp số số nhân nhân  Định nghĩa 4.1 Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn vô hạn), đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tích số hạng đứng liền trước với số không đổi q Số không đổi q đó gọi là công bội cấp số nhân Từ định nghĩa, ta có: Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi un+1 = un q, n ∈ N∗ Chú ý Đặc biệt 1) Khi q = thì cấp số nhân là dãy số không đổi (tất các số hạng nhau) 2) Khi q = thì cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, 0, , 0, 3) Khi u1 = thì với q cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, , 0, Định lý 4.1 Số hạng tổng quát cấp số nhân Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un xác định công thức: un = u1 q n−1 , ∀n ≥  Hệ 4.1 Cho cấp số nhân (un ) với các số hạng khác Khi đó ta có: 1) um = uk q m−k , k < m 2) q m−k = um , k < m uk Định lý 4.2 Tính chất các số hạng cấp số nhân Trong cấp số nhân (un ), bình phương số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) là tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u2 k = uk−1 uk+1 , k ≥  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 96 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 96 97  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Chú ý Một cách tổng quát, ta có: Nếu (un ) là cấp số nhân thì u2m = um−k um+k , k < m Định lý 4.3 Tổng n số hạng đầu tiên cấp số nhân Cho cấp số nhân (un ) với công bội q 6= Đặt Sn = u1 + u2 + + un Khi đó: Sn = u1 − qn u1 − un+1 = 1−q 1−q Chú ý Nhận xét Chúng ta thường sử dụng công thức Sn = u1 − qn để tính Sn biết số hạng đầu u1 và công bội 1−q u1 − un+1 sử dụng để tính Sn trường hợp biết các số 1−q hạng u1 , un+1 và công bội q cấp số nhân q cấp số nhân Công thức Sn = B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Chứng Minh Một Dãy Số Là Cấp Số Nhân Và Các Yếu Tố Liên Quan 1) Để chứng minh dãy số (un )là cấp số nhân, chúng ta cần phải tồn số không đổi q cho un+1 = un q, ∀n ≥ 2) Trong trường hợp un 6= 0, ∀n ≥ để chứng minh (un ) là cấp số nhân, chúng ta cần phải un+1 là số không đổi với số nguyên dương n tỷ số un 3) Để dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần dãy số gồm số hạng liên tiếp dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân Bài Trong các dãy số đây, dãy số nào là cấp số nhân? 1) Dãy số (xn ), với xn = n2 √ 2n−3 2) Dãy số (yn ), với yn = 3) Dãy số (zn ), với zn = n 4) Dãy số (wn ), với wn = 3n + 3n+1 Bài Cho cấp số nhân (un ) Các dãy sau có phải là cấp số nhân không?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 97  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  CẤP SỐ NHÂN 2) Dãy (bn ), với bn = un2 1) Dãy (an ), với an = 3un Bài Chứng minh các dãy số sau là cấp số nhân Hãy tìm công bội và số hạng đầu cấp số nhân đó 1) Dãy (un ) với un = (−1)n 32n 2) Dãy (vn ) với = 3n 3) Dãy (xn ) với xn = (−4)2n+1 Bài Tìm a để ba số a − 2; a − 4; a + theo thứ tự lập thành cấp số nhân √ √ Bài Tìm b để ba số − √ ; b; theo thứ tự lập thành cấp số nhân 1 Bài Cho cấp số nhân − ; b; − Tìm b 125 Bài Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, un+1 = 5.un +8, với n > Chứng minh (vn ) với = un +2 là cấp số nhân DẠNG Xác định q uk cấp số nhân Dựa vào định nghĩa và tính chất cấp số nhân, ta thường đưa bài toán theo u1 và q với chú ý: Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội q thì ta có ✓ un+1 = un q, ∀n ∈ N∗ ✓ Số hạng tổng quát : un = u1 q n−1 , ∀n > ✓ u2n+1 = un un+2 , ∀n ∈ N∗ ✓ Tổng n số hạng đầu là Sn = u1 qn − 1 − qn = u1 q−1 1−q Bài Cho cấp số nhân un có u2 = 2; u3 = Tìm u4 , u5 Bài Cho cấp số nhân (un ) với công bội q 1) Biết u1 = 3, u6 = 3072 Tìm q 2) Biết q = , u4 = Tìm u1 25 3) Biết u1 = 3, q = Hỏi 192 là số hạng thứ mấy? Bài 10 Cho cấp số nhân (un ) với công bội dương, biết u1 = và u5 = 48 1) Tính u8 2) Hỏi số 1536 là số hạng thứ mấy? 3) Tính tổng 12 số hạng đầu Bài 11 Cho cấp số nhân (un ) với un = 12.2n−1  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 98 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 98 99  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 1) Tìm số hạng đầu u1 và công bội q 2) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên 3) Tính tổng S = u3 + u4 + + u12 ( Bài 12 Tìm số hạng đầu u1 và công bội q cấp số nhân (un ), biết : u4 − u2 = 72, u5 − u3 = 144 Bài 13 Cho cấp số nhân (un ), biết u1 + u4 = 27; u2 u3 = 72 Tìm u7 Bài 14 Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng là 19 và tích là 216 Bài 15 Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối là 486 DẠNG Các bài toán thực tế liên quan cấp số nhân Bài 16 Tế bào E Coli điều kiện nuôi cấy thích hợp 20 phút lại nhân đôi lần Nếu lúc đầu có 1012 tế bào thì sau phân chia thành bao nhiêu tế bào? Bài 17 Người ta thiết kế cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên tầng nửa diện tích mặt trên tầng bên và diện tích bề mặt trên tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích đế tháp là 12288m2 , tính diện tích mặt trên cùng Bài 18 Tỉ lệ tăng dân số tỉnh X là 1, 3% Biết số dân tỉnh X là 1, triệu người Hỏi với mức tăng thì số dân tỉnh đó là bao nhiêu biết: 1) sau năm 2) sau 10 năm Bài 19 Anh An mua nhà trị giá 500 triệu đồng theo phương thức trả góp a) Nếu cuối tháng tháng thứ anh An trả 6000000 và chịu lãi số tiền chưa trả là 0, 5%/tháng thì sau bao lâu anh An trả hết số tiền trên ? b) Nếu anh An muốn trả hết nợ năm và phải trả lãi với mức 6%/năm thì tháng anh phải trả bao nhiêu tiền ? (Làm tròn đến nghìn đồng) Bài 20 Bố bạn An tặng bạn máy vi tính trị giá 15 triệu đồng cách cho bạn tiền hàng tháng theo phương thức: tháng đầu tiên cho 300000 đồng, các tháng từ tháng thứ trở tháng nhận số tiền nhiều tháng trước 50000 đồng 1) Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền nhận hàng tháng với lãi suất 0, 6%/tháng thì bạn An gửi bao nhiêu tháng đủ mua máy vi tính 2) Nếu bạn An muốn có máy vi tính để học phương thức mua trả góp hàng tháng số tiền bố cho với lãi suất ngân hàng là 0, 7%/tháng thì bạn An bao nhiêu tháng để trả đủ số tiền và tháng cuối cùng trả bao nhiêu ?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 99  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  CẤP SỐ NHÂN Bài 21 Một người muốn có 100 triệu sau 18 tháng phải gửi tháng vào ngân hàng bao nhiêu tiền, biết lãi suất 0, 6%/ tháng (lãi kép) Bài 22 Một người vay 80 triệu, trả góp theo tháng vòng 60 tháng, lãi suất 1, 15%/tháng 1) Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu ? 2) Nếu lãi suất là 0, 75%/tháng thì tháng phải trả bao nhiêu, lợi bao nhiêu so với lãi 1, 15%/tháng ? C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? √ √ A 128; −64; 32; −16; 8; ·· B 2; 2; 4; 2; · · · C 5; 6; 7; 8; ·· D 15; 5; 1; ; ·· Câu Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A 1; −1; 1; −1; · · · B 3; 32 ; 33 ; 34 ; · · · 1 1 C a; a3 ; a5 ; a7 ; · · · (a 6= 0) D ; ; ; ; · · · π π π π Câu Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32; ·· là cấp số nhân với A công bội là và số hạng đầu tiên là B công bội là và số hạng đầu tiên là C công bội là và số hạng đầu tiên là D công bội là và số hạng đầu tiên là Câu Cho cấp số nhân (un ) với u1 = −2 và công bội q = −5 Viết bốn số hạng đầu tiên cấp số nhân A −2; 10; 50; −250 B −2; 10; −50; 250 C −2; −10; −50; −250 D −2; 10; 50; 250 Câu Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là và 12 Số hạng cấp số nhân là A 15 B 21 C 36 D 48 Câu Cho cấp số nhân (un ) có số hạng tổng quát là un = × 5n Khi đó số hạng đầu u1 và công bội q là 3 15 15 A u1 = , q = B u1 = , q = C u1 = , q = D u1 = , q = 5 2 Câu Trong các dãy số (un ) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là cấp số nhân? 1 A un = n−2 B un = n − C un = (n + 2) · 3n D un = n2 − 3 Câu 8.(Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? ( u1 = u1 = −1 A B un+1 = un + 1, n ≥ un+1 = −3un , n ≥   π  u1 = −2 u = Å ã C D π un+1 = , n ≥  un = sin ,n ≥ un n−1 Câu Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 100 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 100 101  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  u = A  un+1 = un  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN B un+1 = nun C ( u1 = un+1 = −5un Câu 10 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? 1 A un = n − B un = n−2 C un = n + 3 Câu 11 ( Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? ( u1 = u1 = √ A B u = u C n+1 n un+1 = u3n un+1 = 6un D un+1 = un+1 − D un = n2 − D un+1 = 2un + Câu 12 Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? A un = n + B un = n2 + C un = 32n D un = n2 + Câu 13 Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? 1 1 A un = n + B un = n−2 C un = 2n + D un = n2 − 3 Câu 14 Cho cấp số nhân có u1 < và công bội q < Trong các nhận xét sau, nhận xét nào đúng? A un < với n B un < với n lẻ và un > với n chẵn C un > với n D un < với n chẵn và un > với n lẻ Câu 15 Trong các dãy số (un ) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là cấp số nhân? A un = − 3n B un = − 3n C un = D un = · 3n 3n Câu 16 Mệnh đề nào sau đây sai? A Dãy số có tất các số hạng là cấp số nhân B Dãy số có tất các số hạng là cấp số cộng C Một cấp số cộng có công sai dương là dãy số tăng D Một cấp số nhân có công bội q > là dãy tăng Câu 17 Cho cấp số nhân (un ) có u1 = −3 và công bội q = Chọn mệnh đề đúng? 27 16 16 27 A u5 = − B u5 = − C u5 = D u5 = 16 27 27 16 Câu 18 Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 1, u2 = −2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A u2021 = −22020 B u2021 = 22020 C u2021 = −22021 D u2021 = 22021 1 Câu 19 Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy , công bội Hỏi số hạng đầu tiên cấp số nhân bao nhiêu? A B 1024 C 2048 D 4096 512 Câu 20 Cho cấp số nhân (un ) xác định u1 = −4 và un = − un−1 với n ≥ Số hạng tổng quát un cấp số nhân là Å ãn−1 n−1 A un = · B un = −4 · − 2ã Å n+1 n+1 C un = · D un = −4 · − 2  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 101  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  CẤP SỐ NHÂN Câu 21 Cho cấp số nhân (un ) có u1 6= và công bội q = Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A u1 ; u3 ;u5 ; · · B 3u1 ;3u2 ; 3u3 ; · · 1 C ; ; ; ·· D u1 + 2; u2 + 2; u3 + 2; ·· u1 u2 u3 Câu 22 Thêm hai số thực dương x và y vào hai số và 320 để bốn số 5; x; y; 320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân Giá trị x + 2y A 100 B 120 C 180 D 200 Câu 23 Viết thêm bốn số vào hai số 160 và để dãy giảm và dãy này là cấp số nhân Số hạng thứ tư cấp số nhân A 10 B 20 C 40 D 80 1 1 Câu 24 Cho cấp số nhân ; ; ; · · · ; Số là số hạng thứ cấp số nhân đã cho? 4096 4096 A 10 B 11 C 12 D 13 Câu 25 Cho cấp số nhân (un ) có u1 = và công bội q = −2 Số 192 là số hạng thứ cấp số nhân đã cho? A B C D 1 Câu 26 Cho cấp số nhân (un ) có u1 = −1 và công bội q = − Số 103 là số hạng thứ cấp 10 10 số nhân đã cho? A Số hạng thứ 103 B Số hạng thứ 104 C Số hạng thứ 105 D Không là số hạng cấp số đã cho Câu 27 Cho cấp số nhân (un ) với u1 = và công bội q = − Số 222 là số hạng thứ cấp số nhân đã cho? A Số hạng thứ B Số hạng thứ 10 C Số hạng thứ 11 D Không là số hạng cấp số đã cho Câu 28 Một cấp số nhân có công bội và số hạng đầu Biết số hạng chính là 32805 Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng? A B 17 C 18 D 19 Câu 29 Cho cấp số nhân (un ) có u1 6= và công bội q 6= Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ A uk = u1 · q k B uk = u1 · q k−1 C uk = uk−1 · uk+1 D uk = uk+1 · uk+2 Câu 30 Cho cấp số nhân (un ) có u1 6= và công bội q 6= Mệnh đề nào sau đây đúng? A u7 = u4 · q B u7 = u4 · q C u7 = u4 · q D u7 = u4 · q 11 Câu 31 Cho cấp số nhân (un ) có u1 6= và công bội q 6= Mệnh đề nào sau đây sai? A u1 · u15 = u2 · u14 B u1 · u15 = u5 · u11 C u1 · u15 = u6 · u9 D u1 · u15 = u12 · u4 −1 Câu 32 Cho các cấp số nhân với u1 = ; u7 = −32.Công bội cấp số nhân là A ± B ±4 C ±2 D ±1 Câu 33 Cấp số nhân (un ) có un = · 2n Số hạng đầu tiên và công bội cấp số nhân là 6 6 A u1 = , q = B u1 = , q = −2 C u1 = , q = D u1 = , q = 5 5  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 102 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 102 103  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Câu 34 Cho cấp số nhân có u1 = −1, u6 = 0,00001 Khi đó công bội q và số hạng tổng quát un là −1 −1 A q = , un = n−1 B q = , un = −10n−1 10 10 10 −1 −1 (−1)n C q = , un = n−1 D q = , un = n−1 10 10 10 10 Câu 35 Cho cấp số nhân −2; 4; −8; ·· Tổng n số hạng đầu tiên cấp số nhân là −2[1 − (−2)n ] −2[1 − (2)n ] −2[1 − (−2)2n ] −2[1 − (2)2n ] A B C D − (−2) 1−2 − (−2) 1−2 Câu 36 Cho cấp số nhân biết u1 = 1; q = Số hạng thứ 11 là A 20 B 1024 C 22 D 2008 Câu 37 Nếu cấp số nhân (un ) có u1 = và công bội q = thì giá trị u7 là A 36 B 37 C 21 D 38 Câu 38 Cấp số nhân (un ) có un = · 2n Số hạng đầu tiên và công bội q là 6 6 A u1 = , q = B u1 = , q = −2 C u1 = , q = D u1 = , q = 5 5 Câu 39 Cho cấp số nhân có u2 = , u5 = 16 Công bội và số hạng đầu tiên cấp số nhân là 1 1 A q = ; u1 = , B q = − ; u1 = − , 2 2 1 C q = 4; u1 = , D q = −4; u1 = − , 16 16 Câu 40 Tổng 10 số hạng đầu cấp số nhân có u1 = 4, u10 = 2048 là A S10 = 8184 B S10 = 4092 C S10 = 12276 D S10 = 6138 Câu 41 Cho cấp số nhân với u1 = 4, q = −4 Ba số cấp số nhân là A −16; 64; −256 B −16; −64; −256 C 16; 64; 256 D −16; 64; 256 Câu 42 Cho S = + · + · 22 + · · · + · 2n Khẳng định nào sau đây đúng với n nguyên dương? A S = 3(2n − 1) B S = 3(2n+1 + 1) C S = 3(2n+1 − 1) D S = 3(2n−1 − 1) Câu 43 Cho cấp số nhân biết u1 = 3, q = Tổng 10 số hạng đầu tiên cấp số nhân là A · (1 − 29 ) B · (1 − 210 ) C −3 · (29 − 1) D · (210 − 1) Câu 44 Cho cấp số nhân (un ), biết u2017 = 1, u2020 = 1000 Tổng 10 số hạng đầu tiên cấp số nhân 1010 − 910 − 1 − 1010 1010 − A B C D · 102016 · 92016 · 102016 · 102019 Câu 45 Tổng + + 22 + 23 + · · · + 2100 A − 2100 B 2100 − C − 2101 D 2101 − Câu 46 Cấp số nhân 5; 10; ; 1280 có bao nhiêu số hạng? A B C D 10 Câu 47 Số hạng thứ cấp số nhân 2; 6; … là A 48 B 486 C 81 D 162 Å ã2n Câu 48 Dãy số có số hạng tổng quát un = √ là cấp số nhân có công bội q √ 1 A √ B C D 3  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 103  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  CẤP SỐ NHÂN 1 Câu 49 Tổng + +···+ 16 A B Å ãn + ·· C ãn+1 D Å Câu 50 Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un ) với un = − Tổng cấp số nhân đó là 1 1 A B − C − D 12 12 1 Câu 51 Tổng S = + + + + ·· có giá trị A B C D +∞ ( u1 + u2 + u3 = 31 Câu 52 Cho cấp số nhân(un ) biết Giá trị u1 và q là u1 + u3 = 26 1 A u1 = 2; q = u1 = 25; q = B u1 = 5; q = u1 = 25; q = 5 1 C u1 = 25; q = u1 = 1; q = D u1 = 1; q = u1 = 25; q = 5 n Câu 53 Cấp số nhân (un ) có un = · Số hạng đầu tiên và công bội q là 6 12 12 A u1 = , q = B u1 = , q = −2 C u1 = , q = D u1 = , q = 5 5 Câu 54 Cho cấp số nhân(un ) có u2 = −2 và u5 = 54 Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên cấp số nhân đó − 31000 31000 − 31000 − 31000 − A B C D ( u5 + u2 = 36 Câu 55 Số hạng đầu và công bội cấp số nhân thỏa mãn là u6 − u4 = 48 A u1 = 4, q = B u1 = 2, q = C u1 = 2, q = D u1 = 4, q = Câu 56 Tổng S = + + 22 + 23 + 24 là số chia hết cho A 21 B 41 C 51 D 31 Câu 57 Cho cấp số nhân(un ) có u3 = 24 và u4 = 48 Tổng năm số hạng đầu tiên cấp số nhân đó A 168 B 186 C – 186 D 196 Câu 58 Cho cấp số nhân với u1 = 3, q = − Số 222 là số hạng thứ cấp số nhân? A Số hạng thứ 11 B Số hạng thứ C Số hạng thứ 12 D Không thuộc cấp số nhân ( u4 − u2 = 54 Câu 59 Cho cấp số nhân có Số hạng đầu tiên u1 và công bội q cấp u5 − u3 = 108 số nhân là A u1 = và q = B u1 = và q = −2 C u1 = −9 và q = D u1 = −9 và q = ( u4 − u2 = 54 Câu 60 Cho cấp số nhân có Giá trị u1 và q cấp số nhân là u5 − u3 = 108 A u1 = và q = B u1 = và q = −2 C u1 = −9 và q = D u1 = −9 và q = −2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 104 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 104 105  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Câu 61 Cho cấp số nhân có u1 = 3; q = −2 Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu cấp số nhân? A Số hạng thứ B Số hạng thứ C Số hạng thứ D Số hạng thứ ( u1 + u3 = Câu 62 Cho cấp số nhân (un ) có công bội q > và Tổng 10 số hạng đầu u21 − u23 = tien cấp số nhân là√
√
31 + A S10 = B S10 = 31 − √16
√
C S10 = 31 + D S10 = 31 − 3n − Câu 63 Cho cấp số nhân (un ) có tổng n số hạng đầu tiên là Sn = n−1 Số hạng thứ cấp số nhân là A u5 = B u5 = C u5 = 35 D u5 = 3 Câu 64 Cho cấp số nhân có u1 = −1; u6 = · 00001 Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là −1 A q = , un = n−1 B q = − , un = −10n−1 10 10 10 1 (−1)n C q = − , un = n−1 D q = − , un = n−1 10 10 10 10 n+1 u2 u3 · un Giá trị tổng S = u1 + + + Câu 65 Cho dãy số (un ) xác định u1 = và un+1 = 3n u10 ···+ là 10 3280 29524 25942 A B C D 6561 59049 59049 243 u4 Câu 66 Cho cấp số nhân (un ) có un = 24; 16384 Số hạn thứ 17 cấp số nhân là u11 3 3 A B C D 67108864 268435456 536870912 214783648 Câu 67 Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng; đồng thời các số x − 1, y + 2, x − 3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân Tính x2 + y A x2 + y = 10 B x2 + y = 25 C x2 + y = 40 D x2 + y = 100 Câu 68 Cho ba số a, b, c theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác Biết theo thứ tự đó chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám cấp số cộng với công sai là d 6= Tỉ số a d 4 A B C D 9 Câu 69 Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp cấp số nhân ; có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu cấp số cộng này để tổng chúng 820? A 17 B 20 C 21 D 42 Câu 70 Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng với công sai khác Tìm giá trị q 1 A q = −3 B q = − C q = D q = 3 n(3n − 7) Câu 71 Cho dãy số (un ) có tổng n số hạng đầu tiên là Sn = u1 + u2 + · · · + un = Mệnh đề nào sau đây đúng?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 105  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  CẤP SỐ NHÂN B (un ) là cấp số nhân có q = −5 D (un ) là cấp số cộng có d = −5 A (un ) là cấp số nhân có q = C (un ) là cấp số cộng có d = Câu 72 Người ta thiết kế cái tháp gồm 11 tầng Diện tích mặt trên tầng nửa diện tích mặt trên tầng bên và diện tích mặt trên tầng nửa diện tích đế tháp (có diện tích là 12288m2 ) Diện tích mặt trên cùng (của tầng thứ 11) có giá trị nào sau đây? A 6m2 B 8m2 C 10m2 D 12m2 Câu 73 Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược Lần đầu đặt 20000 đồng, lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt trước Người đó thua lần liên tiếp và thắng lần thứ 10 Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu tiền? A Hòa vốn B Thua 20000 đồng C Thắng 20000 đồng D Thua 40000 đồng Câu 74 Tế bào E.Coli điều kiện nuôi cấy thích hợp 20 phút lại phân đôi lần Nếu có 105 tế bào thì sau phân chia thành bao nhiêu tế bào? A 26 tế bào B 25 · 105 tế bào C 26 · 105 tế bào D 27 · 105 tế bào Câu 75 Một loại vi khuẩn sau phút số lượng tăng gấp đôi, biết sau phút người ta đếm có 64000 Hỏi sau bao nhiêu phút thì có 2048000 con? A B 10 C 11 D 12 Câu 76 Một bóng siêu nẩy rơi từ độ cao 30 mét so với mặt đất Khi chạm đất nó nẩy lên cao với độ cao lần so với độ cao lần rơi trước đó Hỏi lần nảy lên thứ 11 bóng đạt độ cao tối đa bao nhiêu mét so với mặt đất (kết làm tròn chữ số sau dấu phẩy)? A 0, 23 m B 0, 33 m C 0, 35m D 0, 52 m Câu 77 Một cửa hàng ngày đầu bán sản phẩm, quảng cáo hiệu và chất lượng sản phẩm tốt nên ngày sau số lượng sản phầm bán tăng gấp đôi so với ngày trước đó Số ngày ít để cửa hàng đó bán hết 1200 sản phẩm là? A B C D 10 Câu 78 Cho đoạn thẳng AB = 2100 (cm) Gọi M1 là trung điểm AB Gọi Mk+1 là trung điểm Mk B (với k = 1; 2; · · · ; 99) Tính độ dài đoạn thẳng M1 M100 A 1(cm) B 298 − 1(cm) C 299 − 1(cm) D 2100 − 1(cm) Câu 79 Cho dãy hình vuông H1 ; H2 ; · · ·; Hn ; ·· Với số nguyên dương n, gọi un , Pn và Sn là độ dài cạnh, chu vi và diện tích hình vuông Hn Mệnh đề nào sau đây sai? A Nếu (un ) là cấp số cộng với công sai khác thì (Pn ) là cấp số cộng B Nếu (un ) là cấp số cộng với công sai khác thì (Sn ) là cấp số cộng C Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội dương thì (Pn ) là cấp số nhân D Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội dương thì (Sn ) là cấp số nhân Câu 80 Một hình vuông ABCD có cạnh AB = a, diện tích S1 Nối bốn trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự bốn cạnh AB, BC, CD, DA ta hình vuông thứ hai là A1 B1 C1 D1 có diện tích S2 Tiếp tục ta hình vuông thứ ba là A2 B2 C2 D2 có diện tích S3 , ·· và tiếp tục làm ta các hình vuông có diện tích Å S4 , S5 , · ·ã·, S10 Tổng S1 +Å S2 + S3ã+ · · · + S10 Å ã 1 2 2 A 2a B 2a − C 2a − 10 D 2a −1 2 210  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 106 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 106 107  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Câu 81 Cho hình vuông A1 B1 C1 D1 có cạnh Gọi Ak+1 , Bk+1 , Ck+1 , Dk+1 thứ tự là trung điểm các cạnh Ak Bk , Bk Ck , Ck Dk , Dk Ak (với 2021 D2021 √ k = 1; 2; ··) Chu vi hình vuông A2021 B2021 C√ 2 A 1008 B 1008 C 1010 D 1010 2 2 Câu 82 Cho cấp số nhân (un ) với số hạng đầu u1 = 1, công bội q = và cấp số cộng (vn ) có số hạng đầu v1 = 2, công sai d = Hỏi có tất bao nhiêu số có mặt đồng thời 1000 số hạng đầu tiên hai cấp số cộng nói trên? A B 10 C 11 D 12 Å ãn Câu 83 Cho dãy số (un ) với un = + 1, ∀n ∈ N∗ Tổng S2021 = u1 + u2 + · · · + u2021 1 1 A 2021 − 2021 B 2021 + 2021 C 2022 − 2021 D 2022 + 2021 2 2  Å ã  u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 49 + + + + u1 u2 u3 u4 u5 Câu 84 Cho cấp số nhân (un ) có công bội q và thỏa  u + u = 35 Tính P = u1 + 4q A P = 24 B P = 29 Câu 85 Cho dãy số (un ) xác định ( u1 = C P = 34 D P = 39 un+1 = 4un + 9, n ∈ N∗ Dãy số (vn ) xác định = un + 3, ∀n ∈ N∗ Mệnh đề nào sau đây đúng? A Dãy (vn ) là cấp số cộng với công sai d = B Dãy (vn ) là cấp số cộng với công sai d = C Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội q = D Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội q = ( u1 = Câu 86 Cho dãy số (un ) xác định Tìm u2021 un+1 = 3un − 6, ∀n ≥ A u2021 = 32020 − B u2021 = 32020 + C u2021 = 32021 − D u2021 = 32021 + BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 51 61 71 82 A C D C A B C C C 12 22 32 42 52 62 72 83 D C C C C D C A C 13 23 33 43 53 63 74 84 B B B C D C A C B 14 24 34 44 54 64 75 85 B B C D A D D B C 15 25 35 45 55 65 76 86  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An D D C A D C C C B 16 26 36 46 56 66 77 107 D D B B A D C B 17 27 37 47 57 67 78 A B D B D B C C 18 28 38 48 58 68 79 B B B C D D D B 19 29 39 49 59 69 80 C C B C C A B C 10 20 30 40 50 60 70 81 B B A B D A C A  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” CHƯƠNG LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG GIỚI HẠN GIỚI HẠN BÀI A GIỚI HẠN DÃY GIỚI SỐHẠN DÃY SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM Định Định nghĩa nghĩa giới giới hạn hạn hữuhữu hạnhạn củacủa dãydãy số số ✓ Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là n dần tới dương vô cực, |un | có thể nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: lim un = hay un → n → +∞ n→+∞ ✓ Ta nói dãy số (vn ) có giới hạn là a n → +∞, lim (vn − a) = n→+∞ Kí hiệu: lim = a hay → a n → +∞ n→+∞ Định Định nghĩa nghĩa giới giới hạn hạn vô cực vô cực củacủa dãydãy số số ✓ Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là +∞ n → +∞, un có thể lớn số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ ✓ Dãy số (un ) có giới hạn là −∞ n → +∞, lim (−un ) = +∞ Kí hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ n → +∞ Một Một số giới số giới hạn hạn đặc đặc biệtbiệt và định và định lí lí giới giới hạn hạn dãy dãysố.số GIỚI HẠN HỮU HẠN Giới hạn đặc biệt = 0, nk GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt (k ∈ N∗ ) • lim nk = +∞, (k ∈ N∗ ) • lim q n = 0, (|q| < 1) • lim q n = +∞, (q > 1) • lim C = C, (C ∈ R) • lim 109  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Định lý ( Định lí Nếu lim un = a và lim = b thì • Nếu • lim(un ± ) = a ± b un a • lim = , b lim = ±∞ ( • lim(un · ) = a · b • Nếu (b 6= 0) • Nếu ⇒ lim lim un = a > lim = ( • Nếu un ≥ 0, ∀n √ √ và lim un = a thì a ≥ và lim un = a lim un = a lim un = a < lim = un = ⇒ lim un = +∞ ⇒ lim un = −∞ Định lý 1.1 Cho ba dãy số (un ), (vn ), (wn ) Nếu un ≤ ≤ wn , ∀n và lim un = lim wn = a, (a ∈ R) thì lim = a  Định nghĩa 1.1 Cấp số nhân (un ) có công bội q, với |q| < gọi là cấp số nhân lùi vô hạn u1 Khi đó S = u1 + u2 + · · · + un + · · · = lim Sn = =S 1−q B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn Để chứng minh lim un = L ta chứng minh lim (un − L) = Bài Chứng minh 2n2 + n =2 a lim n +4 b lim 6n + =6 n+5 c lim 7n − 2.8n = −2 8n + 3n d lim 2.3n + 5n = 5n + 3n Bài Chứng minh a lim √
4n2 + 4n − 2n = √ n2 + 2n − n b lim =0 n DẠNG Tìm Giới Hạn Của Dãy Số Có Giới Hạn Hữu Hạn Bài Tìm các giới hạn sau:  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 109  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN DÃY SỐ a) lim n+1 ; n2 − b) lim n (n + 1) ; (n + 4)3 c) lim 2n2 − 3n − ; −n2 + d) lim 2n3 ; n4 + 3n2 + e) lim n2 − 4n3 ; 2n3 + 5n − f) lim n+2 ; n2 + n + g) lim 3n2 + n − ; 2n2 + h) lim 6n3 − 2n + ; 5n3 − n (n2 + n − 1) Bài Tìm các giới hạn sau: 7.5n − 2.7n a) lim n ; − 5.7n 3n − 4n + 5n b) lim n ; + 4n − 5n + 3n c) lim ; + 3n d) lim 4.3n + 7n+1 ; 2.5n + 7n e) lim 4n+1 + 6n+2 ; 5n + 8n f) lim 5.2n − 3n ; 2n+1 + 3n+1 g) lim 7.2n + 4n ; 2.3n + 4n h) lim + 2n + 3n+2 ; (−2)n+1 + 5.3n i) lim − 3n + · 5n+2 ; 2n+1 + 3n+2 + 5n+1 4n+2 + 6n+1 ; j) lim n−1 + · 6n+3 (−3)n − · 5n+1 ; k) lim · 4n + · 5n 2n + (−5)n ; l) lim · 3n + · (−5)n (−1)n · 25n+1 m) lim ; 35n+2 2n − 3n + 5n+2 n) lim n+1 ; + 3n+2 + 5n+1 2n − 3n−2 + · 5n+2 o) lim n−1 + 3n+2 + 5n+1 Bài Tính các giới hạn sau: a) L = lim (2n2 − n) · (4n − 1)4 ; 20n6 · (2n2 − n + 1)4 b) L = lim Bài Tìm giới hạn: √
a) lim 4n2 + 5n − 2n √
c) lim n − n2 + 2n − √
e) lim 3n − − 9n2 + √ g) lim(n2 + 2019 − n4 + 3n + 1) √
b) lim 3n − 9n2 + √
d) lim n2 + 2n − − n + √
f) lim n3 − 2n − n √  √
 h) lim n n2 + − n2 + Bài Tính các giới hạn sau: a) lim c) lim √ n2 + − √ √ (2n4 + 1) · (n + 2)9 ; n17 + √ √ 3n2 + − n2 − b) lim n √ √
d) lim n + − n
n2 −
n3 − 2n2 − n Bài Tìm giới hạn: √ 4n2 + 2n − n + a) lim √ ; 9n + n − 2n √ 4n2 − n + − n √ b) lim 9n2 + 3n Bài Tính các giới hạn sau:  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 110 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 110 111  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường a) lim + + + n ; n2 c) lim + + + ··· + n ; 3n2 +  Chương GIỚI HẠN + + + + + · · · + (2n + 1) ; 3n2 + √ n + + + 2n d) lim ; 3n2 + n − b) lim + + + n + + + + · · · + (2n − 1) ; f) lim n + 3n n2 + 3n + Bài 10 Tính giới hạn ï ò 1 1 a) L = lim + + + + ··· + 1·2 2·3 3·4 4·5 n(n + 1) ï ò 1 b) A = lim + + + 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) ï ò 1 √ + √ √ + + √ c) B = lim √ √ (n + 1) n + n n + 1+1 2+2 ( u1 = −1 un Bài 11 Cho dãy số (un ) xác định : Tính lim 5n + 2020 un+1 = un + ∀n ∈ N, n ≥ e) lim DẠNG Dãy số có giới hạn vô hạn Bài 12 Tính các giới hạn sau: a) L = lim n3 − 5n + ; 3n2 + n − b) L = lim 5n4 − n3 + 5n2 + 3n5 − 2n4 + 2n + ; c) L = lim n2 − 3n3 − −6n4 + 2n3 + n2 − Bài 13 Tính các giới hạn sau: √ b) lim (−n2 + n n − 1) a) lim (n3 + n2 + n + 1) n5 + n4 − n − 4n3 + 6n2 + Bài 14 Tìm các giới hạn sau d) lim (−n4 − 50n + 11) c) lim a) lim(2n + 3n ); b) lim [−4n + (−2)n ] c) lim (3.2n − 5n+1 + 10) Å ã 7n + f) lim −2 · 3n − · 6n g) lim 2n+1 − 2.5n + 3.2n + 7.4n 3n − 4n+1 2n+3 + 3n √ i) lim 2n − n + h) lim d) lim(2 · 3n − 4n+1 + 7) e) lim 3n − 11 + 7.2n j) lim (4n + 2.3n − 3.2n − 1) Bài 15 Tính giới hạn các dãy số sau: a) un = √ n2 + 1, n ∈ N∗ ;  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An b) = 111 n2 + 2n + , n ≥ 2n −  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài 16 Tính các giới hạn sau: √ a) lim( 2n2 + 3n + − n); √
c) lim n + n2 − n + ; √ √ e) lim( n2 + 3n − − n + 1); g) lim √ √
n3 + 2n − n2 ; √
d) lim + 2n − n3 − n ;
√ √ f) lim n + − n − n; b) lim √ √ h) lim( 9n2 + 2n − − 4n2 + 1) √ ; n+1− n+3 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Mệnh đề nào sau đây đúng? A Dãy số không đổi (un ) với un = a, có giới hạn là B lim > n C lim un = ⇔ lim |un − a| = a (với a là số) D lim q n = 0(|q| > 1) Câu Mệnh đề nào sau đây sai? A lim un = c (un = c là số ) c = (c là số ) n→+∞ n D lim k = 0, ∀k n B C lim q n = 0, với |q| < n→+∞ Câu Mệnh đề nào sau đây đúng? A Nếu lim un = thì lim |un | = C Nếu lim |un | = +∞ thì lim un = +∞ lim B Nếu lim |un | = +∞ thì lim un = −∞ D Nếu lim un = −a thì lim |un | = a Câu Cho hai dãy số (un ) và (vn ) Mệnh đề nào sau đây đúng? A Nếu |un | ≤ (∀n) và lim = thì có lim un = B Nếu |un | ≥ (∀n) và lim = thì có lim un = C Nếu |un | > (∀n) và lim = thì có lim un = D Nếu |un | < (∀n) và lim = a (a là số) thì có lim un = √ Câu Nếu lim un = L (với un ≥ −9, ∀n ∈ N∗ ) thì lim un + có giá trị là √ √ A L + B L + C L + sin 2021n ? Câu Tính giới hạn lim n A B C 2021 Å ã n cos 2n Câu Tính giới hạn lim − ? n +1 A −∞ B −2 C sin(2020n + 1) √ Câu Cho dãy số (un ) với un = Tính lim un n − 2021 A lim un = B lim un = C lim un = 4040 … 8n + cos(nπ) Câu Tính giới hạn lim ? n A B C  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 112 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” D L + D +∞ D D lim un = +∞ D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 112 113  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Å ã sin2 n Câu 10 Tính giới hạn lim −2 ? n2 + A −2 B −1 sin(n!) ? Câu 11 Tính giới hạn lim n +1 A B sin n + cos n Câu 12 Tính giới hạn lim ? n+1 A B Å ã (−1)n Câu 13 Tính giới hạn lim + ? n+1 A B C D C D +∞ C D C D (−1)n Câu 14 Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un = và = Khi đó lim(un + ) có giá trị n +1 n +2 A B C D n (−1) sin n + cos n Câu 15 Cho dãy số (un ) xác định un = Giới hạn dãy số đã cho n2 + n A −1 B C D +∞ Câu 16 lim 2n + 1 A B C +∞ D 7n − 2n + Câu 17 Tìm I = lim 3n + 2n2 + A B − C D 3 2n2 − Câu 18 lim bằng: n + 5n5 −3 A B C D −3 2018 Câu 19 lim n A −∞ B C D +∞ 2n + Câu 20 Tính giới hạn L = lim ? + n − n2 A L = −∞ B L = −2 C L = D L = Câu 21 Dãy số nào sau đây có giới hạn 0? n2 − n2 − 2n A un = B u = n 5n + 3n2 5n + 3n2 2n − Câu 22 Tính I = lim 2n + 3n + A I = −∞ B I = 2−n Câu 23 Giá trị lim n+1 A B n−2 bằng: Câu 24 Kết lim 3n + 1 A B − 3  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An C un = 113 − 2n 5n + 3n2 D un = − 2n2 5n + 3n2 C I = +∞ D I = C −1 D C −2 D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN DÃY SỐ 3n − Câu 25 Tìm giới hạn I = lim n+3 A I = − B I = − 2n Câu 26 Giới hạn lim bằng? 3n + A B 3 2n + 2017 Câu 27 Tính giới hạn I = lim 3n + 2018 A I = B I = + 19n Câu 28 lim 18n + 19 19 A B 18 18 Câu 29 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 1 A B √ n n Câu 30 lim D k ∈ Z C D − 2017 2018 C I = C +∞ B 3n3 − 2n + có kết nào sau đây? 4n4 + 2n + A +∞ B D 19 n+1 n sin n D √ n C D − C D 2018 C D D C +∞ D C 2n4 − 2n + Câu 34 lim 4n + 2n + A B 11 2 n +n Câu 35 Giá trị A = lim 12n2 + 1 A B 12 −3 có kết nào sau đây? Câu 36 lim 4n − 2n + A −∞ B −1 D I = C − n2 2n2 + 1 4n + 2018 Câu 31 Tính giới hạn lim 2n + 1 A B 8n5 − 2n3 + Câu 32 Tìm lim 4n + 2n2 + A B 2n + kết là Câu 33 Tính lim 1+n A B A C I = C D C − 24 D Câu 37 lim  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường C 114 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 114 115  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN √ n n+1 Câu 38 lim có kết nào sau đây? n +2 A B √ n+1−4 Câu 39 lim √ có kết nào sau đây? n+1+n A −1 B … C D C D 2n + có kết nào sau đây? + n2 − A −∞ B +∞ C D an + Câu 41 Cho dãy số (un ) với un = đó a là tham số thực Để dãy số (un ) có giới hạn 5n + Mệnh đề nào sau đây đúng? A a = 10 B a = C a = D a = 2n + b Câu 42 Cho dãy số (un ) với un = đó b là tham số thực Để dãy số (un ) có giới hạn hữu 5n + hạn Mệnh đề nào sau đây đúng? A b là số thực tùy ý B b = C Không tồn b thỏa bài toán D b = Å ã 3n + 2 Câu 43 Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn lim + a − 4a = Tổng các phần n+2 tử S A B C D 4n2 + n + Để dãy số đã cho có giới hạn Mệnh đề nào sau Câu 44 Cho dãy số (un ) với un = an2 + đây đúng? A a = −4 B a = C a = D a = 3 n − 3n có kết nào sau đây? Câu 45 lim 2n + 5n − 1 A − B C D √ √ (2n n + 1) ( n + 3) Câu 46 lim có kết nào sau đây? (n + 1)(n + 2) A B C D +∞ (2n − n )(3n + 1) Câu 47 lim có kết nào sau đây? (2n − 1)(n4 − 7) A − B C D +∞ (n2 + 2n)(2n3 + 1)(4n + 5) Câu 48 lim có kết nào sau đây? (n4 − 3n − 1)(3n2 − 7) A B C D +∞ √ √ 9n2 − n − n + Câu 49 lim có kết nào sau đây? 3n − A B C D +∞ −n + 2n + Câu 50 lim √ có kết nào sau đây? 3n + √ 1 A − B − C − D 3 2 Câu 40 lim(n + 1) n4  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 115  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN DÃY SỐ å 3n + (−1)n cos 3n √ Câu 51 lim có kết nào sau đây? n−1 √ √ A −1 B C D n3 − 2n Câu 52 lim có kết nào sau đây? − 3n2 A −∞ B +∞ C − D an2 + 3n = Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 53 Cho các tham số a, b thỏa lim bn + A b < B < b < C < b < D Ç√ Câu 54 Giới hạn nào sau đây 0? + 2n3 2n2 − A lim B lim 2n − −2n3 − C lim Câu 55 Dãy số nào sau đây có giới hạn − ? n2 − 2n A un = 3n2 + n2 − 3n3 C un = 9n + n2 − B un = Câu 56 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞? + n2 n2 − A un = B un = 5n + 5n + 5n3 Câu 57 Dãy số nào sau đây có giới hạn là −∞? + 2n n3 + 2n − A B u = n 5n + 5n2 −n + 2n3 2n − 3n3 −2n2 − √ b > D lim 2n2 − 3n4 −2n4 + n2 −n4 + 2n3 − 3n3 + 2n2 − −n2 + 2n − D un = 3n3 + 4n − n2 − 2n C un = 5n + 5n2 C un = Câu 58 lim(3n4 + 4n2 − n + 1) có kết nào sau đây? A −∞ B +∞ C   nπ − 2n3 có kết nào sau đây? Câu 59 lim n2 sin A −∞ B +∞ C −2 2n2 − 3n4 n2 + 2n3 D + 2n 5n + 5n2 D un = n2 − 2n 5n + D D Câu 60 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng (−10; 10) để lim [−3(a2 − 2)n3 + 5n] = −∞? A B 10 C 16 D 19 √ √
Câu 61 lim n2 − − 3n2 + có kết nào sau đây? A −∞ B +∞ C −2 D √ √
Câu 62 lim n2 + 2n − − 2n2 + n có kết nào sau đây? √ A −∞ B +∞ C −1 D − √ √
Câu 63 lim 2n2021 + n3 + − 3n2021 + n19 + có kết nào sau đây? A −∞ B +∞ C D √ √
Câu 64 lim n2 + 2n − n2 − 2n có kết nào sau đây? A B C D +∞ √ √
Câu 65 lim 2n2 − n + − 2n2 − 3n + có kết nào sau đây? √ A −∞ B +∞ C D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 116 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 116 117  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN h» i √ √ Câu 66 Biết lim (n − 1)2 + n − n = a + b với a ∈ Z và b ∈ (0; 1) Tính a2 + b2 13 17 21 41 A a2 + b2 = B a2 + b2 = C a2 + b2 = D a2 + b2 = 4 16 16 √ √
Câu 67 Tìm tham số thực a thỏa mãn lim n2 + an + − n2 + = −1 A a = −2 B a = C a = D a tùy ý √
Câu 68 Có bao nhiêu giá trị nguyên a thỏa lim n2 − 8n − n + a2 = 0? A B C D Vô số √ √
 √ Câu 69 lim n n + − n − có kết nào sau đây? A −1 B C D +∞ √ √ √
 Câu 70 lim n n + − n có kết nào sau đây? 1 A B C D √
có kết nào sau đây? Câu 71 lim √ n n + − n2 + A B C D +∞ √ √
Câu 72 lim n3 + − n3 + có kết nào sau đây? A B C D √ √
Câu 73 lim 2n − 9n2 + n + n2 + 2n có kết nào sau đây? A B C D 6 √ √
Câu 74 lim 4n2 + 3n + − 8n3 + 5n2 + có kết nào sau đây? A −∞ B +∞ C D √ √ √
Câu 75 lim n2 − 2n + n2 − 8n3 + n2 + n có kết nào sau đây? A − B C D 12 Câu 76 DãyÅ sốã(un ) có số hạng tổng Å quát nào ã sau đây có giới hạn Å ã 0? Å ãn n n n A un = B un = − C un = − D un = 3 3 cos(nπ) có kết nào sau đây? 4n B +∞ C Ç√ å n2 − n 2n cos n Câu 78 lim + có kết nào sau đây? 2n − 3n 1 A − B C 2 3n − · 5n+1 Câu 79 lim n+1 có kết nào sau đây? + 5n A −15 B −10 C 10 n n 1−2·3 +6 có kết nào sau đây? Câu 80 lim n n+1 (3 − 5) 1 A − B C n n n+3 +3 −4 Câu 81 lim 2n có kết nào sau đây? − 3n+1 + 4n−1 Câu 77 lim A −∞  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 117 D D D 15 D +∞  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN DÃY SỐ A − 256 B −1 C −64 D −256 π n+1 + 3n + 2n có kết nào sau đây? Câu 82 lim · π n − · 3n + 2n+2 1 π A − B C D 5 " √
n # √ − 2n+1 + 2n2 + a Câu 83 Biết lim + = + c với a, b, c ∈ Z Tính giá trị √
n+1 n −1 b · 2n + −3 biểu thức S = a2 + b2 + c2 A S = 21 B S = 26 C S = 30 D S = 31 √ n n √ 2·4 +1−2 Câu 84 Biết lim √ với a, b ∈ Z Giá trị a3 + b3 = a + b · 4n + + 2n A B 17 C 19 D 35 Câu 85 lim 3+ n2 − 1 có kết nào sau đây? − n2 + 2n B C Câu 86 lim(34 · 2n+1 − · 3n ) có kết nào sau đây? A D B +∞ C −1 D √ √
n+1 n n+1 n Câu 87 lim 16 + − 16 + có kết nào sau đây? 1 A B C D 16 √ 92n + 2n − 9n có kết nào sau đây? Câu 88 lim 5−n 10 A B C D +∞ 2n+1 + 3n + 10 Câu 89 lim có kết nào sau đây? 3n2 − n + 2 A −∞ B +∞ C D n n+1 −4·2 −3 Câu 90 lim có kết nào sau đây? · 2n + 4n A −∞ B +∞ C D 1 n +1+ +···+ 2 có kết nào sau đây? Câu 91 lim n2 + 1 1 A B C D Å ã n−1 Câu 92 lim + + + có kết nào sau đây? n n n2 1 A B C D ã Å (−1)n+1 1 1 Câu 93 Cho dãy số (un ) với un = − + + · · · + Khi đó lim un − 2n A B C D 3 + + 2 + · · · + 2n Câu 94 lim có kết nào sau đây? + + 3 + · · · + 3n A −∞  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 118 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 118 119  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường A  Chương GIỚI HẠN B ï C D ò 1 Câu 95 lim + + + có kết nào sau đây? 1.2 2.3 n (n + 1) A −∞ B C D Å ã 1 Câu 96 lim + + + có kết nào sau đây? 1.3 3.5 (2n − 1) (2n + 1) 1 A B C D ãÅ ã Å ã Å 1 1 − · · · · · − có kết nào sau đây? Câu 97 lim − 2 n A −1 B C D 12 + 22 + · · · · · + n2 Câu 98 lim có kết nào sau đây? n(n2 + 1) 1 A B C D Å ã 1 Câu 99 lim + + + có kết nào sau đây? 1+2 + + + n A B C D +∞ 2 Å ã 1 Câu 100 lim √ +√ + + √ có kết nào sau đây? 4n + 4n + 4n + n 1 A B C D 4 BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 51 61 71 81 91 C A C C A C A C A C 12 22 32 42 52 62 72 82 92 D A B A A A A C C C 13 23 33 43 53 63 73 83 93 A D C A C D A B C A 14 24 34 44 54 64 74 84 94 A D A B C B B C C A 15 25 35 45 55 65 75 85 95  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An B B C A A A D C B D 16 26 36 46 56 66 76 86 96 119 A B D D B A D D A B 17 27 37 47 57 67 77 87 97 C B A B A C A C C C 18 28 38 48 58 68 78 88 98 A B A A C B C B D A 19 29 39 49 59 69 79 89 99 D B C B B B C B B C 10 A 20 D 30 D 40 C 50 B 60 C 70 B 80 C 90 C 100 C  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN HÀM SỐ BÀI GIỚI HẠN HÀM GIỚISỐ HẠN HÀM SỐ A KIẾN THỨC CẦN NẮM Giới Giới hạn hạn của hàmhàm số số điểm điểm a) Giới hạn hữu hạn Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói hàm số f (x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn là L x dần tới x0 với dãy số (xn ) bất kì, xn ∈ K\{x0 } và xn → x0 , ta có f (xn ) → L Ta kí hiệu: lim f (x) = L hay f (x) → L khix → x0 x→x0 Các giới hạn đặc biệt: x→x lim x = x0 ; x→x lim c = c 0 Định lý 2.1 1) Nếu lim f (x) = L và lim g(x) = M thì x→x0 x→x0 ✓ x→x lim [f (x) ± g(x)] = L + M ✓ x→x lim [f (x) · g(x)] = L · M ò ï L f (x) = ✓ lim x→x0 g(x) M 2) Nếu f (x) ≥ và x→x lim f (x) = L thì x→x lim |f (x)| = |L| và x→x lim 0 √ p f (x) = L b) Giới hạn vô cực Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn dần tới dương vô cực x dần tới x0 với dãy số (xn ) thỏa xn → x0 thìf (xn ) → +∞ Kí hiệu lim f (x) = +∞ x→x0 + Tương tự ta có định nghĩa giới hạn dần âm vô cực + Ta có định nghĩa trên ta thay x0 −∞ hoặc+∞ Định lý 2.2 1) Nếu   lim f (x) = L 6= x→x  lim g(x) = ±∞ x→x thì x→x lim f (x) · g(x) = 0 2) Nếu lim g(x) = thì lim x→x0 x→x0 f (x) = g(x)  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường (   + ∞ L · lim g(x) > x→x −∞ L · x→x lim g(x) < +∞ L · g(x) > −∞ L · g(x) < 120 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 120 121  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Giới Giới hạn hạn của hàmhàm số số vô vô cựccực ✓ Ta nói hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞) có giới hạn là L x → + ∈ f ty với dãy số (xn ) thỏa xn > a và xn → +∞ thì f (xn ) → L Kí hiệu: lim f (x) = L x→+∞ ✓ Ta nói hàm số y = f (x) xác định trên (−∞; b) có giới hạn là L x → −∞ với dãy số (xn ) thỏa xn < b và xn → − ∈ f ty thìf (xn ) → L Kí hiệu: lim f (x) = L x→−∞ Các giới hạn đặc biệt: ✓ ✓ c = với c là số x→±∞ x lim c = c; lim x→±∞ lim xk = +∞ với k nguyên dương; lim xk = − ∈ f tyvới k lẻ, lim xk = +∞với kchẵn x→−∞ x→+∞ B x→−∞ BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Giới Hạn Của Hàm Số Tại Điểm Bài Tính các giới hạn sau: (3x + 1) (2 − 3x) x→−2 x+1 √ 3x2 + − x c) lim x→−1 x−1 √ x2 − x + e) lim x→2 x−1 + x + x2 + x3 x→0 1+x … 5x − d) lim x→1 2x + √ x+8−3 f) lim x→1 x−2 √ 2x2 + x − h) lim x→1 |x + 1| a) lim g) lim x→−3 b) lim (x + 1) (2 − x) x−1 Bài Tính các giới hạn sau: a) lim1 x→ 2x2 − 5x + − 2x 2x2 − 5x + x→2 x2 + x − x2 + 3x − x→−4 x2 + 4x e) lim b) lim + x3 x→−1 − x2 x3 − x→1 x (x + 5) − f) lim c) lim x4 − 16 x→−2 x3 + 2x2 d) lim x2 + 2x − 15 x→−5 x+5 g) lim Bài Tính các giới hạn sau: x3 − x2 − x + x→1 x2 − 3x + a) lim  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An x4 − x→1 x3 − 2x2 + b) lim 121  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN HÀM SỐ x3 − 5x2 + 3x + x→3 x4 − 8x2 − x5 + x→−1 x3 + c) lim d) lim Bài Tính các giới hạn sau: √ + 2x − a) lim x→0 2x √ + x2 − c) lim x→0 2x3 − 3x2 √ √ 2x − − x √ Bài Tính giới hạn lim x→1 x−1 Bài Tính các giới hạn sau: √ 1− 3x+1 a) lim ; x→0 3x √ x+1 c) lim √ ; x→−1 x +3−2 √ x − 3x − b) lim x→2 x2 − √ 2x − 3x + d) lim x→1 x2 − b) lim 1− x→0 √ 1−x ; 3x √ √ x2 − 2x − − x d) lim x→−2 x2 + 5x + DẠNG Giới hạn hàm số vô cực Bài Tính giới hạn a) 3x2 − x + ; x→+∞ 2x3 − √ x2 − x + d) lim ; x→+∞ 5x2 − 2x4 + 7x3 − 15 ; x→−∞ x4 + lim b) x2 + x + ; x→−∞ 2x3 + 2x + √ √ x x + x2 + √ e) lim x→+∞ x x3 + Bài Tính giới hạn ä Ä√ a) lim x2 − 4x − x + 2021 ; x→+∞ √ |x| − x2 + x c) lim ; x→−∞ x + 10 ä Ä√ e) lim x2 − 3x + − x + 10 ; x→+∞ ä Ä√ g) lim x2 + x + x + ; c) lim f) b) d) lim √ x→−∞ 2x2 + x→+∞ x3 − 3x2 + lim √ lim ( x2 + x + + 2x); x→−∞ lim x→−∞ √ √
x + x − x2 + ; √ 2x4 + x2 − f) lim ; x→+∞ − 2x ä Ä√ h) lim 2x2 + + x ; x→−∞ √ x2 + x + 2x j) lim x→−∞ 2x + x→−∞ i) lim 2|x| + x2 + x + Bài Tính các giới hạn sau: a) c) e) lim (−x3 − 6x2 + 9x + 1); b)
x4 − 2x2 + ; d) x→+∞ lim x→+∞ √ lim (−2x3 + 2x x − x + 1) ; f) x→−∞  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 122 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” lim
x3 − 3x2 + ; lim
−x4 + 2x2 + x→−∞ x→−∞ √ √ lim (x4 x + 2x x − 2) x→+∞  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 122 123  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Bài 10 Tính các giới hạn sau: … ï ò 3−x a) lim (x − 1) ; x→−∞ − 3x − x3 b) lim x→−∞ x· ! 2x3 + x ; x5 − x2 + Bài 11 Tính giới hạn √ x2 − x + b) lim ; x→−∞ 2x + √ x6 + x4 + x2 + √ d) lim x→−∞ 2x2 + x3 + a) lim ; x→+∞ 2x3 + √ x3 − c) lim √ ; x→−∞ 2x + Bài 12 Tính các giới hạn sau: √ √
a) lim 4x2 − 9x − 21 − 4x2 − 7x + 13 ; x→−∞ √ x6 + 2x − + x − c) lim √ ; x→−∞ 2x − 3x + − 4x C b) d) lim x→+∞ √
27x3 − x2 − 3x ; 4x2 |x| − 3x2 + 7x − √ ; x→−∞ (2x + 1)2 · x2 + 3x lim BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho lim f (x) = và lim g(x) = Hỏi lim [4f (x) − 2g(x)] bao nhiêu? x→x0 x→x0 x→x0 A B C 14 D 16 Câu lim (3x2 + 7x + 11) có kết nào sau đây? x→2 A 37 B 38 C 39 D 40 Câu lim √ |x − 4| có kết nào sau đây? x→ A −1 B Å ã Câu lim x2 sin có kết nào sau đây? x→0 A −∞ B +∞ C D C D sin 2 tan x + có kết nào sau đây? Câu lim π sin x + x→ A −∞ B +∞ C √ 3+6 D x2 − có kết nào sau đây? x→−1 x3 + A −2 B − C D 3x + m Câu Biết lim = với m là tham số thực Mệnh đề nào sau đây đúng? x→2 x + 10 15 A m = B m = C m = D √ 3x2 + − x Câu lim có kết nào sau đây? x→−1 x−1 1 A − B − C D 2 Câu lim  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 123 m = 14  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN HÀM SỐ √ 3x + − có kết nào sau đây? Câu lim √ x→1 3x + − A −∞ B +∞ C √ √ 3x2 − − 3x − có kết nào sau đây? Câu 10 lim x→2 x+1 A +∞ B − C − x −1 Câu 11 lim có kết nào sau đây? x→−1 x + A +∞ B −2 C x − 3x − Câu 12 lim có kết nào sau đây? x→4 x−4 A +∞ B C 2022 x −4 Câu 13 lim có kết nào sau đây? x→22022 x − 22022 A +∞ B 22022 C + 22022 ï Å ãò 1 Câu 14 lim − có kết nào sau đây? x→0 x x+1 A +∞ B −1 C x + 3x − 10 có kết nào sau đây? Câu 15 lim x→2 3x − 5x − A +∞ B C 2x − 5x + Câu 16 lim có kết nào sau đây? x→2 x − 3x − A +∞ B C x − (a + 2)x + a + có kết nào sau đây? Câu 17 lim x→1 x3 − a a a+2 A − B C − 3 x4 − 5x2 + Câu 18 lim có kết nào sau đây? x→2 x3 − A +∞ B − C x4 − 3x + có kết nào sau đây? Câu 19 lim x→1 x + 2x − A +∞ B C 4 t −a Câu 20 lim có kết nào sau đây? t→a 3(t − a) 2a2 A 3a3 B 4a2 C −x2 − x + có kết nào sau đây? Câu 21 lim x→−3 x2 + 3x A B C 3 √ π (x − πx) Câu 22 lim có kết nào sau đây? x→π x2 − πx π π A B C  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 124 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” D D D D D 22023 D D D D a+2 D D D a D D π  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 124 125  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN √ x+3−2 có kết nào sau đây? x→1 x−1 1 A +∞ B C D x2 − 2x − Câu 24 lim √ có kết nào sau đây? x→−2 2x + − A +∞ B −6 C D 12 √ √ √ 5x + 2x + − 5x + a b a Câu 25 Biết lim = với a, b là các số nguyên tố và là phân số tối x→1 x2 + 3x − c c giản Giá trị biểu thức P = a2 + b2 + c A 43 B 91 C 93 D 151 √ x + 2x + Câu 26 lim có kết nào sau đây? x→−2 x+2 A +∞ B C D √ − 2x + x − (1 + x) Câu 27 lim có kết nào sau đây? x→0 x A +∞ B −2 C D √ 2021 2021 (x + π ) − 2x − π Câu 28 lim có kết nào sau đây? x→0 x A −2π 2021 B −π 2021 C π 2021 D 2π 2021 √ x−1 có kết nào sau đây? Câu 29 lim x→1 x − 1 1 A − B C D − 2 3 √ 1+ 1+x Câu 30 lim có kết nào sau đây? x→−2 x+2 1 A B C D 3 √ √ − − x2 có kết nào sau đây? Câu 31 lim √ x→0 x + 16 − √ √ √ √ 5 A B C D 5 √ a a x + − 5x + √ Câu 32 Biết lim = với là phân số tối giản Giá trị 2a − b x→3 b b x − 4x − A −1 B C D 10 √ x +x+2−x √ Câu 33 lim có kết nào sau đây? x→2 2x − A B C − D − x + ax + b Câu 34 Cho a, b là các số thực thỏa mãn lim = Giá trị a + 2b x→3 x−3 A −6 B −3 C D x + ax + b Câu 35 Cho a, b là các số thực thỏa mãn lim = Giá trị 2a + b x→2 2x − x − A −4 B −3 C D ax + bx + Câu 36 Cho a, b là các số thực thỏa mãn lim √ = Mệnh đề nào sau đây đúng? x→1 x+3−2 A b ≤ −1 B −1 < b ≤ C < b ≤ D b > Câu 23 lim  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 125  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN HÀM SỐ 126 ax2 + bx + c Câu 37 Cho a, b, c là các số thực thỏa lim = Tổng a + 2b + 3c x→1 x − 3x + A B C D p √ x2 + 2ax + − (a − 8)x + Câu 38 Cho a là số thực dương thỏa mãn lim = Mệnh đề nào sau x→0 x đây đúng? A a ∈ (−6; 1) B a ∈ (1; 2) C a ∈ (1; 3) D a ∈ (4; 9) √ x+2−1 Câu 39 lim √ có kết nào sau đây? x→−1 x+2−1 A −1 B C D p 51 (x + 1) − Câu 40 Kết giới hạn lim x→0 x 51 A 51 B C D 51 51 f (x) Câu 41 Nếu x→x lim f (x) = 9, x→x lim g(x) = và g(x) < với x 6= x0 thì x→x lim có kết nào sau 0 g(x) đây? A −∞ B +∞ C D Câu 42 Cho hàm số f (x) = u(x) · v(x) đó lim u(x) = và lim v(x) = −∞ Mệnh đề x→−∞ x→−∞ 2021 nào sau đây đúng? A lim f (x) = B lim f (x) = 2021 x→−∞ x→−∞ C lim f (x) = −∞ D lim f (x) = +∞ x→−∞ x→−∞ Câu 43 lim (2x − x ) có kết nào sau đây? x→−∞ A −∞ B +∞ C −1 D Câu 44 lim (x − x3 + 1) có kết nào sau đây? x→−∞ A −∞ B +∞ C −1 D Câu 45 Tính giới hạn lim (|x|3 + 2x2 + 3|x|) x→−∞ A −∞ B +∞ √
Câu 46 Tính giới hạn lim + 2x2 − x C −1 D x→+∞ A −∞ B +∞ C √ √
Câu 47 lim 3x3 − + x2 + có kết nào sau đây? x→−∞ √ A −∞ B +∞ C 3 − √
Câu 48 lim x 4x2 + 7x + 2x có kết nào sau đây? x→+∞ A −∞ B +∞ C D D √ − √ 3 + D Câu 49 Với số a > 0, lim (5x − ax3 ) có kết nào sau đây? x→+∞ A −∞ B +∞ C D √
Câu 50 (VD) Tìm tất các giá trị thực tham số a để lim 2x2 + + ax = +∞ x→−∞ √ √ A a < B a > C a < D a > √
Câu 51 (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−7; 7] để lim 38x2 + 17x − − mx x→−∞ +∞? A 12 B 13 C 14 D 15  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 126 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 127  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN 2x − có kết nào sau đây? x→1 (x − 1)2 A −∞ B +∞ C −1 D 2x2 + 5x − có kết nào sau đây? Câu 53 lim x→−3 (x + 3)3 A −∞ B +∞ C D f (x) Câu 54 Biết lim f (x) = Khi đó lim có kết nào sau đây? x→−1 x→−1 (x + 1)4 A −∞ B +∞ C D
√ √ Câu 55 lim x + − x − có kết nào sau đây? x→+∞ A −∞ B +∞ C D √
Câu 56 lim x2 + − x có kết nào sau đây? x→+∞ A +∞ B C D 2 √
Câu 57 lim x2 + 4x + + x có kết nào sau đây? x→−∞ A −4 B −2 C D √ √
√ Câu 58 Biết lim 5x2 + 2x + x = a + b với a, b ∈ Q Giá trị 5a + b x→−∞ A −5 B −1 C D √
m m Câu 59 Biết lim 9x2 + 7x + − 3x = với m, n ∈ Z và tối giản Tính m − n x→+∞ n n A m − n = −2 B m − n = −1 C m − n = D m − n = 13 √
Câu 60 lim x + − x2 − x + có kết nào sau đây? x→+∞ 17 46 A B C D 2 11 11 √
Câu 61 lim 8x3 + 2x − 2x có kết nào sau đây? x→+∞ A −∞ B +∞ C D √ √
Câu 62 lim x2 + 3x − x2 + 4x có kết nào sau đây? x→+∞ A −∞ B +∞ C − D 2 √
10 Câu 63 lim x − x + − x có kết nào sau đây? x→+∞ 1 A +∞ B − C D 2 Câu 64 Giới hạn nào đây có kết là ? √

x √ A lim x +1−x B lim x x2 + + x x→−∞ x→+∞ √

x √ C lim x +1+x D lim x x2 + − x x→−∞ x→+∞
  √ Câu 65 Tính giới hạn lim x x2 + − x x→+∞ 5 A +∞ B − C D 2 √
  √ 2 Câu 66 Tính giới hạn lim x x + − x − x→+∞ 3 A +∞ B − C D 2 Câu 52 lim  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 127  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN HÀM SỐ Câu 67 Tính giới hạn lim √ x→+∞ x2 + x − √
x − x2 5 B +∞ C − D 6 √ √
3 Câu 68 Tính giới hạn lim x +x+ x −x x→−∞ 5 A −∞ B +∞ C − D 6 √ √ √
Câu 69 Tính giới hạn lim x+2−2 x−1+ x x→+∞ A −∞ B +∞ C D √
Câu 70 Cho lim x2 + ax + + x = Khi đó giá trị a là x→−∞ A −10 B −6 C 10 D √
Câu 71 Cho lim x2 + ax + 2021 + x = Khi đó giá trị a là x→−∞ A −12 B −6 C 12 D √ √
a x + + 2017 Câu 72 (VDC) Cho lim = và lim x2 + bx + − x = Tính P = 4a + x→−∞ x→+∞ x + 2018 b A P = −1 B P = C P = D P = √
Câu 73 Với số a > 0, tính giới hạn lim ax − a2 x2 − 2x x→+∞ 2 A − B − C D a a a a √
2 Câu 74 Với số a < 0, tính giới hạn lim ax − a x − 2x x→−∞ 1 A − B − C D a a a a √
Câu 75 Cho số thực a thỏa mãn lim x + − ax2 + x + = Mệnh đề nào sau đây đúng? x→+∞ A a > B a = C a = D a > 12 √
Câu 76 Cho hai số thực a, b thỏa lim 4x2 + ax + + bx = −1 Giá trị biểu thức P = a2 −2b3 A −∞ x→−∞ A B C 16 Câu 77 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn c2 + a = 18 và lim √ x→+∞ thức P = a + b + 5c A B √ C 12 D 32
ax2 + bx − cx = −2 Giá trị biểu
D 18 Câu 78 Cho hai số thực a,b thỏa lim ax + b − x2 − 6x + = 3, Giá trị a + 2b x→+∞ A −1 B C D ñ ô 2x + · Câu 79 lim có kết nào sau đây? x→1 (x − 1) 2x − A −∞ B +∞ C D √
Câu 80 (Vận dụng cao) Cho hai số thực a, b thỏa mãn lim x2 + 6x + + ax + b + 2020 = 2021 x→+∞ Giá trị a − b A −3 B −1 √ x x+1 Câu 81 lim có kết nào sau đây? x→+∞ x + x + A +∞ B −1  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường C D C D 128 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 128 129  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Câu 82 lim x→+∞  Chương GIỚI HẠN x2 + có kết nào sau đây? 2x4 + x2 − A +∞ B C cos 5x có kết nào sau đây? x→−∞ 2x A −∞ B +∞ Câu 83 √ √ D lim C D x4 + Câu 84 lim có kết nào sau đây? x→+∞ x + A −1 B C D (2x + 1) (x + 2) Câu 85 lim có kết nào sau đây? x→+∞ (3 − 2x)7 1 A +∞ B − C D 16 16 (2x2 − 1)(mx + 3) Câu 86 Tìm giá trị thực tham số m thỏa mãn lim =6 x→−∞ x3 + 4x + A m = −3 B m = −2 C m = D m = 3 x − 3x + Câu 87 lim có kết nào sau đây? x→−∞ 2x2 − x3 A +∞ B C D 2 √ 2x − 3x + √ có kết nào sau đây? Câu 88 lim x→+∞ 5x + x2 + √ √ 2− A B C D √ x2 + 2x + 3x Câu 89 lim √ có kết nào sau đây? x→+∞ 4x + − x + A −3 B C D √ √ 4x2 + x + 8x3 + x − √ Câu 90 lim có kết nào sau đây? x→+∞ x4 + A +∞ B C D √ 4x − x + Câu 91 lim có kết nào sau đây? x→−∞ x+1 A −∞ B +∞ C −2 D + 3x có kết nào sau đây? Câu 92 lim √ x→−∞ 2x + √ √ √ √ 2 3 A − B − C D 2 2 √ (2x − 1) x2 − Câu 93 lim có kết nào sau đây? x→−∞ x − 5x2 2 A − B − C D 5 2|x| + Câu 94 lim √ có kết nào sau đây? x→−∞ x +x+5 √ A +∞ B C D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 129  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN HÀM SỐ √ 4x2 − 7x + 12 = Mệnh đề nào sau đây đúng? x→−∞ a|x| − 17 A a = −6 B a = −3 C a = D a = √ 4x2 + x + + Câu 96 Cho số thực a thỏa lim = Mệnh đề nào sau đây đúng? x→−∞ ax − 2 A a = −4 B a = −1 C a = D a = √ 1+x +x Câu 97 lim √ có kết nào sau đây? x→−∞ + x3 + x 4 A −∞ B +∞ C D √ x − x2 + x Câu 98 lim có kết nào sau đây? x→−∞ x+1 A +∞ B −2 C D 2x − Câu 99 lim √ có kết nào sau đây? x→−∞ x +1−x A −2 B −1 C D √ √ 4x2 + x + − x2 − x + Câu 100 lim có kết nào sau đây? x→−∞ 3x + 2 1 A − B − C D 3 3 √ x + 2x + + 4x + √ có kết nào sau đây? Câu 101 lim x→−∞ 4x2 + + − x A −1 B C D √ √ 3x3 + − 2x2 + x + √ Câu 102 lim có kết nào sau đây? x→−∞ 4x4 + √ √ √ √ 3 3+ 3− 1 √ A − √ B C D 2 √ 4x2 − 2x + + − x √ Câu 103 Cho hàm số f (x) = Gọi a = lim f (x) và b = lim f (x) Mệnh đề x→−∞ x→+∞ 9x2 − 3x + 2x nào sau đây đúng? A a = −b B a = b C b = 15a D b = −15a 3x − x Câu 104 lim có kết nào sau đây? x→+∞ x + 6x + A −∞ B +∞ C −1 D 3 2x + 5x − Câu 105 lim có kết nào sau đây? x→−∞ x2 + 6x + A −∞ B +∞ C −2 D 2 x − 5x + có kết nào sau đây? Câu 106 lim x→−∞ 2|x| + A −∞ B +∞ C − D 2 √ x x + − 2x + √ Câu 107 lim có kết nào sau đây? x→−∞ 2x3 − + 1 A −∞ B +∞ C − √ D √ 3 2 √ √ √
+ 2x − x2 − x ; A = lim ; N = lim Câu 108 Cho các giới hạn C = lim √ x2 + 4x − x ; x→+∞ x→0 x→1 x−1 x O = lim Tìm từ mã hóa chuỗi số 30213? x→−∞ x Câu 95 Cho số thực a thỏa lim  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 130 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 130 131  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN A CON AC B CAN OC C CAN ON D CON AN Å ã 4x − 3x + Câu 109 Cho hai số thực a, b thỏa lim − ax − b = Giá trị a + b x→+∞ x+2 A −7 B −4 C D (2 − a)x − Câu 110 (Vận Dụng Cao) Tìm tất các giá trị tham số a thỏa mãn lim √ = +∞ x→+∞ x +1−x √ √ A a < B ≤ a < C 2 ≤ a < D a ≥ Å … ã 2x + Câu 111 Tính giới hạn lim x x→+∞ 3x + x2 + √ A −∞ B +∞ C D 3 … ï ò x−1 Câu 112 lim (2 + x) có kết nào sau đây? x→+∞ x4 + x2 + 1 A +∞ B C D 2 ! 8x2 + x − Câu 113 Tính giới hạn lim x→+∞ 4x − x+4 A +∞ B C √ D 2 … ò ï 16x + có kết nào sau đây? Câu 114 lim (1 − 5x) x→−∞ x3 − x + A −∞ B +∞ C −20 D 20 … ò ï 4x − Câu 115 Tính giới hạn lim (1 + x) x→−∞ x + 5x − A −∞ B +∞ C −2 D √ x − 3x − Câu 116 lim có kết nào sau đây? x→1 x−1 √ A +∞ B − C D √ √ a a x + + x + 16 − Câu 117 Biết lim = với là phân số tối giản Tính b − 3a x→0 x b b A −3 B C D √ √ √ x2 + + 2x2 + 4x + 19 − 3x2 + 46 a a = với là phân số tối giản Giá trị Câu 118 Biết lim x→1 x −1 b b 2a − b A −79 B −18 C D 18  Å ã x 6= −1 2x 3x − Câu 119 Cho hàm số f (x) thỏa f Khi đó lim f (x) có kết nào = với x→+∞ x 6= − x+1 5x + sau đây? A −4 B −2 C D Å ã √ Câu 120 Cho hàm số f = x + + x2 với x > Đặt M = lim f (x), tính P = 2M x→−∞ x 1 A P = −2 B P = C P = D P = √ √
Câu 121 Biết L = lim x ax + x2 + 2x − x2 + x có giá trị hữu hạn Mệnh đề nào sau đây x→+∞ đúng?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 131  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN HÀM SỐ A L = − 1 C L = D L = √
√ Câu 122 Biết L = lim αx2 + 4x + − βx2 + 3x + = Giá trị α + 2β x→+∞ A B C D 12 √
Câu 123 Cho hai số thực a và b thỏa lim − x3 − ax − b = Giá trị a + b x→+∞ A −1 B C D √ √ x+1− x+5 Câu 124 lim có kết nào sau đây? x→3 x−3 1 A B C D √ √ 8x + 11 − x + Câu 125 lim có kết nào sau đây? x→2 2x2 − 5x + 7 A B C D 162 162 √ √ ax + − − bx Câu 126 Cho a, b là các số thực thỏa mãn a + b = 5, b > và lim = Mệnh đề x→0 x nào sau đây đúng? A a + 2b = B a + 2b = C a + 2b = D a + 2b = √ √ + 4x · + 6x − có kết nào sau đây? Câu 127 lim x→0 x A B C 23 D 24 √ √ + x · + 2x − a a Câu 128 Biết lim = với là phân số tối giản Giá trị a + b x→0 x b b A B C 30 D 31 √ √ 6x − − 20x − 15 + x m m Câu 129 Biết lim = với là phân số tối giản Giá trị biểu thức x→2 x − 4x + n n m + n A 23 B 27 C 33 D 37 √ √ + 4x − + 6x có kết nào sau đây? Câu 130 lim x→0 x2 A +∞ B −∞ C D x2020 − 2020x + 2019 Câu 131 Tổng chữ số hàng đơn vị và hàng chục lim x→1 (x − 1)2 A B C 10 D 11 2022 2021 x +x + · · · + x − 2022 Câu 132 lim có kết nào sau đây? 2022 x→1 x −1 2022 2023 2023 A 1011 B C D 2021 2022 p f (x) − f (x) + − = 10 Hỏi lim có kết nào sau Câu 133 Cho đa thức f (x) thỏa mãn lim x→1 x→1 x − x−1 đây? A B C D p p f (x) − 2f (x) + + f (x) + − Câu 134 Cho đa thức f (x) thỏa lim = Hỏi lim có kết 2x2 − x 2x − 1 x→ x→ 2 nào sau đây? 25 35 A B C D 6 B L =  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 132 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 132 133  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Câu 135 Cho f (x) thỏa mãn lim x→−1 nào sau đây? A − f (x) − f (x) − Äp ä có kết = Hỏi lim x→−1 x+1 (x2 + 3x + 2) 2f (x) + + 1 p f (x) + f (x) + 2x + − x Câu 136 Cho đa thức f (x) thỏa mãn lim = a Hỏi lim có kết nào x→2 x − x→2 x2 − sau đây? a−2 a+2 a−2 a+2 A B C D 16 16 8 f (x) − g(x) − Câu 137 Cho các đa thức f (x), g(x) thỏa mãn lim = và lim = x→1 x − x→1 x − p f (x) · g(x) + − Tính lim x→1 x−1 17 23 A B C D 17 4f (x) − Câu 138 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (tan x) = cos4 x Hỏi lim có kết nào sau đây? x→1 x − 3x + B A 1 C B D C D f (2x ) − f (x) − = Hỏi lim có kết nào sau đây? Câu 139 Cho hàm số f (x) thỏa mãn lim x→1 x→2 x − x−1 A B C D 16 p Å ã x · f (x) + 14 − + 9x = Hỏi lim có kết nào Câu 140 Cho hàm số f (x) thỏa 4f (x) + 5f x→2 x x2 − x − sau đây? 8 A B C D 5 15 15 BẢNG ĐÁP ÁN A 11 B 21 C 31 C 41 A 51 C 61 C 71 A 81 C 91 C 101 A 111 D 121 A 131 B A 12 D 22 B 32 D 42 C 52 B 62 C 72 C 82 B 92 A 102 A 112 B 122 D 132 C B 13 D 23 B 33 D 43 A 53 A 63 B 73 C 83 C 93 C 103 C 113 B 123 A 133 A C 14 B 24 B 34 B 44 B 54 B 64 D 74 C 84 C 94 C 104 A 114 D 124 D 134 B D 15 D 25 C 35 A 45 B 55 C 65 D 75 C 85 B 95 C 105 A 115 C 125 D 135 C  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An A 16 C 26 C 36 A 46 B 56 B 66 D 76 A 86 D 96 A 106 B 116 D 126 C 136 A 133 D 17 A 27 B 37 A 47 A 57 B 67 D 77 C 87 C 97 C 107 B 117 D 127 B 137 A A 18 D 28 B 38 C 48 B 58 B 68 C 78 C 88 B 98 D 108 A 118 B 128 D 138 D C 19 C 29 C 39 D 49 A 59 C 69 C 79 A 89 D 99 B 109 D 119 D 129 D 139 C 10 D 20 D 30 B 40 D 50 A 60 B 70 A 80 C 90 D 100 B 110 A 120 D 130 D 140 D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ BÀI GIỚI GIỚIBÊN HẠNCỦA MỘT HÀM BÊNSỐ CỦA HÀM SỐ HẠN MỘT A KIẾN THỨC CẦN NẮM Định Định nghĩa nghĩa hữu hữu hạn hạn ✓ Giả sử hàm số f xác định định trên khoảng (xo ; b) Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L x tiến xo số (xn ) khoảng (xo ; b) mà lim xn = xo ta có lim f (xn ) = L Khi đó, ta viết: lim+ f (x) = L f (x) → L x → x+ o x→xo ✓ Giả sử hàm số f xác định định trên khoảng (a; xo ) Ta nói hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L x tiến xo số (xn ) khoảng (a; xo ) mà lim xn = xo ta có lim f (xn ) = L Khi đó, ta viết: lim− f (x) = L f (x) → L x → x− o x→xo Nhận xét: Nếu tồn lim f (x) = L thì lim− f (x) = lim+ f (x) = L và ngược lại x→xo x→xo x→xo Giới Giới hạn hạn vô hạn vô hạn lim f (x) = −∞ x→x− o lim f (x) = +∞ x→x− o lim (x) = −∞ x→x+ o lim f (x) = +∞ x→x+ o B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Giới Hạn Hữu Hạn Bài Tìm các giới hạn: a) lim− x→3 c) lim− x→3 √
3−x+x ; |2 − x| ; x→2 − 5x + √ x2 + 4x + d) lim + x→−2 x+2 |3 − x| ; 3−x |2 − x| x→2 − 5x + Bài Tính các giới hạn sau … 2x + a) lim− (4 − x) ; x→4 x3 − 64 e) lim− 2x2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường b) lim− 2x2 f) lim− 2x3 x→1 b) 134 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” lim x→+∈f ty |x − 1| +x−3 (2x − 1) x2 + x4 + 3x +  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 134 135  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN DẠNG Giới Hạn Vô Hạn Bài Tính các giới hạn sau: a) lim+ 2x − ; x−1 b) lim+ x − 15 ; x−2 c) lim− 2−x ; 3−x d) lim+ x+1 ; 2x − e) lim− x−5 ; (x − 4)2 f) lim− x→1 x→3 x→4 g) lim + x→−3 x→2 x→2 3x − ; x→3 (3 − x)2 Å ã 1 h) lim− − x→2 x − x2 − 2x2 + 5x − ; (x + 3)2 DẠNG Bài Toán Chứng Minh Sự Tồn Tại Của Giới Hạn Tại Điểm Bài Tính các giới hạn A = lim− x→2 |x − 2| |x − 2| |x − 2| và B = lim+ Suy giới hạn C = lim x→2 x − x→2 x−2 x−2 |x2 − 9| x→3 x − ( x − 6x2 − x x ≥ Bài Cho hàm số f (x) = Tính lim− f (x) và lim+ f (x) Hỏi hàm số hàm x→1 x→1 x < x3 − 3x số f (x) có giới hạn x = hay không? Tại sao? ( x − 3, x < Bài Tính giới hạn C = lim f (x) với f (x) = √ x→1 − 7x2 + x >  3x −  x < −2 x+1 Bài Tính giới hạn C = lim g(x) với g(x) = x→−2  x + 10 x ≥ −2   x + x < −1 Bài Tìm m để hàm số f (x) = x + có giới hạn x = −1  mx2 − x + m2 x ≥ −1 √ 3x − + |x − 1| 5x2 + Bài 10 Tính giới hạn C = lim− x→1 x2 − 2x + √ 2x2 − 2x + |x − 1| x + Bài 11 Tính giới hạn C = lim− x→1 x2 − 2x + |x − 2| Bài 12 Tính giới hạn C = lim− √ x→2 x−1−1 √ x2 − 7x + 12 √ Bài 13 Tính gới hạn D = lim− x→3 − x2 √ x2 − 5x + Bài 14 Tính giới hạn D = lim+ √ x→2 − x2 Bài Tính C = lim  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 135  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ √ 1−x+x−1 √ x→1 x2 − x3 … x+5 Bài 16 Tính giới hạn D = lim+ (1 − x) x→1 x + 2x2 − √ x3 − 3x + Bài 17 Tính giới hạn D = lim− x→1 x − 5x + Bài 15 Tính giới hạn D = lim− C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tính giới hạn lim+ x→2 A −∞ x − 15 x−2 B +∞ 4x − Câu Tính giới hạn lim− x→1 x−1 A −∞ B +∞ 2x + Câu Tính giới hạn lim+ x→2 x−2 A −∞ B +∞ D C D C − D + 3x − 2x2 Câu Tính giới hạn lim+ x→3 x−3 A −∞ B +∞ C −2 x2 − 3x + Câu Tính giới hạn lim + √ x→(−2) x+2 A −∞ B +∞ C −3 Å ã Câu lim− − có kết nào sau đây? x→0 x x A −∞ B +∞ C Å ã 1 Câu lim− có kết nào sau đây? − x→2 x−2 x −4 A −∞ B +∞ C ã Å 1 có kết nào sau đây? Câu lim+ − 2 x→2 x − 3x + x − 5x + A −∞ B +∞ C 3−x Câu lim− √ có kết nào sau đây? x→3 27 − x3 A −∞ B +∞ C √ 2x + x √ có kết nào sau đây? Câu 10 lim+ x→0 x− x A −∞ B +∞ C −1 x + 13x + 30 Câu 11 lim + p có kết nào sau đây? x→−3 (x + 3)(x2 + 5) A −∞ B +∞ C √ x3 − x2 Câu 12 lim+ √ có kết nào sau đây? x→1 x−1+1−x A +∞ B −1 C  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 15 C 136 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” D D D Không tồn D Không tồn D Không tồn D D D D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 136 137  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Câu 13 lim x→(−3)− A −∞ √  Chương GIỚI HẠN 2x2 + 5x − có kết nào sau đây? (x + 3)2 B +∞ C D x2 − Câu 14 lim+ có kết nào sau đây? x→2 x−2 A −∞ B +∞ C D √ √ x2 + x − x Câu 15 lim+ có kết nào sau đây? x→0 x2 A −∞ B +∞ C D … ï ò x+5 Câu 16 lim+ (1 − x) có kết nào sau đây? x→1 x + 2x − A −∞ B +∞ C −1 D ï ò … x Câu 17 lim + (x3 + 1) có kết nào sau đây? x −1 x→(−1) A −∞ B +∞ C D ( 5x − 6x2 − x x ≥ Câu 18 Cho hàm số f (x) = Kết lim− f (x) là x→1 − x3 + 3x x < A −2 B −1 C D √   3x2 + x ≥ Câu 19 Cho hàm số f (x) = Tính lim+ f (x) 2x  x→1 x < √ 1−x A −∞ B +∞ C −2 D √   2x − x ≥ Kết lim− f (x) là Câu 20 Cho hàm số f (x) = x2 +  x→1  x < 1−x A −∞ B +∞ C −1 D √  4−x x ≤   Câu 21 Cho hàm số f (x) = 2x + < x < Kết lim+ f (x) là  x→1   x −4 x ≥ √ A −3 B C D Không tồn   2x2 − |x| <   Câu 22 Cho hàm số f (x) = |x| = Kết lim − f (x) là  x→(−2)   3x − |x| > A −7 B C D Không tồn Câu 23 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Đặt a = lim− f (x) + lim+ f (x) và x→2 b = lim+ f (x) + lim− f (x) Khi đó 2a + b x→1 x→2 A −1 B C x→1 D Câu 24  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 137  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f (x) có đồ thị hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng? A lim− f (x) = −∞ và lim+ f (x) = +∞ x→0 B lim x→0 f (x) = −∞ và − x→(−1) lim x→(−1)+ f (x) = +∞ C lim f (x) = và lim f (x) = x→−∞ x→+∞ D lim f (x) = −1 và lim f (x) = −1 x→−∞ x→+∞ Câu 25 Cho hàm số f (x) có đồ thị hình vẽ Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng? i) ii) iii) lim f (x) = +∞ x→−1+ lim f (x) = +∞ x→−1− lim f (x) = x→−∞ iv) lim f (x) = +∞ x→+∞ A B |3x − 6| Câu 26 lim có kết nào sau đây? x→2 x − A +∞ B −3 C D C D Không tồn |x2 − 3x + 2| có kết nào sau đây? x→2 x−2 A +∞ B −1 C √ x2 − 4x + có kết nào sau đây? Câu 28 lim x→2 x−2 A +∞ B −1 C 2x − có kết nào sau đây? Câu 29 lim x→4 x − A −∞ B +∞ C Câu 27 lim |x| có kết nào sau đây? x→0 x2 A −∞ B +∞ D Không tồn D Không tồn D Không tồn Câu 30 lim C D Không tồn Câu 31 Cho hàm số f (x) = [x] ([x] là số nguyên lớn không vượt quá x, đọc là phần nguyên x) Hỏi lim f (x) có kết nào sau đây? x→5 A B C D Không tồn ( x − x ≥ Câu 32 Cho hàm số f (x) = Tính giới hạn lim f (x) x→2 x − x < A −1 B C D Không tồn    x − 3x + x > x2 − Câu 33 Cho hàm số f (x) = Tính giới hạn lim f (x) x→1  − x x ≤ 1 A − B C D Không tồn 2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 138 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 138 139  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN   x−3 x <   Câu 34 Cho hàm số f (x) = − x = Tính giới hạn lim f (x) x→1  √   − 7x + x > A −2 B C D Không tồn   x2 − 2x + x >   Câu 35 Cho hàm số f (x) = − 12 x = Mệnh đề nào sau đây sai?    2x − 12 x < A lim+ f (x) = B lim− f (x) = x→3 x→3 C lim f (x) = D Không tồn lim f (x) x→3 Câu 36 Tìm a để hàm số f (x) = x→3 ( x + ax + 1khix > có giới hạn x = 2x2 − x + 1khix ≤ A a = −2 B a = −1 C a = D a = ( 2 √ a x x ≤ Câu 37 Gọi S là tập hợp các giá trị tham số m để hàm số f (x) = √ có giới (2 − a) x2 x > √ hạn x = Tổng các phần tử tập S A −1 B C D   √ x − khix > 2x + − Câu 38 Cho hàm số f (x) = Tìm m để tồn lim f (x) x→2  3x + mkhix < 11 B m = − C m = −3 D m = −2 ( 3x + bkhix ≤ −1 Câu 39 Biết hàm số f (x) = có giới hạn x = −1 Giá trị a − b x + akhix > −1 A −2 B −1 C D   x − 2khix ≤   Câu 40 Cho hàm số f (x) = ax + bkhi2 < x < Biết hàm số f (x) có giới hạn x = và x =    x + 4khix ≥ Hệ thức nào sau đây đúng? A 2a − b = B a − 2b = C 2a + b = D a + 2b = A m ∈ ∅ BẢNG ĐÁP ÁN 12 22 32 A D A C 13 23 33 B B A A 14 24 34 A B D A 15 25 35 B B C D 16 26 36  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An B D D C 17 27 37 139 A C D A 18 28 38 B D D C 19 29 39 C D D A 10 20 30 40 C B B C 11 C 21 A 31 D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI HÀM SỐ LIÊN HÀM TỤC SỐ LIÊN TỤC A KIẾN THỨC CẦN NẮM Hàm Hàm số liên số liên tục tục tại điểm điểm  Định nghĩa 4.