ĐIềUKHIểNPHÂNcặP TS. Nguyễn Văn Giáp KS. Phạm Thị Thúy Ngọc Bộ môn Cơ Điện tử, Khoa Cơ khí Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh Email: nvgiap@dme.hcmut.edu.vn Tóm tắt Các hệ nhiều ngõ vào/nhiều ngõ ra (MIMO- Multi Input Multi Output) rất khó có thể điềukhiển chính xác vì chỉ cần một ngõ vào thay đổi sẽ tác động đến nhiều, nếu không muốn nói là tất cả các ngõ ra. Bài báo này giới thiệu về kỹ thuật điềukhiển phân cặp, một phơng pháp điềukhiển giúp hệ ban đầu hoạt động theo cách dễ điềukhiển hơn, trong đó tác động của các ngõ vào đợc phâncặp dẫn đến mỗi ngõ ra chỉ chịu ảnh hởng duy nhất của một ngõ vào. Abstract Multi-input/multi-output system are usually difficult for human operator to control directly, since changing any one input generally affects many, if not all, outputs of the system. Decoupling is a control method that make the original system behave in the way easier to control manually where the input actions are decoupled, each output is therefore affected by only one input signal. 1. giới thiệu Trong lĩnh vực điều khiển, việc thiết kế bộ điềukhiển cho các hệ MIMO đòi hỏi tốn nhiều thời gian và công sức. Thêm vào đó, việc điềukhiển các hệ này rất khó mang lại sự chính xác do các ngõ vào và ngõ ra có mối liên hệ phức tạp, chỉ cần một ngõ vào thay đổi cũng có thể dẫn đến sự thay đổi của nhiều ngõ ra. Để đơn giản hơn trong việc điềukhiển các hệ MIMO, ngời ta thiết kế các bộ bù nhằm làm cho hệ sau khi bù sẽ có khuynh hớng ở dạng đờng chéo. Nếu hệ sau khi bù có dạng chéo thì có thể xem hệ là một tập hợp của các hệ một ngõ vào/ một ngõ ra (SISO), nh vậy việc điềukhiển sẽ trở nên đơn giản hơn. Một phơng pháp khác làm việc điềukhiển đơn giản là phân cặp. Phơng pháp này đa ma trận hàm truyền của hệ về chính xác dạng đờng chéo. Nh vậy, một ngõ ra sẽ chỉ chịu tác động của một ngõ vào, mỗi cặp ngõ vào/ ngõ ra sẽ đợc điềukhiển bởi một bộ điềukhiển SISO vốn đơn giản hơn trong việc thiết kế. Bài báo này đề cập đến vấn đề sử dụng điềukhiển hồi tiếp (luật điềukhiển hồi tiếp ngõ ra hằng số, hồi tiếp trạng thái, hồi tiếp trạng thái kết hợp với bù trớc) để đa ma trận hàm truyền về dạng chéo. Điều kiện để phâncặp ổn định, thuật toán để xây dựng luật điềukhiển này cũng sẽ đợc mô tả. Trong trờng hợp không thể thực hiện chéo hóa đầy đủ bằng các luật điềukhiển trên, phơng pháp phâncặp chéo hóa khối và tam giác sẽ đợc sử dụng. Các phơng pháp này cũng đợc đề cập đến trong bài báo này. 2. ĐIềU KIệN phâncặp dạng đờng chéo Dạng đơn giản nhất của phâncặp đờng chéo là phâncặp hệ có số ngõ vào và ngõ ra bằng nhau. Để tiến hành phân cặp, ứng dụng một số luật điềukhiển vào hệ thống nhằm làm cho ngõ ra thứ i của hệ kín chỉ phụ thuộc vào tín hiệu ngõ vào thứ i của hệ. Nh vậy mỗi ngõ ra có thể đợc điềukhiển