31 chu de on luyen toan hoc lop 4 va 5

Có một số bài toán kết quả cuối cùng có thể không phải là những số cụ thể mà có thể lại là một bài toán, giải các bài toán đó ta sễ tìm được các kết quả cuối cùng thông thường là các bà[r]

TOÁN NÂNG CAO THEO CHỦ ĐỀ (31 CHỦ ĐỀ) 1/Số tự nhiên - Dãy số tự nhiên A Kiến thức cần ghi nhớ Số tự nhiên nhỏ là số 0, không có số tự nhiên lớn 4.Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị 5.Các số có chữ số tận cùng là 0,2,4,6,8 là các số chẵn Hai số chẵn liên tiếp (kém) hai đơn vị 6.Các số có chữ số tận cùng là 1,3,5,7,9 là các số lẻ Các số lẻ (kém) hai đơn vị Đối với dãy số tự nhiên liên tiếp a Khi thêm vào số tự nhiên khác nào số tự nhiên liền trước nó Vì không có số tự nhiên lớn và dãy số tự nhiên có thể kéo dài mãi mãi b Bớt số tự nhiên khác nào số tự nhiên liền trước đó Vì không có số tự nhiên nào liền trước số nên là số tự nhiên lớn c Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số chẵn kết thúc là số lẻ bắt đầu là số lẻ kết thúc là số chẵn thì số lượng số chẵn số lượng số lẻ d Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số chẵn và kết thúc số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều số lượng số lẻ là e Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số lẻ và kết thúc số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều số chẵn là Một số quy luật dãy số thường gặp: a Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) số hạng đứng liền trước nó cộng trừ số tự nhiên d b Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) số hạng đúng liền trước nó nhân chia số tự nhiên q(q>1) c Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng hai số hạng đứng liền trước nó d Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với thứ tự số hạng e Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự số hạng f Mỗi số hạng số thứ tự nó nhân với số thứ tự số hạng đứng liền sau nó dãy số cách đều: a Tính số lượng số hạng dãy số cách đều: Số số hạng = ( số hạng cuối - số hạng đầu ) : d+1 ( d là khoảng cách hai số hạng liên tiếp) b Tính tổng dãy số cách đều: VD: Tổng dãy số 1, 4, 7, 10, 13, , 94, 97, 100 là: (1+100)× 34 =1717 2.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DÃY SỐ THEO QUY LUẬT * DÃY SỐ TỰ NHIÊN Một số quy luật dãy số -0;1;2;3;4 dãy số tự nhiên liên tiếp Số thứ n = n-1 -0;2;4;6 dãy số chẵn Số thứ n =( n-1) x2 -1;3;5;7 Dãy số lẻ Số thứ n = n x 2-1 -1;2;3;5;8 vv Ta có : 3=1 +2 5= 3+2 = 5+3 13=8+5 Tổng số trước số đứng sau kể từ số thứ *1;4;9;16;25 v v Ta có: 1=1x1 4=2x2 9=3x3 Số đó số thứ tự nhân với chính nó -Số thứ 100 là :100x100=10000 Số thứ n = n x n *1;4;7;10;13 vvv Dạng này thường có các yêu cầu: - Tính tổng 50 số đầu.(Tím số đầu ,số cuối và ghép cặp;tìm số cặp ;giá trị cặp chuyển thành phép nhân) -Cho các số và xem số đó có thuộc dãy đó không Ta có : 1:3 =0 dư1 4:3=1dư1 7:3 =2 dư1 Các số chia cho có số dư là Đem số yêu cầu chia cùng giống thì kết luận có thuộc dãy số không -Tìm số thứ n dãy số -Cách tìm các số dựa váo số thứ tự Ta có : 1=(1-1)x3+1 4=(2-1)x3 +1 7= (3-1)x3 +1 10 = (4-1)x3 +1 Ta có số đó số thứ tự trừ nhân cộng Số thứ 100 dãy số là (100 -1) x +1= 298 Số thứ n = ( n-1) x +1 + Ví dụ : Cho các số 1;4;7;10; a.Số 2221;2234 có thuộc dãy số đó không ? b.Số thứ 134 ,số thứ 205 là số nào ? c.Tính tổng 50 số đầu dãy số Bài giải a.Ta có : 1:3 =0 dư1 4:3=1dư1 7:3 =2 dư1 Các số thuộc dãy số chia cho dư 2221: 3=740 dư1 số 2221thuộc dãy số -2234:3=778 không thuộc dãy số b số đứng thứ1:1=(1-1)x3+1 số đứng thứ2: 4=(2-1)x3 +1 số đứng thứ 3:7= (3-1)x3 +1 số đứng thứ 4:10 = (4-1)x3 +1 Ta có số đó số thứ tự trừ nhân cộng Số thứ 134 là (134-1)x3 +1 Số thứ 205 là :(205-1)x3+1 c Tính tổng 50 số đầu Ta có : số thứ 50 là: (50-1)x3 +1= 148 1;4;7;10;13 145;148 Ghép thành các cặp (1+148)+(4+145)+ Số cặp là 50:2=25 (cặp) Mỗi cặ có giá trị là 149 Vậy tổng trên là :149x 25= 3725 3/CẤU TẠO SỐ Sử dụng cấu tạo thập phân số 1.1 Phân tích làm rõ chữ số ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c Ví dụ: Cho số có chữ số, lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số số đã cho thì chính số đó Tìm chữ số hàng đơn vị số đã cho Bài giải Bước (tóm tắt bài toán) Gọi số có chữ số phải tìm là (a > 0, a, b < 10) Theo bài ta có = a + b + a x b Bước 2: Phân tích số, làm xuất thành phần giống bên trái và bên phải dấu bằng, đơn giản thành phần giống đó để có biểu thức đơn giản a x 10 + b = a + b + a x b a x 10 = a + a x b (cùng bớt b) a x 10 = a x (1 + b) (Một số nhân với tổng) 10 = + b (cùng chia cho a) Bước 3: Tìm giá trị : b = 10 - b=9 Bước : (Thử lại, kết luận, đáp số) Vậy chữ số hàng đơn vị số đó là: Đáp số: 1.2 Phân tích làm rõ số ab = a + b abc = a 00 + b + c abcd = a00 + b00 + c + d = ab 00 + cd Ví dụ : Tìm số có chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái số đó thì ta số lớn gấp 31 lần số cần tìm Bài giải Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 0) Khi viết thêm số 21 vào bên trái số ab ta số là 21 ab Theo bài ta có: 21 ab = 31 x ab Bước 2: 2100 + ab = 31 x ab (phân tích số 21 ab = 2100 + ab ) 2100 + ab = (30 + 1) x ab 2100 + ab = 30 x ab + ab (một số nhân tổng) 2100 = ab x 30 (cùng bớt ab ) Bước 3: ab = 2100 : 30 ab = 70 Bước 4: Thử lại 2170 : 70 = 31 (đúng) Vậy số phải tìm là: 70 Đáp số: 70 2.2.Ví dụ: Tìm số có chữ số, biết số đó gấp lần chữ số hàng đơn vị nó Bài giải Cách 1: Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10) Theo đề bài ta có: ab = x b Bước 2: Sử dụng tính chất chẵn lẻ chữ số tận cùng Vì x b là số chẵn nên ab là số chẵn b > nên b = 2, 4, Bước 3: Tìm giá trị phương pháp thử chọn Nếu b = thì ab = x = 12 (chọn) Nếu b = thì ab = x = 24 (chọn) Nếu b = thì ab = x = 36 (chọn) Nếu b = thì ab = x = 48 (chọn) Bước 4: Vậy ta số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48 Đáp số: 12, 24, 36, 48 Cách 2: Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10) Theo đề bài ta có: ab = x b Bước 2: Xét chữ số tận cùng Vì x b có tận cùng là b nên b có thể là: 2, 4, Bước 3: Tìm giá trị phương pháp thử chọn Nếu b = thì ab = x = 12 (chọn) Nếu b = thì ab = x = 24 (chọn) Nếu b = thì ab = x = 36 (chọn) Nếu b = thì ab = x = 48 (chọn) Bước 4: Vậy ta số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48 Đáp số: 12, 24, 36, 48 II Một số dạng toán điển hình : Dạng 1: Viết số TN từ chữ số cho trước Bài : Cho bốn chữ số : 0; 3; và a) Viết tất bao nhiêu số có chữ số khác từ chữ số đã cho ? b) Tìm số lớn nhất, số nhỏ có chữ số khác viết từ chữ số đã cho? c) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ có chữ số khác viết từ chữ số đã cho ? Lời giải: Cách Chọn số làm chữ số hàng nghìn, ta có các số: 3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980 Vậy từ chữ số đã cho ta viết số có chữ số hàng nghìn thoả mãn điều kiện đầu bài Chữ số không thể đứng vị trí hàng nghìn Vậy số các số thoả mãn điều kiện đề bài là: = 18 ( số ) Cách 2: Lần lượt chọn các chữ số nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị sau: - Có cách chọn chữ số hàng nghìn số thoả mãn điều kiện đầu bài ( vì số không thể đứng vị trí hàng nghìn ) - Có cách chọn chữ số hàng trăm ( đó là chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn ) - Có cách chọn chữ số hàng chục ( đó là chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm còn lại ) - Có cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn , hàng trăm , hàng chục ) Vậy các số viết là: 3 = 18 ( số ) b) Số lớn có chữ số khác viết từ chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn ( chữ số đã cho ) Vậy chữ số hàng nghìn phải tìm Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn chữ số còn lại Vậy chữ số hàng trăm Chữ số hàng chục là số lớn hai chữ số còn lại Vậy chữ số hàng chục là Số phải tìm là 9830 Tương tự số bé thoả mãn điều kiện đầu bài là 3089 c) Tương tự số lẻ lớn thoả mãn điều kiện đầu bài là : 9803 Số chẵn nhỏ thoả mãn điều kiện đầu bài là : 3098 Dạng 2: Các bài toán giải phân tích số : Bài 1: Tìm số TN có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số đó ta số lớn gấp 13 lần số đã cho ? Lời giải: Gọi số phải tìm là ab Viết thêm chữ số vào bên trái ta số ab Theo bài ta có : 13 ab = ab 900 + ab = ab 13 900 = ab 13 - ab 900 = ab ( 13 – ) 900 = ab 12 ab = 900 : 12 ab = 75 Vậy số phải tìm là 75 Bài 2: Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị Lời giải: Gọi số phải tìm là abc Khi viết thêm chữ số vào bên phải ta số abc Theo bài ta có: abc = abc + 1112 abc + = abc + 1112 10 abc = abc + 1112 – 10 abc - abc = 1107 10 abc = 1107 ( 10 – ) abc = 1107 abc = 1107 : abc = 123 Vậy số phải tìm là 123 Dạng 3: Những bài toán xét các chữ số tận cùng số Một số kiến thức cần lưu ý: Chữ số tận cùng tổng chữ số tận cùng tổng các chữ số hàng đơn vị các số hạng tổng Chữ số tận cùng tích chữ số tận cùng tích các chữ số hàng đơn vị các thừa số tích Tổng + + + + có chữ số tận cùng Tích có chữ số tận cùng 5 Tích a a không thể có tận cùng 2; 3; Bài 1: Không làm tính, hãy cho biết chữ số tận cùng kết sau : a) ( 1991 + 1992 + + 1999 ) – ( 11 + 12 + .+ 19 ) b) ( 1981 + 1982 + + 1989 ) ( 1991 + 1992 + + 1999 ) c) 21 23 25 27 – 11 13 15 17 Lời giải : a) Chữ số tận cùng tổng : ( 1991 + 1992 + + 1999 ) và ( 11 + 12 + .+ 19 ) chữ số tận cùng tổng + + + + và Cho nên hiệu đó có tận cùng b) Tương tự phần a, tích đó có tận cùng c) Chữ số tạnn cùng tích 21 23 25 27 và 11 13 15 17 dều chữ số tận cùng tích và Cho nên hiệu trên có tận cùng Bài : Không làm tính, hãy xét xem kết sau đây đúng hay sai ? Giải thích ? a) 136 136 – 42 = 1960 ab - 8557 = b) ab Lời giải: a) Kết sai, vì tích 136 136 có tận cùng mà số trừ có tận cùng nên hiệu không thể có tận cùng b) Kết sai, vì tích số TN nhân với chính nó có tận cùng là các chữ số 0; 1; 4; 5; Các bài toán dãy số I Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Cách giải Trước hết cần xác định quy luật dãy số Những quy luật thường gặp là : + Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với số tự nhiên d + Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng trước nó nhân ( chia) với số TN q khác + Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) tổng hai hạng đứng trước nó + Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) tổng số hạng đứng trước nó cộng với số TN d cộng với số thứ tự số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự Vvv Bài Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau : a) 1; 3; 4; 7; 11; 18; b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; c) ; 3; 7; 12; d) 1; 2; 6; 24; Lời giải: a) Nhận xét : = + 1; = + 4; 11 = + 7; Từ đó rút quy luật dãy số đó là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) tổng hai số hạng đứng trước nó Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76; b) Tương tự phần a, ta tìm quy luật dãy số là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) tổng ba số hạng đứng trước nó Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136; c) Ta nhận xét : Số hạng thứ hai là : = + + Số hạng thứ ba là : = + + Số hạng thứ tư là : 12 = + + Từ đó rút quy luật dãy là: Mỗi số hạng ( Kể từ số hạng thứ hai ) tổng số hạng đứng trước nó cộng với và cộng với số TT số hạng Viết tiếp ba số hạng ta dãy số sau : ; 3; 7; 12;18; 25; 33; d) Ta nhận xét : Số hạng thứ hai là: = Số hạng thứ ba là : = Số hạng thứ tư là : 24 = Từ đó rút quy luật dãy số là : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) tích số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự số hạng Viết tiếp ba số hạng ta dãy số sau : 1; 2; 6; 24;120; 720; 5040; Bài : Tìm số hạng đầu tiên các dãy số sau : a) ; 17; 19; 21 b) : 64; 81; 100 Biết dãy có 10 số hạng Lời giải : a) Ta nhận xét : Số hạng thứ mười là 21 = 10 + Số hạng thứ chín là 19 = 9+1 Số hạng thứ tám là 17 = 8+1 Từ đó suy quy luật dãy số trên là : Mỗi số hạng dãy nhân với số thứ tự số hạng dãy cộng với Vậy số hạng đầu tiên dãy là: + = b) Tương tự trên ta rút quy luật dãy là : Mỗi số hạng dãy số thứ tự nhân với STT số hạng đó Vậy số hạng đầu tiên dãy là: 1 = II Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không Cách giải: - Xác định quy luật dãy - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không Bài 1: Hãy cho biết: a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90; 95; 100; hay không ? b) Số 1996 thuộc dãy 2;5;8;11; hay không ? c) Số nào các số 666; 1000; 9999 thuộc dãy 3; 6; 12; 24; hay không ? Giải thích ? Lời giải : a) Cả hai số 50 và 133 không thuộc dãy đã cho, vì : - Các số hạng dãy lớn 50 - Các số hạng đã cho chia hết cho mà 133 không chia hết cho b) Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì số hạng dãy chia cho dư mà 1996 chia cho thì dư c) Cả số 666; 1000 và 9999 không thuộc dãy đã cho, vì : - Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ hai) số hạng liền trước nhân với Cho nên các số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666 : = 333 là số lẻ - Các số hạng chia hết cho mà 1000 không chia hết cho - Các số hạng dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) chẵn mà 9999 là số lẻ III Tìm số số hạng dãy Cách giải: - Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây) Ta có công thức sau : Số các số hạng dãy = Số khoảng cách + - Đặc biệt, quy luật dãy là : Mỗi số hạng đứng sau số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì: Số các số hạng dãy = ( Số hạng LN – Số hạng BN ) :d + Bài1 Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68 a) Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng dãy số đó thì số hạng thứ 1996 là số mấy? Lời giải : a) Ta có : 14- 11= 3; 17 – 14 = 3; Vậy quy luật dãy số đó là số hạng đứng liền sau số hạng đứmg liền trước cộng với Số các số hạng dãy số đó là: ( 68 – 11 ) : + = 20 ( số hạng ) b) Ta nhận xét : Số hạng thứ hai : 14 = 11 + = 11 + ( 2-1 ) Số hạng thứ ba : 17 = 11 + = 11+ ( 3-1 ) Số hạng thứ hai : 20 = 11 +9 = 11 + ( 4-1 ) Vậy số hạng thứ 1996 là : 11 + ( 1996-1 ) = 5996 Đáp số : 20 số hạng và 59996 Bài Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4? Lời giải: Ta nhận xét : Số nhỏ có ba chữ số chia hết cho là 100 vàg số lớn có ba chữ số chia hết cho là 996 Như các số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng BN là 100, số hạng lớn là 996 và số hạng dãy ( kể từ số hạg thứ hai ) số hạng đứng kề trước cộng với Vậy số có ba chữ số chia hết cho là : ( 996 – 100 ) : = 225 ( số ) IV Tìm tổng các số hạng dãy số Cách giải: Nếu số hạng dãy số cách thì tổng dãy số đó là: ( SLN + SBN ) Số số hạng : Bài Tính tổng 50 số lẻ đầu tiên Lời giải: Dãy 100 số lẻ đầu tiên là : 1; 3; 5; ; 97; 99 Vậy ta phải tìm tổng sau: + + + + 97 + 99 Vậy tổng phải tìm là : ( 99 + ) 50 : = 2500 Bốn phép tính với số tự nhiên 5.1 Phép cộng A Kiến thức cần ghi nhớ a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) + a = a + ( a – n ) + ( b - n) = a + b – n x (a - n) + (b + n) = a + b (a + n ) + (b + n) = a + b + n x Nếu số hạng gấp lên n lần, đồng thời số hạng còn lại giữ nguyên thì tổng đó tăng lên đúng bằng(n -1) lần số hạng dược gấp lên đó Nếu số hạng giảm n lần, đồng thời số hạng còn lại giữ nguyên thì tổng đó bị giảm số đúng (1- ) số hạng bị giảm đó n 9.Trong tổng số lượng các số hạng là lẻ thì tổng đó là số lẻ 10 Trong tổng có số lượng các số hạng là chẵn thì tổng đó là số chẵn 11 Tổng số lẻ và số chẵn là số lẻ 12 Tổng các số chẵn là số chẵn 13 Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là số lẻ Bài 1: Tìm hai số có tổng 1149, biết giữ nguyên số lớn và gấp số bé lên lần thì ta tổng 2061 Bài giải Tæng míi h¬n tæng cò lµ: 2061- 1149 = 912 Số bé số bé cũ là: 3- = lần Sè bÐ lµ : 912 : (3-1) =456 Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693 5.2 PhÐp trõ a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu chúng không đổi Nếu số bị trừ gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng thêm số đúng (n -1) lần số bị trừ (n > 1) Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ gấp lên n lần thì hiệu bị giảm (n - 1) lần số trừ (n > 1) Nếu số bị trừ tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu giảm n đơn vị Bài 1: Tìm hai số có hiệu là 23, biết giữ nguyên số trừ và gấp số bị trừ lên lần thì hiệu là 353 Bài giải Hiệu SBT và cũ là: 353 – 23 = 330 Hiệu số phần là: 3-1 = phần Số bị trừ cũ là: 330 : = 165 Số trừ cũ là : 165- 23 = 142 5.3 Phép nhân a Kiến thức cần nhớ a ×b=b × a a ×(b × c)=(a ×b) × c , a ×0=0 × a=0 , a× 1=1 ×a=a , a ×(b+c )=a × b+a × c , a ×(b −c )=a × b −a × c 7.Trong tích thừa số gấp lên n lần đồng thời có thừa số khác giảm n lần thì tích không thay đổi Trong tích có thừa số gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích gấp lên n lần và ngược lại tích có thừa số bị giảm n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích bị giảm n lần.