Đang tải... (xem toàn văn)
Xin nêu cách tạo ra một phương trình đơn giản của dạng này như sau: Đầu tiên ta định hướng các căn sẽ bằng gì sau khi biến đổi Thí dụ tác giả muốn cả 2 căn đều bằng x 2 1.. Thí dụ tác [r]
(1)KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;BẮC NINH (2-8-2016) (đây là dạng tài liệu: MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ ) Từ bài viết tác giả: dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ Để GIảI Một dạng PHƯ Ơ ng trình vô tỷ đặC BIệT To¸n häc vµ tuæi trÎ (tháng năm 2015) Khi gÆp mét ph-¬ng tr×nh cã d¹ng u.m P v.n Q w (víi u,v, w,P,Q lµ c¸c biÓu thøc chøa Èn ) mµ ta nhÈm ®-îc c¸c h»ng sè e,f vµ c¸c biÓu thøc P0 , Q0 chøa Èn tho¶ m·n: u.P0 v.Q0 w (*) m n e.( P0 ) f (Q0 ) e.P f Q thì ta xử lí ph-ơng trình đó nh- sau: §Æt m P a ; n Q b suy a m P ; b n Q u.a v.b w Ta cã hÖ PT: m n e.a f b e.P f Q (**) Gi¶i hÖ PT(**) ta t×m ®-îc c¸c nghiÖm (a;b) Đến đây PT,hệ PT đã cho trở nên đơn giản ! L-u ý: tõ (*) ta thÊy hÖ PT(**) lu«n cã nghiÖm (a,b) = ( P0 ; Q0 ) Sau ®©y là c¸c vÝ dô VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 4x x 2x 6x x Ph©n tÝch: x x Ta cã: 2 ( x 1) (2 x x ) (2 x x 7) nªn PT nµy ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x 1;2) Lêi gi¶i §Æt x x a ; x x b Suy a b x 2x (1) Từ PT đã cho ta có a b x a x b (2) Thay vµo (1) ta ®-îc: ( x b) b x x x b x 2b 2bx b x x b b 2b 2bx x (b 2)(b 3b x) (2) b hoÆc b 3b x (3) +Tõ (2) cã x a b thay vµo PT(3) ®-îc b 3b 2(a b 1) b b 2a (4) 23 Cã VT (4) (b ) VP(4) 2 x x ( x 2) Suy PT(4) v« nghiÖm Do đó PT(3) vô nghiệm +Víi b = thay vµo (2) ®-îc a x x x x x Suy 2 x x ( x 1) 2 2 x x 2x 6x x 11 x 2 x x Vậy PT đã cho có nghiệm x 11 VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh x 20 x 86 x 31 x x 3x Ph©n tÝch: Víi PT nµy ta nhÈm ®-îc e=1; f=3 vµ ( P0 ; Q0 ) = (2 x 2;1) 2 x x.1 3x v× 2 2 (2 x 2) 3.1 (7 x 20 x 86) 3.(31 x x ) Lêi gi¶i §Æt a = x 20 x 86 , b = 31 x x Suy a 3b 4x 8x (1) Từ PT đã cho có: a +xb = 2x + a = 3x + – bx Thay vµo (1) ta ®-îc (3x bx) 3b x 8x x b x 12 x 4bx 6bx 3b x 8x ( x 3)b (6 x x)b 5x x (b 1)[( x 3)b 5x x 3] b b x x x2 +Với b = thì a = 2x+2, đó có hệ x 20 x 86 x 31 x x x 1 3x 12 x 90 x 4 x 30 +Víi b = 2 x 2 7 x 20 x 86 (2 x 2) 31 x x x 1 x 2 34 x 34 5x x x2 16 ( x x 15) x x 15 (2) x2 + NÕu x x 15 th× VT(2) < < VP(2) + NÕu x x 15 th× VT(2) > > VP(2) (3) + NÕu x x 15 th× VT(2) = = VP(2) Khi x x 15 th× b 31 x x a 3x x x 20 x 86 x 2 x x x 31 x x 16 x x 15 x 2 19 7 x 20 x 86 (2 x) 6( x x 15) x= 19 Vậy PT đã cho có nghiệm x 2 34 , x 2 19 VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh 20 x 11x y (1) xy y.3 x y x.(2) Ph©n tÝch: Víi PT(2) ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x y;1) x y y.1 x v× 2 2 ( x y) (1 xy ) ( x y ) Lêi gi¶i: ®iÒu kiÖn xy §Æt xy a ; x y b Suy a b x y xy (3) Tõ (2) ta cã a + yb = x a x yb (4) thay vµo (3) ®-îc ( x by) b x y xy b xy (b 1) y (b 1) (b 1)[b b xy y (b 1)] b hoÆc b b xy y (b 1) (5) +Cã x y b nªn b b ; b xy NÕu 1 xy y (b 1) th× (v« lý) y Vậy số không âm 1 xy và y (b 1) không đồng thời nªn xy y (b 1) đó VT (5) Suy PT(5) vô nghiệm +Víi b = thay vµo (4) ®-îc a x y x y xy x y Suy 1 xy ( x y ) 2 x y x y 1 x y (*) x y kÕt hîp hÖ PT(*) víi PT(1) ta cã hÖ: x y x y 3 20 x 11x y 20 x 11x 4(1 x ) x y y2 1 x2 (4) x y x y 20 x x 11x (2 x 1) (5 x 4) y2 1 x2 y2 1 x2 x y x y 1 (I) hoÆc x (II) x y y 25 4 3 1 Gi¶i hÖ PT (I) vµ (II) ta ®-îc nghiÖm (x;y) lµ: ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 5 5 4 3 1 Vậy hệ PT đã cho có nghiệm (x;y) là : ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 5 5 bµi tËp bµi Gi¶i ph-¬ng tr×nh a) c) 12 x 12 x 4x3 x 3 x x.3 x x 2 b) 3x 5x x ( x 1) x x d) x 48x 27 x x 24 x 67 x bµi Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh 65 3 x y a) x y y xy x 3 3 3x y x y 35 b) 2 x y x xy y 8 xy x c) x2 y2 2 2 x y x Sau đây là phần bổ xung thêm các thí dụ dạng này: Dạng :đặt ẩn phụ không hoàn toàn kiểuVũ Hồng Phong Một số thí dụ dạng này tác giả đã nêu phần đặt ẩn phụ phần trên Sau đây là các thí dụ bổ xung Thí dụ Giải phương trình x 3x x x x x Hướng dẫn (5) x 3x x x x x Dễ thấy x=1 là nghiệm phương trình Xét x Đặt x 3x x a 0; x x b Suy mối liên hệ: a b x x ( x 1)(2 x x 1)(*) Pt đã cho trở thành: a b x 1(**) (a b)(a b) ( x 1)(2 x x 1) Giải (*) và (**) suy ra: a b x a x x a b x x a b x b x x x 1 x x x x 3x x ( x 1) 2 ( x 1)( x x 1) x x ( x 1) PT đã cho có nghiệm x 1; x 1 Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu Việc tạo phương trình loại này không quá khó khăn Xin nêu cách tạo phương trình đơn giản dạng này sau: Đầu tiên ta định hướng các gì sau biến đổi Thí dụ tác giả muốn x Còn thí dụ thì ta chọn : x 3x x x x; x x x Bước