GIAI PT BANG PP DAT AN PHU

S¸ng kiÕn nµy cã thÓ tuú theo møc ®é yªu cÇu ®èi tîng häc sinh mµ gi¸o viªn cã thÓ d¹y toµn bé hay Ýt nhiÒu mét phÇn nµo ®ã.. mª vµ hµo høng h¬n trong häc to¸n.[r]

A Đặt vấn đề

Trong trình học tốn phổ thơng sử cấp hai lớp lớp cuối cấp, địi hỏi học sinh phải nắm đợc số cách giải phơng trình.Đặc biệt giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ.Bởi khơng phải phơng trình dạng bản, đơn giản giải đợc mà nhiều phơng trình phức tạp, giải ngay rất khó khăn.Chính phơng pháp đặt ẩn phụ để đa phơng trình dạng bản, đơn giản cần thiết

Mặt khác qua thực tế giảng dạy nhiều năm lớp tơi nhận thấy khi giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ học sinh lúng túng, hay nhầm lẫn trình giải Hơn em học biết gây cho em cảm giác không tự tin sợ giải phơng trình Vậy làm để em chủ động sáng tạo trình giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ

Do phạm vi đề tài nhỏ này, mạnh dạn nêu vài hớng suy nghĩ giảng dạy học sinh lớp “ Giải phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ”

Cụ thể tổng hợp, phân loại hớng dẫn học sinh phơng pháp giải dạng phơng trình với hy vọng học sinh lớp từ học lực trở lên dựa vào phát huy tính sáng tạo, khả tìm tịi lời giải ,chủ động trình giải ph-ơng trình phph-ơng pháp đặt ẩn phụ Từ thúc đẩy lịng say mê, u thích mơn toán học

B Giải vấn đề

I T×nh h×nh chung:

dạng tốn song tản mạn, đan sen , mờ nhạt cha rõ ràng Điều khiến học sinh hay mắc phải sai lầm giải dạng toán này, dẫn đến nghiệm phơng trình khơng nghiệm nhng lại sai q trình giải Chính ngời giáo viên phải biết gom nhặt, tổng hợp, phân loại thành phơng pháp giải dạng toán cho phù hợp với đối tợng học sinh

II Những vấn đề đ ợc giải sỏng kin kinh nghim

1 Lý thuyết giải phơng trình: 1.1 Giải phơng trình bậc ẩn 1.2 Giải phơng trình chứa ẩn mẫu thức 1.3 Giải phơng trình tích

1.4 Giải phơng trình bậc hai mét Èn sè

1.5 Giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ 2 Một số dạng phơng trình cách giải

3 KÕt qu¶

III Ph ơng pháp tiến hành:

1 Lý thuyết giải phơng trình: 1.1 Giải phơng trình bậc ẩn: - Phơng trình bậc ẩn có dạng : ax+b = ( a  )

Phơng trình có nghiệm x b a

1.2 Giải phơng trình chứa ẩn mÉu thøc:

- Khi giải phơng trình dạng phải qua bớc sau: Tìm tập xác định

2 Quy đồng mẫu thức, khử mẫu thức Giải phơng trình vừa tìm đợc

4 Nghiệm phơng trình giá trị vừa tìm đợc x thuộc tập xác định

1.3 Giải phơng trình bậc hai ẩn: - Phơng trình bËc hai mét Èn sè cã d¹ng: ax2+bx+c = (1) ( a )

Đặt b2 4ac

Nếu< phơng trình (1) vô nghiệm

Nếu= phơng trình (1) cã nghiÖm kÐp

2

b x x

Nếu> phơng trình (1) có nghiệm phân biệt là: 1 ; 2

2

b b

x x

a a

   

Hoặc giải theo ' ( b' 2) ac

    '

2

b b  NÕu '

<0 phơng trình (1) vô nghiệm Nếu '

=0 phơng trình (1) có nghiệm kÐp lµ :

'

b x x

a   NÕu '

 >0 phơng trình (1) có2 nghiệm phân biệt là: x1 b' ' ; x2 b' '

a a

     



1.4 Giải phơng trình tích :

- Phơng trình tích có dạng:

f( )=0 g( )=0 f(x).g(x).h(x)&.m(x) = h( )=0 m( )=0

    

  

x x x x Nghiệm phơng trình tất nghiệm phơng trình f(x)=0; g(x)=0; h(x)=0;…; m(x)=0

1.5 Giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ :

- Phơng trình cha có dạng bốn dạng Ta dùng ẩn đặt cho biểu thức phơng trình ban đầu để đa phơng trình bốn dạng có cách giải cụ thể với ẩn

Chú ý phải đặt điều kiện cho ẩn Khi giải phơng trình với ẩn đợc nghiệm phải đối chiếu với điều kiện ẩn mới.Nếu thoả mãn từ biểu thức đặt giải nghiệm phơng trình cho.Nếu khơng có nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn phơng trình cho vơ nghiệm 2 Một số dạng tốn cách giải :

Dạng I: Đặt ẩn phụ đa thức ẩn để đa phơng trình cho về phơng trình bậc hai:

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: (x2+2x+3)2-9(x2+2x+3)+18=0 a Phân tích đề tìm lời giải:

giải.Do trớc giải gợi ý học sinh nhận xét phơng trình Ta nhận thấy phơng trình có biểu thức x2+2x +3, thay ẩn khác phơng trình cho trở thành phng trỡnh bc hai

Đặt y = x2+2x+3 (*) phơng trình(1) trở thành y2-9y+18 = (2)

Đến học sinh dễ dàng giải đợc phơng trình (2) để tìm nghiệm y Từ thay vào biểu thức (*) để tìm đợc nghiệm x phơng trình

b Lời giải :

Đặt y = x2+2x+3(*)

thay vào phơng trình (1) phơng trình (1) trë thµnh: y2-9y+18 = (2)