(n>0) Trong tích, thừa số gấp lên n lần, đồng thời thừa số gấp lên m lần thì tích gấp lên (m n)lần Ngược lại tích thừa số bị giảm m lần , thừa số bị giảm n lần thì tích giảm (m n)lần (m và n khác 0) 10 Trong tích thừa số tăng lên a đơn vị , các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích tăng lên a lần tích các thừa số còn lại 11 Trong tích có ít thừa số chẵn thì tích đó là chẵn 12 Trong tích, có ít thừa số tròn chục hược ít có thừa số tận cùng và có ít thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 13 Trong tích các thừa số là lẻ và có ít thừa số tận cùng thì tích có tận cùng là Bài 1: Tìm tích số, biết giữ nguyên thừa số thứ và tăng thừa số thứ lên lần thì tích là 8400 Bài giải Tích hai số là : 8400 : = 4200 ( Vì tích có thừa số gấp lên nlần và thừa số gữ nguyên thì thích đó gấp lên nlần và ngược lại.) 5.4 Phép CHIA a)Kiến thức cần ghi nhớ a : (b c) = a : b : c = a : c : b (b,c>0) : a = (a>0) a : b – a : c = (a – b) : c (c>0) a : c + b : c = (a + b) : c ( c>0) 5.Trong phép chia số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n>0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương tăng lên (giảm đi) n lần 6.Trong phép chia, tăng số chia lên n lần (n>0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm n lần và ngược lại Trong phép chia, số bị chia và số chia cùng gấp (giảm) nlần (n>0) thì thương không thay đổi Trong phép chia có dư, số bị chia và số chia cùng gấp(giảm) n lần (n>0) thì số dư gấp (giảm)đi n lần DẠNG TOÁN TRUNG BèNH CỘNG Muốn tìm trung bình cộng nhiều số ta lấy tổng chia cho số lượng các số hạng Muốn tìm tổng các số hạng ta lấy trung bình cộng nhân với số các số hạng Trong dãy số cách đều: - Nếu số lượng số hạng là lẻ thì số hạng dãy đó chính là số trung bình cộng các số hạng - Muốn tìm số trung bình cộng dãy số cách ta lấy giá trị cặp chia cho Trong các số, có số lớn mức trung bình cộng các số n đơn vị thì trung bình cộng các số đó tổng các số còn lại cộng với n đơn vị chia cho số lượng các số hạng còn lại đó VD: An có 20 viên bi, Bình có số bi số bi An Chi có số bi mức trung bình cộng ba bạn là viên bi Hỏi Chi có bao nhiêu viênn bi? Giải: Số bi Bình là: 20 = 10 (viên) Nếu Chi bù viên bi cho hai bạn chia thì số bi ba bạn và trung bình ba bạn Vậy trung bình cộng số bi ba bạn là: ( 20 + 10 + ) : = 18(viên) Số bi Chi là: 18 + = 24 (viên) Trong các số , số kém trung bình cộng các số đó n đơn vị thì trung bình cộng các số đó tổng các số còn lại trừ n đơn vị chia số các số hạng còn lại VD: An có 20 bi, Bình có 20 bi Chi có số bi kém trung bình cộng ba bạn là bi Hỏi Chi có bao nhiêu bi? Giải: Nếu An và Bình bù cho Chi viên bi chia thì số bi ba bạn và trung bình cộng ba bạn Vậy trung bình cộng số bi ba bạn là: ( 20 + 20 - ): = 17 (bi) Số bi Chi là: 17 - = 11 (bi) Bài toán có thêm số hạng để mức trung bình cộng tất tăng thêm n đơn vị, ta làm sau: B1: Tính tổng ban đầu B2: Tính trung bình cộng các số đã cho B3: Tính tổng = (trung bình cộng các số đã cho + n) số lượng các số hạng B4: Tìm số đó = tổng – tổng ban đầu VD: Một ô tô ba đầu, 40km, ba sau, 50 km Nếu muốn tăng trung bình cộng tăng thêm km thì đến thứ 7, ô tô đó cần bao nhiêu km nữa? Giải: Trong đầu, trung bình ô tô được: ( 40 + 50 Quãng đường ô tô là: ( 45 + ) = 322 ( km) Giờ thứ ô tô cần là: 322 – ( 40 ) = 52 ( km) + 50 3) : = 45 (km) Trong chương trình toán Tiểu học, chúng ta đã làm quen với số dạng toán điển hình Tuy nhiên thực tế chúng ta thường gặp số bài toán không dừng lại mức độ đơn giản mà người đề thường làm thay đổi số kiện để bài toán hay hơn, hấp dẫn Việc tìm hướng giải các bài toán dạng này nào, các bạn hãy tham khảo số ví dụ sau : Ví dụ : Tìm số có trung bình cộng lớn số thứ 540, bé số thứ hai là 1260 và gấp 31 lần số thứ ba Phân tích : Khác với các bài toán bản, bài toán này ta không thể xác định nó thuộc loại toán gì Bài toán cho mối quan hệ trung bình cộng (TBC) ba số với số Dựa vào điều kiện trung bình cộng gấp 31 lần số thứ ba ta biết tỉ số số trung bình cộng với số thứ ba Mặt khác từ điều kiện còn lại đầu bài, ta có thể tìm hiệu số trung bình cộng và số thứ ba đưa bài toán dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ số hai số Từ hướng phân tích ta có thể giải bài toán đó sau : Bài giải : Sơ đồ : Nhìn trên sơ đồ ta thấy trung bình cộng ba số lớn số thứ ba là : 260 - 540 = 720 Số thứ ba là : 720 : (31 - 1) = 24 Số trung bình cộng ba số là : 24 x 31 = 744 Số thứ hai là : 744 + 1260 = 2004 Số thứ là : 744 - 540 = 204 Ví dụ : Đội tuyển học sinh giỏi khối trường Tiểu học có 16 bạn Biết 2/5 số bạn nam nhiều 1/2 số bạn nữ là bạn Hỏi đội tuyển có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ ? Phân tích : Bài toán này cho biết tổng số học sinh và hiệu 2/5 số bạn nam với 1/2 số bạn nữ nên không thể coi là dạng toán tìm hai số biết tổng và hiệu Vì 2/5 số bạn nam nhiều 1/2 số bạn nữ là bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều số bạn nữ là : x = (bạn) Từ hướng phân tích này ta có thể đưa bài toán dạng tìm hai số biết tổng và tỉ hai số đó Bài giải : Vì 2/5 số bạn nam nhiều 1/2 số bạn nữ là bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều số bạn nữ là : x = (bạn), ta có sơ đồ : Nếu đội tuyển có thêm bạn nữ thì số bạn nữ 4/5 số bạn nam Khi đó số học sinh đội là : 16 + = 18 (bạn), ta có sơ đồ : Số bạn nam đội tuyển là : 18 : (4 + 5) x = 10 (bạn) Số bạn nữ đội tuyển là : 16 - 10 = (bạn) Ví dụ : Một trường Tiểu học có số học sinh nam nhiều số học sinh nữ là 40 học sinh Trong đó 3/4 số bạn nam và 1/2 số bạn nữ đạt danh hiệu học sinh tiên tiến Tính số học sinh nam và số học sinh nữ trường đó Biết số học sinh tiên tiến trường đó là 530 bạn Phân tích : Khi vừa đọc bài toán nhiều học sinh nghĩ đây là loại toán tìm hai số biết tổng và hiệu Tuy nhiên đầu bài không cho biết tổng số học sinh trường mà cho biết tổng số học sinh tiên tiến trường bao gồm 3/4 số bạn nam và 1/2 số bạn nữ Vì số học sinh nam nhiều số học sinh nữ là 40 học sinh nên 3/4 số bạn nam nhiều 3/4 số học sinh nữ là 30 học sinh Từ đó ta có thể đưa bài toán dạng tìm hai số biết tổng và tỉ Bài giải : Nếu coi số học sinh nữ toàn trường là phần thì 3/4 số học sinh nữ là phần, 3/4 số bạn nam (số học sinh nam đạt học sinh tiên tiến) là phần cộng thêm đoạn biểu thị 30 học sinh và số học sinh nữ đạt học sinh tiên tiến là phần, ta có sơ đồ sau : Số học sinh nữ đạt danh hiệu tiên tiến là : (530 - 30) : (2 + 3) x = 200 (học sinh) Số học sinh nữ trường là : 200 x = 400 (học sinh) Số học sinh nam trường là : 400 + 40 = 440 (học sinh) DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU A KiÕn thøc cÇn ghi nhí: Sè bÐ = (Tæng - hiÖu) : Sè lín = ( Tæng + hiÖu) :  Sè lín = Sè bÐ + hiÖu  Sè bÐ = Sè lín - hiÖu DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU SỐ Ví dụ: Bài toán: Để chuẩn bị cho năm học mới, hai bạn Vĩnh và Kim mua sắm sách Vĩnh mua 15 vở, Kim mua nhiều hơn Vĩnh cùng loại và phải trả nhiều Vĩnh 20.000 đồng Hỏi bạn phải trả bao nhiêu tiền mua vở? Phân tích: Ta có: Kim mua nhiều Vĩnh là hiệu số thứ Kim trả nhiều 20.000 đồng là hiệu số thứ hai Như vậy: Một hiệu số là số mua nhiều Một hiệu số là số tiền trả nhiều Mà: Muốn tìm số (hoặc phần số) ta lấy hiệu số có giá trị lớn chia cho hiệu số có giá trị nhỏ hơn, thương mang tên đại lượng số bị chia Vì Kim mua nhiều Vĩnh và phải trả nhiều Vĩnh 20.000 đồng, đó ta tính giá tiền là: 20.000 : = 4.000 (đồng) (20.000 là hiệu số có giá trị lớn hơn; là hiệu số có giá trị nhỏ hơn; đồng là tên đại lượng số bị chia) Bài giải Giá tiền là: 20.000 : = 4.000 (đồng) Số tiền bạn Vĩnh mua hết là: 4.000 x 15 = 60.000 (đồng) Số tiền bạn Kim mua hết là: 60.000 + 20.000 = 80.000 (đồng) CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT a)Kiến thức cần ghi nhớ Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, thì chia hết cho 2 Những số có tận cùng là và thì chia hết cho Các số có tiổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho Các số có tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho thì số đó chia hết cho Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25 Các số có chữ số tận sùng lập thành số chia hết cho thì số đó chia hết cho 8 Các số có chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì số đó chia hết cho 125 a chia hết cho m, b chia hết cho m(m > 0) thì tổng a+b và hiệu a – b ( a > b) chia hết cho m 10 Cho tổng có số hạng chia hết cho m dư r (m>0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng chia cho m dư r 11 a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì ( a – b ) chia hết cho m ( m > ) 12 Trong tích có thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m ( m > ) 13 Nếu a chia hết cho m đồng thời a chia hết cho n (m, n > ) Đồng thời m và n cùng chia hết cho thì a chia hết cho tích m n VD: 18 chia hết cho và 18 chia hết cho (2 và cùng chia hết cho 1) nên 18 chia hết cho tích 14 Nếu a chia cho m dư m - (m > 1) thì a + chia hết cho m 15 Nếu a chia cho m dư thì a - chia hết cho m ( m > ) a.Một số a chia hết cho số x (x ≠ 0) thì tích số a với số (hoặc với tổng, hiệu, tích, thương) nào đó chia hết cho số x b.Tổng hay hiệu số chia hết cho số thứ ba và hai số chia hết cho số thứ ba đó thỡ số cũn lại chia hết cho số thứ ba c.Hai số cựng chia hết cho số thứ thỡ tổng hay hiệu chỳng chia hết cho số đó d.Trong hai số, có số chia hết và số không chia hết cho số thứ ba đó thỡ tổng hay hiệu chúng khụng chia hết cho số thứ ba đó e Hai số cùng chia cho số thứ ba và cho cùng số dư thì hiệu chúng chia hết cho số thứ ba đó f Trong trường hợp tổng số chia hết cho x thi tổng hai số dư phải chia hết cho x b Viết câc số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết Bài : Với chữ số 2; 3; hãy lập các số có chữ số chia hết: a) Cho 2? b) Cho 5? Lời giải: a) Số chia hết cho phải là số chẵn Do đầu bài không yêu cầu các chữ số phải khác nhau, nên số lập là: 222; 232;252 322; 332; 352 522; 532; 552 b) Tương tự phần a, các số đó là: 225; 235; 255 325; 335; 355 525; 535; 555 c Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết Phương pháp giải : - Nếu số phải tìm chia hết cho thi trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng - Tiếp đó dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết còn lại số phải tìm để xác định các chữ số còn lại Bài : Thay x và y số a = 1996 xy để số chia hết cho 2; và Lời giải: - a chia hết cho 5, y phải - a chia hết cho2, y phải là chẵn Suy y= Số phải tìm có dạng a= 1996 x - a chia hết cho 9, ( 1+ + + + x ) chia hết cho hay ( 25 +x ) chi hết cho 9.Suy x = Số phải tìm là a = 199620 D.bài toán vận dụng tính chất chia hết tổng và hiệu Các tính chất thường dùng: - Nếu số hạng tổng chi hết cho thì tổng chúng chia hết cho - Nếu số bị trừ và số trừ chia hết cho thì hiệu chúng chia hết cho - Nếu số hạng chia hết cho và các số hạng còn lại không chia hết cho thì tổng chúng không chia hết cho - Nếu số bị trừ số trừ chia hết cho 2, số trừ số bị trừ không chia hết cho thì hiệu chúng không chia hết cho Cũng có tính chát tương tự trường hợp chia hết cho 3,4,5,9 Bài 1: Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu đây có chia hết cho hay không? a) 240 + 123 b) 240 – 123 c) 459 + 690 + 1236 d) 2454 + 374 Lời giải: Ta thấy 240 và 123 chia hết cho nên: a) 240 + 123 chia hết cho b) 240 – 123 chia hết cho c) 459, 690 và 1236 chia hết cho nên 459 + 690 + 1236 chia hết cho d) 2454 chia hết cho và 734 không chia hết cho nên 2454 + 374 không chia hết cho E.Các bài toán phép chia có dư Những tính chất cần lưu ý: Nếu a chia cho dư thì chữ số tận cùng a phải là 1, 3,5, Nếu a chia cho dư thì chữ số tận cùng a phải Tương tự, trường hợp dư thì chữ số tận cùng phải là 7; dư thì tận cùng là 8; dư tận cùng là Nếu a và b có cùng số dư chia cho thì hiệu chúng chia hết cho Tương tự, ta có trường hợp chia hết cho 3, 4, Bài 1: Cho a = x 459 y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để chia a cho 2, và dư Lời giải: Ta nhận xét: - a chia cho dư nên y phải - Mặt khác a chia cho dư nên y phải Số phải tìm có dạng a = x 4591 - x 4591 chia cho dư nên x + 4+5+9+1 = x+ 19 dư Vậy x phải chia hết cho vì 19 chia cho dư Suy x = Số phải tìm là 94591 G Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán có lời văn Bài 1: Cho tờ giấy Xé tờ thành mảnh Lờy số mảnh và xé mảnh thành mảnh nhỏ, sau đó lại lấy số mảnh xé thành mảnh nhỏ Khi ngừng xé theo quy luật trên ta đếm 1999 mảnh lớn nhỏ thảy Hỏi người đếm đúng hay sai ? Giải thích sao? Lời giải: Khi xé mảnh thành mảnh thì số mảnh tăng thêm là Lúc đầu có mảnh, sau đợt xé số mảnh tăng thêm chia hết cho nên tổng số mảnh lớn nhỏ sau đợt xé phải chia hết cho Số 1999 không chia hết cho nên người đã đếm sai Bài 2: Một cửa hàng rau có rổ đựng cam và chanh (trong rổ đựng loại quả) Số rổ là 104,115,132,136 và 148 Sau bán rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp lần số cam Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu loại? Lời giải: Tổng số cam và chanh cửa hàng là” 104+115+132+136+148 = 635(quả) Số chanh còn lại gấp lần số cam cho nên số chanh và số cam còn lại phải chia hết cho Tống số 635 chia hết cho 5, vì số cam đã bán phải chia hết cho Trong rổ cam và chanh cửa hàng có rổ đựng 115 là chia hết cho 5, cửa hàng đã bán rổ đựng 115 cam Số cam còn lại số chưa bán Mặt khác: ( 104+132+136+148): = 104 (quả) Trong rổ còn lại có rổ đựng 104 là có số số còn lại Vậy theo đầu bài 104 là rổ cam và rổ đựng 132,136,148 là các rổ chanh Số cam cửa hàng có là: 104+115 = 219(quả) Số chanh cửa hàng có là: 635-219 = 416(quả) 10 CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC -Nếu tăng chiều dài hình chữ nhật lên a đơn vị thì chu vi tăng lên a x đợn vị ( Vì có chiều dài) -Nếu tăng chiều rộng hình chữ nhật lên a đơn vị thì chu vi tăng lên a x đợn vị ( Vì có chiều rộng) -Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật lên a đơn vị thì chu vi giảm lên a x đợn vị ( Vì có chiều dài) -Nếu giảm chiều rộng hình chữ nhật lên a đơn vị thì chu vi giảm lên a x đợn vị ( Vì có chiều rộng) -Nếu gấp chiều hình chữ nhật lên bao nhiêu lần thì diện tích tăng lên nhiêu lần -Nếu giảm chiều hình chữ nhật bao nhiêu lần thì diện tích giảm nhiêu lần -Nếu tăng hay giảm hai chiều thì diện tích tăng hay giảm tích hai số lần đó -Trong hình vuông tăng cạnh lên a đơn vị thì chu vi tăng x a đơn vị -Trong hình vuông cạnh tăng lên a lần thì diện tích tăng lên a x a lần A B D C Nhận Xét : Mỗi cạnh bên là cạnh chung hai hình chữ nhật cạnh Vậy tổng chu vi hình chữ nhật 1;2;3;4;5 chu vi hình chữ nhật ABCD chính là x = (AD) Trong hình chữ nhật biết diện tích và tỉ số các cạnh ta chia hình chữ nhật thành các hình vuông nhỏ sau đó tính cạnh hình vuông nhỏ từ đó tìm chu vi hình chữ nhật 11/ Bảng đơn vị đo Bảng đơn vị đo thời gian = 60 phút; phút = 60 giây; ngày = 24 giờ; tuần = ngày; tháng có 30 31 ngày ( tháng có 28 29 ngày) năm thường có 365 ngày năm nhuận có 366 ngày ( năm có năm nhuận) quý có tháng; năm có quý thập kỉ = 10 năm; kỉ = 100 năm; thiên niên kỉ = 1000 năm Bảng đơn vị đo khối lượng Tấn Tạ yến = 10 tạ; tạ = 10 yến; = 100kg; tạ = 100kg; 1 tạ = 10 tấn; kg hg( lạng) dag g yến = 10kg; 1kg = 10hg; 1hg = 10dag; yến = 100hg kg = 100dag; 1 yến = 10 tạ; 1kg = 10 yến; 1dag = 10g Bảng đơn vị đo độ dài km hm km= 10 hm; 1m = 10dm; 1 hm = 10 km; dam m hm = 10 dam; 1dm = 10cm; 1 dam = 10 hm; dm cm dam= 10m; 1cm = 10mm 1m = 10 dam; mm Bảng đơn vị đo diện tích km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1km2 = 100 hm2; hm2 = 100 dam2 ; 1dam2 = 100m2 ; 1m2 = 100dm2; 1dm2 = 100cm2 ; 1cm2 = 100 mm2 1 1 1 m2 = 100 dam2 = 10000 hm2; 1dm2 = 100 m2 ; cm2 = 100 dm2 = 10000 m2 12 CÁC DẠNG TOÁN LIấN QUAN éẾN CHUYỂN TỪ A SANG B ; B SANG C; C SANG 13.CÁC DẠNG TOÁN KHỬ B Giải bài toán phương pháp khử: Kiến thức bổ sung: Trong bài toán có thể có nhiều đại lượng, đại lượng có nhiều giá trị Nếu để nguyên thì khó giải có nhiều đại lượng và giá trị quá Vì ta cần phải nghĩ cách để rút bớt dần các đại lượng bài toán đơn giản hơn, dễ giải Thủ thuật giải bài toán theo kiểu này gọi là thủ thuật khử bớt các đại lượng hay gọi tắt là thủ thuật khử Một cách khử hay gặp là làm cho hai giá trị đại lượng nào đó trở nên giống khử Ví dụ: Bài toán: Một vườn ươm bán cây, lần thứ bán 10 cây phượng và cây xà cừ tất 64.000 đồng Lần thứ hai bán cây phượng và cây xà cừ tất 52.000 đồng Tính giá tiền cây phượng, cây xà cừ? Bài giải Ta có: 10 cây phượng + cây xà cừ = 64.000 đồng cây phượng + cây xà cừ = 52.000 đồng Ta thấy, hai lần bán, số cây xà là nên cây phượng có giá là: 64.000 – 52.000 = 12.000 (đồng) (bước này ta đã khử đại lương là cây xà cừ) Vậy: Giá tiền cây phượng là: 12.000 : = 4.000 (đồng) Mua 10 cây phượng hết số tiền là: 4.000 x 10 = 40.000 (đồng) Mua cây xà cừ hết số tiền là: 64.000 – 40.000 = 24.000 (đồng) Giá tiền cây xà cừ là: 24.000 : = 3.000 (đồng) Đáp số: Phượng: 4.000 đồng Xà cừ: 3.000 đồng 14 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH TUỔI *Dạng 1: Cách giải bài toán tính tuổi tiểu học theo hiệu số phần Trong nhiều loại toán, người ta thường để ý đến đại lượng không thay đổi Đối với bài toán tính tuổi thì đại lượng đó chính là hiệu số tuổi hai người Dựa vào đại lượng này ta có thể giải nhiều bài toán tính tuổi Bài toán : Hiện nay, tuổi bố gấp lần tuổi Sau 10 năm nữa, tuổi bố gấp lần tuổi Tính tuổi người Phân tích : Bài toán yêu cầu tính số tuổi hai bố cho biết : – Tỉ số tuổi hai bố hai thời điểm khác – Khoảng cách thời gian hai thời điểm đó Nhưng ta có thể dễ dàng phát điều kiện bài toán, đó là “hiệu số tuổi hai bố là không đổi” Từ đó ta có thể giải bài toán sau Giải : Hiện nay, tuổi là phần thì tuổi bố là phần Ta có sơ đồ thứ : ? Tuổi : |——-| ? Tuổi bố : |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-| Hiệu số tuổi hai bố là : – = (phần) Hiện tỉ số tuổi và hiệu số tuổi hai bố là : = 1/6 Sau 10 năm nữa, tuổi là phần thì tuổi bố là phần (mỗi phần bây có giá trị khác phần trên) Ta có sơ đồ thứ hai : ? Tuổi : |——-| ? Tuổi bố : |——-|——-|——-| Sau 10 năm hiệu số tuổi hai bố là : – = (phần) Sau 10 năm tỉ số tuổi và hiệu số tuổi hai bố là : = 1/2 Vì hiệu số tuổi hai bố không thay đổi nên ta có thể so sánh tỉ số tuổi và tuổi sau 10 năm – Tuổi 1/6 hiệu số tuổi hai bố – Tuổi sau 10 năm 1/2 hay 3/6 hiệu số tuổi hai bố Vậy tuổi sau 10 năm gấp lần tuổi Ta có sơ đồ tuổi hai thời điểm : ? Hiện : |——-| 10 Sau 10 năm: |——-|——-|——-| Tuổi là : 10 : = (tuổi) Tuổi bố là : x = 35 (tuổi) Đáp số : Con : tuổi ; Bố : 35 tuổi Bài toán : Trước đây năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Sau năm nữa, tỉ số tuổi và tuổi mẹ là 3/8 Tính tuổi người Phân tích : Bài toán này đặt ba thời điểm khác (Trước đây năm, và sau đây năm) Nhưng chúng ta cần khai thác bài toán hai thời điểm : Trước đây năm và sau đây năm Ta phải tính khoảng cách thời gian hai thời điểm này Bài toán này có thể giải tương tự bài toán Giải : Trước đây năm tuổi là phần thì tuổi mẹ là phần Hiệu số tuổi hai mẹ là : – = (phần) Vậy tỉ số tuổi và hiệu số tuổi hai mẹ là : = 1/5 Sau năm nữa, tuổi chia thành phần thì tuổi mẹ có phần Hiệu số tuổi hai mẹ là : – = (phần) Vậy sau năm tỉ số tuổi và hiệu số tuổi hai mẹ là : = 3/5 Vì hiệu số tuổi hai mẹ là không thay đổi nên ta có thể so sánh tuổi trước đây năm và tuổi sau đây năm Ta có tuổi sau năm gấp lần tuổi trước đây năm và tuổi sau năm tuổi trước đây năm là : + = (tuổi) Ta có sơ đồ tuổi hai thời điểm : ? Trước đây năm : |——-| Sau đây năm: |——-|——-|——-| Tuổi trước đây năm là : : (3 – 1) = (tuổi) Tuổi mẹ trước đây năm là : x = 24 (tuổi) Tuổi là : + = (tuổi) Tuổi mẹ là : 24 + = 28 (tuổi) Đáp số : Con : tuổi ; Mẹ : 28 tuổi Chú ý : Để vận dụng tốt thủ thuật giải toán này, các em cần nắm vững kiến thức tỉ số và đại lượng không đổi bài toán tính tuổi Các em có thể giải nhiều bài toán khó dạng toán tính tuổi thủ thuật này Hãy thử sức mình với các bài toán sau *Dạng 2: Tổng số tuổi Bố và Mẹ là 74 tuổi Tổng số tuổi mẹ và An là 43 Tổng số tuổi Bố và An là 49 Hỏi tính tuổi người bài này giải theo cách lớp thì dùng sơ đồ để nói thì cháu dễ hiểu có thể làm sau " bố và mẹ : 74 mẹ và an : 43 ( tổng = 74 +43+49 ) bố và an : 49 nhìn vào sơ đồ ta có : lần số tuổi bố , mẹ và an cộng lại 74+43+49=166 tổng số tuổi bố , mẹ , an = 166:2=83 tuổi an là :83-74=9 tuổi bố an : 83-43=40 tuổi mẹ an : 83-49=34 *Dạng 3: Tổng số tuổi Bố và Mẹ là 74 tuổi Tổng số tuổi mẹ và An là 43 Tổng số tuổi Bố và An là 49 Hỏi tính tuổi người cách : em đã học bài toán tổng hiệu , chương trình thường thì lên lớp học tổng -hiệu giải theo tổng hiệu thì làm sau bố và me =74 mẹ và an =43 suy hiệu số tuổi bố và an là 74-43=31 mà tổng số tuổi bố và an là 49 suy tuổi an là (49-31):2 = bố an : (49+31):2=40 mẹ an =43-9=34 *Dạng 4: Tổng số tuổi Bố và Mẹ là 74 tuổi Tổng số tuổi mẹ và An là 43 Tổng số tuổi Bố và An là 49 Hỏi tính tuổi người Tuổi bố + tuổi An = 49 Tuổi mẹ + tuổi An = 43 Công lại ta có: (Tuổi bố+ tuổi mẹ) + lần tuổi An= 49+43 hai lần tuổi An = 49+43-74=18 tuổi An 18:2=9 tuổi bố: 49-9=40 tuổi mẹ= 43-9=34 B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HỖ TRỢ SUY LUẬN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH TUỔI SUY LUẬN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG Trong bài toán, có nhiều đại lượng chưa biết Các đại lượng chưa biết này biểu thị các đoạn thẳng, mối quan hệ các đại lượng bài thể cách trực quan, nhờ đó mà học sinh dễ dàng giải bài toán Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, học sinh có thể giải nhiều dạng bài toán tuổi sau: Dạng 1: Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi hai người Dạng 2: Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi hai người Dạng 3: Cho biết tổng và hiệu số tuổi hai người Dạng 4: Cho biết tỉ số tuổi hai người hai thời điểm khác Dạng 5: Cho tỉ số tuổi hai người thời điểm khác *Dạng 1: Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi hai người: Cách giải: - Dùng sơ đồ doạn thẳng để biểu diễn tổng và tỉ số tuổi người thời điểm đã cho - Tổng số tuổi hai người biểu thị tổng số phần trên sơ đồ đoạn thẳng - Tìm số tuổi ứng với phần trên sơ đồ - Tìm sơ đồ người Ví dụ1: Hiện tổng số tuổi hai bố là 45 tuổi Tuổi bố gấp lần tuổi Tính số tuổi người? Bài giải : Ta có sơ đồ: Tuổi con: 45 tuổi Tuổi bố: Tuổi là : 45 : (4 + 1) x 1= (tuổi ) Tuổi bố là: x = 36 (tuổi ) (hoặc 45 – = 36 tuổi ) Đáp số : Bố :36 tuổi Con :9 tuổi Ví dụ2 : Tổng tuổi hai chú cháu là 56 tuổi Tuổi cháu tuổi chú Tìm tuổi người? Bài giải : Ta có sơ đồ Tuổi chú: Tuổi cháu: 56 tuổi Tổng số phần là: + = ( phần ) Tuổi cháu là 56 : x = 16 (tuổi ) Tuổi chú là: 56 – 16 = 40 (tuổi ) Đáp số: Chú : 40 tuổi Cháu : 16 tuổi Ví dụ :Tổng tuổi hai cha cách đây năm là 57 tuổi Hiện tuổi cha gấp 2,5 tuổi Tính tuổi người ? Bài giải : Vì năm người tăng thêm tuổi, nên tổng số tuổi hai cha là: 57 + + = 63 ( tuổi ) 25 Ta thấy: 2,5 = = 10 Ta có sơ đồ: Tuổi cha: 63 tuổi Tuổi con: Tuổi là : 63 : (5 + 2) x = 18 (tuổi ) Tuổi bố là: 63 - 18 = 45 tuổi ) Đáp số: Bố: 45 tuổi; Con: 18 tuổi *Dạng 2: Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi hai người Cách giải: - Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn hiệu và tỉ số tuổi người thời điểm đã cho - Hiệu số tuổi hai người ứng với số phần trên sơ đồ đoạn thẳng - Tìm số tuổi ứng với phần trên sơ đồ - Tìm số tuổi người Ví dụ 4: Năm mẹ 30 tuổi, tuổi mẹ gấp lần tuổi Tìm số tuổi người? Bài giải : Ta có sơ đồ: Tuổi con: 30 tuổi Tuổi mẹ: Tuổi là : 30 : (4 - 1) x = 10 (tuổi ) Tuổi mẹ là: 10 x = 40 (tuổi ) (hoặc 10 + 30 = 40 tuổi ) Đáp số: Mẹ: 40 tuổi; Con: 10 tuổi Ví dụ 5: Hiện nay, anh em tuổi Cách đây năm tuổi em tuổi anh Tính tuổi người nay? Bài giải : - Vì năm người tăng thêm tuổi nên hiệu số tuổi không thay đổi Ta có sơ đồ tuổi hai anh em cách đây năm: Tuổi anh: tuổi Tuổi em: Giá trị phần là; : ( - 3) = (tuổi ) Tuổi em là : x + = 12 (tuổi ) Tuổi anh là: 12 + = 18 tuổi ) Đáp số : Anh :18 tuổi Em: 12 tuổi Ví dụ 6: Tuổi ông gấp 3,5 lần tuổi cháu Tuổi ông tuổi cháu 50 tuổi Tính tuổi người Bài giải : 35 Ta thấy: 3,5 = = 10 Ta có sơ đồ: 50 tuổi Tuổi ông: Tuổi cháu: Tuổi cháu là : 50 : (7 – 2) x = 20 (tuổi ) Tuổi ông : 20 + 50 = 70 tuổi Đáp số: Ông: 70 tuổi Cháu: 20 tuổi *Dạng 3: Cho biết tổng và hiệu số tuổi hai người Ví dụ 7: Hiện tổng số tuổi hai mẹ là 47 tuổi Tuổi mẹ tuổi là 25 tuổi Tính tuổi người? Bài giải: Ta có sơ đồ: Tuổi con: 25 tuổi 47 tuổi Tuổi mẹ: Tuổi là: (47 – 25 ) : = 11 (tuổi ) Tuổi mẹ là: 11 + 25 = 36 (tuổi ) Đáp số : Con: 11 tuổi; Mẹ: 36 tuổi Ví dụ 8: Sau đây năm tổng tuổi hai dì cháu 60 tuổi Hiện nay, tuổi dì tuổi cháu là 20 tuổi Tính tuổi người ? Bài giải: Vì năm người tăng thêm tuổi nên tổng số tuổi dì cháulà: 60 - - = 50 (tuổi ) Ta có sơ đồ: Tuổi cháu: 20 tuổi Tuổi dì: 50 tuổi Tuổi cháu là : (50 –20 ): = 15 (tuổi ) Tuổi dì là : 15 + 20 = 35 (tuổi ) Đáp số: Cháu: 15 tuổi Dì: 35 tuổi *Dạng 4: Cho biết tỉ số tuổi hai người hai thời điểm khác Ví dụ 9: Hiện tuổi cha gấp lần tuổi Trước đây tuổi cha gấp 13 lần tuổi Tính tuổi cha và nay? Bài giải: - Vì tuổi cha gấp lần tuổi nên hiệu số tuổi cha hiên là lần tuổi - Vì trước đây năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi nên hiệu số tuổi cha trước đây năm là 12 lần tuổi đó - Mỗi năm người tăng tuổi Vì vậy, theo thời gian, hiệu số tuổi cha không thay đổi Ta có: lần tuổi = 12 lần tuổi trước đây Tuổi = lần tuổi trước đây Ta có sơ đồ tuổi con: Trước đây: Hiện nay: tuổi Tuổi trước đây là : (4 – 1) x = (tuổi) Tuổi là: + = (tuổi) Tuổi cha là : x = 32 (tuổi) Đáp số: Con: tuổi; Cha: 32 tuổi Ví dụ 10: Hiện nay, anh 18 tuổi Trước đây tuổi anh tuổi em thì hồi đó anh gấp đôi tuổi em Tính tuổi em nay? Bài giải: Mỗi năm người tăng tuổi Vì vậy, theo thời gian, số tuổi anh em không thay đổi Ta có sơ đồ: Tuổi em trước đây: Tuổi anh trước đây: Hiệu Tuổi em nay: Hiệu Tuổi anh nay: 18 tuổi Nhìn vào sơ đồ, ta thấy: Giá trị phần là: 18 : = (tuổi) Hiện nay, em có số tuổi là: x = 12 (tuổi) Đáp số : 12 tuổi Ví dụ 11: Năm tuổi cha cộng lại 36 Đến tuổi tuổi cha thì tuổi tuổi cha lúc đó Tìm tuổi cha Bài giải: Nếu coi tuổi sau này là phần thì tuổi cha sau này là phần Khi đó hiệu số tuổi cha là – = (phần) Vì tuổi cha tuổi sau này nên tuổi cha chiếm phần mà hiệu số tuổi cha không thay đổi theo thời gian (hiệu là phần) nên số phần tuổi là – = 1(phần) Do đó số phần tuổi cha là: + = (phần) Ta có sơ đồ: Tuổi nay: Tuổi cha nay: Tuổi sau này: Hiệu 36 tuổi Hiệu Tuổi cha sau này: Vậy tuổi là: 36 : = (tuổi) Tuổi cha là: 36 – = 30 (tuổi) Đáp số: Con: tuổi Bố: 30 tuổi Ví dụ 12: Năm nay, tuổi bố gấp 2,2 lần tuổi Hai mươi lăm năm trước, tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi Hỏi tuổi bố gấp lần tuổi thì bao nhiêu tuổi? Bài giải: Tuổi bố tuổi số lần là: 2,2 – = 1,2 (lần tuổi nay) Tuổi bố cách đây 25 năm tuổi số lần là: 8,2 – = 7,2 (lần tuổi lúc đó) Mỗi năm người tăng tuổi Vì vậy, theo thời gian, số tuổi bố không thay đổi Vậy ta suy ra: 1,2 lần tuổi = 7,2 lần tuổi lúc đó Tuổi gấp tuổi 25 năm trước số lần là: 7,2 : 1,2 = (lần) Ta có sơ đồ: Trước đây: 25 tuổi Hiện nay: Tuổi là: 25 : (6 – 1) x = 30 (tuổi) Tuổi bố là : 30 x 2,2 = 66 (tuổi) Hiệu số tuổi bố là: 66 – 30 = 36 (tuổi) Ta có hiệu số tuổi bố tuổ bố gấp lần tuổi là lần tuổi đó Do đó lần tuổi sau này = 36 tuổi Vậy tuổi đó là: 36 : = 18 (tuổi) Đáp số: 18 tuổi Ví dụ 13: Trước đây năm tuổi hai chú cháu cộng lại 24 tuổi Hỏi sau năm thì tuổi chú gấp lần tuổi cháu Biết năm trước tuổi cháu có bao nhiêu ngày thì tuổi chú có nhiêu tuần Bài giải: Hai năm trước tuổi cháu có bao nhiêu ngày thì tuổi chú có bao nhiêu tuần, lúc đó coi tuổi cháu phần thì tuổi chú phần Ta có sơ đồ: Ta có sơ đồ: Tuổi chú và tuổi cháu lúc đó: Tuổi chú: 24 tuổi Tuổi cháu: Tuổi cháu trước đây năm là: 24 : (1 + 7) = (tuổi) Tuổi chú trước đây năm là: 24 - = 21 (tuổi) Hiệu số tuổi hai chú cháu là: 21 - = 18 (tuổi) Vì năm người tăng thêm tuổi nên hiệu số tuổi hai chú cháu không thay đổi Ta có sơ đồ lúc tuổi chú gấp lần tuổi cháu: Tuổi cháu: Tuổi chú: 18 tuổi Tuổi cháu lúc đó là: 18 : Số năm để tuổi chú gấp lần tuổi cháu là: Đáp số: năm (3 - 1) x = (tuổi) - (3 + 2) = (năm) * Dạng 5: Cho tỉ số tuổi hai người thời điểm khác H Trước đây: Tuổi em: Hiệu Ví dụ 14: Tuổi em gấp hai lần tuổi em anh tuổi em Khi tuổi em tuổi anh thì hai lần tuổi em tuổi anh lúc đó là 12 tuổi Tính tuổi người? Bài giải: Vì năm người thêm tuổi nên hiệu số tuổi hai người luôn không thay đổi theo thời gian Ta có sơ đồ: Tuổi em: Tuổi anh: u Sau này: 12 tuổi Tuổi em: Tuổi anh: Hiệu Hiện nay: Giá trị phần là: 12 : (3 x - 4) = (tuổi) Tuổi em là: x = 12 (tuổi) Tuổi anh là: x = 18 (tuổi) Ví dụ 15: Tuổi em tôi lần tuổi nó tuổi anh tôi tuổi em tôi Đến tuổi em tôi tuổi anh tôi thì tổng số tuổi hai anh em là 51 Hỏi em tôi, anh tôi bao nhiêu tuổi? Bài giải: Vì năm người thêm tuổi nên hiệu số tuổi hai người luôn không thay đổi theo thời gian Ta có sơ đồ: Trước đây: Hiện nay: Sau này: Tuổi em: Tuổi anh: Tuổi em: Tuổi anh: Tuổi em: Tuổi anh: Hiệu Hiệu Hiệu 51 tuổi Giá trị phần là: 51 : (7 + 10) = (tuổi) Tuổi em là: x = 12 (tuổi) Tuổi anh là: x = 21 (tuổi) Đáp số: Em: 12 tuổi Anh: 21 tuổi Như vậy, đa số các bài toán tính tuổi, người ta thường dùng phương pháp chia tỉ lệ để giải Trong đó, dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị mối quan hệ các đại lượng thời điểm Tuy nhiên có bài toán tính tuổi có thể dùng các phương pháp hỗ trợ suy luận khác để tìm lời giải đơn giản, dễ sử dụng giáo viên và học sinh Mặt khác, có bài toán tính tuổi khó không thể biểu thị sơ đồ đoạn thẳng Vì vậy, hướng dẫn học sinh giải các bài toán tính tuổi, chúng tôi còn sử dụng số phương pháp hỗ trợ suy luận sau: PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH GIẢ THIẾT TẠM Khi gặp bài toán có mối liên quan và số liệu tương đối phức tạp thì người ta có thể nghĩ tới hướng giải theo các bước sau: Tưởng tượng tình bài toán có số đặc điểm giống bài toán đã cho, song mối quan hệ thì đơn giản hơn, các số liệu dễ tính toán hơn, quen thuộc hơn; đó giúp học sinh nhớ và dễ dàng việc giải dạng bài đó Giải tình bài toán đơn giản mà ta tưởng tượng Từ đây suy luận tìm đáp số bài toán đã cho Ví dụ 1: Hiện mẹ 30 tuổi, gái tuổi, trai tuổi Hỏi sau đây bao nhiêu năm thì tuổi mẹ: a) Bằng tổng số tuổi hai con? b) Gấp đôi tổng số tuổi hai con? Bài giải: a Tổng số tuổi hai là: + = (tuổi) Hiện nay, hiệu số tuổi mẹ và tổng số tuổi hai là: 30 - = 21 (tuổi) Cứ sau năm thì mẹ tăng tuổi hai tăng tuổi nên hiệu số tuổi mẹ và tổng số tuổi hai giảm tuổi Vậy tuổi mẹ tổng số tuổi hai sau số năm là: 21 : = 21 (năm) b Giả sử người cha gia đình 30 tuổi Thế thì hiệu số tuổi cha lẫn mẹ và tuổi hai là : ( 30 + 30 ) - = 51 (tuổi) Cứ sau năm thì cha lẫn mẹ tăng tuổi và hai tăng tuổi Nên hiệu trên không thay đổi Đến tuổi mẹ gấp đôi tuổi hai thì tuổi cha và mẹ gấp lần tuổi hai Ta có sơ đồ: Tuổi hai con: Vậy tuổi hai là: 51 tuổi Tuổi cha và mẹ: mêmj: 51 : ( - ) = 17 (tuổi) Số năm để tuổi mẹ gấp đôi tổng tuổi hai là : (17 - 9) : = (năm) Đáp số : a 21 năm b năm Ở câu( b) ví dụ ta thấy giả thiết tạm là việc tưởng tượng “thêm nhân vật không có đề toán là người cha 30 tuổi mẹ” Việc tưởng tượng này cho phép tạo hiệu số không thay đổi bài toán là “hiệu tuổi cha ,tuổi mẹ và tuổi hai con” Hiệu số tuổi không thay đổi này đóng vai trò quan trọng cách giải Nếu không tưởng tượng thêm “nhân vật cha” thì hiệu số tuổi mẹ và tuổi hai thay đổi theo thời gian, đó ta không đưa bài toán trở dạng: “Tìm hai số biết hiệu số và tỉ số hai số đó” Ví dụ 2: Hiện nay, ông 60 tuổi, Tý 10 tuổi, Tèo tuổi, Tún tuổi Hỏi sau bao đây bao nhiêu năm thì tuổi ông: a) Bằng tổng số tuổi ba cháu? b) Gấp đôi tổng số tuổi ba cháu? Bài giải: a Tổng số tuổi ba cháu là: 10 + + = 20 (tuổi) Hiện nay, hiệu số tuổi ông và tổng số tuổi ba cháu là: 60 - 20 = 40 (tuổi) Cứ sau năm thì ông tăng tuổi ba cháu tăng tuổi nên hiệu số tuổi ông và tổng số tuổi ba cháu giảm là: - = (tuổi) Vậy tuổi ông tổng số tuổi ba cháu sau số năm là: 40 : = 20 (năm) b Giả sử có ông tuổi ông Thế thì hiệu số tuổi ba ông và tuổi ba cháu là: (60 +60 + 60) - 20 = 160 (tuổi) Cứ sau năm thì ba ông tăng tuổi và ba cháu tăng tuổi Nên hiệu trên không thay đổi Đến tuổi ông gấp đôi tuổi ba cháu thì tuổi ba ông gấp lần tuổi ba cháu Ta có sơ đồ: Tuổi ba cháu: 160t Tuổi ba ông: Vậy tuổi ba cháu là: 160 : (6 - 1) = 32 (tuổi) Số năm để tuổi ông gấp đôi tổng tuổi ba cháu là : (32 - 20) : = (năm) Đáp số: a 20 năm b năm Ở câu( b) ví dụ ta thấy giả thiết tạm là việc tưởng tượng “thêm nhân vật không có đề toán là hai người ông khác 60 tuổi ông” Việc tưởng tượng này cho phép tạo hiệu số không thay đổi bài toán là “hiệu tuổi người ông và tuổi cháu” Hiệu số tuổi không thay đổi này đóng vai trò quan trọng cách giải Nếu không tưởng tượng thêm “hai nhân vật ông” thì hiệu số tuổi ông và tuổi cháu thay đổi theo thời gian, đó ta không đưa bài toán trở dạng “Tìm hai số biết hiệu số và tỉ số hai số đó” SUY LUẬN GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH THỬ GIÁ TRỊ SAI RỔI ĐIỀU CHỈNH CHO ĐÚNG Phương pháp này có thể sử dụng để giải các bài toán tính tuổi: - Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi hai người - Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi hai người - Cho tỉ số tuổi hai người thời điểm khác Đây có thể là cách giải toán cổ xưa mà loài người biết đến Và thực tế giải toán Tiểu học, cách giải toán này thường các em học sinh ứng dụng Ở đây muốn tìm số chưa biết người ta “gán đại” cho số giá trị cụ thể nào đó dựa vào giá trị mà tính toán lại theo các điều kiện đề toán Vì “gán đại ” giá trị thì chẳng mà gán trúng đáp số nên nào các kết tính toán không thể đúng với các điều kiện đề toán và có sai khác nào đó Sau đó ta lại phải tìm cách để điều chỉnh lại giá trị đã “gán đại” cho số phải tìm để loại trừ sai khác nói trên Giá trị điều chỉnh là đáp số bài toán Ví dụ 1: Tuổi ông cháu 66 năm Biết tuổi ông gồm bao nhiêu năm thì tuổi cháu gồm nhiêu tháng Hãy tính tuổi ông và tuổi cháu Giải: Giả sử tuổi ông là 12 năm thì tuổi cháu là 12 tháng (tức 1tuổi) Lúc đó ông cháu: 12 - = 11 (tuổi) Nhưng thực tế thì ông cháu 66 tuổi, tức là nhiều gấp : 66 : 11 = (lần) Do đó tuổi thực tế ông là: 12 x = 72 (tuổi) Còn tuổi cháu là: x = (tuổi) Đáp số: Ông : 72 tuổi Cháu: tuổi\ Ví dụ 2: Năm nay, anh 27 tuổi Biết năm mà tuổi anh tuổi em thì tuổi anh nửa tuổi anh đó Tính tuổi em Bài giải: Giả sử trước đây em tuổi thì tuổi anh là : x = (tuổi) Khoảng cách trước đây và là: - = (năm) Tuổi em là: + = (tuổi) Vậy tuổi anh là : + = (tuổi) So với đề toán thì tuổi anh giảm số lần là: 27 : = (lần) Vậy tuổi em là: x = 18 (tuổi) Đáp số: 18 tuổi Ví dụ (Ví dụ 15 1): Tuổi em tôi lần tuổi nó tuổi anh tôi tuổi em tôi Đến tuổi em tôi tuổi anh tôi thì tổng số tuổi hai anh em là 51 Hỏi em tôi, anh tôi bao nhiêu tuổi? Bài giải: Giả sử trước đây em tuổi thì em là : x = (tuổi) Thì đó chính là tuổi anh ba năm trước : - = (năm) Vậy tuổi anh là : + = (tuổi) Đến tuổi em tôi tuổi anh tôi (7 tuổi) thì tuổi anh lúc đó là : + = 10 (tuổi) Tổng số tuổi hai anh em lúc này là : + 10 = 17 (tuổi) So với đề toán thì tổng số tuổi hai người giảm số lần là: 51 : 17 = (lần) Vậy tuổi em là: x = 12 (tuổi) Số tuổi anh là: x = 21 (tuổi) Đáp số: Em : 12 tuổi Anh: 21 tuổi Ví dụ Tuổi cháu gấp lần tuổi cháu cô tuổi cháu Khi tuổi cháu tuổi cô thì tổng số tuổi hai cô cháu là 96 Tìm tuổi người Bài giải: Giả sử tuổi cháu trước đây là tuổi thì tuổi cháu x = (tuổi) Khoảng cách trước đây và là: - = (năm) Tuổi cô năm trước là tuổi Tuổi cô là : + = (tuổi ) Đến tuổi cháu tuổi cô (5 tuổi) thì tuổi cô là : + = (tuổi) Tổng số tuổi hai cô cháu lúc đó là: + = 12 (tuổi) So với đề toán thì tổng số tuổi hai người giảm số lần là: 96 : 12 = (lần) Vậy số tuổi cháu là : x = 24 (tuổi) Tuổi cô là : x = 40 (tuổi) Đáp số: Cháu: 24 tuổi Cô: 40 tuổi Ví dụ (Ví dụ 14.1): Tuổi em gấp hai lần tuổi em anh tuổi em Khi tuổi em tuổi anh thì lần tuổi em lớn tuổi anh lúc đó là 12 tuổi Tính tuổi người Giải: Giả sử tuổi em trước đây là tuổi thì tuổi em là: x = (tuổi) Khoảng cách trước đây và là: - = (năm) Tuổi anh năm trước là tuổi Tuổi anh là: + = (tuổi) Đến em tuổi anh (3 tuổi) thì tuổi anh là: + = (tuổi) Lúc này lần tuổi em tuổi anh là: x - = (tuổi) So với đề toán thì tổng số tuổi hai người giảm số lần là: 12 : = (lần) Tuổi em là: x = 12 (tuổi) Tuổi anh là: x = 18 (tuổi) SUY LUẬN BẰNG CÁCH QUY VỀ ĐƠN VỊ Cho tỉ số tuổi hai người thời điểm khác Trong nhiều bài toán, thường ta chưa tìm các đáp số nó mà có thể tính số giá trị đặc biệt nào đó Dựa vào giá trị này ta suy số phải tìm Một giá trị đặc biệt đó là giá trị tương ứng với đơn vị (hoặc phần nhau) đại lượng nào đó; chính thân đại lượng Nói cách khác có thể hiểu đơn vị đây là số giá trị đại lượng nào đó (thường là giá trị không đổi toàn các tình bài toán) Cách suy luận tính toán các giá trị khác bài toán dựa trên giá trị đặc biệt này gọi là giải toán cách quy đơn vị (rút đơn vị) Ví dụ (Ví dụ 9.1): Hiện tuổi cha gấp lần tuổi Trước đây tuổi cha gấp 13 lần tuổi Tính tuổi cha và nay? Giải: Vì năm người thêm tuổi nên hiệu số tuổi hai cha không thay đổi Hiện nay, tuổi cha gấp lần tuổi => tuổi tuổi cha Tuổi bằng: 1: (4 - 1) = (hiệu số tuổi hai cha con) Trước đây năm, tuổi cha gấp 13 lần tuổi => tuổi tuổi cha Tuổi trước đây năm : 1: (13 - 1) = Tuổi : - 12 (hiệu số tuổi hai cha con) (hiệu số tuổi hai cha con) Hiệu số tuổi hai cha là: 6: = 24 (tuổi) Tuổi là: 24 : (4 - 1) x = (tuổi) Tuổi cha nay: x = 32 (tuổi) Đáp số: Cha: 32 tuổi; Con: tuổi Ví dụ 2: Tuổi 0,4 tuổi mẹ Cách đây năm thì tuổi 0,25 tuổi mẹ Tính tuổi mẹ và Giải: Hiệu số tuổi mẹ và luôn không thay đổi Ta thấy tuổi bằng: 0,4 : (1- 0,4) = (hiệu tuổi mẹ và tuổi con) Tuổi trước đây năm bằng: 0,25 : ( - 0,25 ) = (hiệu tuổi mẹ và tuổi con) 1 Vậy năm chính là: = (hiệu tuổi mẹ và tuổi con) 3 Suy hiệu tuổi mẹ và tuổi là: 8: = 24 (tuổi) Tuổi là : 24 : ( 1- 0,4 ) x 0,4 = 16 (tuổi) Tuổi mẹ là : 16 + 24 = 40 (tuổi) Ví dụ (Ví dụ 12.1): Năm nay, tuổi bố gấp 2,2 lần tuổi Hai mươi lăm năm trước, tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi Hỏi tuổi bố gấp lần tuổi thì bao nhiêu tuổi? Giải: Hiệu số tuổi mẹ và luôn không thay đổi Ta thấy tuổi bằng: : ( 2,2 - ) = (hiệu tuổi bố và tuổi con) Tuổi trước đây 25 năm bằng: : ( 8,2 - ) = (hiệu tuổi bố và tuổi con) 36 5 25 Vậy 25 năm chính là: = (hiệu tuổi bố và tuổi con) 36 36 25 Suy hiệu tuổi bố và tuổi là: 25 : = 36 (tuổi) 36 Ta có sơ đồ tuổi bố gấp lần tuổi con: Vậy: năm chính là: 12 = 36 tuổi Tuổi bố: Khi tuổi bố gấp lần tuổi thì tuổi là: 36 : (3 - 1) x = 18 (tuổi) Đáp số: 18 tuổi SUY LUẬN BẰNG CÁCH DÙNG CHỮ THAY SỐ Phương pháp này có thể sử dụng để giải các bài toán tính tuổi: - Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi hai người - Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi hai người - Cho tỉ số tuổi hai người thời điểm khác - Cho tỉ số tuổi hai người thời điểm khác Ví dụ 1(Ví dụ 1.3): Tuổi ông cháu 66 năm Biết tuổi ông gồm bao nhiêu năm thì tuổi cháu gồm nhiêu tháng Hãy tính tuổi ông và tuổi cháu Bài giải: Vì năm có 12 tháng nên gọi y là tuổi cháu thì tuổi ông là y x 12 Theo bài toán ta có: y x 12 - y = 66 y x (12 - 1) = 66 y x 11 = 66 y = 66 : 11 y =6 Vậy tuổi cháu là tuổi Tuổi ông là: 66 + = 72 (tuổi) Đáp số: Ông : 72 tuổi Cháu: tuổi Ví dụ 2(Ví dụ 2.2): Hiện nay, ông 60 tuổi, Tý 10 tuổi, Tèo tuổi, Tún tuổi Hỏi sau bao đây bao nhiêu năm thì tuổi ông gấp đôi tổng số tuổi cháu? Bài giải: Gọi số năm để tuổi ông gấp đôi tổng tuổi cháu là a Lúc đó: Tuổi ông: 60 + a Tuổi Tý: 10 + a Tuổi Tèo: + a Tuổi Tún: + a Theo bài toán ta có: 60 + a = (10 + a + + a + + a) x 60 + a = (20 + a x 3) x2 60 + a = 40 + a x (nhân số với tổng) 20 = a x (cùng bớt a + 60) a = 20 : a=4 Vậy năm nữa, tuổi ông gấp lần tổng tuổi cháu Đáp số: năm Ví dụ (Ví dụ 1.4): Hiện tuổi cha gấp lần tuổi Trước đây tuổi cha gấp 13 lần tuổi Tính tuổi cha và nay? Bài giải: Gọi tuổi là y thì tuổi cha là y x Trước đây năm thì tuổi lúc đó là (y ) thì tuổi cha lúc đó là (y x - 6) Theo bài toán ta có: 13 x (y - 6) = y x - y x 13 - 78 = y x - (Nhân số với hiệu) yx9 = 72 (Cùng bớt y x và thêm 78) y = 72 : y =8 Vậy tuổi là tuổi Tuổi cha là: x = 32 (tuổi ) Đáp số: Cha: 32 tuổi Con: tuổi Ví dụ 4(Ví dụ 2.4): Tuổi 0,4 tuổi mẹ Cách đây năm thì tuổi 0,25 tuổi mẹ Tính tuổi mẹ và Giải: Gọi tuổi mẹ là y thì tuổi là y x 0,4 Cách đây năm tuổi mẹ là (y - 8), thì tuổi lúc là (y x 0,4 - 8) Theo bài toán ta có: 0,25 x ( y - ) = y x 0,4 - y x 0,25 - = y x 0,4 - (Nhân số với hiệu) y x 0,15 =6 (Cùng bớt y x 0,25 và thêm 8) y = : 0,15 y = 40 Vậy tuổi mẹ là 40 tuổi Tuổi là: 40 x 0,4 = 16 (tuổi ) Đáp số: Con : 16 tuổi Mẹ : 40 tuổi Ví dụ (Ví dụ 1.3): Tuổi ông cháu 66 năm Biết tuổi ông gồm bao nhiêu năm thì tuổi cháu gồm nhiêu tháng Hãy tính tuổi ông và tuổi cháu Giải: Vì năm có 12 tháng nên gọi y là tuổi cháu thì tuổi ông là y x 12 Theo bài toán ta có: y x 12 - y = 66 y x (12 - 1) = 66 y x 11 = 66 y = 66 : 11 y =6 Vậy tuổi cháu là tuổi Tuổi ông là: 66 + = 72 (tuổi) Đáp số: Cháu: tuổi Ông : 72 tuổi Ví dụ (Ví dụ 3.3): Tuổi em tôi lần tuổi nó tuổi anh tôi tuổi em tôi Đến tuổi em tôi tuổi anh tôi thì tổng số tuổi hai anh em là 51 Hỏi em tôi, anh tôi bao nhiêu tuổi? Giải: Gọi y là tuổi người em trước đây, thì tuổi người em là y x Do đó tuổi người em cách trước đây (y x 3) tuổi Khi tuổi người em thêm (y x 3) tuổi, thì tuổi người anh thêm (y x 3) tuổi, nên tuổi người anh là: y x + y x = y x (4 + 3) (đưa nhân số với tổng) =yx7 Đến tuổi em tuổi anh nay, thì tuổi em thêm (y x 3) tuổi và tuổi người em là: y x + y x = y x (4 + 3) (đưa nhân số với tổng) =yx7 Lúc đó tuổi người anh thêm (y x 3) tuổi và tuổi người anh là: y x + y x = y x (7 + 3) (đưa nhân số với tổng) = y x 10 Theo bài toán ta có: y x + y x 10 = 51 y x ( + 10 ) = 51 (đưa nhân số với tổng) y x 17 = 51 y = 51 : 17 y = Vậy tuổi em là: x = 12 (tuổi) Tuổi anh là: x = 21 (tuổi) Đáp số: Em: 12 tuổi Anh: 21 tuổi SUY LUẬN BẰNG CÁCH KHỬ BỚT CÁC ĐẠI LƯỢNG Trong bài toán có thể có nhiều đại lượng, đại lượng lại có nhiều giá trị Nếu để nguyên thì khó giải nhiều đại lượng và nhiều giá trị quá Vì cần phải nghĩ cách để rút dần các đại lượng bài toán đơn giản hơn, dễ giải Cách giải toán theo kiểu này gọi là cách khử bớt đại lượng hay gọi tắt là khử Một cách khử hay gặp là làm cho hai giá trị đại lượng trở nên giống khử đại lượng đó Phương pháp này có thể sử dụng để giải các bài toán tính tuổi: - Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi hai người - Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi hai người Ví dụ 1: Nam hỏi mẹ: “ Mẹ ơi! Năm bố và mẹ bao nhiêu tuổi ạ? ” Mẹ trả lời: 1 1 “ Nếu cộng số tuổi bố và số tuổi mẹ thì 30 tuổi Nếu cộng số tuổi bố và số tuổi mẹ thì 40 tuổi ” Em hãy tính giúp số tuổi bố và mẹ Nam Bài giải: Theo bài toán ta có: 1 số tuổi bố + số tuổi mẹ = 30(tuổi) (1) 1 số tuổi bố + số tuổi mẹ = 40 (tuổi) (2) Cùng nhân (1) với 3, (2) với ta có: Số tuổi bố + số tuổi mẹ = 90 (tuổi) (3) Số tuổi bố + lần số tuổi mẹ = 160 (tuổi) (4) So sánh (4) và (3) phép trừ ta có: (2 ) số tuổi mẹ = 160 tuổi - 90 tuổi số tuổi mẹ = 70 tuổi Số tuổi mẹ là: 70 : = 50 (tuổi) Thay vào (4) ta có: Số tuổi bố là: 160 - 50 x = 60 (tuổi) Đáp số: Mẹ : 50 tuổi Bố: 60 tuổi Ví dụ 2: Tính tuổi anh và tuổi em, biết 62,5% tuổi anh thì lớn 75% tuổi em là năm, và 50% tuổi anh thì lớn 37,5% tuổi em là năm Bài giải: 50% tuổi anh - 37,5 tuổi em = năm (1) 62,5% tuổi anh - 75% tuổi em = năm (2) Cùng nhân (1) với ta có: 100% tuổi anh - 75% tuổi em = 14 năm (3) 62,5% tuổi anh - 75% tuổi em = năm (4) Cùng so sánh (3) và (4) phép trừ ta có: (100% - 62,5%) tuổi anh = 14 năm - năm 37,5% tuổi anh = 12 năm Tuổi anh là : 12 x 100 : 37,5 = 32 ( tuổi ) Thay vào (3) ta có: 32 tuổi - 75% tuổi em = 14 tuổi 75% tuổi em là: 32 - 14 = 18 (tuổi) Tuổi em là: 18 x 100 : 75 = 24 ( tuổi ) Đáp số: Em: 24 tuổi Anh: 32 tuổi SUY LUẬN BẰNG CÁCH LỰA CHỌN CÁC GIÁ TRỊ CỦA ĐẠI LƯỢNG Trong giải toán nói chung và giải các bài toán tính tuổi nói riêng, có bài toán ta phải trường hợp có thể xảy đối tượng Sau đó chọn xem trường hợp nào, giá trị nào thì đúng với các điều kiện bài toán Ví dụ 1: Bố nói với con: “ 10 năm trước đây tuổi bố gấp 10 lần tuổi con; 22 năm sau thì tuổi bố gấp đôi tuổi ” Hãy tính tuổi bố, tuổi Giải: Theo bài toán thì 10 năm trước đây tuổi bố là số tròn chục Ta lại có thời gian trước đây đến 22 năm sau này là 32 năm Ta thử các kết vào bảng sau: Tuổi trước đây 10 năm Tuổi sau đây 22 năm Bố Con Bố Con 20 52 34 30 62 35 40 72 36 50 82 37 Nhìn vào bảng ta có: Tuổi bố là: 40 + 10 = 50 (tuổi) Tuổi là: + 10 = 14 (tuổi) So sánh Kết 54 < 34 x 62 < 35 x 72 = 36 x 82 > 37 x Loại Loại Chọn Loại Đáp số: Con: 14 tuổi Bố: 50 tuổi Ví dụ 2: Tổng số tuổi bố, mẹ và hai là 87 Bố mẹ tuổi Người thứ gấp đôi số tuổi người thứ hai Số tuổi người thứ hai nhân với chính số đó thì số tuổi bố Hãy tính tuổi người gia đình này Bài giải: Vì số tuổi bố là tích hai số tự nhiên giống nên số đó có thể là các số 25, 36, 49, 64 Ta thử các kết vào bảng sau: Tuổi bố Tuổi mẹ Tuổi con(2) Tuổi con(1) Thử So sánh Kết Loại 22 10 25 + 22 + 5+ 10 = 62 < 87 (25 - = 22) (5 x = 25) (5 x = 10) 62 33 12 36 + 33 + + 12 = 87 = 87 Chọn 36 (36 - = 33) (6 x = 36) (6 x = 12) 87 46 14 49 + 46 + + 14 = 116 >87 Loại 49 (49 - = 46) (7 x = 49) (7 x = 14) 116 Vì tuổi bố là 49 mà tổng số tuổi người đã là 116> 87 nên ta không xét tiếp Đáp số: Bố: 36 tuổi; mẹ: 33 tuổi Con lớn: 12 tuổi; bé: tuổi Ví dụ 3: Sau nhiều năm xa cách, hai người bạn thân gặp Ông Hùng hỏi thăm ông Dũng: “ Ông đã có cháu và các cháu anh bao nhiêu tuổi ?” Ông Dũng trả lời: “Cám ơn ông đã hỏi thăm, tôi đã có cháu Tích các tuổi chúng 36, còn tổng các tuổi chúng số cửa sổ ngôi nhà