là chọn mối liên hệ các ẩn (cần tạo PT khó thì phải khéo léo),tác giả xin nêu liên hệ đơn giản là: a b ( x 1) ( x 1) x x 2(*) Còn thí dụ thì ta chọn : a b x x ( x 1)(2 x x 1) Bước quan trọng là khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để nghiệm theo ý muốn Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a : a x4 x2 x Từ (*) suy b x 3x x Song song với việc chọn a,b là việc tạo PT nào cho việc khống chế các PT sau biến đổi hợp lí Thí dụ tác giả tạo PT nhẹ nhàng sau: Thí dụ Giải phương trình x x x x 3x x x Hướng dẫn Đặt a x x x b x 3x x Suy mối liên hệ: a b ( x 1) ( x 1) x x 2(*) Pt đã cho trở thành: a b x 1(**) Giải hệ gồm (*) và (**) phương pháp ta (6) a x4 x2 x x2 b x 3x x x Giải tiếp suy PT đã cho có nghiệm x 1; x Chú ý: Việc chọn mối liên hệ phức tạp có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ: 2a b 2a 3b 2a 3b 2a b 2 a b Việc chọn phƣơng trình tạp có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ: a 2b 3a 2b 3a 2b a 2b ( x 1)a 2b a xb Việc chọn bậc ba, bậc 4,… hƣớng tạo tƣơng tự Một số thí dụ khó Đầu tiên ta định hướng các a,blần lượt x ; x Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Chọn a x8 x x x b 2x x Thí dụ Giải phương trình x8 x x x ( x 1) x x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn chi tiết tạo PT Chọn dạng m ( x 1) n p Chọn các sau biến đổi: m x ; n x 1; p Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Chọn: n x 1; n x x Từ(*) suy ra: m x8 x x x Việc chọn n hay n trƣớc cần hợp lí Đến đây tác giả tin ngƣời tự tạo đƣợc nhiều phƣơng trình dạng này !!! Hướng dẫn giải: Đặt a x8 x x x b 2x x Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x 1)b(**) Thay a vào (*) ta 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) (7) b x x ( x x 2) b 0 ( x 1) Dễ thấy x ( x x 2) 0 x0 ( x 1) X=0 không làm cho b=0 Suy b 2x x x Thay vào (**) đƣợc: a x8 x x x x Suy x 0; x 1; x 1 PT đã cho có nghiệm x 0; x 1; x 1 Thí dụ Giải phương trình x x ( x 1) x x x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt a x8 x b x x3 2x Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x 1)b(**) Thay a vào (*) ta 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b 0 ( x 1) Dễ thấy x ( x x 2) 0 x0 ( x 1) X=0 không làm cho b=0 Suy b x x3 2x x Thay vào (**) đƣợc: a x8 x3 x Suy x3 PT đã cho có nghiệm x (8) Thí dụ Giải phương trình x8 x ( x 1) x x x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn x8 x a Đặt x5 x 2x b Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x 1)b(**) Thay a vào (*) ta 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b 0 ( x 1) Dễ thấy x ( x x 2) 0 x0 ( x 1) X=0không làm cho b=0 Suy x5 x 2x x Thay vào (**) đƣợc: x8 x x Suy x 5 PT đã cho có nghiệm x 5 Thí dụ Giải phương trình x12 x 3x ( x x 1) x x 3x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt x12 x 3x a x x 3x b Suy mối liên hệ: a b x12 x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta ( x x 1)b b x12 x x 1 ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b 0 ( x x 1) Dễ thấy x ( x x x x 2) 0 x0 ( x x 1) (9) x=0 không làm cho b=0 Suy x x 3x x Thay vào (**) đƣợc: x12 x 3x x Suy x 0; x 3 PT đã cho có nghiệm x 0; x 3 Thí dụ Giải phương trình x12 x 3x ( x x 1) x x 3x Hướng dẫn Đặt x12 x 3x a x x 3x b Suy mối liên hệ: a b x12 x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta ( x x 1)b b x12 x x 1 ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b 0 ( x x 1) Dễ thấy x ( x x x x 2) 0 x0 ( x x 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x x 3x x Thay vào (**) đƣợc: x12 x 3x x Suy x 0; x 3 PT đã cho có nghiệm x 0; x 3 Thí dụ Giải phương trình x12 x x ( x x 1) x x Hướng dẫn Đặt x12 x x a x4 x b Suy mối liên hệ: a b x12 x x 1(*) (10) Pt đã cho trở thành: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta ( x x 1)b b x12 x x 1 ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b 0 ( x x 1) Dễ thấy x ( x x x x 2) 0 x0 ( x x 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x4 x x2 1 Thay vào (**) đƣợc: x12 x x x Suy x 1; x PT đã cho có nghiệm x 1; x Thí dụ Giải phương trình x12 x x ( x x 1) x x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt x12 x x a x4 x b Suy mối liên hệ: a b x12 x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta ( x x 1)b b x12 x x 1 ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b 0 ( x x 1) Dễ thấy x ( x x x x 2) 0 x0 ( x x 1) x=0 không làm cho b=0 Suy x4 x x2 Thay vào (**) đƣợc: x12 x x x 10 (11) Suy x 17 17 Thí dụ 10 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x x8 x 3x ( x 1) x 3x Hướng dẫn x x 3x a Đặt x 3x b Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x 1)b(**) Thay a vào (*) ta 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b 