2

( 9) 4.18

     >0

phơng trìn35h (2) có nghiệm phân biÖt

1

9 9

=6 ;

2

y   y   

Thay y1=6 vµo biĨu thøc (*) ta cã : x2+2x+3=6

 x2+2x-3=0

Ph¬ng trình có nghiệm: x1=1 ; x2=-3 Thay y2=3 vào biÓu thøc (*) ta cã:

x2+2x+3=3  x2+2x=0 x(x+2)=0 x=0 x=-2 Vậy phơng trình cho có nghiệm phân biệt là:

x1=1 ; x2=-3 ; x3=0 ; x4=-2 c Khai thác toán:

Từ ví dụ ta nâng lên thành toán tổng quát là:

2

a f( )x b xf ( ) c (1) ; (a 0)

Đặt y = f(x) (*) phơng trình (1) trở thành phơng trình bậc hai ẩn y : ay2+by+c=0

Đây phơng trình bậc hai ẩn y dạng giải dễ dàng tìm đợc nghiệm y.Sau thay vào biểu thức (*) để tìm đợc nghiệm x

d VÝ dơ ¸p dơng:

Giải phơng trình sau:

b (x2+x)2-2(x2+x)-15=0

c (x2+2x+1)2+(2x2+4x+2)-3=0 d (x2-4)2+(x2-4)- 5

4=0

e (x2+2x+3)2-x2-2x+7=0 ® TiĨu kÕt:

Sau học sinh nắm cách giải phơng trình dạng ví dụ phơng trình khơng cịn khó nữa, em dễ dàng giải đợc

Chó ý:

- Có phải qua hai lần đặt ẩn phụ tìm nghiệm ph-ơng trình cho

- Khi biểu thức đặt ẩn phụ nhận giá trị khoảng phải đặt điều kiện cho ẩn phụ

Ví dụ 2: Giải phơng trình sau: (x2-3x+1)( x2-3x+2)=2 (1) a Phân tích đề tìm lời giải :

Thờng học sinh ban đầu bắt gặp phơng trình cho phơng trình tích nên nhân phá ngoặc bình thờng ết phơng trình trở thành phơng trình bậc dạng trùng phơng nên gặp khó khăn giải Chính gợi ý cho häc sinh tríc gi¶i h·y nhËn xÐt xem biểu thức phơng trình có biểu thức nµo gièng

Ta nhận thấy hai cụm tích phơng trình có biểu thức x2-3x giống nờn ta cú th t: x2-3x+1=y

phơng trình (1) trë thµnh y(y+1)=2

Đây phơng trình đơn giản giải dễ dàng từ tìm đợc nghiệm y thay vào biểu thức đặt để tìm tiếp nghiễm

Chú ý: Có thể đặt x2-3x+2=y b Lời gii:

Đặt y=x2-3x+1 (*)

Phơng trình (1) trở thành :

y(y+1)=2 y2+y-2=0 (y-1)(y+2)=0 y1=1 y2=-2 Thay y1=1 vào phơng trình (*) ta có:

Thay y2=-2 vào phơng trình (*) ta cã: x2-3x+1=-2 x2-3x+3=0

9 4.3

  <0 nên phơng trình vô nghiệm

Vy phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt : x1=0 ; x2 =3 c Ví dụ áp dụng:

Giải phơng trình sau:

a (x2+8x+7)(x2+8x+15)+5=0 b (x2+6x-5)(x2+6x-9)=10 c (2x2+7)(9-2x2)=3

Gợi ý câu c trớc đặt ẩn phụ ta biến đổi chút để phơng trình có dạng ví dụ

(2x2+7)(9-2x2)=3 -(2x2+7)(2x2-9)=3 d TiÓu kÕt:

Sau học sinh nắm cách giải phơng trình dạng ví dụ phơng trình nh ví dụ áp dụng học sinh giải đợc cách tơng tự khơng có khó khăn

Ví dụ 3: Giải phơng trình sau: (x-1)(x+1)(x+3)(x+5)=9 (1) a Phân tích đề tìm lời giải :

Khi gặp phơng trình học sinh hay phá ngoặc nhân bình thờng dẫn đến phơng trình bậc cao khó giải Nếu sử dụng cách giải nh ví dụ sau đặt dẫn đến phơng trình bậc cao khó khăn giải

Do dạng gợi ý cho học sinh nhận thấy số hạng tự tích

-1+5=1+3 nên ta viết lại phơng trình (1) nh sau: [(x-1)(x+5)][(x+1)(x+3)]=9

(x2+4x-5)(x2+4x+3)=9 (2)

Đến phơng trình (2) trở dạng nh ví dụ nên cách giải tơng tự nh ví dụ

b Lêi gi¶i:

Phơng trình (1) tơng đơng với [(x-1)(x+5)][(x+1)(x+3)]=9

y(y+8)=9 y2+8y-9=0 (y-1)(y+9)=0 y=1 y=-9 Thay y=1 vào biểu thức (*) ta cã:

x2+4x-5=-1 x2+4x-6=0

' 4 10

    >0  x1=-2+ 10 ; x2=-2- 10 Thay y=-9 vµo biĨu thøc (*) ta cã:

x2+4x-5=-9 x2+4x+4=0 (x+2)2=0  x=-2

Vậy phơng trình cho ban đầu có nghiệm phân biệt là: x1=-2+ 10 ; x2=-2- 10; x3=-2

c Khai thác toán:

Từ ví dụ ta có phơng trình dạng tổng quát : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m

Nếu a+d=b+c ta viết phơng trình lại nh sau : [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)]=m

