Một số kết quả về mặt f cực tiểu trong các không gian tích TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - - - - - - ∗∗∗ - - - - - - NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 62 46 01 05 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm Tp HCM Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU TS NGUYỄN HÀ THANH Phản biện 1: PGS.TS Kiều Phương Chi Phản biện 2: PGS.TS Lê Anh Vũ Phản biện 3: TS Nguyễn Duy Bình Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại: vào ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Đại học Sư phạm TP.HCM - Thư viện Khoa học Tổng hợp TP.HCM i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu n BR Gn Ý nghĩa K H, H Hf , Hf n, N n−1 SR CR L(C) Lf (C) ds, dA dsf , dAf dV dVf r(x) Area(M ) Areaf (M ) Vol(M ) Volf (M ) Tp Σ δij Hình cầu tâm O bán kính R Rn Khơng gian Gauss n-chiều Độ cong Gauss Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình với mật độ Vectơ pháp đơn vị Siêu cầu tâm O bán kính R Rn Siêu trụ tâm O bán kính R Rn+1 Độ dài Riemann đường cong C Độ dài đường cong C theo mật độ e−f Phần tử diện tích Riemann Phần tử diện tích theo mật độ e−f Phần tử thể tích Riemann Phần tử thể tích theo mật độ e−f r(x) = x21 + · · · + x2n , với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn Diện tích M f -diện tích M Thể tích M f -thể tích M Khơng gian tiếp xúc Σ p Ký hiệu Kronecker ∆f ; ∇f Laplace; Gradient hàm f , tức ∇f = ∇X Y α(t) ∂Ω |x| p i Đạo hàm hiệp biến trường vectơ Y dọc trường X Đường cong α Biên miền Ω Chuẩn vectơ x Trang thứ i tài liệu trích dẫn Kết thúc chứng minh df dxi ii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình Tên hình Trang 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.4.4 2.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 Mặt cực tiểu Catenoid Mặt cực tiểu Helicoid Mặt cực tiểu Scherk Đường cong Grim Reaper Mật độ không gian Gauss tập trung gốc tọa độ Mặt trụ khơng gian tích cong Mặt hyperbolic 1-tầng khơng gian tích cong Mặt Catenoid khơng gian tích cong Vectơ kiểu khơng gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng R31 Một phần slice đồ thị biên Slice P, đồ thị toàn phần Σ Gn R+ ×w Gn Đồ thị tồn phần Σ Gn G+ ×a Gn Slice P đồ thị tồn phần Σ G+ ×a Gn Đồ thị tồn phần f -cực đại Σ Gn × R1 12 13 14 20 22 38 38 38 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.3.9 42 47 49 51 52 57 MỞ ĐẦU Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann (M, g) với hàm mật độ trơn, dương e−f dùng làm trọng số cho thể tích chu vi Thể tích với mật độ miền E diện tích với mật độ siêu mặt Σ xác định công thức e−f dV Volf (E) = e−f dA, Areaf (Σ) = E Σ dV dA tương ứng phần tử thể tích phần tử diện tích Riemann Về mặt ký hiệu, người ta thường dùng ba (M, g, e−f dV ) để đa tạp Riemann (M, g) với với mật độ e−f , đặc biệt M khơng gian Ơclit Rn với tích vơ hướng tắc mật độ e−f ta ký hiệu đơn giản (Rn , e−f ) Trên đa tạp với mật độ (M, g, e−f dV ), M Gromov (xem [26]) mở rộng khái niệm độ cong trung bình H thành khái niệm độ cong trung bình với mật độ siêu mặt, ký hiệu Hf , xác định Hf := H + ∇f, N , n−1 N trường vectơ pháp đơn vị siêu mặt Định nghĩa kiểm tra thỏa mãn biến phân thứ thứ hai phiếm hàm diện tích với mật độ (xem [40]) Các khái niệm thể tích, chu vi, độ cong, độ cong trung bình, mặt cực tiểu, với mật độ cịn gọi cách đơn giản f -thể tích, f -chu vi, f -độ cong, f -độ cong trung bình, f -mặt cực tiểu, Đa tạp với mật độ liên quan đến Vật lý nghiên cứu mặt vùng mặt có phân bố mật độ nội khác điểm khác nhau, để xác định khối lượng cần tính tích phân theo mật độ Ngồi ra, đa tạp với mật độ liên quan đến lĩnh vực Kinh tế mặt phẳng xác suất Gauss, mặt phẳng R2 −r2 /2 với mật độ 2π e , dùng thường xuyên xác suất thống kê Do đó, việc tìm hiểu Hình học vi phân với mật độ khơng có ý nghĩa mặt lý thuyết mà