riêng biệt bởi một bộ điềukhiển SISO đơn giản. Thông thờng, có ba loại bộ điềukhiển đợc sử dụng: - Hồi tiếp ngõ ra hằng: u =Hy+Gr - Hồi tiếp trạng thái tuyến tính: u =Fx + Gr - Hồi tiếp trạng thái tuyến tính kết hợp với bù trớc: một hệ điềukhiển động feedforward đợc thêm vào bộ điềukhiển hồi tiếp trạng thái. Trong trờng hợp này, bộ bù tơng ứng với hồi tiếp ngõ ra động, tức là các vectơ ngõ vào r và ngõ ra y đợc nhân với các ma trận độ lợi của hàm truyền động ở đây u là tín hiệu điều khiển; y là ngõ ra; H, G, F là các ma trận độ lợi hằng; x là vectơ biến trạng thái nội. Hình 2.1: a) Hồi tiếp ngõ ra hằng b)Hồi tiếp trạng thái tuyến tính Đầu tiên, nghiên cứu việc phâncặp đờng chéo một hệ vuông bằng cách sử dụng hồi tiếp trạng thái. Cần tìm một ma trận truyền sao cho tích của nó với ma trận hàm truyền hở của hệ là một ma trận truyền vòng kín có dạng đờng chéo. Bất kỳ một hệ vuông nào có ma trận hàm truyền hạng đầy đủ đều có thể đợc phâncặp đờng chéo. Hệ không thỏa mãn điều kiện này, tức là không có các ngõ ra độc lập tuyến tính, thì không thể phâncặp bằng bất kỳ dạng điềukhiển nào. Điều kiện cần và đủ để một hệ có thể phâncặp đờng chéo bằng hồi tiếp trạng thái là tồn tại ma trận hằng số B* không suy biến. Ma trận này đợc thiết lập nh sau: Với hệ đợc biểu diễn bằng không gian trạng thái: Xét hệ liên tục ,BuAxx += & DuCxy += , hoặc hệ rời rạc () ( ) ( ) ,1 kBukAxkx +=+ & ( ) ( ) ( ) kDukCxky += . Với AR nxn , BR nxp , CR pxn , DR pxp . Giả sử hệ đã cho có thể điềukhiển và quan sát đợc. Ma trận B* đợc xây dựng nh sau: - Nếu hàng i của D khác 0 thì sẽ thở thành hàng i của B*. - Nếu hàng i của D bằng 0 thì tìm số nguyên f i sao cho hàng i của ma trận BCA i f khác 0. Hàng i này sẽ trở thành hàng i của B* . Ví dụ 2.1 Cho hệ có = = = = 00 00 002 163 2 0 0 1 0 0 6116 100 010 DCBA G B C A H r u x & x y G B C A F r u x & x y a) r b) r Tất cả các hàng của D bằng 0. Do vậy tìm f i nhỏ nhất (i=1:2) sao cho hàng i của BCA i f khác 0, ta có f 1 = 1, f 2 = 3 và = 42 21 *B . Ma trận B* suy biến nên hệ không thể phâncặp bằng hồi tiếp trạng thái. Với hệ đợc biểu diễn bằng ma trận hàm truyền: Giả sử T(s) và T(z) là ma trận hàm truyền của hệ liên tục và hệ rời rạc (s là biến của biến đổi Laplace, z là biến của biến đổi z). D(s) là ma trận dờng chéo, D(s) = diag ( i f s ), { f i } là các số nguyên thỏa mãn tất cả các hàng của ()() sTsD s lim là hằng số và khác 0. Các số nguyên f i là các chỉ số phân cặp. ()() *lim BsTsD s = (2.1) D(z) cũng đợc xác định tơng tự. Ví dụ 2.2 () ++ + = 4 8 3 4 1 21 s s s ss sT = 80 21 *B vụựi f 1 = 1, f 2 = 0. H ệ này có thể phâncặp đơng chéo. 3. Phâncặp dạng đờng chéo và độ ổn định Hệ sau khi phâncặp có ổn định nội không, tức là có sự khử ẩn lẫn nhau giữa các cực và zero không ổn định