Nếu a+c=b+d ta viết phơng trình lại nh sau: [(x+a)(x+c][(x+b(x+d=m

Nếu a+b=c+d ta viết phơng trình lại nh sau: [(x+a)(x+b)][(x+c(x+d]=m

Sau phá ngoặc nhân tích dấu [] phơng trình có dạng nhơ ví dụ tiến hành giải phơng pháp đặt ẩn phụ nh ví dụ

d Các ví dụ áp dụng: Giải phơng trình sau:

a (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=2 b (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=24 c (y-3)(y+2)(y+4)(y-5)=3 ® TiĨu kÕt:

Sau học sinh nắm đợc cách giải dạng phơng trình ví dụ dạng ph-ơng trình tổng quát dễ dàng giải đợc phph-ơng trình ví dụ áp dụng Chú ý : Học sinh phải nắm cách giải phơng trình dạng ví dụ2 Ví dụ 4: Giải phơng trình sau:

2

3

2 (1)

5

x  x x  x 

a Phân tích đề để tìm lời giải :

Do học sinh gặp khó khăn giải

Đối với dạng gợi ý cho học sinh quan sát mẫu thức xem có biểu thức chứa ẩn giống Từ ta đặt ẩn phụ y=x2+5x+6 phơng trình (1) trở thành:

3 2

yy 

Đến đợc phơng trình chứa ẩn mẫu thức dạng đơn giản ta dễ dàng giải đợc nghiệm y, từ tìm đợc nghiệm x

b Lời giải:

Đặt y= x2+5x+6 (*)

Thay vào phơng trình (1) ta đa phơng trình dạng:

3 2

yy  (2) TX§: y0; y-2

Khi ta có: 3y+6+2y=2y(y+2)  5y+6-2y2-4y=0  2y2-y-6=0   1 4.2.6 49

1

1 49

4

y     ( tho¶ m·n ®iỊu kiƯn )

2

1 49

4

y     ( thoả mÃn điều kiện ) Thay y1=2 vào biểu thøc (*) ta cã:

x2+5x+6=2 x2+5x+4=0 (x+1)(x+4)=0 x=-1 hc x=-4 Thay y2=

2

 vµo biĨu thøc (*) ta cã:

x2+5x+6=

2

  2x2+10x+15=0

' 25 30 5 0

nên phơng trình vô nghiệm

Vậy phơng trình cho ban đầu có hai nghiệm phân biệt là: x1 =-1; x =-4 c Ví dụ áp dụng:

2

2 2 2

2

a)

3

2

b)

( ) ( ) ( )

x x x x

x x x x x x x x

 

   

 

       

Sau học sinh nắm cách giải phơng trình dạng ví dụ học sinh dễ dàng nhận dạng đợc phơng trình dạng linh hoạt sáng tạo cách giải, nh dễ dàng giải đợc ví dụ áp dụng

Chú ý: Một phơng trình vận dụng nhiều cách giải dạng phơng trình đặt ẩn phụ

Ví dụ 5: Giải phơng trình sau: 3(x2-x+1)2-2(x+1)2=5(x3+1) (1) a Phân tích đề tìm lời giải :

Khi gặp phơng trình học sinh thờng nghĩ phơng trình chứa ẩn nên học sinh hay phá ngoặc dẫn đến phơng trình bậc cao khó giải Đối với dạng gợi ý cho học sinh x3+1=(x+1)(x2-x+1) nên ta đặt n ph nh sau:

Đặt x2-x+1 = a x+1 = b b Cách giải: Đặt x2-x+1 = a x+1 = b

Phơng trình (1) đa d¹ng: 3a2-2b2=5ab (2)

 3a2-5ab-2b2 = ( Coi a lµ Èn )

2 2 2

( ) 4.3.( ) 25 24 49

  a b   b b b b Phơng trình (2) cã nghiƯm lµ :

2

5 49 12

6 6

 

 b b  b b  b 

a b

2

5 49

6 6

   

 b b  b b b  b

a

Víi a = 2b ta cã: x2-x+1 = 2(x+1)



x -x-2x+1-2 =  x2-3x-1 = 0  1 13

2

 

x ; 2 13

2

  x Víi a =

3

b

2

1

     x x x

2

3 3

 x  x x

3

 x  x 

2

( 2) 4.3.4 44 )

(Vô nghiệm v ì

Vậy phơng trình (1) cho có nghiệm :

1

3 13 13

;

2

 

 

x x

c VÝ dơ ¸p dụng: Giải phơng trình :

2 2

2(x  x 1)  7(x1) 13(x 1)

Dạng II: Phơng trình trùng phơng:

Ví dụ 1: Giải phơng trình : 2x4-5x2+2=0 (1)

a Phân tích tìm lời giải :

i vi bi ny học sinh dễ dàng đặt ẩn phụ để giải

Đặt y=x2 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai ẩn y là: 2y2-5y+2=0

Nhng em hay mắc sai lầm đặt ẩn phụ y=x2 em thờng không nghĩ đến điều kiện cho ẩn y mà giải bình thờng dẫn đến nghiệm y không thoả mãn điều kiện nhng thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để tìm x Do giải vừa dài vừa xuất nghiệm ngoại lai

Đối với dạng ý cho học sinh đặt ẩn phụ ý đến điều kịên ẩn phụ Sau giải tìm đợc nghiệm ẩn phụ phải đối chiếu với điều kiện đặt

Đặt y=x2 điều kiện y

0 ( x20) ; nghiệm y<0 loại b Lời giải:

Đặt y=x2 (*) (y0)

Thay vào phơng trình (1) ta cã: 2y2-5y+2=0

25 16

   

5 4

y (thoả mÃn điều kiện)

2

5 4

x2=2  x=

2

 Thay y2=

2 vµo biĨu thøc (*) ta cã:

x2= 1

2  x=

  x=

2



Vậy phơng trình cho ban đầu có nghiệm phân biệt

x1= 2 ; x2=- 2 ; x3=

2 ; x4=- 2

c Khai thác toán :

