Về xấp xỉ quá trình poisson trên không gian trừu tượng

MỤC LỤC Mục lục .1 Lời nói đầu .2 Chương Một số kiến thức phân phối Poisson 1.1 Phân phối mũ .4 1.2 Phân phối Poisson 1.3 Quá trình đếm N (t) 10 1.4 Quá trình Poisson 11 1.5 Mơ hình Poisson 14 1.6 Các trình Poisson lập thành martingale 16 Chương Về xấp xỉ q trình Poisson khơng gian trừu tượng 18 2.1 Các định nghĩa giả thiết 18 2.2 Xấp xỉ trình Poisson với giả thiết A1 , B1 21 2.3 Xấp xỉ trình Poisson với giả thiết A2 , B2 25 2.4 Một vài mở rộng 27 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo .30 LỜI NÓI ĐẦU Để đo chênh lệch ( sai khác) phân phối hai biến ngẫu nhiên lấy giá trị nguyên không âm X(E) Y(E) người ta dùng số đo d(X(E), Y (E)) = sup |P [X(E) ∈ A] − P [Y (E) ∈ A]| A∈B Đề tài nghiên cứu sai số độ chênh lệch phân phối tổng m X(Ei ) với phân phối Poisson Z có tham số λ i=1 Luận văn gồm chương Chương Một số kiến thức phân phối Poisson Trong chương này, trình bày kiến thức sở phân phối Poisson kiến thức cần dùng cho nội dung Chương Chương Xấp xỉ q trình Poisson khơng gian trừu tượng Trong phần này, trình bày số định lý đề cập tới vấn đề xấp xỉ phân phối biến ngẫu nhiên xác định không gian trừu tượng phân phối Poisson Đề tài hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo tổ Xác suất Khoa Tốn - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù cố gắng nhiều hạn chế mặt lực, kiến thức thời gian nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ bạn bè, thầy để luận văn hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 11 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Nhã CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN PHỐI POISSON Quá trình Poisson trình ngẫu nhiên quan trọng lý thuyết ứng dụng Đây hịn đá tảng mơ hình ngẫu nhiên Q trình Poisson trường hợp đặc biệt xích Markov với thời gian liên tục 1.1 Phân phối mũ Phân phối mũ đóng vai trị quan trọng nhiều ứng dụng xác suất Dưới trình bày vài tính chất phân phối mũ 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA Ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ > mật độ xác suất có dạng f (x) = λe−λx , x ≥ 0 , x < Bằng tính tốn đơn giản ta thu kết sau * X có phân phối mũ với tham số λ > hàm phân phối xác suất có dạng F (x) = − e−λx , x ≥ 0 , x < *X có phân phối mũ với λ > E(X) = λ1 , E(X ) = λ2 , V ar(X) = 1.1.2 Các tính chất phân phối mũ λ2 * Ta nói biến ngẫu nhiên X không nhớ P (X > s + t|X > t) = P (X > s), ∀s, t ≥ 0.(1.1) Rõ ràng (1.1) tương đương với hai điều kiện sau P (X > s + t, X > t) = P (X > s) P (X > t) P (X > s + t) = P (X > t)P (X > s) Nhận xét X có phân phối mũ X khơng nhớ Ví dụ Giả sử thời gian sống trung bình bóng đèn điện phịng 10 có phân phối mũ Nam vào phịng thấy bóng đèn sáng Tính xác suất để Nam làm việc liền sử dụng bóng đèn Giải: Gọi X thời gian sống bóng đèn Khi ta có: E(X) = 10 = λ1 , suy λ = 0, Vì X khơng nhớ( thắp sáng lâu ) nên xác suất phải tìm là: P (X > 5) = − P (X ≤ 5) = − F (5) = − (1 − e−5λ ) = e−0,5 Chú ý X biết nhớ xác suất phải tìm là: P (X > + t|X > t) = = P (X > + t, X > t) P (X > + t) = P (X < t) P (X > t) − P (X ≤ + t) − F (5 + t) = , − P (X ≤ t) − F (t) t thời gian bóng đèn sử dụng trước Nam bước vào phòng *Giả sử X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối mũ với tham số λ Khi X1 + X2 + + Xn có phân phối gamma với tham số m λ, tức hàm mật độ có dạng fn (x) = (λx)n−1 λe−λx , (n−1)! x ≥ , x < 0 Thật vậy, hiển nhiên kết luận với n = Giả sử kết luận với n − Khi ta có: ∞ f (x − y)fn−1 (y)dy fn (x) = x = (λy)n−2 λe−λ(x−y) (n−2)! λe−λy dy (λx)n−1 −λx = λe (n − 1)! Chú ý: Nếu X có phân phối gamma với tham số n λ f (x) hàm mật độ X1 E(X) = nλ , V ar(X) = n λ2 Ví dụ(Hàm tốc độ hỏng) : Giả sử X thời gian sống thiết bị Ta xem X biến ngẫu nhiên có hàm mật độ hàm phân phối f (t) F (t) tương ứng Hàm tốc độ hỏng r(t) X tính theo cơng thức r(t) = f (t) − F (t) Để hiểu ý nghĩa r(t) ta giả sử X vượt t ( thiết bị làm việc t thời gian rồi) Ta muốn biết xác suất để X không vượt t + ∆t ( thiết bị bị hỏng trước t + ∆t), với ∆t > Xác suất là: P (X ∈ (t, t + ∆t)|X > t) = = P (X ∈ (t, t + ∆t), X > t P (X > t) f (t)∆t P (X ∈ (t, t + ∆t)) = = r(t)∆t P (X > t) − F (t) , tức là, r(t) biểu thị mật độ xác suất có điều kiện để thiết bị có tuổi t khơng làm việc Dễ thấy rằng, X có phân phối mũ với tham số λ thì: f (t) λe−λt r(t) = = −λt = λ − F (t) e Như hàm tốc độ hỏng phân phối mũ số (bằng tham số phân phối ấy) Chú ý: Hàm tốc độ hỏng r(t) xác định hàm phân phối F (t) Thật vậy, ta có: r(t) = F (t) − F (t) Suy ra, t F (t) = − exp{− r(u)du} Do đó, phân phối mũ phân phối có hàm tốc độ hỏng số 1.2 Phân phối Poisson 1.2.1 Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson với tham số λ > λk −λ P (X = k) = Pk = e k! , (với k = 0, 1, ) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ > ta kí hiệu X ∼ P (λ) a Kì vọng phương sai phân phối Poisson Cho P (X = k) = λk −λ k! e , ( với k = 0, 1, ) +) Kỳ vọng ∞ E(X) = = ke−λ λk k! k−0 0.e−λ k −λ −λ + 1.