DEDAP AN TOAN 9 HSG TPHCM 2016

Tuy giúp các nhà máy nước hạ lưu hoạt động được nhưng nhiều chuyên gia bày tỏ lo lắng bởi trữ lượng tại các hồ đầu nguồn thấp trong khi dự báo đợt hạn mặn có thể kéo dài đến tháng 5.. Hi[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 22/03/2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang) Bài (2 điểm) Cho hai số thực phân biệt a , b thỏa điều kiện ab  a  b a b Tính giá trị biểu thức A    ab b a Bài (3 điểm) Giải phương trình : 5x   x   4x  Bài (3 điểm) Cho số x1 và x2 là các nghiệm phương trình x  ax  b  , đồng thời x12  và x22  1 là các nghiệm phương trình x  (a  ) x  b   Tìm a 2 và b Bài (4 điểm)   xy  a) Cho số thực x, y ( x  y  0) Chứng minh rằng: x  y    2  x y  b) Trong hình vuông có cạnh 1, ta lấy điểm tùy ý Chứng minh luôn tồn điểm có khoảng cách không vượt quá 2 Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (K) qua A tiếp xúc với cạnh BC D, cắt AB, AC P, Q và cắt (O) E khác A Tia ED cắt (O) F khác E Chứng minh rằng:   FAB  a) CAD PQ DP.DQ  b) BC DB.DC Còn tiếp trang sau Bài (3 điểm) Chiều 13/3, Công ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng - Phước Hòa cho biết đã kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sông Sài Gòn Đây là lần xả nước thứ từ đầu năm, giúp người dân Sài Gòn đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nông nghiệp Đợt xả nước công suất 30 m3/s kéo dài ngày, mặn đã đẩy các cửa sông Theo đơn vị này, sau đợt xả, mực nước hồ cao khoảng 20 m, trữ lượng gần 850 triệu m3 Tuy giúp các nhà máy nước hạ lưu hoạt động nhiều chuyên gia bày tỏ lo lắng trữ lượng các hồ đầu nguồn thấp dự báo đợt hạn mặn có thể kéo dài đến tháng Hiện các hồ phải kéo việc xả nước đẩy mặn để phục vụ cho nông nghiệp và hoạt động sản xuất nước Về nguyên nhân xâm nhập mặn, ông Phạm Thế Vinh - Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam - cho rằng, hạn mặn diễn mạnh vì El Nino kéo dài khiến khu vực Nam ít mưa Ngoài ra, việc triều cường kéo dài đến tháng 2, khiến nước mặn sâu vào các cửa sông Ông Bùi Thanh Giang - Phó tổng giám đốc Công ty cấp nước Sài Gòn (Sawaco) - cho biết, năm trữ lượng nước về các hồ đầu nguồn giảm mạnh Trong đó , lượng nước tí ch trữ của hệ thống hồ Dầu Tiếng - Phước Hòa trên thượng nguồn sông Sài Gòn chỉ đạt khoảng 70% Lưu lượng của hồ Trị An trên sông Đồng Nai chỉ đạt khoảng 80% so với trung bình năm Về giải pháp lâu dài, Sawaco kiến nghị UBND TP HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước thô cho nguồn nước sông Sài Gòn với vốn thực từ ngân sách Ngoài ra, đơn vị đề xuất nâng cao công nghệ xử lý nước việc này đỏi hỏi chi phí đầu tư, vận hành cao (Nguồn vnexpress.net) a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng đã xả ngày vừa qua? b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước có để ngăn