ý nghĩa thực tiễn Đa tạp với mật độ xuất lâu Toán học tên gọi khác “mm-không gian” “đa tạp với trọng” (weighted manifolds) Sau này, giáo sư Morgan gọi tên lớp đa tạp “đa tạp với mật độ” (manifolds with density) (xem [40]) Hiện nay, đa tạp với mật độ lĩnh vực quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Tốn học, phải kể đến giáo sư Morgan nhóm cộng ông Họ chứng minh nghiệm tốn đẳng chu khơng gian với mật độ tồn biên phải có f -độ cong trung bình (xem [14]) Một siêu mặt Σ (M, g, e−f dV ) (trong (M, g)) gọi f -cực tiểu hay f -cực đại (cực tiểu hay cực đại ) f -độ cong trung bình (độ cong trung bình) Σ thỏa mãn Hf (Σ) = (H(Σ) = 0) Nếu Hf (Σ) = λ số Σ gọi λ-siêu mặt Vấn đề nghiên cứu lý thuyết, khảo sát tính chất mặt f -cực tiểu, mặt có f -độ cong trung bình đa tạp với mật độ nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Các tác giả C Ivan, H Neil, H Stephanie, Ă Vojislav and Y Xu số mặt có f -độ cong trung bình khơng gian Gauss, khảo sát số chất hình học mặt có f -độ cong trung bình (xem [14]) J M Espinar H Rosenberg khảo sát tính chất hình học mặt đầy đủ có f -độ cong trung bình (xem [13]) D T Hieu N M Hoang phân loại mặt kẻ trụ f -cực tiểu không gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [31]) Mặt khác, tính chất f -cực tiểu diện tích siêu mặt f -cực tiểu quan tâm Chẳng hạn, D T Hieu áp dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh số đa tạp f -cực tiểu diện tích (xem [29]) Mặt f -cực tiểu khơng gian Gauss shrinker, nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình, đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu kỳ dị dịng độ cong trung bình (xem [12]) Đây vấn đề quan tâm nghiên cứu nay: dịng độ cong trung bình, nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình, mối liên hệ chúng với siêu mặt f -cực tiểu không gian với mật độ (xem [24], [47], [48]) Những năm gần đây, mặt cực tiểu khơng gian dạng tích nghiên cứu Harold Rosenberg cộng ông (xem [13], [44]) Nó đề tài thu hút quan tâm nhiều nhà Tốn học Chú ý khơng gian Gauss không gian với mật độ dạng tích Gn = G1 × × G1 Theo hướng mở rộng định lý cổ điển Hình học vi phân lên khơng gian đa tạp với mật độ, nhiều kết công bố như: định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [15]), định lý Liouville hàm điều hòa bị chặn không gian với mật độ (xem [36]), Tuy nhiên, số định lý cổ điển khơng cịn gia thêm mật độ Chẳng hạn, định lý bốn đỉnh khơng cịn mặt phẳng với mật độ cầu (xem [33]) Theo đó, việc mở rộng kết định lý Bernstein cổ điển, định lý halfspace cổ điển để thu định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace với mở rộng lên mặt đối chiều cao, lên đa tạp tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz, ) hay lên đa tạp với mật độ, vấn đề thời nghiên cứu nhiều tác giả (xem [1], [24], [28], [32], [44], [47], [48]) Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu giải vấn đề trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án “Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích” Ở đây, luận án đề cập đến hai định lý quan trọng, liên quan đến kết luận án: định lý Bernstein định lý halfspace Định lý Bernstein cổ điển mở rộng Định lý Bernstein cổ điển khẳng định đồ thị cực tiểu toàn phần toàn R2 phẳng R3 (xem [43]) Kết chứng minh Bernstein vào năm 1915- 1917 Nhiều nhà Toán học cố gắng tổng quát định lý Bernstein cho trường hợp số chiều đối chiều cao Năm 1965, De Giorgi chứng minh định lý Bernstein đồ thị cực tiểu toàn phần toàn R3 R4 (xem [17]) Năm 1966, Almgren tiếp tục chứng minh định lý R5 (xem [2]) Năm 1968, Simons mở rộng định lý lên R8 Ông chứng minh đồ thị cực tiểu toàn phần n-chiều phải siêu phẳng với n ≤ (xem [46]) Năm 1969, Bombieri, De Giorgi, Giusti đưa phản ví dụ trường hợp mặt với số chiều cao (xem [5]), điều chứng tỏ kết định lý Bernstein với n ≤ Như