Từ ví dụ ta khái quát thành dạng tổng quát phơng trình là: ax2n+bxn+c=0 ( a0; n2;nN )

Đặt xn=y (*) (y0)

t ú a phng trình cho phơng trình bậc hai với ẩn phụ : ay2+by+c=0

Ta dễ dàng giải đợc phơng trình bậc hai dạng để tìm đợc y Đối chiếu với điều kiện để lấy nghiệm y thoả mãn thay vào biểu thức (*) để tìm nghiệm x ; x= n y

d VÝ dơ ¸p dơng: a) 4x4-x2+3=0 b) 2x4-( x)4+1=0 c) x8-4x4+1=0 đ Tiểu kết:

Học sinh nắm cách giải dạng phơng trình ví dụ nhận dạng, sử dụng linh hoạt giải phơng trình dạng giải dễ dàng ví dụ áp dơng

Chú ý: Khi giải dạng phơng trình phải đặt điều kiện cho ẩn phụ nắm cách giải phơng trình bậc hai bản, nắm kiến thức thức, luỹ thừa

Ví dụ 2: Giải phơng trình sau: 3x6+8x3+2=0 (1)

a Phân tích tìm lời giải:

Khi bt u gặp phơng trình học sinh thờng lúng túng cho phơng trình bậc cao đến tận bậc mà lại khơng thể đa phơng trình tích để giảm bậc phơng trình

Từ đặt y=x3 (*) có đa phơng trình (1) phơng trình bậc hai không ? điều kiện cho ẩn phụ y với giá trị thoả mãn

Khi phơng trình (1) trở thành phơng trình bậc hai ẩn y 3y2+8y+2=0

Đến ta giải dễ dàng đợc nghiệm y, từ thay vào biểu thức (*) để tìm nghiệm x

b Lời giải: Đặt y=x3 (*)

Thay vào phơng trình (1) ta cã: 3y2+8y+2=0

'

16 10

     1 10

3

y   vµ 2 10

3

y   Thay 1 10

3

y   vµo (*) ta cã:

3 10 =3 -4+ 10

3

x    x Thay 2 10

3

y   vµo (*) ta cã:

3 10 =3 -4- 10

3

x    x

Vậy phơng trình cho ban đầu có hai nghiệm phân biệt là:

3

-4+ 10 =

3

x ;

2

-4- 10 =

3

x

c Khai thác toán:

Từ ví dụ ta khái quát thành dạng phơng trình tổng quát là:

0

n n

ax bx  c (a0, n lµ sè lẻ) Đặt y xn

ú phng trỡnh trở thành phơng trình bậc hai với ẩn y:

0 ay by c 

Đây phơng trình bậc hai nên dễ dàng giải đợc tìm nghiệm y Sau thay lại vào biểu thức đặt ẩn phụ tìm nghiệm x ; xn y

6

14

10

a) b) c)

x x

x x

x x

  

  

  

® TiĨu kÕt:

Học sinh nắm cách giải phơng trình dạng ví dụ1,2 gặp phơng trình bậc cao em không cảm thấy lúng túng nữa, dễ dàng giải đợc ví dụ áp dụng

Chú ý : Đối với dạng phơng trình cần nắm cách giải phơng trình bậc hai kiến thức thức, luỹ thừa

Ví dụ 3: Giải phơng trình sau:

4

3(2x1)  4(2x1)  1 (1)

a Phân tích tìm lời giải:

Thng gii học sinh hay nhân phá ngoặc dẫn đến phơng trình bậc cao “khơng mẫu mực” khó khăn cho q trình giải

Đối với tơi gợi ý cho học sinh nhận xét biểu thức chứa ẩn phơng trình số mũ biểu thức

Häc sinh sÏ nhËn biĨu thøc chøa Èn gièng lµ 2x+1 vµ sè mị lµ 4=2.2

Từ ta đặt y= (2x+1)2 (*) ( y0) đa phơng trình cho dạng bậc hai với ẩn y:

3y2-4y+1=0

Đây phơng trình bậc hai nên dễ dàng giải đợc tìm nghiệm y Sau thay lại biểu thức (*) để tìm nghiệm x

b Lời giải:

Đặt y=(2x+1)2 (*) (y0) thay vào phơng trình (1) ta có: 3y2-4y+1=0

' 4 1

     1 1

3

y    (Tho¶ m·n) 2 1

3

y  (Thoả mÃn)

Thay y1=1 vào (*) ta cã:

2 1 1

2( 1)

0

x x

x x x x

  

    

 

   

     



Thay y2=

3 vµo (*) ta cã:

(2x+1)2 = 1

3

3

3 3

6 3

6

x x x x 

  

 



  



  

   

     

Vậy phơng trình cho ban đầu có nghiệm phân biệt là:

1

x =0; x2=-1; 3 3 ; 4 3

6

x x c Khai thác toán:

Từ dạng phơng trình (*)ở ví dụ 1,2,3 ta viết thành dạng tổng quát phơng trình dạng II là:

a[f( x )]2n +b[f( x)]n+c = 0

Trong f( x ) đơn thức nh ví dụ 1,2 f( x) đa thức nh ví dụ

Ta đặt [f( x )]n=y

+ Nếu n chẵn đặt điều kiện cho y0 + Nếu n lẻ điều kiện với y

Khi phơng trình cho trở thành phơng trình bậc với ẩn y Ta dễ dàng giải đợc nghiệm y từ tìm đợc nghiệm x phơng trình d Ví dụ áp dụng:

c) 4( x-6

) +( x-6

) -5=0

® TiĨu kÕt:

Học sinh nắm cách giải phơng trình dạng II dễ dàng nhận dạng phơng trình em chủ động sáng tạo quỏ trỡnh

giải.Các ví dụ áp dụng giải tơng tự

Chỳ ý: Cn nm chc kin thức thức, luỹ thừa Dạng III: Phơng trình có hệ số đối xứng:

