Một số kết quả về mặt f cực tiểu trong các không gian tích

1 M— U a t⁄p vỵi m“t º l mºt a t⁄p Riemann (M; g) cịng vỵi mºt h m m“t º trìn, d÷ìng f ÷ỉc dịng l m trång sŁ cho c£ th” t‰ch v chu vi Th” t‰ch vợi mt ca mt miãn E v diằn tch vợi mt ca mt siảu mt ln lữổt ữổc x¡c ành bði c¡c cæng thøc e Z Z e f dV Volf (E) = v Areaf ( ) = e f dA; E â dV v dA t÷ìng øng l phƒn tß th” t‰ch v phƒn tß di»n tch Riemann Vã mt kỵ hiằu, ngữới ta thữớng dũng bº ba (M; g; e f dV ) ” ch¿ a t⁄p Riemann (M; g) cịng vỵi vỵi m“t º e f ; °c bi»t M l khæng gian èclit Rn vợi tch vổ hữợng chnh tc v mt e f th ta kỵ hiằu ỡn giÊn l (Rn; e f ): Trản a vợi mt (M; g; e f dV ); M Gromov (xem [26]) ¢ mð rºng kh¡i ni»m º cong trung b…nh H th nh kh¡i ni»m º cong trung b…nh vỵi m“t ca siảu mt, kỵ hiằu Hf ; ữổc xĂc ành bði cæng thøc H := H + f n hrf; Ni; â N l tr÷íng vectì phĂp ỡn v ca siảu mt nh nghắa trản  ữổc kim tra thọa mÂn cĂc bin phƠn thứ nhĐt v thø hai cıa phi‚m h m di»n t‰ch vỵi m“t º (xem [40]) C¡c kh¡i ni»m th” t‰ch, chu vi, º cong, º cong trung b…nh, m°t cüc ti”u, vợi mt cặn ữổc gồi mt cĂch ỡn gi£n l f-th” t‰ch, f-chu vi, f- º cong, f- º cong trung b…nh, f-m°t cüc ti”u, a t⁄p vợi mt liản quan n Vt lỵ nghiản cøu c¡c m°t ho°c c¡c vịng tr¶n m°t câ sü ph¥n bŁ m“t º nºi t⁄i kh¡c t⁄i c¡c i”m kh¡c nhau, ” x¡c ành khŁi l÷ỉng cıa chóng ta cƒn t‰nh t‰ch ph¥n theo m“t º Ngo i ra, a vợi mt cặn liản quan n lắnh vỹc Kinh t mt phflng xĂc suĐt Gauss, m°t r =2 phflng R vỵi m“t º e , ữổc dũng thữớng xuyản xĂc suĐt thng kả Do õ, viằc tm hiu Hnh hồc vi phƠn vợi mt khổng nhng cõ ỵ nghắa vã mt lỵ thuyt m cặn ỵ nghắa thỹc tin a vợi mt  xuĐt hiằn khĂ lƠu ToĂn hồc dữợi tản gồi khĂc l mm-khổng gian ho°c a t⁄p vỵi trång (weighted manifolds) Sau n y, giĂo sữ Morgan  gồi tản lợp a n y l a t⁄p vỵi m“t º (manifolds with density) (xem [40]) Hi»n nay, a t⁄p vỵi m“t l mt lắnh vỹc mợi ang ữổc quan tƠm nghiản cứu bi nhiãu nh ToĂn hồc, õ phÊi k” ‚n gi¡o s÷ Morgan v nhâm cºng sü cıa Hồ  chứng minh ữổc nghiằm ca b i to¡n flng chu khỉng gian vỵi m“t º n‚u tỗn ti th biản ca nõ phÊi cõ f- cong trung b…nh h‹ng (xem [14]) Mºt si¶u m°t f-cüc ti”u hay f-cüc f (M; g; e dV ) (t÷ìng øng (M; g)) ÷ỉc gåi l ⁄i (cüc ti”u hay cüc ⁄i ) n‚u f- º cong trung b…nh ( º cong trung b…nh) cıa thäa m¢n Hf ( ) = (H( ) = 0) N‚u Hf ( ) = l mºt h‹ng sŁ th… ÷ỉc gåi l mt -siảu mt VĐn ã nghiản cứu lỵ thuyt, kh£o s¡t c¡c t‰nh ch§t cıa m°t f-cüc ti”u, m°t câ f- º cong trung b…nh h‹ng a t⁄p vợi mt  v ang nhn ữổc rĐt nhiãu sü quan t¥m cıa c¡c nh To¡n håc C¡c t¡c gi£ C Ivan, H Neil, H Stephanie, Vojislav and Y Xu ¢ ch¿ mºt sŁ m°t câ f- º cong trung b…nh h‹ng khæng gian Gauss, kh£o s¡t mºt sŁ ch‰nh ch§t h…nh håc cıa c¡c m°t câ f- º cong trung b…nh h‹ng (xem [14]) J M Espinar v H Rosenberg  khÊo sĂt tnh chĐt h…nh håc cıa c¡c m°t ƒy ı câ f- º cong trung b…nh h‹ng (xem [13]) D T Hieu v N M Hoang  phƠn loi cĂc mt kà trư f-cüc ti”u khỉng gian R vỵi m“t º log-tuy‚n t‰nh (xem [31]) M°t kh¡c, t‰nh ch§t f-cüc ti”u di»n t‰ch cıa c¡c si¶u m°t f-cüc ti”u cơng ang ữổc quan tƠm Chflng hn, D T Hieu  Ăp dửng phữỡng phĂp dng cù vợi mt chứng minh mºt sŁ a t⁄p l f-cüc ti”u di»n t‰ch (xem [29]) M°t f-cüc ti”u khæng gian Gauss chnh l cĂc shrinker, mt nghiằm tỹ ỗng dng ca dỈng º cong trung b…nh, âng vai trỈ quan trång viằc nghiản cứu ký d ca dặng cong trung bnh (xem [12]) Ơy cụng l mt vĐn ã ang ữổc quan tƠm nghiản cứu hiằn nay: dặng cong trung bnh, cĂc nghiằm tỹ ỗng dng ca dặng cong trung bnh, mi liản hằ gia chúng vợi cĂc siảu mt f-cỹc tiu cĂc khổng gian vợi mt (xem [24], [47], [48]) Nhng nôm gn Ơy, m°t cüc ti”u c¡c khỉng gian d⁄ng t‰ch ÷ỉc nghi¶n cøu bði Harold Rosenberg v c¡c cºng sü cıa æng (xem [13], [44]) Nâ ang l mºt • t i thu hút sỹ quan tƠm ca nhiãu nh ToĂn hồc Chú ỵ rng khổng n 1 gian Gauss cơng l mºt khỉng gian vỵi m“t º d⁄ng t‰ch G = G : : : G : Theo hữợng m rng cĂc nh lỵ c in ca Hnh hồc vi phƠn lản khổng gian a vợi mt , nhiãu kt quÊ Â ữổc cổng b nhữ: nh lỵ Gauss-Bonnet suy rng (xem [15]), nh lỵ Liouville i vợi cĂc h m iãu hặa b chn khổng gian vợi mt (xem [36]), Tuy nhiản, mt s nh lỵ c in khổng cặn úng gia thảm mt Chflng hn, nh lỵ bn nh khổng cặn úng trản mt phflng vợi mt cu (xem [33]) Theo â, vi»c mð rºng c¡c k‚t qu£ v ca nh lỵ Bernstein c in, nh lỵ halfspace c in thu ữổc cĂc nh lỵ kiu Bernstein, nh lỵ kiu halfspace vợi cĂc m rng lản cĂc mt i chiãu cao, lản cĂc a tch (tch Riemann, tch cong, tch Lorentz) hay lản cĂc a vợi mt ,  v ang l nhng vĐn ã thới sỹ ữổc nghiản cứu bi nhiãu tĂc giÊ (xem [1], [24], [28], [32], [44], [47], [48]) Xu§t ph¡t tł nhu cu tm hiu v giÊi quyt cĂc vĐn ã trản, chúng tổi chồn ã t i nghiản cứu cho lu“n ¡n l Mºt sŁ k‚t qu£ v• m°t f-cüc ti”u c¡c khỉng gian t‰ch — ¥y, lu“n Ăn ã cp n hai nh lỵ quan trồng, liản quan ‚n c¡c k‚t qu£ ch ‰nh cıa lu“n ¡n, õ l nh lỵ Bernstein v nh lỵ halfspace nh lỵ Bernstein c in v cĂc m rng nh lỵ Bernstein c in khflng nh rng mt ỗ th cỹc ti”u to n phƒn tr¶n to n bº R l mºt phflng R (xem [43]) K‚t qu£ n y  ữổc chứng minh bi Bernstein v o nhng nôm 1915-1917 Nhiãu nh ToĂn hồc  c gng tng quĂt nh lỵ Bernstein cho cĂc trữớng hổp s chiãu hoc i chiãu cao hỡn Nôm 1965, De Giorgi  chứng minh nh lỵ Bernstein i vợi cĂc ỗ cüc ti”u to n phƒn tr¶n to n R R (xem [17]) N«m 1966, Almgren ti‚p tửc chứng minh nh lỵ n y R (xem [2]) Nôm 1968, Simons  m rng nh lỵ n y lản R : ng Đy  chứng minh rng mt ỗ th cỹc tiu to n phn n-chiãu phÊi l mt siảu phflng vợi n (xem [46]) Nôm 1969, Bombieri, De Giorgi, v Giusti  ữa phÊn v dử trữớng hổp mt vợi s chi•u v cao hìn (xem [5]), i•u n y chứng tọ rng kt quÊ ca nh lỵ Bernstein ch úng vợi n Nhữ vy, viằc chứng minh nh lỵ Bernstein i vợi cĂc siảu mt cỹc tiu n R xem nhữ  giÊi quyt xong Trong lỵ thuyt mt cỹc tiu, nh lỵ Bernstein l mt nhng nh lỵ cỡ bÊn nhĐt V vy, mt cƠu häi tü nhi¶n °t l li»u câ mºt ành lỵ kiu n Bernstein mt khổng gian khĂc vợi R nh÷ a t⁄p Riemann, khỉng gian Lorentz-Minkowski, khỉng gian t‰ch cong, a t⁄p vỵi m“t º, Ho n to n tữỡng tỹ, nh lỵ Bernstein cụng ữổc phĂt bi”u cho c¡c si¶u m°t n +1 cüc ⁄i khổng gian Lorentz-Minkowski R : KhĂc vợi nh lỵ Bernstein n+1 Łi vỵi c¡c m°t cüc ti”u R ; Łi vỵi m°t cüc ⁄i khỉng gian Lorentzn +1 Minkowski R ; nh lỵ Bernstein úng vợi måi n (xem [8]) C¡c nh To¡n håc ¢ v ang m rng nh lỵ Bernstein thu ữổc cĂc nh lỵ kiu Bernstein theo nhiãu cĂch khĂc i vỵi c¡c a t⁄p cüc ti”u khỉng gian Ìclit, ta câ c¡c k‚t qu£ cıa J Simons (xem [46]), Ecker-Huisken (xem [24]) cho trữớng hổp i chiãu v c¡c k‚t qu£ cıa Chern - Osserman (xem [10]), Fischer-Colbrie (xem [25]), Hildebrandt-Jost-Widman (xem [34]), J Jost v Y Xin (xem [37]), M T Wang (xem [48]) cho trữớng hổp i chiãu cao M rng i vợi cĂc ç tü co rót (shrinker) khỉng gian Ìclit, ta câ c¡c k‚t qu£ cıa Ecker v Huisken (xem [23]), Lu Wang (xem [47]), Cheng v Wei (xem [7]), D T Hieu (xem [28]) cho trữớng hổp i chiãu v c¡c k‚t qu£ cıa H Zhou (xem [51]) cho trữớng hổp i chiãu cao i vợi cĂc ỗ to n phƒn f-cüc ti”u khæng gian t‰ch, ta câ c¡c k‚t qu£ cıa D T Hieu, T L Nam n khæng gian t‰ch G R (xem [32]) v khổng gian Gauss (xem [28]) nh lỵ halfspace c in v cĂc m rng Mt nh lỵ liản quan n mt cỹc tiu  v ang thu hót sü quan t¥m cıa c¡c nh To¡n håc nhng nôm gn Ơy na l nh lỵ halfspace ( nh lỵ nòa khổng gian) nh lỵ halfspace c in cıa Hoffman-Meeks (xem [35]) khflng ành r‹ng hai m°t nhóng proper cüc ti”u, ƒy ı R ln c›t trł chóng l c¡c m°t phflng song song Khi thay mºt hai m°t ð tr¶n bði mºt mt phflng th ta ữổc nh lỵ halfspace yu v cụng ữổc gồi l nh lỵ halfspace Ngữới ta  ch rng cĂc nh lỵ halfspace n y khổng cặn úng trữớng hổp s chiãu cao V vy, c¡c nh To¡n håc ang t“p trung mð rºng ành lỵ halfspace theo cĂc cĂch khĂc cõ th thu ữổc cĂc nh lỵ kiu halfspace nhữ: - M rng lản cĂc a vợi mt ; - M rºng l¶n c¡c khỉng gian t‰ch; - Mð rºng l¶n lợp cĂc mt f-cỹc tiu i chiãu v i chi•u cao, Trong lu“n ¡n n y, chóng tỉi nghiản cứu mt s kt quÊ vã mt f-cỹc tiu c¡c khỉng gian t‰ch vỵi mưc ‰ch sau: - Nghi¶n cøu ph¡t bi”u mŁi quan h» giœa m°t f-cüc tiu v nghiằm tỹ ỗng dng ca dặng cong trung b…nh - Nghi¶n cøu ph¡t bi”u mºt sŁ t‰nh ch§t cıa m°t f-cüc ti”u c¡c khỉng gian t‰ch - Nghiản cứu xƠy dỹng cĂc nh lỵ kiu Bernstein, nh lỵ kiu halfspace cho cĂc mt f-cỹc tiu (f-cỹc ⁄i) c¡c khỉng gian t‰ch - Nghi¶n cøu ph¡t bi”u mºt sŁ k‚t qu£ v• m°t f-cüc ti”u Łi chiãu cao t ữổc mửc ch t ra, chúng tổi nghiản cứu theo cĂc bữợc sau: - Chồn mºt khæng gian t‰ch (t‰ch Riemann, t‰ch cong, t‰ch Lorentz) cử th - Trản khổng gian tch  chồn, xt c¡c m°t f-cüc ti”u ( Łi chi•u ho°c Łi chi•u cao), ti‚n h nh t…m hi”u v ph¡t bi”u: mt s tnh chĐt, nh lỵ kiu Bernstein, nh lỵ ki”u halfspace cho c¡c m°t f-cüc ti”u â V• m°t k thut, lun Ăn sò dửng cĂc phữỡng phĂp nghiản cøu ch‰nh sau: - Sß dưng c¡c ph†p t‰nh vi tch phƠn cĂc tnh toĂn - Phữỡng phĂp bin ph¥n ” x¡c ành c¡c bi‚n ph¥n di»n t‰ch theo m“t º - °c bi»t, ph÷ìng ph¡p dịng d⁄ng cï kt hổp vợi nh lỵ Stokes chứng minh cĂc tnh chĐt cỹc tiu diằn tch ữổc sò dửng hu khp chữỡng ca lun Ăn - Sò dửng nh lỵ divergence tng quĂt xƠy dỹng cổng thức vã f-th” t‰ch cıa m-shrinker v k‚t qu£ li¶n quan ‚n nh lỵ kiu Bernstein i chiãu cao n G : Vợi tản ã t i v mửc ch nghiản cøu cıa lu“n ¡n, ngo i c¡c phƒn Danh möc cĂc kỵ hiằu, Danh mửc cĂc hnh v, M u, K‚t lu“n chung v Ki‚n nghà, Danh mưc cỉng tr…nh nghiản cứu liản quan n ã t i v T i li»u tham kh£o, phƒn nºi dung ch‰nh cıa lu“n ¡n ÷ỉc tr…nh b y ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Sỡ lữổc vã mt cỹc tiu Trong chữỡng n y, tŒng hæp tł mºt sŁ t i li»u tham kh£o, lu“n ¡n tr…nh b y l÷ỉc mºt sŁ kh¡i ni»m, t‰nh ch§t, v ‰ dư v k‚t qu£ quan trồng liản quan n mt cỹc tiu Chữỡng 2: M°t f-cüc ti”u Trong ch÷ìng n y, c¡c mưc 2.1, 2.2 v 2.3 ÷ỉc tŒng hỉp tł mºt sŁ t i li»u tham kh£o ” tr…nh b y tŒng quan vã a vợi mt v mt s khĂi niằm, tnh chĐt, kt quÊ quan trồng vã mt f-cỹc tiu c biằt, mửc 2.4 vã dặng cong trung bnh v nghiằm tỹ ỗng dng ca dặng cong trung bnh, tĂc giÊ Â thu ữổc mt sŁ k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n Ch÷ìng 3: Mºt sŁ k‚t qu£ v• m°t f-cüc ti”u c¡c khỉng gian tch Nhm giúp ngữới ồc tiằn theo dêi, chữỡng n y lun Ăn d nh riảng mửc 3.1 giợi thiằu mt s khĂi niằm, tnh chĐt v• khỉng gian t‰ch (t‰ch Riemann, t‰ch cong, t‰ch Lorentz) v khổng gian tch vợi mt , chúng ữổc tng hæp tł mºt sŁ t i li»u tham kh£o Sau â, c¡c möc 3.2, 3.3 v 3.4 t¡c gi£ tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ ch‰nh m lu“n Ăn t ữổc vã mt f-cỹc tiu (f-cỹc i) c¡c khỉng gian t‰ch cư th” Ngo i ra, ” ng÷íi åc d„ n›m b›t nºi dung v k‚t qu£ chnh ca mỉi chữỡng, lun Ăn  trnh b y nºi dung tâm t›t v k‚t lu“n t÷ìng øng ð ƒu v cuŁi cıa ch÷ìng â Ch÷ìng SèLìẹCV M TCĩCTI U Trong chữỡng n y, tng hổp tł c¡c t i li»u [11], [12], [16], [18], [27], [38], [42], [49], [50], lu“n ¡n tr…nh b y lữổc vã mt cỹc tiu bao gỗm: mt s khĂi ni»m cì b£n nh÷ º cong trung b…nh v vectì º n cong trung b…nh cıa si¶u m°t R ; vectì º cong trung b…nh cıa mºt a t⁄p k-chi•u mºt a t⁄p Riemann n-chi•u; c¡c v‰ dư v k‚t qu£ quan trång v• m°t cüc ti”u; v cuŁi cịng l kh¡i ni»m dỈng º cong trung bnh, cĂc nghiằm tỹ ỗng dng ca dặng cong trung b…nh (co rót ho°c tành ti‚n) 1.1 º cong trung b…nh Trong mưc n y, chóng ta s‡ câ mt s khĂi niằm cỡ bÊn gỗm: cong trung n b…nh v vectì º cong trung b…nh cıa si¶u m°t R ; vectì º cong trung b…nh cıa mt v cong trung bnh ca siảu mt nhữ l c¡c a t⁄p 1.1.1 º cong trung b…nh cıa si¶u m°t R n Trong R ; mºt siảu mt tham s trỡn n t miãn m U cıa R n‚u c¡c vectì gian ti‚p xóc cıa n l mºt ¡nh x⁄ kh£ vi r : U ! R n ÷ỉc sinh bði t⁄i p = r(u); kỵ hiằu Tp , l khổng gian vectỡ n vectì cıa t⁄i i”m p: Vectì ph¡p ìn N(u) cıa Tp cho n N(u) l mºt cì sð nh hữợng dữỡng ca khổng gian R ữổc gồi l vectì ph¡p ìn cıa t⁄i i”m p: Mºt tr÷íng vectì dåc theo si¶u m°t tham sŁ r : U ! n n R l mºt ¡nh x⁄ n X : U ! T R cho X(u) Tr(u)R vỵi måi u U: °c bi»t, n‚u X(u) l mt vectỡ tip xúc ca siảu mt ti r(u) vợi måi u U th… X ÷ỉc gåi l tr÷íng vectì ti‚p xóc ⁄o h m cıa tr÷íng vectì X theo hữợng v, kỵ hiằu rvX, ữổc xĂc nh bi rvX = (X u) (0); â v Tr(u0) ; u : [ 1; 1] ! U cho u(0) = u0 v (r u) (0) Pn @X @xi (u0): c biằt, i vợi trữớng vectì ph¡p ìn N; ta câ bŒ • sau: BŒ • 1.1.1.1 ([16], Lemma 3.1.8) ⁄o h m cıa tr÷íng vectì ph¡p ìn N cıa mºt i=1 vi siảu mt theo hữợng vectỡ tip xúc v ti p = r(u) l mºt vectì ti‚p xóc cıa si¶u m°t â t⁄i p: Ngh¾a l , ta câ rvN Tp vỵi måi v Tp : Khi â, ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh Sp : Tp ! Tp ; v 7! vN ữổc gồi l toĂn tò hnh dng hay ¡nh x⁄ Weingarten cıa t⁄i p: H m song tuy‚n tnh IIp trản Tp ữổc xĂc nh bi flng thức IIp(v; w) = hSpv; wi; 8v; w Tp ÷ỉc gåi l d⁄ng cì b£n thø hai cıa : BŒ • sau khflng ành r‹ng d⁄ng cì b£n thø hai câ t‰nh ch§t Łi xøng hay Sp l mºt ¡nh x tuyn tnh tỹ liản hổp B ã 1.1.1.2 ([16], Theorem 3.1.11) Ta câ IIp(@ir(u); @jr(u)) = h@ijr(u); N(u)i; 8u U; i; j = 1; : : : ; n 1: Do â, d⁄ng cì b£n thø hai câ tnh chĐt i xứng, nghắa l hSpv; wi = hv; Spwi; 8v; w Tp ; hay nâi c¡ch kh¡c Sp l mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh tü li¶n hỉp V… v“y, Sp câ ƒy ı c¡c gi¡ trà ri¶ng 1(p); : : : ; n 1(p) v ÷ỉc gåi l cong ch‰nh cıa t⁄i p: Tł â, ta câ nh nghắa sau: nh nghắa 1.1.1.3 Cho mt siảu m°t Rn v l º cong trung b…nh H(p) cıa si¶u m°t t⁄i i”m p i”m p : Khi Do â, ta câ H(p) = n Vectì ~ H:=HN º cong ch‰nh cıa t⁄i p: ÷ỉc gåi l vectì º cong trung b…nh cıa õ ữổc xĂc nh bi H(p) = vợi i(p) l c¡c c¡c º ành thøc cıa Sp ÷ỉc gồi l cong Gauss ca ti p; kỵ hiằu bði K(p): Khi chóng ta cƒn t‰nh to¡n c¡c gi¡ trà ri¶ng v º cong trung b…nh cıa mºt si¶u m°t t⁄i mºt i”m, chóng ta l m vi»c vỵi mºt bi”u di„n d⁄ng ma tr“n cıa ¡nh x⁄ Weingarten Sau ¥y, chóng ta x¥y düng cỉng thøc x¡c ành º cong trung b… nh cıa mºt si¶u m°t hằ tồa a phữỡng n Cho siảu mt tham sŁ r : U ! R : Gåi f@irg l cì sð cıa khỉng gian ti‚p xóc cıa si¶u m°t t⁄i i”m p = r(u): X†t c¡c bi”u di„n d⁄ng ma tr“n Łi vỵi cì sð f@irg cıa d⁄ng cì b£n thø nh§t v thø hai gij := h@ir; @jri ; bij :=II(@ir; @jr) = S(@ir); @jr : Kỵ hi»u g = (gij); b = (bij): Gåi (Sij) l ma tr“n cıa ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh Sp Łi vỵi cì sð f@irg: Ngh¾a l , ta câ Khi â b = b ij ji Suy b = gS hay S = g b Tł â, chóng ta ÷æc â g ij = (g ) l Chúng ta s thữớng xuyản l m viằc vợi cĂc si¶u m°t d⁄ng n mºt h m trìn u : U R ỗ th r(x) = x; u(x) : Khi â, tr÷íng vectì ph¡p ìn cıa u ÷ỉc t‰nh bi Suy S ii u ca 66 nh lỵ 3.4.2.6 Cho l mt m-shrinker kiu ỗ th to n phƒn Rn: Khi â, kho£ng c¡ch tł gŁc tåa º ‚n ; d(O; ); thäa m¢n p d(O; ) < 2m: n Do õ, mt m-shrinker kiu ỗ th to n phƒn R n‹m khæng qu¡ xa gŁc tåa º p Chøng minh Gåi k = l mºt ỗ th to n phn nản d thĐy 2m = k 2 jXj ; 8X Tł M»nh • 3.4.2.5, ta câ Z Z f Z f e (2m j Xj ) dV = f e (2m j Xj ) dV + \Bk e (2m j Xj ) dV = 0: Bk Tł (3.4.5) ta suy rng tch phƠn cui Ơm, nản tch phƠn u d÷ìng Do â, p \ Bk 6=; v d(O; ) < 2m: V vy, mt m-shrinker kiu ỗ th to n phƒn n R n‹m khæng qu¡ xa gŁc tåa º CuŁi cịng, phƒn 3.4.3 sau ¥y, lu“n ¡n tr…nh b y v• mºt sŁ k‚t qu£ ki”u nòa khổng gian i vợi cĂc shrinker cÊ i chiãu v i chiãu cao Ơy l mt nhng k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n v ÷ỉc tr‰ch mºt phƒn tł [30] 3.4.3 Mºt sŁ k‚t qu£ ki”u nßa khæng gian Trong [6], M P Cavalcante v J M Espinar  m rng nh lỵ halfspace ( nh lỵ nòa khổng gian) c in ca Hoffman-Meeks i vợi cĂc shrinker i chiãu 1, ữổc phĂt biu nhữ sau: Cho P l mºt si¶u phflng i qua gŁc tåa º Khi õ cõ nhĐt mt shrinker nhúng proper, ữổc chøa mºt phƒn cıa nßa khỉng gian âng x¡c ành bði P; l = P: Trong phƒn n y, chóng ta s‡ ch¿ mºt sŁ k‚t qu£ ki”u nòa khổng gian i n vợi mt ữổc xt l mºt m-shrinker nhóng proper, ƒy ı R (n > m): Ơy, nòa khổng gian l nòa khổng gian õng, chứa cÊ siảu mt biản Lợp cĂc n mt n y chứa tĐt cÊ cĂc ỗ th to n phn v cĂc mt compact R : Chú ỵ rng, tnh chĐt proper ca shrinker trữớng hổp n y tữỡng ữỡng vợi tnh chĐt tông trồng th tch kiu a thức ca (xem [9]) Trữợc ht, cõ b ã sau B ã n y  ữổc chøng minh bði T H Colding v W P Minicozzi II trữớng hổp i chiãu bng cĂch sò dửng 67 toĂn tò f-Laplace (xem [11]) Trong trữớng hổp Łi chi•u cao, vi»c chøng minh ho n to n tữỡng tỹ B ã 3.4.3.1 ([4], Lemma 2.4) khổng biản thọa mÂn iãu kiằn tông trồng th tch kiu a thøc v câ H + th… Z (jXj2 2m)e j =0= Z Xe jXj Z XjXj e Z (jXj Hìn nœa, n‚u w l n mºt vectì h‹ng R th… = Z jw Z hX; wi T B ã 3.4.3.1, thu ữổc mt s kt quÊ kiu nòa khổng gian cĂc trữớng hổp sau: (i) Nòa khổng gian ữổc xĂc nh bi si¶u phflng i qua gŁc tåa º Tł (3.4.7), ta cõ nghắa l Z xie Do õ, ta thu ữổc cĂc kt quÊ sau: m nh lỵ 3.4.3.2 (Kt quÊ kiu nòa khổng gian i vợi cĂc siảu phflng) th nm vã mt pha ca siảu phflng P i qua gŁc tåa º trł m khæng P: Chøng minh Khổng mĐt tnh tng quĂt ta cõ th giÊ sò si¶u phflng P m m i qua gŁc tåa º cõ phữỡng trnh l xn = 0: Rê r ng n‚u P th… n‹m v• m m mºt ph‰a cıa siảu phflng P: Ngữổc li, nu * P; giÊ sò nm vã m mt pha ca siảu phflng P; â 8X(x1; : : : ; xn) ; ta câ xn ho°c m xn 0; hìn nœa 9X(x1; : : : ; xn) cho t÷ìng øng xn > ho°c xn < 0: Suy Z xne 68 iãu n y mƠu thuÔn vợi (3.4.9) nản si¶u phflng P: V“y trł m m khỉng th” n‹m v• mºt ph‰a cıa khỉng th” n‹m v• mºt ph‰a cıa si¶u phflng P i qua gŁc tåa º m P: m H» qu£ 3.4.3.3 Cho P l mºt si¶u phflng i qua gŁc tåa º, â \ P 6=;: m m m Chøng minh N‚u P th… rê r ng \ P 6=;: Ngữổc li, nu * P th m theo nh lỵ 3.4.3.2 khổng th nm vã mt pha ca siảu phflng P; m õ ta công câ \ P 6=;: H» qu£ 3.4.3.4 N‚u tỗn ti n m vectỡ vi trỹc chu'n sho hX; vii th… m l mºt m-phflng Chøng minh Gåi Pi; i = 1; : : : ; n m l c¡c si¶u phflng i qua gŁc tåa º nh“n m vi l m vectì ph¡p Khi â, i•u kiằn hX; vii tữỡng ữỡng vợi nm vã mt pha ca siảu phflng Pi: Do õ, theo nh lỵ 3.4.3.2 ta câ m Pi; i = 1; : : : ; n l n m dim m =m v m P; n¶n m = P: vectì trüc chu'n (ii) Nòa khổng gian ữổc xĂc nh bi siảu cu T cæng thøc (3.4.6) Z (jXj jXj 2m)e = 0; ta suy c¡c k‚t qu£ sau: ành lỵ 3.4.3.5 (Kt quÊ kiu nòa khổng gian i vợi c¡c si¶u cƒu) p m n khỉng th” n‹m b¶n ngo i ho°c b¶n h…nh cƒu âng p B (O; m n trł S (O; 2m): p m n m 2m) Chøng minh.pN‚u * S (O; 2m); giÊ sò nm ngo i hoc n m 2 m B (O; 2m); â 8X ; ta câ jXj 2m ho°c jXj 2m; hìn nœa, 9X 2 cho t÷ìng øng ta câ jXj > 2m ho°c jXj < 2m: Suy Z (jXj2 2m)e 69 iãu n y mƠu thuÔn vợi (3.4.6) nản m khổng th nm ngo i ho°c b¶n Bn(O; V“y m m Sn 1(O; p n khỉng th” n‹m b¶n ngo i ho°c b¶n B (O; p m H» qu£ 3.4.3.6 N‚u Chøng minh V… k m k S (O; R); k m th… R = p k S (O; R); n¶n 8X(x1; : : : ; xn) 2 m ; ta câ X(x1; : : : ; xn) 2 S (O; R); â jXj = R : K‚t hỉp vỵi (3.4.6), ta suy Do â R = 2m hay R = p m H» qu£ 3.4.3.7 N‚u khæng compact th… m n Chøng minh Ta câ l mºt mt proper, nghắa l vợi mồi compact K R m m s‡ cho ta t“p \ K công compact Trữợc tiản, cn ch rng m khổng b chn Tht vy, giÊ sò ngữổc li, b chn, õ tỗn ti R > m n n n cho B (O; R): M°t kh¡c, h…nh cƒu âng B (O; R) R l mºt t“p compact, m m n m n¶n theo t‰nh proper cıa ta câ \B (O; R) = cơng compact i•u n y m m mƠu thuÔn vợi viằc khổng compact Do õ, khæng bà ch°n p m m n V… khæng bà ch°n n¶n * B (O; jXj > 2m: M°t kh¡c (3.4.6) khflng ành Z Suy ra, ta công câ 9X (jXj m 2m)e cho jXj < 2m: V… v“y d(O; m )< p (iii) Nßa khổng gian ữổc xĂc nh bi siảu trử T cổng thøc Z hX; wi e l§y w = ei; ta câ =2 Z x ie jXj 70 Tł (3.4.6) v (3.4.10), suy Z Z n [jXj n i=k+1 i=k+1 hay Z Z n n [jXj i=k+1 i=k+1 Ta thu ÷ỉc c¡c k‚t qu£ sau: nh lỵ 3.4.3.8 (Kt quÊ kiu nòa khổng gian i vợi cĂc siảu trử) m k 1p Cho nm ngo i m°t trö S m k 1p 1; : : : ; ng: Khi â S ( S m( ( p 2m Chøng minh Ta câ Sk 1( p m M n‹m b¶n ngo i S Do â Ta l⁄i câ (3.4.6) khflng ành Suy 2 x + + x k = 2m V… v“y m S k p v ( 2m): xk+1 = : : : = xn = 0; 8X = (x1; : : : ; xn) °c bi»t, k = m; th nh lỵ 3.4.3.9 (Kt quÊ kiu nòa khỉng gian m khỉng th” n‹m b¶n ngo i m°t trö S k p ( 2m) R m m m : p = S ( 2m): Łi vỵi c¡c siảu trử) n k n R ; vợi k f2; : : : ; mg: 71 m Chøng minh Tht vy, giÊ sò ta cõ k nm ngo i m°t trö S k p ( 2m) R n n R : Khi â, theo l“p lu“n chøng minh ca nh lỵ 3.4.3.8, ta suy m S k p ( 2m): iãu n y mƠu thuÔn v… ta l⁄i câ m = dim m Do â m p k > dim S ( k khỉng th” n‹m b¶n ngo i m°t trư S ( k f2; : : : ; mg: nh lỵ 3.4.3.10 (K‚t qu£ ki”u nßa khỉng gian Cho m k n‹m b¶n mºt h…nh trư âng B (R) R v R= i vợi cĂc siảu trử) n p Chứng minh Do 2(m ( m k n‹m h…nh trö âng B (R) R nk n R ; n¶n 8X(x1; : : : n ; xn) ; ta câ 2 x + : : : + x k R2 hay Thay v o (3.4.11), ta câ ¡nh gi¡ n Z i= k+1 X Suy 8X(x1; : : : ; xn) n ; ta câ hay 2 x1 + : : : + xk = 2(m (n k V… v“y m S k (R) R n 72 3.5 K‚t lu“n Ch÷ìng Trong Chữỡng 3, lun Ăn  giÊi quyt ữổc cĂc vĐn ã sau: - Trnh b y sỡ lữổc cĂc kh¡i ni»m v t‰nh ch§t cıa mºt sŁ khỉng gian t ch vợi mt m lun Ăn ang nghiản cøu - Ph¡t bi”u v chøng minh ÷ỉc mºt sŁ k‚t qu£ v• m°t f-cüc ti”u khỉng + gian t‰ch cong R w n G : t‰nh cüc ti”u di»n t‰ch vỵi m“t º cıa + n f(x) n cĂc silce ( a phữỡng R w R vợi m“t º e ; x R ho°c to n cöc + n R w G ) ( ành lỵ 3.2.1.1 v nh lỵ 3.2.2.1); cĂc nh lỵ kiu + n + n Bernstein c¡c khæng gian t‰ch cong R a G v G a G (H» qu£ 3.2.3.2, nh lỵ 3.2.4.2) - PhĂt biu v chứng minh ÷ỉc mºt sŁ k‚t qu£ v• m°t f-cüc ⁄i khæng n gian t‰ch Lorentz G R1: °c bi»t l nh lỵ kiu Calabi-Bernstein ( nh lỵ 3.3.2.4) - PhĂt biu v chứng minh ữổc mt s kt quÊ vã mt f-cỹc tiu i chiãu cao: ữa mt chn trản i vợi khoÊng cĂch t gc tồa O n mt ỗ th to n n phn dng m-shrinker R ( nh lỵ 3.4.2.6); + + Thu ữổc mt s kt quÊ kiu nòa khổng gian i vợi m-shrinker (c£ n Łi chi•u v Łi chi•u cao) nhóng proper, ƒy ı R (n > m) C¡c kt quÊ ữổc xt trản cĂc nòa khổng gian ln lữổt ữổc xĂc nh bi: siảu phflng i qua gc tồa ( nh lỵ 3.4.3.2), siảu cu ( nh lỵ 3.4.3.5), siảu trử ( nh lỵ 3.4.3.8, nh lỵ 3.4.3.9, nh lỵ 3.4.3.10) CĂc kt quÊ trản rĐt cõ ỵ nghắa vã mt khoa hồc v thỹc tin, chúng ¢ gâp phƒn gi£i quy‚t b i to¡n kh£o s¡t c¡c t‰nh ch§t cıa m°t f-cüc ti”u c¡c khỉng gian t‰ch nâi chung v khỉng gian t‰ch vỵi m“t nõi riảng, ỗng thới m rng ữổc cĂc nh lỵ c in ni ting nhữ nh lỵ Bernstein hay CalabiBernstein, nh lỵ halfspace lản cho mt f-cỹc tiu cụng nhữ mt f-cỹc tiu i chiãu cao cĂc khổng gian tch TĐt cÊ ãu hữợng n giÊi quyt gn nhữ trồn vàn mửc ch nghiản cứu m lun Ăn ¢ °t 73 K T LU N CHUNG V KI N NGHÀ K‚t lu“n chung Lu“n ¡n ¢ ⁄t ÷ỉc c¡c k‚t qu£ ch‰nh sau: - Thi‚t lp ữổc mt s kt quÊ vã mi liản hằ gia mt f-cỹc tiu v nghiằm tỹ ỗng dng (co rót v tành ti‚n) cıa dỈng º cong trung b…nh (M»nh • 2.4.1.1 v M»nh • 2.4.2.1) - Chøng minh ÷ỉc t‰nh ch§t f-cüc ti”u di»n t‰ch àa ph÷ìng R f(x) n vỵi m“t º e ; x R v f-cüc ti”u di»n t‰ch to n cöc R cĂc slice ( nh lỵ 3.2.1.1 v nh lỵ 3.2.2.1) + w + w R n n G cıa - Thit lp v chứng minh ữổc cĂc nh lỵ ki”u Bernstein: c¡c khæng + n + n gian t‰ch cong vỵi m“t º R a G ; G a G (Hằ quÊ 3.2.3.2, nh lỵ n 3.2.4.2); v khỉng gian t‰ch Lorentz vỵi m“t º G R1 ( nh lỵ 3.3.2.4) - PhĂt biu v chứng minh ÷ỉc mºt sŁ k‚t qu£ v• m°t f-cüc ti”u Łi chiãu cao: ữa mt chn trản i vợi khoÊng cĂch t gc tồa O n mt ỗ th to n n phƒn d⁄ng m-shrinker R ( ành lỵ 3.4.2.6); + + Thu ữổc mt s kt quÊ kiu nòa khổng gian i vợi m-shrinker (cÊ n i chi•u v Łi chi•u cao) nhóng proper, ƒy ı R (n > m) C¡c k‚t qu£ ÷ỉc x†t trản cĂc nòa khổng gian ln lữổt ữổc xĂc nh bði: si¶u phflng i qua gŁc tåa º ( ành lỵ 3.4.3.2), siảu cu ( nh lỵ 3.4.3.5), siảu trử ( nh lỵ 3.4.3.8, nh lỵ 3.4.3.9, nh lỵ 3.4.3.10) Kin ngh v hữợng nghiản cứu tip theo Vã m°t chuy¶n mỉn, chóng tỉi dü ành nghi¶n cøu ti‚p cĂc vĐn ã sau: - XƠy dỹng cĂc nh lỵ kiu Bernstein trản a tch cong vợi mt tng quĂt - XƠy dỹng cĂc nh lỵ kiu Bernstein cho mt i chiãu cao khổng gian tch vợi m“t º 74 DANH MÖC C˘NG TR NH NGHI N CÙU LI N QUAN N TI Nguy„n Thà Mÿ Duy¶n (2017) Si¶u m°t f-cüc ti”u v nghi»m tü çng d⁄ng cıa dỈng º cong trung b…nh K y‚u Hºi th£o Khoa håc cho håc vi¶n cao håc v nghiản cứu sinh nôm hồc 2017-2018 NXB i hồc Sữ phm Tp Hỗ Ch Minh, 9-19 An, H V Q., Cuong, D V., Duyen, N T M., Hieu, D T., Nam, T L (2017) n On entire f-maximal graphs in the Lorentzian product G R1 J Geom Phys., 114, 587-592 Duyen, N T M (2020) Some results on slices and entire graphs in certain weighted warped products East-West J of Mathematics, 22(1), 76-85 Duyen, N T M and Loan, N T T (2021) On the distance from the origin to an entire graphic m-shrinker Differential Geometry - Dynamical Systems, 23, 52-58 Hieu, D T and Duyen, N T M (2020) Halfspace type theorems for self- shrinkers in arbitrary codimension arXiv:2012.04509v5 C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n ¢ ÷ỉc b¡o c¡o v th£o lu“n t⁄i: Hºi th£o Khoa håc cho håc vi¶n cao håc v nghi¶n cøu sinh n«m håc 2016-2017 Hºi th£o Khoa håc cho hồc viản cao hồc v nghiản cứu sinh nôm håc 2017-2018 Hºi nghà To¡n håc Mi•n Trung - TƠy Nguyản ln thứ 2, Lt, nôm 2017 i hºi To¡n håc to n quŁc lƒn thø IX, Nha Trang, n«m 2018 Hºi nghà To¡n håc v Œi mợi phữỡng phĂp dy hồc nôm 2018, H Sữ phm Tp.HCM Hi ngh i s - Lỵ thuyt s - H…nh håc v Tỉpỉ (DAHITO), B Ràa - Vơng T u, n«m 2019 75 T ILI UTHAMKH O Aledo, J A., Romero, A., Rubio, R M (2014) Constant mean curvature spacelike hypersurfaces in Lorentzian warped products and Calabi Bernstein type problems Nonlinear Anal., 106, 57-69 Almgren, F J (1966) Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein’s theorem Ann of Math., 84(2), 277-292 An, H V Q., Cuong, D V., Duyen, N T M., Hieu, D T., Nam, T L (2017) n On entire f-maximal graphs in the Lorentzian product G R1 J Geom Phys., 114, 587-592 Arezzo, C., and Jun, S (2013) Self-shrinkers for the mean curvature flow in arbitrary codimension Math Z., 274, 993-1027 Bombieri, E., De Giorgi, E and Giusti, E (1969) Minimal cones and the Bernstein problem Invent Math., 7, 243-268 Cavalcante, M P and Espinar, J M (2016) Halfspace type theorems for self-shrinkers Bull Lond Math Soc., 48(2), 242-250 Cheng, Q M and Wei, G (2014) The gauss image of -hypersurfaces and a Bernstein type problem arXiv:1410.5302 Cheng, S Y and Yau, S T (1976) Maximal spacelike hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski spaces Ann of Math., 104, 407-419 Cheng, X and Zhou, D (2013) Volume estimate about shrinkers Proceedings of the American Mathematical Society, 141(2), 687-696 10 Chern, S S and Osserman, R (1967) Complete minimal surfaces in Eu- clidean n-space J Analyse Math., 19(1), 15-34 11 Colding, T H and Minicozzi, W P (2012) Generic mean curvature flow I: generic singularities Ann of Math., 175(2), 755-833 12 Colding, T H., Minicozzi, W P and Pedersen, E K (2015) Mean curvature flow Bull Amer Math Soc (N.S.), 52(2), 297 333 13 Collin, P., Hauswirth, L., Rosenberg, H (2015) Properly immersed minimal surfaces in a slab of H R, H the hyperbolic plane Arch Math (Basel), 104(5), 471 484 76 14 Corwin, I., Hoffman, N., Hurder, S., Sesum, V., and Xu, Y (2006) Differential geometry of manifolds with density Rose-Hulman Und Math J., 7(1), 1988-1989 15 Corwin, I and Morgan, F (2011) The Gauss-Bonnet formula on surfaces with densities Involve, 4(2), 199-202 16 Csikâs, B (2014) Differential geometry Lecture Notes and Workbooks for Teaching Undergraduate Mathematics Eotos Lor¡nd University 17 De Giorgi, E (1965) Una estensione del teorema di Bernstein (Italian) Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci., 19(1), 79-85 18 Do Carmo, M P (2016) Differential geometry of curves and surfaces: revised and updated second edition Courier Dover Publications 19 Nguyn Th M Duyản (2013) ToĂn tò Laplace vợi mt º T⁄p ch‰ Khoa håc v Gi¡o dưc, Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m Hu‚, 02(26), 15-24 20 Nguy„n Thà Mÿ Duyản (2017) Siảu mt f-cỹc tiu v nghiằm tỹ ỗng d⁄ng cıa dỈng º cong trung b…nh K y‚u Hºi th£o Khoa håc cho håc vi¶n cao håc v nghi¶n cứu sinh nôm hồc 2017-2018 NXB i hồc Sữ phm Tp Hỗ Ch Minh, 9-19 21 Duyen, N T M (2020) Some results on slices and entire graphs in certain weighted warped products East-West J of Mathematics, 22(1), 76-85 22 Duyen, N T M and Loan, N T T (2021) On the distance from the origin to an entire graphic m-shrinker Differential Geometry - Dynamical Systems, 23, 52-58 23 Ecker, K and Huisken, G (1989) Mean curvature evolution of entire graphs Ann of Math., 130(3), 453-471 24 Ecker, K and Huisken, G (1990) A Bernstein result for minimal graphs of controlled growth J Differential Geom., 31(2), 397-400 25 Fischer-Colbrie, D (1980) Some rigidity theorems for minimal submanifolds of the sphere Acta Math., 145(1), 29-46 26 Gromov, M (2003) Isoperimetry of waists and concentration of maps Geom Funct Anal., 13(1), 178-215 27 Halldârsson, H P (2013) Self-similar solutions to the mean curvature flow in Euclidean and Minkowski space Thesis (Ph.D.) Massachusetts Institute of Technology ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, (no paging) 77 28 Hieu, D T (2020) A weighted volume estimate and its application to Bern-stein type theorems in Gauss space Colloq Math., 159(1), 25-28 29 Hieu, D T (2011) Some calibrated surfaces in manifolds with density J Geom Phys., 61(8), 1625 1629 30 Hieu, D T and Duyen, N T M (2020) Halfspace type theorems for self- shrinkers in arbitrary codimension arXiv:2012.04509v5 31 Hieu, D T., Hoang, N M (2009) Ruled minimal surfaces in R with z density e Pacific J Math., 243(2), 277-285 32 Hieu, D T., Nam, T L (2014) Bernstein type theorem for entire weighted n minimal graphs in G R J Geom Phys., 81, 87 91 33 Hieu, D T., Nam, T L (2008) On the four vertex theorem in planes with ’(r) radial density e Colloq Math., 113, 169-174 34 Hildebrandt, S., Jost, J and Widman, K O (1980) Harmonic mappings and minimal submanifolds Invent Math., 62(2), 269-298 35 Hoffman, D and Meeks, W H (1990) The strong halfspace theorem for minimal surfaces Invent Math., 101(1), 373-377 36 Huang, G., Zhang, C and Zhang, J (2011) Liouville type theorem for the drifting Laplacian operator Arch Math (Basel), 96(4), 379-385 37 Jost, J and Xin, Y L (1999) Bernstein type theorems for higher codimen-sion Calc Var Partial Differential Equations, 9(4), 277-296 38 Lee, J M (2006) Riemannian manifolds: an introduction to curvature Springer Science and Business Media, 176 39 Lopez, R (2014) Differential geometry of curves and surfaces in Lorentz- Minkowski space Int Electron J Geom., 7(1), 44-107 40 Morgan, F (2005) Manifolds with density Notices of the AMS, 52(8), 853-858 41 Olver, P J (2016) Introduction to the Calculus of Variations University of Minnesota 42 O’Neill, B (1983) Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativ-ity Academic Press, London 43 Osserman, R (1986) A survey of minimal surfaces Dover Publications, Inc., New York 78 44 Rosenberg, H., Schulze, F., Spruck, J (2013) The half-space property and entire positive minimal graphs in M R J Differential Geom., 95(2), 321 336 45 Salamanca, J J and Salavessa, I M (2015) Uniqueness of -minimal hy- persurfaces in warped product manifolds J Math Anal Appl., 422(2), 1376-1389 46 Simons, J (1968) Minimal varieties in riemannian manifolds Ann of Math., 88, 62-105 47 Wang, L (2011) A Bernstein type theorem for self-similar shrinkers Geom Dedicata, 151, 297-303 48 Wang, M T (2003) On graphic Bernstein type results in higher codimension Trans Amer Math Soc., 355(1), 265-271 49 White, B (2013) Lectures on minimal surface theory arXiv preprint arXiv:1308.3325 50 Xin, Y (2003) Minimal submanifolds and related topics World Scientific 51 Zhou, H (2015) Some Bernstein Type Results of Graphical Self- Shrinkers with High Codimension in Euclidean Space Thesis (Ph.D.)-City University of New York ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 74 pp ... Ta câ f f x = divf rx = e div(e = x hr f; Xuixu hr f; Xvixv: T÷ìng tü, ta câ f y = y h f ’; Xuiyu hr f; Xviyv v f z = z hr f; Xuizu hr f; Xvizv: Suy ( f x; f y; f z) = X hr f; XuiXu hr f; XviXv:... hr f; XviXv: M°t kh¡c, ta câ bi”u di„n rf = hrf; XuiXu + hrf; XviXv + hrf; NiN: Do â ( f x; f y; f z) = X f + hrf; NiN: Hay ( f x; f y; f z) + rf = X + hrf; NiN: n cõ ữổc tnh chĐt tữỡng tỹ R (vợi... 2 f f f x = divf (rx ) = e div(e rx ) f = 2e div(e h = 2ef @u @ f @x f @x @u; e x @v) x ef x @x @u + @v @ @x i e f x @v @x + @x @u@v =2 h h =2 x = 2x f x + 2jrxj : T÷ìng tü, ta câ 2 f y = 2y f