vậy, việc chứng minh định lý Bernstein siêu mặt cực tiểu Rn xem giải xong Trong lý thuyết mặt cực tiểu, định lý Bernstein định lý Vì vậy, câu hỏi tự nhiên đặt liệu có định lý kiểu Bernstein không gian khác với Rn đa tạp Riemann, không gian Lorentz-Minkowski, khơng gian tích cong, đa tạp với mật độ, Hoàn toàn tương tự, định lý Bernstein phát biểu cho siêu mặt cực đại không gian Lorentz-Minkowski Rn+1 n+1 Khác với định lý Bernstein mặt cực tiểu R , đối n+1 với mặt cực đại không gian Lorentz-Minkowski R1 , định lý Bernstein với n (xem [8]) Các nhà Toán học mở rộng định lý Bernstein để thu định lý kiểu Bernstein theo nhiều cách khác Định lý halfspace cổ điển mở rộng Một định lý liên quan đến mặt cực tiểu thu hút quan tâm nhà Toán học năm gần định lý halfspace (định lý nửa không gian) Định lý halfspace cổ điển Hoffman-Meeks (xem [35]) khẳng định hai mặt nhúng proper cực tiểu, đầy đủ R3 cắt trừ chúng mặt phẳng song song Khi thay hai mặt mặt phẳng ta định lý halfspace yếu gọi định lý halfspace Người ta định lý halfspace khơng cịn trường hợp số chiều cao Vì vậy, nhà Toán học tập trung mở rộng định lý halfspace theo cách khác để thu định lý kiểu halfspace như: - Mở rộng lên đa tạp với mật độ; - Mở rộng lên khơng gian tích; - Mở rộng lên lớp mặt f -cực tiểu đối chiều 1, đối chiều cao, • Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích với mục đích sau: - Nghiên cứu phát biểu mối quan hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dòng độ cong trung bình - Nghiên cứu phát biểu số tính chất mặt f -cực tiểu không gian tích - Nghiên cứu xây dựng định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace cho mặt f -cực tiểu (f -cực đại) khơng gian tích - Nghiên cứu phát biểu số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao • Để đạt mục đích đặt ra, chúng tơi nghiên cứu theo bước: - Chọn số khơng gian tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) cụ thể - Trên khơng gian tích chọn, xét mặt f -cực tiểu (đối chiều đối chiều cao), tiến hành tìm hiểu phát biểu: số tính chất, định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace cho mặt f -cực tiểu • Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Sử dụng phép tính vi tích phân tính tốn - Phương pháp biến phân để xác định biến phân diện tích theo mật độ - Đặc biệt, phương pháp dùng dạng cỡ kết hợp với định lý Stokes để chứng minh tính chất cực tiểu diện tích sử dụng hầu khắp chương luận án - Sử dụng định lý divergence tổng quát để xây dựng cơng thức f -thể tích m-shrinker kết liên quan đến định lý kiểu Bernstein đối chiều cao Gn Với tên đề tài mục đích nghiên cứu luận án, phần nội dung luận án trình bày chương: Chương 1: “Sơ lược mặt cực tiểu” Trong chương này, tổng hợp từ số tài liệu, luận án trình bày sơ lược số khái niệm, tính chất, ví dụ kết quan trọng liên quan đến mặt cực tiểu Chương 2: “Mặt f -cực tiểu” Trong chương này, mục 2.1, 2.2 2.3 tổng hợp từ số tài liệu để trình bày tổng quan đa tạp với mật độ số khái niệm, tính chất, kết quan trọng mặt f -cực tiểu Đặc biệt, mục 2.4 dịng độ cong trung bình nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình, tác giả thu số kết luận án Chương 3: “Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích” Nhằm giúp người đọc tiện theo dõi, chương luận án dành riêng mục 3.1 để giới thiệu số khái niệm, tính chất khơng gian tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) khơng gian tích với mật độ, chúng tổng hợp từ số tài liệu tham khảo Sau đó, mục 3.2, 3.3 3.4 tác giả trình bày số kết mà luận án đạt mặt f -cực tiểu (f -cực đại) khơng gian tích cụ thể Ngồi ra, để người đọc dễ nắm bắt nội dung kết chương, luận án trình bày nội dung tóm tắt kết luận tương ứng đầu cuối chương 10 nghiệm dịng độ cong trung bình ∂ F (p, t) = H(p, t).N(p, t), p ∈ M, t ∈ [0, T ], ∂t với H(p, t), N(p, t) độ cong trung