Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3;5;0 và mặt phẳng.. Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua P.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIÁO VIÊN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (http://tinhbg.violet.vn ) Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI (Đề gồm: 01 trang) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x3 mx có đồ thị (Cm ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m b) Tìm tất các giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu (Cm ) và điểm M (1;10) thẳng hàng Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn: (1 i)( z i) z 2i Hãy tính w biết: w z 2z z2 b) Giải phương trình 25x1 51.5x ( x ) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I x(sin x e x )dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;0) và mặt phẳng ( P) : x y - z - Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua (P) Câu (1,0 điểm) cos5x 2sin 3x cos x sin x ( x ) b) Cho tập A {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác chọn A cho số đó chia hết cho Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD 2a và góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2) Đường phân giác và đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B có phương trình x y = và x - y 15 = Tính diện tích tam giác ABC a) Giải phương trình 2 y y x x x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( x, y ) 2 y y x Câu (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x 0, y 0, z và x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3 y 16 z x y z _Hết _ Họ và tên thí sinh:…………………………… ……… Số báo danh:…………… Họ tên, chữ ký giám thị 1:…………………… ………………………… (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIÁO VIÊN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) I Hướng dẫn chung: Điểm bài thi theo thang điểm 10, phần lẻ tính đến 0,25 điểm Giám khảo giữ nguyên điểm lẻ, không làm tròn điểm Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu hướng dẫn chấm giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định II Đáp án và thang điểm: Câu Ý Hướng dẫn – Đáp án Điểm Cho hàm số y x mx có đồ thị (Cm ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m 2,0 b) Tìm tất các giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu (Cm ) và điểm M (1;10) thẳng hàng Với m , ta có y x3 3x * TXĐ: D * Chiều biến thiên: 0,25 y ' 3x x , y ' x x - Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-;0) và (2;+); Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) 0,25 - Đồ thị hàm số đạt cực đại (2;0), cực tiểu (0;-4) - Giới hạn: lim y , lim y x x - Bảng biến thiên: 0,25 a) * Đồ thị: 0,25 (3) x y ' 3x 2mx, y ' x 2m Hàm số có cực đại, cực tiểu PT y ' có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu 2m x qua các nghiệm đó m b) m m3 Với m (Cm) có điểm CĐ, CT là A(0; 4), B( ; 4) 27 Để A, B, M (1;10) thẳng hàng thì AB, AM cùng phương 2m 4m3 m 27 63m m3 m 63 ( m ) 14 m 63 a) Cho số phức z thỏa mãn: 1 i z i z 2i Hãy tính w biết: w z 2z z2 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 b) Giải phương trình 25x1 51.5x ( x ) a) Ta có 1 i z i z 2i i z 1 3i z i 0,25 Suy ra: w 1 3i w 10 0,25 PT 25.25x 51.5x Đặt t 5x ( t ), ta có phương trình: t 25t 51t 25 t 0,25 b) 1 5x x 2 ; 25 25 Với t 5x x log5 Với t 0,25 Tính tích phân: I x(sin x e x )dx 1,0 2 I x sin x e x dx x sin xdx xe x dx 0 0,25 u x du dx đặt x sin xdx 0 dv sin xdx v cos x - Với 0,25 x sin xdx x cos x cos xdx 0 - Với x xe dx ta đặt t x dt 2xdx Khi x 0, t ; x ,t 2 0,25 (4) 2 xe dx x2 e dt e t 2 t 2 e 1 2 Vậy I e Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;0) và mặt phẳng ( P) : x y - z - Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua (P) Véc tơ pháp tuyến mp(P) là n P 2;3; 1 0,25 1,0 0,25 Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) nhận n làm VTCP nên có phương x 2t trình: y 3t z t Gọi B là điểm đối xứng A qua (P), suy B thuộc Do đó B(3 2t;5 3t; t ) 0,25 0,25 Trung điểm đoạn thẳng AB thuộc (P) nên 10 3t t 3 t 3 t 2 2 0,25 Do đó B(-1; -1; 2) a) Giải phương trình cos5 x 2sin 3x cos x sin x ( x ) b) Cho tập A {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác chọn A cho số đó chia hết cho TXĐ: cos5 x sin x sin x sin x a cos5 x sin x sin x 2 sin x sin x x k ; x k (k ) 18 3 Nhận xét: Số chia hết cho và tổng các chữ số nó chia hết cho Các số gồm số có tổng chia hết cho là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1; 3; 5; 6), (0; 2; 3; 4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6) - Trong số có chứa số 0, số tạo số các số có chữ số khác là: 4.4! 96 , đó số chữ số có chữ số tạo số đó là: b 5.96 480 ; - Số các số có chữ số khác tạo thành từ số cuối là: 2.5! 240 Vậy số các số cần tìm là: 480 240 720 số Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD 2a và góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (5) S K A D I H B C Gọi H là trung điểm AB Suy SH ( ABCD) và SCH 300 Ta có: SHC SHD SC SD 2a Xét tam giác SHC vuông H ta có: 0,25 SH SC.sin SCH SC.sin300 a HC SC.cos SCH SC.cos300 3a Vì tam giác SAB mà SH a nên AB 2a Suy BC HC BH 2a Do đó, S ABCD AB.BC 4a 2 0,25 4a Vậy, VS ABCD S ABCD SH 3 Vì BA 2HA nên d B, SAC 2d H , SAC Gọi I là hình chiếu H lên AC và K là hình chiếu H lên SI Ta có: AC HI và AC SH nên AC SHI AC HK 0,25 Ta lại có: HK SI Do đó: HK SAC Vì hai tam giác AIH và ABC đồng dạng nên HI AH AH BC HI BC AC AC Suy ra, HK AH BC AB BC a.2a a 3a a HS HI a 66 11 HS HI 2a 3a a Vậy d B, SAC 2d H , SAC HK 0,25 2a 66 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2) Đường phân giác và đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B có phương trình x y = và x - y 15 = Tính diện tích tam giác ABC 1,0 (6) A d H M d' B C A' Gọi d : x- y và d ' : x - y 15 = 2 x y ⇒ B(2; 1) 7 x y 15 0,25 Tọa độ B là nghiệm hệ: Gọi H là hình chiếu A trên d : H (t;2t 5) AH (t 1;2t 3) , ud (1;2) Ta có: AH ud t 4t t 1 H (1;3) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d A '(3;4) 0,25 Khi đó A ' BC , BA '(1;3) x 2 t y 3t Phương trình BC: Do C thuộc đường thẳng BC nên C (-2 - t; 3t ) Gọi M là trung điểm AC 0,25 t 3t ; M thuộc d’ nên 7(-t -1) - (3t 3) 30 , suy t , suy C (-4; 7) Ta có M Ta có: BA(3;1), BC (2;6) BA.BC tam giác ABC vuông B Vậy tam giác ABC có diện tích là 1 2 S BA.BC (2) 62 10 2 2 y3 y x x x Giải hệ phương trình: y 1 Điều kiện: y 4 x4 0,25 ( x, y ) 1,0 4 x 1; y Ta có: y3 y x x x 0,25 y3 y x x x x y3 y 2(1 x) x x (1) Xét hàm số f (t ) 2t t trên , ta có: f '(t ) 6t 0, t f (t ) đồng biến trên 0,25 Vậy (1) f ( y) f ( x ) y x y y 1 x Thế vào pt thứ ta x x x (2) Xét hàm số g ( x) x x x 4, liên tục trên [ 4;1] , ta có 0,25 (7) g '( x) 1 , x (4;1) g ( x) 2x 1 x x biến trên [ 4;1] Lại có nghịch g (3) nên x 3 là nghiệm phương trình (2) Với x 3 suy y Vậy hệ có nghiệm 0,25 ( x; y) (3;2) Cho x, y, z và x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3 y 16 z x y z Ta có: x y 3 1,0 x y * Dấu "=" xảy x y Thật vậy: * x3 y x y x3 3x y 3xy y x3 y x y xy x y x xy y x y x y ( luôn đúng ) Áp dụng (*) ta có: P x3 y x y z 16 z x y z x y 4 x y z 3 0,25 16 z x y z 3 1 x y z Tức P 16 hay 4 x y z x y z 0,25 1 z z P 1 16 4 x y z x yz z Đặt t ,0 t Suy P f t 1 t 16t ,0 t x yz 3 2 Ta có f ' t 1 t 48t , f ' t 48t 1 t t 4 16 16 16 16 f , f , f 1 16 f t f t P 81 81 81 81 0;1 Dấu "=" xảy x y 4, z 0,25 0,25 (8)