trước mặt” Một lúc sau ông Hùng nói: “Mình đã đếm đếm lại cửa sổ ngôi nhà trước mặt, chưa xác định tuổi các cháu ông” Ông Dũng liền nói: “À mình quên không nói với ông, đứa cháu đầu mình có mái tóc xoăn” Ông Hùng nói luôn: “Thế thì mình xác định tuổi các đứa cháu ông rồi” Hỏi, ông Hùng đã xác định tuổi các nguời cháu ông Dũng nào và tuổi chúng bao nhiêu? Bài giải: Gọi tuổi người cháu là a, b, c, d Ta thấy: 36 = x x x Ta thử các kết vào bảng sau: 25 Thứ tự a 1 1 b 1 1 c d 36 18 12 axbxcxd 36 36 36 36 a+ b+c+d 39 22 17 15 1 6 36 14 2 36 14 36 12 3 36 11 Theo bảng trên đây, ông Dũng chưa cho biết cháu đầu ông có mái tóc xoăn, ông Hùng không xác định tuổi cháu ông Dũng , điều đó có thể tuổi các cháu ông Dũng rơi vào trường hợp và Vì hai trường hợp này, số ô cửa sổ ngôi nhà trước mặt Khi ông Dũng cho biết thêm đứa cháu có đầu tóc xoăn, điều đó có nghĩa là ông Dũng có đứa cháu cao tuổi Do đó, ông Hùng khẳng định tuổi các cháu ông Dũng rơi vào trường hợp Vậy tuổi các cháu ông Dũng là: tuổi, tuổi, tuổi và 1tuổi Đáp số: Tuổi các cháu ông Dũng là: tuổi, tuổi, tuổi và 1tuổi MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Có bài toán tuổi không thuộc dạng toán điển hình chương trình tiểu học Để tìm đáp số các bài toán tính tuổi này không có thể sử dụng phương pháp giải toán mà đòi hỏi kết hợp linh hoạt các phương pháp giải toán khác Tiểu học Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này, chúng tôi đưa số bài toán tính tuổi Ví dụ 1: Sau thời gian công tác, Hoàng thăm gia đình Khi đến nhà, em Hoàng nhận xét: “Trước lúc công tác, tuổi anh Hoàng tổng số tuổi người còn lại gia đình và hôm tuổi anh Hoàng tổng số tuổi người còn lại gia đình! ” Hỏi gia đình Hoàng có người? Bài giải: Ta có sơ đồ: 1tuổi Dựa Tuổi Hoàng trước đây: Tuổi gia đình trước đây: Tuổi Hoàng sau này: Tuổi gia đình sau này: 1tuổ i 1tuổ i 1tuổ i 1tuổ i vào sơ đồ ta thấy: Số người gia đình không kể Hoàng là: : = (người ) Số người gia đình Hoàng là: + = (người ) Đáp số : người Ví dụ Tuổi trung bình đội bóng đá là 23 Nếu không tính đội trưởng thì tuổi trung bình 10 cầu thủ còn lại là 21,5 Hỏi đội trưởng tuổi trung bình đội là bao nhiêu? Bài giải: Tổng số tuổi đội là: 23 x 11 = 253 (tuổi) Tổng số tuổi đội không kể đội trưởng là: 21,5 x 10 = 215 (tuổi) Tuổi đội trưởng là: 253 - 215 = 38 (tuổi) Tuổi đội trưởng tuổi trung bình đội là: 38 - 23 = 15 (tuổi) Đáp số: 15 tuổi Ví dụ 3: Tuấn hỏi ông: “ Ông ơi! Năm ông bao nhiêu tuổi?” Ông trả lời: “Tuổi ông năm là số chẵn Nếu viết các chữ số ông theo thứ tự ngược lại thì tuổi bố cháu Nếu cộng các chữ số tuổi bố cháu thì tuổi cháu Cộng tuổi ông, tuổi bố cháu và tuổi cháu 144 năm” Hỏi năm người bao nhiêu tuổi? Giải: ba và tuổi Tuấn là: a + b (a, b Gọi tuổi ông là: ab , thì tuổi bố là: Theo bài toán ta có: ab + ba + a + b = 144 a x 10 + b + b x 10 + a + a + b = 144 ( Phân tích cấu tạo số) a x 12 + b x 12 = 144 12 x ( a + b ) = 144 (Một số nhân với tổng) a + b = 12 (Cùng giảm 12 lần ) Vì tuổi ông là số chẵn ⇒ b chẵn 12 là số chẵn, b chẵn ⇒ a chẵn Trong các số chẵn khác nhỏ số + = 12 Mặt khác : Vì a > b nên ⇒ a = ; b = Vậy tuổi ông là 84; tuổi bố là 48 và tuổi Tuấn là: + = 12 (tuổi) Đáp số: Ông : 84 tuổi , bố : 48 tuổi, Tuấn : 12 tuổi và a > b) 12 là: 2, 4, 6, 10 có hai 15 BÀI TOÁN GIẢ THIẾT TẠM Ví dụ : Trước hết, ta hãy xét bài toán cổ quen thuộc sau đây: Vưa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi gà, chó? Cách 1: (Cách giải quen thuộc) Rõ ràng 36 không thể là gà (vì đó có x 36 = 72 chân!), không thể là chó (vì đó có x 36 = 144 chân!) Bây ta giả sử 36 là chó (đây là giả thiết tạm), thì số chân là: x 36 = 144 (chân) Số chân dôi là: 144 - 100 = 44 (chân) Sở dĩ là vì số chân chó số chân gà là: - = (chân) Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con) Số chó là: 36 - 22 = 14 (con) Cách 2: Ta thử tìm giả thiết tạm khác nhé Giả thiết, vật "mọc" thêm cái đầu ! đó, có hai đầu và tổng số đầu là: x 36 = 72 (đầu) Lúc này, gà coá hai đầu và hai chân , Mỗi chó có hai đầu bốn chân Vởy số chân nhiều số đầu là: 100 - 72 = 28 (cái) Đối với gà thì số chân số đầu, còn chó có số chân nhiều số đầu là: - = (cái) Suy số chó là: 28:2 = 14 (chó) Số gà là: 36 - 14 = 22 (gà) Cách 3: Bây ta giả thiết tường họp thật vô lí nhé! Ta giả thiết vật bị "chặt đi" nửa số chân Như vậy, chó còn có hai chân và gà chân tổng số chân còn nửa, tức là: 100 : = 50 (chân Bây giờ, ta lại giả thiết chó phải "co" chân lên để vật có chân, đó 36 vật có 36 chân Như vậy, số chân chó phải "co" lên là: 50 - 36 = 14 (chân) Vì chó có chân "co" nên suy có 14 chó Vậy số gà là: 36 - 14 = 22(con) Cách 4: Gợi ý : Giả sử gà "mọc thêm" chân, đó 36 có chân và tổng số chân là: x 36 = 144 (chân) Mời các bạn tiếp tục đọc lập luận, đồng thời xét xem điều giả thiết tạm thời này dựa vào cách giải nào đã biết) Cách 5: Gợi ý : Giả sử chó "bị chặt đi" chân, đó 36 có chân và tổng số chân là: x 36 = 72 (chân) (Mời bạn đọc tiếp tục lập luận, sau đó xét xem giả thiết tạm thời này đã dựa vào cách giải quen thuộc nào nhé.) 4- Nội dung: * Lý thuyết: a) Lý thuyết giải bài toán "giả thiết tạm": + Đọc bài toán, xác định dạng toán "giả thiết tạm"các yếu tố bài cho như: Tổng số con, tổng số chân + Phương pháp giải: Ví dụ 1: "Vừa gà, vừa chó Bó lại cho tròn, Ba mươi sáu con, Một trăm chân chẵn" Tính xem có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó? Giải: Cách Giả sử 36 là gà Như số chân đếm là: x 36 = 72 (chân) Số chân hụt là: 100 - 72 = 28 (chân) Sở dĩ số chân hụt là vì giả thiết tạm 36 là gà thì chó bị hụt chân Số chó là: 28 : = 14 (con chó) Số gà là: 36 - 14 = 22 (con gà) Đáp số: 14 chó và 22 gà Cách 2: Giả sử 36 là chó Như số chân đếm là: x 36 = 144 (chân) Số chân dôi là: 144 - 100 = 44 (chân) Sở dĩ số chân tăng lên là vì giả thiết 36 là chó thì gà thêm chân Số gà là: 44 : = 22 (con gà) Số chó là: 36 - 22 = 14 (con chó) Đáp số: 22 gà và 14 chó Ví dụ 2: 12 vừa gà vừa thỏ, thảy đếm 32 chân Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu thỏ Giải Giả sử tất 12 là thỏ thì có số chân là: x 12 = 48 (chân) Số chân dôi là: 48 - 32 = 16 (chân) Sở dĩ số chân dôi là ta đã thay gà thỏ Mỗi lần thay gà thỏ thì số chân dôi là: - = (chân) Số gà là: 16 : = (con) Số thỏ là: 12 - = (con) Đáp số: gà và thỏ Cách 2: Giả sử tất 12 là gà thì có số chân là: x 12 = 24 (chân) Số chân hụt là: 32 - 24 = (chân) Sở dĩ số chân hụt là ta đã thay thỏ gà Mỗi lần thay thỏ gà thì số chân hụt là: - = (chân) Số thỏ là: : = (con) Số gà là: 12 - = (con) Đáp số: thỏ và gà * Nhận xét cách giải Để giải bài toán có hai đối tượng thì ta phải biết tổng số và tổng số chân hai đối tượng Phải biết số chân đối tượng dựa vào hiểu biết thực tế sống Nếu giả sử tổng số là loại đối tượng có nhiều chân thì số chân dôi so với đầu bài và ta tìm đối tượng ít chân trước Nếu giả sử tổng số là loại đối tượng có ít chân thì số chân hụt so với đầu bài và ta tìm đối tượng có nhiều chân trước Như bài toán "giả thiết tạm" có ít hai cách giải trở lên b) Lý thuyết giải bài toán "giả thiết tạm kép" + Đọc bài toán xác định dạng toán, các yếu tố bài cho để vận dụng vào cách giải + Phương pháp giải dạng toán: Ví dụ: Có 18 ô tô gồm loại: Loại bánh chở tấn, loại bánh chở và loại bánh chở 18 xe đó chở tất 101 hàng, và có tất 106 bánh xe Hỏi loại có bao nhiêu xe? Giải Giả sử tất 18 xe chở thì số chở là: x 18 = 108 (tấn) Số dôi là: 108 - 101 = (tấn) Số dôi vì ta đã thay xe chở xe chở Mỗi lần thay xe chở xe chở thì số dôi là: - = (tấn) Số xe chở là: : = (xe) Số hàng xe chở là: x = 35 (tấn) Số hàng các loại xe chở là: 101 - 35 = 66 (tấn) Số bánh xe loại xe chở là: 106 - x = 78 (bánh) Số xe là: 18- = 11 (xe) Giả sử 11 xe là loại xe bánh thì số bánh là: x 11= 66 (bánh) Số bánh hụt là: 78 - 66 = 12 (bánh) Số bánh hụt vì ta đã thay xe bánh xe bánh Mỗi lần thay xe bánh xe bánh thì số bánh hụt là: - = (bánh) Số xe bánh là: 12 : = (xe) Số xe bánh là: 11- = (xe) Đáp số: xe bánh chở tấn, xe bánh chở tấn, xe bánh chở * Phương pháp giải loại toán " giả thiết tạm kép" : - Vì bài toán có nhiều đối tượng đó là nhiều loại xe và loại xe chở số khác và có số bánh khác Chính vì giải ta phải giả thiết tạm hai lần Lần thứ giả thiết tạm để tìm số xe loại và loại chở bao nhiêu Lần thứ hai giả thiết tạm để tìm số bánh, từ đó tìm số xe loại xe có số bánh giống * Bài tập áp dụng: Bài toán 1: Có 10 xe chở gạo gồm hai loại Loại xe chở 43 tạ và loại xe chở 32 tạ Tất đã chở 39 tạ gạo Hỏi có bao nhiêu xe loại? Giải Cách 1: Đổi: 39 tạ = 398 tạ Giả sử 10 xe là loại chở 45 tạ, thì có số tạ gạo chở là: 45 x 10 = 450 (tạ) Số tạ gạo dôi là: 450 - 398 = 52 (tạ) Số tạ gạo dôi vì ta đã thay loại xe chở 32 tạ xe loại xe chở 45 tạ xe Mỗi lần thay xe chở 32 tạ xe chở 45 tạ thì số gạo dôi là: 45 - 32 = 13 (tạ) Số xe loại chở 32 tạ xe là: 52 : 13 = (xe) Số xe loại chở 45 tạ xe là: 10 - = (xe) Đáp số: xe chở 32 tạ và xe chở 45 tạ Cách 2: Đổi: 39 tạ = 398 tạ Giả sử 10 xe là loại xe chở 32 tạ, thì số tạ gạo chở là: 32 x 10 = 320 (tạ) Số tạ gạo hụt là: 398 - 320 = 78 (tạ) Số tạ gạo hụt là vì ta đã thay loại xe chở 45 tạ xe loại xe chở 35 tạ xe Mỗi lần thay xe chở 45 tạ xe chở 32 tạ thì số gạo hụt là: 45 - 32 = 13 (tạ) Số xe chở 45 tạ xe là: 78 : 13 = (xe) Số xe chở 32 tạ xe là: 10 - = (xe) Đáp số: có xe chở 45 tạ và xe chở 32 tạ Bài toán 2: Có sọt đựng tất 1120 vừa cam vừa quýt Mỗi sọt cam đựng 75 quả, sọt quýt đựng 179 Hỏi loại có bao nhiêu quả? Giải Cách 1: Giả sử sọt đựng quýt thì số là: 179 x = 1432 (quả) Số dôi là: 1423 - 1120 = 312 (quả) Thay sọt cam sọt quýt thì số dôi là: 179 - 75 = 104 (quả) Số sọt cam là: 312 : 104 = (sọt) Số sọt quýt là: - = (sọt) Cách 2: Giả sử sọt đựng cam thì số là: 75 x = 600 (quả) Số hụt là: 1120 - 600 = 520 (quả) Sở dĩ số hụt 520 là ta đã thay sọt quýt sọt cam Mỗi sọt quýt thay sọt cam thì hụt số là: 179 - 75 = 104 (quả) Số sọt quýt là: 520 : 104 = (sọt) Số sọt cam là: - = (sọt) Đáp số: Có sọt quýt và sọt cam Bài toán 3: Một bếp ăn mua 200 vừa ếch vừa cua bể Tổng số chân đếm là 1400 chân (càng cua xem chân cua) Hỏi có bao nhiêu loại Giải Cách 1: Ta nhận thấy ếch có chân, cua có 10 chân Giả sử tất 200 là ếch thì có tổng số chân là: x 200 = 800 (chân) Như so với đầu bài thì hụt số chân là: 1400 - 800 = 600 (chân) Sở dĩ hụt 600 chân là ta đã thay cua ếch Mỗi lần thay cua ếch thì số chân hụt là: 10 - = (chân) Số cua là: 600 : = 100 (con) Số ếch là: 200- 100 = 100 (con) Đáp số: Có 100 cua và 100 ếch Cách 2: Ta nhận thấy cua có 10 chân và ếch có chân Giả sử tất 200 là cua thì có số chân là: 10 x 200 = 2000 (chân) Số chân dôi so với đầu bài là: 2000- 1400 = 600 (chân) Sở dĩ dôi 600 chân là ta đã thay ếch cua Mỗi lần thay ếch cua thì số chân dôi là: 10 - = (chân) Số ếch là: 600 : = 100 (con) Số cua là: 200 - 100 = 100 (con) Đáp số: có 100 cua và 100 ếch Bài toán 4: Có 15 ô tô gồm loại: Loại bánh chở tấn, loại bánh chở 10 và loại bánh chở 15 xe đó chở tất 121 hàng, và có tất 84 bánh xe Hỏi loại có bao nhiêu xe Bài giải Giả sử tất 15 xe là xe bánh thì số bánh xe là: x 15 = 90 (bánh) Số bánh dôi là: 90 - 84 = (bánh) Số bánh dôi là vì ta đã thay xe bánh xe bánh Mỗi lần thay xe bánh xe bánh thì số bánh dôi là: - = (bánh) Số xe bánh là: : = (xe) Số hàng loại xe bánh chở là: x = 15 (tấn) Số loại xe bánh chở là: 121 - 15 = 106 (tấn) Số xe bánh là: 15-3 = 12 (xe) Giả sử 12 xe chở 10 thì số chở là: 10 x 12 = 120 (tấn) Số dôi là: 120 - 106 = 14 (tấn) Số dôi là vì ta đã thay xe chở xe chở 10 Mỗi lần thay xe chở xe chở 10 thì số dôi là: 10 - = (tấn) Số xe chở là: 14 : = (xe) Số xe chở 10 là: 12 - = (xe) Đáp số: xe bánh chở tấn, xe bánh chở tấn, xe bánh chở 10 Bài toán 5: Có 15 ô tô gồm loại, loại bánh chở tấn, loại bánh chở tấn, loại bánh chở Hỏi số xe loại là bao nhiêu, biết tổng số bánh xe là 70 bánh, tổng số hàng chở là 93 Bài giải Giả sử có 15 xe là xe bánh thì có số bánh xe là: x 15 = 90 (bánh) Số bánh dôi là: 90 - 70 = 20 (bánh) Số bánh dôi là ta đã thay xe bánh xe bánh Mỗi lần thay xe bánh xe bánh thì số bánh dôi là: - = (bánh) Số xe bánh là: 20 : = 10 (xe) Số xe bánh là: 15 - 10 = (xe) Giả sử tất loại xe bánh chở Số chở là: x 10 = 60 (tấn) Vì có xe, xe chở nên số chở xe là: x = 40 (tấn) Số còn lại là: 93 - 40 = 53 (tấn) Số dôi là: 60 - 53 = (tấn) Số dôi là ta đã thay xe chở xe chở Mỗi lần thay xe chở xe chở thì dôi số là: -1 = (tấn) Số xe chở là: : = (xe) Số xe chở là: 10 - = (xe) Đáp số: xe bánh chở tấn, xe bánh chở tấn, xe bánh chở 16 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUA TRỒNG CÂY -Trồng trên đường thẳng - Trồng đầu ( Khoảng cách chia cho khoảng cách các cây cộng 1) 5m 5m 5m 5m 5m 25 m Số cây = ( 25 : ) + -Trồng Đầu ( Hoặc cây loại khác ) Khoảng cách chia cho khoảng cách các cây Số cây = ( 25 : ) -Không trồng đầu ( Hoặc cây loại khác ) ( Khoảng cách chia cho khoảng cách các cây trừ 1) Số cây = ( 25 : ) - -Trồng trên đường khép kín ) Khoảng cách chia cho khoảng cách các cây Số cây = ( 25 : ) 17 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI NGƯỢC TỪ CUỐI PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI Có số bài toán cho biết kết sau thực liên tiếp số phép tính số phải tìm Khi giải các bài toán dạng này, ta thường dùng phương pháp tính ngược từ cuối (đôi còn gọi là phương pháp suy ngược từ cuối) Khi giải toán phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho đề bài Kết tìm bước trước chính là thành phần đã biết phép tính liền sau đó Sau thực hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho đề bài, ta nhận kết cần tìm Ví dụ 1: Tìm số, biết tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với 16 bớt và cuối cùng chia cho ta kết 12 Phân tích: Trong bài này ta đã thực liên tiếp dãy số cần tìm dãy các phép tính đây: x 2, + 16, - 4, : cho kết cuối cùng 12 - Ta có thể xác định số trước chia cho kết là 12 (Tìm số bị chia biết số chia và thương số) - Dựa vào kết tìm bước 1, ta tìm số trước bớt (Tìm số bị trừ biết số trừ và hiệu số) - Dựa vào kết tìm bước 2, ta tìm số trước cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết biết số hạng và tổng số) - Dựa vào kết tìm bước 3, ta tìm số trước nhân với 2, chính là số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết biết tích và thừa số kia) Từ phân tích trên ta đến lời giải sau: Số trước chia cho là: 12 x = 36 Số trước bớt là: 36 + = 40 Số trước cộng với 16 là: 40 - 16 = 24 Số cần tìm là: 24 : = 12 Trả lời: Số cần tìm là 12 Ví dụ 2: Tìm ba số, biết sau chuyển 14 đơn vị từ số thứ sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba chuyển đơn vị từ số thứ ba sang số thứ ta ba số 45 Phân tích: Ta có thể minh họa các thao tác đề bài sơ đồ sau: Ta có: Số thứ nhất: - 14; + cho kết là 45 Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết là 45 Số thứ ba: + 28; - cho kết là 45 Từ phân tích trên ta đến lời giải bài toán sau: Số thứ là: 45 - + 14 = 52 Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49 Số thứ ba là: 45 + - 28 = 24 Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24 Lời giải bài toán trên có thể thể bảng sau: Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24 II Một số dạng 1- Dạng thứ nhất: Dạng biến đổi các phép tính đơn giản, quá trình tìm tòi cách giải có thể dùng lược đồ đưa bài toán tìm x quen thuộc Ví dụ 1.1: Tìm số biết đem số đó cộng với 32, bao nhiêu đem chia cho 3, nhân với thì 120 Hướng dẫn giải: Với bài toán dạng này, ta có thể sử dụng các cách: + Dùng lược đồ + Dùng sơ đồ đoạn thẳng + Đưa bài toán " tìm x" ( Lập phương trình ) Để phù hợp với nhận thức học sinh tiểu học ( đặc biệt là các em còn mức trung bình vươn lên khá giỏi ), ta nên hướng dẫn các em sử dụng lược đồ sau: + 32 :3 x4 A? B C - 32 x3 :4 Nếu ta quay lược đồ này góc 90 ta có cách nói suy luận từ lên A? - 32 x3 :4 + 32 B C A : x4 120 Bằng các dấu mũi tên ngược với quá trình biến đổi đề ta dễ dàng giúp các em tìm kết bài toán  C x = 120 Vậy, muốn tìm C ta làm nào và bao nhiêu ? ( 120 : = 30 Vậy C = 30 )  B : = 30 Vậy, muốn tìm B ta làm nào và bao nhiêu ? ( 30 x = 90 Vậy B = 90 ) 120  A + 32 = 90 Vậy, muốn tìm A ta làm nào và bao nhiêu ? ( 90 - 32 = 58 Vậy A = 58 - Đây chính là số phải tìm bài toán ) Lưu ý: Lược đồ nên sử dụng phần nháp để tìm tòi cách giải Nếu vẽ vào bài làm thì rườm rà và thời gian Bài giải cụ thể: Số trước nhân với là: 120 : = 30 Số trước chia cho là: 30 x = 90 Số phải tìm ( hay trước cộng 32 ) là: 90 - 32 = 58 Đáp số: 58 Bài toán trên ta có thể hướng dẫn học sinh giải phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng sau: Số cần tìm : 32 Số sau cộng với 32: Số sau chia cho 3: Cuối cùng : 120 Lưu ý: Số sau cộng với 32 hay trước chia cho là * Giải cách đưa bài toán tìm X ( tìm thành phần chưa biết phép tính - lập phương trình ) Gọi số cần tìm là X ta có : ( X + 32 ) : x = 120 Giải: ( X + 32 ) : = 120 : ( X + 32 ) : = 30 X + 32 = 30 x X + 32 = 90 X = 90 - 32 X = 58 Lưu ý: bài toán tìm X dạng bản: X+a=b; Xxa=b; X-a=b; a-X=b, X:a=b; a:X=b Trong đó a, b là các số đã biết X là số cần tìm Hầu hết các bài toán tìm X tiểu học ( giải phương trình bậc có ẩn số ) không dạng bản, qua số biến đổi tương đương đưa dạng trên Ví dụ 1.2: Tìm số biết số đó nhân với cộng với 45, bao nhiêu nhân với chia cho và cuối cùng trừ 17 thì kết là 2073 Hướng dẫn giải:  Dùng lược đồ: x5 + 45 x4 :2 - 17 X? X? A :5 B - 45 C :4 D x2 2073 + 17 Bài giải: ( Nên hướng dẫn học sinh trình bày theo kiểu đây) Số trước trừ 17 là : 2073 + 17 = 2090 Số trước chia cho là : 2090 x = 4180 Số trước nhân với là : 4180 : = 1045 Số trước cộng với 45 là : 1045 - 45 = 1000 Số phải tìm là : 1000 : = 200 Đáp số: 200  Dùng SĐĐT Dạng bài này tìm tòi cách giải phương pháp sử dụng SĐĐT phải vẽ phiền phức Cách vẽ và cách trình bày tương tự ví dụ 1.1, nên không trình bày đây  Sử dụng cách đưa bài toán tìm X Việc sử dụng cách đưa bài toán tìm X khá đơn giản, tương tự ví dụ 1.1, việc đưa giải phương trình này chưa thật phù hợp với học sinh tiểu học Bên cạnh đó cần lưu ý học sinh sử dụng dấu ngoặc đơn cách hợp lý Cụ thể: Gọi số phải tìm là X ta có: (X x + 45 ) x : - 17 = 2073 Giải bài toán này ta tìm X = 200 Cách giải tương tự ví dụ 1.1 đã trình bày 2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( các phép chia phức tạp ) quá trình tìm tòi cách giải và giải nên sử dụng SĐĐT ( Sơ đồ đoạn thẳng ) , phương pháp đặc biệt phù hợp với học sinh tiểu học Ví dụ 2.1: Một người đem bán số cam Lần đầu bán 1/3 số cam, lần thứ hai bán 1/3 số cam còn lại, lần thứ ba bán 20 thì còn 56 Hỏi lúc đầu người đó có tất bao nhiêu cam ? Hướng dẫn giải:  Dùng lược đồ: Dạng này dùng lược đồ thì khó khăn việc biểu diễn phần còn lại sau lần bớt Cụ thể: Bớt 1/3 X X? Bớt 1/3 A A - 20 B 56 ( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt để giải bài toán ) + Bán 20 quả, còn 56 Vậy, muốn tìm số cam trước bán 20 ta có thể làm nào? ( lấy 56 cộng với 20, ta có 56 + 20 = 76 Như B = 76 ) + Bớt 1/3 A thì B, tức 76 Vậy, muốn tìm A ta có thể làm nào ? Hướng dẫn 2 cách nghĩ: A bớt 1/3 nó thì còn A, mà A 76 , A = 76: 2/3 = 114 ( có thể trình 3 bày A = 76 : x = 114) Vậy A = 114 + Bớt 1/3 X thì A, tức 114 Vậy, muốn tìm X ta có thể làm nào ?Tương tự cách tìm A ta có: X = 114 : 2/3 = 171.Vậy, X ( số cần tìm ) là 171 Cách giải cụ thể: Trước bán 20 , người đó còn số cam: 56 + 20 = 76 ( ) Số cam còn lại trước bán lần thứ hai là: 76 : 2/3 = 114 ( ) Số cam người đó đem bán là: 114 : 2/3 = 171 ( ) Đáp số 171  Dùng SĐĐT ( Phương pháp chủ công loại này ) Để phù hợp với HS tiểu học ( đặc biệt học sinh chưa học các phép tính phân số ) Nên hướng dẫn HS sử dụng phương pháp dùng SĐĐT Ta có SĐĐT sau: Số cam cần tìm: Số cam còn lại sau bán lần I: Số cam còn lại sau bán lần II : 20 Cuối cùng 56 Hướng dẫn giải: Tìm số cam còn lại sau bán lần thứ hai ( hay trước bán lần thứ ba ) Số cam còn lại sau bán lần thứ hai biểu diễn hai đoạn thẳng: đoạn cuối cùng 56 và đoạn biểu diễn 20 Như vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán thứ hai ta làm nào? ( 56 + 20 = 76 ) Tìm tiếp số cam còn lại sau bán lần thứ Số cam này biểu diễn đoạn thẳng có phần nhau, mà phần đó chính là 76 Vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán thứ ta có thể làm nào? ( lấy 76 chia để tìm phần, nhân với để có phần cụ thể 76 : x = 114) Tìm số cam người đó đem bán Toàn số cam này biểu diễn đoạn thẳng chứa phần nhau, mà đó có phần 114 Vậy, muốn tìm số cam người đó đem bán ta có thể làm nào ? ( lấy 114 chia để tìm phần, nhân với để tìm phần - Cụ thể : 114 : x = 171) Bài giải cụ thể: Số cam còn lại sau bán lần thứ hai là : 65 + 20 = 76 ( quả) Số cam còn lại sau bán lần đầu là: 76 : x = 114 (quả) Số cam lúc đầu là : 114 : x = 171 ( quả) Đáp số: 171 cam  Sử dụng cách đưa bài toán tìm X: Với dạng này, ta hướng dẫn học sinh giải cách đưa bài toán tìm X thì gặp số khó khăn học sinh tiểu học là học sinh chưa học các phép tính phân số Ta có thể đưa bài toán tìm X không thuộc dạng sau: Gọi số cam cần tìm là X ( X là số tự nhiên lớn - đơn vị : ) 1 XxXx(Xx X ) - 20 = 56 3 Ví dụ 2.2: Một người đem bán số trứng sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số trứng và biếu khách Lần thứ hai bán 1/2 số trứng còn lại và lại biếu khách Lần thứ ba bán 1/2 số trứng còn lại sau hai lần trước và lại biếu khách Cuối cùng người đó còn 10 trứng Hỏi lúc đầu người đó có bao nhiêu trứng đem bán ? Hướng dẫn giải:  Dùng sơ đồ đoạn thẳng Như loại bài này, sử dụng phương pháp dùng SĐĐT để giải là tối ưu Vẽ sơ đồ: Một nửa Số trứng ?: Số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất: Một nửa Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai : Một nửa Cuối cùng : 10 Theo sơ đồ ta có ( nhìn ngược từ lên ): + Một nửa số trứng còn lại sau bán lần thứ hai gồm đoạn thẳng biểu diễn 10 trứng và Muốn tính nửa số trứng còn lại sau bán lần thứ hai ta có thể làm nào ? ( 10 + = 11 ) Muốn tính số trứng còn lại sau bán lần thứ hai ta làm nào ? ( 11 x = 22 ) + Một nửa số trứng còn lại sau bán lần thứ gồm 22 và Từ đó dễ thấy cách tính số trứng còn lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 + Một nửa số trứng lúc đầu gồm 46 và Từ đó dễ thấy cách tính số trứng người đó đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Bài giải cụ thể: Số trứng còn lại sau bán lần thứ hai là: ( 10 + ) x = 22 ( ) Số trứng còn lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 ( ) Số trứng người đó đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Đáp số: 94 trứng Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh thử lại, tạo thêm niềm tin cho các em: 94 : - = 46 , 46 : - = 22 ; 22 : - = 10  Dùng lược đồ: X- X? X-1 A- A A-1 B- B B-1 10 ( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt ) 1 B - = 10 B - = 10 B = 11 B = 11 x = 22 2 1 + Tìm A: A A - = 22 A - = 22 A = 23 A = 23 x = 46 2 1 + Tìm X: X X - = 46 X - = 46 X = 47 X = 47 x = 94 2 Nhận xét: Với cách này rõ ràng học sinh đã phải dùng đến phép tính phân số, bên cạnh đó lại phải kết hợp với việc đặt ẩn số không thật phù hợp với tư học sinh tiểu học  Đưa bài toán "tìm X ": Trong trường hợp bài này, đưa bài toán " tìm X " thì quá phức tạp học sinh tiểu học Để cho học sinh có thể nắm nên chuyển thành các bước nhỏ sau: Gọi số trứng người đó đem bán là X ( X là số tự nhiên lớn ), ta có: Số trứng còn lại sau lần bán thứ là: 1 XX-1= X-1 2 Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai là: 1 1 X-1( X - 1) - = X2 2 Số trứng còn lại sau lần bán thứ ba là: 1 X( X)-1= X4 2 Theo bài toán ta có: X= 10 X= 94 ( tự giải ) Qua các cách giải trên ta thấy với dạng này, sử dụng SĐĐT là hợp lý + Tìm B: B - Ví dụ 2.3: An có số bi đựng hộp Lần đầu An lấy 1/3 số bi hộp bỏ trở lại bi Lần thứ hai An lấy 1/4 số bi còn lại lại bỏ lại bi Lần thứ ba An lấy 1/2 số bi còn lại hộp và bỏ lại bi Lần thứ tư An lấy 2/3 số bi còn lại các lần lấy trên và bỏ lại bi thì hộp có 15 bi Hỏi lúc đầu hộp có bao nhiêu bi ? Hướng dẫn giải:  Dùng SĐĐT (Phương pháp chủ công loại này) phần ba Số bi ? bi Số bi còn lại sau lần lấy T1: bi Số bi còn lại sau lần lấy thứ hai: bi Số bi còn lai sau lần lấy thứ ba: bi Cuối cùng: 15 bi Theo SĐĐT ta thấy: + Số bi còn lại sau lần lấy thứ ba có phần ? (3 phần) Ta có thể tìm phần không ? Muốn tìm phần đó ta có thể làm nào? (15 - = 10) Vậy số bi còn lại sau lần lấy thứ ba là ? (10 x = 30 bi ) + Số bi còn lại sau lần lấy thứ hai chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần đó ta có thể làm nào ? ( 30 - = 26 ) Vậy số bi còn lại sau lần lấy thứ hai là ? ( 26 x = 52 ) + Số bi còn lại sau lần lấy thứ chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta có thể làm nào ? - Trước hết phải tìm giá trị phần Muốn tìm giá trị phần ta có thể làm nào ? và bao nhiêu ? ( 52 - = 51 ) - Để tìm giá trị phần ta có thể làm nào ? ( 51 : = 17 ) Vậy, muốn tìm số bi còn lại sau lần lấy thứ ta có thể làm nào ? ( 17 x = 68 ) + Số bi lúc đầu hộp có phần ? ( phần ) Ta có thể tính giá trị phần trước ? ( phần ) Muốn tính giá trị phần này ta có thể làm nào ? ( 68 - = 66 ) Ta dễ dàng tính phần.Vậy, muốn tính số bi hộp lúc đầu An ta có thể làm nào ? ( 66 : x = 99 ) Bài giải cụ thể ( Lưu ý có số bước cần làm gộp để bài giải không quá dài dòng ) Số bi còn lại sau lần lấy thứ ba là : ( 15 - ) x = 30 ( bi ) Số bi còn lại sau lần lấy thứ hai là: ( 30 - ) x = 52 ( bi ) Số bi còn lại sau lần lấy thứ là: ( 52 - ) : x = 68 ( bi ) Số bi lúc đầu hộp An là : ( 68 - ) : x = 99 ( bi ) Đáp số : 99 bi Dạng bài này có thể vận dụng lược đồ đưa bài toán "tìm X " để giải có nhiều khó khăn học sinh tiểu học Tuy vậy, học sinh khá giỏi thật nên khuyến khích các em giải theo nhiều cách khác Nhưng rõ ràng cách giải SĐĐT là hợp lý 3- Dạng thứ 3: Quá trình biến đổi là việc thêm bớt từ phần này qua phần số đơn vị số lần số phần địa cần đến Phương pháp suy luận để tìm tòi cách giải chuẩn xác và gần gũi, phù hợp với nhận thức các em là cách lập bảng biến đổi Ví dụ 3.1: Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển từ hộp A sang hộp B 20 bi và từ hộp C sang hộp B 15 bi Lần thứ hai chuyển từ hộp B sang hộp C 40 bi và từ hộp C sang hộp A 15 bi Lần thứ ba chuyển từ hộp B sang hộp A 18 bi và từ hộp C sang hộp B bi Cuối cùng hộp A có 140 bi, hộp B có 160 bi và hộp C có 180 bi Hỏi lúc đầu hộp có bao nhiêu bi ? Hướng dẫn giải Để tìm tòi cách giải dạng này có nhiều cách, cách phù hợp với học sinh tiểu học là lập bảng Việc lập bảng không yêu cầu trình bày vào bài giải mà cần thực nháp để có cách trình bày chính xác Ta có thể lập bảng sau: Nội dung chuyển Lần 1: - Từ A B 20 bi - Từ C B 15 bi Lần 2: - Từ B C 40 bi - Từ C A bi Lần 3: - Từ B A 18 bi - Từ C B bi Cuối cùng A 20 * Số bi các hộp B * 40 * * 18 140 bi 160 bi Hàng C 15 * * 180 bi Lưu ý: + Các dấu * các ô 2A, 2B, 2C là số bi còn lại sau chuyển lần thứ + Các dấu * các ô 3A, 3B, 3C là số bi còn lại sau chuyển lần thứ hai + Khi nháp cần cột số bi các hộp là Dựa vào bảng trên, phương pháp suy luận từ lên ta tìm các * hàng hàng và cuối cùng là hàng - đó chính là số bi các hộp phải tìm Tìm giá trị các ô hàng ( số bi hộp trước chuyển lần thứ ba hay sau chuyển lần thứ hai ) - Số bi hộp C ( ô 3C ) Bớt bi còn 180 bi Vậy, muốn tính số bi hộp C trước chuyển lần thứ ba ta có thể làm nào ? và bao nhiêu ? ( 180 + = 184) - Số bi hộp B ( ô 3B ) Bớt 18 bi và thêm vào bi thì còn 160 bi Vậy, muốn tính số bi hộp B trước chuyển lần thứ ba ta có thể làm nào ? và bao nhiêu? ( 160 + 18 - = 174 ) - Số bi hộp A ( ô 3A) Thêm vào 18 bi thì 140 bi Vậy, muốn tính số bi hộp A trước chuyển lần thứ ba ta có thể làm nào ? và bao nhiêu? (140 - 18 = 122) Ta có thể tính số bi hộp A cách khác: Việc luân chuyển luẩn quẩn ba hộp đó nên tổng số bi ba hộp là không đổi Đã tính hai hộp thì dễ dàng tính hộp còn lại Cụ thể:  Tổng số bi ba hộp luôn là: 140 + 160 + 180 = 480 (bi) Số bi hộp A trước chuyển lần thứ ba là: 480 - 174 - 184 = 122 (bi) Tìm giá trị các ô hàng ( số bi hộp trước chuyển lần hay sau chuyển lần thứ ) Bằng phương pháp suy luận trên ta có thể tính số bi các hộp hàng cách đơn giản sau: - Số bi ô 2C là: 184 - 40 + = 149 ( bi ) - Số bi ô 2B là: 174 + 40 = 214 ( bi ) - Số bi ô 2A là: 122 - = 117 ( bi )   Tìm số bi lúc đầu hộp ( số bi các ô hàng ) Bằng phương pháp suy luận và tìm hàng 3, hàng ta dễ dàng tính số bi lúc đầu hộp - Số bi lúc đầu hộp C là: 149 + 15 = 164 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp B là: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp A là: 117 + 20 = 137 ( bi ) Như vậy, với bài toán khá phức tạp ( với HS tiểu học ) phương pháp dẫn dắt hợp lý, ta đã đưa giải nhiều bài toán " " mà bài toán " " là việc tìm thành phần chưa biết phép tính, học sinh có thể giải không khó khăn Bên cạnh suy luận tìm tòi theo kiểu "hàng ngang", ta có thể hướng dẫn giúp học sinh suy luận theo kiểu "cột dọc " Cách này khá hữu hiệu Đây thực chất là ta lại sử dụng lược đồ xếp theo kiểu cột Cụ thể sau: A C B - 20 A2 B2 +5 - 40 B3 A3 + 18 140 +20, + 15 -18, +4 160 -15 C2 + 40, - C3 -4 180 Nhìn vào lược đồ cột, thực theo chiều các mũi tên "dài", ta dễ dàng tính số bi hộp lúc đầu Chú ý xét " thêm ", " bớt" cột không cần biết đâu chuyển đến hay chuyển đâu Các bước giải bài toán có thể làm gộp ngắn gọn sau: Số bi hộp A lúc đầu là: 140 - 18 - + 20 = 137 ( bi ) Số bi hộp B lúc đầu là: 160 - + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi ) Số bi hộp C lúc đầu là: 180 + + - 40 + 15 = 164 ( bi ) Đáp số: Hộp A: 137 bi; Hộp B: 179 bi; Hộp C: 164 bi Ví dụ 3.2: Có hai thùng đựng dầu A và B Lần đầu chuyển 26 l từ thùng A sang thùng B Lần thứ hai chuyển từ thùng B sang thùng A số lít dầu gấp lần số lít dầu có thùng A Lần thứ ba chuyển từ thùng A sang thùng B số lít dầu đúng số lít dầu có thùng B thì cuối cùng thùng A có 48 l, thùng B có 60 l Hỏi lúc đầu thùng có bao nhiêu lít dầu ? Đây là bài toán thuộc dạng thứ ba Trong đó cần lưu ý, chuyển từ địa này sang địa khác có cách: - Chuyển số đơn vị cụ thể ( tương tự ví dụ 3.1) - Chuyển số lần có địa chuyển đến Hướng dẫn giải:  Lập bảng Nội dung chuyển Lần 1: Chuyển 26 bi từ A Lần 2: Chuyển từ B dầu có A Lần 3: Chuyển từ A số dầu có B Số bi các hộp A B 26 2A 2B B A số lít dầu gấp lần số B số lít dầu đúng Cuối cùng 3A 3B 48 lít 60 lít Hàng + Tính số lít dầu thùng trước chuyển lần thứ ba ( các ô 3A, 3B ) - Số lít dầu thùng B ( ô 3B) Sau chuyển lần thứ ba ( cuối cùng ), thùng B có 60 l Đã chuyển từ thùng A sang thùng B số dầu số dầu thùng B có để 60 l Vậy trước chuyển lần thứ ba thùng B có bao nhiêu lít dầu ? Muốn tính ta phải làm nào ? ( 60 : = 30 - có thể minh hoạ SĐĐT để các em dễ hiểu ) - Số lít dầu thùng A ( ô 3A ) Bớt 30 còn 48 Vậy, muốn tìm số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba ta có thể làm nào ? ( 30 + 48 = 78 - 48 + 60 - 30 = 78 ) + Tính số lít dầu thùng trước chuyển lần thứ hai - Số lít dầu thùng A ( ô 2A ) Được thêm lần chính nó thì 78 Vậy, muốn tìm "chính nó" hay số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai ta có thể làm nào và bao nhiêu ? ( 78 : = 26 ) Nên mimh hoạ SĐĐT để học sinh dễ hiểu 78 đã có thêm - Số lít dầu thùng B ( ô 2B ) Muốn tính số lít dầu ô 2B ta có thể làm nào ? ( 48 + 60 - 26 = 82 ) + Tính số lít dầu thùng lúc đầu ( ô 1A, 1B ), hay trước chuyển lần thứ - Số lít dầu thùng B lúc đầu: Được thêm 