1 Phơng trình có hệ số đối xứng bậc chẵn : Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:

4

2x 3x  x 3x 2 (1)

a Phân tích đề tìm lời giải:

ở phơng trình học sinh thờng lúng túng cho phơng trình bậc cao mà tách thành phơng trình tích khơng đợc, cịn đặt ẩn phụ cha thể giải đợc Do việc giải dẫn đến khó khăn Vì gợi ý học sinh nhận xét phần hệ số số hạng biểu thức vế trái phơng trình có đặc điểm Ta nhận hệ số x4 x0bằng , hệ số x3 hệ số x Do ta cịn gọi phơng trình có hệ số đối xứng bậc chẵn Tiếp ta nhận xét nghiệm phơng trình : Dễ dàng nhận x=0 khơng phải nghiệm phơng trình (1) nên ta chia hai vế phơng trình cho x2 0 ta đợc phơng trình mới:

2

2

2

1 3

1

2 (2)

x x

x x

x x

x x

    

   

       

   

Đến hớng dẫn học sinh đặt ẩn phụ là: Đặt y=x+1

x (*) Do y2=x2+

2

1

x +2 nên điều kiện y 2 Khi phơng trình (2) trở thành: 2(y2-2)+3y-1=0

 2y2+3y-5=0

b Lêi gi¶i:

Ta nhận thấy x = khơng phải nghiệm phơng trình (1) Ta chia vế phơng trình cho x2 0 ta đợc phơng trình mới:

2x2+3x-1+3 x  +2

2

1

x =  2( x2+

2

1

x )+3( x+

1

x )-1 = (2) Đặt y =x+1

x (*) ( y 2) phơng trình (2) trở thành: 2(y2-2)+3y-1 = 0

 2y2+3y-5 = 0  y1=1 (Lo¹i) y2 =

2



( Tho¶ m·n )

Thay y =

2



vµo biĨu thøc (*) ta cã:

x+1 x=

5



víi x 0

 2x2+5x+2 = víi x  0

25 16

   

 1

4

x    ; 2

4

x   

Vậy phơng trình (1) cho có nghiệm phân biệt là:

1

x ; x2=-2 c Khai thác toán:

Từ ví dụ ta viết thành dạng tổng quát phơng trình là: ax4+bx3+cx2+bx+a = (a0;b0)

ở phơng trình dạng x=0 nghiệm phơng trình nên ta chia vế phơng trình cho

x phơng trình trở thành: a(x2+

2

1

x )+b(x+

1

x)+c (1) Đặt y=x+1

x ®iỊu kiƯn y 2  x2+

2

1

x =y

Ta giải phơng trình tìm nghiệm y

Thay nghiệm y thoả mãn điều kiện vào biểu thức đặt ẩn phụ tìm nghiệm x

d VÝ dơ ¸p dơng:

a) x4+10x3+26x2 +10x+1 = 0 b)

x +

x -4

x +x+1 = c) x4-x3-x+1 = 0 ® TiĨu kÕt:

Đối với dạng học sinh phải nhận xét trớc giải đặt ẩn phụ phải ý đến điều kiện ẩn phụ, tìm đợc nghiệm ẩn phụ phải đối chiếu với điều kiện Nắm cách giải dạng học sinh dễ dàng , chủ động sáng tạo trình giải, nh giải phơng trình ví dụ áp dụng cách tơng tự

VÝ dô 2: Giải phơng trình sau:

3x6- 4x5+2x4-8x3+2x2-4x+3 = (1) a Phân tích tìm lời giải:

Hc sinh dễ dàng nhận phơng trình đối xứng bậc chẵn Nhng lại cảm thấy lúng túng thấy phơng trình có bậc cao Tơi s gi ý

cho học sinh làm tơng tự nh vÝ dơ nhng sÏ xt hiƯn

x + 13 x ta phải biến đổi biểu thức đặt ẩn phụ:

y = x+1 x 

3

x + 13 x =y

3-3y

Sau thay vào phơng trình đa phơng trình phơng trình bậc ẩn y giải dễ dàng

b Lêi gi¶i:

Ta nhận thấy x=0 nghiệm phơng trình nên ta chia vế phơng trình cho x30 phơng trình có dạng:

3

x -4

x +2x-8+21

x-4

1

x +

3

x =0  3(x3+

3

1

x )-4(

x + 12

x )+2(x+

1

x )-8=0 (2) Đặt y=(x+1

x) (*) ( y2 )  x2+

2

1

3

x + 13 x =y

3-3y

Thay vào phơng trình (2) ta cã : 3(y3-3y)-4(y2-2)+2y-8 = 0

 3y3-9y-4y2+8+2y-8 = 0  3y3-4y2-7y = 0

 y(y+1)(3y-7) =           

0 (Lo¹i) (Lo¹i)

( Tho¶ m·n )

y y

y

Thay y=7

3 vµo biĨu thøc (*) ta cã:

x+1 x=

7

3 víi x 0

 3x2-7x+3 = víi x 0

49 36 13

   

7 13

x   ; 2 13

6

x  

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

1

7 13

x   ; 2 13

6

x   c Khai thác toán:

T vớ d ta viết thành dạng tổng qt phơng trình có hệ số đối xứng bậc chẵn là:

2 1

0 1 1 0

  

 

        

n n n n n

n n n

a x a x a x a x a x a x a

Cách giải phơng trình trớc tiên phải nhận xét x=0 khơng nghiệm phơng trình Từ chia hai vế phơng trình cho xn 0

thì đợc phơng trình dạng:

0 1

1 1

0 (*)

                             n n n n n n

a x a x a x a

x x x

Đặt y = x+1

x ( y 2)