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K ✓ Hàm số y = f (x) gọi là liên tục x0 x→x lim f (x) = f (x0 ) ✓ Hàm số y = f (x) không liên tục x0 ta nói hàm số gián đoạn x0 Hàm Hàm số liên số liên tục tục trêntrên mộtmột khoảng khoảng  Định nghĩa 4.2 ✓ Hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng nó liên tục điểm khoảng đó ✓ Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a ; b] nó liên tục trên (a; b) và lim+ f (x) = f (a), x→a lim− f (x) = f (b) x→b Các Các địnhđịnh lý cơlýbản Định lý 4.1 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập R b) Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên khoảng xác định chúng Định lý 4.2 Cho các hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục x0 Khi đó: a) Các hàm sốy = f (x) + g(x), y = f (x) − g(x), y = f (x).g(x) liên tục x0 b) Nếu hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục x0 và g(x0 ) 6= thì hàm số y = f (x) liên tục x0 g(x) c) Hàm số đa thức liên tục trên R Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên khoảng xác định chúng  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 140 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 140 141  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Tính Tính chất chất của hàmhàm số liên số liên tục tục Định lý 4.3 Giả sử hàm số f liên tục trên [a; b] Nếu f (a) 6= f (b) thì với số thực M nằm f (a) và f (b), tồn ít điểm c ∈ (a; b) thỏa f (c) = M  Hệ 4.1 (Ý nghĩa hình học) Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] và M là số thực nằm f (a) và f (b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f (x) ít điểm có hoành độ x = c ∈ (a; b) Nhận xét: Từ hệ trên, ta có thể áp dụng vào tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a) · f (b) < thì đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành ít điểm có hoành độ x = c ∈ (a; b)”  Hệ 4.2 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a) · f (b) < thì tồn ít điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = Nhận xét: Từ hệ trên, ta có thể áp dụng vào việc chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a) · f (b) < thì phương trình f (x) = có ít nghiệm khoảng (a; b)” B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Tại Một Điểm Bài Xét tính liên tục các hàm số x0    x − 25 x 6= x−5 1) f (x) = , x0 =  9 x =  √   − 2x − x 6= 2−x 2) f (x) = , x0 =  1 x = √  3x + −   x 6= x−2 3) f (x) = , x0 =    x =  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 141  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LIÊN TỤC  √  √ x − x 6= x+5−3 4) f (x) = , điểm x0 =  − x = √  x+3−2   x 6= x−1 5) f (x) = x0 =    x = √   x − − x 6= x−2 6) f (x) = x0 =  2x − x = Bài Xét tính liên tục các hàm số sau: ( x + x2 − x ≤ −1 a) f (x) = , x0 = −1 3x + x > −1  x2 + x > b) f (x) = , điểm x0 = x x ≤ c) d) e) f) g) h) i)   x − 3x + x ≤ x0 = f (x) = − √2x −   x > 2−x   x ≤ 2x + 12 x0 = f (x) = x −9  x > √ x+1−2    3x − 2x − x < x−1 f (x) = x0 =  2x + x ≥  x + 2x −   x >  x − f (x) = √ x0 =  x + +   x ≤  x + 2x −   x >  x +x−2 x0 = f (x) = √  x + +   x ≤    x + 3x + x 6= −1 −x − f (x) = x0 = −1  x2 + 2x x = −1  x − 5x +   √  x >   x+2−2 x0 = f (x) = −4 x =     x√2 − x − x <  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 142 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 142 143  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Bài Tìm m đề hàm số liên tục điểm x0 √   x + − x 6= x2 − a) f (x) = , x0 =  m x =   x − x 6= b) f (x) = x − , x0 =  m2 + 3m x = √ √ 1−x− 1+x    x < x − c) f (x) = , x0 =  4−x  m + x ≥ x+2    x ≤ mx + √ d) f (x) = , x0 = 4x −    x > x − 3x +    x ≤ mx + e) f (x) = √ , x0 = 3x + −    x > x−2 √ √   − x − + x x < x Bài Tìm m để hàm số f (x) = liên tục x0 = x − 3x +  m + x ≥ x+2  √   2x − − 4x x < x−1 Tìm a để hàm số f (x) liên tục x0 = Bài Cho hàm số f (x) =  14ax x ≥    x − x + 2x − x 6= 3x + a Bài Cho hàm số f (x) = Tìm các giá trị tham số a để f (x) liên  3x + a x = tục x =    ax2 + bx + x <   Bài Tìm a, b để hàm số f (x) = x = liên tục x0 =    2x − 3b x > √ √ + x − 1+x   x < x liên tục x0 = Bài Tìm m để hàm số f (x) =  m + x − 3x + x ≥ x+2   x = m − m + Bài Cho hàm số f (x) = x2 + mx − − m Tìm m để hàm số liên tục x =   x 6= x−1  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 143  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LIÊN TỤC 144    2x − 5x + x 6= 2−x Bài 10 Cho hàm số f (x) = Tìm m để hàm số gián đoạn x =   m2 − m − x = DẠNG Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Trên Khoảng, Nửa Khoảng, Đoạn Bài 11 Xét tính liên tục hàm số sau trên tập xác định chúng   x−2    x − x 6= x = a) f (x) = x2 − b) f (x) = x −    x = x =   x − x −     2x + x 6= x 6= −1 x+1 c) f (x) = d) f (x) = (x − 1)   −3  x = −1 x = Bài 12 Xét tính liên tục hàm số sau trên tập xác định chúng ( x + 3x x ≥ 1) f (x) = 6x + x < ( x x ≥ −2 2) f (x) = − x x < −2 Bài 13 Xét tính liên tục hàm số sau trên tập xác định chúng     3x − x > −1 x+1     a) f (x) = b) f (x) = x2 x = −1       x − x < −1 4x − x ≥ ≤ x < x < DẠNG Chứng minh phương trình có nghiệm Bài 14 Chứng minh phương trình 2x4 − 2x3 − = có ít nghiệm thuộc khoảng (−1; 0) Bài 15 Chứng minh phương trình 6x3 + 3x2 − 31x + 10 = có đúng nghiệm phân biệt Bài 16 Chứng minh phương trình x3 + x + = có ít nghiệm âm lớn −1 (−1; 0) Bài 17 Chứng minh phương trình x3 + 5x2 − = có ít hai nghiệm ĐS: ĐS: (−1; 0), (0; 1) Bài 18 Chứng minh phương trình 4x4 + 2x2 − x − = có ít hai nghiệm ĐS: (−1; 0), (0; 1) Bài 19 Chứng minh phương trình x − + sin x = có nghiệm Bài 20 Chứng minh phương trình x4 − x3 − 2x2 − 15x − 25 = có ít nghiệm dương và nghiệm âm  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 144 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 145  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Bài 21 Chứng minh phương trình x4 − 2x2 + 3x − = có ít nghiệm Bài 22 Chứng minh phương trình x5 − 3x4 + 5x − = có ít ba nghiệm phân biệt Bài 23 Chứng minh phương trình x + + cos x = có nghiệm Bài 24 Chứng minh phương trình x4 + mx2 − 2mx − = có nghiệm với m ĐS: (0; 2) Bài 25 Chứng minh phương trình m(x − 2)(x − 3) + 2x − = có nghiệm với m ĐS: (2; 3) Bài 26 Chứng minh phương trình (m2 − 3m + 5) x3 + 2x − = có nghiệm với m ĐS: (0; 1) √ Bài 27 Chứng minh phương trình x5 + 2x3 + 25x2 + 14x + = 3x2 + x + có đúng nghiệm phân biệt Bài 28 Chứng minh phương trình (1 − m2 ) x5 − 3x − = có ít nghiệm với giá trị m Bài 29 Chứng minh phương trình (1 − m)x5 + 9mx2 − 16x − m = có ít hai nghiệm ĐS: (−2; 0) , (0; 2) Bài 30 Chứng minh phương trình C x4 − x2 + mx − 3m + = m có ít nghiệm với m > x2 − x − BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng K chứa điểm a Hàm số f (x) liên tục x = a và A lim+ f (x) = lim− f (x) = a B lim+ f (x) = lim− f (x) = +∞ x→a x→a x→a x→a D f (x) có giới hạn hữu hạn x → a C x→a lim f (x) = f (a) Câu Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a; b) Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là A lim+ f (x) = f (a) và lim− f (x) = f (b) B lim+ f (x) = f (a) và lim+ f (x) = f (b) x→a x→b x→a C lim− f (x) = f (a) và lim− f (x) = f (b) x→a x→b D lim− f (x) = f (a) và lim+ f (x) = f (b) x→b x→a x→b Câu Mệnh đề nào sau đây sai? A Hàm số liên tục trên [a; b] thì nó xác định trên [a; b] B Hàm số liên tục trên [a; b] thì nó liên tục x0 ∈ (a; b) C Hàm số liên tục trên [a; b] nó liên tục trên (a; b) D Hàm số liên tục trên [a; b] thì nó liên tục trên (a; b) Câu Cho hàm số f (x) xác định trên R, liên tục x = và thỏa mãn lim f (x) = Khi đó ta phải gán x→1 f (1) bao nhiêu? A f (1) = −4 B f (1) = −1 D f (1) = √ √ x+3− 3−x Câu Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên [−3; 3] có f (x) = với x 6= Khi x đó ta phải gán f (0) bao nhiêu? √ √ 3 A f (0) = B f (0) = C f (0) = D f (0) = 3  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An C f (1) = 145  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu Hàm số nào các hàm số sau đây liên tục trên R? √ x2 + x+5 A f (x) = B f (x) = C f (x) = x − 5−x x +4 D f (x) = tan x + Câu Hàm số nào các hàm số sau đây không liên tục trên R? x x A y = |x| B y = C y = sin x D y = x+1 |x| + 2021x Câu Điểm gián đoạn hàm số f (x) = là x+1 A x = −1 B x = C x = D x = 2021 x − 4x + Câu Hàm số f (x) = có bao nhiêu điểm gián đoạn? x − 10x2 + A B C D x Câu 10 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề nào sau đây sai? x+2 A f (x) liên tục điểm x = B f (x) liên tục điểm x = −2 C f (x) liên tục điểm x = D f (x) liên tục điểm x = 2021 Câu 11 Hàm số nào sau đây liên tục điểm x0 = 1? x2 + x + x2 − x − A f (x) = B f (x) = x−1 x2 − x +x+1 x+1 C f (x) = D f (x) = x x−1 Câu 12 Trong các hàm số nào sau đây, có bao nhiêu hàm số liên tục điểm x = 2? x−4 − 3x + √ ii) y = − x2 + − x2 i) y = x2 iii) y = x9 − sin x − cos2 x iv) y = x2 − x−2 A B x2 + Câu 13 Hàm số f (x) = liên tục trên x + 5x + A (−∞; 3) B (−3; 2) C D C (−2; +∞) D R Câu 14 Mệnh đề nào sau đây là sai? √ A y = √ liên tục trên (0; +∞) B y = x liên tục trên R x C y = tan x liên tục trên (0; π) D y = sin x + x2 liên tục trên R √ Câu 15 Cho hàm số f (x) = − x2 Xét các mệnh đề sau: i) Hàm số liên tục trên (−2; 2) ii) Hàm số liên tục trên [−2; 2] iii) Hàm số liên tục điểm x = −2 iv) Hàm số liên tục phải điểm x = −2 và liên tục trái điểm x =  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 146 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 146 147  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A B C D ( x + x > Câu 16 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề nào sau đây sai? x x ≤ A f (0) = B f liên tục x0 = C lim− f (x) = D lim+ f (x) = x→0 x→0    |x − 1| x 6= x−1 Câu 17 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề nào sau đây đúng?  1 x = A lim+ f (x) = −1 B lim− f (x) = x→1 x→1 C f (1) = −1 Câu 18 Cho hàm số f (x) = ( 3x − x < x2 + x ≥ D f (x) gián đoạn điểm x = Xét các mệnh đề sau: i) Hàm số liên tục trên [1; +∞) ii) Hàm số liên tục trên R iii) Hàm số liên tục điểm x thuộc [1; +∞) iv) Hàm số liên tục trên (−∞; 1) Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A B C D  2x +  x 6= ±3  Câu 19 Cho hàm số f (x) = 3x − 27 Mệnh đề nào sau đây đúng?   − x = ±3 A Hàm số liên tục điểm trừ các điểm thuộc khoảng (−3; 3) B Hàm số liên tục điểm trừ điểm x = −3 C Hàm số liên tục điểm trừ điểm x = D Hàm số liên tục trên R   √ x − x 6= x+2−2 Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 20 Cho hàm số f (x) =  4 x = A Hàm số liên tục x = B Hàm số gián đoạn x = C f (4) = D lim f (x) = x→2 ( − cos x x ≤ Câu 21 Cho hàm số f (x) = √ Mệnh đề nào sau đây đúng? x + x > A f (x) liên tục x = B f (x) liên tục trên (−∞; 1) C f (x) không liên tục trên R D f (x) gián đoạn x =  x cos x 6= x2 Câu 22 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề nào sau đây sai?  x =  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 147  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LIÊN TỤC A Hàm số liên tục x = B Hàm số gián đoạn x = C f (0) = D lim f (x) = x→0 ( 2x + x + |x| ≤ Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 23 Cho hàm số f (x) = 3x − |x| > A Hàm số liên tục trên R B Hàm số không liên tục trên (−∞; −1) C Hàm số không liên tục trên (2; +∞) D Hàm số gián đoạn các điểm x = ±1   2x2 − x <   Câu 24 Cho hàm số f (x) = x = Mệnh đề nào sau đây sai?    x + x > A Hàm số đã cho gián đoạn x = B Hàm số liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) C Hàm số đã cho liên tục x = D Hàm số liên tục trên nửa khoảng (−∞; 0]   2x2 − x + x <   Câu 25 Cho hàm số f (x) = x = Mệnh đề nào sau đây đúng?    x + x > Hàm số không có giới hạn x = và không liên tục tục x = Hàm số có giới hạn x = và liên tục tục x = Hàm số không có giới hạn x = liên tục tục x = Hàm số có giới hạn x = không liên tục tục x = ( x − 4x + x 6= Câu 26 Cho hàm số f (x) = Giá trị tham số m để hàm số liên tục x + m + x = x = là A m = B m = C m = D m =   x x ≤ liên tục x = Câu 27 Tìm a để hàm số f (x) =  ax + x > 1 A a = − B a = C a = −1 D a = 2 (√ x − x ≥ Câu 28 Cho hàm số f (x) = với a là tham số Biết f (x) xác định trên R và liên a (x + 1) x < tục x = Giá trị a + f (0) A −1 B C D ( ax + bx − x ≤ Câu 29 Biết hàm số f (x) = liên tục x = Tính giá trị biểu thức 2ax − 3b x > P = a − 4b A P = −4 B P = C P = −5 D P =    x + x − x 6= x−1 Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm Câu 30 Cho hàm số f (x) =  3m x = số gián đoạn x = A m 6= −2 B m 6= C m 6= D m 6= A B C D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 148 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 148 149  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương GIỚI HẠN  − 16  x √ x > x−2 Câu 31 Hàm số f (x) = liên tục x = m nhận giá trị là  3x − m x ≤ A −20 B 20 C −44 D 44   x2 + x <   Câu 32 Cho hàm số f (x) = k x = Tìm tất các giá trị thực k để f (x) gián đoạn    (x + 1)2 khix > x=1 A k 6= −2 B k 6= C k 6= ±2 D k 6= ±1  x − x2   x >   x−1 Câu 33 Tìm m, n để hàm số f (x) = n x = liên tục x =     mx + x < A n = −1 và m = B n = m = C n = và m = D n = và m = Câu 34 Cho hàm số f (x) liên tục trên R Biết phương trình  f (x) = có nghiệm là x =   f (x) khix 6= Tìm giá trị tham số a để hàm số sau liên tục trên R g (x) = f (x) −  a − 2khix = A a = −2 B a = C a = D a =    x + 8x + m khix 6= x−1 Câu 35 Cho hàm số f (x) = với m, n là các tham số thực Biết hàm số  nkhix = f (x) liên tục x = 1, đó giá trị m + n A B C D Câu 36 Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a; b] Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng? i) Nếu hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a; b) và f (a)f (b) < thì tồn x0 ∈ (a; b) cho f (x0 ) = ii) Nếu f (a)f (b) < thì phương trình f (x) = có ít nghiệm khoảng (a; b) iii) Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a)f (b) < thì phương trình f (x) = có nghiệm iv) Nếu hàm số f (x) liên tục, tăng trên đoạn [a; b] và f (a)f (b) > thì phương trình f (x) = không có nghiệm khoảng (a; b) A B C D Câu 37 Phương trình nào đây có nghiệm khoảng (0; 1)? A 2x2 − 3x + = B 3x4 − 4x2 + = C (x − 1)5 − x7 − = D 3x2017 − 8x + = Câu 38 Biết phương trình x5 + x3 + 3x − = có nghiệm x0 Mệnh đề nào sau đây đúng? A x0 ∈ (−2; −1) B x0 ∈ (−1; 0) C x0 ∈ (0; 1) D x0 ∈ (1; 2)  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 149  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 39 Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (0) < 0, f (1) > 0, f (2) < 0, f (3) > Mệnh đề nào sau đây đúng? A Phương trình f (x) = vô nghiệm B Phương trình f (x) = có đúng nghiệm C Phương trình f (x) = có đúng nghiệm D Phương trình f (x) = có ít nghiệm Câu 40 Xét phương trình x2021 + x = a trên tập số thực Mệnh đề nào sau đây đúng? A Phương trình có nghiệm a > B Phương trình có nghiệm a < C Phương trình vô nghiệm a ≥ D Phương trình có nghiệm ∀a ∈ R Câu 41 Cho phương trình (m2 − 5m + 3)x5 − 2x2 + = với m là tham số Tập hợp các giá trị m để phương trình có ít nghiệm thuộc khoảng (−1; 0) là A m ∈ (1; 4) B m ∈ R C m ∈ (−∞; 1) ∪ (4; +∞) D m ∈ (−∞; 1] ∪ [4; +∞) Câu 42 Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [−1; 5] và thỏa mãn f (−1) = 1, f (5) = Phương trình nào sau đây luôn có nghiệm khoảng (−1; 5)? A f (x) + = B f (x) = C f (x) = D f (x) = Câu 43 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và thỏa mãn f (a) = b, f (b) = a với a, b > và a 6= b Phương trình nào sau đây có nghiệm trên (a; b)? A f (x) = B f (x) = −x C f (x) = x D f (x) = a Câu 44 Xét phương trình cos x + m cos 2x = Mệnh đề nào sau đây đúng? A Phương trình có nghiệm m > B Phương trình có nghiệm −1 ≤ m ≤ C Phương trình vô nghiệm m < D Phương trình có nghiệm với m ( a+c>b+1 Câu 45 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn Số giao điểm đồ thị hàm số y = a+b+c+1<0 x3 + ax2 + bx + c và trục Ox là A B C D BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 A C C A C 12 22 32 42 A B B C C 13 23 33 43 C C D D C 14 24 34 44 D C D D D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 15 25 35 45 C C D C D 16 26 36 150 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” B B A B 17 27 37 B D A D 18 28 38 A C B C 19 29 39 D C C D 10 20 30 40 B A B D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 150 CHƯƠNG LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM BÀI A ĐỊNH NGHĨAĐỊNH ĐẠONGHĨA HÀM ĐẠO HÀM KIẾN THỨC CẦN NẮM Định Định nghĩa nghĩa đạo đạo hàmhàm tại điểm điểm ✓ Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a b) và x0 ∈ (a b) tồn giới hạn (hữu hạn) f (x) − f (x0 ) lim thì giới hạn đó gọi là đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 và kí hiệu x→x0 x − x0 là f (x0 ) tức là ∆y f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim = lim x→x0 ∆x→0 ∆x x − x0 Trong đó: Đại lượng ∆x = x − x0 là số gia đối số x0 , đại lượng ∆y = f (x) − f (x0 )= f (x0 + ∆x) − f (x0 ) là số gia tương ứng hàm số ✓ Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 thì nó liên tục điểm đó Cách Cách tính tính đạo đạo hàmhàm bằngbằng địnhđịnh nghĩa nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 định nghĩa ta làm theo các bước sau Bước 1: Tính ∆y= f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆y Bước 2: Lập tỉ số ∆x ∆y Bước 3: Tìm lim ∆x→0 ∆x Đạo Đạo hàmhàm bên bên trái,trái, bênbên phảiphải
f (x) − f (x0 ) ✓ f x+ ; = lim+ x − x0 x→x0
f (x) − f (x0 ) ✓ f x− = lim− x − x0 x→x0


− + 0 Hệ quả: Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 thì tồn f x+ = và f x0 đồng thời f x0
