Một cách tiếp cận về quá trình poisson

MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức trình Poisson chuyển động Brown 1.1.Phân phối mũ 1.2.Phân phối Poisson 1.3.Quá trình đếm 12 1.4.Quá trình Poisson 12 1.5.Mơ hình Poisson 16 1.6 Chuyển động Brown 18 Một cách tiếp cận trình Poisson 23 2.1.Định nghĩa trình Poisson theo cách tiếp cận 23 2.2.Một số tính chất quan trọng q trình Poisson 24 2.3.Chuyển động Brown n-chiều 31 2.4.Một số tính chất chuyển động Brown 32 2.5.Quá trình P Levy 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 LỜI NĨI ĐẦU Q trình Poisson trình ngẫu nhiên quan trọng lý thuyết ứng dụng Đây đá tảng mơ hình ngẫu nhiên Q trình Poisson chuyển động Brown hai ví dụ lý thuyết trình ngẫu với thời gian liên tục Các trình Levy (mang tên nhà bác học Pháp Paul Levy) gồm trình Poisson chuyển động Brown xem hai ví dụ quan trọng lớp trình ngẫu nhiên quan tâm đặc biệt nghiên cứu Trong luận văn trình bày cách tiếp cận trình Poisson dựa tính chất có gia số độc lập tính dừng q trình điểm N Từ cách tiếp cận thiết lập số tính chất quan trọng q trình Poisson Bên cạnh chúng tơi nghiên cứu vài ví dụ, tính chất q trình Wiener n-chiều số tính chất quan trọng q trình Levy Với mục đích đó, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Một số kiến thức trình Poison chuyển động Brown Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở trình Poisson, chuyển động Brown kiến thức cần dùng cho nội dung Chương Chương Một cách tiếp cận trình Poisson Trong phần này, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất q trình Poisson theo cách tiếp cận mới, số ví dụ tính chất chuyển động Brown n-chiều cuối số định nghĩa tính chất q trình Levy Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành tới Thầy, Cơ giáo tổ Lý thuyết xác suất thống kê toán Khoa Toán - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nhiều hạn chế mặt lực, kiến thức thời gian nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Dương Thanh Thủy CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ QUÁ TRÌNH POISSON VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN Q trình Poisson trình ngẫu nhiên quan trọng lý thuyết ứng dụng Đây đá tảng mơ hình ngẫu nhiên Hơn q trình Poisson trường hợp đặc biệt Xích Markov với thời gian liên tục 1.1 Phân phối mũ Phân phối mũ đóng vai trị quan trọng nhiều ứng dụng xác suất Dưới chúng tơi trình bày định nghĩa vài tính chất phân phối mũ 1.1.1 Định nghĩa Ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ > mật độ xác suất có dạng f (x) = λe−λx x ≥ 0 x < (1.1) Bằng tính tốn đơn giản, ta có kết sau: • X có phân phối mũ với tham số λ > hàm phân phối xác suất có dạng F (x) = − e−λx x ≥ 0 x < (1.2) • X có phân phối mũ với tham số λ > E(X) = , E(X ) = , var(X) = λ λ λ 1.1.2 Tính chất (1.3) 1.1.2.1 Định lý X có phân phối mũ P (X > s + t | X > t) = P (X > s), Chứng minh ∀s, t ≥ (∗) Giả sử X có phân phối mũ, ta có P (X > s + t) = − P (X ≤ s + t) = − F (s + t) = − (1 − e−λ(s+t) ) ⇒ P (X > s + t) = e−λ(s+t) , P (X > s) = e−λs , P (X > t) = e−λt ⇒ P (X > s + t) P (X > s + t) ⇒ P (X > t) P (X > s + t, X > t) ⇔ P (X > t) ⇔ P (X > s + t|X > t) = P (X > s).P (X > t) = P (X > s) = P (X > s) = P (X > s), ∀s, t ≥ 1.1.2.2 Định lý Giả sử X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với tham số λ Khi X1 + X2 + · · · + Xn có phân phối gamma với tham số n λ, tức hàm mật độ có dạng (λx)n−1 λe−λx (n−1)! fn (x) = Chứng minh x ≥ x < (1.4) Với n = kết luận hiển nhiên Giả sử kết luận với n − Khi ta có +∞ f (x − y)fn−1 (y)dy fn (x) = +∞ = λe n−2 −λ(x−y) (λy) (n − 2)! λeλy dy (λx)n−1 λx = λe dy (n − 1)! Trong f (x) hàm mật độ X1 Vậy kết luận với n Chú ý X có phân phối gamma với tham số n λ với hàm mật độ f (x) = np xp−1 e−nx x > 0 x ≤ (1.5) n n , V ar(X) = λ λ (1.6) E(X) = 1.1.3 Ví dụ Ta hình dung X thời gian sống bóng đèn điện chẳng hạn Khi (*) có nghĩa xác suất để bóng đèn sống (s + t) với điều kiện bóng sống s xác suất (không điều kiện) để bóng đèn sống s Nói cách khác, bóng đèn " khơng nhớ " dùng qua thời gian t Giả sử thời gian sống trung bình bóng đèn điện 10 có phân phối mũ Nam vào phòng thấy đèn sáng Tính xác suất để Nam làm việc liền sử dụng bóng đèn Gọi X thời gian sống bóng đèn Khi ta có: E(X) = 10 = λ suy λ = 0, Vì X khơng nhớ (đã thắp sáng rồi) nên xác suất phải tìm P (X > 5) = − P (X ≤ 5) = − F (5) = − e−5λ = e−0,5 Chú ý X biến nhớ xác suất phải tìm P (X > + t, X > t) P (X > t) P (X > + t) = P (X > t) − P (X ≤ t + 5) = − P (X ≤ t) − F (t + 5) = − F (t) P (X > + t|X > t) = Trong t thời gian bóng đèn sử dụng trước 1.2 Phân phối Poisson 1.2.1 Định nghĩa Dãy Poisson với tham số λ>0 dãy số λk −λ Pk = − e , k! (k = 0, 1, 2, ) (1.7) Ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ>0 P (X = k) = − λk −λ e k! (k = 0, 1, 2, ) (1.8) Khi E(X) = V ar(x) = λ (1.9) 1.2.2 Tính chất 1.2.2.1 Định lý Nếu X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối Poisson với tham số λ1 , λ2 tương ứng X + Y có phân phối Poisson với tham số λ1 + λ2 Chứng minh Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có N P (X = k, Y = n − k) P (X + Y = n) = k=0 N P (X = k)P (Y = n − k) = k=0 N = k=0 λk1 −λ1 λn−k e e−λ2 k! (n − k)! −(λ1 +λ2 ) = e n! N k=0 n! λk1 λn−k k!(n − k)! 1.2.2.2 Định lý Giả sử N biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ > X biến ngẫu nhiên cho: P (X = k|N = n) = Cnk pk (1 − p)n−k (k = 0, 1, ., n) (1.10) Khi X có phân phối Poisson với tham số λp Chứng minh Ta thấy ∞ P (X = k) = = = P (X = k|N = n)P (N = n) n=0 ∞ λn [ n! n=0 (λp)k k! n! pk (1 − p)n−k ] k!