Biến đổi biểu thức ; 1 11                 n n n n x x

x x vỊ biĨu thøc cđa y

Từ áp dụng cách giải dạng phơng trình tuỳ thuộc vào phơng trình bậc n y để giải Ta giải tìm đợc nghiệm y cách dễ dàng phơng trình dạng đơn giản

d VÝ dơ ¸p dơng:

a) 4x6-3x5+x4-6x3+x2-3x+4 = 0

b)

2x 2x x x 2x x x 2x 2

® TiĨu kÕt:

Ngồi việc nắm cách giải dạng phơng trình học sinh cần nắm đợc cách giải số dạng phơng trình khác Từ nhận dạng vận dụng giải cách linh hoạt

Chú ý tìm nghiệm ẩn phụ phải đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm không thoả mãn

2 Phơng trình có hệ số đối xứng bậc lẻ: Ví dụ 1: Giải phơng trình sau :

3

x +2x2+2x+1 = (1) a Phân tích tìm lêi gi¶i:

Đối với phơng trình học sinh thờng nghĩ đến tách thành phơng trình tích để giảm bậc Song tách thành tích khó khăn Tôi hớng dẫn em nhận xét hệ số số hạng có điểm gì, hệ số x3 x0 , hệ số x2 x có khơng ?

Từ ta cịn gọi phơng trình có hệ số đối xứng bậc lẻ Do đối xứng hệ số mà ta dễ dàng nhận thấy x=-1 nghiệm phơng trình Từ ta tách biểu thức vế trái phơng trình thành tích biểu thức ( x+1) biểu thức thơng phép chia đa thức (x3+2x2+2x+1) cho x+1 Khi ta hạ đợc bậc phơng trình đa bậc 2,1 dễ dàng tìm đợc nghiệm phơng trình

b Lời giải:

Ta nhận thấy x=-1 nghiệm phơng trình nên phơng trình (1) trở thành :

(x+1)(x2+x+1) = 0

2

(1') (2')

x

x x

  

    

Giải phơng trình (1)

2

x +x+1 =

1

    

 ph¬ng trình (2) vô nghiệm

Vy phng trỡnh (1) ó cho có nghiệm x= -1 Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:

2x5+3x4+2x3+2x2+3x+2 = 0

a Phân tích tìm lời giải:

õy l phng trình bậc cao, học sinh lúng túng khơng biết hạ bậc nh Tôi hớng dẫn học sinh tơng tự ví dụ , phơng trình bậc cao nh-ng bậc lẻ nên ta nhận xét hệ số Học sinh nhận phơnh-ng trình đối xứng bậc lẻ Từ nhận nghiệm phơng trình x = -1 Do đa phơng trình trở thành

( x+1).(2x4+x3+x2+x+2)= 0

Phơng trình bậc : 2x4+x3+x2+x+2 phơng trình dạng có hệ số đối xứng bậc chẵn, ta có cách giải nh phần nên dễ dàng tìm đợc nghiệm

x

b Lêi gi¶i:

Ta nhËn thÊy x= -1 nghiệm phơng trình nên phơng trình có thĨ viÕt thµnh ( x+1).(2

x +

x +

x +x+2)=

4

(1) 2 (2)

x

x x x x

 



    

Giải phơng trình (1) : x+1 = x= -1 Giải phơng trình (2) :

2x x x   x

Ta nhận thấy x= nghiệm phơng trình (2) nên ta chia hai vế phơng trình (2) cho x2 0 đợc:

2

x +x+1+1

x +2

1

x =  2(

x + 12

x )+(x+

1

x)+1 = Đặt y=x+1

x  y 2 

x + 12 x =y

2-2

 2y2+y-3=0  (y-1)(2y+3)=0

1

y y

  

    

1 ( ¹i)

( ¹i)

y Lo

y Lo

  

 

  

 Phơng trình (2) vô nghiệm

Vy phng trỡnh ó cho có nghiệm x= -1 c Khai thác tốn:

Từ ví dụ ta viết thành dạng tổng qt phơng trình có hệ số đối xứng bậc lẻ

2

0 1 1 0

 

 

     

n n n n

n n

a x a x a x a x a x a

Phơng trình có nghiệm x= -1 nên ta viết phơng trình d¹ng: (x+1)(

0  n

a x a ) =

Phơng trình

0  n

a x a = phơng trình đối xứng bậc chẵn ta có cách giải tổng quát nên dễ dàng tìm đợc nghiệm x phơng trình

d VÝ dơ ¸p dơng: a)

x +6

x -3

x -3

x +6x+4 =

b) 7 3 4 2 2 4 3 7 0        

x x x x x x x

® TiĨu kÕt:

Học sinh nắm cách giải phơng trình có hệ số đối xứng bậc lẻ chủ động sáng tạo trình giải phơng trình Có thể giải ví dụ áp dụng cách tơng tự

Chú ý trớc giải phơng trình học sinh phải nhận xét , nhận dạng phơng trình Trong trình giải phải kết hợp với cách giải phơng trình có hệ số đối xứng bậc lẻ Có nh học sinh cảm thấy tự tin giải phơng trỡnh bc cao

Dạng IV Đặt ẩn phụ biểu thức chứa căn

Ví dụ1: Giải phơng trình sau: 2(x+1)3 x1-5 = (1)

a Phân tích tìm lời giải:

T ú đặt t= x1 (*) ( t>0)

 x+1=t2

Phơng trình (1) trở thành: 2t2+3t-5 = 0

(t-1)(2t+5) =

t-1 = 2t+5 =

t=1 (Thoả mÃn)

t=- (Loại)

      

 

Thay t = vµo biĨu thøc (*) ta cã:

1



x =1

 x+1=1

 x=0 ( Tho¶ m·n )

Vậy phơng trình có nghiệm x = Ví dụ2: Giải phơng trình sau:

4x1 x2 2x212x1 (1)

a Phân tích tìm lời gi¶i:

Học sinh dễ dàng đặt ẩn phụ nh ví dụ tức đặt ẩn phụ biểu thức chứa Nhng sau đặt ẩn phụ phơng trình cịn chứa ẩn x Vì mà học sinh cảm thấy lúng túng khơng có hớng giải Đối với hớng dẫn học sinh giải phơng trình ẩn phụ để tìm nghiệm ẩn phụ coi x nh mt tham s

Đặt t = 1 

x (*) ( t1 ) Ta cã: (4x-1)t=2t2+2x-1

Tìm đợc nghiệm t theo x Sau thay lại biểu thức (*) để tìm nghiệm

x

b Lời giải: Đặt t = 1



x (*) ( t1 )  x2+1 = t2

Phơng trình (1) có dạng: (4x-1)t = 2t2+2x-1

 (t-2x+1)(2t-1) =

2t-1=0 t-2

1

t= ( Lo¹i )

t=2 (Do t 1 1)

x

x x x



   

   



      



Thay t = 2x-1 v o biÓu thøc (*) ta cã: 2x-1 =

1



x

Víi ®iỊu kiƯn x ta bình phơng hai vế 4x2-4x+1 = x2+1

 3x2-4x = 0  x(3x-4) =

0

0 ( Loại )

( Thoả mÃn )

x x x

x

 

    

   

  

Vậy phơng trình cho có nghiệm

3

 x c Chó ý:

Trong q trình giải phải ý đến điều kiện nghiệm t, x để loại nghiệm, tránh nghiệm ngoại lai

VÝ dô 3: Giải phơng trình sau:

31 2 (1)

 x x 

a Phân tích đề tìm lời giải:

Đây phơng trình có biểu thức chứa nhng có hai loại phơng trình Do đặt ẩn phụ nh ví dụ 1,2 cịn biểu thức chứa dẫn đến khó khăn giải

Đối với tơi hớng dẫn học sinh đặt ẩn phụ : y= x2 (*) (y )

Sau biến đổi x theo ẩn phụ để đa phơng trình phơng trình ẩn phụ có loại biểu thức chứa

Tõ (*) ta cã: x+2=y2  x=y2-2  31 x 33 y2

2

33 y  y 1

Đến phơng trình phơng trình có biểu thức chứa bậc lẻ dạng đơn giản Có thể dễ dàng tìm đợc nghim y

b Lời giải: TXĐ: x -2

Đặt y= x2 (*) (y 0) x=y2-2

1-x=3-y2

Phơng trình (1) có dạng:

33 y y1  33 y2  1 y



3 y  (1 y)

 2

3 y  1 3y3y  y



4 (2)

y  y  y 

Đến hớng dẫn học sinh nhẩm nghiệm để đa thành phơng trình tích, hạ bậc phơng trình

Chú ý : Nhẩm nghiệm với số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ nh 0, 1, (-1), 2, (-2)

Ta dễ dàng nhẩm đợc y=2 nghiệm phơng trình (2) Do phơng trình (2) viết dới dạng:

(y-2)(y2-2y-1)=0

2

2 2 ( Tho¶ m·n )

2 (3)

y

y y

y

y y

  

    

  

    

Giải phơng trình (3) ta có: '

1

2

1

1 ( Loại) y (Thoả mÃn)

y

   

  

 

Thay y = 1+ 2 vµo biÓu thøc (*) ta cã:

2 2 2

1 2 ( Tho¶ m·n )

x x x

  

    

Vậy phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt là:

x =2 ; x2=1+2

VÝ dụ 4: Giải phơng trình sau:

1

2 (1)

2

x x  x

a Phân tích tìm lời giải:

Khi học học sinh cảm thấy khó khăn biểu thức dới ph-ơng trình lại khơng giống khơng giống nh ví dụ 1, 2, Nên học sinh đặt ẩn phụ biểu thức

Tôi hớng dẫn học sinh đặt ẩn phụ biểu thức chứa Đặt (*) (y 0)

4

  

y x

Sau biến đổi x theo ẩn phụ y thay vào phơng trình để đa phơng trình ẩn y

Tõ (*)  x=y2-1

4 phơng trình cho có dạng:

2

2

1

t t t+

4

1

t t+

4

   

 

     

 

Do t0 nên phơng trình dễ dàng giải tìm đợc nghiệm t để thay lại biểu thức (*) tìm nghiệm x

b Lời giải:

TXĐ:

4

x §Ỉt t=

4



x (*) ( t0 )  t2

4

 x thay vào phơng trình (1) ta có:

2

2 1

t t+

4

 

    

 

Do t0 nªn t2 t+1

'

1

2

4t 4t-7=0 28 32

2 2

t ( Lo¹i )

4

2 2

t ( Tho¶ m·n )

4

 

   

   

   

   

  

Thay t=2 2

 v o biÓu thøc (*) ta cã: à

1 2

4

2 ( Tho¶ m·n )



 

  

x x

Vậy nghiệm phơng trình cho x1  2

Ví dụ 5: Giải phơng trình sau :

2 3x  2 3x 4

a Phân tích tìm lời giải:

Đối với phơng trình ẩn x hoàn toàn khác với phơng trình trªn Èn

x lại số mũ biểu thức dới Do học sinh lúng túng khơng thể giải bình thờng đợc Tơi hớng dẫn học sinh nhận xét biểu thức nâng lên luỹ thừa dới dấu

Ta cã: 2 2   31

Từ ta đặt ẩn phụ y= 2 3x ( y0) Khi 2 3 1

x y

thay vào phơng trình ta có phơng trình ẩn y dạng đơn giản dễ dàng giải tìm đợc nghim y

b Lời giải:

Đặt y = 2 3x (*) ( y0 )  2 3 1

x y

 

2

2

1

2

3

2

( Tho¶ m·n ) ( Tho¶ m·n )