0 ( x 1) Dễ thấy x ( x x 2) 0 x0 ( x 1) x=0không làm cho b=0 Suy x 3x x Thay vào (**) đƣợc: x x 3x x Suy x 2; x PT đã cho có nghiệm x 2; x Thí dụ 11 Giải phương trình x8 x 3x ( x 1) x 3x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn x x 3x a Đặt x 3x b Suy mối liên hệ: a b x8 x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x 1)b(**) Thay a vào (*) ta 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) 11 (12) b x x ( x x 2) b 0 ( x 1) Dễ thấy x ( x x 2) 0 x0 ( x 1) x=0không làm cho b=0 Suy x 3x x Thay vào (**) đƣợc: x x 3x x Suy x 33 33 Thí dụ 12 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x x x x ( x 1) x x Hướng dẫn Đặt x6 2x3 a x4 x2 b Suy mối liên hệ: a b2 x6 x 2x3 x Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 b x x 2x3 x ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x ( x x 2) b x x x ( x x 2) (vì x=0không b 0(loai ) ( x 1) Suy x4 x2 x2 x Thay vào (**) đƣợc: x6 2x3 x3 Suy x3 PT đã cho có nghiệm x 3 Thí dụ 13 Giải phương trình x x x 20 x ( x 1) x 20 Hướng dẫn 12 làm cho b=0) (13) Đặt x x x 20 a x 20 b Suy mối liên hệ: a b2 x6 x 2x3 x Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 b x x 2x3 x ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x ( x x 2) b x x x ( x x 2) b 0(loai ) ( x 1) (vì x=0không làm cho b=0) Suy x 20 x x Thay vào (**) đƣợc: x x x 20 x Suy x2 PT đã cho có nghiệm x Thí dụ 14 Giải phương trình x x ( x 1) x x x Hướng dẫn Đặt 2x3 a x6 x4 x2 b Suy mối liên hệ: a b2 x6 x 2x3 x Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 b x x 2x3 x ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x ( x x 2) b x x x ( x x 2) b 0(loai ) ( x 1) 2 (vìx=0không làm cho b=0) Suy x6 x4 x2 x2 x Thay vào (**) đƣợc: 2x3 x3 Suy x x 0( x 0) x 1(loai ); x 3 PT đã cho có nghiệm x 3 13 (14) Thí dụ 15 Giải phương trình x x ( x 1) x x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 2x3 a x6 x4 x2 b Suy mối liên hệ: a b2 x6 x 2x3 x Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 b x x 2x3 x ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x ( x x 2) b x x x ( x x 2) (vì x=0không b 0(loai ) ( x 1) làm cho b=0) Suy x6 x4 x2 x2 x Thay vào (**) đƣợc: 2x3 1 x3 Suy x x 0( x 0, x x 0) x PT đã cho có nghiệm x Thí dụ 16 Giải phương trình 3x x ( x 1) x x x x Hướng dẫn Đặt 3x a x6 x x3 x b Suy mối liên hệ: a b2 x6 x 2x3 x Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 b x x 2x3 x ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x ( x x 2) b x x x ( x x 2) (vì x=0không b 0(loai ) ( x 1) Suy x6 x x3 x x x Thay vào (**) đƣợc: 3x x Suy 14 làm cho b=0) (15) x 3x 0( x 0, x x 0) x PT đã cho có nghiệm x 3 3 Thí dụ 17 Giải phương trình 3x x ( x 1) x x x x Hướng dẫn Đặt 3x a x6 x x3 x b Suy mối liên hệ: a b2 x6 x 2x3 x Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 b x x 2x3 x ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x ( x x 2) b x x x ( x x 2) (vì x=0không b 0(loai ) ( x 1) làm cho b=0) Suy x6 x x3 x x x Thay vào (**) đƣợc: 3x x Suy x x 3x 0( x 0, x x 0) x PT đã cho có nghiệm x 1; x Thí dụ 18 Giải phương trình 5x x ( x 1) x x 3x x Hướng dẫn Đặt 5x a x x 3x x b Suy mối liên hệ: a b2 x6 x 2x3 x Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 b x x 2x3 x ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x ( x x 2) b x x x ( x x 2) (vì x=0không b 0(loai ) ( x 1) Suy x x 3x x x x 15 làm cho b=0) (16) Thay vào (**) đƣợc: 5x x Suy x x 0( x 0, x x 0) x PT đã cho có nghiệm x 17 17 Thí dụ 19 Giải phương trình x x ( x 1) x6 x4 x2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn ĐK: x Đặt 6x3 a x6 x4 x2 b Suy mối liên hệ: a 3b x 3x x 3x (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 3b x 3x 6x3 3x 3 ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x( x x x 2) b x x x( x x x 2) b 0(loai ) ( x 1) Suy x6 x4 x2 x2 x Thay vào (**) đƣợc: 6x3 x3 Suy x6 x4 x2 x2 x x x x 3 3 6x x PT đã cho có nghiệm x 3 Thí dụ 20 Giải phương trình x x ( x 1) x6 x4 x2 Hướng dẫn 16 (17) ĐK: x Đặt 4x3 a x6 x4 x2 b Suy mối liên hệ: a 3b x x x x (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 2b x 2x 4x3 2x 2 ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x( x x 3x 1) b x x x( x x 3x 1) b 0(loai ) ( x 1) Suy x6 x4 x2 x2 x Thay vào (**) đƣợc: 4x3 x3 Suy x6 x4 x2 x2 x x x x 3 4x x PT đã cho có nghiệm x Thí dụ 21 Giải phương trình 10 x x ( x 1) x6 x4 x2 Hướng dẫn ĐK: x Đặt 10 x a x6 x4 x2 b Suy mối liên hệ: a 5b x 5x 10 x 5x (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta x ( x 1)b2 5b x 5x 10x3 5x 5 ( x 1) b x( x 1)b ( x x) x( x x x 4) b x x x( x x x 4) b 0(loai ) ( x 1) 17 (18) Suy x6 x4 x2 x2 x Thay vào (**) đƣợc: 10 x x Suy x6 x4 x2 x2 x x 10 x x 3 10 x x