(n − k)! ∞ −λ e n=0 [λ(1 − λ]n−k [ ] (n − k)! (λp)k e−λ eλ(1−p) k! (λp)k −λp = e (∀k = 0, 1, 2, ) k! = 1.2.2.3 Luật biến cố Giả sử A biến cố xảy với xác suất P Ký hiệu X số lần xuất A n lần quan sát Khi X có phân phối nhị thức: P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k 10 (k = 0, 1, 2, , n) (1.11) 2.3 Chuyển động Brown n- chiều 2.3.1 Định nghĩa Q trình thích nghi B = (Bt )t≥0 lấy giá trị Rn gọi chuyển động Brown n-chiều nếu: (i) Bt − Bs độc lập với Fs với (0 ≤ s < t < ∞) (gia số độc lập với khứ) (ii) Bt − Bs ∼ N (0, (t − s)C) C: ma trận không ngẫu nhiên < s < t 2.3.2 Các ví dụ trường Wiener Trường Wiener hai tham số rời rạc Giả sử (ζm1 ,m2 )(m1 , m2 = 0, 1, ) - họ đại lượng ngẫu nhiên rời rạc không gian xác suất {Ω, F, P} E(ζm1 ,m2 ) = Đặt ξm1 ,m2 = ζk1 ,k2 k = (k1 , k2 ), m = (m1 , m2 ), (2.25) k có phân phối chuẩn với tham số (0, st) W σ đại số nhỏ tập Ω cho Gọi Fz = Fx,y đại lượng W (z ), z ∈ (0, z] đo Trường Wiener hai tham số W (z) = W (x, y) Martingale mạnh W họ Fz = Fx,y 2.4 Một số tính chất chuyển động Brown 2.4.1 Định lí Giả sử B chuyển động Brown tồn B có quỹ đạo liên tục Chứng minh Giả sử B chuyển động Brown ta có E | Bt − Bs |= t − s với ∀s, t nên < s < t, ∀t, t + h ∈ (0, 1) E(| Bt+h − Bh |p ) ≤ k | h |1+ε , (2.27) p, ε k số dương Theo hệ định lý Kolmogorov tồn B có quỹ đạo liên tục 2.4.2 Định lí Giả sử B chuyển động Brown chiều với B0 = Mt = Bt2 − t Martingale Chứng minh E{Mt } = E{Bt2 − t} = E{Mt − Ms | Fs } = E{Bt2 − Bs2 − (t − s)}, E{Bt Bs | Fs } = Bs E{Bt | Fs } = Bs2 32 Ta có B Martingale với Bs , Bt ∈ L2 Do E{Mt − Ms | Fs } = E{Bt2 − Bs2 − (t − s) | Fs } = E{Bt2 − 2Bt Bs + Bs2 − (t − s) | Fs } = E{(Bt − Bs )2 − (t − s) | Fs } = E{(Bt − Bs )2 } − (t − s) = (t − s) − (t − s) = ⇒ E{Mt | Fs } = Ms ⇒ Mt Martingale 2.4.3 Định lí Giả sử Wt = (Wt1 , Wt2 , Wtr ), t ≥ trình Wiener r−chiều, W0 = Gọi F i = σ{ω : Wti t ≥ 0} (i = 1, r) Khi σ đại số F , F i , , F r độc lập Chứng minh Thật vậy: Với ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn Ta chứng minh véc tơ ngẫu nhiên sau độc lập (Wt11 , Wt12 , , Wt1n ), , (Wtr1 , Wtr2 , , Wtrn ) Phân phối đồng thời chúng phân phối Gauss Do Wti Wtj (j = i) không tương quan Cov(Wti − Wtj ) = EWti Wtj − EWti EWtj = (2.28) Nên véc tơ độc lập Từ ta có F i F j độc lập (i = j) 2.4.4 Định lí Cho Wt1 Wt2 hai trình Wiener Khi l.i.m (Wt1i+1 − Wt1i )(Wt2i+1 − Wt2i ) = làm mịn phân hoạch đoạn [a, b] 33 (2.29) Chứng minh Chú ý Wt = Wt1 + Wt2 √ trình Wiener (Wt1i+1 − Wt1i )2 (Wt2i+1 − Wt2i )2 2(Wt1i+1 − Wt1i )(Wt2i+1 − Wt2i ) (Wti+1 −Wti ) = + + 2 2 ⇒ l.i.m (Wt1i+1 − Wt1i )(Wt2i+1 − Wt2i ) = 21 [l.i.m 2(Wti+1 − Wti )2 −l.i.m (Wt1i+1 −Wt1i )2 −l.i.m (Wt2i+1 −Wt2i )2 ] = 12 [2(b − a) − (b − a) − (b − a)] 2.4.5.Định lí Cho (Wt ), t ≥ trình Wiener xuất phát từ Khi q trình phản xạ | (Wt ) | trình Markov với thời gian liên tục Chứng minh Thật vậy, tính đối xứng (Wt ) với gốc tọa độ nên | Wt |= Wt ≥ Wt < Wt −Wt (2.30) Vì (−Wt ), t ≥ trình Wiener nên | Wt | q trình có gia số độc lập q trình Markov 2.4.6 Định lí Giả sử (Wt ), t ≥ trình Wiener chiều với quỹ đạo liên tục xuất phát từ Khi lim | Wt |= với xác suất t→∞ với x0 ∈ R3 P {Wt = x0 ∈ R3 } = 1, P {Wt = 0} = 1, Chứng minh a) Vì | Wt − x0 | Martingale 34 ∀t > ∀t > (2.31) (2.32) đó, sup E(| Wt − x0 |−1 ) = E(| W0 − x0 |−1 ) = sup E 1 =E = | Wt | | Wδ | (2πδ) 23 R3 −|x| e 2δ dx < ∞ |x| (2.34) Áp dụng định lí hội tụ ta có, Wt = 0, ∀t ≥ δ > với xác suất tức ∀t > Hơn lim | Wt − x0 |−1 = h.c.c | Wt − x0 |−1 →P Từ | Wt |→ ∞ t → ∞ 2.4.7 Định lí Giả sử W (t) q trình Wiener Khi tW ( 1t ) W (t + s) − W (s) (s cố định ) trình Wiener Chứng minh Cần nhắc lại tổ hợp tuyến tính trình Gauss trình Gauss Giả sử W (t) trình Wiener tiêu chuẩn Ta sẻ chứng tỏ X(t) = (W (t + s) − W (s)) ∼ N (0, t) Thật E(X(t)) = E(W (t))2 = E(W (t + s))2 − 2E((W (t + s) − W (s))W (s) − E(W (s))2 ) = t + s − 0.0 − s = t 35 Ta sẻ chứng tỏ X(t + h) − X(t) = W (t + s + h) − W (t + s) có gia số độc lập q trình Wiener tiêu chuẩn Đặt Y (t) = tW ( 1t ) Ta thấy tW ( 1t ) = W (s) s (t > 0) → s = t → 0, nên ta định nghĩa Y (0) = Dễ nhận thấy Y (t) ∼ N (0, t), EY (t) = (Y (t))2 = t2 E(W (t))2 = t2 1t = t Y có gia số độc lập suy từ 1 Y (t) − Y (s) = tW ( ) − sW ( ) t s 1 = t(W ( ) − W ( )) + (t − s)W ( ) t s s 2.4.8 Định lí Giả sử W (t) trình Wiener tiêu chuẩn Khi W (t) − t trình Wiener ta có bất đẳng thức sau: P ( sup | Wt2 − t |≥ a) ≤ 0≤s≤t 2t2 a2 E( sup | Wt2 − t |2 ) ≤ 8t2 (2.35) (2.36) 0≤s≤t Chứng minh Chú ý E(| Wt2 − t |2 ) = E(Wt4 ) − 2tE(Wt2 ) + t2 = 3t2 − 2t.t + t2 = 2t2 , áp dụng bất đẳng thức Martingale cực đại bất đẳng thức Doob cho q 36 trình Wt2 − t ta có P ( sup | 0≤s≤t Wt2 2t2 2 − t |≥ a) ≤ E(Wt − t) = a a E( sup | Wt2 − t |2 ) ≤ 4E((Wt2 − t)2 ) ≤ 8t2 0≤s≤t 2.4.9 Định lí Đối với q trình Wiener tiêu chuẩn ta ln có W (t) =0 t→∞ t lim h.c.c (2.37) Chứng minh W (t) ) = lim E(W (t)) t→∞ t→∞ t t = lim = t→∞ t W (t) lim E( ) = lim E(W (t)) t→∞ t→∞ t t = lim t→∞ t = lim = t→∞ t lim E( Từ suy điều phải chứng minh 2.5 Quá trình P.Levy Các trình Poisson chuyển động Brown xem trường hợp riêng trình P.Levy 2.5.1 Định nghĩa Một trình thích nghi X = (Xt )t≥0 với X0 = q trình Levy nếu: (i) X có gia số độc lập với khứ, nghĩa Xt − Xs độc lập với Fs , ≤ s < t < ∞ (ii) X có gia số dừng, nghĩa Xt − Xs có phân phối Xt−s , ≤ s < t < ∞ 37 (iii) Xt liên tục theo xác suất, nghĩa lim Xt = Xs t→s 2.5.2 Định nghĩa Một trình thích nghi X = (Xt )t≥0 với X0 = trình Levy nội nếu: (i) X có gia số độc lập với khứ, nghĩa Xt − Xs độc lập với Fs , ≤ s < t < ∞ (ii) X có gia số dừng, nghĩa Xt − Xs có phân phối Xv − Xu , ≤ s < t < ∞, t − s = v − u (iii) Xt liên tục theo xác suất, nghĩa lim Xt = Xs t→s Dĩ nhiên trình Levy nội trình Levy lọc cực tiểu Nếu biến đổi Fourier