− f x0  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM Đạo Đạo hàmhàm trên trên khoảng, khoảng, trêntrên đoạn đoạn ✓ Hàm số y = f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a ; b) nó có đạo hàm điểm thuộc (a b) ✓ Hàm số y = f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a ; b] nó có đạo hàm điểm thuộc (a ; b) đồng thời tồn đạo hàm bên trái f (b− ) và đạo hàm bên phải f (a+ ) Mối Mối liên liên hệ hệ đạođạo hàmhàm và tính và tính liênliên tụctục - Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 thì y = f (x) liên tục x0 Chú ý: Định lí trên là điều kiện cần, tức là hàm có thể liên tục điểm x0 hàm đó không có đạo hàm x0 Chẳng hạn: Xét hàm f (x) = |x| liên tục x = không có đạo hàm điểm đó f (x) − f (0) f (x) − f (0) Vì lim+ = 1, còn lim− = −1 x→0 x→0 x x B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Tìm số gia hàm số Bài Tìm số gia hàm số f (x) = x4 x0 = 1, ∆x = Bài Số gia hàm số f (x) = x3 + x x0 = 0, ∆x = x3 theo số gia ∆x đối số x x0 = Bài Số gia hàm số f (x) = x2 − x ứng với x0 , ∆x là Bài Tìm số gia hàm số f (x) = Bài Tìm số gia hàm số f (x) = x2 + x0 = 0, ∆x = Bài Số gia hàm số f (x) = khi, x0 = 1, ∆x = x +1 √ Bài Tìm số gia hàm số f (x) = x + theo số gia ∆x đối số x x0 = DẠNG Tính Đạo Hàm Bằng Định Nghĩa Tại Điểm Bài Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = f (x) = 2x3 + x − x0 = b) y = f (x) = (x + 1) (x − 3) + x0 = −1 Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = f (x) = x3 x0 = −1 +x+1  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 152 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 152 153  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường b) y = f (x) =  Chương ĐẠO HÀM x2 + x − x0 = 2x − Bài 10 Tính đạo hàm các hàm số sau: √ a) y = f (x) = x2 − x + x0 = √ b) y = f (x) = x − x0 = DẠNG Tính Đạo Hàm Của Hàm Số Trên Khoảng Bằng Định Nghĩa Bài 11 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = f (x) = x2 − 3x + b) y = f (x) = x3 − 2x c) y = f (x) = 4x + Bài 12 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = f (x) = 2x − b) y = f (x) = 2x − x+1 DẠNG Mối Quan Hệ Giữa Liên Tục Và Đạo Hàm Bài 13 Cho hàm số y = f (x) = |x| a) Xét tính liên tục hàm số x = ( − x2 , x ≥ Bài 14 Cho hàm số y = f (x) = x, x < b) Xét tồn đạo hàm hàm số x = a) Chứng minh hàm số liên tục x = b) Hàm số này có đạo hàm điểm x = hay không? Tại sao? ( (x − 1)2 , x ≥ Bài 15 Chứng minh hàm số y = f (x) = không có đạo hàm x0 = 0, (x + 1)2 , x < liên tục đó Bài 16 Chứng minh hàm số f (x) = điểm đó Bài 17 Cho hàm số f (x) = ( 2x + 2x2 + |x + 1| liên tục x = −1 không có đạo hàm x−1 x ≤ x2 + bx + x > Để hàm số này có đạo hàm x = thì giá trị b là?    x − x 6= Bài 18 Tìm a để hàm số f (x) = x − có đạo hàm x =  a x =  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 153  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM C 154 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Hàm số f (x) có đạo hàm x = a Mệnh đề nào sau đây đúng? f (x) − f (a) f (x) + f (a) A f (a) = x→a lim B f (a) = x→a lim x−a x−a f (x) − f (a) f (x) + f (a) C f (a) = lim D f (a) = lim x→a x→a x+a x+a Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 là f (x0 ) Mệnh đề nào sau đây sai? f (x) − f (x0 ) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) A f (x0 ) = x→x lim B f (x0 ) = lim ∆x→0 x − x0 ∆x f (x0 + h) − f (x0 ) f (x + x0 ) − f (x0 ) C f (x0 ) = lim D f (x0 ) = lim x→x0 h→0 h x − x0 f (x) − f (6) Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm thỏa mãn f (6) = Tính lim x→6 x−6 1 A B C D 12 f (x) − f (3) Câu Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và thỏa mãn lim = Mệnh đề nào sau đây x→3 x−3 đúng? A f (x) = B f (x) = C f (2) = D f (3) = 2f (x) − xf (2) x−2 C f (2) − 2f (2) D 2f (2) − f (2) Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 = Tính lim A x→2 B f (2) Câu Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên tập số thực Biết f (1) = và f (1) = Kết f (x) + x2 − lim x→1 x−1 A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên tập số thực Biết f (1) = và f (1) = Kết f (x) − f (x) − 30 √ lim x→1 x−1 A −29 B C 110 D +∞ f (x) + g(x) − f (1) Câu Nếu f (x) và g(x) là các hàm số có đạo hàm f (x) = 3x và g (x) = 2x2 thì giá trị lim x→1 x−1 13 A B C D 10 Câu Cho hàm số y = f (x) = x3 Mệnh đề nào sau đây đúng? x3 − 27 x3 + 27 A f (3) = lim B f (3) = lim x→3 x − x→3 x + x3 − x3 − C f (3) = lim D f (3) = lim x→3 x − x→3 x − Câu 10 Cho hàm số f (x) = x(x − 1)(x − 2) · · · · · (x − 1000) Tính f (0) A 1000! B 1100! C 1110! D 10000! f (x) Câu 11 Cho hàm số f (x) = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) · · · (x + 2021) và g (x) = Giá trị biểu x thức g (1) A B C 2021! D 2022!  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 154 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 155  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Câu 12 Hàm số f (x) =  Chương ĐẠO HÀM ( x − 3x + 2khix ≤ Mệnh đề nào sau đây đúng? − xkhix > A f (3) = B f (3) = −3 C f (3) = D Không tồn f (3)  − x2   khix < Mệnh đề nào sau đây sai? Câu 13 Cho hàm số f (x) =   khix ≥ x A Hàm số f (x) liên tục x = B Hàm số f (x) có đạo hàm x = C Hàm số f (x) liên tục x = và có đạo hàm x = D Hàm số f (x) không có đạo hàm x =    x − 7x + 12 x 6= x−3 Câu 14 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề nào sau đây đúng?   − x = Hàm số liên tục x = không có đạo hàm x = Hàm số gián đoạn x = và không có đạo hàm x = Hàm số có đạo hàm x = không liên tục x = Hàm số liên tục x = và có đạo hàm x = √  3− 4−x   x 6= Tính f (0) Câu 15 Cho hàm số f (x) =   x = 1 A f (0) = B f (0) = C f (0) = D Không tồn 16 32 Câu 16 Số gia hàm số y = f (x) = x2 + ứng với số gia ∆x = −0,1 và x0 = A −15,99 B −0,79 C 0,81 D 1,01 A B C D Câu 17 Tìm số gia hàm số y = f (x) = x3 + x2 + x0 ứng với số gia ∆x = A ∆y = 3x20 + 5x0 + B ∆y = 2x30 + 3x20 + 5x0 + C ∆y = 3x20 + 5x0 + D ∆y = 3x20 − 5x0 + x2 Câu 18 Tìm số gia hàm số y = f (x) = điểm x0 = −1 ứng với số gia ∆x 1 A ∆y = (∆x)2 − ∆x B ∆y = [(∆x)2 − ∆x] 2 1 C ∆y = [(∆x) + ∆x] D ∆y = (∆x)2 + ∆x 2 Câu 19 Tìm số gia hàm số y = f (x) = x − 4x + điểm x0 ứng với số gia ∆x A ∆y = ∆x(∆x + 2x0 − 4) B ∆y = 2x0 + ∆x C ∆y = ∆x(2x0 − 4∆x) D ∆y = 2x0 − 4∆x Câu 20 Tìm số gia hàm số y = f (x) = điểm x (x 6= 0) ứng với số gia ∆x x ∆x ∆x A ∆y = B ∆y = − x(x + ∆x) x(x + ∆x) ∆x ∆x C ∆y = − D ∆y = x + ∆x x + ∆x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 155  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ∆y Câu 21 Tỉ số hàm số y = f (x) = x2 − theo x và ∆x là ∆x ∆y ∆y ∆y ∆y A = B = ∆x + 2x C = x + 2∆x D = ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆y Câu 22 Tỉ số hàm số y = f (x) = x3 + theo x và ∆x là ∆x ∆y ∆y A = 3x2 − 3x · ∆x − (∆x)2 B = 3x2 + 3x · ∆x + (∆x)2 ∆x ∆x ∆y ∆y C D = 3x2 − 3x · ∆x + (∆x)3 = 3x2 + 3x · ∆x − (∆x)3 ∆x ∆x ∆y Câu 23 Tỉ số hàm số y = f (x) = theo x (x 6= 0) và ∆x là ∆x x ∆y ∆y ∆y ∆y −2∆x −2 A B =− = C = D = ∆x (∆x) ∆x x(x + ∆x) ∆x x(x + ∆x) ∆x x(x + ∆x) ∆y hàm số y = f (x) = điểm x0 = là ∆x x+1 ∆y −2 ∆y ∆y −2 A = B = C = ∆x 3(∆x + 2) ∆x 3(∆x + 2) ∆x 3(∆x + 3) Câu 24 Tỉ số D ∆y = ∆x 3(∆x + 3) Câu 25 Đạo hàm hàm số y = f (x) = x2 − x điểm x0 ứng với số gia ∆x là A lim [(∆x)2 + 2x0 · ∆x − ∆x] B lim (∆x + 2x0 − 1) ∆x→0 ∆x→0 D lim [(∆x)2 + 2x0 · ∆x + ∆x] C lim (∆x + 2x0 + 1) ∆x→0 Câu 26 Tìm tham số thực b để hàm số f (x) = A b = −6 ∆x→0  x x ≤ 2 có đạo hàm x =  − x + bx − x > 2 C b = D b = B b =   x x ≤ Tìm tất các giá trị các tham số a, b để hàm số Câu 27 Cho hàm số f (x) =  ax + b x > f (x) có đạo hàm điểm x = 1 1 1 A a = ; b = B a = ; b = − C a = 1; b = D a = 1; b = − 2 2 2 ( ax + bx + x ≥ Câu 28 Cho hàm số f (x) = Biết hàm số f (x) có đạo hàm x = Tổng ax − b − ‘khi x < a + 2b A −6 B −4 C D ( x − x + x ≤ Câu 29 Tìm a, b để hàm số f (x) = có đạo hàm trên R − x2 + ax + b x > ( ( ( ( a=3 a=3 a = 13 a = 23 A B C D b = −1 b = −11 b = −1 b = −21 ( mx + 2x + x ≥ Câu 30 Cho hàm số f (x) = Tìm tất các giá trị các tham số m, n để nx + x < hàm số f (x) có đạo hàm x = A Không tồn m, n B m = 2, ∀n ∈ R C ∀m ∈ R, n = D m = n =  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 156 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 156 157  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM BẢNG ĐÁP ÁN D 12 D 22 B A 11 D 21 B C 13 D 23 C D 14 D 24 B D 15 B 25 B C 16 B 26 D C 17 C 27 D C 18 A 28 A A 19 A 29 A 10 A 20 B 30 C BÀI QUY TẮC TÍNH QUYĐẠO TẮCHÀM TÍNH ĐẠO HÀM A KIẾN THỨC CẦN NẮM Đạo Đạo hàmhàm của tổng,tổng, hiệu, hiệu, tích,tích, thương thương Cho các hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: i) (u + v)0 = u0 + v ii) (u − v)0 = u0 − v iii) (u.v)0 = u0 v + v u Å ã0  u 0 u0 v − v u v0 ⇒ iv) = = − v v2 v v2 Mở rộng: (u1 ± u2 ± ± un )0 = u01 ± u02 ± ± u0n (u.v.w)0 = u0 v.w + u.v w + u.v.w0 Đạo Đạo hàmhàm của hàmhàm số hợp số hợp Cho hàm số y = f (u (x)) = f (u) với u = u (x) Khi đó: yx0 = yu0 u0x B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Quy tắc tính đạo hàm Bài Tính đạo hàm x2 − b) y = x4 − 1 d) y = x − √ − √ + x x a) y = −2x4 + 4x2 − 3x + √ x+ x ã Å ã Å 2 + x+ e) y = x + √ x x c) y = 4x2 −  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An f) y = x + 157 √ x+ √ x+ √ x+ √ x  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Bài Tính đạo hàm √ a) y = x2 + x x + 1; 158 √ b) y = (1 − x) (1 − 2x) (1 − 3x); c) y = (x + x) (x2 + x + 1); Å ãÅ ã 1 e) y = − x− ; f) y = (x3 + 3x) (2 − x); x x d) y = x2 (x + 4)3 ; g) y = x(2x − 1)(3x + 2); h) y = (x2 − 2x + 3)(2x2 + 3); i) y = (x2 + 1)(5 − 3x2 ); x+2 b) y = 2x − √ x c) y = x+1 Bài Tính đạo hàm a) y = 2x + d) y = 2x − e) y = x2 + x + 2x2 − x + g) y = x2 − 3x + 2x − h) y = x2 + 4x − 2x + Bài Tính đạo hàm hàm số √ a) y = x2 + 6x + 7; √ d) y = x − x2 + 3x + 3; √ g) y = (3x2 − x) 2x + 1; f) y = √ x2 − 2x − 8; √ e) y = (x − 1) 3x + 2; √ √ h) y = x 16 − x2 +(x−1) x; b) y = + x − x2 − x + x2 √ √ x + − − x; √ f) y = x − x2 ; p i) y = (x − 2)3 c) y = Bài Tính các đạo hàm sau: 2 b) y = (2x3 − 3x2 − 6x + 1) a) y = (x7 + x) d) y = (x4 − 2x2 + x − 1) 10 c) y = (x7 + 3x4 + 2) 10 e) y = (x2 − 2x + 3) (2x + 1)3 f) y = (3x − 5x2 + 4x3 ) (x + 3)5 Bài Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = x − d) y = ; (2x − 5)2 g) y = x − j) y = + ; x x + 6x3 − (x2 b) y = e) y = ; − 3x)10 h) y = − 2x; x+1 c) y = −x + − ; x+2 ; − 3x + f) y = ; (x2 − 2x + 5)2 ; − x (3x − x2 )5 i) y = 1 ; − 2+ x x (2x − 1)5 x2 ; + x − (2x − 1)6 DẠNG Chứng minh, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm Bài Cho các hàm số sau Hãy giải phương trình y = a) y = x2 + 3x + ; x+1  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường b) y = 2x2 + ; 1−x 158 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” c) y = 3x + √ 10 − x2  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 159  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Bài Giải phương trình f (x) = 0, biết 1) f (x) = x3 − 3x2 + 2; 2) f (x) = −2x4 − x2 + 4; x2 √ Bài Chof (x) = 2x − x + 3, g (x) = x + − Giải bất phương trình f (x) > g (x) 60 64 Bài 10 Cho f (x) = 3x + − + Giải phương trình f (x) = x x √ Bài 11 Cho hàm số f (x) = x2 + x + Giải bất phương trình f (x) ≥ m Bài 12 Cho hàm số y = x − x + mx + Tất các giá trị tham số m để , ∀x ∈ R 3 Bài 13 Cho hàm số y = x − x − 4x + 2019 Gọi S là tập hợp tất các nghiệm nguyên bất phương trình y ≤ Tổng tất các phần tử S bằng: Bài 14 Cho hàm số y = x3 − 1010x2 + 2019x − 2020 Giải bất phương trình y ≥ 3 C √ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm đạo hàm hàm số y = k, với k là số A y = −1 B y = C y = D y = k Câu Cho hàm số f (x) = ax + b với a, b ∈ R và a 6= Mệnh đề nào sau đây đúng? A f (x) = a B f (x) = −a C f (x) = b D f (x) = −b Câu Tìm đạo hàm hàm số y = A y = ax + b a+b B y = C y = a a+b D y = b a+b Câu Cho hàm số f (x) = ax2 + b2 với a, b ∈ R và a 6= 0Mệnh đề nào sau đây đúng? A f (x) = a B f (x) = 2b C f (x) = 2ax D f (x) = 2ax + 2b Câu Cho hàm số y = Khi đó y (−1) x−1 A −1 B −2 C D 2x + x = ta được: Câu Tính đạo hàm hàm số f (x) = x+4 11 A f (2) = B f (2) = C f (2) = D f (2) = 36 12 Câu Tính đạo hàm hàm số y = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) điểm x0 = là: A y (0) = B y (0) = C y (0) = D y (0) = −6 √ Câu Tính đạo hàm hàm số y = x + x điểm x0 = là: A y (4) = B y (4) = C y (4) = D y (4) = 2 π Câu Đạo hàm hàm số y = sin x − cos x x0 = là: 2      π  π π π = = = −3 = −5 A y B y C y D y 2 2  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 159  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Câu 10 Cho f (x) = x5 + x3 − 2x − Tính f (1) + f (−1) + 4f (0)? Mệnh đề nào đây đúng? A B C D x+2 Câu 11 Cho hàm số y = Tính y (3) x−1 3 A B − C − D 4 √  3− 4−x   x 6= Câu 12 Cho hàm số f (x) = Tính f (0)   x = 1 A Không tồn B f (0) = C f (0) = D f (0) = 16 32 3x + Câu 13 Cho hàm số f (x) = √ Tính giá trị biểu thức f (0) x +4 A −3 B −2 C D Câu 14 Tính đạo hàm hàm số y = x3 + 2x + A y = 3x2 + 2x B y = 3x2 + C y = 3x2 + 2x + D y = x2 + Câu 15 Khẳng định nào sau đây sai A y = x ⇒ y = C y = x5 ⇒ y = 5x B y = x3 ⇒ y = 3x2 D y = x4 ⇒ y = 4x3 Câu 16 Hàm số y = x3 − 2x2 − 4x + 2018 có đạo hàm là A y = 3x2 − 4x + 2018 B y = 3x2 − 2x − C y = 3x2 − 4x − D y = x2 − 4x − Câu 17 Đạo hàm hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 (với m là tham số) A 3x2 − 6mx − + 3m2 B −x2 + 3mx − − 3m C −3x2 + 6mx + − m2 D −3x2 + 6mx + − 3m2 Câu 18 Đạo hàm hàm số y = x4 − 4x2 − là A y = −4x3 + 8x B y = 4x2 − 8x C y = 4x3 − 8x D y = −4x2 + 8x x4 5x3 √ Câu 19 Đạo hàm hàm số y = + − 2x + a2 (a là số) 1 A 2x3 + 5x2 − √ + 2a B 2x3 + 5x2 + √ 2x 2x √ 3 C 2x + 5x − √ D 2x + 5x − 2x Câu 20 Hàm số nào sau đây có đạo hàm √ ? 2x √ √ √ A f (x) = x B f (x) = x C f (x) = 2x D f (x) = − √ 2x √ Câu 21 Tính đạo hàm hàm số y = (x − 5) x 7√ 7√ 5 A y = x2 − √ B y = x − √ 2 x 2 x C y = 3x2 − √ D y = 3x2 − √ x x Câu 22 Hàm số nào sau đây có đạo hàm 3x2 − 2x?  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 160 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 160 161  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM A y = 3x3 − 2x2 + 2022 C y = 3x3 − 3x2 B y = x3 − x2 + 2022 D y = x2 (3x + 2) + 2022 Câu 23 Cho hàm số S(r) là diện tích hình tròn tính theo bán kính r(r > 0) Mệnh đề nào sau đây đúng? r A S (r) là chu vi đường tròn bán kính 2r B S (r) là chu vi đường tròn bán kính C S (r) là chu vi đường tròn bán kính 4r D S (r) là chu vi đường tròn bán kính r m Câu 24 Cho hàm số f (x) = x3 − (m − 2) x2 + x + Để đạo hàm f (x) bình phương nhị thức bậc thì giá trị m là A −1 B C −4 D Không có giá trị nào Câu 25 Cho f (u) = u3 và u(x) = x2 + 3x + Đạo hàm hàm số y = f [u(x)] là A y = 3(x2 + 3x + 1)2 · (2x + 3) B y = 3(x2 + 3x + 1)2 C y = (x2 + 3x + 1)2 · (2x + 3) D y = (x2 + 3x + 1)2 f (∆x + 1) − f (1) Câu 26 Cho f (x) = x2022 − 1011x2 + 2021x Giá trị lim ∆x→0 ∆x A 1011 B 2020 C 2021 D 2022 Câu 27 Đạo hàm hàm số y = (x2 − 2)(2x − 1) là A y = 4x B y = 3x2 − 6x + C y = 2x2 − 2x + D y = 6x2 − 2x − Câu 28 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đạo hàm 12x(2x2 + 1)2 ? A y = 2(x2 + 1)3 B y = (2x2 + 1)3 C y = x(2x2 + 1)3 D y = 2x(2x2 + 1)3 Câu 29 Đạo hàm y = x2 (2x + 1)(5x − 3) là biểu thức có dạng ax3 + bx2 + cx Tổng a + b + c A 24 B 31 C 34 D 51 Câu 30 Tìm đạo hàm hàm số y = (x3 − 2x2 )2021 A y = 2021(x3 − 2x2 )2021 B C y = 2021(x3 − 2x2 )(3x2 − 4x) D Câu 31 Đạo hàm hàm số y = (5x − x + 2) là 10x − A y = p B 3 (5x2 − x + 2)2 10x − C y = √ D 3 5x2 − x + √ y = 2021(x3 − 2x2 )2020 (3x2 − 4x) y = 2021(3x2 − 4x)2021 y0 = p 3 (5x2 − x + 2)2 10x − y0 = p (5x2 − x + 2)2 Câu 32 Đạo hàm hàm số y = (x2 − 4x + 5) là √ √ √ 3−1 A y = (2x − 4)(x2 − 4x + 5) 3−1 B y = 3(2x − 4)(x − 4x + 5) √ √ √ 3−1 0 3−1 C y = (2x − 4) D y = (2x − 4) (x − 4x + 5) ( x − 3x + x > Câu 33 Cho hàm số f (x) = Xét các mệnh đề sau: 2x + x ≤ 1) Hàm số liên ( tục x = 2x − x > 2) f (x) = x ≤ 3) Hàm số không có đạo hàm x = Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề sai?  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 161  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A B C D ( x x ≥ Câu 34 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề nào sau đây sai? 2x − x < A Hàm số liên B Hàm số có đạo hàm x0 = ( tục x0 = 2x x ≥ C f (x) = D f (1) = x < ( x + ax + b x ≥ Câu 35 Cho hàm số f (x) = Biết hàm số có đạo hàm điểm x = x3 − x2 − 8x + 10 x < Giá trị a2 + b2 A 17 B 18 C 20 D 25 Câu 36 Cho hàm số f (x) = x2 + |x − 1| Tính f (1) A f (1) = B f (1) = C f (1) = D Không tồn Câu 37 Xét các mệnh đề sau: i) Hàm số f (x) = |x| có f (0) = ii) Hàm số f (x) = |x2021 | có f (0) = iii) Đạo hàm hàm số f (x) = |x2 − 3x + 2| ba điểm phân biệt Những mệnh đề đúng là A i), ii) B ii), iii) C i), ii), iii) 2x + a Câu 38 Cho hàm số f (x) = (a, b ∈ R; b 6= 1) Giá trị f (1) x−b −a + 2b −a − 2b −a + 2b A B C 2 (b − 1) (b − 1) b−1 D ii) D −a − 2b b−1 √
b Câu 39 Cho hàm số f (x) = ax3 + có f (1) = và f (2) = −2 Khi đó f x 12 12 A − B − C D 5 x+2 Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = có đạo hàm dương trên x + 5m khoảng (−∞; −10)? A B C D Vô số x+3 Câu 41 Đạo hàm hàm số y = √ là: x +1 − 3x + 3x − 3x 2x2 − x − √ √ √ A B C D x2 + (x2 + 1) x2 + (x2 + 1) x2 + (x2 + 1) x2 + √ Câu 42 Cho hàm số f (x) = x2 + Tính giá trị biểu thức S = f (1) + 4f (1) A S = B S = C S = D S = √ Câu 43 Cho hàm số y = 2x2 + 5x − Đạo hàm y hàm số là 4x + 2x + A y = √ B y = √ 2x + 5x − 2x + 5x − 2x + 4x + C y = √ D y = √ 2x + 5x − 2x + 5x −  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 162 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 162 163  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Câu 44 Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trên khoảng J và v(x) 6= với ∀x ∈ J Mệnh đề nào sau đây sai? ï ò v (x) 0 A [u(x) + v(x)] = u (x) + v (x) B = v (x) v (x) ï ò0 u (x) u0 (x) · v(x) − v (x) · u(x) C [u(x) · v(x)]0 = u0 (x) · v(x) + v (x) · u(x) D = v (x) v (x) Câu 45 Tính đạo hàm hàm số y = x2 − x 1 1 0 A y = 2x − B y = x − C y = x + D y = 2x + x x x x 2x Câu 46 Tính đạo hàm hàm số y = x−1 2 −2 −2 0 A y = B y = C y = D y = 2 (x − 1) (x − 1) (x − 1) (x − 1) Câu 47 Hàm số y = có đạo hàm bằng: x +5 2x −1 −2x 0 A y = B y = C y = D y = (x + 5)2 (x2 + 5)2 (x2 + 5)2 (x2 + 5)2 Câu 48 Tính đạo hàm hàm số y = −7x2 + 2x + 23 (x2 + 2x + 3)2 7x2 − 2x − 23 C y = (x + 2x + 3) 2x2 − 3x + x2 + 2x + 7x2 − 2x − 23 (x2 + 2x + 3)2 8x3 + 3x2 + 14x + D y = (x2 + 2x + 3)2 A y = B y = 2x + a (a, b ∈ R; b 6= 1) Ta có f (1) bằng: x−b −a + 2b a − 2b a + 2b −a − 2b A B C D 2 (b − 1) (b − 1) (b − 1) (b − 1)2 √ 1−x Câu 50 Cho f (x) = − 4x + Tính f (x) x−3 2 2 A √ − B √ − − 4x x − − 4x (x − 3)2 −2 + + C √ D √ − 4x − 4x (x − 3)2 √ Câu 51 Đạo hàm hàm số y = (2x − 1) x2 + x là 8x2 + 4x − 8x2 + 4x + √ √ A y = B y = x2 + x x2 + x 4x + 6x2 + 2x − √ C y = √ D y = x +x x2 + x Câu 49 Cho hàm số f (x) = Câu 52 Đạo hàm hàm số y = (−x2 + 3x + 7)7 là A y = 7(−2x + 3)(−x2 + 3x + 7)6 B C y = (−2x + 3)(−x + 3x + 7) D Å ã3 Câu 53 Đạo hàm hàm số y = x2 − x ãÅ ã Å 2 x − A y = x + B x ãÅ xã Å 2 C y = x − x2 − D x x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 163 y = 7(−x2 + 3x + 7)6 y = 7(−2x + 3)(−x2 + 3x + 7)6 ã Å 2 y =3 x − xã Å Å ã 2 y =6 x− x − x x  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM −1 x2 và g(x) = Mệnh đề nào sau đây đúng? x2 + x2 + A f (x) = g (x) B f (x) = −g (x) C + f (x) = g (x) D f (x) = + g (x) Câu 55 Tìm đạo hàm hàm số y = (x − 1)(x + 3) −1 A y = B y = 2 (x + 3) (x − 1) (x + 3)2 (x − 1)2 2x + 2x + C y = − D y = (x + 2x − 3) (x + 2x − 3)2 Câu 54 Cho hai hàm số f (x) = x2 − x + ax2 + bx Tích a · b có dạng x−1 (x − 1)2 A −2 B −1 C D x Câu 57 Cho hàm số f (x) = và số dương α thỏa mãn f (α) = Tính f (α) x +4 1 A f (α) = B f (α) = C f (α) = D f (α) = Câu 58 Hàm số nào sau đây có đạo hàm là 2x + ? x x3 − 3(x2 + x) x3 − 5x + 2x2 + x − A y = B y = C y = D y = x x3 x x  n 3 Câu 59 Tính đạo hàm hàm số y = m + (m, n là các số) x  n 2  n 2 A y = − m + B y = m + x  x  x x  n n 6n 6n  0 C y = − m + D y = m + x x x x (2x + 1) (2 − 3x) Tính g (2) Câu 60 Cho hàm số g (x) = x−1 A g (2) = −75 B g (2) = 72 C g (2) = 152 D g (2) = 232 Câu 56 Đạo hàm hàm số y = Câu 61 Mệnh đề nào sau đây sai? A Hàm số y = xn (n ∈ N, n ≥ 2) có đạo hàm trên R và y = n · xn−1 B Hàm số y = x có đạo hàm trên R và y = C Hàm số y = c có đạo hàm trên R và y = √ D Hàm số y = x có đạo hàm trên khoảng (0; +∞) và y = √ x √ f (x + a) − f (x) Câu 62 Cho hàm số f (x) = x Kết lim (với x > 0) a→0 a 1 1 A √ B √ C √ D √ x x a a √ Câu 63 Tìm đạo hàm hàm số f (x) = x x 1√ 3√ A f (x) = x B f (x) = x 2√ √ √ x x 0 + C f (x) = D f (x) = x + x Câu 64 Tìm đạo hàm hàm số y = √ x x 1 A y = − √ B y = − √ C y = √ D y = √ 2x x 2x x 2x x 2x x  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 164 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 164 165  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM √ Câu 65 Cho hàm số f (x) = x với x > Giá trị f (8) 1 1 A − B − C D 12 12 √ √ Câu 66 Cho hàm số f (x) = k · x + x Với giá trị nào k thì f (1) = ? A k = −3 B k = C k = D k = √ Câu 67 Hàm số y = x2 có đạo hàm là 3 √ A y = √ B y = √ C y = √ D y = 3 23x 33x x2 x2 Câu 68 Tìm đạo hàm hàm số f (x) = −1 + √ x √ √ 1 1 A f (x) = − x x B f (x) = x x C f (x) = − √ D f (x) = − √ 3 3 3x x 3x x2 √ Câu 69 Cho hàm số f (u) = u và u(x) = 2x + Tính đạo hàm hàm y = f [u(x)] 1 −1 −1 A y = √ B y = √ C y = √ D y = √ 2x + 2x + 2x + 2x + √ Câu 70 Cho hàm số f (x) = x2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A f (0) = B f (0) = C f (0) = D Không tồn f (0) p √ Câu 71 Tìm đạo √ hàm hàm số y = x + x √ x+1 x+1 0 A y = p B y = p √ √ 2√ x2 + x x √x2 + x x x+2 x+1 C y = √ D y = p √ x +x x+ x √ ax + b Câu 72 Đạo hàm hàm số y = x2 − 2x + có dạng √ Tích a · b x − 2x + A −4 B −1 C D √ Câu 73 Cho hàm số f (x) = ax2 + 2x có đạo hàm x = 1, giá trị f (1) √ a−3 a+1 2a + A a + B √ C √ D √ a+2 a+2 a+2 √ Câu 74 Tìm đạo hàm hàm số y = x2 − 4x3 x − 6x2 x − 12x2 x − 6x2 0 √ √ √ A y = √ B y = C y = D y = x − 4x3 x2 − 4x3 x2 − 4x3 x2 − 4x3 p Câu 75 Tìm đạo hàm hàm số y = (2x + 1)2021 2021 2021 (2x + 1)2020 » A y = p B y = 2021 (2x + 1)2021 (2x + 1) (2x + 1)2021 2021 (2x + 1)2020 C y = » D y = » (2x + 1)2021 (2x + 1)2021 p √ Câu 76 Cho hàm số y = x + x2 + Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ √ √ A y x2 + = y B 2y x2 + = y C y x2 + = 2y D 2y x2 + = y x Câu 77 Đạo hàm hàm số y = √ (a là số) là a − x2 −a2 a2 −2a2 2a2 p p p A p B C D (a − x2 )3 (a2 − x2 )3 (a2 − x2 )3 (a2 − x2 )3  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 165  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Câu 78 Tìm đạo hàm hàm số y = √ a3 x √ (a2 − x2 ) a2 − x2 a3 x C y = a − x2 a3 (a là số) a2 − x a3 x √ 2(a2 − x2 ) a2 − x2 a3 x D y = 2(a2 − x2 ) A y = B y = √ ax + b Tổng 2a + b Câu 79 Đạo hàm hàm số y = x x − có dạng √ x−1 A −2 B C D √ mx + n Tổng m + n Câu 80 Đạo hàm hàm số y = (3x − 7) 2x + có dạng √ 2x + A B C 13 D 11 √ Câu 81 Tìm đạo hàm hàm số y = (x − 2) x2 + 2x2 − 2x − 2x2 + 2x + A y = √ B y = √ x +1 x +1 2x2 − 2x + 2x2 − 2x + C y = √ D y = √ x −1 x +1 √ Câu 82 Tìm đạo hàm hàm số y = (2x − 1) x2 + x √ √ 4x2 − 4x2 − A y = x2 + x − √ B y = x2 + x + √ x +x x +x √ √ 4x2 − 4x2 + 0 2 √ C y = x + x + D y = x + x + √ x2 + x x +x Å ã √ Câu 83 Tìm đạo hàm hàm số f (x) = x− √ x √ 1 A f (x) = x + − B f (x) = x − √ x x 1 0 C f (x) = x − D f (x) = − x x √ Câu 84 Tìm đạo hàm hàm số y = √ x+1− x−1 1 √ A y = − √ B y = √
2 √ x+1+2 x−1 x+1+ x−1 1 1 C y = √ + √ D y = √ + √ x+1 x−1 x+1 x−1 √ x Câu 85 Tìm đạo hàm hàm số y = − 2x 1 √ A y = √ B y = 2 x(1 − 2x) −4 x − 2x + 2x C y = √ D y = √ 2 x(1 − 2x) x(1 − 2x)2 3x + Câu 86 Cho hàm số f (x) = √ Giá trị f (0) x +4 A −3 B −2 C D 3 − 2x ax − b a √ Câu 87 Đạo hàm hàm số y = √ có dạng Tỉ số b 4x − (4x − 1) 4x − A −16 B −4 C −1 D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 166 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 166 167  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Å Câu 88 Tìm đạo hàm hàm số f (x) = √ −2 (1 − x) A f (x) = √ (1 + √ x) (1 − x) C f (x) = √ √ x (1 + x) √ ã2 1− x √ 1+ x √ −2 (1 − x) B f (x) = √ √ x (1 + √ x) (1 − x) √ D f (x) = 1+ x ã3 Å √ Câu 89 Tìm đạo hàm hàm số f (x) = x− √ x ã ã Å Å 1 1 0 A f (x) = √ x − − + B f (x) = √ x + + + xÅ x x ã xÅ x xã 1 1 C f (x) = √ −x + + − D f (x) = √ x2 − 3x + − x x x x x Câu 90 Cho hàm số y = x3 − 2x2 − 5x Tập nghiệm bất phương trình y ≥ là A [−1; 5] B ∅ C (−∞; −1) ∪ (5; +∞) D (−∞; −1] ∪ [5; +∞) Câu 91 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3x − với m là tham số Tìm tập hợp M tất các giá trị m để y = có hai nghiệm phân biệt: A M = (−3; 3) B M = (−∞; −3] ∪ [3; +∞) C M = R D M = (−∞; −3) ∪ (3; +∞) Câu 92 Cho hàm số y = x3 − 3x + 2017 Bất phương trình y < có tập nghiệm là: A S = (−1; 1) B S = (−∞; −1) ∪ (1; +∞) C (1; +∞) D (−∞; −1) Câu 93 Cho hàm số f (x) = x4 + 2x2 − Tìm x để f (x) > 0? A −1 < x < B x < C x > D x < −1 Câu 94 Cho hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m + 2)x2 − 6(m + 2)x + Tập giá trị m để y ≥ 0, ∀x ∈ R là √ A [3; +∞) B ∅ C [4 2; +∞) D [1; +∞) Câu 95 Cho hàm số y = (m + 2) x3 + (m + 2) x2 + 3x − 1, m là tham số Số các giá trị nguyên m để y ≥ 0, ∀x ∈ R là A B Có vô số giá trị nguyên m C D Câu 96 Cho hàm số f (x) = −x3 + 3mx2 − 12x + với m là tham số thực Số giá trị nguyên m để f (x) ≤ với ∀x ∈ R là A B C D √ Câu 97 Cho hàm số f (x) = √ Tổng S = f (1) + f (2) + · · · + f (2021) x + x + 1√ √ √ √ − 2021 −1 + 2022 − 2022 − 2022 √ A P = √ B P = C P = √ D P = √ 2021 2021 2022 2022 Câu 98 Cho hai hàm số f (x) = x + và g(x) = x2 − 2x + Đạo hàm hàm số y = g[f (x)] x = A B C D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 167  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM √ Câu 99 Cho hai hàm số f (x) = x2 − và g(x) = 3x − Đạo hàm hàm số y = f [g(x)] x = 14 18 15 A √ B √ C √ D √ 5 21 Câu 100 Cho hàm số y = f (x) có f (2) = Đặt g(x) = f (x2 + 1), giá trị g (1) A B C D Câu 101 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và thỏa f (−4x + 11) = x3 − 2x2 + 3, với x ∈ R Giá trị f (−1) 15 13 A − B − C −15 D 10 4 Câu 102 Cho hàm số f (x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) · · · · · (x + n) với n ∈ N∗ Tính f (0) n (n + 1) A f (0) = B f (0) = n C f (0) = n! D f (0) = Câu 103 Cho hàm số f (x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) · · · (x + 2021) Tính f (−2) A f (−2) = × 2019! B f (−2) = −2 × 2019! C f (−2) = × 2020! D f (−2) = −2 × 2020! x Giá trị f (0) Câu 104 Cho hàm số f (x) = (x − 1) (x − 2) · · · (x − 2021) 1 A − B C −2021! D 2021! 2021! 2021! f (x) − f (2) Câu 105 Cho hàm số f (x) = x + x2 + x3 + · · · + x2021 Tính L = lim x→2 x−2 A L = 2020 · 22021 + B L = 2021 · 22020 + C L = 2020 · 22021 − D L = 2021 · 22020 − Câu 106 Cho hàm số f (x) = (2021 + x)(2020 + 2x)(2019 + 3x) · · · ·(1 + 2021x) Tính f (1) 2021 2021 × 20222020 × 20222021 A 1010 × 20222020 B C 1011 × 20222020 D 2 Câu 107 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R Xét các hàm số g(x) = f (x) − f (2x) và h(x) = f (x) − f (4x) Biết g (1) = 21 và g (2) = 1000 Tính h0 (1) A −2021 B −2020 C 2020 D 2021 Câu 108 Cho hàm số y = f (x) xác định, có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn f (2x) = 4f (x) cos x − 2x với x ∈ R Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) giao điểm đồ thị với trục tung là A y = − x B y = −x C y = x D y = 2x − Câu 109 Cho hàm số y = f (x) xác định, có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn f (1 − x) + f (1 + 2x) = 4f (1 + 3x) − 7x − và f (x) > với x ∈ R Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm có hoành độ qua điểm nào sau đây? A (−1; 1) B (1; 3) C (2; 4) D (−2; 0) Câu 110 Cho hàm số y = f (x) xác định, có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn f (3−x) = x−f (3−2x) với x ∈ R Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm có hoành độ qua điểm nào sau đây? A (1; 0) B (−1; 0) C (4; 1) D (4; 3)  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 168 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 168 169  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM f (x) + có tiếp tuyến điểm có hoành độ g(x) + x = có cùng hệ số góc và khác Mệnh đề nào sau đây đúng? 11 11 11 11 A f (1) ≤ − B f (1) < − C f (1) > D f (1) ≥ 4 4 f (x) Câu 112 Đồ thị các hàm số y = f (x), y = g(x) và y = có tiếp tuyến điểm có hoành độ x = g(x) có hệ số góc là k1 , k2 , k3 thỏa mãn k1 = k2 = 2k3 6= Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 A f (2) ≤ B f (2) > C f (2) < D f (2) ≥ 2 2 Câu 111 Đồ thị các hàm số y = f (x), y = g(x) và y = BẢNG ĐÁP ÁN B 12 B 22 B 32 B 42 A 52 A 62 D 72 B 82 C 92 A 102 C 112 A A 13 C 23 D 33 C 43 A 53 A 63 B 73 C 83 D 93 C 103 A C 14 B 24 B 34 D 44 B 54 A 64 A 74 A 84 C 94 B 104 A C 15 C 25 A 35 C 45 D 55 C 65 C 75 D 85 D 95 A 105 A A 16 C 26 C 36 D 46 C 56 A 66 B 76 B 86 C 96 B 106 D A 17 D 27 D 37 D 47 D 57 B 67 D 77 B 87 C 97 C 107 D B 18 C 28 B 38 B 48 B 58 A 68 C 78 A 88 B 98 C 108 C D 19 C 29 B 39 B 49 D 59 C 69 A 79 B 89 A 99 A 109 D 10 A 20 C 30 B 40 B 50 D 60 B 70 D 80 A 90 D 100 D 110 B 11 B 21 B 31 B 41 A 51 A 61 D 71 B 81 D 91 D 101 A 111 A BÀI Ý NGHĨA HÌNH Ý NGHĨA HỌC CỦA HÌNHĐẠO HỌC HÀM CỦA ĐẠO HÀM A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Ý1.nghĩa Ý nghĩa của đạo đạo hàmhàm 1) Ý nghĩa hình học Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm m(x0 ; f (x0 )) có dạng: y = k(x − x0 ) + f (x0 ) với k = f (x0 ) là hệ số tiếp tuyến 2) Ý nghĩa vật lí Vận tốc tức thời v(t) = s0 (t), gia tốc tức thời a(t) = v (t) Cường độ dòng điện tức thời I(t) = Q0 (t)  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 169  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Phương Phương trìnhtrình tiếp tiếp tuyến tuyến của đường đường cong cong Cho đồ thị (C) : y = f (x) và M (x0 ; y0 ∈ (C)) Phương trình tiếp tuyến (C) M là ∆ : y = y (x0 ) · (x − x0 ) + y0 Trong đó, ✓ M (x0 ; y0 ) : tọa độ tiếp điểm (y0 = f (x0 )); ✓ y (x0 ) = k : hệ số góc phương trình tiếp tuyến B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến điểm Bài Viết phương trình tiếp tuyến ∆ a) M (1; −1) thuộc đồ thị (C) : y = 3x3 −5x2 +1; c) M (−2; 5) thuộc đồ thị (C) : y = 3x + ; x+1 e) M (0; 3) thuộc đồ thị (C) : y = x+1− b) M (1; 1) thuộc đồ thị (C) : y = 2x3 − 6x + 1; d) M (2; 4) thuộc đồ thị (C) : y = ; 2x − x2 − x + ; x−1 f) M (1; 0) thuộc đồ thị (C) : y = x4 − 2x2 + Bài Cho hàm số y = x3 − x2 + Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M có hoành độ x0 = −1 ĐS: ∆ : y = 5x + 2x − Bài Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M có hoành độ x+1 x0 = 2x − Bài Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có tung độ x−2 ĐS: ∆ : y = − x + Bài Với (C) : y = 2x + 3x − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ y0 = ĐS: ∆ : y = 12x − 2x + Bài Với (C) : y = Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung x−1 ĐS: ∆ : y = −3x − √ Bài Với (C) : y = 2x − 2x2 + Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với√trục hoành ĐS: ∆ : y = x − x+2 Bài Với (C) : y = Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) và đường thẳng x+1 d : y = ĐS: ∆ : y = −x + Bài Với (C) : y = x3 + 2x2 + 3x − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) và đường thẳng d : y + = ĐS: ∆1 : y = 3x − 1, ∆2 : y = −1  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 170 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 170 171  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Bài 10 Với (C) : d : y = x −  Chương ĐẠO HÀM − 2x Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) và đường thẳng x−1 ĐS: ∆1 : y = −x + 1, ∆2 : y = −x − Bài 11 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) và đường thẳng d : x + y + = ĐS: ∆ : y = 9x + 11 Bài 12 Cho hàm số y = x3 − x2 − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) và đường thẳng d : y = 4x + có hoành độ dương ĐS: y = 24x − 66 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến biết điểm qua Cách 1: Sử dụng điểu kiện tiếp xúc đồ thị Bước Phương trình tiếp tuyến qua A (xA ; yA ) có hệ số góc k có dạng d : y = k (x − xA ) + yA (∗) Bước Đường thẳng (d) là tiếp tuyến (C) và chì hệ sau có nghiệm: ( f (x) = k (x − xA ) + yA f (x) = k Bước Giải hệ trên, tìm x từ đó tìm k và vào phương trình (∗) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Cách 2: Sử dung PTTT tai điểm Bước Gọi M (x0 , f (x0 )) là tiếp điểm, tính hệ số góc tiếp tuyến k = f (x0 ) theo x0 Bước Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = f (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) (∗) Vì điểm A (xA ; yA ) ∈ (d) nên yA = f (x0 ) (xA − x0 ) + f (x0 ), giải phương trình này tìm x0 Bước Thay x0 tìm vào phương trình (∗) ta PTTT cần viết Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = x3 + 3x2 − 6x + 1, biết tiếp tuyến ∆ qua 33 điểm M (0; 1) ĐS: ∆1 : y = −6x + 1; ∆2 : y = − x + Bài 14 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = x − 3x − 9x + 1, biết tiếp tuyến ∆ qua điểm M (−1; 6) ĐS: ∆1 : y = 6, ∆2 : y = −9x − 2x + Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = , biết tiếp tuyến ∆ qua điểm x−1 59 M (−7; 5) ĐS: ∆1 : y = − x − , ∆2 : y = − x − 4 16 16 2x − Bài 16 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = , biết tiếp tuyến ∆ qua điểm x+1 13 M (−1; 4) ĐS: ∆ : y = x − 3  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 171  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Bài 17 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = x3 − 2x2 + x + 4, biết tiếp tuyến ∆ qua điểm M (−4; −24) ĐS: ∆1 : y = 8x + 8, ∆2 : y = 5x − 4, ∆3 : y = 133x + 508 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k Phương pháp giải ✓ Tính y = f (x) ✓ Giải phương trình k = f (x0 ) để tìm x0 ✓ Thay vào phương trình hàm số y = f (x) để tính y0 ✓ Thay vào phương trình y = y (x0 ) · (x − x0 ) + y0 x−1 Bài 18 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với (C), biết hệ số góc x+1 k = ĐS: y = 2x − và y = 2x + 2x − Bài 19 Với (C) : y = , viết phương trình tiếp tuyến ∆ với (C) biết hệ số góc k = ĐS: x+1 y = 3x − và y = 3x + 11 Bài 20 Cho hàm số y = x2 − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C), biết k = ĐS: Không x−1 tồn tiếp tuyến Bài 21 Với (C) : y = x3 − x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến ∆ với (C) biết hệ số góc k = ĐS: 59 y = x + và y = x + 27 √ Bài 22 Với (C) : y = 2x + 1, viết phương trình tiếp tuyến ∆ với (C), biết k = ĐS: x − 3y + = Bài 23 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = x −3x+2, biết ∆ song song với d : y = 3x−2 ĐS: y = 3x − Bài 24 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = x2 − x + 2, biết ∆ vuông góc với d : 5y = −x + 300 ĐS: y = 5x − 1 Bài 25 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = x3 + x2 − 2x − ; biết tiếp tuyến song 3 26 73 và y = 4x − song với d : 4x − y + = ĐS: y = 4x + 3 Bài 26 Cho hàm số y = x + 3x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C), biết ∆ vuông góc với đường thẳng d : x + 9y = ĐS: y = 9x + 25 và y = 9x − 2x + ; biết ∆ song song với đường thẳng Bài 27 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = − 2x d : 4x − y − = ĐS: y = 4x + và y = 4x − Bài 28 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 6x + 10 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x + 3y − 10 = ĐS: y = 3x + 11 Bài 29 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = 2x3 − 3x2 + 1, biết ∆ có hệ số góc nhỏ ĐS: y = − x +  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 172 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 172 173  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Bài 30 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) : y = −2x3 + 3x2 − 6x + 1, biết ∆ có hệ số góc lớn ĐS: y = − x + Bài 31 Cho hàm số y = x3 + 2mx2 − m2 x + Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có 11 hoành độ x0 = song song với đường thẳng d : y = −5x + Bài 32 Cho hàm số y = x3 − 3x2 có đồ thị (C) Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ Hỏi tham số m thuộc khoảng nào sau đây thì tiếp tuyến (C) M song song với đường thẳng d : y = (m2 − 4)x + 2m − Bài 33 Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m + có đồ thị (C) Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ Hỏi tham số m thuộc khoảng nào sau đây thì tiếp tuyến đồ thị (C) A vuông góc với đường thẳng d : x − 4y + = Bài 34 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + (2m − 1)x + 2m − có đồ thị (Cm ) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn đồ thị (Cm ) vuông góc với đường thẳng d : x − 2y − = Bài 35 Hỏi tham số m thuộc khoảng nào sau đây thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + (m − 2)x + 3m vuông góc với đường thẳng d : x − y + = Bài 36 Cho hàm số y = x3 + x2 − có đồ thị (C), phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(1; 1) cắt (C) điểm thứ hai là B Tính độ dài đoạn thẳng AB DẠNG Ý nghĩa vật lý đạo hàm Bài 37 Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi với phương trình s = 2t2 + t − (m) a) Tìm vận tốc tức thời vật thời điểm t = 2s b) Tìm vận tốc trung bình chất điểm khoảng thời gian từ tới t = 2s Bài 38 Một viên đạn bắn lên từ vị trí M cách mặt đất m, theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản không khí) a) Tìm thời điểm t0 mà đó vận tốc viên đạn Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? (lấy g = 9, 8m/s2 ) b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất? Bài 39 Một vật rơi tự có phương trình chuyển động s = gt , đó g = 9, 8m/s2 và t tính giây a) Tìm vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian từ t(t = s)đến t + ∆t với độ chính xác đến 0, 001, biết ∆t nhận các giá trị 0, 1; 0, 01; 0, 001 b) Tìm vận tốc thời điểm t = giây  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 173  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M (x0 ; y0 ) có hệ số góc k tính theo công thức nào sau đây? A k = f (x0 ) B k = f (y0 ) C k = f (x0 ) D k = f (y0 ) Câu Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 thì phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M (x0 ; f (x0 )) là A y = f (x)(x − x0 ) + f (x0 ) B y = f (x)(x − x0 ) − f (x0 ) C y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) D y = f (x0 )(x − x0 ) − f (x0 ) Câu Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (1; 7) qua điểm A(−2; −2) Hệ số góc tiếp tuyến này A −5 B C D Câu Hình bên là đồ thị hàm số y = f (x) trên khoảng (a; b) Biết các điểm A, B, C đồ thị hàm số có tiếp tuyến thể trên hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng? A f (x3 ) < f (x2 ) < f (x1 ) B f (x1 ) < f (x2 ) < f (x3 ) C f (x2 ) < f (x3 ) < f (x1 ) D f (x2 ) < f (x1 ) < f (x3 ) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Đường thẳng d là tiếp tuyến M đồ thị hàm số Giá trị f (2) A −1 B C D Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) hình vẽ bên, d1 và d2 là các tiếp tuyến (C) Dựa vào hình vẽ, hãy tính giá trị biểu thức P = 3f (0) + 2f (1) A P = −8 B P = −6 C P = D P = Câu  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 174 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 174 175  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Biết OA là tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) = x2 + bx + c điểm A và √ OA = Tổng b + c A −4 B C 23 D 32 Câu Cho hàm số y = −x2 − 4x + có đồ thị (P ) Nếu tiếp tuyến điểm M (P ) có hệ số góc thì hoành độ điểm M là A xM = −6 B xM = C xM = D xM = 12 2x + Câu Cho hàm số y = có đồ thị (C) Các phương trình tiếp tuyến (C) tạo với trục Ox x − ◦ góc " 45 là " " " y = −x − y = −x − y = −x − 11 y = −x − 11 A B C D y = −x + y = −x + 17 y = −x + y = −x + 17 Câu 10 Tìm tất các phương trình tiếp tuyến đường cong y = , biết hệ số góc tiếp tuyến x − A x + 4y = B x + 4y − = 0; x + 4y + = C x + 4y − = 0; x + 4y + = D x + 4y + 16 = 0; x + 4y − 16 = Câu 11 Cho hàm số y = −2x3 + 3x2 − 4x + 2021 có đồ thị (C) Trong số các tiếp tuyến (C), có tiếp tuyến có hệ số góc lớn Hệ số góc tiếp tuyến này A −5,5 B −3,5 C −2,5 D 7,5 Câu 12 Cho hàm số y = x3 − 4x2 + 9x − 11 có đồ thị (C) Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thịÅ(C) Hỏi đường thẳng d ã ã nào sau đây? Å ã ã Å qua điểm Å 2 5 A M −5; B N 5; − C P −2; D Q 2; − 3 3 Câu 13 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết cosin góc tạo tiếp tuyến và đường thẳng ∆ : 4x − 3y = A y = 2; y = B y = −2; y = C y = −2; y = −1 D y = 2; y = −2 Câu 14 Một vật chuyển động theo phương trình s(t) = − t2 + 20t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Vận tốc tức thời vật thời điểm t = giây A 12m/s B 22m/s C 40m/s D 152m/s x+2 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường Câu 15 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x−1 thẳng y = x − 2021 và tiếp điểm có hoành độ dương A y = −3x − B y = −3x + C y = −3x + D y = −3x + 10 Câu 16 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 + x, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 5y = A y = 3x − B y = 3x + C y = 5x − D y = 5x +  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 175  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Câu 17 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 −4x2 +5 điểm có hoành độ x = −1 A y = 4x − B y = 4x + C y = 4x + D y = 4x − 2x + Câu 18 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm có hoành độ 3, tương ứng là x−2 A y = 7x + 13 B y = −7x + 30 C y = 3x + D y = −x − Câu 19 Một vật rơi tự với phương trình chuyển động s(t) = gt2 với t (giây) là khoảng thời gian kể từ thời điểm vật bắt đầu rơi và s (mét) là quãng đường vật di chuyển thời gian đó Lấy g = 9,8m/s2 , vận tốc tức thời vật thời điểm t = giây A 9,8m/s B 19,6m/s C 39,2m/s D 78,4m/s Câu 20 Một vật chuyển động theo phương trình s(t) = t3 − 2t2 + 4t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển thời gian đó Sau bao lâu thì chuyển động dừng lại? A giây B giây C giây D giây Câu 21 Cho hàm số y = x3 + x2 − 2x + có đồ thị là (C) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm ã Å là: M 1; 2 A y = 3x − B y = −3x + C y = x − D y = −x + 3 Câu 22 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = 3x − 4x2 điểm có hoành độ x0 = là A y = B y = 3x C y = 3x − D y = −12x Câu 23 Cho hàm số y = −x3 + 3x − có đồ thị (C)Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y = −2x + B y = 2x + C y = 3x − D y = −3x − Câu 24 Một viên đạn bắn lên cao theo phương trình s(t) = 196t − 4,9t2 đó t > 0, t tính giây kể từ thời điểm viên đạn bắn lên cao và s là khoảng cách viên đạn so với mặt đất tính mét Tại thời điểm vận tốc viên đạn thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? A 196m B 980m C 1960m D 3920m Câu 25 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = + 3t2 − t3 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển thời gian đó Hỏi khoảng thời gian bao lâu kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất? A t = B t = C t = D t = Câu 26 Một vật chuyển động theo phương trình s = − t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển thời gian đó Chuyển động có vận tốc lớn A 18m/s B 24m/s C 64m/s D 108m/s Câu 27 Một vật chuyển động theo phương trình s = t − t + 9t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? 25 m/s A B 71 m/s C 89 m/s D 109 m/s  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 176 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 176 177  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Câu 28 Một chuyển động theo phương trình s(t) = − t3 + 3t2 + 20 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển thời gian đó Quãng đường vật lúc vật chuyển động tới thời điểm vật đạt vận tốc lớn A 20m B 28m C 32m D 36m Câu 29 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = x4 − 8x2 + điểm M có hoành độ -1 A y = 12x + 14 B y = 12x − 14 C y = 12x + 10 D y = −20x − 22 x−2 Câu 30 Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số trên điểm có hoành x+1 độ x0 = A y = 3x − B y = −3x − C y = 3x − D y = 3x + Câu 31 Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q = 3t2 + 6t + (t tính giây, Q tính Coulomb) Tính cường độ tức thời dòng điện dây dẫn thời điểm t = A A B A C 12 A D 14 A Câu 32 Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q = 10t2 + 6t + (t tính giây, Q tính Coulomb) Thời điểm cường độ tức thời dòng điện dây dẫn là 46A là A 2s B 4s C 5s D 7s −x + Câu 33 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm có hoành độ x = là x−1 A y = −2x + B y = −2x − C y = 2x − D y = 2x + Câu 34 Cho hàm số y = x3 − 2x + có đồ thị (C) Hệ số góc k tiếp tuyến với (C) điểm có hoàng độ bằng A k = −5 B k = 10 C k = 25 D k = −x + Câu 35 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = giao điểm đồ thị hàm số với trục tung có hệ số 3x − góc là A −1 B C − D − 4 x+1 Câu 36 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Gọi d là tiếp tuyến (C) điểm có tung độ x−1 Tìm hệ số góc k đường thẳng d 1 A − B −2 C D 2 Câu 37 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = x + x − điểm có hoành độ x0 = −1 A x + y − = B x − y − = C x + y + = D x − y − = Câu 38 Hệ số góc tiếp tuyến A(1; 0) đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + là A B −1 C −3 D x+1 và trục tung hệ trục tọa độ Oxy Hệ số góc Câu 39 Gọi I là giao điểm đồ thị hàm số y = x−1 tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên I là A −2 B C −1 D  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 177  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM 3x − Câu 40 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm có hoành độ x = là x−1 A y = 2x + B y = −2x + C y = 2x − D y = −2x − x−1 Câu 41 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (H): y = giao điểm (H) và trục hoành là: x+2 A y = x − B y = (x − 1) C y = 3x D y = 3(x − 1) Câu 42 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x − có đồ thị (C) Hệ số góc lớn tiếp tuyến với đồ thị (C) là A B C 12 D Câu 43 Cho hàm số y = x4 +2x2 +1 có đồ thị(C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểmM (1; 4) là A y = 8x − B y = x + C y = −8x + 12 D y = 8x + x+1 Câu 44 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm A(2; 3) có phương trình y = ax + b Tính x−1 a+b A B C D −1 x+1 Câu 45 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm có tung độ −2 là x−2 A y = 3x + B y = −3x − C y = −3x + D y = −3x + Câu 46 Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số f (x) = x3 + cho tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) M song song với đường thẳng d : y = 3x − 1? A B C D Câu 47 Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3x(C) Số các tiếp tuyến đồ thị (C) song song với đường thẳng y = 3x − 10 là A B C D Câu 48 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − có đồ thị (C) Số tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2017 là A B C D Câu 49 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 2x có đồ thị (C) Biết trên (C) tồn hai điểm M (x1 ; y1 ), N (x2 ; y2 ) mà tiếp tuyến (C) các điểm đó vuông góc với đường thẳng y = −x + 2021 Tổng x1 + x2 4 A − B −1 C D 3 3 Câu 50 Cho hàm số y = x − 3mx + (m + 1)x − m có đồ thị là (Cm ) Gọi A là giao điểm (Cm ) với Oy Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) A vuông góc với đường thẳng y = 2x − 3 1 A m = − B m = − C m = D m = 2 2 Câu 51 Tìm tất các phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + 3x − 20, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x + 2021 A y = 24x − 48; y = 24x − 60 B y = 24x − 48; y = 24x + 60 C y = 24x − 12; y = 24x − 18 D y = 24x + 12; y = 24x − 18 Câu 52 Gọi d : ax + by + 140 = là tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + 3x + 4, biết d song song với đường thẳng y = 3x + Tổng a + b A B C 54 D 108  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 178 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 178 179  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Câu 53 Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số y = − x3 + 3x2 − 5x + mà tiếp tuyến đồ thị 3 điểm đó song song với trục hoành? A B C D Vô số Câu 54 Cho hàm số y = x3 −3x2 +2021 có đồ thị (C) Biết trên (C) tồn hai điểm M (x1 ; y1 ), N (x2 ; y2 ) (x1 < x2 ) mà tiếp tuyến (C) các điểm đó song song với đường thẳng y = 24x+2022 Tổng 2x1 +x2 A −2 B C D Câu 55 Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 3x + có đồ thị (C) Có bao nhiêu tiếp tuyến đồ thị (C) song song với đường thẳng y = 3x + 2021? A B C D 2x + Câu 56 Tìm tất các phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = song song với đường thẳng x−1 y = −3x + 15 A y = −3x + 1; y = −3x − 11 B y = −3x − 1; y = −3x + 11 C y = −3x + 1; y = −3x − D y = −3x − 1; y = −3x + x+1 Câu 57 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Có bao nhiêu tiếp tuyến đồ thị (C) song song với x−1 đường thẳng y = −2x + 7? A B C D Vô số x−3 có đồ thị (C) Tìm tất các điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) Câu 58 Cho hàm số y = x+1 các điểm đó song song với đường thẳng y = 4x − A M (0; −3) B M (−2; 5) C M (0; −3), M (−2; 5) D Không tồn M x−1 có đồ thị (C) Gọi M (x1 ; y1 ), N (x2 ; y2 ) là hai điểm phân biệt thuộc (C) Câu 59 Cho hàm số y = x+2 Biết tiếp tuyến (C) M và N song song với đường thẳng 3x − y + 15 = Tổng y1 + y2 A −4 B C D Câu 60 Cho hàm số y = x4 − 2m2 x2 + 2m + có đồ thị (Cm ) và đường d : x = Tìm tất các giá trị tham số m để tiếp tuyến (Cm ) giao điểm (Cm ) và d song song với đường thẳng ∆ : y = −12x + A m = B m = C m = ±2 D m = x+1 Câu 61 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Biết trên (C) tồn hai điểm M (x1 ; y1 ), N (x2 ; y2 ) mà 2x − tiếp tuyến (C) các điểm đó song song với Tổng x1 + x2 A −1 B C D Câu 62 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 2x + M (1; 2) là A y = −x + B y = x + C y = 2x + D y = 3x − Câu 63 Cho hàm số y = x3 + 4x2 + 4x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm A(−3; −2) đồ thị (C) cắt đồ thị điểm thứ hai có tọa độ là? A (−3; −2) B (−2; 1) C (−1; 0) D (2; 33)  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 179  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Câu 64 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = sin2 x điểm có hoành độ Tổng a + 2b π A − C − B Câu 65 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = a − b π D π là y = ax + b π − 2 2x − điểm có hoành độ x = có dạng y = ax + b Hiệu x+1 C D 2 Câu 66 Cho hàm số y = x4 − 4x2 + có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ cắt trục tung điểm có tung độ bao nhiêu? A −4 B −3 C D A −1 B Câu 67 Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1)x + có đồ thị (C) Biết m = m0 thì tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hoành độ −1 qua điểm A(1; 3) Mệnh đề nào sau đây đúng? A −2 < m0 < −1 B −1 < m0 < C < m0 < D < m0 < Câu 68 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3 điểm có tung độ A y = B y = −12x + 16 C y = 12x − 24 D y = 12x − 16 Câu 69 Biết k1 , k2 là hệ số góc hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 điểm có tung độ Tổng k1 + k2 A −1 B C D x+3 Câu 70 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Gọi đường thẳng d : y = ax + b là tiếp tuyến (C) x+2 giao điểm (C) với trục hoành Tổng a + b 10 A −4 B − C D 49 49 2x − Câu 71 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm với x+1 trục tung là A y = 4x − B y = 4x + C y = 4x − D y = 4x + Câu 72 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Tìm tất các phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm với đường thẳng y = −2 A y = −2 B y = −2; y = −9x + C y = 2; y = 9x + D y = −2; y = 9x + Câu 73 Tìm tất các phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua điểm M (−1; −9) A y = 24x + 15 B y = 24x + 33 21 21 15 15 C y = x + D y = 24x + 15; y = x − 4 4 2x + có đồ thị (C) Gọi d là tiếp tuyến (C), biết d qua điểm M (4; −1) Câu 74 Cho hàm số y = x−1 Gọi A là tiếp điểm d và (C) Tọa độ điểm A là A A(2; 5), A(0; −1), B A(2; 1) ã Å 5), A(−2; , A(−2; 1) C A(0; −1), A(−2; 1) D A −1;  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 180 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 180 181  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Câu 75 Có hai tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 3x − qua điểm M (9; 0) Tích hệ số góc hai tiếp x−1 tuyến đó 3 9 A − B C − D 8 64 64 Câu 76 Cho hàm số f (x) = −x3 + 3x2 − có đồ thị (C) và điểm M (m; 2) Tìm tập hợp S là tập tất các giá trị thực m đểÅcó baãtiếp tuyến (C) qua M Å ã A S = (−∞; −1) ∪ ; ∪ (2; +∞) B S = (−∞; −2) ∪ ; ∪ (2; +∞) Å3 ã Å3 ã 5 C S = (−∞; −1) ∪ ; ∪ (2; +∞) D S = (−∞; −1) ∪ ; ∪ (3; +∞) 3 Câu 77 Tiếp tuyến paraboly = − x2 điểm M (1; 3) tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông Diện tích tam giác vuông đó 25 25 A B C D 2 4 Câu 78 Trên đồ thị hàm số y = có điểm M cho tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ x−1 tạo thành tam giác có diện tích Å ã Tọa độ điểm MÅlà ã Å ã A (2; 1) B 4; C − ; − D ; −4 Câu 79 Tìm tất các giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + m điểm có hoành độ tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích A m = B m = 2, m = −4 C m = 1, m = −5 D m = 2x Câu 80 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Có bao nhiêu điểm thuộc (C) mà tiếp tuyến (C) x−2 điểm đó cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho tam giác OAB có trọng tâm thuộc đường thẳng y = x? A B C D x+2 có đồ thị (C) Đường thẳng d : y = ax + b là tiếp tuyến (C) cắt trục Câu 81 Cho hàm số y = 2x + tọa độ Ox, Oy A, B cho tam giác OAB là tam giác vuông cân O Tổng a + b A −3 B −2 C −1 D x+1 Câu 82 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Có bao nhiêu điểm thuộc (C) mà tiếp tuyến (C) x−2 điểm đó cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B thỏa 3OA = OB? A B C D BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 51 61 71 81 C C C C B B C A A 12 22 32 42 52 62 72 82 C B B A C C B D B 13 23 33 43 53 63 73 C D C B A B D D 14 24 34 44 54 64 74 B A C D B B C B 15 25 35 45 55 65 75  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An A D A D C C C D 16 26 36 46 56 66 76 181 B C B B D B D C 17 27 37 47 57 67 77 C C C C A A C D 18 28 38 48 58 68 78 A B B C A B D D 19 29 39 49 59 69 79 A C A A D C B B 10 20 30 40 50 60 70 80 C B A B A C A B  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI ĐẠO4HÀM CỦA ĐẠOHÀM HÀMSỐ CỦA LƯỢNG HÀM GIÁC SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NẮM Hàm sơ cấp Hàm hợp (sin x)0 = cos x (sin u)0 = u0 · cos u (cos x)0 = − sin x (cos u)0 = −u0 · sin u (tan x)0 = + tan2 x = (cot x)0 = − (1 + cot2 x) = − B u0 cos2 u u0 (cot x)0 = −u0 (1 + cot2 u0 ) = − sin u cos2 x (tan u)0 = (1 + tan2 u) · u0 = sin2 x BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = sin x − cos x; b) y = sin x − cos x + tan x − 4; √ √ d) y = x − cos x + sin x − x; c) y = sin x + cos x − tan x; √ e) y = tan x + cot x − cos x − 2; f) y = sin x − cos 3x + tan x + π Bài Tính các đạo hàm hàm số sau: a) y = tan 2x − cot 2x; b) y = sin 4x − cos 5x;  π d) y = sin 2x − cot x − c) y = cos (3x7 + 2) + cot 2x; Bài Tính các đạo hàm hàm số sau: a) y = cos2 5x; b) y = (3 − sin x)3 ; c) y = cos2 2x − sin 2x; d) y = sin2 3x + cos x; e) y = cos3 2x − tan x; f) y = sin3 (2x + 1); g) y = cos4 (3x − 1); h) y = cos2 (sin 2x); i) y = sin (cos2 x · tan2 x); j) y = sin2 4x − cos3 5x; k) y = (2 sin x − cos x)4 ; l) y = (2 + sin2 2x)3 Bài Tính đạo hàm các hàm số sau:  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 182 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 182 183  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Å ã a) y = (sin x + cos x) cos x − sin x ; Å ãÅ ã c) y = tan x + cot x sin x − ; b) y = cot x (4 cos x − √ x) ; d) y = (2 cos x + 1)(3 sin x + 1) Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: x a) y = ; − cos x 2x − c) y = f (x) = ; sin x + cos x sin x + cos x e) y = ; sin x − cos x 5x2 + g) y = ; + sin x cos x i) y = √ + sin2 x + sin x ; + cos x sin x x d) y = + ; x sin x sin x − cos x f) y = ; sin x + cos x Å ã + cos 2x h) y = ; − cos 2x b) y = Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: √ a) y = tan 2x − cot 4x + sin x; ã2 Å sin x c) y = ; + cos 2x √ e) y = sin x + 2x; √ g) y = 2x3 + sin 5x; √ i) y = cot3 x2 − x + 1; d) y f) y h) y j) y √ cos 3x − ; sin 2x √ = x4 + sin 2x + 2x2 + x √ = cos + x2 ; √ = cos4 2x + 1; p = cot2 (x2 + 1) b) y = DẠNG Chứng minh, giải phương trình và bất phương trình     cos x 0 π π Bài Cho hàm số f (x) = Tính f (0), f (π), f ,f + sin x π    cos2 x π Bài Cho hàm số f (x) = Chứng minh f − 3f = + sin2 x 4 Bài Cho hàm số y = x sin x Chứng minh: a) xy + x(2 cos x − y) = 2(y − sin x) b) y − x cos x = cos x tan x Bài 10 Cho hàm số y = tan x Chứng minh y − y − = Bài 11 Cho hàm số y = cot 2x Chứng minh y + 2y + = x sin x + cos x cos3 x Bài 12 Cho hàm số y = Chứng minh rằng: y + y tan x = − tan x sin x
Bài 13 Cho hàm số y = x sin x Chứng minh rằng: xy − y − sin x + x (2 cos x − y) = Bài 14 Chứng minh 3f (x) − 2g (x) = với f (x) = sin4 x + cos4 x, g(x) = sin6 x + cos6 x Bài 15 Cho hàm số f (x) = sin 2x − cos x Giải phương trình f (x) = Bài 16 Cho hàm số y = cos2 x + sin x Giải phương trình y = Bài 17 Cho hàm y = sin 2x + cos 2x + 10x Giải phương trình y =  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 183  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 83 Hàm số nào sau đây có đạo hàm trên R? A y = tan x B y = x10 C y = x D y = √ x Câu 84 Hàm số nào sau đây không có đạo hàm x = 1? p A y = |x − 1| B y = (x − 1)2 + √ C y = sin(x − 1) D y = − cos x Câu 85 Hàm số nào sau đây có đạo hàm 0? A y = cos x B y = x C y = cos 10 D y = √ x Câu 86 Cho hàm số f (x) = sin 3x − bx Tính f (0) A f (0) = B f (0) = −b C f (0) = − b D f (0) = − b  tan(x + h) − tan x  π Câu 87 Kết lim x 6= + kπ là h→0 h 1 A sin x B tan x C − D cos x cos2 x Câu 88 Cho hàm số y = cot 2x Mệnh đề nào sau đây đúng? A y + 2y = −2 B y + 2y = −1 C y + 2y = D y + 2y = √ Câu 89 Tìm đạo hàm hàm số y = x2 tan x + x 2x A y = 2x tan x + √ B y = + √ 2 x cos x x x x2 √ √ C y = 2x tan x + + D y = 2x tan x + + cos2 x x cos2 x x π  f (x) − f Câu 90 Cho hàm số f (x) = sin 2x − 2x cos 2x Giá trị lim π π x− x→ 4 π A B C D π 4 b Câu 91 Đạo hàm y = cos 2x − tan 3x có dạng a sin 2x + Hiệu a − b cos2 3x A −5 B −1 C D ( f (x) = u(x) Câu 92 Cho hàm số f (x) = cos 2x Xét hàm số u, v thỏa Mệnh đề nào sau đây đúng? v (x) = f (x)   u(x) = sin 2x u(x) = −2 sin 2x A B v(x) = sin 2x v(x) = cos 2x· 2   u(x) = sin 2x u(x) = −2 sin 2x C D v(x) = cos 2x· v(x) = sin 2x 2 Câu 93 Cho hàm số u(x) có đạo hàm x là u0 Khi đó đạo hàm hàm số y = sin2 u x là A y = sin 2u B y = u0 sin 2u C y = sin 2u D y = 2u0 sin 2u Câu 94 Tính đạo hàm hàm số y = sin 2x − cos x A y = cos x + sin x B y = cos 2x + sin x  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 184 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 184 185  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM C y = cos 2x + sin x D y = cos x − sin x Câu 95 Đạo hàm hàm số y = sin 2x + cos 3x + là A cos 2x − 21 sin 3x + B cos 2x − 21 sin 3x C cos 2x − sin 3x D cos 2x + sin 3x Câu 96 Tính đạo hàm hàm số f (x) = sin x + cos x + là: A f (x) = sin x − cos x B f (x) = cos x + sin x + C f (x) = cos x − sin x D f (x) = − sin x − cos x Câu 97 Đạo hàm hàm số y = cos 2x + là A y = − sin 2x B y = sin 2x C y = −2 sin 2x + Câu 98 Đạo hàm hàm số y = cos(2x + 1) là: A y = sin(2x + 1) C y = − sin(2x + 1) B y = −2 sin(2x + 1) D y = sin(2x + 1) Câu 99 Đạo hàm hàm số f (x) = sin2 x là: A f (x) = sin x B f (x) = cos x C f (x) = − sin(2x) D f (x) = sin(2x) C y = cot x D y = − cot x Câu 100 Tìm đạo hàm hàm số y = tan x 1 A y = − B y = cos x cos2 x Câu 101 Tính đạo hàm hàm số y = x sin x A y = sin x − x cos x C y = sin x + x cos x √ Câu 102 Đạo hàm hàm số y = cos x2 + là √ x sin x2 + A y = − √ x +1 √ x C y = √ sin x2 + x +1 D y = −2 sin 2x B y = x sin x − cos x D y = x sin x + cos x √ x sin x2 + +1 √ x D y = − √ sin x2 + x +1 B y = √ x2 Câu 103 Đạo hàm hàm số y = tan x − cot x là 4 A y = B y = C y = D y = 2 cos 2x sin 2x cos 2x sin2 2x Câu 104 Biết hàm số y = sin 2x − cos 5x có đạo hàm là y = a sin 5x + b cos 2x Giá trị a − b A −30 B 10 C −1 D −9 √ Câu 105 Tính đạo hàm hàm số y = cos2x sin 2x − sin 2x sin 2x − sin 2x A y = √ B y = √ C y = √ D y = √ cos2x cos2x cos2x cos2x  π √ √ Câu 106 Với x ∈ 0; , hàm số y = sin x − cos x có đạo hàm là? cos x sin x 1 A y = √ +√ B y = √ +√ cos x cos x sin x sin x cos x sin x 1 C y = √ −√ D y = √ −√ cos x cos x sin x sin x Câu 107 Đạo hàm hàm số y = sin( 3π − 4x) là: A −4 cos 4x B cos 4x C sin 4x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 185 D −4 sin 4x  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 108 Tính đạo hàm hàm số y = sin 2x − cos x + A y = −2 cos 2x + sin x B y = cos 2x + sin x C y = cos 2x − sin x D y = − cos 2x − sin x √ Câu 109 Tính đạo hàm hàm số y = cos2x sin 2x − sin 2x sin 2x − sin 2x A y = √ B y = √ C y = √ D y = √ cos2x cos2x cos2x cos2x Câu 110 Biết hàm số y = sin 2x − cos 5x có đạo hàm là y = a sin 5x + b cos 2x Giá trị a − b bằng: A −30 B 10 C −1 D −9 Câu 111 Cho hàm sốf (x) = acosx + sin x − 3x + Tìm a để phương trình f (x) = có nghiệm √ √ A |a| < B |a| ≥ C |a| > D |a| < Câu 112 Đạo hàm hàm số y = cos 3x là A y = sin 3x B y = −3 sin 3x C y = sin 3x Câu 113 Cho f (x) = sin3 ax, a > Tính f (π) A f (π) = sin2 (aπ) · cos(aπ) C f (π) = 3a sin2 (aπ) B f (π) = D f (π) = 3a · sin2 (aπ) · cos(aπ) D y = − sin 3x Câu 114 Cho hàm số f (x) = sin 2x Tính f (x) A f (x) = sin 2x B f (x) = cos 2x C f (x) = cos 2x D f (x) = − cos 2x cos 4x + sin 4x B y = 12 cos 4x + sin 4x C y = −12 cos 4x + sin 4x D y = cos 4x − sin 4x 2 Câu 116 Tính đạo hàm hàm số f (x) = sin 2x − cos 3x A f (x) = sin 4x − sin 3x B f (x) = sin 4x + sin 3x C f (x) = sin 4x + sin 3x D f (x) = sin 2x + sin 3x Câu 115 Tính đạo hàm hàm số y = A y = 12 cos 4x − sin 4x Câu 117 Cho f (x) = sin2 x − cos2 x − x Khi đó f (x) A − sin 2x B −1 + sin 2x C −1 + sin x · cos x D + sin 2x π  cos x Câu 118 Tính f biết f (x) = + sin x 1 A −2 B C D − 2 π  Câu 119 Cho hàm số y = cos 3x · sin 2x Tính y 1 A B − C −1 D 2 √ √ 2x x+1 √ Câu 120 Đạo hàm hàm số y = tan (ax2 + b x + 1) là y = √ với a, x · cos (ax2 + b x + 1) b ∈ Z Khi đó a + b A −7 B C D Câu 121 Tìm đạo hàm hàm số y = cos x2 A y = cos x B y = 4x sin x2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường C y = −4x sin x2 186 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý” D y = −4 sin x cos x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 186 187  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM π  Câu 122 Tìm đạo hàm hàm số y = − sin − x2   π π A y = −x cos −x B y = x cos − x2 3     π π 0 C y = − x cos −x D y = x cos − x2 3 √ Câu 123 Cho hàm số f (x) = sin 3x − cos 3x Giải phương trình f (x) = ta π π kπ A x = − + kπ(k ∈ Z) B x = − + (k ∈ Z) 18 π kπ π kπ C x = − + (k ∈ Z) D x = + (k ∈ Z) 9 Câu 124 Cho hàm số y = (m + 1) sin x + m cos x − (m + 2)x + Tìm tất các giá trị tham số m để phương " trình y = có nghiệm m ≤ −1 A B m ≥ C −1 ≤ m ≤ D m ≤ −2 m≥3 Câu 125 Hàm số y = (1 + sin x)(1 + cos x) có đạo hàm là A y = − sin x cos x B y = cos x + sin x + C y = cos x − sin x + cos 2x D y = cos x + sin x + cos 2x Câu 126 Tìm đạo hàm hàm số f (x) = điểm x = cos (πx) √ Å ã Å ã Å ã Å ã √ √ 4π 1 0 0 = = 2π = 4π = A f B f C f D f 3 3 Câu 127 Tìm đạo hàm hàm số y = − tan(1 − 2x) −4 −4 0 A y = B y = C y = D y = 2 2 sin (1 − 2x) sin (1 − 2x) cos (1 − 2x) cos (1 − 2x) Câu 128 Đạo hàm hàm số f (x) = sin A B √ √ x + cos √ Câu 129 Tìm đạo hàm hàm số y = cos √ A y = sin √1 − 2x sin − 2x C y = √ − 2x Câu 130 Tìm đạo hàm hàm số y = cot x √ A y = − √ x + · sin2 x2 + 1 C y = − √ sin x + √ − 2x √ x điểm x = π2 16 C π √ 2 D π √ B y = − sin √ − 2x sin − 2x D y = − √ − 2x x2 + x √ + · sin2 x2 + 1 √ D y = sin x2 + π Câu 131 Đạo hàm hàm số f (x) = sin(π sin x) điểm x = √ π π π A − B C D 2 Câu 132 Tìm đạo hàm hàm số y = cos(tan x) 1 A y = sin(tan x) · B y = − sin(tan x) · cos x cos2 x 0 C y = sin(tan x) D y = − sin(tan x)  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An B y = √ 187 