Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD.. Gọi [r]
(1)MỘT SỐ CÂU HÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016 GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC ĐỀ BÀI Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm BD với IC Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy Góc (SAB) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SA và IC Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD, có ABD là tam giác cạnh a, BCD là tam giác cân C có BCD = 1200 , SA = a và SA ⊥ ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) Câu3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a Mặt bên SAB là tam giác cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SA và BD Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD = 2a và góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = 3a Hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm đoạn AB Gọi K là trung điểm đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách hai đường thẳng HK và SD Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA ⊥ ( ABCD) , SC hợp khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC ) với mặt phẳng ( ABCD) góc α với tan α = , AB = 3a và BC = 4a Tính thể tích Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng a Gọi M là trung điểm SC Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mp(ABM) theo a Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A, BC = 2a, góc ACB 30 Hình chiếu vuông góc B’ lên (ABC) là trung điểm H AB ; góc cạnh bên BB’ và mặt đáy 60 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách hai đường AA’ và BC theo a Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, (2) cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 600 Gọi M, N là trung điểm các cạnh bên SA và SB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN) Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm M trên cạnh BC cho MC = 2MB Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SM và AC theo a Câu11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), góc đường thẳng SB và mặt đáy 600 Gọi M, N là trung điểm đoạn AD và CD, MN = a 2 TínhV S.BMN và khoảng cách hai đường thẳng BM, SN theo a ∧ Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60 Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60 Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc A lên SI.Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh a, góc BAD 600 Gọi H là trung điểm IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SC và mặt phẳng (ABCD) 450 Tính thể tích khối chóp S AHCD và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông S, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD cho HA=3HD Gọi M là trung điểm AB Biết SA = 2a và đường thẳng SC tạo với đáy góc 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Câu 15 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a hình chiếu vuông góc A’ trên ( ABC ) là trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C và mặt đáy 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tam giác SAB cân và góc SD với mặt đáy 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.Tính khoảng cách hai đg thẳng BD và SC Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật (3) ABCD a , góc ∠ACB = 30o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AC và SB Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới (SCD) Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) HƯỚNG DẪN Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm BD với IC Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy Góc (SAB) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SA và IC Ta có VS.ABCD = SH.SABCD , SABCD = a Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đáy suy SH ⊥ (ABCD) Dựng HE ⊥ AB ⇒ (SHE ) ⊥ AB , suy SEH là góc (SAB) và (ABCD) ⇒ SEH = 600 HE HI a a = = ⇒ HE = ⇒ SH = CB IC 3 3 a 3a = a = 3 Ta có SH = HE tan 600 = 3HE Suy VS.ABCD = SH.SABCD Gọi P là trung điểm CD, suy AP song song vớiCI ⇒ d ( SA, CI ) = d ( CI, ( SAP ) ) = d ( H, ( SAP ) ) Dựng HK ⊥ AP , suy (SHK ) ⊥ (SAP ) Dựng HF ⊥ SK ⇒ HF ⊥ (SPA ) ⇒ d ( H, ( SPA ) ) = HF Do ∆SHK vuông H ⇒ 1 = + (1) 2 HF HK HS2 1 1 = = + 2 HK DM DP DA a 1 1 Thay vào (1) ta có ⇒ = + + = + + = ⇒ HF = 2 HF DP DA HS a a a a 2 Dựng DM ⊥ AP , ta thấy DM = HK ⇒ (4) Vậy d (SA, CI ) = a 2 S F A D K M P I H C E B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD, có ABD là tam giác cạnh a, BCD là tam giác cân C có BCD = 1200 , SA = a và SA ⊥ ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) AI ⊥ BD CI ⊥ BD HD Gọi I là trung điểm BD Vì tam giác ABD vàtam giác BCD cân C nên Suy A, I, C thẳng hàng, AC ⊥ BD Tam giác ABD cạnh a, suy a a; AI = 2 Tam giác BCD cân C và BCD = 1200 nên BCI = 600 BI a BI a IC = = ; BC = = 0 tan 60 sin 60 3 BD = a; BI = *) AC = AI + IC = a a 2a + = S K A Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc nên có diện tích: S ABCD a2 = AC.BD = Suy thể tích khố i chóp S ABCD là: D I B C 3 V = SA.S ABCD = a (đvtt) Tính khoảng cách Gọi K là hình chiếu A trên đường thẳng SI, suy AK ⊥ SI BD ⊥ AC ⇒ AK ⊥ BD nên AK ⊥ ( SBD ) Vậy BD ⊥ SA Mặt khác d ( A; ( SBD ) ) = AK Tam giác SAI vuông A và có đường cao AK nên: 1 a 21 = + = ⇒ AK = 2 AK AS AI 3a IC a Ta có đường thẳng AC cắt mặt phẳng SBD I và = = IA a 3 Suy ra: 1 a 21 d ( C ; ( SBD ) ) = d ( A; ( SBD ) ) = AK = 3 21 (5) Câu3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a Mặt bên SAB là tam giác cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SA và BD Gọi hình chiếu S trên AB là H Ta có SH ⊥ AB, ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB, ( SAB) ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ ( ABCD) SH ⊥ ( ABCD ) , suy góc SD và (ABCD) là SDH = 450 Khi đó tam giác SHD vuông cân H, suy SH = HD = a , Kẻ Ax//BD nên BD//(SAx) mà SA ⊂ (SAx) Khi đó thể tích lăng trụ là VS ABCD = SH S ABCD = 4a 3 (đvtt) ⇒ d (BD,SA) = d (BD, (SAx)) = d (B, (SAx)) = 2d (H, (SAx)) Gọi I, K là hình chiếu H trên Ax và SI Chứng minh HK ⊥ (SAx) Tính HK = a 93 4a 93 ⇒ d (BD,SA) = 2d (H, (SAx)) = HK = 31 31 Đặt AD = x( x > 0) ⇒ AB = 3x, AN = x, NB = x, DN = x 5, BD = x 10 Xét tam giác BDN có cos BDN = BD + DN − NB = BD.DN 10 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD = 2a và góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Gọi H là trung điểm AB Suy SH ⊥ ( ABCD và SCH = 300 Ta có: ∆SHC = ∆SHD ⇒ SC = SD = 2a Xét tam giác SHC vuông H ta có: S K A D I SH = SC.sin SCH = SC.sin 300 = a HC = SC.cos SCH = SC.cos 300 = 3a H B C Vì tam giác SAB mà SH = a nên AB = 2a Suy BC = HC − BH = 2a Do đó, S ABCD = AB.BC = 4a 2 Vậy, VS ABCD = S ABCD SH = 4a (6) Vì BA = HA nên d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) Gọi I là hình chiếu H lên AC và K là hình chiếu H lên SI Ta có: AC ⊥ HI và AC ⊥ SH nên AC ⊥ ( SHI ) ⇒ AC ⊥ HK Mà, ta lại có: HK ⊥ SI Do đó: HK ⊥ ( SAC ) Vì hai tam giác SIA và SBC đồng dạng nên Suy ra, HK = HS HI HS + HI = HI AH AH BC a = ⇒ HI = = BC AC AC a 66 11 Vậy , d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) = HK = 2a 66 11 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = 3a Hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm đoạn AB Gọi K là trung điểm đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách hai đường thẳng HK và SD S F C B E H O A K D Từ giả thiết ta có SH là đường cao hình chóp S.ABCD và 3a a ) − ( ) − a2 = a 2 1 a3 Diện tích hình vuông ABCD là a , VS ABCD = SH S ABCD = a.a = 3 Từ giả thiết ta có HK / / BD ⇒ HK / /( SBD) SH = SD − HD = SD − ( AH + AD ) = ( Do vậy: d ( HK , SD ) = d ( H , ( SBD )) (1) Gọi E là hình chiếu vuông góc H lên BD, F là hình chiếu vuông góc H lên SE Ta có BD ⊥ SH , BD ⊥ HE ⇒ BD ⊥ ( SHE ) ⇒ BD ⊥ HF mà HF ⊥ SE nên suy (7) HF ⊥ ( SBD) ⇒ HF = d ( H , (SBD)) (2) a +) HE = HB.sin HBE = sin 450 = a +) Xét tam giác vuông SHE có: a SH HE a HF SE = SH HE ⇒ HF = = = (3) SE a 2 ( ) + a2 a +) Từ (1), (2), (3) ta có d ( HK , SD ) = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD S H A D 3a α B C 4a Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA ⊥ ( ABCD) , SC hợp với mặt phẳng ( ABCD) góc α với tan α = , AB = 3a và BC = 4a Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC ) ∧ Xác định đúng góc SCA = α Thể tích V SABCD = 1 S ABCD SA = 3a.4a .5a = 16a 3 Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Xác định dược khoảng cách d (D, ( SBC ) = d ( A, ( SBC ) = AH Tính đúng d (D, ( SBC ) ) = AH = 12a Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng a Gọi M là trung điểm SC Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mp(ABM) theo a a) Ta có VS ABCD = S ABCD SH Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác có các cạnh bên và SH ⊥ ( ABCD ) Ta có S ABCD = a Xét tam giác SAC vuông S nên SH là trung tuyến và là đường cao tam giác nên ta có a SH = AC = ( AC = 2a ) 2 (8) a a3 Vậy: VS ABCD = a = □ Vì M là trung điểm SC nên mp(ABM) cắt SD N là trung điểm SD b) VS ABCD SB.SM SN 1 = = = SB.SC.SD 2 Ta có VS ABMN = VS ABN + VS BMN Mặt khác ∆BCD = ∆ABD ⇒ VS ABD = VS BCD = Xét tỉ số VS ABN SA.SB.SN = = (vì N là trung điểm SD) VS ABD SA.SB.SD VS BMN VS BCD 1 1 3 a3 a3 VS ABMN = VS ABN + VS BMN = VS ABD + VS BCD = VS ABDC + VS ABCD = VS ABCD = = □ 4 8 16 Mà ABMN là hình thang cân có AB = a ; 3a a a 11 a a MN = ;AN = ⇒ đ cao MK = − = 2 16 a a + a 11 3a 11 3VS.ABMN ⇒ SABMN = = Mà VS.ABMN = SABMN d ⇒ d = 16 3/ SABMN C B 3a a 22 d(S,( ABM ) ) = d = 16 = 11 3a 11 16 A/ I S K B C H A M N B C H A D Câu Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A, BC = 2a, góc ACB 30 Hình chiếu vuông góc B’ lên (ABC) là trung điểm H AB ; góc cạnh bên BB’ và mặt đáy 60 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách hai đường AA’ và BC theo a Từ giả thiết suy B / H là chiều cao lăng trụ Góc cạnh bên BB’ và mặt đáy góc B / BH = 60 (9) AB = sin 30o.BC = a a AC = cos30o.BC = SABC = a2 a AB.AC = BH = ; 2 3a Ta có AA’ // BB’ d ( AA ', BC ) = d ( AA ', ( BCC ' B ' ) ) = d ( A, ( BCC ' B ' ) ) B'H = BH tan 60o = a VABC.A 'B'C' = B'H.SABC = Suy = 2d ( H , ( BCC ' B ') ) Dựng HK ⊥ BC K; HI ⊥ BK I HK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ HI Suy HI ⊥ ( BCC ' B ') B ' H ⊥ BC HK = BH.sin 600 = Ta có 1 a 15 = + ⇒ HI = 2 HI HK HB ' 10 Vậy d ( AA ', BC ) = a a 15 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 600 Gọi M, N là trung điểm các cạnh bên SA và SB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN) ∧ Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu SC trên (ABCD) ⇒ SCA = 600 AC = AD + CD = a ; SA = AC tan 600 = a 15 1 15a VS ABCD = S ABCD SA = AB AD.SA = 3 Trong mp(SAD) kẻ SH ⊥ DM, ta có AB ⊥ (SAD) mà MN // AB ⇒ MN ⊥ (SAD) ⇒ MN ⊥ SH ⇒ SH ⊥ (DMN) ⇒ SH = d(S, (DMN)) SH SM SA.DA SA.DA 2a 15 ∆SHM ~ ∆DAM ⇒ = ⇒ SH = = = 2 DA DM DM AD + AM 31 S H M N A D B C Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm M trên cạnh BC cho MC = 2MB Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng S SM và AC theo a Hình chiếu SB và SC trên (ABC) là AB và AC, mà SB = SC nên AB = Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABC ta có : 2 BC = 2AB – 2AB cos120 ⇔ a = 3AB ⇔ AB = 2 AC l H a A C B M (10) Mà SA2 =SB -AB = a − a2 ⇒ SA = a ; 1 a2 a2 AB AC.sin1200 = = 2 12 1a a a ⇒ VS > ABC = = (dvtt) 3 12 36 Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABM ta có: a2 a a AM = AB + MB − AB.MB cos1200 = ⇒ AM = ⇒ AM = BM = 3 Do đó tam giác AMB cân M nên ∠BAM = ∠ABM = 30 ⇒ ∠MAC = 900 ⇒ AM ⊥ AC Mặt khác: SA ⊥ SC (do SA ⊥ ( ABC )) ⇒ SA ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) ta có: AC ⊥ (SAM ) (3) Kẻ AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) (4) S ∆ABC = Từ (3) và (4) ta được: d ( AC , SM ) = AH = SA AM SA + AM 2 =a (1) ( dvdd ) 21 Câu11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), góc đường thẳng SB và mặt đáy 600 Gọi M, N là trung điểm đoạn AD và CD, MN = a 2 TínhV S.BMN và khoảng cách hai đường thẳng BM, SN theo a Thể tích và khoảng cách: Từ giả thiết suy SA vuông góc với (ABCD).Góc đường thẳng SB và mặt đáy là góc SBA = 600 MN = ⇒ AC = a ⇒ cạnh hv ABCD a 3a a3 SBMN = SABCD – SDMN - SBMA- SBCN = SA = AB.tan600= a ; VSBMN = SA.SBMN = 8 * Ta có BM ⊥ AN ⇒ BM ⊥ (SAN) và BM cắt (SAN) I Trong (SAN): kẻ IK ⊥ SN ⇒ IK là đoạn vuông góc chung BM và SN a a 3a a 17 d(MB,SN) = IK Ta có: AN = , AI = , IN = và SN= 10 a 3 ∆ IKN và ∆ SAN đồng dạng ⇒ IK = IN ⇒ IK = SA.IN = 3a Vậy VSBMN = ,d(MB,SN) = 3a 85 SA SN SN 85 (11) S K H A D E B I C Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ∧ cạnh a, ABC = 60 Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60 Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc A lên SI.Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a ∧ a) Do ABC =600 nên tam giác ABC đều, suy SABCD = a và AC = a ∧ Mặt khác SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SCA = 60 a3 ⇒ SA = AC.tan 60 = a ⇒ VS.ABCD = SA.SABCD = 2 HS HS.IS AS AS b)Ta có = = = = 2 IS IS IS IA + AS 2 ⇒ d ( H, ( SCD ) ) = d ( I, ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) ( vì I là trung điểm BC và AB//(SCD)) 5 Gọi E là trung điểm CD, K là hình chiếu A lên SE, ta có AE ⊥ DC ⇒ DC ⊥ (SAE) ⇒ AK ⊥ (SCD) 2 SA.AE 2a 15 Suy d( H,( SCD) ) = d( A,( SCD) ) = AK = = 5 SA2 + AE2 25 Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh a, góc BAD 600 Gọi H là trung điểm IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SC và mặt phẳng (ABCD) 450 Tính thể tích khối chóp S AHCD và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) (12) Ta có SH ⊥ (ABCD) ⇒ HC là hình chiếu SC trên (ABCD) vuông góc S ⇒ (SC ,(ABCD )) = SCH = 450 K Theo giả thiết BAD = 600 ⇒ ∆BAD B a ⇒ BD = a ; HD = a ; AI = C H I và AC = 2AI = a A E D a 2 a = 13 a Xét △SHC vuông cân H , ta có: SH = HC = IC + HI = + Vậy VS AHCD = 1 39 SH S AHCD = SH AC HD = a 3 32 Trong (ABCD) kẻ HE ⊥ CD và (SHE ) kẻ HK ⊥ SE (1) Ta có: CD ⊥ HE ⇒ CD ⊥ (SHE ) ⇒ CD ⊥ HK (2) CD ⊥ SH (SH ⊥ (ABCD )) Từ (1) và (2) suy HK ⊥ (SCD) ⇒ d (H ,(SCD)) = HK Xét △HED vuông E , ta có HE = HD sin 600 = Xét △SHE vuông H , ta có HK = Mà SH HE SH + HE 3 a = 39 a 79 d (B,(SCD)) BD 4 = = ⇒ d (B,(SCD )) = d (H ,(SCD )) = HK = d (H ,(SCD)) HD 3 Do AB / /(SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = d(B,(SCD)) = 39 39 a 79 a 79 Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông S, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD cho HA=3HD Gọi M là trung điểm AB Biết SA = 2a và đường thẳng SC tạo với đáy góc 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Vì SH ⊥ ( ABCD) nên SCH = ( SC , ( ABCD) ) = 300 Trong tam giác vuông SAD ta có SA2 = AH AD AD ⇒ AD = 4a; HA = 3a; HD = a ⇒ SH = HA.HD = a ⇒ HC = SH cot 300 = 3a ⇒ CD = HC − HD = 2a 6a Suy S ABCD = AD.CD = 2a Suy VS ABCD = SH S ABCD = 3 ⇔ 12a = (13) Vì M là trung điểm AB và AH // (SBC) nên 1 d ( A,( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) 2 Kẻ HK ⊥ BC K, HH ' ⊥ SK H ' Vì BC ⊥ ( SHK ) nên BC ⊥ HH ' ⇒ HH ' ⊥ ( SBC ) (2) d ( M , ( SBC ) ) = (1) Trong tam giác vuông SHK ta có 1 11 6a 66 = + = ⇒ HH ' = = a 2 2 11 HH ' HK HS 24a 11 66 Từ (1), (2) và (3) suy d ( M , ( SBC ) ) = a 11 (3) Câu 15 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a hình chiếu vuông góc A’ trên ( ABC ) là trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C và mặt đáy 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) + Gọi H là trung điểm AB, suy A ' H ⊥ ( ABC ) và ( A ' C , ( ABC ) ) = A ' CH = 600 Do đó A ' H = CH tan 600 = 3a3 3a Thể tích khối lăng trụ là VABC A' B ' C ' = A ' H S∆ABC = +Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên AC; K là hình chiếu vuông góc H trên A’I Suy HK = d ( H , ( ACC ' A ' ) ) a 1 3a 13 = + ⇒ HK = 2 HK HI HA ' 26 3a 13 Do đó d ( B, ( ACC ' A ' ) ) = 2d ( H , ( ACC ' A ') ) = HK = 13 Ta có HI = AH sin IAH = (0,25) S H' C D K H A M a B Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tam giác SAB cân và góc SD với mặt đáy 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.Tính khoảng cách hai đg thẳng BD và SC (14) S a Do SA ⊥ ( ABCD ) và SAB cân nên AB = SA = a H D A E O B C F Góc SD với mặt đáy là góc SDA = 300 Trong tam giác SAD có tan 300 = SA SA ⇒ AD = = 3a AD tan 300 1 ⇒ S ABCD = AB AD = 3a.a = 3a ⇒ VS ABCD = SA.S ABCD = a 3.3 3a = 3a3 3 b Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD E Do BD//CE ⇒ BD//(SCE) ⇒ d ( BD , SC ) = d ( BD , ( SCE ) ) = d ( O , ( SCE ) ) = d ( A, ( SCE ) ) Kẻ AF ⊥ CE , F ∈ CE ⇒ CE ⊥ ( SAF ) Kẻ AH ⊥ SF , H ∈ SF ⇒ AH ⊥ CE ⇒ AH ⊥ ( SCE ) ⇒ d ( A, ( SCE ) ) = AH 1 AE.CD 6a.a AE CD = AF.CE ⇒ AF= = = 3a 2 CE 2a 1 3a Trong tam giác SAF có: = + ⇒ AH = V ậy 2 AH AF SA Có AE = AD = 6a, CE = BD = 3a S ACE = 1 3a d ( BD, SC ) = d ( A, ( SCE ) ) = AH = 2 Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD a , góc ∠ACB = 30 o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AC và SB (15) 2a Suy BC = AC cos 30 o = a ; a3 a2 Suy VS ABCD = S ABCD SA = = AB.BC = 3 Ta có AC = AI = R = S ABCD AB = AC sin 30o = a Kẻ qua B đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng CD E Khi đó AC song song với mặt phẳng (SBE) Dựng AF vuông góc với BE F, dựng AH vuông góc với SF H Ta nhận thấy AH ⊥ ( SBE ) Suy d ( AC, SB ) = d ( A, ( SBE ) ) = AH a Tam giác SAE có: SA = a ; AF = AB.cos30o = ; ∠SAE = 90 o 1 a 39 = 2+ ⇔ AH = 2 AH SA AF 13 S P A D H M B C Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới (SCD) Ta có HC là hình chiếu vuông góc SC lên mặt phẳng (ABCD) suy (SC;(ABCD))=(SC;AC)= SCH =45 HC=a suy SH=a 1 2 a3 VSABCD = SH S ABCD = SH AB AD = 3 Gọi M là trung điểm CD, P là hình chiếu H lên SM đó HM ⊥ CD; CD ⊥ SH suy CD ⊥ HP mà HP ⊥ SM suy HP ⊥ (SCD) Lại có AB//CD suy AB// (SCD) suy d(A;(SCD))=d(H;(SCD))=HP Ta có HP = HM + HS suy HP= a a d(A;(SCD))= 3 (16) Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) Tính thể tích và - Tính thể tích +) Ta có: AB = AC − BC = 4a +) Mà ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SDA = 450 nên SA = AD = 3a Do đó: VS ABCD = SA.S ABCD = 12a (đvtt) - Tính góc… +) Dựng điểm K cho SK = AD Gọi H là hình chiếu vuông góc B S H A D lên CK, đó: DK ⊥ ( SBC ) Do đó: ( SD, ( SBC ) ) = DSH DC.DK 12a = , SD = SA2 + AD = 3a KC 3a 34 SH = SD − DH = SH 17 Do đó: ( SD, ( SBC ) ) = DSH = arccos = arccos ≈ 340 27 ' SD +) Mặt khác DH = K D C (17)