Môn thi: Toán Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.. b Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (2,0 điểm) 2 a) Cho các số a, b thỏa mãn 2a 11ab 3b 0, b 2a, b 2a Tính giá trị biểu thức a 2b 2a 3b T a b 2a b b) Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức ( x y ) ( y z ) ( z x )3 P x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) xyz Chứng minh P là số nguyên chia hết cho Câu (2,0 điểm) 2 a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x x y x xy x 10 b) Cho 19 điểm phân biệt nằm tam giác có cạnh , đó không có điểm nào thẳng hàng Chứng minh luôn tìm tam giác có đỉnh là 3 19 điểm đã cho mà có diện tích không lớn Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x x 2 2 x3 x y x xy 0 b) Giải hệ phương trình x x y 1 Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE , ACFG và hình bình hành AEKG a) Chứng minh AK BC và AK BC b) DC cắt BF M Chứng minh A, K , M thẳng hàng c) Chứng minh A thay đổi trên cung lớn BC (O; R ) thì K luôn thuộc đường tròn cố định Câu (1,0 điểm) Cho các số dương x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 (2 x y )( x y ) P 3( x y ) (2 x y )3 ( x y )3 ………… HẾT………… Hướng dẫn câu Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 thì (2) 2 ab + + − √ a +1 −1 √ b +1 −1 a+b a+1+ a2 − a+1 a2 +2 a2 Ta có √ a3 +1= √(a+1)(a2 −a+ 1)≤ = ⇒ √ a3+ 1− 1≤ 2 2 b+1+b − b+1 b +2 b2 Tương tự √ b3 +1= √(b+1)(b2 −b+1) ≤ = ⇒ √ b3 +1 −1 ≤ 2 1 2 ≤ + ⇒− ≥− − Mặt khác a+b a b a+b a b Vậy 4 ab 2 4 ab 2 4 ab 2 P≥ + + − − = + + +1 + − − − 2≥ + + − − −2=Q a b a b a b a b a b a b P= ( )( ) 2 ab 2 ab P ≥Q= + + − 2≥ −2=1 a b a b √ Min( P)=1 ⇔ a+1=a2 − a+1 b+1=b − b+1 4 = =1 b2 a2 2 ab = = a b a=b ⇒ a=b=2⇒ x= y= ¿ { { {{ (3)