x2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 133 Tìm đạo hàm hàm số y = cot(sin 5x) A y = −[1 + cot2 (sin 5x)] cos 5x C y = [1 + cot2 (sin 5x)] cos 5x B y = −5[1 + cot2 (sin 5x)] cos 5x D y = 5[1 + cot2 (sin 5x)] cos 5x Câu 134 Cho hàm số y = cos2 x Mệnh đề nào sau đây đúng? A y = sin2 x B y = − sin2 x C y = sin 2x D y = − sin 2x Câu 135 Cho hàm số f (x) = cos2 (4x − 1) Giá trị lớn hàm số f (x) A B C D 16 Câu 136 Cho hàm số f (x) = cos2 x + sin x Phương trình f (x) = có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; π)? A B C D π Câu 137 Đạo hàm hàm số f (x) = cos2 x − sin2 x điểm x = A B −2 C D Câu 138 Tìm đạo hàm hàm số y = sin3 (1 − x) A y = cos3 (1 − x) B y = sin2 (1 − x) C y = −3 sin2 (1 − x) · cos(1 − x) D y = sin2 (1 − x) · cos(1 − x) Câu 139 Cho hàm số f (x) = sin3 ax Tính f (π) A f (π) = 3a sin2 (aπ) B f (π) = C f (π) = cos(aπ) · sin2 (aπ) D f (π) = 3a · cos(aπ) · sin2 (aπ) √ Câu 140 Nếu k(x) = sin3 x thì k (x) là biểu thức nào sau đây? √ √ √ √ A sin2 x · cos x B sin2 x · cos x √ √ √ √ C √ · sin2 x · cos x D √ · sin2 x · cos x x x Câu 141 Cho hai hàm số f (x) = sin4 x + cos4 x và g(x) = cos 4xChọn mệnh đề đúng 0 A f (x) − g (x) = B f (x) = g(x) + C 2f (x) − 3g (x) = D 3f (x) + 2g (x) = −1 Câu 142 Cho hàm số y = (2 + sin2 2x)3 Mệnh đề nào sau đây đúng? A y = 3(2 + sin2 2x)2 B y = cos 2x(2 + sin2 2x)2 C y = sin 4x(2 + sin2 2x)2 D y = 12 sin 4x(2 + sin2 2x)2 Câu 143 Cho hàm số y = (x2 − cos x)10 Tính y (0) A y (0) = B y (0) = C y (0) = −10 · 39 D y (0) = 10 · 39 Câu 144 Đạo hàm hàm số y = cos2 (sin3 x) là biểu thức nào sau đây? A y = −3 sin(sin3 x) B y = −6 sin(sin3 x) C y = −3 sin(2 sin3 x) · sin2 x · cos x D y = −6 sin(2 sin3 x) · sin2 x · cos x Câu 145 Cho hàm số y = cos2 x + m sin x Giá trị m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x = π vuông góc với đường thẳng y = −x là A −1 B C D Không tồn √ Câu 146 Đạo hàm hàm số y = + cos2 2x là − sin 4x − sin 4x A y = √ B y = √ 2 + cos 2x + cos2 2x  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 188 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 188 189  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM cos 2x − sin 2x √ C y = √ D y = + cos2 2x + cos2 2x √ Câu 147 Hàm số y = cot 2x có đạo hàm là + cot2 2x + cot2 2x + cot2 2x + cot2 2x A y = √ B y = √ C y = − √ D y = − √ cot 2x cot 2x cot 2x cot 2x √ π Câu 148 Đạo hàm hàm số f (x) = cos 2x điểm x = A −1 B C D Không xác định π Câu 149 Cho hàm số f (x) = a sin x + b cos x + có đạo hàm và đạo hàm − Tổng a + b √ A B C D Câu 150 Cho hàm số f (x) = 2x2 − x + Tính đạo hàm hàm số g(x) = f (sin x) A g (x) = cos 2x − sin x B g (x) = cos 2x + sin x C g (x) = sin 2x − cos x D g (x) = sin 2x + cos x Câu 151 Cho hàm số y = f (x) − cos2 x với f (x) là hàm số liên tục trên R Biểu thức nào sau đây xác định hàm số f (x) thỏa mãn y (x) = với x ∈ R? 1 A f (x) = x + cos 2x B f (x) = x − cos 2x 2 C f (x) = x − sin 2x D f (x) = x + sin 2x Câu 152 Cho hàm số f (x) có đạo hàm với x ∈ R thỏa f (3x) = cos x · f (x) + 4x Tính f (0) π A f (0) = B f (0) = C f (0) = D f (0) = BẢNG ĐÁP ÁN 83 B 93 B 103 B 113 B 123 B 133 B 143 A 84 A 94 C 104 B 114 C 124 A 134 D 144 C 85 C 95 B 105 B 115 A 125 C 135 C 145 A 86 D 96 C 106 A 116 B 126 C 136 C 146 B 87 D 97 D 107 D 117 B 127 A 137 B 147 D 88 A 98 B 108 B 118 B 128 A 138 C 148 B 89 C 99 D 109 B 119 D 129 C 139 D 149 B 90 D 100 B 110 B 120 C 130 A 140 C 150 C 91 C 101 C 111 B 121 C 131 B 141 A 151 A 92 D 102 A 112 B 122 B 132 B 142 C 152 B BÀI A ĐẠO HÀM CẤP ĐẠOCAO HÀM CẤP CAO KIẾN THỨC CẦN NẮM Đạo Đạo hàmhàm cấp cấp 2 Cho hàm số y = f (x), có đạo hàm y = f (x) Đạo hàm đạo hàm y gọi là đạo hàm cấp Kí hiệu: y 0 = [y ]0 f 0 = [f ]0  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 189  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐẠO HÀM CẤP CAO Đạo Đạo hàmhàm cấp cấp cao cao Cho hàm số y = f (x) Đạo hàm cấp kí hiệu là: y = y (1) = f (x) Đạo hàm cấp là đạo hàm đạo hàm cấp 1, kí hiệu là y 0 = y (2) = f 0 (x) Đạo hàm cấp là đạo hàm đạo hàm cấp 2, kí hiệu là y 000 = y (3) = f 000 (x) Đạo hàm cấp n là đạo hàm  0 đạo hàm cấp n − 1, kí hiệu là y (n) = y (n−1) Phương Phương pháppháp tìm tìm đạo đạo hàmhàm cấpcấp caocao ✓ Tính đạo hàm: y , y 00 , y 000 , … để tìm quy luật ✓ Dự đoán đạo hàm cấp n: y (n) ✓ Chứng minh điều dự đoán phương pháp quy nạp toán học B BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tính đạo hàm cấp các hàm số sau a) y = cos (x + 1) b) y = sin2 x c) y = (1 − x)4 d) y = (x2 + 1) e) y = − 2x x+3 f) y = −x2 + 2x x−1 b) y = √ 2x − x2 Tính y 000 =? Bài Cho các hàm số sau: a) y = cos 2x Tính y 000 =? c) y = 1−x Tính y 00 =? 1+x d) y = x6 − 4x3 + √ x − Tính y (4) =? Bài Tính đạo hàm cấp cao: a) y = cos 2x b) y = x c) y = x2 + 3x + Bài Cho hàm số y = f (x) = 2x2 + 16 cos x − cos 2x a) Tính f (x) và f 0 (x) b) Tính f (0) và f 0 (π) c) Giải phương trình f 0 (x) = Bài Cho hàm số y = sin2 2x Tính giá trị biểu thức y (3) + y 00 + 16y + 16y − Bài Chứng minh hàm số: x−3 thỏa 2(y )2 = (y − 1).y 00 a) y = x+4 √ b) y = 2x − x2 thỏa y y 00 + = c) y = x sin x thỏaxy − 2(y − sin x) + x.y 00 =  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 190 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 190 191  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường C  Chương ĐẠO HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Hàm số nào đây có đạo hàm cấp hai là 6x? A y = x2 B y = 3x2 C y = x3 D y = 2x3 Câu Cho hàm số y = x3 − 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 , biết x0 thỏa mãn y 00 (x0 ) = A y = −3x − B y = 3x + C y = −3x − D y = −3x + Câu Cho hàm số f (x) = (x + 10)6 Tính f 00 (2) A f 00 (2) = 622080 B f 00 (2) = 1492992 C f 00 (2) = 124416 D f 00 (2) = 103680 Câu Đạo hàm cấp hàm số f (x) = −1 2x − 8 A B − C − D 27 27 27 Câu Cho hàm số y = Mệnh đề nào sau đây đúng? x A y 00 y − = B y 00 y + = C y 00 y − 2(y )2 = D y 00 y + 2(y )2 = x−3 Câu Cho hàm số y = Mệnh đề nào sau đây đúng? x+4 A 2(y )2 = (y + 1)y 00 B 2(y )2 = (y − 1)y 00 C 2(y )2 = −(y − 1)y 00 D 2(y )2 = (−y − 1)y 00 √ Câu Cho hàm số y = x2 + Mệnh đề nào sau đây đúng? A y 00 + xy = y B y 00 + xy = 2y C y y 00 + xy = y D y y 00 + xy = 2y √ Câu Cho hàm số y = 2x − x2 Thu gọn biểu thức M = y · y 00 + A M = −1 B M = C M = D M = √ Câu Tìm đạo hàm cấp hai hàm số y = x + x2 x(3 + 2x2 ) 2x (3 + 2x2 ) 00 00 √ A y = B y = √
3 (1 + x2 ) + x2 + x2 x (3 − 2x2 ) x (1 + x2 ) C y 00 = √ D y 00 = √
2
3 + x2 + x2 √ Câu 10 Cho hàm số y = + 3x − x2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A (y )2 + y · y 0 = −1 B (y )2 + y · y 0 = C (y )2 − y · y 0 = −1 D (y )2 − y · y 0 = p √ Câu 11 Cho hàm số y = x + + x2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A 4(x2 + 1)y 00 − 4xy − y = B 4(x2 + 1)y 00 + 4xy + y = C 4(x2 + 1)y 00 − 4xy + y = D 4(x2 + 1)y 00 + 4xy − y = Câu 12 Cho hàm số f (x) = cos2x Tính f 0 (π) A f 0 (π) = −4 B f 0 (π) = −1 C f 0 (π) = Câu 13 Cho hàm số y = sin 2x Mệnh đề nào sau đây đúng? A y + (y )2 = B y = y · tan 2x C 4y − y 00 =  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 191 D f 0 (π) = D 4y + y 00 =  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐẠO HÀM CẤP CAO Câu 14 Tìm đạo hàm cấp hai hàm số y = tan x −1 sin x sin x A y 00 = B y 00 = C y 00 = − D y 00 = cos x cos x cos x cos3 x Câu 15 Cho hàm số f (x) = A sin(ωx + φ) Thu gọn biểu thức M = f 00 (x) + ω f (x) A M = −1 B M = C M = D M = cos2 (ωx + 4) Câu 16 Cho hàm số y = cos2 3x Mệnh đề nào sau đây đúng? A y 00 = −18(2y + 1) B y 00 = 18(2y + 1) C y 00 = 18(1 − 2y) D y 00 = 18(2y − 1) Câu 17 Cho hai hàm số f (x) = sin2 x và g(x) = cos2 x Mệnh đề nào sau đây đúng? A f (x) = g (x) B [f (x)]2 + [g (x)]2 = C f 00 (x) = −g 00 (x) D f 00 (x) = g 00 (x) Câu 18 Cho hàm số y = tan2 x Mệnh đề nào sau đây đúng? A y 00 = 6y + 8y − B y 00 = 6y − 8y + C y 00 = 6y + 8y + D y 00 = 6y − 8y −  π Câu 19 Cho hàm số f (x) = sin3 x + x2 Tính f 00 −  π  π  π  π 00 00 00 00 A f − = −1 B f − = C f − = D f − = 2 2 cos x Câu 20 Hàm số nào đây có đạo hàm cấp hai là − ? sin x 1 A y = − B y = C y = − cot x D y = cot x sin x sin x Câu 21 Đạo hàm cấp hai hàm số y = x cos 2x là A y 00 = −4 sin 2x + 4x · cos 2x B y 00 = −4 sin 2x − 4x · cos 2x C y 00 = sin 2x + 4x · cos 2x D y 00 = sin 2x − 4x · cos 2x Câu 22 Đạo hàm cấp hai hàm số y = x2 sin x là A y 00 = (2 − x2 ) sin x − 4x · cos x B y 00 = (2 + x2 ) sin x − 4x · cos x C y 00 = (2 − x2 ) sin x + 4x · cos x D y 00 = (2 + x2 ) sin x + 4x · cos x Câu 23 Cho hàm số y = x sin x Thu gọn biểu thức M = xy − 2(y − sin x) + xy 00 A M = B M = C M = D M = sin x Câu 24 Cho hàm số y = x · tan x Thu gọn biểu thức M = x2 y 00 − 2(x2 + y )(1 + y) A M = −1 B M = C M = D M = x2 − tan2 x sin3 x + cos3 x Câu 25 Cho hàm số y = Mệnh đề nào sau đây đúng? − sin x · cos x 00 00 A y − y = B y + y = C y 00 − y = D y 00 + y = Câu 26 Hàm số y = (x2 + 1)3 có đạo hàm cấp ba là A y 000 = −12(x2 + 1) B y 000 = 12(x2 + 1) C y 000 = 24(5x2 + 3) D y 000 = 24x(5x2 + 3) Câu 27 Cho hàm số y = −3x4 + 4x3 + 5x2 − 2x + Hỏi đạo hàm ít đến cấp nào thì ta kết triệt tiêu (bằng 0)? A B C D Câu 28 Cho hàm số y = (ax + b)5 với a, b là tham số Mệnh đề nào sau đây đúng? A y (10) (1) = B y (10) (1) = 5a C y (10) (1) = 10a D y (10) (1) = 10a + b  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 192 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 192 193  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Câu 29 Cho hàm số f (x) = A f 000 (1) = −3  Chương ĐẠO HÀM √ 2x − Tính f 000 (1) B f 000 (1) = C f 000 (1) = Câu 30 Cho hàm số f (x) = Tính f (4) (x) x 4 (4) A f (x) = B f (4) (x) = − x x Câu 31 Đạo hàm cấp n hàm số y = là x−1 n n (−1) · n! (−1) A B (x − 1)n (x − 1)n+1 C f (4) (x) = C 4! x5 n! (x − 1)n+1 x2 + x + Câu 32 Đạo hàm cấp ba hàm số y = là x+1 −4 −6 000 000 A y 000 = B y = C y = (x + 1)3 (x + 1)3 (x + 1)4 Câu 33 Đạo hàm cấp 2021 hàm số f (x) = 2021! (1 − x)2022 2021!x2021 C f (2021) (x) = − (1 − x)2022 D f (4) (x) = − D 4! x5 (−1)n · n! (x − 1)n+1 D y 000 = −12 (x + 1)4 x2 là 1−x 2021! (1 − x)2022 2021!x2021 D f (2021) (x) = (1 − x)2022 A f (2021) (x) = − Câu 34 Đạo hàm cấp n hàm số y = D f 000 (1) = B f (2021) (x) = x2 (−1)n · n! (−1)n · n! − (x + 2)n+1 (x + 3)n+1 (−1)n · n! (−1)n · n! = + (x + 2)n+1 (x + 3)n+1 x là + 5x + (−1)n · n! (−1)n · n! + (x + 2)n+1 (x + 3)n+1 (−1)n · n! (−1)n · n! = −3 − (x + 2)n+1 (x + 3)n+1 A y (n) = B y (n) = −3 C y (n) D y (n) Câu 35 Đạo hàm  cấpπba  hàm số y = sin x là 000 A y = sin x + B y 000 = sin(x + π) Å ã Å ã 3π 5π 000 000 C y = sin x + D y = sin x + 2 π  Câu 36 Cho hàm số y = sin2 2x Tính y (4) √ √ A −64 B −64 C 64 D 64 Câu 37 Đạo hàm cấp bốn hàm số y = sin4 x là A −8 cos 2x + 32 cos 4x C cos 2x − 12 cos 2x B cos 2x + 16 cos 4x D cos 2x − 32 cos 4x Câu 38 Cho hàm số y = sin2 x Tính y (2021) (π) A y (2021) (π) = C y (2021) (π) = 22020 B y (2021) (π) = −22020 D y (2021) (π) = 22021 Câu 39 Đạo hàm cấp bốn hàm số y = sin 5x · sin 3x là A y (4) = −2048 cos 8x + cos 2x B y (4) = 2048 cos 8x − cos 2x C y (4) = 1024 cos 16x + cos 4x D y (4) = 2048 cos 8x − cos 4x Câu 40 Đạo hàm cấp bốn hàm số y = sin 3x · cos x − sin 2x là A y (4) = −128 sin 4x − 8sin2x B y (4) = −128 sin 4x + 8sin2x C y (4) = 128 sin 4x − 8sin2x D y (4) = 128 sin 4x + sin 2x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 193  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  ĐẠO HÀM CẤP CAO Câu 41 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t3 − 3t2 − 9t + 2021 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Gia tốc tức thời thời điểm t = giây chất điểm A 6m/s2 B 9m/s2 C 12m/s2 D 15m/s2   π Câu 42 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s (t) = sin 3t + với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Gia tốc tức thời thời điểm động là  t củaπchuyển   π A a (t) = sin 3t + B a (t) = −54cos 3t +  4   π π C a (t) = 54 sin 3t + D a (t) = −54 sin 3t + 4 Câu 43 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = sin 2t + cos 2t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Gia tốc π tức thời thời điểm t = giây chuyển động A −16m/s2 B −12m/s2 C 0m/s2 D 12m/s2 Câu 44 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t3 − 3t2 − t + với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Mệnh đề nào sau đây đúng? A Gia tốc tức thời chuyển động t = B Gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t = là a = 18m/s2 C Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = là v = 18m/s2 D Vận tốc tức thời chuyển động t = Câu 45 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t3 + 4t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Gia tốc tức thời chuyển động thời điểm mà vận tốc tức thời chuyển động 11m/s là A 12m/s2 B 14m/s2 C 16m/s2 D 18m/s2 Câu 46 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = 2021 + t2 − 4t3 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Vận tốc tức thời chất điểm thời điểm gia tốc tức thời −1m/s2 là 1 1 A m/s2 B m/s2 C m/s2 D m/s2 16 2 Câu 47 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = 15 + 20t − 8t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Vận tốc tức thời chất điểm thời điểm gia tốc tức thời là 10 50 m/s2 m/s2 A B 15m/s2 C D 20m/s2 3 Câu 48 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t4 −t3 +6t2 +10t với t (giây) là khoảng 12 thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Hỏi 20 giây đầu tiên thời điểm gia tốc tức thời đạt giá trị nhỏ thì vận tốc tức thời chất điểm bao nhiêu? A B 17m/s C 18m/s D 28m/s  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 194 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 194 195  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM Câu 49 Một vật chuyển động theo phương trình s = 6t2 − t3 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật thời gian đó Hỏi thời điểm vận tốc tức thời vật đạt giá trị lớn thì gia tốc tức thời vật bao nhiêu? A −12m/s2 B 0m/s2 C 6m/s2 D 12m/s2 Câu 50 Một vật chuyển động với vận tốc v(m/s) phụ thuộc thời gian t(s) có đồ thị là phần đường Parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung hình bên Gia tốc tức thời vật thời điểm t = (s) A − 141 m/s2 16 B − m/s2 C m/s2 D 141 m/s2 16 BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 C D B D C 12 22 32 42 D A C C D 13 23 33 43 A D A B B 14 24 34 44 B D B A B 15 25 35 45 C B B C B 16 26 36 46 B C D C A 17 27 37 47 C C D A C 18 28 38 48 B C A A D 19 29 39 49 A D C A B 10 20 30 40 50 A C C C B BÀI A VI PHÂN VI PHÂN KIẾN THỨC CẦN NẮM Vi1.phân Vi phân của hàmhàm số số 1tạiđiểm điểm Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm điểm x0 Khi đó ta có: ∆y ∆x→0 ∆x f (x0 ) = lim ∆y ≈ f (x0 ) → ∆y = f (x0 ) ∆x ∆x Tích số f (x0 ) ∆x gọi là vi phân hàm số y = f (x) điểm x0 và kí hiệu là df (x0 ), tức là: Nếu |∆x| khá nhỏ thì df (x0 ) = f (x0 ) ∆x Ứng Ứng dụngdụng của vi phân vi phân (tính (tính gầngần đúng) đúng) f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + f (x0 ) ∆x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 195  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  VI PHÂN Vi3.phân Vi phân của hàmhàm số số Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f (x) Vi phân hàm số kí hiệu: df (x0 ) = f (x0 ) dx ⇒ dy = y dx B BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tính vi phân các hàm số sau: a) y = x3 + √ x − x = ; b) y = Bài Tìm vi phân các hàm f (x) = (x2 + 1) √ − tan x π x = + cot x 2x + điểm x0 = và ∆x = 0, 03 Bài Tính vi phân các hàm số sau: √ x−1 a) y = ; x+2 √ c) y = x sin x + cos x ; b) y = tan3 3x ; d) y = Bài Tìm vi phân các hàm số sau? x − tan x − cot x  π b) y = sin 2x − tan x + a) y = sin x + cos x; Bài Tính vi phân √ − 2x + x Tìm vi phân hàm số x = x √ π b) Cho hàm số y = tan x + sin x − cos x Tìm vi phân hàm số x = a) Cho hàm số y = C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Biểu thức nào sau đây là vi phân hàm số y = (x − 1)2 ? A dy = 2(x − 1) B dy = 2(x − 1)2 dx C dy = 2(x − 1) dx D dy = (x − 1)2 dx t Câu Tìm vi phân hàm số y = √ − t2 −1 A dy = √ B dy = √
3 dt
3 dt − t2 − t2 −4 C dy = √ D dy = √
3 dt
3 dt − t2 − t2 √ x (a, b là số) Câu Tìm vi phân hàm số y = a+b 1 √ dx √ dx A dy = B dy = 2(a + b) x (a + b) x √ x dx C dy = D dy = √ dx a+b x(a + b)2  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 196 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 196 197  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường Câu Vi phân hàm số y = A dy = (x Å 2− x + 6) dx ã x x C dy = − + dx  Chương ĐẠO HÀM x3 x2 − + 5x + là B dy = x2 − x + D dy = (x2 − x + 5) dx Câu Tính vi phân hàm số f (x) = 3x2 − x điểm x = ứng với ∆x = 0,1 A df (2) = B df (2) = 10 C df (2) = 1,1 D df (2) = −1,1 Câu Vi phân hàm số y = x sin x + cos x là A dy = (2 sin x + x cos x) dx B dy = x cos x dx C dy = x cos x D dy = (sin x + cos x) dx √ Câu Tìm vi phân hàm số y = + x2 x 2x + x2 √ √ √ dx dx dx dx A dy = √ B dy = C dy = D dy = + x2 + x2 + x2 + x2 x+3 Câu Tính vi phân hàm số y = điểm x = −3 − 2x 1 A dy = dx B dy = dx C dy = − dx D dy = −7 dx 7 √ Câu Cho hàm số f (x) = + cos2 2x Mệnh đề nào sau đây là đúng? − sin 4x − sin 4x dx dx A df (x) = √ B df (x) = √ 2 + cos 2x + cos2 2x cos 2x − sin 2x C df (x) = √ dx D df (x) = √ dx + cos 2x + cos2 2x Câu 10 Tính vi phân hàm số y = (x − 1)2 A dy = 2(x − 1) dx B dy = 2(x − 1) C dy = (x − 1) dx Câu 11 Tính vi phân hàm số y = x3 9x2 + 12x − A dy = (3x2 18x + 12) dx B C dy = −(3x2 18x + 12) dx D 2x + Câu 12 Tính vi phân hàm số y = 2x − A dy = − dx B (2x − 1)2 dx C dy = − D (2x − 1)2 Câu 13 Tính vi phân hàm số y = x2 − 2x − dx (x − 1)2 2x + C dy = − dx (x − 1)2 x2 + x + x−1 A − cot x Câu 15 Vi phân hàm số y = sin2 (3x) là A dy = sin(6x) dx B dy = cos2 x dx  Đức Hòa - Long An dx (2x − 1)2 dx dy = − (2x − 1)2 dy = B dy = d(sin x) là d(cos x) B cot x  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093 dy = (−3x2 18x + 12) dx dy = (−3x2 + 18x − 12) dx 2x + dx (x − 1)2 x2 − 2x − D dy = dx (x − 1)2 A dy = − Câu 14 Kết D dy = (x − 1)2 dx 197 C − tan x D tan x C dy = sin(3x) dx D dy = sin(6x) dx  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  VI PHÂN Câu 16 Tìm vi phân hàm số y = cos(πx) sin(πx) dx cos(πx) cos(πx) dx C dy = 2π · sin(πx) sin(πx) dx cos2 (πx) cos(πx) dx D dy = 2π · sin2 (πx) A dy = 2π · B dy = 2π · Câu 17 Tìm vi phân hàm số y = sin(sin x) A dy = cos(sin x) · sin x · dx B dy = sin(cos x) · dx C dy = cos(sin x) · cos x · dx D dy = cos(sin x) · dx √ Câu 18 Tìm vi phân hàm Å số y = f (x) = ã tan x + cot x 1 · A dy = √ + dx tan x + cot x Å cos2 x sin2 x ã 1 B dy = √ · − dx 2 tan x + cot x Å cos x sin2 x ã 1 · − dx C dy = √ 2 tan x + cot x Å sin x cos2 xã 1 D dy = √ · − dx cos x sin2 x tan x + cot x ( x − x x ≥ Câu 19 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề nào sau đây đúng? 2x x < x2 − x A df (0) = − dx B f (0+ ) = lim+ = lim+ (x − 1) = −1 x→0 x→0 x + − C f (0 ) = lim+ (x − x) = D f (0 ) = lim− 2x = x→0 x→0 ( sin x x ≥ Câu 20 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề nào sau đây sai? x x < A f (0+ ) = B f (0− ) = C df (0) = dx D Hàm số không có vi phân x = √ √ Câu 21 Cho hàm số y = −2 − x Rút gọn biểu thức K = − x dy − dx √ A K = B K = √ C K = − x D K = − x 1−x √ Câu 22 Cho hàm số y = x + x2 + Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ A + x2 · dy − y · dx = B + x2 · dy + y · dx = √ √ C + x2 · dx − y · dy = D + x2 · dx + y · dy = x Câu 23 Cho hàm số y = cot Mệnh đề nào sau đây đúng? A dx + (1 + y ) dy = B dx − (1 + y ) dy = C dy + (1 + y ) dx = D dy − (1 + y ) dx = Câu 24 Cho hàm số y = + Mệnh đề nào sau đây đúng? x A x · dy − (y − 1) dx = B x · dy + (y − 1) dx = C x · dy + (y + 1) dx = D x · dy − (y + 1) dx = Câu 25 Cho hàm số y = 2x2 − x Mệnh đề nào sau đây đúng? A (x − 2y) dx − x · dy = B (x − 2y) dx + x · dy = C (x + 2y) dx − x · dy = D (x + 2y) dx + x · dy =  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường 198 “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An 198 199  https://www.facebook.com/qcuongp  https://pqcuongmath.blogspot.com  Toán Thầy Cường  Chương ĐẠO HÀM x+3 Câu 26 Vi phân hàm số f (x) = điểm x = −3 là − 2x 1 A df (−3) = − dx B df (−3) = dx C df (−3) = −7 dx D df (−3) = dx 7 π Câu 27 Vi phân hàm số f (x) = sin 2x điểm x = là 3  π  π A df B df = −5 dx = dx 3 3 π π C df D df = −10 cos 2x · dx = 10 cos 2x · dx 3 Câu 28 Tính vi phân hàm số f (x) = 3x2 − x điểm x = ứng với ∆x = 0,1 A df (2) = −0,4 B df (2) = 0,05 C df (2) = 1,1 D df (2) = 10 √ ( x + 1) Câu 29 Tính vi phân hàm số f (x) = x = ứng với ∆x = 0,002 x 1 1 A df (4) = B df (4) = C df (4) = D df (4) = 400 1600 8000 π π Câu 30 Tính vi phân hàm số f (x) = tan x điểm x = ứng với ∆x = 180 π  π π  π 3π  π  π π A df = B df = C df = D df = 24 45 BẢNG ĐÁP ÁN C 11 A 21 A D 12 A 22 A A 13 D 23 C B 14 A 24 B C 15 D 25 C  Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093  Đức Hòa - Long An B 16 B 26 B 199 B 17 C 27 A A 18 B 28 C A 19 B 29 D 10 A 20 D 30 D  Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường “Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”