PT đã cho có nghiệm x Thí dụ 22 Giải phương trình x x x x x x x Hướng dẫn ĐK: x Đặt 4x3 a x6 x 4x3 2x b Suy mối liên hệ: a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta x xb 2 b x x 2x 1 x b x 2b ( x 1)( x x 1) b x b x x 0(loai ) x2 Suy x6 x 4x3 2x x Thay vào (**) đƣợc: 4x3 x3 Suy 2 x x x x 4x 2x x 3 3 x x x 4x x PT đã cho có nghiệm x 3; x Thí dụ 23 Giải phương trình 5x3 x x x x x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 18 (19) ĐK: x Đặt 5x3 a0 2 x x 5x x b Suy mối liên hệ: 2a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta 2x xb b x x x 1 x b x 2b ( x 1)(2 x 3x 1) b x b (2 x 3x 1) 0(loai ) 2x2 Suy x x 5x x b x Thay vào (**) đƣợc: 5x a x3 Suy x x 5x x x x x 5x 3 x 3 2 x x x PT đã cho có nghiệm x 3 ;x 1 Thí dụ 24 Giải phương trình 5x3 x x x x x x Hướng dẫn ĐK: x Đặt 5x a0 2 x x 5x x b Suy mối liên hệ: 2a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta 2x xb b x x x 1 x b x 2b ( x 1)(2 x 3x 1) b x b (2 x 3x 1) 0(loai ) 2x2 19 (20) Suy x x 5x x b x Thay vào (**) đƣợc: 5x a x3 Suy x x 5x x x x x3 5x 3 x x x PT đã cho có nghiệm x Thí dụ 25 Giải phương trình x3 x x x x x x Hướng dẫn ĐK: x Đặt x3 a0 2x6 x x3 2x b Suy mối liên hệ: 2a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta 2x xb b x x x 1 x b x 2b ( x 1)(2 x 3x 1) b x b (2 x 3x 1) 0(loai ) 2x2 Suy 2x6 x x3 2x b x Thay vào (**) đƣợc: x3 a x3 Suy 2x6 x x3 2x x x 17 x3 x3 4 2 x x x3 17 Thí dụ 26 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x x x x x x 8x x 20 (21) Hướng dẫn ĐK: x Đặt 4x3 a x x 8x x b Suy mối liên hệ: 2a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta 2x xb b x x x 1 x b x 2b ( x 1)(2 x 3x 1) b x b (2 x 3x 1) 0(loai ) 2x2 Suy x x 8x x b x Thay vào (**) đƣợc: 4x3 a x3 Suy 2 x x x 8x x x x 3 2 3 x 4x 4x x PT đã cho có nghiệm x Thí dụ 27 Giải phương trình 3x x x x x x x Hướng dẫn ĐK: x 3 Đặt 3x a 2x6 x 6x3 2x b Suy mối liên hệ: 2a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta 2x xb b x x x 1 x b x 2b ( x 1)(2 x 3x 1) b x b (2 x 3x 1) 0(loai ) 2x2 Suy 2x6 x 6x3 2x b x Thay vào (**) đƣợc: 3x a x 21 (22) Suy 2 x 3 2x x 6x 2x x x3 3 x 3x 3x x PT đã cho có nghiệm x 3 Thí dụ 28 Giải phương trình 2x3 x ( x ) 4x6 4x 2x3 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 2x3 a 4x6 4x 2x3 b Suy mối liên hệ: a b x x (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x )b(**) Thay a vào (*) ta 2 x ( x )b b x x 1 ( x ) b x ( x )b x (2 x x ) 2 b x (2 x x ) 0 b ( x ) Ta thấy 4x4 x2 0 x0 1 1 x 2 Khi x=0 thì b không tồn Suy 4x6 4x 2x3 b 2x Thay vào (**) đƣợc: 2x3 a 2x3 Suy x 1 4x 4x 2x 2x x3 3 4 x x 2x 2x PT đã cho có nghiệm x 1 22 (23) Thí dụ 29 Giải phương trình 6x3 x ( x ) 4x6 4x 6x3 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn ĐK: x Đặt 6x3 a 4x6 4x 6x3 b Suy mối liên hệ: a b x x (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x )b(**) Thay a vào (*) ta 2 x ( x ) b b 4x 4x 1 ( x ) b x ( x )b x (2 x x ) 2 b x (2 x x ) 0 b ( x ) Suy 4x6 4x 6x3 b 2x Thay vào (**) đƣợc: 6x3 a 2x3 Suy x 3 4x 4x 6x 2x x3 3 4 x x 6x 2x PT đã cho có nghiệm x 3 Thí dụ 30 Giải phương trình x3 x ( x ) 4x6 4x x3 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn ĐK: x Đặt x3 a 4x6 4x x3 b Suy mối liên hệ: a b x x (*) 23 (24) Pt đã cho trở thành: a x ( x )b(**) Thay a vào (*) ta 2 x ( x )b b x x 1 ( x ) b x ( x )b x (2 x x ) 2 b x (2 x x ) 0 b (x ) Suy 4x6 4x x3 b 2x Thay vào (**) đƣợc: x3 a 2x3 Suy x 4x 4x 7x 2x x 17 3 4 x x 7x 2x 13 17 Thí dụ 31 Giải phương trình 1 x 12 x 10 x 5x x ( x ) 2 PT đã cho có nghiệm x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn ĐK: x 10 Đặt 5x a0 x 12 x 10 x b0 Suy mối liên hệ: 2a 3b 8x 12 x (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x )b(**) Thay a vào (*) ta 2 x ( x )b 3b x 12 x 2( x ) b x ( x )b x (4 x x ) 24 (25) b x b (4 x x ) 2( x ) Suy x 12 x 10 x b 2x2 Thay vào (**) đƣợc: 5x3 a 2x3 Suy x 12 x 10 x 2x2 x x 17 8 x 10 x 3 x x 13 17 Thí dụ 32 Giải phương trình x 12 x 10 x 5x x ( x ) PT đã cho có nghiệm x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn ĐK: x Đặt 5x a x 12 x 10 x b0 Suy mối liên hệ: 2a 3b 8x 12 x (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x )b(**) Thay a vào (*) ta 2 x ( x )b 3b x 12 x 2( x ) b x ( x )b x (4 x x ) b x b (4 x x ) 2( x ) Suy x 12 x 10 x b 2x2 25 (26) Thay vào (**) đƣợc: 5x a x Suy x 12 x 10 x x 2x2 x x x x 3 5x x PT đã cho có nghiệm x 1; x Thí dụ 33 Giải phương trình x 5x x x 3x x (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Do VP(*) nên VT (*) x 5x 5x x 5x x x x Đặt 3 5x a x x 3x x b Suy mối liên hệ: a b x x x x (**) Pt đã cho trở thành: x a b(* * *) Thay b vào (**) ta a ( a x) x x x x a3 x a x xa x3 (a x )[a ax x a x x] 