Một số ứng dụng của định lý Feuerbach

Tiếp theo đó tôi tìm được khá nhiều chứng minh đẹp đẽ cho các kết quả của điểm F euerbach dựa trên lời giải mới cho bài toán 1.. Bài toán 1(Định lí Feuerbach).[r]

Một hướng chứng minh cho định lí Feuerbach khai

thác Nguyễn Duy Khương

CLB Tốn Lim

Lời nói đầu Có nhiều chứng minh cho định lí F euerbach tiếng tiếp xúc đường trònEuler đường tròn nội(bàng) tiếp Dưới lời giải tơi thực tình cờ phát q trình nghiên cứu tốn đề thi dành cho khối kì thi Sharygin 2019 Tiếp theo tơi tìm nhiều chứng minh đẹp đẽ cho kết điểm F euerbach dựa lời giải cho toán

Bài tốn 1(Định lí Feuerbach) Cho tam giác ABC Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc đường tròn Euler tam giác ABC

Lời giải(Nguyễn Duy Khương)

Bổ đề 1(P9.7-Sharygin 2019) Cho tam giácABCngoại tiếp(I).(I)tiếp xúcBC, CA, AB

tạiD, E, F Gọi BI, CI cắt đường trung bình ứng với đỉnh A tạiS, T Khi đóT F, SE qua D A, T, F, I, S, E đồng viên

Bổ đề Cho tam giácABC nội tiếp(O)có trực tâm H Khi (BHC) và(O) đối xứng qua BC

Phép chứng minh hai bổ đề khơng khó, bạn đọc tham khảo 9.7 đề thi Sharygin thức năm 2019 cho bổ đề

Quay trở lại toán, dựng điểm phụ bổ đề Ta chứng minh trường hợp hình vẽ hình khác chứng minh tương tự Gọi K = EF ∩M N Lấy R điểm

M iquelcủa tứ giác toàn phầnAN KE.M F LấyFe đối xứngRquaM N Ta có:R∈ (AEF),

∠M FeN = 180◦ − ∠A) Gọi KD ∩(I) = Fe0, ta có: KD.KFe0 = KF.KE = KS.KT(vì

theo bổ đề T F SE nội tiếp) đó: Fe0 ∈ (DT S) Để ý Fe0KF T, Fe0ESK nội tiếp ta có: ∠N F Fe0 = ∠Fe0EK = ∠Fe0SK dẫn đến: N, Fe0, S, F đồng viên Ta có:

∠N Fe0M =∠N Fe0F+∠F Fe0E−∠M Fe0E =−1

_

T S +180◦−1

_

SE +1

_

T F= 180◦−∠F AE = 180◦−∠BAC(ta xét cung đường tròn (AST)) suy Fe0 ∈(Euler) Do đó: Fe ≡Fe0

Ta có: N, Fe, S, F đồng viên Suy ∠N FeF =∠N SF Ta kẻ tiếp tuyếnFex (I) Ta

có: ∠xFeN =∠xFeF −∠N FeF =∠XFeF −∠T SF Ta cần có ∠FeM S =∠xFeN

điều tương đương∠KDT =∠FeM S+∠T SF =∠RM K+∠T SF =∠F ER+∠T SF =

∠T ER = ∠T SR = ∠FeST(đúng Fe, S, D, T đồng viên) Vậy ta thu Fex tiếp xúc

đường tròn Euler tam giác ABC suy ra: (I) tiếp xúc đường tròn (Euler) tam giác

ABC

Ta thu kết thú vị từ chứng minh

Bài toán Cho tam giác ABC nhọn(AB < AC) Trung trực AB, AC cắt BC M, N Dựng hình bình hành ABDC Gọi AM giao DC E AN giao DB F

EF giao M N K Chứng minh điểm M iquel hai tứ giác toàn phầnAN KE.M F

và DF KC.BE đối xứng qua BC

Khai thác chứng minh ta thẫy điểm M iquel AN KE.F M đối xứng Fe qua

M N Ta thu lời giải gọn cho tính chất tiếng điểm F euerbach

Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) (I) tiếp xúc BC, CA, AB

tại D, E, F Chứng minh điểm Anti−Steiner OI ứng với tam giác DEF điểm

Lời giải(Nguyễn Minh Quân Nguyễn Duy Khương) Trước tiên ta cần làm rõ OI đường thẳng Euler tam giác DEF Khá dễ dàng nhận thấy phép nghịch đảo cực I phương tíchID2 biến đường tròn Euler của tam giác DEF thành tam giác ABC

do OI qua tâm Euler tam giác DEF

Quay trở lại toán Gọi G điểm đối xứng Fe qua M N Từ chứng minh tốn 1,

ta có G= (AM N)∩(AEF) Do đó:∠OGA=∠IGA= 90◦ suy O, I, Gthẳng hàng Như ta có Fe điểm Anti−Steiner OI ứng với tam giác DEF

Tiếp tục tơi muốn đề cập đến tốn sau

Bài toán 4(P4a-VMO 2020) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường kính AA0

D, E, F đối xứng Oqua BC, CA, AB.H trực tâm tam giác ABC GọiHa đối xứng H qua

1.png

Lời giải Ta chứng minh tốn với hình vẽ trên, trường hợp khác chứng minh tương tự Gọi OaA0 ∩ (O) = X0 K = BB ∩ CC, M trung điểm BC Ta cần có:

ODX0A0 nội tiếp có điều phải chứng minh Thật ta có: POa/(O) = OaO

2 − R2 và

OaD.OaO =OaO(OaO−OD) =OaO2−OD.OaO Ta có: R2 =OM.OK =OD.OOa đó:

POa/(O) =OaD.OaO=OaX0.OaA0 dẫn đến điều phải chứng minh

Liên hệ toán cách đổi mơ hình đường trịn nội tiếp(để ý điểm cắt tốn 4chính điểm Anti−Steiner ứng với OH), ta có kết thú vị sau kết hợp thêm kết vừa chứng minh toán

Tiếp tục khai thác mơ hình tốn ban đầu, ta có tính chất kinh điển điểmF euerbach Bài tốn Cho tam giácABCcó điểmF điểmF euerbachcủa tam giácABC.M, N, P

là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh ba đoạn F M, F N, F P có đoạn tổng hai đoạn cịn lại

Lời giải(Nguyễn Duy Khương)

Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có tâm nội tiếp I AI ∩(O) = A, P gọi

M trung điểm BC K đối xứng I qua M lấy P K ∩(O) = Q, P Chứng minh rằng:

Chứng minh(Trần Quân) QuaIkẻ đường thẳng song songP QcắtQCởD Ta có:∠AID=

∠AP K = ∠ABQ = ∠ACD đó: AICD nội tiếp hay là: ∠ADQ = ∠ADC = ∠P IC Do đó:4QAD ∼ 4P IC(g.g) Do ý:P I =P C nênQD=QA Gọi ID∩QB =E Tương tự thì: QE = QA = QD Lấy T đối xứng Q qua M thì: IT KQ hình bình hành

T ∈ ID BT CQ hình bình hành nên: CT // = BQ vậy: 4CT D ∼ 4QED hay là:

CT = CD đó: CD = CT = BQ suy ra: QB+QC = CD+QC = QA(điều phải chứng minh)

Khơng tính tính tổng qt ta chứng minh trường hợp hình vẽ thỏa mãn:

F M =F P +F N Lời giải chia thành ý để toán đỡ cồng kềnh với ý dẫn dắt để bạn đọc dễ theo dõi

1) Gọi I0 tâm nội tiếp tam giác M N P S trung điểm N P Q trung điểm cung

N P nhỏ đường tròn (Euler) tam giác ABC T đối xứng I0 qua S Chứng minh:

M QkAI

Chứng minh Ta có: ∠QM C =∠B+∠A

2 =∠AKC suy M QkAI 2) Chứng minh T thuộc AI

Lấy Y = AI ∩N P Lấy X = AN ∩N P Áp dụng tính chất đường phân giác Y P

AP =

P N

AP +AN =

BC

AB+AC =

XN

M N =

XN

AP suy XN =Y P dẫn đếnT Y I

0X là hình bình hành dẫn đến T thuộc AI

Dẫn dắt chút ta có:

Lấy L đối xứng K qua D Ta có ∠LJ D = 90◦ dẫn đến LJ qua đối xứng D qua

I R Như tức RJkM QkAI Do theo tính chất tâm vị tự ngồi RQ, J M cắt tâm vị tự đường trịn (Euler) tam giác ABC (I) F Gọi

U trung điểm cung N P lớn đường trịn (Euler) U D qua tâm vị tự (Euler) (I) F

3) Chứng minh Q, T, F thẳng hàng

Ta để ý thấy rằng∠P T N =∠P I0N =∠BIC = 90◦+∠A

2 suy raT tâm nội tiếp tam giácAP N LấyV đối xứngQquaS Ta cóV thuộcAI Đồng thời ta cóV thuộc(AP N) DoT tâm nội tam giácAP N dẫn đến T trung điểm IA GọiW trung điểm cung BC

không chứa A (O) Ta có: QV =M W Như ta có: V Q

IR = V Q r = M W r = M W ID Ta

chú ý tam giác AKB đồng dạng tam giác CKW đó: IW

KW = CW KW = AB KB = IA IK suy

ra: V T

T I = V T T A =

W I IA =

KW

IK =

M W

ID dẫn đến: T, R, Q thẳng hàng

Như ta có F, T, Q, Rthẳng hàng ta áp dụngbổ đề ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Chứng minh kết khơng đơn giản Bài tốn địi hỏi kết hợp khéo léo góc tỉ số

Bài toán Cho tam giácABCnội tiếp(O), ngoại tiếp(I)cóFelà điểmF euerbach.M, D

lần lượt trung điểmBC hình chiếu củaI lênBC Chứng minh rằng4FeDM ∼ 4AOI

Lời giải(Nguyễn Duy Khương) LấyM, N, P trung điểm AC, AB, BC S =BI∩

M N, T = CI ∩M N Gọi OI ∩(AEF) = R 6= I ta có: R đối xứng Fe qua M N Sử dụng

các kết từ tốn 1, ta có: ∠FeED = ∠KED + ∠FeEK = ∠F AS + ∠T SR =

90◦+∠RAI = ∠AIO Để ý Fe, E, M, T đồng viên từ tốn đó: ∠DFeP =

∠DFeE−∠C−∠ET S = 90◦− ∠

C

2 −∠C−

∠A

2 +

∠C

2 = 90 ◦−

∠C− ∠A

2 =∠IAO Do đó: 4AIO ∼ 4FeDP(g.g)

Quay trở lại toán Ta thấy từ cặp đồng dạng suy ra: FeP

OA =

DP IO

Tương tự thì: FeM

OB =

EM

IO

FeN

OC =

N F

IO Do để ý |DP| = |EM|+|F N| suy