mặn (với tốc độ xả trên) thì công việc này khoảng bao nhiêu ngày c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn liên tục từ hôm (22/3) đến hết ngày 15/5, tính lượng nước mà hồ đã xả khoảng thời gian này HẾT ĐÁP ÁN Bài (2 điểm) Cho hai số thực phân biệt a , b thỏa điều kiện ab  a  b a b Tính giá trị biểu thức A    ab b a 2 2 a b a b a b (a  b)  2ab  a 2b A    ab   2 b a ab ab 4x  Bài (3 điểm) Giải phương trình : x   x   Điều kiện: x  4x  4x  4x  5x   x     5 5x   x  3   x x   4      x   x    x    x     x    5( x  2)   x   Bài (3 điểm) x2 x22  x    0 x  (2đ) (1đ) (1đ) (1đ) Cho số x1 và x2 là các nghiệm phương trình x  ax  b  , đồng thời x12  và 1 là các nghiệm phương trình x  (a  ) x  b   Tìm a và b 2 Theo định lý Viete ta có : x1  x2  a ; x x2  b ; (0,5đ) 1 1 1 x12   x22    a  ; ( x12  )( x22  )  b  (0,5đ) 2 2 2 1 x12   x22   a   x12  x22   a (0,5đ) 2 2 3  ( x1  x2 )  x1 x2   a  2a  2b  (0,5đ) 2 1 1 1 ( x12  )( x22  )  b   x12 x22  ( x12  x22 )   b  (0,5đ) 2 2 3  x12  x22   a   b   (0,5đ) Thử lại điều kiện có nghiệm, ta nhận a  0, b   x22  Bài (4 điểm)   xy  a) Cho số thực x, y ( x  y  0) Chứng minh rằng: x  y    2  x y  2   xy  2 2 x  y     ( x  y ) ( x  y )  (1  xy )  2( x  y )  x y   ( x  y )  xy ( x  y )  (1  xy )  2( x  y )   ( x  y )  2( x  y ) (1  xy )  (1  xy )  2   ( x  y )  (1  xy )   (Đúng) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ)  xy   z  xy  yz  zx  1 x y x  y  z  ( x  y  z )  2( xy  yz  zx)   đpcm b) Trong hình vuông có cạnh 1, ta lấy điểm tùy ý Chứng minh luôn tồn điểm có khoảng cách không vượt quá Ta chia hình vuông đã cho thành hình vuông nhỏ có cạnh (0,5đ) Theo nguyên lý Dirichlet, tồn điểm cùng thuộc hình vuông nhỏ nên khoảng cách chúng không vượt quá đường chéo hình vuông này (1đ) Đường chéo hình vuông nhỏ là (0,5đ)  đpcm Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (K) qua A tiếp xúc với cạnh BC D, cắt AB, AC P, Q và cắt (O) E khác A Tia ED cắt (O) F khác E Chứng minh rằng:   FAB  a) CAD PQ DP.DQ  b) BC DB.DC   FAB  a) CAD ACB   AFB (cùng chắn cung AB) Ta có  (0,5đ)   (cùng chắn cung AD) ADB  AED (0,5đ) 0     ADC  180  ADB  180  AED  ABF (0,5đ)   Suy ∆ADC ∽∆ABF  CAD  FAB (0,5đ) PQ DP.DQ  b) BC DB.DC AD CD  ∆ADC ∽∆ABF  (0,5đ) AB BF Cách khác: Đặt ∆PDB ∽∆DAB  AD DP  AB DB CD DP   DB.DC  DP.BF BF DB PQ DQ DQ.BC ∆PDQ ∽∆CFB    FB  BC FB PQ DQ.BC PQ DP.DQ  DB.DC  DP   PQ BC DB.DC  Bài (3 điểm) a/ Lượng nước xả ngày: 24.3600.30 = 592 000 m3 Lượng nước xả ngày: 592 000 = 776 000 m3 b/ 20% lượng nước có: 850 triệu m3 20% = 170 triệu m3 Số ngày dùng để xả lượng nước trên: 170 106 : 592 000 ≈ 65,5 ngày c/ Từ 22/3 đến hết 15/5 có 55 ngày Lượng nước xả là : 55 592 000 = 142 560 000 m3 (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (1đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ)