Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.. Kết luận nghiệm của phương trình..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2 điểm) 1 1 x2 (1 x)3 (1 x)3 với 1 x 1 x2 b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > và a a 2b ab 6b3 a) Rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức B a 4b b 4a Câu (2 điểm) a) Giải phương trình x ( x 2) x x x 2x y b) Giải hệ phương trình y y x Câu (2 điểm) a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy xy x 32 y b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a a 3b b Chứng minh 2a 2b là số chính phương Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H là điểm di động trên đoạn OA (H khác A) Đường thẳng qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K là hình chiếu M trên OB a) Chứng minh HKM 2AMH b) Các tiếp tuyến (O, R) A và B cắt tiếp tuyến M (O, R) D và E OD, OE cắt AB F và G Chứng minh OD.GF = OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac abc Tìm giá trị nhỏ 4ab 9ac 4bc biểu thức C a 2b a 4c b c Hết -Họ và tên thi sinh………………………………………… số báo danh………… Chữ ký giám thị 1……………………… chữ ký giám thị 2……………… (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết đúng thì giám khảo cho điểm tối đa Câu x2 A Câu 1a: (1,0 đ) Câu 1b: (1,0 đ) Nội dung Điểm 0.25 x x x2 x2 1 x 1 x x x 1 x2 1 x2 0.25 x2 x 2x = x 0.25 a a 2b ab 6b3 (a 2b)(a ab 3b ) (*) 0.25 Vì a > b > a ab 3b nên từ (*) ta có a = b 0.25 a 4b 16b 4b b 4a b 64b 0.25 Vậy biểu thức B B 12b 4 63b 21 0.25 t2 2 t 4 t t t 2t ta phương trình t Đặt t x x t x x x x Câu 2a: (1,0 đ) x x 4 2 x 2x 2 x x 16 Với t = -4 ta có x x 4 x x x x x 4 2 x 2x 2 x x Với t =2 ta có x x x x x Câu 2b: (1,0 đ) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Kết luận nghiệm phương trình Từ hệ ta có x3 (2 y x) y (2 x y) ( x y ) xy x y 0.25 x y ( x y )3 ( x y ) x y 0.25 * Với x = y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( 3; ) 0.25 (3) * Với x = - y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 1; 1 );( 1;1 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( 3; );( 1;1 );( 1; 1 ) 0.25 xy xy x 32 y x( y 1) 32 y Do y nguyên dương y x Câu 3a: (1,0 đ) 0.25 32 y ( y 1)2 Vì ( y, y 1) ( y 1) U (32) mà 32 25 ( y 1)2 22 và ( y 1)2 24 (Do ( y 1)2 ) *Nếu ( y 1)2 22 y 1; x *Nếu ( y 1)2 24 y 3; x Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: x y 1 0.25 0.25 0.25 x và y 2a a 3b b (a b)(2a 2b 1) b (*) Gọi d là ước chung (a - b, 2a + 2b + 1) ( d Câu 3b: (1,0 đ) 0.25 * ) Thì ( a b) d a b 2a 2b 1 d (2 a b 1) d b d b d Mà (a b) d a d (2a 2b) d mà (2a 2b 1) d 1 d d Do đó (a - b, 2a + 2b + 1) = Từ (*) ta a b và 2a 2b là số chính phương => 2a 2b là số chính phương 1 A1 O1 sđ AM 2 H M 0.25 (1) 0.25 1O Câu 4a: (1,0 đ) K B C Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) A1 M1 (2) 0.25 Tứ giác MHOK nội tiếp O1 K1 (cùng chắn MH ) (3) 0.25 Từ (1), (2), (3) ta có M1 1 F H G B 0.25 M E K1 hay HKM 2AMH Có tứ giác AOMD nội tiếp (4) A D Câu 4b: (1,0 đ) 0.25 Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax (O) Ta có A x 0.25 0.25 O C (4) 1 A1 sđ BM ; O1 O2 sđ BM 2 A1 O1 tứ giác AMGO nội tiếp (5) 0.25 Từ (4), (5) ta có điểm A, D, M, G, O cùng nằm trên đường tròn G1 D D1 OGF và ODE đồng dạng OG GF hay OD.GF = OG.DE OD DE M 0.25 Trên đoạn MC lấy điểm A’ cho MA’ = MA AMA ' A 0.25 A1 A 600 BAA' MAB A 'AC MB A'C H 0.25 O A' Câu 4c: (1,0 đ) B C I MA MB MC Chu vi tam giác MAB là MA MB AB MC AB 2R AB Đẳng thức xảy MC là đường kính (O) => M là điểm chính cung AM => H là trung điểm đoạn AO Vậy giá trị lớn chu vi tam giác MAB là 2R + AB AB R AB R 2 Giá trị lớn chu vi tam giác MAB là 2R + AB = (2 3)R Từ gt : 2ab 6bc 2ac abc và a,b,c > Gọi I là giao điểm AO và BC AI c a b x, y , z 1 đặt x , y , z a b c 2 z x y 4ab 9ac 4bc Khi đó C a 2b a 4c b c x y x z y z C 2x y 4x z y z (2 x y x z y z ) 2x y 4x z yz 0.25 0.25 0.25 Chia hai vế cho abc > Câu 5: (1,0 đ) ,y z thì C = Vậy GTNN C là a =2; b =1; c = 0.25 2 x 2y 4x z y z 17 17 x 2y 4x z y z Khi x 0.25 0.25 0.25 (5)