λ.e−λ + λ 2!e + + k λ k!e + = λ.e−λ (1 + λ 1! + λ2 2! λk−1 (k−1)! + + + ) = λ.e−λ eλ = λ +) Phương sai D(X) = EX − (EX)2 Ta có : EX ∞ = k=0 ∞ = k k e−λ λk! k.(k k=0 = e−λ λ2 = λ2 + λ k − 1).e−λ λk! ∞ k=0 ∞ k + k=0 k.e−λ λk! k−2 λ (k−2)! +λ Vậy DX = λ b Hàm đặc trưng phân phối Poisson ϕX (t) = Eeitx = = e−λ Vậy ϕX (t) = ∞ k−0 it λ.(e −1) e ∞ eitk pk = k=0 (λ.eit )k k! ∞ −λ eitk e k=0 it λk k! it = e−λ eλ.e = eλ.e −λ 1.2.2 Các tính chất phân phối Poisson it = eλ.(e −1) 1.2.2.1 Giả sử X , Y hai biến ngẫu nhiên độc lập, với X ∼ P (λ1 ) Y ∼ P (λ2 ) Khi đó: X + Y ∼ P (λ1 + λ2 ) Chứng minh Ta có X , Y độc lập nên ϕX+Y (t) = ϕX (t).ϕY (t) Mà it ϕX (t) = eλ1 (e −1) it ϕY (t) = eλ2 (e −1) Suy ϕX (t).ϕY (t) = eλ1 (e it = e(λ1 +λ2 ).(e −1) it −1) eλ2 (e it −1) = ϕX+Y (t) Vậy X + Y ∼ P (λ1 + λ2 ) 1.2.2.2 Hệ Giả sử N biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ > , X biến ngẫu nhiên cho P (X = k|N = n) = Cnk pk (1 − p)n−k ( với k= 0, 1,2,3 ,n) Khi X có phân phối Poisson với tham số λp, nghĩa X ∼ P (λp) 1.2.2.3 Luật biến cố Giả sử A biến cố xẩy với xác suất p Ký hiệu X số lần xuất A n lần quan sát Khi X có phân phối nhị thức P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ( với k= 0, 1,2,3 ,n) Ta biết, luật biến cố khẳng định p bé n lớn xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Cụ thể là: λk −λ P (X = k) ≈ e k! λ = np 1.3 Quá trình đếm N (t) Giả sử A biến cố Ký hiệu N (t), t ≥ số lần biến cố A xuất khoảng thời gian từ tới t ( kể thời điểm t) Khi N (t), t ≥ gọi trình đếm Chẳng hạn ta có ví dụ sau q trình đếm • A biến cố khách vào cửa hàng Khi N (t) số khách hàng vào cửa hàng tính tới thời điểm t • A biến cố điện thoại gọi tới trạm bưu điện Khi N (t) số lần gọi tới trạm bưu điện tính tới thời điểm t • A biến cố sinh trai Khi N (t) số trai sinh tính tới thời điểm t Nếu N (t) trình đếm, N (t) biến ngẫu nhiên có tính chất sau N (t) ≥ 0, N (0) = N (t) số nguyên không âm N (s) ≤ N (t), ∀0 ≤ s ≤ t N (s, t] = N (t) − N (s), (0 ≤ s < t), số lần biến cố A xẩy khoảng thời gian (s, t] 10 b Ta có X(3) − X(2) X(2) − X(0) độc lập nên P [X(3) − X(2)] = 0|X(2) − X(0) = 0] = P [X(3) − X(2) = 0] = e−0.1 ≈ 0.9048 Ví dụ Giả sử số khách đến cửa hàng q trình Poisson với cường độ λ = giờ, cửa hàng mở cửa lúc sáng Tính xác suất để tính đến 30 phút có khách tới cửa hàng 11 30 phút có khách tới cửa hàng Giải Gọi thời điểm xuất phát t0 = : 00 Xác suất cần tìm P [X( 12 ) = 1, X( 25 ) = 5] = P [X( 12 ) = 1, X( 52 ) − X( 12 ) = 4] = P [X( 12 = 1].P [X( 25 ) − X( 12 )] = 4] −8 = (2.e−2 ).[( 512 ).e ] = 1024 −10 e ≈ 0, 0155 1.5.3 Q trình khơng Ta có q trình Poisson khơng cường độ trình phụ thuộc vào thời gian, tức λ = λ(t) X(t) − X(s) có phân t phối Poisson với tham số λ(u)d(u) s 1.5.4 Các giả thiết quan trọng trình Poisson N (t), t ≥ Quá trình Poisson trình đếm N (t) thỏa mãn tiên đề sau i) N (t) có số gia độc lập ii) N (t) có số gia dừng iii) ∃λ > cho với h bé P (N (h) = 1) = λh + o(h)(= − e−λh ) 16 iv) Với h > bé P (N (h) ≥ 2) = o(h) Từ suy P (N (h) = 0) = − P (N (h) = 1) − P (N (h) = 2) = − (1 − e−λh ) − o(h) = e−λh 1.6 Các q trình Poisson lập thành martingale Ví dụ Giả sử (Xt )t≥0 trình Poisson với tham số λ > 0, F≤t = σ(ω : Xs , s ≤ t) Khi (Yt = Xt − λt) lập thành martingale Chứng minh i) Do (X(t))t trình Poisson nên (X(t))t có số gia độc lập Do đó, (Y (t))t có số gia độc lập ii) Do (X(t))t trình Poisson nên E(Xt − Xs ) = λ(t − s) Cho s = Ta có: E(Xt − X0 ) = λ(t − 0) Từ suy ra: EXt − λt = Hay E(Yt ) = Vậy (Yt = Xt − λt) lập thành martingale F≤≈ Ví dụ Giả sử (Xt )t≥0 trình Poisson với tham số λ > 0, F≤t = σ(ω : Xs , s ≤ t) Khi (Yt = (Xt − λt)2 − λt) lập thành martingale Chứng minh i) Do (X(t))t trình Poisson nên (X(t))t≥0 có số gia độc lập Do đó, (Y (t))t có số gia độc lập ii) Do (X(t))t≥0 trình Poisson nên E(Xt − Xs ) = λ(t − s) D(Xt − X0 ) = λ(t − s) Cho s = 17 Ta có E(Xt − X0 ) = λ(t − 0) D(Xt − X0 ) = λ(t − 0) Suy EXt = λt = DXt Từ đó: E(Xt − EXt )2 = λt Hay E(Xt − λt)2 = λt =⇒ E((Xt − λt)2 − λt) = < ∞ Vậy (Yt = (Xt − λt)2 − λt) lập thành martingale F≤ 18 CHƯƠNG VỀ XẤP XỈ QUÁ TRÌNH POISSON TRÊN KHƠNG GIAN TRỪU TƯỢNG Chương đề cập đến vấn đề xấp xỉ phân phối biến ngẫu nhiên xác định không gian trừu tượng phân phối Poisson 2.1 Các định nghĩa giả thiết Giả sử X tập trừu tượng bất kì, F vành tập hợp X λ hàm tập cộng tính F Cho không gian xác suất (Ω, A, P ) hàm X(E, Ω) hàm lấy giá trị nguyên không âm, có tính chất cộng tính X(E + F, ω) = X(E, ω) + X(F, ω) ,trong đó: E, F ∈ F E F = ∅ Ta đưa vào giả thiết sau n A1 Với ε > E ∈ F tồn khai triển E = Ei tập i=1 E , Ei ∈ F λ(Ei ) < ε, i=1, 2, ,n B1 Với E ∈ F X(E) có tính chất sau P (X(E) = 0) = e−λ(E) ( Chẳng hạn xác suất để khơng có gọi khoảng thời gian E ) P (X(E) ≥ 2) ≤ λ(E).δ(λ(E)) (Chẳng hạn xác suất để có khơng q lần gọi) Trong lim δ(x) = x−→0 Đặt η = max δ(Ei ) 1≤i≤n 19 Số đo mức độ chênh lệch biến ngẫu nhiên lấy giá trị nguyên không âm X(E) Y (E) định nghĩa d(X(E), Y (E)) = sup |P [X(E) ∈ A] − P [Y (E) ∈ A]| A∈B B σ đại số cảm sinh số nguyên không âm {0, 1, 2, , n} Từ định nghĩa ta có d(X(E), Y (E)) = n |P [(X(E) = k] − P (Y (E) = k]|, k=0 Người ta đưa vào độ đo khác chênh lệch X Y định nghĩa d0 (X(E), Y (E)) = sup |P [X(E) ≤ k] − P [Y (E) ≤ k]| k≥0 n Từ A1 B1 , [4] với E ∈ F , X(E) = X(Ei ) có phân phối Poisson với tham số λ(E) i=1 Mục đích chương giới hạn sai số xấp xỉ phân bố n X(Ei ) phân bố Poisson Hơn cho ta giới hạn đơn giản, i=1 phụ thuộc vào số ε, η λ d0 (X(E), Z(E)) d(X(E), Z(E)) Z(E) biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ(E) Trước hết cần bổ đề sau Bổ đề 1.[4] Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập Bernoulli X1 , X2 , , Xn với xác suất thành công tương ứng : p1 , p2 , , pn cho Z có phân 20 n phối Poisson với trung bình pi Khi i=1 n n p2i Xi , Z) ≤ d( i=1 i=1 Bổ đề [4] Giả sử Y trình Poisson với tham số λ, Z Poisson với tham số λ > λ Khi d(Y, Z) ≤ λ − λ 2.2 Xấp xỉ trình Poisson với giả thiết A1 , B1 Đầu tiên ta chứng minh Định lý1 Trong điều kiện A1 , B1 với E ∈ F , ta có: d(X(E), Z(E)) ≤ C(ε).λ(E).(ε + η), (3) C(ε) số dương phụ thuộc vào ε ( < ε < 1) Chứng minh Ta đưa vào hàm: Y (Ei ) = 0, X(Ei ) = 1, X(Ei ) ≥ (i=1, 2, n) Chúng ta thấy Y (E1 ) + Y (E2 ) + + Y (En ) = X(E1 ) + X(E2 ) + + X(En ) ,ngoại trừ n [X(Ei ) ≥ 2] i=1 Gọi W (E) biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số n P [Y (Ei ) = 1] i=1 21 Ta xây dựng biến ngẫu nhiên Poisson độc lập U (E1 ), U (E2 ), ,U (En ) với tham số tương ứng: λ0 (Ei ) = − log(1 − λ(Ei ))i = 0, 1, 2, , n n Đặt : Y (E) = n Y (Ei ), U (E) = i=1 U (Ei ) i=1 Theo cách đặt ta có d(X(E), Z(E)) ≤ d(X(E), Y (E)) + d(Y (E), W (E))+ +d(W (E), U (E)) + d(U (E), Z(E)) (4) Dễ nhận thấy n d(X(E), Y (E)) ≤ P [X(Ei ) ≥ 2] ≤ η.λ(E) (5) i=1 Nhờ bổ đề 1, ta có n P [Y (Ei ) = 1] d(Y (E), W (E)) ≤ i=1 Theo định nghĩa Y (Ei ) A1 , ta có n d(Y (E), W (E)) ≤ P [X(Ei ) ≥ 1] ≤ n λ2 (Ei ) (6) i=1 i=1 n U (Ei ) biến ngẫu nhiên Poisson Biết W (E) U (E) = i=1 nên, từ bổ đề 2, ta có n d(W (E), U (E)) ≤ [− log(1 − λ(Ei )) − P [Y (Ei ) = 1]] i=1 ε ε2 ≤ [1 + + ] 3(1 − ε) n λ2 (Ei ).(7) i=1 Cũng lập luận tương tự ta có ε d(U (E), Z(E)) ≤ [ + ] 3(1 − ε) 22 n λ2 (Ei ) (8) i=1 Từ (4) (8), ε(3 + ε) ](ε + η)λ(E) d(X(E), Z(E)) ≤ [ + 6(1 − ε) Từ suy điều phải chứng minh (3) Nhận xét Nếu δ hàm tăng d(X(E), Z(E)) ≤ C(ε)(ε + δ(ε))λ(E) Từ lập luận có định lý chứng minh định lý 3, ta thiết lập kết sau Định lý Giả sử với E ∈ F , P [Xi (E) = k] = hàm tập λki (E) −λi (E) , k! e i=1,2, ,n, n λi (E) λ(E) = i=1 đo F tuân theo điều kiện A1 Nếu E ∈ F , ta có n n P[ P [Xi (E) = ki ] tất số nguyên [Xi (E) = ki ]] = i=1 i=1 không âm k1 , k2 , , kn mà n ki ≤ i=1 , ta có ước lượng d(X(E), Z(E)) ≤ K(ε).