PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ CHÍNH THỨC.. Câu 4: 4 điểm Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến và AD b ằng nửa cạnh BC.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2003 – 2004 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( điểm) Tìm x biết: a) x x 3 x 27 3x b) c) 5x x 2 Tìm các số nguyên a, b cho ab 3b 4b 5a b 3 a c Câu 2: ( điểm) Cho b d Chứng minh a c a, b, c, d 0; a b; c d a) a b c d a ac b bd 2 b) c ac d bd a, b, c, d 0; a c; b d Câu 3: (5 điểm) Tìm nghiệm đa thức: a) 3x 2x b) x 5x 2 Cho đa thức P x ax bx cx d Chứng minh 6a ; 2b ; a b c ; d là số nguyên thì P x là số nguyên với số nguyên x Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến và AD b ằng nửa cạnh BC a) Chứng minh ABC vuông A b) Lấy E là điểm trên cạnh BC cho EC 2EB Chứng minh Câu 5: (1 điểm) AC 3 EC EA Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x x 1 y y 0 (2) Câu Câu (6 điểm) ………… Hết……… ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) NÔI DUNG Điểm a) x 5 x 3 x & x khác dấu Mà x x x x Nên x x 3 Vậy: x 1, đ x x x 27 3x 33x 3x 3 2.33x 3x 3x 3x b) 1, đ 1, đ 33x 3x 3x x 2x 2 x 1 33x 3x 3x x 2x 2 x 1 Vậy: x 1 c) 5x x 5x x 5x x 4x 6 6x 2 x 1,5 x 1, đ 1, đ 1, đ x 1,5 Vậy: ab 3b 4b 5a ab +5a - 7b = x a b b 35 a b 35 b 5 Vì: Ư 0, đ 35 1; 5; 7; 35 b 3 b 8 b 35 b 30 0, đ a a 6 Vậy: Câu (4 điểm) a 6; b 30 a c a b a b a) Từ: b d c d c d a a b a c c c d a b c d (đpcm) a c a c ac b) Từ: b d b d bd 1, đ 1, đ (3) a ac a ac 2 Ta có: b bd b bd c ac c ac d bd d bd Câu (5 điểm) 1, đ (2) 1, đ (1) 2 c ac c ac c ac d bd d bd d bd c ac d bd Từ : (1) và (2) Tìm nghiệm đa thức 3x 2x 0 3x x 3x + 1 0 a) Ta có: x x 1 x 1 0 x 0 x 1 3x 1 0 3x 0 x Vậy x 1 x x 1 0, 75 đ b) x 5x Đặt 0, 75 đ x t t 0 Ta có: x 5x 0 T 5T 0 T T 4T 0 T T 1 T 1 0 T 0 T 1 T 0 T 0 - Nếu - Nếu Vậy: T 1 T 4 x T 1 x 1 x 1 x T 4 x 4 x 2 x 2; 1;1; 2 0, 75 đ 2 P x ax bx cx d P x ax3 - ax bx bx ax bx cx d P x = ax x 1 bx x 1 a b c x d P x = ax x 1 x 1 b x 1 x a b c x d P x = 6a 0, 75 đ x 1 x x 1 2b x 1 x a b c x d 1,0 đ (4) Với số nguyên x ta có: x 1 x x 1 6 (tích ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6) x 1 x x 1 Z x 1 x x 1 Z 6a (1) Vì : 6a Z Với số nguyên x ta có: x 1 x 2 (tích hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2) x 1 x Z x 1 x Z 2b Vì : 2b Z xZ a b c x Z Vì : a b c Z Vì : d Z (4) (2) (3) Từ : (1) ; (2) ; (3) và (4) P x là số nguyên với số nguyên x Câu (4 điểm) 1, đ A B D C a) AD BC AD DB DC DB DC BC ABD cân D A1 B ACD cân M A2 C 0, 25đ 0, đ B C BAC A1 A Ta có: B C BAC 180 (tổng ba góc tam giác) BAC 1800 BAC 900 0, đ (5) 0, đ ABC vuông A (đpcm) b) A B E D C I F Trên tia AB lấy điểm F cho B là trung điểm AF CB là trung tuyến ACF 0, 25 đ EC 2 EB CE CB E Vì: là trọng tâm ACF AE là trung tuyến ACF Kéo dài AE cắt CF I I là trung điểm FC AI CF ACF Vuông A trung tuyến hay CF 2AI AD BC Ta có: hay BC 2AD Vì E là trọng tâm ACF BC 1,5EC và AI 1,5EA Áp dụng định lí Pi -Ta - Go vào tam giác vuông ACF 1,0 đ ta có: 2 CF =AF2 AC 2AI 2AB AC 4AI 4AB AC 2 1,5EA 4 BC AC AC 9EA 4 BC 4AC AC 2 9EA 4 1,5EC 3AC 9EA 9EC 3AC 3AC 9 EC EA AC 3 EC EA Câu (1 x 1 y y x 2 (đpcm) 1,0 đ (6) điểm) x 2; x x 1 y y 0 y y Ta có: y y y y y y y y 0, đ Mà : y y y 3 y 3 Thay vào (1) ta được: x x 1 1 0 x x x 1 x 1& y 3 Vậy: 0, đ (7)