26 thì 82 Vậy, muốn tìm số dầu lúc đầu thùng B ta có thể làm nào ? ( 82 26 = 56 ) - Từ đó tìm số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l )  Sử dụng lược đồ cột B A + 26 - 26 + 26 2B 2A + thêm lần nó ( gấp lần ) :3 3A + 30 Bớt lần ( 2A ) 3B Trừ lần ( 3B ) 48 + thêm lần nó 60 Bài giải cụ thể: Tổng số lít dầu hai thùng luôn là: 60 + 48 = 108 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ ba là: 60 : = 30 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba là: 108 - 30 = 78 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai là: 78 : = 26 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ hai là: 108 - 26 = 82( l ) Số lít dầu thùng B lúc đầu là: 82 - 26 = 56 ( l ) Số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) Đáp số: Thùng A: 52 l; Thùng B: 56 l Chú ý: Nếu xếp theo lược đồ cột thì không thể tính liên tục thùng ví dụ 3.1 4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối cùng các phần chia Để tìm tòi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trước cuối" hay " áp chót" và mối quan hệ gía trị " áp chót" và gía trị cuối cùng để suy kết bài toán Đây là dạng tương đối phức tạp các bài toán giải phương pháp suy luận từ cuối Những cái khó đó là: - Kết cuối cùng thường không phải là số cụ thể - Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật Muốn giải dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích và tìm giá trị " áp chót" ( trước cuối ) Từ đó tính đáp số bài toán Ví dụ 4.1: Một tổ công nhân sau hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ thưởng số tiền Người tổ trưởng đem chia số tiền đó sau: - Tổ trưởng 100000 đồng và 1/10 số tiền còn lại - Tổ phó 200000 đồng và 1/10 số tiền còn lại - Công nhân thứ 300000 đồng và 1/10 số tiền còn lại - Công nhân thứ hai 400000 đồng và 1/10 số tiền còn lại Cứ tiếp tục chia người cuối cùng thì số tiền thưởng chia cho tất người Hỏi số tiền thưởng cho tổ là bao nhiêu và người thưởng bao nhiêu tiền ? Ví dụ này là bài toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cùng đây không biết cụ thể, mà biết là cách biến đổi thì cuối cùng số tiền chia cho người là Bằng các cách giải với các ví dụ trước với loại này không thể thực Để giúp HS giải loại này ta cần phân tích, xét phần " áp chót" và phần "chót" để tìm cách giải Bằng SĐĐT ta có: " áp chót " " Cuối cùng" 1/10 " Cuối cùng " Trước hết phải thấy người cuối cùng nhận số tiền là số nguyên trăm nghìn đồng thì vừa hết ( tức là 1/10 phần còn lại là 0) Nếu không thì người này chưa phải là người cuối cùng  Theo sơ đồ ta thấy: Người " áp chót " nhận số nguyên trăm nghìn đồng và 1/10 số tiền còn lại Như vậy, 9/10 số tiền còn lại là người cuối cùng  Người cuối cùng nhận số nguyên trăm nghìn và người "áp chót" 100000 đ Vậy, 100000 đ đó chính là 1/9 số tiền người cuối cùng nhận Từ đó ta có: + Số tiền người cuối cùng nhận là: 100000 : 1/9 = 900000 (đồng ) + Số người tổ đó là: người + Số tiền toàn tổ là: 900000 x = 8100000 ( đồng ) Cũng lập luận trên ta có thể có cách trình bày thứ hai sau:  Gọi số nguyên trăm nghìn đồng người " áp chót" nhận là A, phần còn lại là B đồng  Từ đó ta có: Số tiền người "áp chót" nhận biểu diễn theo A và B nào ? ( A + B) 10  B) 10 Theo bài toán, số tiền chia cho người, có nghĩa là số tiền người " áp chót" nhận số tiền người cuối cùng nhận, nên ta có thể biểu diễn quan hệ số tiền hai người này nào ? (A+ B= B 10 10 A= B) 10 Mặt khác, người cuối cùng nhận B là vừa hết, nên số tiền người cuối cùng nhận số nguyên 10 trăm nghìn người " áp chót" nhận và thêm 100000 đ Tức là: 9 B = A + 100000 B= B + 100000 B = 100000 10 10 10 10 B = 100000 : 1/10 = 1000000 Vậy, số tiền người nhận là: 1000000 x 9/10 = 900000 ( đ ) Từ đó tính số tiền tổ: + Cách 1: Theo quy luật cộng thêm số nguyên trăm nghìn, dễ thấy tổ có người Vậy : Tổng số tiền thưởng là: 900000 x = 8100000 ( đ ) + Cách 2: Từ chỗ người thưởng 900000 đ, nên ta có: 100000 đ + 1/10 số tiền còn lại = 900000 đ 1/10 số tiền còn lại là 8000000 đ Vậy, tổng số tiền thưởng là : 8000000 + 100000 = 8100000 ( đ ) Lưu ý: Về cách tính số người tổ có thể thực theo cách sau: Số người tổ đó là: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + = ( người ) Ví dụ 4.2: Một người đem bán số cam sau: Người thứ mua và 1/6 số cam còn lại Người thứ hai mua 18 và 1/6 số cam còn lại Người thứ ba mua 27 và 1/6 số cam còn lại Số tiền người cuối cùng nhận biểu diễn nào ? ( Cuối cùng số cam vừa hết và số cam người mua Hỏi người đó đã bán bao nhiêu cam ? Hướng dẫn giải: Tương tự ví dụ 4.1, trước hết ta cần khảng định số điều sau: + Người thứ mua quả, người thứ hai mua 18 quả, người thứ ba mua 27 quả, … Vậy, quy luật đây là người mua sau người mua liền trước + Người cuối cùng mua số nguyên cam thì vừa hết, có nghĩa phần dư còn lại là + Người " áp chót" mua số nguyên cam và 1/6 số cam còn lại thì 5/6 số cam còn lại này là số cam người cuối cùng mua + Số cam người mua là Ta sử dụng SĐĐT: Cuối cùng "áp chót" (A) (B) Cuối cùng Đặc biệt lưu ý: Phần nguyên số cam người cuối cùng mua phần nguyên số cam người " áp chót" mua và thêm Vậy, 1/6 số cam còn lại sau người " áp chót" mua số nguyên cam là Vậy, số cam người cuối cùng mua là: x = 45 ( ) Số người mua cam là: ( 45 - ) : ( 18 - ) + = ( người ) Số cam người đó đem bán là: 45 x = 225 ( ) Ta có thể hướng dẫn các em giải theo cách khác: Gọi phần nguyên số cam người "áp chót" mua là A, phần còn lại là B ( xem hình vẽ ) Số cam người " áp chót" mua biểu diễn theo A và B : A + B Số cam người " cuối cùng " mua biểu diễn theo B là: B Theo bài toán ta có: A + B 6 5 = B A= B Từ đó: BB= B=9 6 6 B = 54 Mỗi người mua số cam : 54 : x = 45 quả, số cam người đó đem bán là: 45 x = 225 (quả) Khái quát vấn đề Mô hình chung loại toán giải phương pháp suy luận từ cuối là: cần tìm + Một số + Nhiều số Kết sau biến đổi lần thứ (chưa biết ) Kết sau biến đổi lần thứ hai (chưa biết) Kết sau biến đổi lần thứ ba (chưa biết) … cuối cùng ( đã biết) Các bước thực ngược để giải bài Quy trình giải chủ yếu thực các bước theo chiều mũi tên ngược với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực các phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào quá trình biến đổi Có bài việc biến đổi đơn giản, có bài biến đổi phức tạp Có số bài toán kết cuối cùng có thể không phải là số cụ thể mà có thể lại là bài toán, giải các bài toán đó ta sễ tìm các kết cuối cùng ( thông thường là các bài toán Tổng - Tỉ, Hiệu - Tỉ … ) Khi giải toán phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho đề bài Kết tìm bước trước chính là thành phần đã biết phép tính liền sau đó Sau thực hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho đề bài, ta nhận kết cần tìm Những bài toán giải phương pháp tính ngược từ cuối thường giải phương pháp đại số phương pháp ứng dụng đồ thị (xem các số tiếp theo) Ví dụ 1: Tìm số, biết tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với 16 bớt và cuối cùng chia cho ta kết 12 Phân tích: Trong bài này ta đã thực liên tiếp dãy số cần tìm dãy các phép tính đây: x 2, + 16, - 4, : cho kết cuối cùng 12 - Ta có thể xác định số trước chia cho kết là 12 (Tìm số bị chia biết số chia và thương số) - Dựa vào kết tìm bước 1, ta tìm số trước bớt (Tìm số bị trừ biết số trừ và hiệu số) - Dựa vào kết tìm bước 2, ta tìm số trước cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết biết số hạng và tổng số) - Dựa vào kết tìm bước 3, ta tìm số trước nhân với 2, chính là số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết biết tích và thừa số kia) Từ phân tích trên ta đến lời giải sau: Số trước chia cho là: 12 x = 36 Số trước bớt là: 36 + = 40 Số trước cộng với 16 là: 40 - 16 = 24 Số cần tìm là: 24 : = 12 Trả lời: Số cần tìm là 12 Ví dụ 2: Tìm ba số, biết sau chuyển 14 đơn vị từ số thứ sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba chuyển đơn vị từ số thứ ba sang số thứ ta ba số 45 Phân tích: Ta có thể minh họa các thao tác đề bài sơ đồ sau: Ta có: Số thứ nhất: - 14; + cho kết là 45 Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết là 45 Số thứ ba: + 28; - cho kết là 45 Từ phân tích trên ta đến lời giải bài toán sau: Số thứ là: 45 - + 14 = 52 Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49 Số thứ ba là: 45 + - 28 = 24 Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24 Lời giải bài toán trên có thể thể bảng sau: Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24 Các bạn thử giải các bài toán sau phương pháp tính ngược từ cuối: 18 DẠNG TOÁN CÔNG VIỆC Trong thực tế ta gặp nhiều bài toán công việc chung Khi giải các bài toán dạng này ta có thể hiểu công việc là đơn vị và biểu thị thành nhiều phần cho phù hợp với các điều kiện bài toán, để thuận tiện cho việc tính toán và giải bài toán đó Ta xét vài ví dụ sau : Ví dụ : Ba người cùng làm công việc Người thứ có thể hoàn thành công việc ngày Người thứ hai có thể hoàn thành công việc nhiều gấp lần công việc đó ngày Người thứ ba có thể hoàn thành công việc nhiều gấp lần công việc đó trong12 ngày Hỏi ba người cùng làm công việc ban đầu thì hoàn thành bao nhiêu giờ, ngày làm ? Phân tích : Muốn tính xem ba người cùng làm công việc ban đầu bao lâu ta phải biết số phần công việc ba người làm ngày Muốn tìm số phần công việc ba người làm ngày thì phải tìm số phần công việc người làm ngày Số phần công việc làm ngày người chính số phần công việc chung chia cho số ngày Do đó số phần công việc chung phải chia hết cho số ngày Số nhỏ chia hết cho 3, và 12 là 24 Vậy ta coi công việc chung giao là 24 phần để tìm số phần công việc người ngày Bài giải : Coi công việc chung giao là 24 phần thì số phần công việc người thứ làm ngày là : 24 : = (phần) Số phần công việc người thứ hai làm ngày là : 24 : = (phần) Số phần công việc người thứ ba làm ngày là : 24 : 12 = 10 (phần) Số phần công việc ba người làm ngày là : + + 10 = 27 (phần) Thời gian cần để ba người cùng làm xong công việc ban đầu là : Số cần để ba người hoàn thành công việc ban đầu là : Ví dụ : Để cày xong cánh đồng, máy cày thứ cần giờ, máy cày thứ hai cần 15 Người ta cho máy cày thứ làm việc nghỉ để máy cày thứ hai làm tiếp cày xong diện tích cánh đồng này Hỏi máy cày thứ hai đã làm bao lâu ? Phân tích : Ở bài này “công việc chung” chính là diện tích cánh đồng Theo cách phân tích bài toán 1, diện tích cánh đồng biểu thị số phần là số nhỏ chia hết cho và 15 Nếu coi diện tích cánh đồng là 45 phần thì tìm số phần diện tích máy cày Từ đó ta tìm thời gian máy cày thứ hai làm Bài giải : Coi diện tích cánh đồng là 45 phần thì ngày thứ cày số phần diện tích là : 45 : = (phần) Trong máy cày thứ cày số phần diện tích là : x = 30 (phần) Số phần diện tích còn lại là : 45 - 30 = 15 (phần) Mỗi máy thứ hai cày số phần diện tích là : 45 : 15 = (phần) Thời gian để máy thứ hai cày nốt số phần diện tích còn lại là : 15 : = (giờ) Ví dụ : Ba vòi cùng chảy vào bể nước thì sau 20 phút đầy bể Nếu riêng vòi thứ thì sau đầy bể, riêng vòi thứ hai chảy thì sau đầy bể Hỏi riêng vòi thứ ba chảy thì sau đầy bể ? Phân tích : 20 phút = 80 phút ; = 360 phút ; = 240 phút Muốn tính riêng vòi thứ ba chảy đầy bể bao lâu thì phải biết phút vòi thứ ba chảy phần bể Để tính số phần bể vòi thứ ba chảy phút ta phải tính số phần bể vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy phút Như số phần công việc chung phải chia hết cho thời gian vòi, tức là chia hết cho 80 ; 360 ; 240 Số nhỏ chia hết cho 80 ; 240 và 360 là 720 bài toán này “công việc chung” là lượng nước đầy bể, nên biểu thị lượng nước đầy bể là 720 phần, ta giải ví dụ này sau : Bài giải : Coi lượng nước đầy bể là 720 phần thì phút ba vòi cùng chảy số phần bể là : 720 : 80 = (phần) Mỗi phút vòi thứ chảy mình số phần bể là : 720 : 360 = (phần) Mỗi phút vòi thứ hai chảy mình số phần bể là : 720 : 240 = (phần) Do đó phút vòi thứ ba chảy mình số phần bể là : - (2 + 3) = (phần) Thời gian để vòi thứ ba chảy mình đầy bể là : 720 : = 180 (phút) Đổi 180 phút = Vậy sau vòi thứ ba chảy mình đầy bể 19.BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI “Một người nông dân nuôi 17 trâu Trước qua đời, ông di chúc lại cho ba người con: - Con 1/2 đàn trâu - Con thứ chia 1/3 đàn trâu - Con út chia 1/9 đàn trâu Ba người loay hoay không biết làm nào để chia gia tài mà không phải xẻ thịt các trâu Em hãy tìm cách giúp họ” Có thể giải bài toán sau: Em đem trâu (nếu không có trâu thật thì dùng trâu gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 trâu thành đàn 18 trâu Sau đó: - Chia cho người 1/2 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) - Chia cho người thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) - Chia cho người út 1/9 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) Vậy ba người vừa đúng: + + = 17 (con trâu) Còn em lại mang trâu mình Cách giải trên lạ dễ hiểu: Vì 17 không chia hết cho 2, cho và cho 9; có thêm trâu thì 18 liền chia hết cho 2, và Nhờ mà chia Song cái độc đáo cách giải này lại chỗ khác Nếu ta để ý thì thấy trâu > 17/2 trâu (vì18/2>17/2 ) trâu > 17/3 trâu (vì 18/3>17/3 ) trâu > 17/9 trâu (vì 18/9>17/9 )    Do đó cách chia trên người nào hưởng lợi mà em lại không thêm trâu nào (con trâu đem đến lại dắt về) Sao kì vậy? Chỗ bí hiểm đây là tổng ba phân số biểu thị các phần chia theo di chúc chưa (tức là chưa đàn trâu), vì: (1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (đàn trâu) Như vậy, thật người cha đã di chúc chia cho các có 17/18 đàn trâu mà thôi, còn thiếu 1/18 thì đủ 18/18, tức là đàn trâu Thế nhờ em đem thêm trâu tới nên đã chia cho ba người đàn trâu (hay đàn trâu, gồm 17 con) Do đó ba người chia nhiều phần nêu di chúc em lại không tốn thêm trâu nào! *Đề : Một ông nhà giàu vợ mang thai thì mắc bệnh hiểm nghèo, trước lúc lâm chung ông ta để lại “Di chúc ” : Sau qua đời vợ sinh trai thì gia tài cho trai 2/3 và vợ 1/3; Nếu sinh gái thì gái 1/3 và vợ 2/3 Nhưng thực tế sau ông ta chết, vọ sinh đôi : trai và gái Hỏi Tòa án dân phải xử chia gia tài cho họ nào ? Mỗi người hưởng bao nhiêu phần ? *Giải: Gia tài phải chia cho người: Con trai (T), gái (G) và bà mẹ (M) Nếu lấy Bà mẹ làm trung gian so sánh thì: - Người trai phần gấp đôi mẹ ; T/M = 2/3 : 1/3 = 2/1 - Người gái phần mẹ ; G/M = 1/3 : 2/3 = 1/2 Tổng số phần gia tài phải chia theo chúc là: 1/1 + 2/1 + 1/2 = 2/2 + 4/2 + 1/2 = 7/2; Vậy phải chia thành phần, đó : M = 2; T = 4; G = (phần) Nếu lấy Con gái làm mốc so sanh thì - Mẹ gấp đôi gái G = (phần) => M = (phần) - Con trai gấp đôi mẹ => T = (phần) Vậy phải chia thành phần, đó : M = 2; T = 4; G = (phần) Đáp số : Chia phần, đó : M = 2; T = 4; G = (phần) 20.DÙNG SƠ ĐỒ DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN BA ĐẠI LƯỢNG Sơ đồ diện tích dùng để giải các bài toán có nội dung đề cập đến ba đại lượng Giá trị ba đại lượng tích các giá trị hai đại lượng Dùng sơ đồ diện tích chúng ta giải nhanh các bài toán đó vì đã đưa bài toán trực quan là bài toán diện tích hình chữ nhật Sau đây là số thí dụ: Ví dụ 1: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 30km/giờ, sau đó từ B quay A với vận tốc 40km/giờ Thời gian từ B A ít thời gian từ A đến B là 40 phút Tính độ dài quãng đường AB Phân tích: Vì quãng đường AB (s = v x t) không đổi, nên ta có thể xem vận tốc (v) là chiều dài hình chữ nhật và thời gian (t) là chiều rộng hình chữ nhật đó Vẽ sơ đồ: Giải: Ta có 40 phút = 2/3 Nếu ô tô từ B A với vận tốc 30 km/giờ thì sau khoảng thời gian dự định từ B A, ô tô còn cách A quãng đường là: 30 x 2/3 = 20 (km) Sở dĩ có khoảng cách này là vì vận tốc xe giảm đi: 40 - 30 = 10 (km/h) Thời gian ôtô dự định từ B A là: 20 : 10 = (giờ) Quãng