λ(E).ε , n X(E) = Xi (E) i=1 23 , X(E) phân phối Poisson với tham số λ(E), K(ε) = + ε(2 + 5ε) 6(1 − ε) Bây giả sử Zi (E), i=1, 2, , n , biến ngẫu nhiên Poisson với log µi (E) = λ(E) n log i=1 , i=1,2, ,n Trong > 1, i=1,2, ,n số tùy ý Từ định lý định lý [4], ta thu Định lý Giả sử, với E ∈ F n P[ Xi (E) = k] = =1 λk (E) −λ(E) e k! Trong λ(E) độ đo F , tuân theo điều kiện A1 Nếu tất cả: E∈F n n , P[ P [Xi (E) = 0] [Xi (E) = 0]] = i=1 i=1 F ((λ(E))) P [Xi (E) = 0] = , i=1,2 ,n, > số tùy ý F (x) hàm nhận giá trị thực ta có ước lượng: d(Xi (E), Zi (E)) ≤ Li (ε, n)µi (E)ε, i = 1, , n 24 Trong n log ε(1 − 4ε) i=1 ε(3 + ε) log +[ − Li (ε, n) = [ + ] ] 6(1 − ε) n 6(1 − ε) log log i=1 n log ε(2 + 5ε) i=1 ] ≤ [3 + 6(1 − ε) log Nhận xét: Rõ ràng n λ(Ei ) = λ(E) i=1 n đại lượng không lớn λ(Ei ) bé i=1 n λ(Ei ) λ (Ei ) nhỏ với số lớn [ max λ(Ei )] Tuy nhiên, 1≤i≤n i=1 i=1 n λ2 (Ei ) mang lại kết tốt cho [ max λ(Ei ) = Do ràng buộc 1≤i≤n i=1 n λ(Ei ) i=1 n ε] λ2 (Ei ) bé 2.3 Xấp xỉ Poisson với giả thiết A2 B2 Bây ta giả thiết thay điều kiện A1 B1 điều kiện sau n A2 Với E ∈ F , tồn phép phân hoạch E = n Ei ∈ F , λ(Ei ) < 1, (Ei ) E với i=1 λ2 (Ei ) vô nhỏ ( = ε) i=1 B2 Với E ∈ F , thõa mãn (1), P [X(E) ≥ 2] ≤ CE λ2 (E), CE số dương liên tục, phụ thuộc vào E 25 Từ giả thiết trên, ta có định lý sau Định lý 1’ Trong điều kiện A2 B2 với E ∈ F , ta có ước lượng: λE (3 + λ(E)) + ]ε0 , 6(1 − λ(E) CE = max CEi , λE = max λ(Ei ) d(X(E), Z(E)) ≤ [CE + 1≤i≤n 1≤i≤n n n λ (Ei ) : Ei ∈ F, i = 1, 2, , n, ε0 = inf{ Ei } E= i=1 i=1 Định lý 2’ Giả sử với E ∈ F λki (E) −λi (E) P [Xi (E) = k] = e k! , i=1,2, ,n, n λi (E) đo F thõa mãn điều Và đặt hàm tập λ(E) = i=1 kiện A2 Nếu với E ∈ F , mà: n P[ n [X(Ei ) = ki ]] = i=1 P [X(Ei ) = ki ], i=1 n ki ≤ 1, Với k1 , k2 , , kn số ngun khơng âm, thỏa mãn i=1 đó: d(X(E), Z(E)) ≤ [3 + λE (2 + 5λE ) ]ε1 6(1 − λE ) , λE = max λi (E) ε1 = inf 1≤i≤n n n λ (Ej ) : Ej ∈ F, j = 1, 2, , n, E = j=1 Ej j=1 26 Định lý 3’ Giả sử với E ∈ F , n P[ Xi (E) = k] = i=1 λk (E) −λ(E) e k! , λ(E) độ đo F , tuân theo điều kiện A2 , E ∈ F , có: n n P [Xi (E) = 0] [Xi (E) = 0]] = [ i=1 i=1 F (λ(E)) P [Xi (E) = = , i = 1, 2, , n, với số tùy ý lớn F (x) hàm tùy ý nhận giá trị thực đó: n λE (3 + λE ) λE (1 − 4λE ) +( − ) d(Xi (E), Zi (E)) ≤ [ + 6(1 − λE ) 6(1 − λE ) log )2 ( i=1 log ]εi , i = 1, 2, , n đại lượng λE , Zi (E) µi (E) giống định lý 3, n n µ2i (Ej ) εi = inf{ : Ej ∈ F, j = 1, 2, , n, E = i=1 Ej } j=1 2.4 Một vài mở rộng Sử dụng đánh giá (3) (3’) , mở rộng kết để ước lượng kỳ vọng biến ngẫu nhiên X biến ngẫu nhiên Z Trong [4], chứng minh h hàm nhận giá trị thực 27 số ngun khơng âm cho h < 1, ta có ước lượng sau ∞ n |Eh( Xi ) − i=1 k=0 e−λ λk h(k) | ≤ k! n p2i , i=1 Trong X1 , X2 , , Xn dãy biến cố độc lập Bernouli với n P [Xi = 1] = − P [Xi = 0] = pi λ = i=1 p2i Từ phân tích dễ dàng có định lý sau Định lý Từ điều kiện A1 B2 với E ∈ F với hàm h nhận giá trị thực xác định số nguyên không âm cho với |h| ≤ 1, ta có ước lượng sau ∞ n |Eh( X(Ei )) − i=1 k=0 e−λ λk h(k) ε(3 + ε) | ≤ [5 + ](ε + η)λ(E) k! 3(1 − ε) 28 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau đây: Đã trình bày cách có hệ thống số kiến thức phân phối Poisson số phân phối có liên quan như: - Phân phối mũ, phân phối Poisson, số tính chất phân phối Poisson - Q trình đếm, trình Poisson, ý nghĩa thực tế trình Poisson - Các trình Poisson lập thành martingale Đã thiết lập ước lượng độ chênh lệch phân phối X phân phối Poisson Z : d(X(E), Z(E)), điều kiện A1 B1 , theo yếu tố ε, η λ Đã thiết lập ước lượng độ lệch phân phối X phân phối Poisson Z điều kiện A2 B2 4.Trình bày ước lượng độ lệch kỳ vọng phân phối X phân phối Z 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác xuất , NXB ĐHQG [2] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mơ hình xác suất ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB ĐHQG [4] M Polak and D Szynal (1977), An Approximation Poisson Processes Defined on an Abstract Space, Bulletin de L’Academie Polonaise de Sciences Vol.XXV N.10 [5] M Romanowska (1978), Poisson Approximation of some probability Distributions, Bull de L’Acad.Polo.Vol XXVI N.12 [6] Luo J.W (2006), Comparison principle and Stability of Ito stochastic differential delay equations with Poisson jumps and Markovian swithching, Nonlinear Analysis 64 30 ... martingale F≤ 18 CHƯƠNG VỀ XẤP XỈ Q TRÌNH POISSON TRÊN KHƠNG GIAN TRỪU TƯỢNG Chương đề cập đến vấn đề xấp xỉ phân phối biến ngẫu nhiên xác định không gian trừu tượng phân phối Poisson 2.1 Các định... phân phối Poisson Trong chương này, trình bày kiến thức sở phân phối Poisson kiến thức cần dùng cho nội dung Chương Chương Xấp xỉ q trình Poisson khơng gian trừu tượng Trong phần này, trình bày... phân phối Poisson số phân phối có liên quan như: - Phân phối mũ, phân phối Poisson, số tính chất phân phối Poisson - Quá trình đếm, trình Poisson, ý nghĩa thực tế trình Poisson - Các trình Poisson