b Gọi I là giao điểm của MN với BC, đường thẳng vuông góc với MN tại I cắt đường thẳng AH tại K H là trung điểm của BC.. Chứng minh tam giác KMN cân.[r]
(1)Phßng gi¸o dôc vµ đào tạo yên định kú thi häc sinh giái cÊp trêng n¨m häc 2015 - 2016 M«n: to¸n – khèi Thêi gian lµm bµi: 120 phót (Không kể thời gian giao đề) đề thi chính thức đề BàI Bài (4 điểm): Tính giá trị biểu thức (Bằng cách hợp lí): 3 3 13 16 64 1 1 13 16 256 64 a) A = 1 1 1 1 10 15 210 b) B = Bài (4 điểm): a) Tìm x, y biết: 3x 2015 y 1 2016 0 b) Chứng minh đa thức P(x) = x2 + x - 2017 không thể có nghiệm nguyên Bài (4 điểm): 2x y z 2x y 2z x y 2z z y x a) Cho x, y, z là các số hữu tỉ khác 0, cho: ( x y )( y z )( z x) M xyz Tính giá trị biểu thức: b) Tìm số chính phương có ba chữ số biết nó chia hết cho 56 Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = BD Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB M và kẻ từ E cắt AC N a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Gọi I là giao điểm MN với BC, đường thẳng vuông góc với MN I cắt đường thẳng AH K (H là trung điểm BC) Chứng minh tam giác KMN cân c) Chứng minh rằng: CK AN Bài (2 điểm): Tìm các số tự nhiên a, b biết rằng: 2a 1 2a 2a 3 2a 5b 11879 Hết Họ và tên thí sinh:: Giám thị 1: SBD Giám thị 2: (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đáp án Câu A 3 1 1 1 13 16 64 1 1 2 16 64 13 = 1 Vậy A = 1 1 1 1 1 1 1 B = 10 15 210 b) Biểu điểm 2,0 điểm 2,0 điểm 14 209 10 18 28 418 = 10 15 210 = 12 20 30 420 (1.4).(2.5).(3.6).(4.7) (19.22) (1.2.3 19).(4.5.6.7 22) 11 = (2.3).(3.4).(4.5).(5.6) (20.21) = (2.3.4 20).(3.4.5.6 21) = 30 11 Vậy B = 30 a Ta có 3x 2015 với x, (5 y 1) 3x đó 2015 Suy 2015 0,5 điểm 0 với y y 1 Theo đề bài thì 3x 2016 3x 2016 2015 y 1 với x , y y 1 2016 0 2016 =0 0,5 điểm 0,5 điểm Vậy 3x - =0 và 5y + = 1 x = và y = b) Giả sử đa thức có nghiệm nguyên là x = n Khi đó : n2 + n - 2017 = nên n2 + n = 2017 n(n + 1) = 2017 (*) n và n + là hai số nguyên liên tiếp nên n(n + 1) ⇒ Do đó (*) không thể xảy ra, vì 2017 Δ 0,5 điểm Chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên a) Giả sử x+y+z = Suy x + y = - z; y + z = - x; z + x = - y 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm (3) 1 Suy Khi x y z 0 , áp dụng tính chất dãy tỉ số ta 2x y z 2x y 2z x y 2z 3 z y x có: M Rút ra: x + y = 2z; y + z=2x; z + x = 2y Từ đó tính được: M ( x y )( y z )( z x) 1 xyz 0,25 điểm 1,0 điểm 0,5 điểm b) Gọi số chính phương đó là : xyz với ≤ x ≤ ; ≤ y ; z ≤ ta có : ¿ xyz=k xyz=56 l ( k ∈ N ; l∈ N ) ¿{ ¿ 0,5 điểm đó : k2 = 56.l = 14l suy : l = 14h2 (1) với h N mặt khác 100 ≤ 56l ≤ 999 ≤ l ≤ 17 (2) từ (1) và (2) suy ra: h = đó l = 14 nên số chính phương phải tìm là: 784 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm .A M B D .H K I .C E N a) Ta có ∠ ABC = ∠ ACB (Vì tam giác ABC cân A) Mà ∠ ACB = ∠ ECN ( đối đỉnh) Suy ∠ ABC = ∠ ECN hay ∠ MBD = ∠ ECN Xét Δ BDM và Δ CEN có: ∠ MBD = ∠ ECN; BD = CE (GT) ; ∠ BDM = ∠ CEN = 900 2,0 điểm (4) Suy Δ BDM = Δ CEN (c- g – c) Suy BM = CN b) Từ Δ BDM = Δ CEN suy DM = EN Mặt khác ∠ DMI + ∠ DIM = 900; ∠ ENI + ∠ EIN = 900 Mà ∠ DIM = EIM Suy ra: ∠ DMI = ∠ ENI Xét Δ IDM và Δ IEN có ∠ DMI = ∠ ENI (cmt); DM = EN; ∠ MDI = ∠ NEI = 900 Suy Δ IDM = Δ IEN (g-c-g) Suy IM = IN Xét Δ IKM và Δ IKN có: IM = IN (cmt); ∠ MIK = ∠ NIK = 900; IK chung Suy Δ IKM = Δ IKN (c – g – c) Suy KM = KN ⇒ Δ KMN cân K c) Xét Δ ABH và Δ ACH có: AB = AC; ∠ ABH = ∠ ACH ( vì tam giác ABC cân A); HB = HC Suy ra: Δ ABH = Δ ACH c – g – c) suy ∠ BAH = ∠ CAH Hay ∠ BAK = ∠ CAK Xét Δ ABK và Δ ACK có: AB = AC, ∠ BAK = ∠ CAK; AK cạnh chung Suy Δ ABK = Δ ACK (c – g – c) Suy ∠ ABK = ∠ ACK (1) Và KB = KC Xét Δ MBK và Δ NCK có: MB = NC; MK = NK; KB = KC Suy ra: Δ MBK = Δ NCK (c-c-c) Suy ∠ MBK = ∠ NCK (2) Từ (1) và (2) suy ∠ ACK = ∠ NCK mà ∠ ACK + ∠ NCK = 1800 Suy ra: ∠ ACK = ∠ NCK = 900 : Suy CK AN x x x x x A 1 3 Đặt , ta có A là tích số x x tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho Nhưng không chia hết cho 5, đó A chia hết cho x 1 x x 3 x y Nếu y 1, ta có chia hết cho mà 11879 không chia hết cho nên y 1 không thỏa mãn, suy y = 2,0 điểm điểm 0,5 điểm 0,5 điểm , ta có 2 x 1 3 11879 x x x y Khi đó x 1 x x 3 x 11879 0,5 điểm x 1 x x 3 x 11880 x 1 x x 3 x 9.10.11.12 x 3 0,5 điểm (5) Vậy x 3; y 0 là hai giá trị cần tìm (6)