   

  

    

  

y y

y y

y

Thay y1 2 v o biÓu thøc (*) ta cã:à

2 3

2

  

 

x

x

Thay y1 2 v o biÓu thøc (*) ta cã:à

2 3

2

  

  x

x

Vậy phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt : x1=2 ; x2=-2

c Chú ý: dạng cần lu ý tới mối quan hệ biểu thức để từ có cách làm thích hợp

d Ví dụ toán tơng tự:

1

1

 

 

 

x x

x x

Ví dụ 6: Bài toán phát triển: Giải phơng trình sau :

12 3 12 2 1 ( n N; n )

    n   

n x n x x

a Phân tích tìm lêi gi¶i:

Đối với học sinh đặt ẩn phụ khó khăn giải Tôi hớng dẫn học sinh nhận xét trớc giải

Ta nhận thấy x=1 nghiệm phơng trình Do ta chia

2 vế phơng trình cho nx12 ta đợc :

2

1

3 (2)

1

 

 

 

 

 

 

n x n x

x x

Đến phơng trình ta đặt ẩn phụ dễ dàng giải đợc nghiệm ẩn phụ

b Lời giải: Đặt (*)

1

 

 n x y

y2-3=-2y

 (y-1)(y+3) =

2

1 ( Loại với n chẵn )

y y      

Thay y1=1 v o (*) ta cã:

1

1 1

1 ( V« nghiƯm )

 

      

 

n x x x x

x x

Thay y1=-3 v o (*) víi n lỴ ta cã:

 

1

3

1

            n n n n x x x x x

VËy

3    n n x

Ví dụ 7: Giải phơng trình sau: 2007 2007

  

x x (1)

a Phân tích tìm lời giải:

i vi phơng trình học sinh đặt ẩn phụ khó khăn giải Nếu tơi hớng dẫn học sinh trớc đặt ẩn phụ cộng vào vế với

x sau ta đặt ẩn phụ Sau đa phơng trình bậc hai với ẩn phụ

b Lêi gi¶i:

4 2007 2007

  

x x (1)

 2

2007 2007

    

x x x x

Đặt 2007

x =t ; t 2007 Phơng trình (1) trở thành: t2-t-

x -

x =0

 2

2 4

t ( 1) 4( )     x  x   x x  x 

2 2 2

1

t ( Tho¶ m·n )

1

t ( Lo¹i ) x x x x             2 2

4 2

4

2007 2007 2007

2006 (2)

VËy   

   

    

   

x x

x x

x x x

Đặt a=

x ( a0 )

Phơng trình (2) trở thành : a2+a-2006 = 0

1 4.2006 8025

  a 

1

1 8025

2 ( Tho¶ m·n )

   a

1 8025

2

a   ( Lo¹i )

Víi

1

1 8025 8025

=

2

   

  

a x x

Vậy phơng trình cho có hai nghiệm :

1

1 8025

  

x ; 2 8025

2

x

c Các câu giải tơng tự: Giải phơng trình sau:

4

4

4

a) = b) =

c) 2008 = 2008

 

 

 

x x

x x

x x

IV KÕt qu¶

Qua việc chọn lọc, xếp phân thành dạng nh trình bày,đồng thời tiến hành hai lớp trờng thấy học sinh có khả phát hiện, nhận dạng, phán đốn, tìm lời giải có cách trình bày lập luận chặt chẽ hơn, mà em hào hứng, say mê học tập chịu khó t q trình giải phơng trình

Cụ thể kiểm tra học sinh lớp 9B, 9C trờng THCS Tân Châu đợc kết nh sau

Tríc häc Sau häc

Giái kh¸ TB díi

TB

Giái kh¸ TB díi

TB

9B 0% 15% 25% 60% 15% 30% 40% 15%

9C 0% 20% 20% 60% 17% 35% 35% 13%

1 Với học sinh: T chậm, cha nhanh, khả phát nhận dạng cha tốt.Cha nắm đợc phơng pháp giải, vận dụng cha linh hoạt phối hợp nhiều dạng bài.Chuyên đề áp dụng tốt cho học sinh giỏi

2 Với giáo viên: Thời gian đầu t ít, khả tổng hợp phân loại còn cha tốt, đầy đủ khoa học

VI Điều kiện áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến tuỳ theo mức độ yêu cầu đối tợng học sinh mà giáo viên dạy tồn hay nhiều phần Cịn học sinh giỏi việc truyền thụ cho em số kỹ năng, phơng pháp giải cần thiết có ích

VII H ớng đề xuất tiếp tục nghiên cứu

Sau chọn lọc, hệ thống , phân loại nêu số phơng pháp giải cho học sinh thấy em say mê hơn, khả vận dụng tốt hơn.Loại toán giúp em phát triển t duy, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo, linh hoạt làm tốn Tuy nhiên thời gian có hạn, kinh nghiệm nh trình độ thân cịn hạn chế.Nên phân loại hệ thống tập, ph-ơng pháp giải cha thật hợp lý, khoa học

Chính tơi mong muốn đóng góp ý kiến đồng nghiệp vấn đề cần nghiên cứu tiếp giáo viên

C KÕt luËn

Nh nói, giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ loại ph-ơng trình khó đa dạng Việc định hớng tìm lời giải khơng đơn giản Tuy nhiên loại toán cho phép phát huy t sáng tạo, khả vận dụng linh hoạt học sinh

mê hào hứng học toán Các em không cảm thấy lúng túng sợ gặp dạng phơng trình

Tuy nhiờn vỡ thi gian có hạn, kinh nghiệm nh lực thân cịn hạn chế đề tài tơi khơng tránh khỏi thiếu sót mong đợc giúp đỡ đồng nghiệp để đề tài đợc áp dụng tốt giảng dạy

Tôi xin trân thành cảm ơn!

Ngêi viÕt: