II/ Các dạng toán Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối ña diện và một số ứng dụng của nó DẠNG 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐ[r]
(1)Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh Chuyên ñề ỨNG DỤNG CỦA TỶ SỐ THỂ TÍCH Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng năm gần ñây, câu hình học không gian luôn là câu khó ñối với ña số thí sinh, phần lớn các em ñã quên các kiến thức hình học không gian chương trình hình học lớp 11 Trong câu này thường có yêu cầu tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ và kèm theo ý phụ ñó là tính khoảng cách, tính góc liên quan ñến quan hệ vuông góc Bên cạnh cách tính thể tích trực công thức, phương pháp tỉ số thể tích không kém phần hiệu và ñầy sức mạnh Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh thêm tài liệu và bài tập phương pháp này, tôi xin ñược chia xẻ qua tài liệu này Hy vọng giúp cho các em học sinh có thêm niềm tin ñể xử lý dạng bài toán này Tặng học sinh lớp 12 trường THPT Lý Tự Trọng ! I/ Bài toán sở Trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức ta gặp khó khăn không xác ñịnh ñược ñường cao hay diện tích ñáy Tuy nhiên có thể chuyển việc tính thể tích các khối này việc tính thể tích các khối ñã biết thông qua tỉ số thể tích hai khối Bài toán: (Bài4 sgk HH 12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, trên các ñoạn thẳng SA, SB, SC lấy các ñiểm A’, B’, C’ khác ñiểm S CMR: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC (1) Giải: Gọi H và H’ là hình chiếu vuông góc A và A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’ Ba ñiểm S, H, H’ cùng thuộc B hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng Xét ∆ SAH ta có A' B' S SA ' A ' H ' = (*) SA AH Do ñó : VS.A' B'C ' VS ABC A H H' C' C A' H '.S∆SB'C ' A' H ' SB'.SC '.sin B ' SC ' = = (**) AH SB SC sin BSC AH.S∆SBC Từ (*) và (**) ta ñược ñpcm Chú ý: A’, B’, C’ có thể trùng với các ñầu mút A, B, C ñó ta ñược các công thức ñơn giản Lop12.net (2) Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh II/ Các dạng toán Dựa vào hai bài toán trên, ta xét số bài toán tính tỉ số thể tích các khối ña diện và số ứng dụng nó DẠNG 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ðA DIỆN Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung ñiểm CD và I là giao ñiểm AC và BM Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.ICM và S.ABCD S Giải: Gọi O là giao ñiểm AC và BD Ta có I là trọng tâm tam giác BCD, ñó 1 1 1 VISCM = VB.SCM = VD.SBC = VS ABCD 3 2 VISCM Vậy = VS ABCD 12 A D O M I C B Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành Gọi B’, D’ là trung ñiểm SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp ñược chia mp(AB’D’) Giải: Gọi O là giao ñiểm AC và BD và I là giao ñiểm SO và B’D’ Khi ñó AI cắt SC C’ Ta có S C' B' D' I O' D A O B C VS AB ' C ' SB ' SC ' SC ' = = VS ABC SB SC SC VS AC ' D ' SC ' SD ' SC ' = = VS ACD SC SD SC SC ' SC ' Suy VS AB ' C ' + VS AC ' D ' = (VS ABC + VS ACD ) = VS ABCD SC SC Kẻ OO’//AC’ ( O ' ∈ SC ) Do tính chất các ñương thẳng song song cách ñều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 Do ñó VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Hay VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Lop12.net (3) Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC, ñáy ABC là tam giác ñều có trực tâm H và cạnh a Gọi I, J, K là trung ñiểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P là trung ñiểm các ñoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích hai khối chóp H.MNP và S.ABC Từ ñó tính thể tích khối chóp H.MNP ðS: VH MNP = VS ABC 32 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng ( α ) qua AB cắt SC, SD M và N Tính SM ñể mặt phẳng ( α ) chia hình SC chóp thành hai phần có thể tích ðS: SM −1 = SC DẠNG 2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ðỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ 1: (ðH khối B – 2008) = Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang, BAD ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD) và SA = 2a Gọi M, N là trung ñiểm SA và SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: S Áp dụng công thức (1) ta có VS BCM SM = = VS BCA SA N 2a M VS CMN SM SN = = VS CAD SA SD 2a a Suy 1 VS BCNM = VS BCM + VS CNM = VS BCA + VS CAD 3 a 2a a3 = + = 2.3 4.3 B D A C Ghi chú: 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực công thức V = B.h gặp nhiều khó khăn, dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM tính VSBCA và VSCAD dễ dàng nhiều 2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối ña diện ABCDMN Lop12.net (4) Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh Ví dụ 2: (ðH khối A – 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm mặt phẳng vuông góc với ñáy Gọi M, N, P là trung ñiểm các cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Giải: S Ta có VCMNP CN CP = = VCMBD CB CD (a) M VCMBD VM BCD MB = = = (b) VCSBD VS BCD SB A Lấy (a) x (b) vế theo vế ta ñược B H VCMNP 1 = ⇒ VCMNP = VS BCD VS BCD 8 N D C P Gọi H là trung ñiểm AD ta có SH ⊥ AD mà ( SAD ) ⊥ ( ABCD) nên SH ⊥ ( ABCD) 1 a a3 a = Do ñó VS BCD = SH S∆BCD = 3 2 12 a Vậy: VCMNP = (ñvtt) 96 Ví dụ 3: (ðH khối D – 2006 ) Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với ñáy Gọi M, N là hình chiếu vuông góc A lên các ñường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: Ta có VSAMN SM SN = VSABC SB SC D N 2a M a C A AM và AN là các ñường cao các tam giác vuông SAB và SAC nên ta có a a B SM SM SM SA2 4a = = =4⇒ = MB MB AB a SB SN Tương tự = SC 4 16 Do ñó VS.AMN = VS.ABC = VS.ABC Suy VA.BCMN = VS.ABC 5 25 25 a a3 3a 3 Mà VS.ABC = 2a Vậy VA.BCMN = (ñvtt) = 50 Lop12.net (5) Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh Ghi chú: Ta có hệ thức lượng tam giác vuông ABC sau ñây A c b ' b2 = c ' c2 c' B ( Chứng minh dựa vào tam giác ñồng dạng) b b' C H Ví dụ 4: (ðH khối B – 2006 ) Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vuông góc với ñáy Gọi M, N là trung ñiểm AD và SC, gọi I là giao ñiểm BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: Gọi O là giao ñiểm AC và BD Ta có I là S trọng tâm tam giác ABC, ñó AI AI = ⇒ = AO AC V AI AM 1 nên AIMN = = = VACDN AC AD V NC Mặt khác ACDN = = VACDS SC V Từ (1) và (2) suy AIMN = VACDS 12 3 Mà VSACD = SA.S∆ACD = a a Ma A (1) D I a O (2) C B a 2a a a3 Vậy VAIMN = VSACD = (ñvtt) = 12 72 Ví dụ 5: (ðH khối D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc ñỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn thẳng AC cho AH = AC Gọi CM là ñường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung ñiểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải: S Từ giả thiết ta tính ñược AH = a a 14 3a , SH = , CH = , SC = a ⇒ SC = AC 4 M Do ñó tam giác SAC cân C nên M là trung ñiểm SA Ta có 1 a a 14 a 14 (ñvtt) VS ABC = SH S ∆ABC = = 48 Lop12.net B A VS MBC SM 1 = = ⇒ VS MBC = VS ABC VS ABC SA 2 H D C (6) Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh Bài tập tương tự = 900 , CAD = 1200 , AB = a, AC = 2a, Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có ABC = BAD AD = 3a Tính thể tích tứ diện ABCD ðS: VABCD a3 = Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ñáy và SA = 2a Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc A lên SB và SD Mp(AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a ðS: VS A ' B ' C ' D ' = 16a 45 Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có tất các cạnh ñều Gọi M, P là trung ñiểm SA và SC, mp(DMP) cắt SB N Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP ðS: VS DMNP a3 = 36 Bài 4: (ðH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a ðS: VABC A ' B 'C ' = 3a 3 7a và R = 12 DẠNG 3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH Việc tính khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng khó khăn là xác ñịnh chân ñường cao Khó khăn này có thể ñược khắc phục ta tính khoảng cách thông qua thể tích khối ña diện, mà khoảng cách ñó chính là ñộ dài ñường cao khối ña diện Sau ñây ta xét số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (ðH khối D – 2002 ) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A ñến mp(BCD) Giải: 2 Ta có AB + AC = BC ⇒ AB ⊥ AC Do ñó VABCD = AB Ac AD = 8cm Mặt khác CD = , BD = BC = Nên ∆BCD cân B, gọi I là trung ñiểm CD 2 ⇒ S ∆BCD = DC.BI = − (2 2) = 34 2 3V 3.8 34 Vậy d ( A, ( BCD )) = ABCD = = 17 S ∆BCD 34 Lop12.net D I C A B (7) Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh Ví dụ 2: (ðH khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang, = 900 , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA ABC = BAD = a Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H ñến mp(SCD) Giải: Ta có S VS HCD SH = VS BCD SB ∆SAB vuông A và AH là ñường cao nên H SH SA2 2a SH Ta có = = =2⇒ = 2a HB AB a SB A a 2 a a3 Vậy VS.HCD = VS.BCD = a = 3 B C Mà VS HCD = d ( H , ( SCD)).S∆SCD 2 ∆SCD vuông C ( AC + CD = AD ), 1 3a a ñó S ∆SCD = CD.SC = a 2.2a = a 2 Vậy d ( H ,( SCD)) = = 2 9a D Ví dụ 3: (ðH khối D – 2008) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a Gọi M là trung ñiểm BC Tính theo a khoảng cách hai ñường thẳng AM và B’C Giải: A' C' Gọi E là trung ñiểm BB’,ta có EM//CB’ Suy B’C //(AME) nên B' d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có VC AEM MC = = VC AEB CB a 1 a2 a a3 ⇒ VC AEM = VEACB = = 2 2 24 3V Ta có d (C ,( AME )) = C AEM S ∆AEM H A a a Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên AE, ta có BH ⊥ AE Hơn BM ⊥ ( ABE ) ⇒ BM ⊥ AE , nên ta ñược AE ⊥ HM Mà AE = E C M B a 1 a , ∆ABE vuông B nên = + = ⇒ BH = 2 2 BH AB EB a a a a 21 ∆BHM vuông B nên MH = + = Lop12.net (8) Ứng dụng tỉ số thể tích Do ñó S∆AEM = AE.HM = 3a Vậy: d (C ,( AME )) = a2 24 Trần Minh Cảnh a a 21 a 14 = 2 a = 14 Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông ñể tính S∆AEM Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a và hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung ñiểm BC Tính khoảng cách Từ A ñến mp(BCC’B’) Giải: B' C' Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC) Tam giác ABC vuông A và AH là trung tuyến nên AH = A' BC = a ∆A ' AH vuông H nên ta có A' H = A ' A2 − AH = a a.a a Do ñó VA ' ABC = a = 2 VA ' ABC Mặt khác = VABC A ' B ' C ' 2a B a C H K a A 2 a3 Suy VA '.BCC ' B ' = VABC A ' B ' C ' = = a 3 3V Ta có d ( A ', ( BCC ' B ')) = A ' BCC ' B ' S BCC ' B ' Vì AB ⊥ A ' H ⇒ A ' B ' ⊥ A ' H ⇒ ∆A ' B ' H vuông A’ a + 3a = 2a = BB ' ⇒ ∆BB ' H cân B’ Gọi K là trung ñiểm a 14 BH, ta có B ' K ⊥ BH Do ñó B ' K = BB '2 − BK = a 14 Suy S BCC ' B ' = B ' C '.BK = 2a = a 14 3a 14a Vậy d ( A ',( BCC ' B ')) = = 14 a 14 Suy B’H = Bài tập tương tự Bài 1: (ðH khối D – 2009) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’có ñáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung ñiểm A’C’, I là giao ñiểm AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A ñến mp(IBC) ðS: d ( A,( IBC )) = 2a 5 Lop12.net (9) Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, ñiểm M thuộc AD cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M ñến mp(AB’C) ðS: d ( A, ( AB ' C )) = a Bài 3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), ABC = 900 Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (BCD) AD = a, AB = BC = b ab ðS: d ( A, ( BCD)) = a + b2 Bài 4: Cho tứ diện ñều ABCD, biết AB = a, M là ñiểm miền tứ diện Tính tổng khoảng cách từ M ñến các mặt tứ diện ðS: h1 + h2 + h3 + h4 = 3VABCD =a S ∆ACB Bài 5: Cho tứ diện ABCD và ñiểm M miền tứ diện Gọi r1, r2, r3, r4 là khoảng cách từ M ñến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tứ diện Gọi h1, h2, h3, h4 là khoảng cách từ các ñỉnh A, B, C, D ñến các mặt ñối diện tứ diện CMR: r1 r2 r3 r4 + + + = h1 h2 h3 h4 DẠNG 4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ðA GIÁC Việc tính diện tích ña giác phẳng ñược quy việc tính diện tích tam giác theo công thức S∆ = ah , ñó h – chiều cao và a là ñộ dài cạnh ñáy Tuy nhiên nhiều trường hợp, ñặc biệt là việc tính diện tích các ña giác phẳng không gian, tính trực công thức gặp nhiều khó khăn Khi ñó có thể tính diện tính ña giác thông qua thể tích các khối ña diện Sau ñây là số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (ðH khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC ñỉnh S, có ñộ dài cạnh ñáy a Gọi M, N là trung ñiểm SB và SC Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết ( AMN ) ⊥ ( SBC ) S Giải: Gọi K là trung ñiểm BC và I là trung N VS AMN SM SN = = (1) VS ABC SB SC Từ ( AMN ) ⊥ ( SBC ) và AI ⊥ MN (do ∆AMN cân A ) nên AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI ⊥ SI Mặt khác, MN ⊥ SI ñó SI ⊥ ( AMN ) I ñiểm MN Ta có Lop12.net M C A K O B (10) Ứng dụng tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh SI S ∆AMN 1 SO = ⇒ S ∆AMN = S ∆ABC (O là trọng tâm tam giác ABC) SO.S ∆ABC 4 SI Ta có ∆ASK cân A (vì AI vừa là ñường cao vừa là trung tuyến) nên a a 15 AK = AS = ⇒ SO = SA2 − OA2 = a a 15 a a 10 Và SI = SK = Vậy S∆AMN = = (ñvdt) 4 6a 16 Từ (1) ⇒ Bài tập tham khảo Bài 1: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ Biết ABC là tam giác vuông B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 ≥ a + b ) Một mặt phẳng (α ) qua A và vuông góc với CA’cắt lăng trụ theo thiết diện a) Xác ñịnh thiết diện ñó b) Tính diện tích thiết diện xác ñịnh câu a) ðS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN = ab a + b + c 2c Bài 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc = CAD = DAB = 900 Gọi H là hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) BAC a) Chứng minh rằng: 1 1 = 2+ 2+ 2 AH x y z b) Tính diện tích tam giác BCD ðS: S∆BCD = 2 x y + y2 z + z x2 o0o 10 Lop12.net (11)