Xt nhận hàm f (t, u) = ft (u) cho ft (u) = E{eiuXt } f0 (u) = 1, ft+s (u) = ft (u).fs (u) ft (u) = (2.38) ∀(t, u) 2.5.3 Một số tính chất quan trọng q trình Levy 2.5.3.1 Định lý Cho X trình Levy Tồn Y X mà Cadlag q trình Levy Chứng minh Giả sử Mtu = eiuXt ft (u) Với u cố định Q, R, trình (Mtu )0≤t : Bt = z} Khi T thời đểm dừng P (T < ∞) = Chúng ta xác định quy trình X cơng thức: Xt = Bt I{t : Xt = z} Khi rõ ràng P (R ≤ t; Xt < z − y) = P (T ≤ t; Bt < z − y) (R, X) (T, B) có phân phối Tuy nhiên có R = T đồng nhất, từ {R ≤ t; Xt < z − y} = {T ≤ t; Bt > z + y} Bằng việc xây dựng X Do P (T ≤ t; Bt > z + y) = P (T ≤ t; Bt < z − y) P (T ≤ t; Bt > z + y) = P (St ≥ z; Bt < z − y = P (Bt > z + y) Đẳng thức cuối hệ bao hàm thức {St ≥ z} ⊂ {St ≥ z + y} Ngoài P (T ≤ t; Bt < z − y) = P (St ≥ z; Bt < z − y) Kết hợp kết ta có P (St ≥ z; Bt < z − y) = P (Bt > z + y) (2.46) 2.5.3.5.Hệ Cho B = (Bt )t≥0 chuyển động Brown tiêu chuẩn B0 = St = sup0≤s≤t Bs với z > 0, ta có P (St > z) = 2P (Bt > z) 42 (2.47) Chứng minh Lấy y = theo định lý ta có P (St ≥ z; Bt < z) = P (Bt > z) ⇔ P (St ≥ z; Bt < z) + P (Bt > z) = P (Bt > z) + P (Bt > z) ⇔ P (St > z) = 2P (Bt > z) Chú ý {Bt > z} = {Bt > z} ∩ {St ≥ z} Theo ta củng có P (Bt = z) = 43 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Trình bày có hệ thống số kiến thức trình Poisson chuyển động Brown Đưa tiên đề trình Poisson dựa q trình đếm N (t) Từ thiết lập cơng thức tính xác suất q trình Poisson Đưa tiên đề chuyển động Brown tiêu chuẩn Từ thiết lập hàm chuyển phân phối hữu hạn chiều trình Wiener số tính chất liên quan q trình Wiener Trình bày cách tiếp cận trình Poisson dựa tính độc lập khứ tính dừng q trình điểm Từ thiết lập số tính chất quan trọng q trình Poisson Trình bày khái niệm chuyển động Brown n-chiều , số ví dụ minh họa số tính chất chuyển động 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác suất , NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mơ hình xác suất ứng dụng Phần I-Xích Marcov ứng dụng,NXB ĐHQG Hà Nội [4] Czeslaw Stepniak (2009), Selective lack-of-Memory and its application, Discussiones Math proob and statistic 29 [5] H.Kulkarni (2006), Characterizations and modelling of multivariate lack of memory property, Metrika 64 45 ... MỘT CÁCH TIẾP CẬN VỀ QUÁ TRÌNH POISSON Trong chương này, chúng tơi trình bày cách tiếp cận q trình Poisson dựa tính chất có gia số độc lập khứ tính dừng q trình điểm N 2.1 Định nghĩa trình Poisson. .. 18 Một cách tiếp cận trình Poisson 23 2.1.Định nghĩa trình Poisson theo cách tiếp cận 23 2.2 .Một số tính chất quan trọng trình Poisson 24 2.3.Chuyển... cần dùng cho nội dung Chương Chương Một cách tiếp cận trình Poisson Trong phần này, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất trình Poisson theo cách tiếp cận mới, số ví dụ tính chất chuyển động