0(* * **) nên a ax x a x x (a ax x ) a x x x Do VP(*) x a và x Suy (* * **) a x 5x a x Thay vào (***) đƣợc: x x 3x x b x x Suy 3 x 5x x x x 2 x x x 3x x x x PT đã cho có nghiệm x 1; x Chú ý: từ PT x 5x x x 3x x (*) Sửa số thành các số 1,2,3,…chẳng hạn số ta đƣợc PT sau: 26 (27) Thí dụ 34 Giải phương trình x 5x x x 3x x 3(*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Do VP(*) nên VT (*) x 5x x x 5x x x x Đặt 5x a x x 3x x b Suy mối liên hệ: a b x x x x (**) Pt đã cho trở thành: x a b(* * *) Thay b vào (**) ta a ( a x) x x x x a3 x a x xa x3 (a x )[a ax x a x x] 0(* * **) nên a ax x a x x (a ax x ) a x x x Do VP(*) x a và x Suy (* * **) a x 5x a x Thay vào (***) đƣợc: x x 3x x b x x Suy 3 13 5x x x x x 2 x x 3x x x x 13 Thí dụ 35 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x x 5x x x 3x x (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Do VP(*) nên VT (*) x 5x 5x x 5x x x x Đặt 5x a x x 3x x b Suy mối liên hệ: a b x x x x (**) Pt đã cho trở thành: 27 (28) x a b(* * *) Thay b vào (**) ta a ( a x) x x x x a3 x a x xa x3 (a x )[a ax x a x x] 0(* * **) nên a ax x a x x (a ax x ) a x x x Do VP(*) x a và x Suy (* * **) a x 5x a x Thay vào (***) đƣợc: x x 3x x b x x Suy 3 17 5x x x x x 2 x x 3x x x x PT đã cho có nghiệm x 17 Chú ý: từ PT x 5x x x 3x x (*) Sửa số -3 thành -4 thì sửa số thành (-3+5=-4+6=2)ta đƣợc PT sau: Thí dụ 36 Giải phương trình x x x x x x (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Do VP(*) nên VT (*) x x x x 6x3 x3 x x Đặt 6x3 a x6 x 4x3 x b Suy mối liên hệ: a b x x x x (**) Pt đã cho trở thành: x a b(* * *) Thay b vào (**) ta a ( a x) x x x x a3 x a x xa x3 (a x )[a ax x a x x] 0(* * **) 28 (29) nên a ax x a x x (a ax x ) a x x x Do VP(*) x a và x Suy (* * **) a x 6x3 a x Thay vào (***) đƣợc: x6 x 4x3 x b x x Suy 3 6x x x x x 3 2 x x 4x x x x PT đã cho có nghiệm x 3 Chú ý: từ PT x 5x x x 3x x (*) Sửa số -3 thành -5 thì sửa số thành (-3+5=-5+7=2)ta đƣợc PT sau: Thí dụ 37 Giải phương trình x x x x 5x x (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Do VP(*) nên VT (*) x x x3 x x3 x3 8x x Đặt x3 a x6 x x3 x b Suy mối liên hệ: a b x x x x (**) Pt đã cho trở thành: x a b(* * *) Thay b vào (**) ta a ( a x) x x x x a3 x a x xa x3 (a x )[a ax x a x x] 0(* * **) nên a ax x a x x (a ax x ) a x x x Do VP(*) x a và x Suy (* * **) a x x3 a x Thay vào (***) đƣợc: x x 5x x b x x Suy 29 (30) 3 33 7x x x x x 2 x x 5x x x x PT đã cho có nghiệm x 33 Nhƣ việc tạo phƣơng trình dạng này không khó khăn,thậm chí từ phƣơng trình ta có thể tạo nhiều phƣơng trình tƣơng tự Tác giả: Vũ Hồng Phong Thí dụ 38 Giải phương trình 3x x x 3x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 3x a x x 3x x b Suy mối liên hệ: a b 8x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a b(**) a Thay b vào (*) ta a (1 a) 8x x x a 8x a x 2a x (a x )[a 2ax x a x 2] Do a nên a 2ax x a x (a 2ax x ) (a 1) x Suy 3x a x Thay vào (**) đƣợc: x x 3x x x Suy 3 73 3x x x 3x x 2 2 x x 3x x x PT đã cho có nghiệm x 3 73 2 Chú ý a (1 a) 8x x x a a 2a 8x x x f ( a) f ( x ) f (t ) t t 2t f ' (t ) 3t 2t 0.t Suy f(t) đồng biên nên f (a) f (2 x ) a x Thí dụ 39 Giải phương trình x 3x x x x 3x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 30 (31) Hướng dẫn Đặt 3x a x x 3x x b Suy mối liên hệ: a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta ( xb x) b x x x ( x 1)b x 2b ( x 1)( x 1) b x b x 0(loai ) x2 Suy x x 3x x x Thay vào (**) đƣợc: 3x a x Suy 3 x 29 3x x x3 2 x 3x x x 3x x x 29 Thí dụ 40 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x x x x x x x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 4x3 a x6 x 4x3 2x b Suy mối liên hệ: a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta ( xb x) b x x x ( x 1)b x 2b ( x 1)( x 1) b x b x 0(loai ) x2 Suy x6 x 4x3 2x x Thay vào (**) đƣợc: 4x3 a x3 31 (32) Suy 3 x x 4x x 3 2 x x x x x 4x 2x x PT đã cho có nghiệm x 1; x 3 Thí dụ 41 Giải phương trình x 3x x x x 3x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 3x a x x 3x x b Suy mối liên hệ: a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta ( xb x) b x x x ( x 1)b x 2b ( x 1)( x 1) b x b x 0(loai ) x2 Suy x x 3x x x Thay vào (**) đƣợc: 3x a x Suy 3 x 17 3x x x3 2 x 3x x x 3x x x 17 Thí dụ 42 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x x x x x x x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 2x3 a x6 x 2x3 2x b Suy mối liên hệ: a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta ( xb x) b x x x ( x 1)b x 2b ( x 1)( x 1) 32 (33) b x b x 0(loai ) x2 Suy x6 x 2x3 2x x Thay vào (**) đƣợc: 2x3 a x3 Suy 3 x 2x x x 1 2 x 2x3 x x x x x PT đã cho có nghiệm x Thí dụ 43 Giải phương trình x x x x6 x 2x3 2x 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 4x3 a x6 x 2x3 2x b Suy mối liên hệ: a 2b x x x 2(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta ( xb x) 2b x x x ( x 2)b x 2b ( x 1)( x x 2) b x b x x 0(loai ) x2 Suy x6 x 2x3 2x b x Thay vào (**) đƣợc: 4x3 a Suy 4x3 x3 x x x6 3 x x x 2x3 2x x x PT đã cho có nghiệm x 1; x 3 Thí dụ 44 Giải phương trình 3x x x x x 4x3 2x 33 (34) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn x 1 a Đặt 3x x 4x3 2x b Suy mối liên hệ: 3a 2b 3x x x 2(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta 3( xb x) 2b 3x x x (3x 2)b x 2b ( x 1)(3x x 2) b x b 3x x 0(loai ) 3x Suy 3x x 4x3 2x b x Thay vào (**) đƣợc: x 1 a Suy x x3 x 4 x3 3x x 3x x 4x3 2x x 4 Thí dụ 45 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x x 3x x 3x x x4 2x2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 3x a 3x x x4 2x2 b Suy mối liên hệ: 3a 2b 3x x x 2(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta 3( xb x) 2b 3x x x 34 (35) (3x 2)b x 2b ( x 1)(3x x 2) b x b 3x x 0(loai ) 3x Suy 3x x x4 2x2 b x2 Thay vào (**) đƣợc: 3x a Suy 3x x x 3 x3 3x x x 3x x4 2x2 x2 3 Thí dụ 46 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x 5x x x 5x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 5x a x x 5x x b Suy mối liên hệ: a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a b 1(**) Thay a vào (*) ta (b 1)3 b x x x 1(1) (b x 1)( x x 2b b b 2) b x2 ( x x 2b b b 0, x, b) Cách khác giải (1): (b 1)3 b x x x 1(1) b3 2b 3b ( x 1)3 2( x 1) 3( x 1) f (b) f ( x 1) b x Vì f (t ) t 2t 3t f ' (t ) 3t 4t f(t) là hàm đồng biến Suy x x 5x x b x Thay vào (**) đƣợc: 35 (36) 5x a x Suy 3 13 5x x x 5x x 2 x x 5x x x 13 Thí dụ 47 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x 5x x x 5x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 5x3 a x x 5x x b Suy mối liên hệ: a b x x x 1(*) Pt đã cho trở thành: a b 1(**) Thay a vào (*) ta (b 1)3 b x x x 1(1) (b x 1)( x x 2b b b 2) b x2 ( x x 2b b b 0, x, b) Cách khác giải (1): (b 1)3 b x x x 1(1) b3 2b 3b ( x 1)3 2( x 1) 3( x 1) f (b) f ( x 1) b x Vì f (t ) t 2t 3t f ' (t ) 3t 4t f(t) là hàm đồng biến Suy x x 5x x b x Thay vào (**) đƣợc: 5x a x Suy 3 37 5x x x 5x x 2 x x 5x x x 37 Thí dụ 48 Giải phương trình PT đã cho có nghiệm x 4x 3 x6 x 2x3 2x 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 36 (37) Hướng dẫn Đặt 4x3 a x6 x 2x3 2x b Suy mối liên hệ: a 2b x x x 2(*) Pt đã cho trở thành: a b 1(**) Thay a vào (*) ta (b 1)3 2b x x x 2(1) (b x 1)( x x 2b b x 3) b x2 ( x x 2b b x 0, x, b) Cách khác giải (1): (b 1)3 2b x x x 2(1) b3 b 3b ( x 1)3 ( x 1) 3( x 1) f (b) f ( x 1) b x Vì f (t ) t t 3t f ' (t ) 3t 2t f(t) là hàm đồng biến Suy x6 x 2x3 2x b x Thay vào (**) đƣợc: 4x3 a x3 Suy 3 x x x x6 4x3 x6 x 2x3 2x x x PT đã cho có nghiệm x 3; x Thí dụ 49 Giải phương trình 6x3 x 11 x x3 2x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 6x3 a x 11 x 2x3 2x b Suy mối liên hệ: a 3b x 3x x 3(*) Pt đã cho trở thành: a b 1(**) 37 (38) Thay a vào (*) ta (b 1)3 3b x 3x x 3(1) (b x 1)( x x 2b x b b 4) b x2 ( x x 2b x b b 0.x, b) Cách khác giải (1): (b 1)3 3b x 3x x 3(1) b3 3b ( x 1)3 3( x 1) f (b) f ( x 1) b x Vì f (t ) t 3t f ' (t ) 3t f(t) là hàm đồng biến Suy x 11 x 2x3 2x b x Thay vào (**) đƣợc: 4x3 a x3 Suy 3 x x x x 6x x 11 x 2x3 2x x x PT đã cho có nghiệm x ; x Thí dụ 50 Giải hệ phương trình xy y.3 x y x(1) y ( x x 1) x x (2) x4 2x2 Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn tạo PT Chọn dạng m y3 n p Chọn các sau biến đổi: m x y; n 2; p x Suy mối liên hệ: a b3 x y xy 8(*) Pt cần tạo trở thành: a x yb(**) Thử giải hệ PT gồm(*) và (**) ta thấy cần chọn để có đk xy và b dương thì loại bỏ trường hợp phức tạp nên có thể chọn: m 3xy Từ(*) suy ra: n x y Việc chọn n hay m trước ta phải linh động Hướng dẫn Đặt xy Đặt xy a 38 (39) x2 y2 b Suy mối liên hệ: a b3 x y xy 8(*) Pt (1)đã cho trở thành: a x yb(**) Thay a vào (*) ta ( x yb) b3 x y xy b3 xyb xy y 2b y (b 2)(b 2b xy y 2b y ) b2 xy ; b b 2b (4 xy ) y 2b y b a x 2y Ta có: xy x y x y y2 x2 2 3 x y x y Thay vào PT(2) có x ( x x 1) x x x4 2x ( x 1) x x (2 x x 2) x x ( x 1)3 ( x 1) (2 x x 1) x x x x f ( x 1) f ( x x 1) f (t ) t t f ' (t ) 3t Suy f(t) đồng biến nên f ( x 1) f ( x x 1) x x x x x( x 2) x 3 y 3 ) Đối chiếu các đk xy ; x y ta lấy ( x 0; y Với x y Với x y 33 33 y Đối chiếu các đk xy 33 ; x y ta lấy ( x ; y ) Hệ PT đã cho có cặp nghiệm ( x 0; y 33 ) ) ; ( x 2; y 2 Thí dụ 51 Giải hệ phương trình xy y.3 x y x(1) x 3 x 2 x2 1 x 3x 16 y (2) Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 39 (40) Hướng dẫn 5 Đặt xy Đặt xy a x2 y b Suy mối liên hệ: a b3 x y xy 8(*) Pt (1)đã cho trở thành: a x yb(**) Thay a vào (*) ta ( x yb) b3 x y xy b3 xyb xy y 2b y (b 2)(b 2b xy y 2b y ) b2 5 xy ; b b 2b (4 xy ) y 2b y b a x 2y Ta có: xy x y x y y2 x2 2 x y x y Thay vào PT(2) có x 3 x x 3x x x 1 x 3 x 2 Với ( 8x 3x x 2) x 1 8x 3x 2( x 1) x 3 x 2 x 1 ( 8x 3x x 2) 2 Với 8x 3x 2( x 1) x 3 x 2 x 1 ( x 3x x 2) 2 Với 8x 3x 2( x 1) x 3 x 2 ( x 3x x 2) 2 x 2 x 3x 2( x 1) x(4 x 3) x x 1 5 y 5 ; x y ta lấy ( x 0; y ) Đối chiếu các đk xy Với x y Với x 3 y2 9 53 16 16 y 53 40 (41) Đối chiếu các đk xy 5 ; x y ta lấy ( x ; y 4 Hệ PT đã cho có cặp nghiệm ( x 0; y 53 ) ; (x ; y 16 53 ) 16 ) Thí dụ 52 Giải hệ phương trình x xy y x xy y (1) x2 11x2 6 x4 x y 11x xy (2) 2 4( x x 5) Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 1 ĐK: xy Đặt x xy y a xy b Suy mối liên hệ: a b x y xy 4(*) Pt (1)đã cho trở thành: a xb y(**) Thay a vào (*) ta ( xb y) b x y xy 4(*) ( x 1)b xyb 2(2 x xy 2) b 2 b (2 x xy 2) 0(loai ) x2 b a 2x y Ta có: xy 2 x y 2 xy x xy y x y Thay vào PT(2) có 2 11x x x 11x 6 x4 4( x x 5) 2 1 ( x 2) 2 x 2 1 11x x 2 11x 6 x f ( x 2) f ( 11x x ) x khôngcóy x 3 y (loaivi x y 0) x 11x x ( x 3x)( x 3x 2) x y x y Cách khác: 41 (42) 2x 11x 6 x 2x 11x x 4( x x 5) 2 11x 6 x ( x 3 x )( x 3 x ) 2 x 2 11x 6 x 11 11x x 0 x4 4x2 ( x 3x)( x 3x 2) 1 0 x4 4x2 Xét trƣờng hợp…………… Chú ý: Muốn có hệ đơn giản ta có thể tạo hệ PT gồm PT thứ đặt ẩn phụ không hoàn toàn kiểu tác giả và PT thứ đơn giản,quen thuộc chẳng hạn: Thí dụ 53 Giải hệ phương trình 2 x xy y x xy y y (1) x xy y x x 3(2) 2 Tác giả:Vũ Hồng Phong (ToánB K35 ĐHSP.TN) Hướng dẫn ĐK xy 1 y xy 1 Đặt x xy y a xy y b Suy mối liên hệ: a b x y xy 4(*) Pt (1)đã cho trở thành: a xb y(**) Thay a vào (*) ta ( xb y) b x y xy 4(*) ( x 1)b xyb 2(2 x xy 2) b 2 b (2 x xy 2) 0(loai ) x2 b a 2x y Ta có: xy y 2 x y y xy x xy y x y Thay vào PT(2) có x 33 x x x 33 x x f (t ) x 33 x x f ' (t ) x ln 33x ln f " (t ) x ln 2 33x ln Suy f’(t) đồng biến nên f’(t) có tối đa nghiệm suy f(t) có tối đa khoảng đơn điệu Vì f(t) có tối đa nghiệm suy x=2,x=3 là tất các nghiệm f(t) y 1 Với x=2 có: y y y Với x=3 có: y y y 42 (43) Thí dụ 54 Giải hệ phương trình x xy y ( x y ) y xy y (*) 3x xy y x xy y 3x (**) x2 x 3x Tác giả:Vũ Hồng Phong Hướng dẫn Đk y xy 0;9 x 8xy y Đặt x 8xy y a y xy b Suy mối liên hệ: a b x 12 xy y 9(1) Pt (*)đã cho trở thành: a ( x y)b y Thay a vào (1) ta ( x y)b y 2 b2 9x 12xy y ( x y) 1b y( x y)b 3(3x xy y 3) b 2 b (3x xy y 3) ( x y) vì có y xy 0;3x và y xy 3;3x không đồng thời với b=3 suy a 3x y Ta có: y xy y 3x y 3x y y xy y xy Thay vào PT(**) có 3x x 3x 15 x x 3x 3x (4 x 3x 1)( x 3x 4) x2 x 3x 3x x 3x x 3 x 3x ( x 2) x 3x 2( x 1) x x 3x x x( x 3) x 3 x 3x 2 x 3x x 33 Với x có: y y Với x 3 có: y 43 y y 23 43 33 24 33 33 Với x có: y (3 33 ) y y 43 (44) 33 24 33 33 Với x có: y (3 33 ) y y Kiểm tra đk: 3x y ta lấy cặp nghiệm: x0;y 33 24 33 33 ;y x 33 24 33 33 ;y x Thí dụ 55 Giải hệ phương trình 2 2 2 x y x y x y y x x y x y x(*) y 2 2 y y x y x y 1(**) Tác giả:Vũ Hồng Phong Hướng dẫn Đk x y x y Đặt x2 y2 x2 y x2 y y a x2 y x2 y b Suy mối liên hệ: a b x y y y 1(1) Pt (*)đã cho trở thành: a xb x Thay a vào (1) ta ( xb x) b x y y y x 1b x 2b ( y 1)( x y x y 1) b y 2 b ( x y x y 1) 0(l ) x2 Ta có: xy y 1 2 2 x y x y x y y xy y x2 y x2 y y x y y y 1 Thay x y x y y vào PT(**) có 2y y2 y f ( y) y y y f ' ( y) y ln y ln 2 suy f’(y) có tối đa khoảng đơn điệu suy f’(y) có tối đa nghiệm suy f(y) có tối đa khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa nghiệm suy y=1;y=2;y=3 là tất các nghiệm f(y) ta loại y=1 Với y có: x x 2 f " ( y) y ln 2 f " ( y) y ln 2 y ln Với y có: x x 44 (45) Đối chiếu các điều kiện suy hệ Pt đã cho có cặp nghiệm: ( x 2; y 2), ( x ; y 3) Thí dụ 56 Giải hệ phương trình ( y 1) xy y x 1(*) 1 x y xy xy x y x2 1 5( xy y 1) 3 x x1 (**) x 1 2 xy x y 2 x x1 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn Đk xy y x y xy xy x y a Đặt xy y b Suy mối liên hệ: a b x y xy x (1) Pt (*)đã cho trở thành: ( y 1)b x a ( y 1)b x 1 a Thay a vào (1) ta ( y 1) y x 12 b x y 2xy x ( y 1) 1b 2( x 1)( y 1)b x( xy y 2) b x a xy b ( xy y 2) 0(l ) ( y 1) Ta có: xy 1 x y xy xy x y xy x xy y x xy y x Thay xy y x vào PT(**) có x 1 x x 1 Đặt 2 2 x 1 x x 1 x2 2x2 2x 5( x 1) 2x2 2x 0 t 0 Có: 3t 22t 5t f (t ) 3t 22t 5t f ' (t ) 3t ln 22t ln f " (t ) 3t ln 22t ln 2 suy f’(t) đồng biến, f’(t) có tối đa nghiệm suy f(t) có tối đa khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa nghiệm suy t=1;t=2 là tất các nghiệm f(t) 45 (46) Với t có: Với t có: x y 1 y (loaivixy 1) x 1 x( x 2) x 2x2 2x 1 y 1 (loaivixy 1) y x 3 x 1 ( x 3)( x 1) 1 2x2 2x y x 1 0(loai ) 1 1 ), (3; ) 3 Sau đây tác giả nêu vài thí dụ hệ PT dùng phương pháp đặt ẩn phụ tác giả nghĩ ra(phương pháp sau tác giả dựa vào phép Ơ-le tính tích phân) Muốn tìm hiểu rõ phương pháp đặt ẩn phụ kiểu phép Ơ-le các bạn có thể tìm tạp chí: hệ Pt đã cho có cặp nghiệm (x;y): (0;0), (3 ; Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 468 Tháng 6-2016 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Hoàn Sơn;Tiên Du;Bắc Ninh) Thí dụ 57 Giải hệ phương trình x2 2 x x y y y x 1(*) y 16 y 16 y (8 x 1) x 15 (**) x 16 x Tác giả:Vũ Hồng Phong (GVTHPT Tiên Du 1,Bắc Ninh) Hướng dẫn Đk y x y x y 0(đk : y 0) Đặt 2x 2x y y a y x4 b Suy mối liên hệ: a b x y x 1(1) Pt (*)đã cho trở thành: x2 a b 1 y Thay a vào (1) ta x2 b 1 b x y x 1(1) y x 2x2 1b b ( x4 y 2x2 ) y y x4 2x2 1b b ( x4 y 2x2 ) y y x4 y 1b x 2b y( x y x ) y 46 (47) b y a x (x4 y 2x2 ) b 0(l ) x4 ( 1) y y Ta có: x x y y x y 4 y y x y x y Thay y y x vào PT(**) có 15 9 16 x3 (8 x 1) x Điều kiện x 16 x 16 30 32 x (16 x 2) x (* * *) 16 x Ta có (2 x x 1)3 x 12 x x x(4 x 1) (4 x 1) x 32 x x (16 x 1) x Suy VT (***) 32 x x (16 x 1) x 3(2 x x 1) (2 x x 1)3 3(2 x x 1) t x t x (i) 2 4 x (t x) 4tx t Đặt x x t x t x + Dễ thấy t = không thoả mãn (i) + Xét t 1 t t 2t (i ) t2 1 x t x 4t 4t Khi này PT(***) trở thành 30 t 1 16 9 4t 30t t 3t 4t 9t 30 t2 (do t ) 4t 9t (t 3)(4t 9t 4) 30 t 3t 4t 9t 16t 27t 18 (t 2)(t 3)(4t 5t 3) t t 3 4t 5t Xét phƣơng trình 4t 5t có nên nó vô nghiệm 47 (48) Do t nên ta lấy t -Với t thay vào (1) ta đƣợc x Vậy PT(***) có nghiệm x 8 81 32 943 y có: y y 4096 64 32 943 hệ Pt đã cho có cặp nghiệm (x;y): ; 64 8 Thí dụ 58 Giải hệ phương trình 3x y x x y x y 1(*) 11x 10 x 30 y 2 x x (**) 1 3 Với x Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn Dễ thấy x y thì (*) x y x y (không xảy ra) (*) x y Đặt 3x y x a 2x y b Suy mối liên hệ: a b ( x 1) (2 y) Pt (*)đã cho trở thành: a b x 1 y Ta có hệ: (a b)(a b) ( x y )( x y ) a b x y a b x y a b x y x 1 2 a x 3x y x x y 2 b y y 2x2 2x 3y y Thay y 2x vào PT(**) có : 11x 70 x 2 1 x x (* * *) 3 +Dễ thấy x không thoả mãn PT (***) + Xét x 2 x x tx Đặt 3 tx 7 2 x x t x xt 3 tx tx 2 (1) (do x ) t x x tx x ( t ) x t Dễ thấy 3t t 48 (49) không thoả mãn (1) thì 6t x 3t (1) t 6t 3t 6t x 3t 6t x 3t t 3t 2t 3t t Khi t (2) Với cách đặt trên thay vào PT đã cho ta đƣợc 11x3 70 x 11x 70 t x3 x 3t x 11x 70 6t 6t 3t 11 70 3t 3t 3(6t 2)t 11(6t 2) 70(3t 7) (1 tx 1)3 18t 6t 210t 66t 468 6(t 3)(t 2)(3t 4t 13) t t t 2 t 2 3t 4t 13 t 43 đối chiếu điều kiện t (2) ta loại t 43 Với t còn lại thay vào (2) ta đƣợc x 1; x 2; x 43 0,775 13 43 đối chiếu điều kiện x 1 x 1; x 43 0,775 13 43 y Với x y x y 0(l ) 43 86 y ( y 0) Với x 13 43 13 43 hệ Pt đã cho có cặp nghiệm (x;y): 43 86 ; ) (1 : ) ( 13 43 13 43 ; 49 (50) Thí dụ 59 Giải hệ phương trình x y x x y x y 2(*) x y 17 x 11 27 41 x (**) 2 28 14 x y 17 x 11 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn Dễ thấy x y thì (*) 5x y x x y x y x x 0(vn) (không xảy ra) (*) x y Đặt 5x y x a 4x y b Suy mối liên hệ: a b x x y y ( x 3) ( y 1) Pt (*)đã cho trở thành: a b x y 1 Ta có hệ: (a b)(a b) ( x y 1)( x y 1) a b x ( y 1) a b x y a b x y x 3 2 a x 5x y x x y b y y 4x2 4x y y Thay y 4x vào PT(**) có : x 17 x 11 27 41 x 14 ( x 1)(6 x 11) 28 Dễ thấy x 1 không là nghiệm phƣơng trình Với x 1 đặt ( x 1)(6 x 11) ( x 1)t (1) ( x 1)(6 x 11) ( x 1)2 t x 11 ( x 1)t (t 6) x 11 t (2) Dễ thấy t không thoả mãn (2) 11 t Với t suy x (3) t 6 thay vào (1) ta đƣợc: 5t ( x 1)(6 x 11) 0 t 6 t Suy (4) t Phƣơng trình đã cho trở thành 5t t 27 11 t 41 700t (55t 195)(2t 5t 12) 5t 28 t 14 2 t 6 140t (11t 39)(2t 5t 12) 50 (51) 22t 55t 350t 195t 468 (t 1)(t 3)(22t 143t 156) t t t 143 6721 44 Kiểm tra điều kiện (4) ta lấy t và 143 6721 t 44 Thay các giá trị t vào (3) ta đƣợc x 286 6721 5874 143 6721 2937 và x 15554 286 6721 7777 143 6721 16 Với x y x ; y y 286 6721 5874 286 6721 5874 Với x ; y 4x ; y y 15554 286 6721 7777 143 6721 hệ Pt đã cho có cặp nghiệm (x;y): x ;y 3 143 6721 2937 286 6721 5874 x ;y 7777 143 6721 7777 143 6721 Thí dụ 60 Giải hệ phương trình 4x2 y y (*) xy 15 x y 1 e y 2 y 1 y 20 x y 75(**) e Hướng dẫn 15 Đk: xy Đặt: xy 15 a 4x2 y b0 Suy mối liên hệ: a 2b3 (2 x y) 16 (1) Từ phƣơng trình (*) có: a xb y Thay vào (1) đƣợc: xb y 2 2b3 (2 x y) 16 (b 2) x2b x2 2b2 4b xy b vì x 2b x 2b 4b xy Suy a 2x y Ta có : 51 (52) xy 15 x y 2 x y 4x y 1 2 4 x y 15 3 15 y x2 Thay vào(**) đƣợc: ey 1 e ey 1 y 2 y 1 y4 5y2 2y ( y 1) e y 2 y 1 (3 y y 1) f ( y 1) f ( y y 1) f (t ) et t f ' (t ) et 2t f ' ' (t ) et f ' ' (t ) et x ln t Ln2 f”(t) - + f’(t) 2-ln4>0 f(t) Nhƣ f(t) là hàm đồng biến suy f ( y 1) f ( y y 1) y y 1 y2 3y2 y y 1 y ( y 2)( y y 1) y x2 11 11 x y 1 x 12 2 12 2 x Đối chiếu đk suy nghiệm hệ đã cho: 11 12 2 , ; ; 52 (53) 53 (54) 54 (55) 55 (56)