bình pháp vectơ đơn vị siêu mặt Ft (M ) Ft (p) Trong nghiệm dịng độ cong trung bình, có loại nghiệm đặc biệt nghiệm tự đồng dạng (self-similar) Chúng ta xét hai loại nghiệm tự đồng dạng nghiệm tự đồng dạng co rút (self-shrinker hay shrinker) nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến 1.5 Kết luận Chương Trong Chương 1, tổng hợp từ số tài liệu tham khảo, luận án giới thiệu sơ lược mặt cực tiểu bao gồm: - Một số khái niệm liên quan đến siêu mặt tham số trơn, quy khơng gian Rn - Một số khái niệm bản, cần thiết như: độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình siêu mặt không gian Rn đa tạp k-chiều đa tạp Riemann n-chiều; mặt cực tiểu; dịng độ cong trung bình, nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình (co rút tịnh tiến) - Một số kết quan trọng mặt cực tiểu như: + Mặt cực tiểu điểm cực trị phiếm hàm diện tích + Đồ thị cực tiểu cực tiểu diện tích lớp đồng điều + Mỗi phép nhúng đẳng cự ψ : M → Rn phép nhúng cực tiểu thành phần ψ hàm điều hòa M 11 Chương MẶT f -CỰC TIỂU Trong chương này, từ tài liệu [14], [20], [26], [29], [31], [32], [40], luận án trình bày tổng quan đa tạp với mật độ số mật độ cụ thể thường gặp mật độ Gauss, mật độ cầu, mật độ log-tuyến tính, Sau đó, có khái niệm mặt f -cực tiểu ví dụ mặt f -cực tiểu Ngoài ra, số kết quan trọng mặt f -cực tiểu giới thiệu chương Cuối cùng, mục 2.4 luận án xây dựng chứng minh mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dòng độ cong trung bình, kết trích từ báo [20] nằm danh mục cơng trình nghiên cứu tác giả liên quan đến đề tài 2.1 Đa tạp với mật độ Định nghĩa 2.1.1 Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann trơn n-chiều với hàm mật độ trơn, dương e−f sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều (trường hợp 1-chiều gọi độ dài, ký hiệu L, trường hợp 2-chiều gọi diện tích, ký hiệu A trường hợp 3-chiều gọi thể tích, ký hiệu V ) Giả sử dV phần tử thể tích k-chiều Riemann Khi đó, phần tử thể tích k-chiều theo mật độ e−f , ký hiệu dVf , cho công thức dVf = e−f dV Định nghĩa 2.1.4 Không gian Gauss Gn không gian Rn với n r2 mật độ Gauss (2π)− e− , r khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ Đặc biệt, mặt phẳng Gauss mặt phẳng Ơclit R2 với r2 mật độ (2π)−1 e− Tổng quát khái niệm không gian Gauss khái niệm đa tạp với mật độ cầu, hàm mật độ e−f (r) , r khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm xét, f hàm trơn 12 Ngồi ra, khơng gian với mật độ thường gặp không gian với mật độ log-tuyến tính, khơng gian Rn với mật độ e−f (x) , f (x) = ni=1 xi + b, , b ∈ R, ni=1 a2i = Định nghĩa 2.1.5 Cho ω k-dạng vi phân đa tạp M với mật độ e−f Khi đó, vi phân với mật độ hay f -vi phân ω xác định đẳng thức df ω := ef d(e−f ω) Dạng vi phân ω gọi df -đóng df ω = 0, gọi df -khớp tồn dạng vi phân η cho ω = df η Trong luận án này, phương pháp dạng cỡ dùng nhiều để chứng minh kết Định lý Stokes cơng cụ để chứng minh nguyên lý dạng cỡ Trong khơng gian với mật độ, ta có: Mệnh đề 2.1.6 Cho ω dạng vi phân đa tạp định hướng M Khi đó, ta có e−f df ω = M e−f ω ∂M 2.2 Mặt f -cực tiểu Một số ví dụ Định nghĩa 2.2.1 Trên đa tạp Riemann M n với mật độ e−f , độ cong trung bình với mật độ hay f -độ cong trung bình, ký hiệu Hf , siêu mặt Σ với vectơ pháp đơn vị hướng N cho công thức Hf = H + ∇f, N , n−1 H độ cong trung bình Riemann Σ Chú ý số tài liệu, độ cong trung bình xác định cơng thức H(p) = tr Sp , cơng thức f -độ cong trung bình tương ứng Hf = H + ∇f, N Định nghĩa 2.2.1 Trên đa tạp Riemann M với mật độ e−f , siêu mặt Σ gọi f -cực tiểu hay cực tiểu với mật độ f -độ cong trung bình điểm mặt 13 2.3 Một số kết quan trọng mặt f -cực tiểu - Độ cong trung bình với mật độ siêu mặt thỏa mãn công thức biến phân thứ theo mật độ phiếm hàm f -diện tích Do đó, siêu mặt f -cực tiểu tương đương với việc cực trị phiếm hàm f -diện tích - Trên đa tạp với mật độ, có nguyên lý dạng cỡ sau: Mệnh đề 2.3.2 Mọi đa tạp có biên không biên định cỡ với mật độ cực tiểu diện tích theo mật độ lớp đa tạp đồng điều với - Định lý sau cho ta kết quan trọng khác: Định lý 2.3.3 Cho Σ đồ thị hàm khả vi cấp hai u : U ⊂ Rn−1 −→ R Nếu Σ siêu mặt f -cực tiểu Rn = Rn−1 × R với mật độ e−f (x1 , ,xn−1 ) Σ cực tiểu diện địa phương với mật độ Định nghĩa 2.3.2 Cho Σ siêu mặt Rn với mật độ e−f X : U ⊂ Rn−1 −→ Rn tham số hóa Σ Khi đó, f -Laplace X xác định ∆f X := ∆X + ∇f, N N - Ta thu kết quan trọng tương tự Rn sau: Định lý 2.3.9 Cho X : U ⊂ Rn−1 −→ Rn tham số hóa trực giao siêu mặt Σ, X f -cực tiểu ∆f X = Sau số kết thu luận án mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình Các kết trích từ [20], báo nằm danh mục cơng trình nghiên cứu tác giả 2.4 Mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình 2.4.1 Mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng co rút Mệnh đề 2.4.1.1 Nghiệm tự đồng dạng co rút dịng độ cong trung bình Rn siêu mặt f -cực tiểu không gian với mật độ tựa Gauss, Rn với mật độ e−r /4 14 2.4.2 Mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến Mệnh đề 2.4.2.1 Nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến dịng độ cong trung bình mặt f -cực tiểu khơng gian với mật độ log-tuyến tính 2.5 Kết luận Chương Trong Chương 2, luận án giải vấn đề sau: - Trình bày cách tổng quan đa tạp với mật độ, ví dụ số khái niệm không gian với mật độ Giới thiệu số không gian với mật độ thường gặp không gian Gauss, không gian với mật độ cầu không gian với mật độ log-tuyến tính - Giới thiệu sơ lược mặt f -cực tiểu, số ví dụ tổng hợp số kết quan trọng mặt f -cực tiểu như: + Một siêu mặt f -cực tiểu tương đương với việc cực trị phiếm hàm f -diện tích + Mọi đa tạp định cỡ với mật độ f -cực tiểu diện tích lớp đa tạp đồng điều với + Nếu Σ siêu mặt f -cực tiểu Rn = Rn−1 × R với mật độ e−f (x1 , ,xn−1 ) Σ cực tiểu diện tích theo mật độ cách địa phương + Từ khái niệm toán tử f -Laplace suy siêu mặt tham số hóa trực giao với tham số hóa X f -cực tiểu ∆f X = - Đặc biệt, luận án thiết lập chứng minh mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình Cụ thể, luận án chứng minh: + Nghiệm tự đồng dạng co rút dịng độ cong trung bình Rn siêu mặt f -cực tiểu không gian với mật độ tựa Gauss, Rn với mật độ e−r /4 (Mệnh đề 2.4.1.1) + Nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến dịng độ cong trung bình siêu mặt f -cực tiểu khơng gian với mật độ log-tuyến tính (Mệnh đề 2.4.2.1) 15 Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH Trong chương này, tác giả trình bày kết mà luận án đạt mặt f -cực tiểu khơng gian tích với mật độ, phép tốn tích tích Riemann, tích cong (tích warped) hay tích Lorentz Để tiện theo dõi, trước vào kết đó, luận án dành mục 3.1 để trình bày sơ lược số khái niệm đa tạp với mật độ dạng tích hay tích đa tạp với mật độ, khơng gian tích cong, khơng gian tích Lorentz số tính chất khơng gian tích Nội dung mục 3.1 trích từ tài liệu [39], [42], [45] Sau đó, cách xét khơng gian tích với mật độ cụ thể, mục 3.2, 3.3 3.4 tiếp theo, luận án thu số kết mặt f -cực tiểu (f -cực đại) khơng gian tích với mật độ bao gồm: tính cực tiểu diện tích (địa phương tồn cục) với mật độ silce số không gian tích cong với mật độ; số định lý kiểu Bernstein cho siêu mặt f -cực tiểu (f -cực đại); cuối số kết liên quan đến định lý kiểu Bernstein kết kiểu nửa không gian cho mặt f -cực tiểu đối chiều đối chiều cao không gian Gauss Các kết thu chương luận án trích từ báo [3], [21], [22], [30] nằm danh mục cơng trình nghiên cứu tác giả liên quan đến đề tài 16 3.1 Khơng gian mật độ với tích Riemann, tích cong, tích Lorentz Định nghĩa 3.1.5 Giả sử M1 M2 hai đa tạp với mật độ, hàm mật độ tương ứng e−h1 (x) e−h2 (y) Trên đa tạp tích M1 ×M2 , xét hàm mật độ e−f (x,y) = e−(h1 (x)+h2 (y)) với x ∈ M1 , y ∈ M2 Khi đó, phần tử thể tích k-chiều theo mật độ M1 × M2 xác định dVf = e−(h1 +h2 ) dVM1 dVM2 Ta gọi M1 × M2 với mật độ đa tạp tích với mật độ (đa tạp với mật độ dạng tích) hay tích đa tạp với mật độ Để ý với định nghĩa trên, xem khơng gian Gauss tích đường thẳng Gauss Gn = G1 × · · · × G1 (n nhân tử) Mặt khác, theo Mệnh đề 2.4.1.1, shrinker mặt f -cực tiểu không gian Gauss, khơng gian với mật độ dạng tích Đây lý số kết đạt luận án mặt xét shrinker tên đề tài luận án “Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích” Trong mục 3.2 sau đây, luận án trình bày số kết mà luận án đạt mặt f -cực tiểu khơng gian tích cong R+ ×w Gn Các kết trích từ [21], báo nằm danh mục cơng trình nghiên cứu tác giả liên quan đến đề tài 3.2 Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích cong R+ ×w Gn Một chủ đề tiếp cận rộng rãi năm gần tốn siêu mặt đa tạp tích cong dạng R+ ×w M, R+ = [0, +∞), (M, g) đa tạp Riemann n-chiều, w 17 hàm trơn dương xác định R+ Chú ý với thành phần này, đa tạp tích cong R+ ×w M đa tạp tích R+ × M với metric Riemann ∗ g¯ = πR∗ + (dt2 ) + w(πR+ )2 σM (g), πR+ σM phép chiếu lên R+ M Xét mở rộng trơn N cách tịnh tiến dọc theo trục t, ký hiệu N n-dạng vi phân xác định sau φ(t, x) = w(t)n ω(x), ω(X1 , , Xn ) = det(X1 , , Xn , N) Xi , i = 1, 2, , n trường vectơ trơn Dễ thấy w(t)n |ω(X1 , , Xn )| ≤ 1, với trường vectơ trực chuẩn Xi , i = 1, 2, , n w(t)n |ω(X1 , , Xn )| = X1 , , Xn tiếp xúc với Σ Do đó, φ(t, x) biểu thị phần tử thể tích Σ R+ ×w Rn Sau đây, luận án thu tính chất cực tiểu diện tích địa phương tồn cục slice khơng gian tích cong với mật độ (R+ ×w Rn , e−f ), f = f (x) R+ ×w Gn 3.2.1 Slice cực tiểu diện tích địa phương Xét R+ ×w Rn với mật độ e−f , f = f (x) Giả sử D miền Rn cho bao đóng D, D, compact Gọi PD = {t0 } × D ΣD đồ thị hàm t = u(x), x ∈ D, cho PD ΣD biên, nghĩa ∂PD = ∂ΣD Gọi E1 = {(t, x) ∈ R+ ×D : t ≤ u(x)} E2 = {(t, x) ∈ R+ ×D : t ≤ t0 } Định lý sau PD có diện tích với mật độ bé lớp siêu mặt biên với Định lý 3.2.1.1 Nếu Volf (E1 ) = Volf (E2 ) (log w) (t) ≤ Areaf (PD ) ≤ Areaf (ΣD ) 3.2.2 Slice cực tiểu diện tích tồn cục Xét R+ ×w Gn , nghĩa R+ ×w Rn với mật độ e−f = (2π)−n/2 e− Luận án thu định lý sau: |x|2 18 Định lý 3.2.2.1 Nếu (log w) (t) ≤ slice cực tiểu diện tích với mật độ lớp đồ thị toàn phần thỏa mãn điều kiện Volf (E1 ) = Volf (E2 ) Vấn đề cuối luận án đề cập mục 3.2 số kết kiểu Bernstein khơng gian tích cong với mật độ R+ ×a Gn G+ ×a Gn 3.2.3 Kết kiểu Bernstein R+ ×a Gn Trong phần này, xét đa tạp tích cong R+ ×a Gn với |x|2 mật độ e−f = (2π)−n/2 e− , a số dương Hệ 3.2.3.2 (Định lý kiểu Bernstein R+ ×a Gn ) Một đồ thị tồn phần với độ cong trung bình hằng, bị chặn phải slice cực tiểu 3.2.4 Kết kiểu Bernstein G+ ×a Gn Bây giờ, xét đa tạp tích cong G+ ×a Gn với mật độ r2 e−f = (2π)−(n+1)/2 e− , luận án thu định lý kiểu Bernstein G+ ×a Gn sau: Định lý 3.2.4.2 (Định lý kiểu Bernstein G+ ×a Gn ) Đồ thị tồn phần cực tiểu với mật độ G+ ×a Gn Gn Trong mục 3.3 sau đây, luận án trình bày số kết mà luận án đạt mặt f -cực đại khơng gian tích Lorentz Gn × R1 Các kết trích từ [3], báo nằm danh mục cơng trình nghiên cứu tác giả liên quan đến đề tài 3.3 Một số kết mặt f -cực đại khơng gian tích Lorentz Gn × R1 3.3.1 Đồ thị f -cực đại Gọi Rn+1 không gian Lorentz-Minkowski (n + 1)-chiều, tức n+1 khơng gian R với tích vơ hướng Lorentz , = dx21 + dx22 + + dx2n − dx2n+1 19 Sau ví dụ đồ thị tồn phần f -cực đại khơng siêu phẳng Gn × R1 Ví dụ 3.3.1.1 Xét đồ thị toàn phần Σ0 hàm u : Gn −→ R x1 x −→ eτ dτ, + eτ x = (x1 , x2 , , xn ) Tính tốn trực tiếp ta có Hf = 0, nghĩa Σ0 f -cực đại Trong phần cuối mục 3.3 này, luận án trình bày bước tiếp cận thu định lý luận án, định lý kiểu Calabi-Bernstein Gn × R1 3.3.2 Định lý kiểu Calabi-Bernstein Chúng ta thiết lập so sánh f -thể tích Σ f -thể tích siêu cầu Lorentz kiểu khơng gian Hr+ = {(x, t) ∈ Gn × R1 : x, x − t, t = −r2 , t > 0} Điều thể bổ đề sau: Bổ đề 3.3.2.1 Nếu |∇u| bị chặn khỏi với r > 0, ta có Volf (Σ) ≥ Volf (Hr+ ) Từ bổ đề ta thu định lý luận án: Định lý 3.3.2.4 (Định lý kiểu Calabi-Bernstein) Trong Gn × R1 , đồ thị Σ hàm u(x) = t toàn Gn , với |∇u| bị chặn khỏi 1, f -cực đại u hàm hằng, nghĩa Σ siêu phẳng kiểu không gian Sau đây, luận án trình bày số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao Đây kết cuối mà luận án thu 20 3.4 Một số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao Đồ thị tự co rút đối chiều cao không gian Ơclit Trong mục 3.4 này, luận án đề cập đến kết loại mặt đặc biệt, m-shrinker 3.4.1 Đồ thị tự co rút đối chiều cao không gian Ơclit Chú ý định lý kiểu Bernstein shrinker kiểu đồ thị đối chiều mạnh định lý Bernstein cổ điển Một shrinker kiểu đồ thị khơng siêu phẳng mà cịn qua gốc tọa độ, nghĩa khoảng cách từ gốc tọa độ đến shrinker Một câu hỏi yếu đặt cách tự nhiên liệu m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần (tức shrinker kiểu đồ thị toàn phần m-chiều) Rn (n − m > 1) qua gốc tọa độ hay không? Trong phần tiếp theo, chứng minh phần kết câu hỏi rằng: m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần nằm không xa gốc tọa độ 3.4.2 Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đồ thị toàn phần m-shrinker Nội dung phần 3.4.2 luận án trích từ [22], báo nằm danh mục cơng trình nghiên cứu tác giả liên quan đến đề tài Sử dụng định lý divergence tổng quát, ta thu được: Mệnh đề 3.4.2.2 Cho Σ0 m-phẳng qua gốc tọa độ n G , X trường vectơ vị trí Σ0 Khi đó, ta có e−f |X|2 dV, 2m Volf Σ0 = Σ0 x2i n i=1 f = = 41 ni=1 x2i n Tương tự với m-phẳng qua gốc tọa độ G , ta có: Mệnh đề 3.4.2.5 Mệnh đề 3.4.2.2 Σ m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần Rn Định lý sau cho ta chặn khoảng cách từ gốc tọa độ O đến m-shrinker kiểu đồ thị toàn phần Rn 21 Định lý 3.4.2.6 Cho Σ m-shrinker kiểu đồ thị tồn phần Rn Khi đó, khoảng cách từ gốc tọa độ đến Σ, d(O, Σ), thỏa √ mãn d(O, Σ) < 2m Do đó, m-shrinker kiểu đồ thị tồn phần Rn nằm khơng xa gốc tọa độ Sau đây, luận án trình bày số kết kiểu nửa không gian shrinker đối chiều đối chiều cao Đây kết luận án trích phần từ [30] 3.4.3 Một số kết kiểu nửa không gian (i) Nửa không gian xác định siêu phẳng qua gốc tọa độ Định lý 3.4.3.2 Σm nằm phía siêu phẳng P qua gốc tọa độ trừ Σm ⊂ P (ii) Nửa không gian xác định siêu cầu Định lý 3.4.3.5 Σm khơng thể nằm bên ngồi bên hình √ √ cầu đóng B n (O, 2m) trừ Σm ⊂ S n−1 (O, 2m) (iii) Nửa không gian xác định siêu trụ √ Định lý 3.4.3.8 Cho Σm nằm bên mặt trụ S k−1 ( 2m) × √ Rn−k ⊂ Rn , với k ∈ {m + 1, , n} Khi Σm ⊂ S k−1 ( 2m) Đặc √ biệt, k − = m, Σm = S m ( 2m) √ Định lý 3.4.3.9 Σm nằm bên ngồi mặt trụ S k−1 ( 2m)× Rn−k ⊂ Rn , với k ∈ {2, , m} Định lý 3.4.3.10 Cho Σm nằm bên hình trụ đóng B k (R) × Rn−k ⊂ Rn , với k > n − m R = 2(m − (n − k)) Khi Σm ⊂ S k−1 (R) × Rn−k ⊂ Rn 3.5 Kết luận Chương Trong Chương 3, luận án giải vấn đề sau: - Trình bày sơ lược khái niệm tính chất số khơng gian tích với mật độ mà luận án nghiên cứu - Phát biểu chứng minh số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích cong R+ ×w Gn : tính cực tiểu diện tích với mật độ silce (địa phương R+ ×w Rn với mật độ e−f (x) , x ∈ Rn tồn cục R+ ×w Gn ) (Định lý 3.2.1.1 22 Định lý 3.2.2.1); định lý kiểu Bernstein khơng gian tích cong R+ ×a Gn G+ ×a Gn (Hệ 3.2.3.2, Định lý 3.2.4.2) - Phát biểu chứng minh số kết mặt f -cực đại không gian tích Lorentz Gn × R1 Đặc biệt định lý kiểu Calabi-Bernstein (Định lý 3.3.2.4) - Phát biểu chứng minh số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao: + Đưa chặn khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị toàn phần dạng m-shrinker Rn (Định lý 3.4.2.6) + Thu số kết kiểu nửa không gian mshrinker (cả đối chiều đối chiều cao) nhúng proper, đầy đủ Rn (n > m) (Định lý 3.4.3.2, Định lý 3.4.3.5, Định lý 3.4.3.8, Định lý 3.4.3.9, Định lý 3.4.3.10) Các kết có ý nghĩa mặt khoa học thực tiễn, chúng góp phần giải tốn khảo sát tính chất mặt f -cực tiểu khơng gian tích nói chung khơng gian tích với mật độ nói riêng, đồng thời mở rộng định lý cổ điển tiếng định lý Bernstein hay Calabi-Bernstein, định lý halfspace lên cho mặt f -cực tiểu mặt f -cực tiểu đối chiều cao khơng gian tích Tất hướng đến giải gần trọn vẹn mục đích nghiên cứu mà luận án đặt 23 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án đạt kết sau: - Thiết lập số kết mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng (co rút tịnh tiến) dịng độ cong trung bình (Mệnh đề 2.4.1.1 Mệnh đề 2.4.2.1) - Chứng minh tính chất f -cực tiểu diện tích địa phương R+ ×w Rn với mật độ e−f (x) , x ∈ Rn f -cực tiểu diện tích tồn cục R+ ×w Gn slice (Định lý 3.2.1.1 Định lý 3.2.2.1) - Thiết lập chứng minh định lý kiểu Bernstein: khơng gian tích cong với mật độ R+ ×a Gn , G+ ×a Gn (Hệ 3.2.3.2, Định lý 3.2.4.2); khơng gian tích Lorentz với mật độ Gn × R1 (Định lý 3.3.2.4) - Phát biểu chứng minh số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao: + Đưa chặn khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị toàn phần dạng m-shrinker Rn (Định lý 3.4.2.6) + Thu số kết kiểu nửa không gian mshrinker (cả đối chiều đối chiều cao) nhúng proper, đầy đủ Rn (n > m) (Định lý 3.4.3.2, Định lý 3.4.3.5, Định lý 3.4.3.8, Định lý 3.4.3.9, Định lý 3.4.3.10) Kiến nghị hướng nghiên cứu Về chuyên môn, dự định nghiên cứu tiếp vấn đề sau: - Xây dựng định lý kiểu Bernstein đa tạp tích cong với mật độ tổng quát - Xây dựng định lý kiểu Bernstein cho mặt đối chiều cao khơng gian tích với mật độ 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI Nguyễn Thị Mỹ Duyên (2017) Siêu mặt f-cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình Kỷ yếu Hội thảo Khoa học cho học viên cao học nghiên cứu sinh năm học 2017-2018 NXB Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, 9-19 An, H V Q., Cuong, D V., Duyen, N T M., Hieu, D T., Nam, T L (2017) On entire f -maximal graphs in the Lorentzian product Gn × R1 J Geom Phys., 114, 587-592 Duyen, N T M (2020) Some results on slices and entire graphs in certain weighted warped products East-West J of Mathematics, 22(1), 76-85 Duyen, N T M and Loan, N T T (2021) On the distance from the origin to an entire graphic m-shrinker Differential Geometry - Dynamical Systems, 23, 52-58 Hieu, D T and Duyen, N T M (2020) Halfspace type theorems for self-shrinkers in arbitrary codimension arXiv:2012.04509v5 Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: - Hội thảo Khoa học cho học viên cao học nghiên cứu sinh năm học 2016-2017 - Hội thảo Khoa học cho học viên cao học nghiên cứu sinh năm học 2017-2018 - Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 2, Đà Lạt, năm 2017 - Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ IX, Nha Trang, năm 2018 - Hội nghị Toán học đổi phương pháp dạy học năm 2018, ĐH Sư phạm Tp.HCM - Hội nghị Đại số - Lý thuyết số - Hình học Tơpơ (DAHITO), Bà Rịa - Vũng Tàu, năm 2019 ... Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH Trong chương này, tác giả trình bày kết mà luận án đạt mặt f -cực tiểu khơng gian tích với mật độ, phép tốn tích tích Riemann, tích. .. mặt f -cực tiểu (f -cực đại) khơng gian tích - Nghiên cứu phát biểu số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao • Để đạt mục đích đặt ra, chúng tơi nghiên cứu theo bước: - Chọn số không gian tích (tích. .. Bernstein cho siêu mặt f -cực tiểu (f -cực đại); cuối số kết liên quan đến định lý kiểu Bernstein kết kiểu nửa không gian cho mặt f -cực tiểu đối chiều đối chiều cao không gian Gauss Các kết thu chương