đường AB dài là: 40 x = 80 (km) Đáp số: 80 km Chú ý là s1 = s2 Ví dụ 2: Bạn Toán đưa tiền dự định mua số loại 2500 đồng/ Nhưng đến cửa hàng còn loại 3000 đồng/quyển Toán băn khoăn có nên mua loại này không? Vì mua thì số dự định bị hụt hai Tính số tiền bạn Toán mang đi? Phân tích: Vì số tiền bạn Toán mang không đổi, nên ta có thể xem giá tiền loại là chiều dài hình chữ nhật và số là chiều rộng hình chữ nhật đó Vẽ sơ đồ: Giải: Nếu bạn Toán mua số loại 2500 đồng/quyển số định mua loại 3000 đồng/quyển thì số tiền còn thừa là: x 2500 = 5000 (đồng) Sở dĩ có số tiền thừa này là vì giá đã giảm: 3000 - 2500 = 500 (đồng/quyển) Vậy số bạn Toán định mua loại 3000 đồng/quyển là: 5000 : 500 = 10 (quyển vở) Số tiền bạn Toán mang là: 3000 x 10 = 30000(đồng) Đáp số: 30000 đồng ph©n sè 21/ph©n sè A) Kiến thức cần ghi nhớ Tính chất phân số: Khi ta cùng nhân cùng chia tử và mẫu số phân số với cựng số tự nhiên lớn 1, ta phân số phân số ban đầu Vận dụng tính chất phân số: *Rút gọn phân số Rút gọn phân số đã cho là tìm phân số nó mà tử số và mẫu số này nhỏ tủ số và mẫu số phân số đã cho Thông thường, rút gọn phân số là phải phân số tối giản Cách rút gọn phân số : Cùng chia tử số và mẫu số cho số tự nhiên lớn Điều quan trọng là phải tìm số tự nhiên đó để thực việc rút gọn phân số Việc này có thể thực lần vài lần tìm phân số tối giản đây là số ví dụ minh hoạ cách tìm "số để rút gọn được" Dựa và dấu hiệu chia hết Ví dụ Rút gọn phân số :6/8 (cùng chia 2); 27/36 (cùng chia 9); 15/40 (cùng chia 5) Chia dần bước gộp các bước (theo quy tắc chia số cho tích) Ví dụ Rút gọn phân số 132 / 204 132 / 204 = 132:2 / 204:2 = 66 / 102; 66:2 / 102:2 = 33/51; 33:3 / 51:3 = 11/17 vật 132 / 204 = 11/17 Vì x x = 12 nên 132:12 / 204:12 = 11/17 Dùng cách thử chọn theo các bước Ví dụ Rút gọn phân số 26/65 Bước 1: 26:2 = 13 Bước 2: 65:13 = Bước 3: Cùng chia 13 26:13 / 65:13 = 2/5 Phân số có dạng đặc biệt Ví dụ Rút gọn phân số 1133 / 1442 Bước 1: 1133 : 11 = 103 Bước 2: 1442 :14 = 103 Bước 3: Cùng chia 103 1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14 Vạn dụng hiểu biét mình, các em hãy tự giải các bài tập sau: Rút gọn phân số: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313 22/So sánh phân số 1.1 So sánh phân số cách quy đồng mẫu số và quy đồng tử số 1.2.So sánh phân số cách so sánh phần bù với đơn vị phân số - Phần bù với đơn vị phân số là hiệu và phân số đó - Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn thì phân số đó nhỏ và ngược lại 1.3.So sánh phân số cách so sánh phần với đơn vị phân số - Phần với đơn vị phân số là hiệu phân số và - Trong hai phân số, phân số nào có phần lớn thì phân số đó lớn 1.4.So sánh phân số cách so sánh hai phân số với phân số trung gian 1.5 Đưa hai phân số dạng hỗn số để so sánh 1.6.Thực phép chia hai phân số để so sánh So sánh phân số cách so sánh phần bù với đơn vị phân số - Phần bù với đơn vị phân số là hiệu và phân số đó - Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn thì phân số đó nhỏ và ngược lại Ví dụ: So sánh các phân số sau cách thuận tiện 2000 2001 2001 và 2002 Bước 1: (Tìm phần bù) 2000 2001 1   2001 2001 Ta có : 1- 2002 2002 Bước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh) 1 2000 2001   Vì 2001 2002 nên 2001 2002 * Chú ý: Đặt A = Mẫu - tử B = mẫu - tử Cách so sánh phần bù dùng A = B Nếu trường hợp A B ta có thể sử dụng tính chất phân số để biến đổi đưa phân số có hiệu mẫu số và tử số hai phân số nhau: 2000 2001 Ví dụ: 2001 và 2003 2000 2000 2 4000   +) Ta có: 2001 2001  4002 4000 2001   - 4002 4002 1- 2003 2003 2 4000 2001 2000 2001    +)Vì 4002 2003 nên 4002 2003 hay 2001 2003 So sánh phân số cách so sánh phần với đơn vị phân số: - Phần với đơn vị phân số là hiệu phân số và - Trong hai phân số, phân số nào có phần lớn thì phân số đó lớn 2001 2002 Ví dụ: So sánh: 2000 và 2001 Bước 1: Tìm phần 2001 2002  1  1 2000 2001 2001 Ta có: 2000 Bươc 2: So sánh phần đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh 1 2001 2002   Vì 2000 2001 nên 2000 2001 * Chú ý: Đặt C = tử - mẫu D = tử - mẫu Cách so sánh phần dùng C = D Nếu trường hợp C D ta có thể sử dụng tính chất phân số để biến đổi đưa hai phân số có hiệu tử số và mẫu số hai phân số 2001 2003 Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 2000 và 2001 2001 2001  4002   2000 2000  4000 Bước1: Ta có: 4002 2003  1  1 4000 4000 2001 2001 2 4002 2003 2001 2003    Bước 2: Vì 4000 2001 nên 4000 2001 hay 2000 2001 So sánh phân số cách so sánh hai phân số với phân số trung gian Ví dụ 1: So sánh và Bước 1: Ta có: 3 4     4    Bước 2: Vì nên 19 31 Ví dụ 2: So sánh 60 và 90 Bước 1: Ta có: 19 20 31 30     60 60 90 90 19 31 19 31    Bước 2: Vì 60 90 nên 60 90 101 100 Ví dụ 3: So sánh 100 và 101 101 100 101 100 1   101 nên 100 101 Vì 100 Ví dụ 4: So sánh hai phân số cách nhanh 40 41 57 và 55 Bài giải 40 +) Ta chọn phân số trung gian là : 55 40 40 41   +) Ta có: 57 55 55 40 41  +) Vậy 57 55 * Cách chọn phân số trung gian : - Trong số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là phân số dễ tìm 1 , , như: 1, (ví dụ 1, 2, 3) cách tìm thương mẫu số và tử số phân số chọn số tự nhiên nằm hai thương vừa tìm Số tự nhiên đó chính là mẫu số phân số trung gian còn tử số phân số trung gian chính a c - Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số b và d (a, b, c, d khác 0) a c - Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là d (hoặc b ) - Trong trường hợp hiệu tử số phân số thứ với tử số phân số thứ hai và hiệu mẫu số phân số thứ với mẫu số phân số thứ hai có mối quan hệ với tỉ số (ví dụ: , , , gấp 3lần,…hay ) thì ta nhân tử số và mẫu số hai phân số lên số lần cho hiệu hai tử số và hiệu hai mẫu số hai phân số là nhỏ Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian trên 15 70 Ví dụ: So sánh hai phân số 23 và 117 15 15 5 75   Bước 1: Ta có: 23 23 5 115 70 75 Ta so sánh 117 với 115 70 Bước 2: Chọn phân số trung gian là: 115 70 70 75 70 75 70 15     Bước 3: Vì 117 115 115 nên 117 115 hay 117 23 Đưa hai phân số dạng hỗn số để so sánh - Khi thực phép chia tử số cho mẫu số hai phân số ta cùng thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh dạng hỗn số, so sánh hai phần phân số hai hỗn số đó 47 65 Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 15 và 21 47 65 3 3 15 21 21 Ta có: 15 2 2 47 65  3  21 hay 15 21 Vì 15 21 nên 15 - Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta hai thương khác nhau, ta đưa hai phân số hỗn số để so sánh 41 23 Ví dụ: So sánh 11 và 10 Ta có: 41 23 3 2 11 11 10 10 41 23 2 10 hay 11 > 10 Vì > nên 11 * Chú ý: Khi mẫu số hai phân số cùng chia hết cho số tự nhiên ta có thể nhân hai phân số đó với số tự nhiên đó đưa kết vừa tìm hỗn số so sánh hai hỗn số đó với 47 65 Ví dụ: So sánh 15 và 21 47 47 65 65 9 3  9 21 7 +) Ta có: 15 x = 2 2 47 65  9 hay 15 > 21 +) Vì nên 5 Thực phép chia hai phân số để so sánh - Khi chia phân số thứ cho phân số thứ hai, thương tìm thì hai phân số đó nhau; thương tìm lớn thì phân số thứ lớn phân số thứ hai; thương tìm nhỏ thì phân số thứ nhỏ phân số thứ hai Ví dụ: So sánh và 10 50 1 Ta có: : 10 = 63 Vậy < 10 23/ TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ Khi học phân số các em làm quen với nhiều bài toán có lời văn mà giải phải chuyển chúng dạng toán điển hình Trong bài viết này tôi xin trao đổi dạng toán thông qua số ví dụ sau : Ví dụ : Tìm phân số biết nhân tử số phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số thì ta phân số phân số ban đầu là 7/36 Phân tích : Ta đã biết nhân phân số với số tự nhiên ta việc nhân tử phân số với số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số Vậy nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số tức là ta gấp phân số đó lên lần Bài toán chuyển bài toán tìm hai số biết hiệu và tỉ Bài giải : Nếu nhân tử số phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số ta phân số Vậy phân số gấp lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ : Phân số ban đầu là : Ví dụ : Tìm phân số biết ta chia mẫu số phân số đó cho 3, giữ nguyên tử số thì giá trị phân số tăng lên 14/9 Phân tích : Phân số là phép chia mà tử số là số bị chia, mẫu số là số chia Khi chia mẫu số cho 3, giữ nguyên tử số tức là ta giảm số chia lần nên thương gấp lên lần hay giá trị phân số đó gấp lên lần Do đó phân số gấp lần phân số ban đầu Bài toán chuyển dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ Bài giải : Khi chia mẫu phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì ta phân số nên phân số gấp lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ : Phân số ban đầu là : Ví dụ : An nghĩ phân số An nhân tử số phân số đó với 2, đồng thời chia mẫu số phân số đó cho thì An phân số Biết tổng phân số và phân số ban đầu là 35/9 Tìm phân số An nghĩ Phân tích : Khi nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số thì phân số đó gấp lên lần Khi chia mẫu số phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì phân số đó gấp lên lần Vậy nhân tử số phân số với đồng thời chia mẫu số phân số cho thì phân số đó gấp lên x = (lần) Bài toán chuyển dạng toán điển hình tìm số biết tổng và tỉ Bài giải : Khi nhân tử số phân số An nghĩ với đồng thời chia mẫu số phân số đó cho thì phân số Vậy phân số gấp phân số ban đầu số lần là : x = (lần), ta có sơ đồ : Phân số ban đầu là : Từ ví dụ trên ta rút nhận xét sau : Một phân số : - Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số bao nhiêu lần và giữ nguyên mẫu số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) nhiêu lần - Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số bao nhiêu lần và giữ nguyên tử số thì phân số đó tăng (hoặc giảm) nhiêu lần Các bạn hãy thử sức mình số bài toán sau đây : Bài : Tìm phân số biết tăng tử số lên lần, đồng thời tăng mẫu số lên lần thì giá trị phân số tăng 12/11 Bài : Toán nghĩ phân số sau đó Toán chia tử số phân số cho và nhân mẫu số phân số với thì Toán thấy giá trị phân số giảm 15/8 Tìm phân số mà Toán nghĩ Bài : Từ phân số ban đầu, Học đã nhân tử số với phân số thứ nhất, chia mẫu số cho phân số thứ hai, chia tử số cho đồng thời nhân mẫu số với phân số thứ ba Học thấy tổng ba phân số là 25/8 Đố bạn tìm phân số ban đầu Học 27 tìm số biết “Hai tỉ số” Cách giải: Bước 1: Đọc đề bài xác định đại lượng không bị thay đổi và đại lượng bị thay đổi Bước 2: So sánh đại lượng bị thay đổi với đại lượng không bị thay đổi (một đại lượng hai thời điểm khác nhau) Bước 3: Tìm phân số ứng với số đơn vị bị thay đổi Bước 4: Tìm đại lượng không bị thay đổi và đại lượng bị thay đổi Ví dụ: Một đàn vịt có số trên bờ và số lại bơi ao.Biết số vịt trên bờ 1 số vịt bơi ao Khi có vịt từ ao lên trên bờ thì số vịt trên bờ số vịt ao Hỏi đàn vịt có bao nhiêu và ban đầu trên bờ có bao nhiêu con? Bài giải Bước 1: (xác định đại lượng không thay đổi: Tổng số đàn vịt Xác định đại lượng thay đổi: Số vịt trên bờ và số vịt ao) Bước 2: So sánh đại lượng bị thay đổi với đại lượng không thay đổi (một đại lượng hai thời điểm khác nhau) Số vịt trên bờ lúc đầu bằng: : (1 + 3) = (tổng số đàn vịt) Số vịt trên bờ lúc sau bằng: (tổng số đàn vịt) Bước 3: (Tìm phân số ứng với số đơn vị bị thay đổi) Phân số ứng với vịt là: 1 = (tổng số đàn vịt) 12 Bước 4: (tìm đại lượng bị thay đổi và đại lượng không bị thay đổi) Tổng số đàn vịt có: 2: = 24 (con) 12 Số vịt trên bờ ban đầu là: x 24 = (con) Đáp số: 24 vịt, vịt trên bờ : (1 + 2) = 29 CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ Một số kiến thức cần lưu ý: Để kí hiệu phân số có tử số a, mẫu số b ( với a và b là STN # 0) ta viết: a b - Một số b số phần chia từ đơn vị, tử số a số phần lấy a - Phân số còn hiểu là thương phép chia a:b b a Mỗi số TN a có thể coi là phân số có mẫu số 1: Phân số có tử số nhỏ mẫu số thì nhỏ 1; phân số có tử số lớn mẫu số thì phân số đó lớn Nếu nhân tử số và mẫu số phân số với số TN khác thì phân số phân số đã cho: a× n a = ( n#0) b× n b Nếu ta chia .bằng phân số đã cho Phân số có mẫu số 10, 100, 1000, gọi là phân số thập phân Nếu ta cộng tử số và mẫu số phân số với cùng số trừ tử số và mẫu số cùng số thì hiệu tử số và mẫu số không thay đổi Bài 1: Cho phân số Cộng thêm vào tử số và mẫu số phân số đó với cùng số tự nhiên ta 7 phân số phân số Tìm số tự nhiên cộng thêm? Lời giải: Hiệu mẫu số và tử số phân số đã cho là : – = (đơn vị) Khi ta cộng vào tử số và mẫu số với cùng số tự nhiên thì hiệu mẫu số và tử số phân số Đối với phân số ta có sơ đồ sau : Tử số: Mẫu số : Số phần mẫu số nhiều tử số là: – = (phần) Tử số phân số là : : = 14 Số tự nhiên cộng thêm là : 14 – = 11 Đáp số : 11 30.CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ THÊM BỚT TỬ SỐ MẪU SỐ ,CẢ TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ * TÌM PHÂN SỐ BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ VD1:Cho phân số có tổng tử số và mấu số là 68 Tìm phân số đó biết chuyển đơn vị từ mẫu số lên tử số thì phân số có giá trị * Tìm số tự nhiên a cho bớt tử số và mẫu số a đơn vị thì ta phân số (Hiệu không thay đổi dựa vào hiệu để giải) VD2: Cho phân số 35/45 Tìm số tự nhiên a cho ta bớt tử số và mẫu số di a đơn vị thì ta đợc phân số 2/3 *Tìm số tự nhiên a cho thêm tử số và mẫu số a đơn vị thì ta đợc phân số ( Hiệu không thây đổi dựa vào hiệu để giải) VD3: Cho phân số 17/25 Tìm số tự nhiên a cho ta bớt tử số và mẫu số di a đơn vị thì ta đợc phân số 2/3 -Tìm số tự nhiên a cho thêm (hoặc bớt) tử số a đơn vị ta phân số (Mẫu số không đổi cần dựa vào mẫu số để giải) VD 4: Cho phân số 34/90 Hỏi phải bớt tử số bao nhiêu đơn vị để đợc phân số có giá trị 1/5 *Tìm số tự nhiên a cho thêm bớt mẫu số a đơn vị ta phân số (Tử số không đổi cần dựa vào tử số để giải ) BÀI TÂP Cho phân số 35/54 Hỏi phải bớt tử số bao nhiêu đơn vị để đợc phân số 5/9 2.Cho phân số 15/54 Hỏi phải bớt mẫu số bao nhiêu đơn vị để phân số 3/10 * Chuyển từ tử số xuống mẫu số a đơn vị (hoặc mẫu số lên tử số a đơn vị thì phân số có giá trị ) Tổng tử số và mẫu số không thay đổi dựa vào tổng để giải Ví dụ : Cho phân số 13 /47 Hỏi phải chuyển bao nhiêu đơn vị từ tử số xuống mẫu số để phân số 1/5 CHÚ Ý: Dạng bài này cần xác định hiệu tử số và mẫu số (Lưu ý có cụm từ phân số nghĩa là tử số mẫu số) 31.CÁC PHÂN SỐ NẰM GIỮA HAI SỐ Một dạng toán khá thú vị là yêu cầu tìm các phân số nằm hai số cho trước Một lưu ý với các bạn là : hai số cho trước bất kì có nhiều phân số Nếu không có yêu cầu gì thêm các phân số này thì chúng ta không viết hết các phân số nằm hai số cho trước Thí dụ : Hãy thử tìm phân số nằm 3/7 và 5/7 Nhiều bạn cho là “Làm gì có phân số nào hai phân số này ?” Ta thử nhân tử và mẫu hai phân số với thì 8/14 và 10/14 Đến đây thì các bạn “ kiếm” 9/14 Nếu nhân tiếp tử và mẫu hai phân số trên với thì 16/28 và 20/28 Thế là các bạn kể phân số thỏa mãn bài toán là 17/28, 18/28, 19/28 Cứ tiếp tục các bạn có thể viết bao nhiêu phân số Thí dụ : Hãy viết tất các phân số nằm 1/3 và 16/27 mà mẫu số là Giải : Ta có1/3 = 9/27 Các phân số lớn 9/27 và nhỏ 16/27 là : 10/27, 11/27, 12/27, 13/27, 14/27, 15/27 Trong các tử số có 12 và 15 chia hết cho nên có hai phân số thỏa mãn bài toán là : 12/27 = (12 : 3)/(27 : 3) = 4/9 và 15/27 = (15 : 3)/(27 : 3) = 5/9 Thí dụ : Có bao nhiêu phân số nằm 5/6 và 6/7 mà tử số nhỏ 2004 ? Ta có 2004 : = 334 nên viết 6/7 = (6 x 334)/(7 x 334) = 2004/2338 Mặt khác : 5/6 = (5 x 2338/6 )/2338 = (1948 1/3)/2338 Do đó các phân số thỏa mãn bài toán có mẫu là 2338 và tử là các số tự nhiên từ 1949 đến 2003 Vậy số các phân số thỏa mãn bài toán là : 2003 - 1949 + = 55 (số) Các bạn có thể giải các bài toán trên cách khác Sau đây là vài bài toán để các bạn thử giải :