không? Những dạng mất ổn định nh thế rất nguy hiểm cho hệ vì không thể phát hiện tra khi kiểm tra hàm truyền. Để có thể phâncặp đờng chéo và đảm bảo sự ổn định của hệ sau phân cặp, các hệ vuông hạng đầy đủ phải có ma trận B* không suy biến và các zero ghép cặp đờng chéo nằm ở phía trái mặt phẳng phức. Giả sử hệ có phơng trình trạng thái ,BuAxx += & DuCxy += Hàm truyền của hệ: T(s) Thuật toán phâncặp đờng chéo hệ dùng luật điềukhiển hồi tiếp trạng thái tuyến tính (u=Fx+Gr) khi *B có hạng đầy đủ dựa trên qui trình tìm nghịch đảo ổn định của hệ ()() () sTsTsD = với () ( ) i f sdiagsD = nh (2.1). Hệ này có thể thực hiện ở dạng { } DCBA , ,, . Thực tế * BD = , nếu * B đã đợc giả sử có hạng đầy đủ nghĩa là tồn tại ma trận giả phải của () sT . Giả sử hệ đã cho là vuông, ta có: () ( ) 11 *, * == BGCBF (3.1) á p dụng vào hệ ,BuAxx += & uBxCy * += , thì ( ) ( ) ( ) pGFGF IsTsDsT == ,, vaứ () () sDsT GF 1 , = (3.2) () sT GF , là ma trận với các phần tử trên đờng chéo là i f s . Ma trận hồi tiếp trạng thái F ấn định n giá trị riêng vòng kín tại n zero của ( ) sT ; tức là zero của T(s) và D(s). Các vectơ riêng của hệ vòng kín đợc gán giá trị tơng ứng nhằm loại bỏ tất cả các zero để () () pGF IsTsD = , . Thay D ( s ) bằng ( ) ( ){ } spdiagsD i = với ( ) sp i là các đa thức ổn định bậc i f s ; tức là () i f i ssp {= + các thành phần bậc thấp }. Từ đó, có thể chứng tỏ rằng ()() *lim BsTsD s = và hệ ( ) ( ) ( ) sTsTsD = đợc thực hiện bởi { } *, ,, BCBA . Với hồi tiếp trạng thái, ta có hệ sau ổn định () () ( ) { } spdiagsDsT iGF 11 , == (3.3) Ví dụ 3.1 () () + = 1 1 1 1 0 1 2 sss s s sT ()() ( )() * 10 01 ,limlim BsTssdiagsTsD ss = == Ta thấy hệ có *B hạng đầy đủ nên có thể áp dụng phâncặp đờng chéo dùng hồi tiếp trạng thái u = Fx + Gr. Hệ có một zero truyền tại -1 và không có zero ghép cặp đờng chéo, vì vậy có thể phâncặp với độ ổn định nội. () + + == 20 01 s s sD () ()() sTsDsT = đợc thực hiện bởi { } *, ,, BCBA là = = = 313 021 1 0 0 0 1 0 001 000 010 CBA dựa vào (3.1) và (3.3) ta có: () === 313 021 * 1 CCBF , () == 10 01 * 1 BG () () + + == 2 1 0 0 1 1 1 , s s sDsT GF Các giá trị riêng vòng kín đợc định vị tại zero truyền của hệ tại -1 và tại các vị trí đợc chọn -1, -2 là các cực của ( ) sD 1 . Hình 3.1: Đáp ứng bớc của hệ thống Khảo sát đáp ứng của hệ trớc và sau khi phâncặp bằng cách lần lợt đa tín hiệu bớc vào ngõ vào thứ nhất và ngõ vào thứ hai. Có thể thấy rõ trên đáp ứng sau phân cặp, mỗi ngõ vào chỉ làm thay đổi một ngõ ra. 4. PHâNCặp KhốI a) Hệ ban đầu b) Hệ sau khi đã đợc phâncặp đờng chéo Nếu không thể áp dụng phâncặp đờng chéo bằng hồi tiếp trạng thái, có thể áp dụng phâncặp khối để đa hệ về dạng một tập hợp các hệ dạng đờng chéo nhỏ hơn, độc lập với nhau. Đối với hệ vuông, mỗi khối đờng chéo này cũng phải vuông. Mỗi khối thứ i có p i ngõ vào và i ngõ ra sao cho = pp i . Các hệ thỏa mãn điều kiện phâncặp đờng chéo thì cũng có thể phâncặp khối, tuy nhiên chỉ nên áp dụng phơng pháp này khi không thể chéo hóa hoàn toàn, nghĩa là khi B* suy biến. Điều này tơng tự với điều kiện là tất cả các hàng của ()() sTsD s lim là hữu hạn và khác 0, trong đó có một số hàng phụ thuộc tuyến tính vào các hàng trớc đó. Tức là có thể cộng tích các hàng từ 1, 2, ., i-1 vào i để kết quả bằng 0, tức là làm cho vectơ hệ số chính hàng này của ()() sTsD s lim bằng 0. Nếu hệ số chính mới của hàng này trong D(s)T(s) có bậc s -k , nhân s k vào hàng để tạo ra giới hạn hữu hạn và khác 0 khi s tiến đến vô cực. Nếu hàng này độc lập với các hàng trớc, tức là hạng của ma trận B* sửa đổi đã đợc tăng; nếu không tiếp tục quá trình cho đến khi đạt đợc điều này. Quy trình này đợc biểu diễn bằng bộ tác động X T (s). Bộ tác động X T (s) của T(s) là ma trận đa thức duy nhất có dạng () ()() ,ssHsX T = () ( ) i f sdiags = , trong đó H(s) là ma trận đa thức tam giác dới có các số 1 nằm trên đờng chéo và các thành phần nằm dới đờng chéo chính là số khác 0 chia cho s , để ()() TT s KsTsX = lim là hữu hạn và hạng đầy đủ. X T ( s ) có thể tìm từ hệ có dạng ma trận hàm truyền hay không gian. Một hệ vuông chỉ có thể phâncặp khối nếu và chỉ nếu bộ tác động của nó có cùng dạng cấu trúc đờng chéo. Ví dụ 4.1 () ++ + = 4 8 3 4 1 21 s s s ss sT = 80 21 * B vụựi f 1 = 1, f 2 = 0 B* không suy biến nên thỏa mãn định nghĩa của ma trận K T . Vậy K T =B* với () == 10 0 , 2 1 s ssdiagsX f f T Ví dụ 4.2 () ++ + = 4 8 3 4 1 21 ss ss sT = 84 21 * B vụựi f 1 = 1, f 2 = 1. B* suy biến. Trừ bốn lần hàng 1 của ( ) ( ) sTsdiag i f cho hàng 2 để loại các vectơ hệ số phụ thuộc tuyến tính. Sau đó nhân kết quả hàng đa thức bậc thấp hơn với s để có giới hạn hữu hạn khi s tiến đến vô cực. () = s s s sT 0 0 04 01 0 01 1 , () ()( ) ++ + + = 41 24 3 12 1 2 1 2 ss s s s s s sT Tuy nhiên lim của () sT 1 là 2412 21 lại suy biến. Lập lại quá trình, lần này lấy 12 lần hàng 1 cộng với hàng 2 để loại các hệ số chính và nhân kết quả với s để có giới hạn hữu hạn. Kết quả là: () ()( ) +++ + = 41 96 3 36 1 2 1 112 01 0 01 2 1 ss s s s s s sT s có giới hạn khi s là 9636 21 Giới hạn này không suy biến, suy ra = 9636 21 T K . Bộ tác động là: () + = + = = 32 23 0 0 1124 01 124 0 0 0 04 01 0 01 112 01 0 01 s s ss sss s s s ss sX T 5. PHÂNCặP CáC Hệ KHÔNG VUÔNG Nếu hệ có số ngõ ra nhiều hơn ngõ vào ( p>m) hay ngợc lại (p<m) sẽ đợc phâncặp theo hớng khác nhau. Đối với hệ có p<m: bất kỳ hệ nào có tính nghịch đảo phải (tức là có ma trận hàm truyền hạng đầy đủ p ) có thể phâncặp bằng hồi tiếp trạng thái kết hợp với bù trớc. Có hai điều kiện đủ để có thể phâncặp đờng chéo hệ thống. Đầu tiên ma trận B* phải có hạng đầy đủ là p. Điều kiện thứ hai, chặt hơn, là tồn tại ma trận hằng số G(mxn) sao cho ma trận B* của ma trận truyền đợc chuyển về dạng vuông T(s)G(s) không suy biến. Nếu muốn phâncặp khối thì cần thêm điều kiện ma trận bộ tác động của nó có dạng cấu trúc khối đờng chéo. Nghĩa là tồn tại ma trận hằng số G(mxn) để T(s)G(s) có bộ bù dạng khối đờng chéo. Đối với hệ có p>m : phâncặp hệ thành m hệ con một ngõ vào và nhiều ngõ ra độc lập, trong đó mỗi ngõ vào ảnh hởng đến một bộ ngõ ra của cùng hệ con và không ảnh hởng đến hệ con khác. Nh vậy, các hệ con sẽ không cùng có số lợng ngõ vào và ngõ ra. Mỗi hệ có kích thớc p i xm i có hạng m i . ứng với tất cả các i thì hệ có thể phâncặp thành các hệ con bằng phơng pháp biến trạng thái. 6. PhâNCặP TAM GIáC Phâncặp từng phần có vai trò đặc biệt với một số hệ trong thực tế. Dạng tam giác có các phần tử của ma trận hàm truyền vòng kín phía trên đờng chéo chính bằng 0 (dạng tam giác trên). Ngõ ra đầu tiên y 1 chịu ảnh hởng của ngõ vào thứ nhất r 1 ; ngõ ra y 2 chịu ảnh hởng của r 1 , r 2 ; . Dạng ma trận truyền này có thể dùng trong các sơ đồ điềukhiển tuần tự. Khi sử dụng, trớc tiên ngời vận hành điều chỉnh r 1 để đạt giá trị y 1 mong muốn và ngừng lại. Sau đó cố định r 1 và điều chỉnh r 2 để đạt đợc y 2 mong muốn, tiếp tục nh thế cho các ngõ ra còn lại. Dạng phâncặp này không hiệu quả bằng phâncặp đờng chéo do các ngõ ra đợc điềukhiển tuần tự, không phải là độc lập. Tuy nhiên điểm mạnh của phơng pháp này là bất kỳ hệ nào có nghịch đảo phải đều có thể tam giác hóa chỉ bằng cách sử dụng hồi tiếp trạng thái. 7. kết luận Bài báo này giới thiệu về điềukhiểnphân cặp. Kỹ thuật điềukhiển này giúp đơn giản hóa quá trình điềukhiển bằng cách tách rời các tác động của các ngõ vào. Trong phâncặp đờng chéo, mỗi ngõ ra chỉ chịu tác động của một ngõ vào. Hệ MIMO lúc này đợc xem là tập hợp của nhiều hệ con SISO. Hệ phâncặp không chỉ đơn giản hơn cho ngời vận hành mà còn đơn giản hơn cho ngời thiết kế khi thiết kế các bộ điềukhiển SISO. TàILIệU THAM KHảO [1] Alaxander Weinmann, Uncertain Models and Robust Control, Springer Verlag Wien, 1991 [2] Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Prentice Hall, 1994 [3] Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 1993 [4] Benjamin C.Kuo, Automatic Control System, Prentice Hall International Editions, 1995 [5] Katshuhisa Furuta, State Variable Methods in Automatic Control, John Willey & Son, 1988 . thuật điều khiển phân cặp, một phơng pháp điều khiển giúp hệ ban đầu hoạt động theo cách dễ điều khiển hơn, trong đó tác động của các ngõ vào đợc phân cặp. về điều khiển phân cặp. Kỹ thuật điều khiển này giúp đơn giản hóa quá trình điều khiển bằng cách tách rời các tác động của các ngõ vào. Trong phân cặp