TOÁN NÂNG CAO THEO CHỦ ĐỀ (31 CHỦĐỀ) 1/Số tự nhiên - Dãy số tự nhiên A Kiến thức cần ghi nhớ Số tự nhiên nhỏ số 0, số tự nhiên lớn 4.Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị 5.Các số có chữ số tận 0,2,4,6,8 số chẵn Hai số chẵn liên tiếp (kém) hai đơn vị 6.Các số có chữ số tận 1,3,5,7,9 số lẻ Các số lẻ (kém) hai đơn vị Đối với dãy số tự nhiên liên tiếp a Khi thêm vào số tự nhiên khác số tự nhiên liền trước Vì số tự nhiên lớn dãy số tự nhiên kéo dài mãi b Bớt số tự nhiên khác số tự nhiên liền trước Vì số tự nhiên liền trước số nên số tự nhiên lớn c Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số chẵn kết thúc số lẻ bắt đầu số lẻ kết thúc số chẵn số lượng số chẵn số lượng số lẻ d Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số chẵn kết thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lượng số lẻ e Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn Một số quy luật dãy số thường gặp: a Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) số hạng đứng liền trước cộng trừ số tự nhiên d b Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) số hạng liền trước nhân chia số tự nhiên q(q>1) c Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng hai số hạng đứng liền trước d Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng liền trước cộng với số tự nhiên d cộng với thứ tự số hạng e Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng liền trước nhân với số thứ tự số hạng f Mỗi số hạng số thứ tự nhân với số thứ tự số hạng đứng liền sau dãy số cách đều: a Tính số lượng số hạng dãy số cách đều: Số số hạng = ( số hạng cuối - số hạng đầu ) : d+1 ( d khoảng cách hai số hạng liên tiếp) b Tính tổng dãy số cách đều: VD: Tổng dãy số 1, 4, 7, 10, 13, , 94, 97, 100 là: (1 + 100) × 34 = 1717 2.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DÃY SỐ THEO QUY LUẬT * DÃY SỐ TỰ NHIÊN Một số quy luật dãy số -0;1;2;3;4 dãy số tự nhiên liên tiếp Số thứ n = n-1 -0;2;4;6 dãy số chẵn Số thứ n =( n-1) x2 -1;3;5;7 Dãy số lẻ Số thứ n = n x 2-1 -1;2;3;5;8 vv Ta có : 3=1 +2 5= 3+2 = 5+3 13=8+5 Tổng số trước số đứng sau kể từ số thứ *1;4;9;16;25 v v Ta có: 1=1x1 4=2x2 9=3x3 Số số thứ tự nhân với -Số thứ 100 :100x100=10000 Số thứ n = n x n *1;4;7;10;13 vvv Dạng thường có yêu cầu: - Tính tổng 50 số đầu.(Tím số đầu ,số cuối ghép cặp;tìm số cặp ;giá trị cặp chuyển thành phép nhân) -Cho số xem số có thuộc dãy không Ta có : 1:3 =0 dư1 4:3=1dư1 7:3 =2 dư1 Các số chia cho có số dư Đem số yêu cầu chia giống kết luận có thuộc dãy số không -Tìm số thứ n dãy số -Cách tìm số dựa váo số thứ tự Ta có : 1=(1-1)x3+1 4=(2-1)x3 +1 7= (3-1)x3 +1 10 = (4-1)x3 +1 Ta có số số thứ tự trừ nhân cộng Số thứ 100 dãy số (100 -1) x +1= 298 Số thứ n = ( n-1) x +1 + Ví dụ : Cho số 1;4;7;10; a.Số 2221;2234 có thuộc dãy số không ? b.Số thứ 134 ,số thứ 205 số ? c.Tính tổng 50 số đầu dãy số Bài giải a.Ta có : 1:3 =0 dư1 4:3=1dư1 7:3 =2 dư1 Các số thuộc dãy số chia cho dư 2221: 3=740 dư1 số 2221thuộc dãy số -2234:3=778 không thuộc dãy số b số đứng thứ1:1=(1-1)x3+1 số đứng thứ2: 4=(2-1)x3 +1 số đứng thứ 3:7= (3-1)x3 +1 số đứng thứ 4:10 = (4-1)x3 +1 Ta có số số thứ tự trừ nhân cộng Số thứ 134 (134-1)x3 +1 Số thứ 205 :(205-1)x3+1 c Tính tổng 50 số đầu Ta có : số thứ 50 là: (50-1)x3 +1= 148 1;4;7;10;13 145;148 Ghép thành cặp (1+148)+(4+145)+ Số cặp 50:2=25 (cặp) Mỗi cặ có giá trị 149 Vậy tổng :149x 25= 3725 3/CẤU TẠO SỐ Sử dụng cấu tạo thập phân số 1.1 Phân tích làm rõ chữ số ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c Ví dụ: Cho số có chữ số, lấy tổng chữ số cộng với tích chữ số số cho số Tìm chữ số hàng đơn vị số cho Bài giải Bước (tóm tắt toán) Gọi số có chữ số phải tìm (a > 0, a, b < 10) Theo ta có = a + b + a x b Bước 2: Phân tích số, làm xuất thành phần giống bên trái bên phải dấu bằng, đơn giản thành phần giống để có biểu thức đơn giản a x 10 + b = a + b + a x b a x 10 = a + a x b (cùng bớt b) a x 10 = a x (1 + b) (Một số nhân với tổng) 10 = + b (cùng chia cho a) Bước 3: Tìm giá trị : b = 10 - b=9 Bước : (Thử lại, kết luận, đáp số) Vậy chữ số hàng đơn vị số là: Đáp số: 1.2 Phân tích làm rõ số ab = a + b abc = a 00 + b0 + c abcd = a 00 + b00 + c0 + d = ab00 + cd Ví dụ : Tìm số có chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái số ta số lớn gấp 31 lần số cần tìm Bài giải Bước 1: Gọi số phải tìm ab (a > 0, a, b < 0) Khi viết thêm số 21 vào bên trái số ab ta số 21ab Theo ta có: 21ab = 31 x ab Bước 2: 2100 + ab = 31 x ab (phân tích số 21ab = 2100 + ab ) 2100 + ab = (30 + 1) x ab 2100 + ab = 30 x ab + ab (một số nhân tổng) 2100 = ab x 30 (cùng bớt ab ) Bước 3: ab = 2100 : 30 ab = 70 Bước 4: Thử lại 2170 : 70 = 31 (đúng) Vậy số phải tìm là: 70 Đáp số: 70 2.2.Ví dụ: Tìm số có chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị Bài giải Cách 1: Bước 1: Gọi số phải tìm ab (0 < a < 10, b < 10) Theo đề ta có: ab = x b Bước 2: Sử dụng tính chất chẵn lẻ chữ số tận Vì x b số chẵn nên ab số chẵn b > nên b = 2, 4, Bước 3: Tìm giá trị phương pháp thử chọn Nếu b = ab = x = 12 (chọn) Nếu b = ab = x = 24 (chọn) Nếu b = ab = x = 36 (chọn) Nếu b = ab = x = 48 (chọn) Bước 4: Vậy ta số thoả mãn đề là: 12, 24, 36, 48 Đáp số: 12, 24, 36, 48 Cách 2: Bước 1: Gọi số phải tìm ab (0 < a < 10, b < 10) Theo đề ta có: ab = x b Bước 2: Xét chữ số tận Vì x b có tận b nên b là: 2, 4, Bước 3: Tìm giá trị phương pháp thử chọn Nếu b = ab = x = 12 (chọn) Nếu b = ab = x = 24 (chọn) Nếu b = ab = x = 36 (chọn) Nếu b = ab = x = 48 (chọn) Bước 4: Vậy ta số thoả mãn đề là: 12, 24, 36, 48 Đáp số: 12, 24, 36, 48 II Một số dạng toán điển hình : Dạng 1: Viết số TN từ chữ số cho trước Bài : Cho bốn chữ số : 0; 3; a) Viết tất số có chữ số khác từ chữ số cho ? b) Tìm số lớn nhất, số nhỏ có chữ số khác viết từ chữ số cho? c) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ có chữ số khác viết từ chữ số cho ? Lời giải: Cách Chọn số làm chữ số hàng nghìn, ta có số: 3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980 Vậy từ chữ số cho ta viết số có chữ số hàng nghìn thoả mãn điều kiện đầu Chữ số đứng vị trí hàng nghìn Vậy số số thoả mãn điều kiện đề là: × = 18 ( số ) Cách 2: Lần lượt chọn chữ số nghìn, hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị sau: - Có cách chọn chữ số hàng nghìn số thoả mãn điều kiện đầu ( số đứng vị trí hàng nghìn ) - Có cách chọn chữ số hàng trăm ( chữ số lại khác chữ số hàng nghìn ) - Có cách chọn chữ số hàng chục ( chữ số lại khác chữ số hàng nghìn hàng trăm lại ) - Có cách chọn chữ số hàng đơn vị ( chữ số lại khác chữ số hàng nghìn , hàng trăm , hàng chục ) Vậy số viết là: × × × = 18 ( số ) b) Số lớn có chữ số khác viết từ chữ số cho phải có chữ số hàng nghìn chữ số lớn ( chữ số cho ) Vậy chữ số hàng nghìn phải tìm Chữ số hàng trăm phải chữ số lớn chữ số lại Vậy chữ số hàng trăm Chữ số hàng chục số lớn hai chữ số lại Vậy chữ số hàng chục Số phải tìm 9830 Tương tự số bé thoả mãn điều kiện đầu 3089 c) Tương tự số lẻ lớn thoả mãn điều kiện đầu : 9803 Số chẵn nhỏ thoả mãn điều kiện đầu : 3098 Dạng 2: Các toán giải phân tích số : Bài 1: Tìm số TN có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta số lớn gấp 13 lần số cho ? Lời giải: Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên trái ta số 9ab Theo ta có : 9ab = ab × 13 900 + ab = ab × 13 900 = ab × 13 - ab 900 = ab × ( 13 – ) 900 = ab × 12 ab ab = 900 : 12 = 75 Vậy số phải tìm 75 Bài 2: Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng thêm 1112 đơn vị Lời giải: Gọi số phải tìm abc Khi viết thêm chữ số vào bên phải ta số abc5 Theo ta có: abc5 = abc + 1112 × abc + = abc + 1112 10 × abc = abc + 1112 – 10 × abc - abc = 1107 ( 10 – ) × abc = 1107 × abc = 1107 abc = 1107 : abc = 123 10 Vậy số phải tìm 123 Dạng 3: Những toán xét chữ số tận số Một số kiến thức cần lưu ý: Chữ số tận tổng chữ số tận tổng chữ số hàng đơn vị số hạng tổng Chữ số tận tích chữ số tận tích chữ số hàng đơn vị thừa số tích Tổng + + + + có chữ số tận Tích × × × × có chữ số tận 5 Tích a × a có tận 2; 3; Bài 1: Không làm tính, cho biết chữ số tận kết sau : a) ( 1991 + 1992 + + 1999 ) – ( 11 + 12 + .+ 19 ) b) ( 1981 + 1982 + + 1989 ) × ( 1991 + 1992 + + 1999 ) c) 21 × 23 × 25 × 27 – 11 × 13 × 15 × 17 Lời giải : a) Chữ số tận tổng : ( 1991 + 1992 + + 1999 ) ( 11 + 12 + .+ 19 ) chữ số tận tổng + + + + Cho nên hiệu có tận b) Tương tự phần a, tích có tận c) Chữ số tạnn tích 21 × 23 × 25 × 27 11 × 13 × 15 × 17 dều chữ số tận tích × × × Cho nên hiệu có tận Bài : Không làm tính, xét xem kết sau hay sai ? Giải thích ? a) 136 × 136 – 42 = 1960 b) ab × ab - 8557 = Lời giải: a) Kết sai, tích 136 × 136 có tận mà số trừ có tận nên hiệu có tận b) Kết sai, tích số TN nhân với có tận chữ số 0; 1; 4; 5; Các toán dãy số I Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Cách giải Trước hết cần xác định quy luật dãy số Những quy luật thường gặp : + Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng trước cộng (hoặc trừ) với số tự nhiên d + Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng trước nhân ( chia) với số TN q khác + Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) tổng hai hạng đứng trước + Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) tổng số hạng đứng trước cộng với số TN d cộng với số thứ tự số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự Vvv Bài Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau : a) 1; 3; 4; 7; 11; 18; b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; c) ; 3; 7; 12; d) 1; 2; 6; 24; Lời giải: a) Nhận xét : = + 1; = + 4; 11 = + 7; Từ rút quy luật dãy số là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) tổng hai số hạng đứng trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76; b) Tương tự phần a, ta tìm quy luật dãy số là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) tổng ba số hạng đứng trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136; c) Ta nhận xét : Số hạng thứ hai : = + + Số hạng thứ ba : = + + Số hạng thứ tư : 12 = + + Từ rút quy luật dãy là: Mỗi số hạng ( Kể từ số hạng thứ hai ) tổng số hạng đứng trước cộng với cộng với số TT số hạng Viết tiếp ba số hạng ta dãy số sau : ; 3; 7; 12;18; 25; 33; d) Ta nhận xét : Số hạng thứ hai là: = × Số hạng thứ ba : = × Số hạng thứ tư : 24 = × Từ rút quy luật dãy số : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) tích số hạng đứng liền trước nhân với số thứ tự số hạng Viết tiếp ba số hạng ta dãy số sau : 1; 2; 6; 24;120; 720; 5040; Bài : Tìm số hạng dãy số sau : a) ; 17; 19; 21 b) : 64; 81; 100 Biết dãy có 10 số hạng Lời giải : a) Ta nhận xét : Số hạng thứ mười 21 = × 10 + Số hạng thứ chín 19 = × + Số hạng thứ tám 17 = × + Từ suy quy luật dãy số : Mỗi số hạng dãy nhân với số thứ tự số hạng dãy cộng với Vậy số hạng dãy là: × + = b) Tương tự ta rút quy luật dãy : Mỗi số hạng dãy số thứ tự nhân với STT số hạng Vậy số hạng dãy là: × = II Xác định số a có thuộc dãy cho hay không Cách giải: - Xác định quy luật dãy - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật hay không Bài 1: Hãy cho biết: a) Các số 50 133 có thuộc dãy 90; 95; 100; hay không ? b) Số 1996 thuộc dãy 2;5;8;11; hay không ? c) Số số 666; 1000; 9999 thuộc dãy 3; 6; 12; 24; hay không ? Giải thích ? Lời giải : a) Cả hai số 50 133 không thuộc dãy cho, : - Các số hạng dãy lớn 50 - Các số hạng cho chia hết cho mà 133 không chia hết cho b) Số 1996 không thuộc dãy cho, số hạng dãy chia cho dư mà 1996 chia cho dư c) Cả số 666; 1000 9999 không thuộc dãy cho, : - Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ hai) số hạng liền trước nhân với Cho nên số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) có số hạng đứng liền trước số chẵn mà 666 : = 333 số lẻ - Các số hạng chia hết cho mà 1000 không chia hết cho - Các số hạng dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) chẵn mà 9999 số lẻ III Tìm số số hạng dãy Cách giải: - Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây) Ta có công thức sau : Số số hạng dãy = Số khoảng cách + - Đặc biệt, quy luật dãy : Mỗi số hạng đứng sau số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì: Số số hạng dãy = ( Số hạng LN – Số hạng BN ) :d + Bài1 Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68 a) Hãy xác định dãy số có số hạng? b) Nếu ta tiếp tục kéo dài số hạng dãy số số hạng thứ 1996 số mấy? Lời giải : a) Ta có : 14- 11= 3; 17 – 14 = 3; Vậy quy luật dãy số số hạng đứng liền sau số hạng đứmg liền trước cộng với Số số hạng dãy số là: ( 68 – 11 ) : + = 20 ( số hạng ) b) Ta nhận xét : Số hạng thứ hai : 14 = 11 + = 11 + ( 2-1 ) × Số hạng thứ ba : 17 = 11 + = 11+ ( 3-1 ) × Số hạng thứ hai : 20 = 11 +9 = 11 + ( 4-1 ) × Vậy số hạng thứ 1996 : 11 + ( 1996-1 ) × = 5996 Đáp số : 20 số hạng 59996 Bài Trong số có ba chữ số, có số chia hết cho 4? Lời giải: Ta nhận xét : Số nhỏ có ba chữ số chia hết cho 100 vàg số lớn có ba chữ số chia hết cho 996 Như số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng BN 100, số hạng lớn 996 số hạng dãy ( kể từ số hạg thứ hai ) số hạng đứng kề trước cộng với Vậy số có ba chữ số chia hết cho : ( 996 – 100 ) : = 225 ( số ) IV Tìm tổng số hạng dãy số Cách giải: Nếu số hạng dãy số cách tổng dãy số là: ( SLN + SBN ) × Số số hạng : Bài Tính tổng 50 số lẻ Lời giải: Dãy 100 số lẻ : 1; 3; 5; ; 97; 99 Vậy ta phải tìm tổng sau: + + + + 97 + 99 Vậy tổng phải tìm : ( 99 + ) × 50 : = 2500 Bốn phép tính với số tự nhiên 5.1 Phép cộng A Kiến thức cần ghi nhớ a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) + a = a + ( a – n ) + ( b - n) = a + b – n x (a - n) + (b + n) = a + b (a + n ) + (b + n) = a + b + n x Nếu số hạng gấp lên n lần, đồng thời số hạng lại giữ nguyên tổng tăng lên bằng(n -1) lần số hạng dược gấp lên Nếu số hạng giảm n lần, đồng thời số hạng lại giữ nguyên tổng bị giảm số (1- ) số hạng bị giảm n 9.Trong tổng số lượng số hạng lẻ tổng số lẻ 10 Trong tổng có số lượng số hạng chẵn tổng số chẵn 11 Tổng số lẻ số chẵn số lẻ 12 Tổng số chẵn số chẵn 13 Tổng hai số tự nhiên liên tiếp số lẻ Bài 1: Tìm hai số có tổng 1149, biết giữ nguyên số lớn gấp số bé lên lần ta tổng 2061 Bài giải Tæng míi h¬n tæng cò lµ: 2061- 1149 = 912 Số bé số bé cũ là: 3- = lần Sè bÐ lµ : 912 : (3-1) =456 Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693 5.2 PhÐp trõ a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c Nếu số bị trừ số trừ tăng (hoặc giảm) n đơn vị hiệu chúng không đổi Nếu số bị trừ gấp lên n lần giữ nguyên số trừ hiệu tăng thêm số (n -1) lần số bị trừ (n > 1) Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ gấp lên n lần hiệu bị giảm (n - 1) lần số trừ (n > 1) Nếu số bị trừ tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên hiệu tăng lên n đơn vị Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số trừ giữ nguyên hiệu giảm n đơn vị Bài 1: Tìm hai số có hiệu 23, biết giữ nguyên số trừ gấp số bị trừ lên lần hiệu 353 Bài giải Hiệu SBT cũ là: 353 – 23 = 330 Hiệu số phần là: 3-1 = phần Số bị trừ cũ là: 330 : = 165 Số trừ cũ : 165- 23 = 142 5.3 Phép nhân a Kiến thức cần nhớ a × b = b × a a × (b × c) = (a × b) × c 3, a × = × a = 4, a × = × a = a 5, a × (b + c ) = a × b + a × c 6, a × (b − c ) = a × b − a × c 7.Trong tích thừa số gấp lên n lần đồng thời có thừa số khác giảm n lần tích không thay đổi Trong tích có thừa số gấp lên n lần, thừa số lại giữ nguyên tích gấp lên n lần ngược lại tích có thừa số bị giảm n lần, thừa số lại giữ nguyên tích bị giảm n lần.(n>0) Trong tích, thừa số gấp lên n lần, đồng thời thừa số gấp lên m lần tích gấp lên (m × n)lần Ngược lại tích thừa số bị giảm m lần , thừa số bị giảm n lần tích giảm (m × n)lần (m n khác 0) 10 Trong tích thừa số tăng lên a đơn vị , thừa số lại giữ nguyên tích tăng lên a lần tích thừa số lại 11 Trong tích có thừa số chẵn tích chẵn 12 Trong tích, có thừa số tròn chục hược có thừa số tận có thừa số chẵn tích có tận 13 Trong tích thừa số lẻ có thừa số tận tích có tận Bài 1: Tìm tích số, biết giữ nguyên thừa số thứ tăng thừa số thứ lên lần tích 8400 Bài giải Tích hai số : 8400 : = 4200 ( Vì tích có thừa số gấp lên nlần thừa số gữ nguyên thích gấp lên nlần ngược lại.) 5.4 Phép CHIA a)Kiến thức cần ghi nhớ a : (b × c) = a : b : c = a : c : b (b,c>0) : a = (a>0) a : b – a : c = (a – b) : c (c>0) a : c + b : c = (a + b) : c ( c>0) 5.Trong phép chia số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n>0) đồng thời số chia giữ nguyên thương tăng lên (giảm đi) n lần 6.Trong phép chia, tăng số chia lên n lần (n>0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thương giảm n lần ngược lại Trong phép chia, số bị chia số chia gấp (giảm) nlần (n>0) thương không thay đổi 10 Muốn tính số lít dầu ô 2B ta làm ? ( 48 + 60 - 26 = 82 ) + Tính số lít dầu thùng lúc đầu ( ô 1A, 1B ), hay trước chuyển lần thứ - Số lít dầu thùng B lúc đầu: Được thêm 26 82 Vậy, muốn tìm số dầu lúc đầu thùng B ta làm ? ( 82 26 = 56 ) - Từ tìm số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) • Sử dụng lược đồ cột B A + 26 - 26 + 26 2B 2A + thêm lần ( gấp lần ) :3 3A + 30 Bớt lần ( 2A ) 3B Trừ lần ( 3B ) 48 + thêm lần 60 Bài giải cụ thể: Tổng số lít dầu hai thùng là: 60 + 48 = 108 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ ba là: 60 : = 30 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba là: 108 - 30 = 78 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai là: 78 : = 26 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ hai là: 108 - 26 = 82( l ) Số lít dầu thùng B lúc đầu là: 82 - 26 = 56 ( l ) Số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) Đáp số: Thùng A: 52 l; Thùng B: 56 l Chú ý: Nếu xếp theo lược đồ cột tính liên tục thùng ví dụ 3.1 4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối phần chia Để tìm tòi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trước cuối" hay " áp chót" mối quan hệ gía trị " áp chót" gía trị cuối để suy kết toán Đây dạng tương đối phức tạp toán giải phương pháp suy luận từ cuối Những khó là: - Kết cuối thường số cụ thể - Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật Muốn giải dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích tìm giá trị " áp chót" ( trước cuối ) Từ tính đáp số toán Ví dụ 4.1: Một tổ công nhân sau hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ thưởng số tiền Người tổ trưởng đem chia số tiền sau: - Tổ trưởng 100000 đồng 1/10 số tiền lại - Tổ phó 200000 đồng 1/10 số tiền lại - Công nhân thứ 300000 đồng 1/10 số tiền lại - Công nhân thứ hai 400000 đồng 1/10 số tiền lại Cứ tiếp tục chia người cuối số tiền thưởng chia cho tất người Hỏi số tiền thưởng cho tổ người thưởng tiền ? 49 Ví dụ toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cụ thể, mà biết cách biến đổi cuối số tiền chia cho người Bằng cách giải với ví dụ trước với loại thực Để giúp HS giải loại ta cần phân tích, xét phần " áp chót" phần "chót" để tìm cách giải Bằng SĐĐT ta có: " áp chót " " Cuối cùng" 1/10 " Cuối " • Trước hết phải thấy người cuối nhận số tiền số nguyên trăm nghìn đồng vừa hết ( tức 1/10 phần lại 0) Nếu không người chưa phải người cuối • Theo sơ đồ ta thấy: Người " áp chót " nhận số nguyên trăm nghìn đồng 1/10 số tiền lại Như vậy, 9/10 số tiền lại người cuối • Người cuối nhận số nguyên trăm nghìn người "áp chót" 100000 đ Vậy, 100000 đ 1/9 số tiền người cuối nhận Từ ta có: + Số tiền người cuối nhận là: 100000 : 1/9 = 900000 (đồng ) + Số người tổ là: người + Số tiền toàn tổ là: 900000 x = 8100000 ( đồng ) Cũng lập luận ta có cách trình bày thứ hai sau: • Gọi số nguyên trăm nghìn đồng người " áp chót" nhận A, phần lại B đồng • Từ ta có: Số tiền người "áp chót" nhận biểu diễn theo A B ? ( A + B) 10 Số tiền người cuối nhận biểu diễn ? ( B ) 10 Theo toán, số tiền chia cho người, có nghĩa số tiền người " áp chót" nhận số tiền người cuối nhận, nên ta biểu diễn quan hệ số tiền hai người ? (A+ B= B 10 10 A= B) 10 Mặt khác, người cuối nhận B vừa hết, nên số tiền người cuối nhận số nguyên 10 trăm nghìn người " áp chót" nhận thêm 100000 đ Tức là: 9 B = A + 100000 B= B + 100000 B = 100000 10 10 10 10 B = 100000 : 1/10 = 1000000 Vậy, số tiền người nhận là: 1000000 x 9/10 = 900000 ( đ ) Từ tính số tiền tổ: + Cách 1: Theo quy luật cộng thêm số nguyên trăm nghìn, dễ thấy tổ có người Vậy : Tổng số tiền thưởng là: 900000 x = 8100000 ( đ ) + Cách 2: Từ chỗ người thưởng 900000 đ, nên ta có: 100000 đ + 1/10 số tiền lại = 900000 đ 1/10 số tiền lại 8000000 đ Vậy, tổng số tiền thưởng : 8000000 + 100000 = 8100000 ( đ ) Lưu ý: Về cách tính số người tổ thực theo cách sau: Số người tổ là: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + = ( người ) Ví dụ 4.2: Một người đem bán số cam sau: Người thứ mua 1/6 số cam lại Người thứ hai mua 18 1/6 số cam lại Người thứ ba mua 27 1/6 số cam lại 50 Cuối số cam vừa hết số cam người mua Hỏi người bán cam ? Hướng dẫn giải: Tương tự ví dụ 4.1, trước hết ta cần khảng định số điều sau: + Người thứ mua quả, người thứ hai mua 18 quả, người thứ ba mua 27 quả, … Vậy, quy luật người mua sau người mua liền trước + Người cuối mua số nguyên cam vừa hết, có nghĩa phần dư lại + Người " áp chót" mua số nguyên cam 1/6 số cam lại 5/6 số cam lại số cam người cuối mua + Số cam người mua Ta sử dụng SĐĐT: Cuối "áp chót" (A) (B) Cuối Đặc biệt lưu ý: Phần nguyên số cam người cuối mua phần nguyên số cam người " áp chót" mua thêm Vậy, 1/6 số cam lại sau người " áp chót" mua số nguyên cam Vậy, số cam người cuối mua là: x = 45 ( ) Số người mua cam là: ( 45 - ) : ( 18 - ) + = ( người ) Số cam người đem bán là: 45 x = 225 ( ) Ta hướng dẫn em giải theo cách khác: Gọi phần nguyên số cam người "áp chót" mua A, phần lại B ( xem hình vẽ ) Số cam người " áp chót" mua biểu diễn theo A B : A + B 5 Số cam người " cuối " mua biểu diễn theo B là: B Theo toán ta có: A + B = 6 B A = B Từ đó: BB= B=9 6 6 B = 54 Mỗi người mua số cam : 54 : x = 45 quả, số cam người đem bán là: 45 x = 225 (quả) Khái quát vấn đề Mô hình chung loại toán giải phương pháp suy luận từ cuối là: cần tìm + Một số + Nhiều số Kết sau biến đổi lần thứ (chưa biết ) Kết sau biến đổi lần thứ hai (chưa biết) … Kết sau biến đổi lần thứ ba (chưa biết) cuối ( biết) Các bước thực ngược để giải 51 Quy trình giải chủ yếu thực bước theo chiều mũi tên ngược với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào trình biến đổi Có việc biến đổi đơn giản, có biến đổi phức tạp Có số toán kết cuối số cụ thể mà lại toán, giải toán ta sễ tìm kết cuối ( thông thường toán Tổng - Tỉ, Hiệu - Tỉ … ) Khi giải toán phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực liên tiếp phép tính ngược với phép tính cho đề Kết tìm bước trước thành phần biết phép tính liền sau Sau thực hết dãy phép tính ngược với phép tính cho đề bài, ta nhận kết cần tìm Những toán giải phương pháp tính ngược từ cuối thường giải phương pháp đại số phương pháp ứng dụng đồ thị (xem số tiếp theo) Ví dụ 1: Tìm số, biết tăng số gấp đôi, sau cộng với 16 bớt cuối chia cho ta kết 12 Phân tích: Trong ta thực liên tiếp dãy số cần tìm dãy phép tính đây: x 2, + 16, - 4, : cho kết cuối 12 - Ta xác định số trước chia cho kết 12 (Tìm số bị chia biết số chia thương số) - Dựa vào kết tìm bước 1, ta tìm số trước bớt (Tìm số bị trừ biết số trừ hiệu số) - Dựa vào kết tìm bước 2, ta tìm số trước cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết biết số hạng tổng số) - Dựa vào kết tìm bước 3, ta tìm số trước nhân với 2, số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết biết tích thừa số kia) Từ phân tích ta đến lời giải sau: Số trước chia cho là: 12 x = 36 Số trước bớt là: 36 + = 40 Số trước cộng với 16 là: 40 - 16 = 24 Số cần tìm là: 24 : = 12 Trả lời: Số cần tìm 12 Ví dụ 2: Tìm ba số, biết sau chuyển 14 đơn vị từ số thứ sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba chuyển đơn vị từ số thứ ba sang số thứ ta ba số 45 Phân tích: Ta minh họa thao tác đề sơ đồ sau: Ta có: Số thứ nhất: - 14; + cho kết 45 Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết 45 Số thứ ba: + 28; - cho kết 45 Từ phân tích ta đến lời giải toán sau: Số thứ là: 45 - + 14 = 52 Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49 Số thứ ba là: 45 + - 28 = 24 Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 24 Lời giải toán thể bảng sau: 52 Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 24 Các bạn thử giải toán sau phương pháp tính ngược từ cuối: 18 DẠNG TOÁN CÔNG VIỆC Trong thực tế ta gặp nhiều toán công việc chung Khi giải toán dạng ta hiểu công việc đơn vị biểu thị thành nhiều phần cho phù hợp với điều kiện toán, để thuận tiện cho việc tính toán giải toán Ta xét vài ví dụ sau : Ví dụ : Ba người làm công việc Người thứ hoàn thành công việc ngày Người thứ hai hoàn thành công việc nhiều gấp lần công việc ngày Người thứ ba hoàn thành công việc nhiều gấp lần công việc trong12 ngày Hỏi ba người làm công việc ban đầu hoàn thành giờ, ngày làm ? Phân tích : Muốn tính xem ba người làm công việc ban đầu ta phải biết số phần công việc ba người làm ngày Muốn tìm số phần công việc ba người làm ngày phải tìm số phần công việc người làm ngày Số phần công việc làm ngày người số phần công việc chung chia cho số ngày Do số phần công việc chung phải chia hết cho số ngày Số nhỏ chia hết cho 3, 12 24 Vậy ta coi công việc chung giao 24 phần để tìm số phần công việc người ngày Bài giải : Coi công việc chung giao 24 phần số phần công việc người thứ làm ngày : 24 : = (phần) Số phần công việc người thứ hai làm ngày : 24 : = (phần) Số phần công việc người thứ ba làm ngày : 24 : 12 = 10 (phần) Số phần công việc ba người làm ngày : + + 10 = 27 (phần) Thời gian cần để ba người làm xong công việc ban đầu : Số cần để ba người hoàn thành công việc ban đầu : Ví dụ : Để cày xong cánh đồng, máy cày thứ cần giờ, máy cày thứ hai cần 15 Người ta cho máy cày thứ làm việc nghỉ để máy cày thứ hai làm tiếp cày xong diện tích cánh đồng Hỏi máy cày thứ hai làm ? Phân tích : Ở “công việc chung” diện tích cánh đồng Theo cách phân tích toán 1, diện tích cánh đồng biểu thị số phần số nhỏ chia hết cho 15 Nếu coi diện tích cánh đồng 45 phần tìm số phần diện tích máy cày Từ ta tìm thời gian máy cày thứ hai làm Bài giải : Coi diện tích cánh đồng 45 phần ngày thứ cày số phần diện tích : 45 : = (phần) Trong máy cày thứ cày số phần diện tích : x = 30 (phần) Số phần diện tích lại : 45 - 30 = 15 (phần) Mỗi máy thứ hai cày số phần diện tích : 45 : 15 = (phần) Thời gian để máy thứ hai cày nốt số phần diện tích lại : 15 : = (giờ) Ví dụ : Ba vòi chảy vào bể nước sau 20 phút đầy bể Nếu riêng vòi thứ sau đầy bể, riêng vòi thứ hai chảy sau đầy bể Hỏi riêng vòi thứ ba chảy sau đầy bể ? Phân tích : 20 phút = 80 phút ; = 360 phút ; = 240 phút Muốn tính riêng vòi thứ ba chảy đầy bể phải biết phút vòi thứ ba chảy phần bể Để tính số phần bể vòi thứ ba chảy phút ta phải tính số phần bể vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy phút Như số phần công việc chung phải chia hết cho thời gian vòi, tức chia hết cho 80 ; 360 ; 240 Số nhỏ chia hết cho 80 ; 240 360 720 toán “công việc chung” lượng nước đầy bể, nên biểu thị lượng nước đầy bể 720 phần, ta giải ví dụ sau : Bài giải : Coi lượng nước đầy bể 720 phần phút ba vòi chảy số phần bể : 720 : 80 = (phần) Mỗi phút vòi thứ chảy số phần bể : 720 : 360 = (phần) Mỗi phút vòi thứ hai chảy số phần bể : 720 : 240 = (phần) Do phút vòi thứ ba chảy số phần bể : - (2 + 3) = (phần) 53 Thời gian để vòi thứ ba chảy đầy bể : 720 : = 180 (phút) Đổi 180 phút = Vậy sau vòi thứ ba chảy đầy bể 19.BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI • • “Một người nông dân nuôi 17 trâu Trước qua đời, ông di chúc lại cho ba người con: - Con 1/2 đàn trâu - Con thứ chia 1/3 đàn trâu - Con út chia 1/9 đàn trâu Ba người loay hoay làm để chia gia tài mà xẻ thịt trâu Em tìm cách giúp họ” Có thể giải toán sau: Em đem trâu (nếu trâu thật dùng trâu gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 trâu thành đàn 18 trâu Sau đó: - Chia cho người 1/2 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) - Chia cho người thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) - Chia cho người út 1/9 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) Vậy ba người vừa đúng: + + = 17 (con trâu) Còn em lại mang trâu Cách giải lạ dễ hiểu: Vì 17 không chia hết cho 2, cho cho 9; có thêm trâu 18 liền chia hết cho 2, Nhờ mà chia Song độc đáo cách giải lại chỗ khác Nếu ta để ý thấy trâu > 17/2 trâu (vì18/2>17/2 ) trâu > 17/3 trâu (vì 18/3>17/3 ) trâu > 17/9 trâu (vì 18/9>17/9 ) Do cách chia người hưởng lợi mà em lại không thêm trâu (con trâu đem đến lại dắt về) Sao kì vậy? Chỗ bí hiểm tổng ba phân số biểu thị phần chia theo di chúc chưa (tức chưa đàn trâu), vì: (1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (đàn trâu) Như vậy, thật người cha di chúc chia cho có 17/18 đàn trâu mà thôi, thiếu 1/18 đủ 18/18, tức đàn trâu Thế nhờ em đem thêm trâu tới nên chia cho ba người đàn trâu (hay đàn trâu, gồm 17 con) Do ba người chia nhiều phần nêu di chúc em lại không tốn thêm trâu nào! *Đề : Một ông nhà giàu vợ mang thai mắc bệnh hiểm nghèo, trước lúc lâm chung ông ta để lại “Di chúc ” : Sau qua đời vợ sinh trai gia tài cho trai 2/3 vợ 1/3; Nếu sinh gái gái 1/3 vợ 2/3 Nhưng thực tế sau ông ta chết, vọ sinh đôi : trai gái Hỏi Tòa án dân phải xử chia gia tài cho họ ? Mỗi người hưởng phần ? *Giải: Gia tài phải chia cho người: Con trai (T), gái (G) bà mẹ (M) Nếu lấy Bà mẹ làm trung gian so sánh thì: - Người trai phần gấp đôi mẹ ; T/M = 2/3 : 1/3 = 2/1 - Người gái phần mẹ ; G/M = 1/3 : 2/3 = 1/2 Tổng số phần gia tài phải chia theo chúc là: 1/1 + 2/1 + 1/2 = 2/2 + 4/2 + 1/2 = 7/2; Vậy phải chia thành phần, : M = 2; T = 4; G = (phần) Nếu lấy Con gái làm mốc so sanh - Mẹ gấp đôi gái G = (phần) => M = (phần) - Con trai gấp đôi mẹ => T = (phần) Vậy phải chia thành phần, : M = 2; T = 4; G = (phần) 54 • Đáp số : Chia phần, : M = 2; T = 4; G = (phần) 20.DÙNG SƠ ĐỒ DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN BA ĐẠI LƯỢNG Sơ đồ diện tích dùng để giải toán có nội dung đề cập đến ba đại lượng Giá trị ba đại lượng tích giá trị hai đại lượng Dùng sơ đồ diện tích giải nhanh toán đưa toán trực quan toán diện tích hình chữ nhật Sau số thí dụ: Ví dụ 1: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 30km/giờ, sau từ B quay A với vận tốc 40km/giờ Thời gian từ B A thời gian từ A đến B 40 phút Tính độ dài quãng đường AB Phân tích: Vì quãng đường AB (s = v x t) không đổi, nên ta xem vận tốc (v) chiều dài hình chữ nhật thời gian (t) chiều rộng hình chữ nhật Vẽ sơ đồ: Giải: Ta có 40 phút = 2/3 Nếu ô tô từ B A với vận tốc 30 km/giờ sau khoảng thời gian dự định từ B A, ô tô cách A quãng đường là: 30 x 2/3 = 20 (km) Sở dĩ có khoảng cách vận tốc xe giảm đi: 40 - 30 = 10 (km/h) Thời gian ôtô dự định từ B A là: 20 : 10 = (giờ) Quãng đường AB dài là: 40 x = 80 (km) Đáp số: 80 km Chú ý s1 = s2 Ví dụ 2: Bạn Toán đưa tiền dự định mua số loại 2500 đồng/ Nhưng đến cửa hàng loại 3000 đồng/quyển Toán băn khoăn có nên mua loại không? Vì mua số dự định bị hụt hai Tính số tiền bạn Toán mang đi? Phân tích: Vì số tiền bạn Toán mang không đổi, nên ta xem giá tiền loại chiều dài hình chữ nhật số chiều rộng hình chữ nhật Vẽ sơ đồ: Giải: Nếu bạn Toán mua số loại 2500 đồng/quyển số định mua loại 3000 đồng/quyển số tiền thừa là: x 2500 = 5000 (đồng) Sở dĩ có số tiền thừa giá giảm: 3000 - 2500 = 500 (đồng/quyển) Vậy số bạn Toán định mua loại 3000 đồng/quyển là: 5000 : 500 = 10 (quyển vở) Số tiền bạn Toán mang là: 3000 x 10 = 30000(đồng) 55 Đáp số: 30000 đồng ph©n sè 21/ph©n sè A) Kiến thức cần ghi nhớ Tính chất phân số: Khi ta nhân chia tử mẫu số phân số với cựng số tự nhiên lớn 1, ta phân số phân số ban đầu Vận dụng tính chất phân số: *Rút gọn phân số Rút gọn phân số cho tìm phân số mà tử số mẫu số nhỏ tủ số mẫu số phân số cho Thông thường, rút gọn phân số phải phân số tối giản Cách rút gọn phân số : Cùng chia tử số mẫu số cho số tự nhiên lớn Điều quan trọng phải tìm số tự nhiên để thực việc rút gọn phân số Việc thực lần vài lần tìm phân số tối giản số ví dụ minh hoạ cách tìm "số để rút gọn được" Dựa dấu hiệu chia hết Ví dụ Rút gọn phân số :6/8 (cùng chia 2); 27/36 (cùng chia 9); 15/40 (cùng chia 5) Chia dần bước gộp bước (theo quy tắc chia số cho tích) Ví dụ Rút gọn phân số 132 / 204 132 / 204 = 132:2 / 204:2 = 66 / 102; 66:2 / 102:2 = 33/51; 33:3 / 51:3 = 11/17 vật 132 / 204 = 11/17 Vì x x = 12 nên 132:12 / 204:12 = 11/17 Dùng cách thử chọn theo bước Ví dụ Rút gọn phân số 26/65 Bước 1: 26:2 = 13 Bước 2: 65:13 = Bước 3: Cùng chia 13 26:13 / 65:13 = 2/5 Phân số có dạng đặc biệt Ví dụ Rút gọn phân số 1133 / 1442 Bước 1: 1133 : 11 = 103 Bước 2: 1442 :14 = 103 Bước 3: Cùng chia 103 1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14 Vạn dụng hiểu biét mình, em tự giải tập sau: Rút gọn phân số: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313 22/So sánh phân số 1.1 So sánh phân số cách quy đồng mẫu số quy đồng tử số 1.2.So sánh phân số cách so sánh phần bù với đơn vị phân số - Phần bù với đơn vị phân số hiệu phân số - Trong hai phân số, phân số có phần bù lớn phân số nhỏ ngược lại 1.3.So sánh phân số cách so sánh phần với đơn vị phân số - Phần với đơn vị phân số hiệu phân số - Trong hai phân số, phân số có phần lớn phân số lớn 1.4.So sánh phân số cách so sánh hai phân số với phân số trung gian 1.5 Đưa hai phân số dạng hỗn số để so sánh 1.6.Thực phép chia hai phân số để so sánh So sánh phân số cách so sánh phần bù với đơn vị phân số - Phần bù với đơn vị phân số hiệu phân số - Trong hai phân số, phân số có phần bù lớn phân số nhỏ ngược lại 56 Ví dụ: So sánh phân số sau cách thuận tiện 2000 2001 2001 2002 Bước 1: (Tìm phần bù) 2000 2001 = = Ta có : − 12001 2001 2002 2002 Bước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh) 1 2000 2001 > < Vì nên 2001 2002 2001 2002 * Chú ý: Đặt A = Mẫu - tử B = mẫu - tử Cách so sánh phần bù dùng A = B Nếu trường hợp A ≠ B ta sử dụng tính chất phân số để biến đổi đưa phân số có hiệu mẫu số tử số hai phân số nhau: 2000 2001 Ví dụ: 2001 2003 2000 2000 × 4000 = = +) Ta có: 2001 2001 × 4002 4000 2001 = = 114002 4002 2003 2003 2 4000 2001 2000 2001 < > > +)Vì nên hay 4002 2003 4002 2003 2001 2003 So sánh phân số cách so sánh phần với đơn vị phân số: - Phần với đơn vị phân số hiệu phân số - Trong hai phân số, phân số có phần lớn phân số lớn 2001 2002 Ví dụ: So sánh: 2000 2001 Bước 1: Tìm phần 2001 2002 −1 = −1 = Ta có: 2000 2000 2001 2001 Bươc 2: So sánh phần đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh 1 2001 2002 > > Vì nên 2000 2001 2000 2001 * Chú ý: Đặt C = tử - mẫu D = tử - mẫu Cách so sánh phần dùng C = D Nếu trường hợp C ≠ D ta sử dụng tính chất phân số để biến đổi đưa hai phân số có hiệu tử số mẫu số hai phân số 2001 2003 Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 2000 2001 2001 2001 × 4002 = = Bước1: Ta có: 2000 2000 × 4000 4002 2003 −1 = −1 = 4000 4000 2001 2001 2 4002 2003 2001 2003 < < < Bước 2: Vì nên hay 4000 2001 4000 2001 2000 2001 So sánh phân số cách so sánh hai phân số với phân số trung gian Ví dụ 1: So sánh Bước 1: Ta có: 57 3 4 > = < = 4 Bước 2: Vì > > nên > 9 19 31 Ví dụ 2: So sánh 60 90 Bước 1: Ta có: 19 20 31 30 < = > = 60 60 90 90 19 31 19 31 < < < Bước 2: Vì nên 60 90 60 90 101 100 Ví dụ 3: So sánh 100 101 101 100 101 100 >1 > > Vì nên 100 101 100 101 Ví dụ 4: So sánh hai phân số cách nhanh 40 41 57 55 Bài giải 40 +) Ta chọn phân số trung gian : 55 40 40 41 < < +) Ta có: 57 55 55 40 41 < 57 55 * Cách chọn phân số trung gian : - Trong số trường hợp đơn giản, chọn phân số trung gian phân số dễ tìm 1 như: 1, , , (ví dụ 1, 2, 3) cách tìm thương mẫu số tử số phân số chọn số tự nhiên nằm hai thương vừa tìm Số tự nhiên mẫu số phân số trung gian tử số phân số trung gian a c - Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số (a, b, c, d khác 0) b d a c - Nếu a > c b < d (hoặc a < c b > d) ta chọn phân số trung gian (hoặc ) d b - Trong trường hợp hiệu tử số phân số thứ với tử số phân số thứ hai hiệu mẫu số phân số thứ với mẫu số phân số thứ hai có mối quan hệ với tỉ số (ví dụ: gấp 3lần,…hay , , , ) ta nhân tử số mẫu số hai phân số lên số lần cho hiệu hai tử số hiệu hai mẫu số hai phân số nhỏ Sau ta tiến hành chọn phân số trung gian 15 70 Ví dụ: So sánh hai phân số 23 117 15 15 × 75 = = Bước 1: Ta có: 23 23 × 115 +) Vậy Ta so sánh 70 75 với 117 115 58 70 115 70 70 75 70 75 70 15 < < < < Bước 3: Vì nên hay 117 115 115 117 115 117 23 Bước 2: Chọn phân số trung gian là: Đưa hai phân số dạng hỗn số để so sánh - Khi thực phép chia tử số cho mẫu số hai phân số ta thương ta đưa hai phân số cần so sánh dạng hỗn số, so sánh hai phần phân số hai hỗn số 47 65 Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 15 21 47 65 =3 =3 Ta có: 15 15 21 21 2 2 47 65 > > Vì nên > hay 15 21 15 21 15 21 - Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta hai thương khác nhau, ta đưa hai phân số hỗn số để so sánh 41 23 Ví dụ: So sánh 11 10 Ta có: 41 23 =3 =2 11 11 10 10 41 23 Vì > nên > hay > 11 10 11 10 * Chú ý: Khi mẫu số hai phân số chia hết cho số tự nhiên ta nhân hai phân số với số tự nhiên đưa kết vừa tìm hỗn số so sánh hai hỗn số với 47 65 Ví dụ: So sánh 15 21 47 47 65 65 =9 ×3 = =9 +) Ta có: x3= 15 5 21 7 2 2 47 65 +) Vì > nên > hay > 7 15 21 Thực phép chia hai phân số để so sánh - Khi chia phân số thứ cho phân số thứ hai, thương tìm hai phân số nhau; thương tìm lớn phân số thứ lớn phân số thứ hai; thương tìm nhỏ phân số thứ nhỏ phân số thứ hai Ví dụ: So sánh 10 50 < Vậy < Ta có: : = 10 63 10 23/ TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ Khi học phân số em làm quen với nhiều toán có lời văn mà giải phải chuyển chúng dạng toán điển hình Trong viết xin trao đổi dạng toán thông qua số ví dụ sau : 59 Ví dụ : Tìm phân số biết nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số ta phân số phân số ban đầu 7/36 Phân tích : Ta biết nhân phân số với số tự nhiên ta việc nhân tử phân số với số tự nhiên giữ nguyên mẫu số Vậy nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số tức ta gấp phân số lên lần Bài toán chuyển toán tìm hai số biết hiệu tỉ Bài giải : Nếu nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số ta phân số Vậy phân số gấp lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ : Phân số ban đầu : Ví dụ : Tìm phân số biết ta chia mẫu số phân số cho 3, giữ nguyên tử số giá trị phân số tăng lên 14/9 Phân tích : Phân số phép chia mà tử số số bị chia, mẫu số số chia Khi chia mẫu số cho 3, giữ nguyên tử số tức ta giảm số chia lần nên thương gấp lên lần hay giá trị phân số gấp lên lần Do phân số gấp lần phân số ban đầu Bài toán chuyển dạng tìm hai số biết hiệu tỉ Bài giải : Khi chia mẫu phân số cho 3, giữ nguyên tử số ta phân số nên phân số gấp lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ : Phân số ban đầu : Ví dụ : An nghĩ phân số An nhân tử số phân số với 2, đồng thời chia mẫu số phân số cho An phân số Biết tổng phân số phân số ban đầu 35/9 Tìm phân số An nghĩ Phân tích : Khi nhân tử số phân số với 2, giữ nguyên mẫu số phân số gấp lên lần Khi chia mẫu số phân số cho 3, giữ nguyên tử số phân số gấp lên lần Vậy nhân tử số phân số với đồng thời chia mẫu số phân số cho phân số gấp lên x = (lần) Bài toán chuyển dạng toán điển hình tìm số biết tổng tỉ Bài giải : Khi nhân tử số phân số An nghĩ với đồng thời chia mẫu số phân số cho phân số Vậy phân số gấp phân số ban đầu số lần : x = (lần), ta có sơ đồ : Phân số ban đầu : Từ ví dụ ta rút nhận xét sau : Một phân số : - Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số lần giữ nguyên mẫu số phân số tăng (hoặc giảm) nhiêu lần - Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số lần giữ nguyên tử số phân số tăng (hoặc giảm) nhiêu lần Các bạn thử sức số toán sau : Bài : Tìm phân số biết tăng tử số lên lần, đồng thời tăng mẫu số lên lần giá trị phân số tăng 12/11 60 Bài : Toán nghĩ phân số sau Toán chia tử số phân số cho nhân mẫu số phân số với Toán thấy giá trị phân số giảm 15/8 Tìm phân số mà Toán nghĩ Bài : Từ phân số ban đầu, Học nhân tử số với phân số thứ nhất, chia mẫu số cho phân số thứ hai, chia tử số cho đồng thời nhân mẫu số với phân số thứ ba Học thấy tổng ba phân số 25/8 Đố bạn tìm phân số ban đầu Học 27 tìm số biết “Hai tỉ số” Cách giải: Bước 1: Đọc đề xác định đại lượng không bị thay đổi đại lượng bị thay đổi Bước 2: So sánh đại lượng bị thay đổi với đại lượng không bị thay đổi (một đại lượng hai thời điểm khác nhau) Bước 3: Tìm phân số ứng với số đơn vị bị thay đổi Bước 4: Tìm đại lượng không bị thay đổi đại lượng bị thay đổi Ví dụ: Một đàn vịt có số bờ số lại bơi ao.Biết số vịt bờ 1 số vịt bơi ao Khi có vịt từ ao lên bờ số vịt bờ số vịt ao Hỏi đàn vịt có ban đầu bờ có con? Bài giải Bước 1: (xác định đại lượng không thay đổi: Tổng số đàn vịt Xác định đại lượng thay đổi: Số vịt bờ số vịt ao) Bước 2: So sánh đại lượng bị thay đổi với đại lượng không thay đổi (một đại lượng hai thời điểm khác nhau) Số vịt bờ lúc đầu bằng: 1 : (1 + 3) = (tổng số đàn vịt) Số vịt bờ lúc sau bằng: 1 : (1 + 2) = (tổng số đàn vịt) Bước 3: (Tìm phân số ứng với số đơn vị bị thay đổi) Phân số ứng với vịt là: 1 = (tổng số đàn vịt) 12 Bước 4: (tìm đại lượng bị thay đổi đại lượng không bị thay đổi) Tổng số đàn vịt có: 2: = 24 (con) 12 Số vịt bờ ban đầu là: x 24 = (con) Đáp số: 24 vịt, vịt bờ 29 CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ Một số kiến thức cần lưu ý: Để kí hiệu phân số có tử số a, mẫu số b ( với a b STN # 0) ta viết: a b - Một số b số phần chia từ đơn vị, tử số a số phần lấy - Phân số a b hiểu thương phép chia a:b Mỗi số TN a coi phân số có mẫu số 1: a 61 Phân số có tử số nhỏ mẫu số nhỏ 1; phân số có tử số lớn mẫu số phân số lớn Nếu nhân tử số mẫu số phân số với số TN khác phân số phân số cho: a×n a = ( n#0) b×n b Nếu ta chia .bằng phân số cho Phân số có mẫu số 10, 100, 1000, gọi phân số thập phân Nếu ta cộng tử số mẫu số phân số với số trừ tử số mẫu số số hiệu tử số mẫu số không thay đổi Cộng thêm vào tử số mẫu số phân số với số tự nhiên ta 7 phân số phân số Tìm số tự nhiên cộng thêm? Bài 1: Cho phân số Lời giải: Hiệu mẫu số tử số phân số cho : – = (đơn vị) Khi ta cộng vào tử số mẫu số với số tự nhiên hiệu mẫu số tử số phân số Đối với phân số ta có sơ đồ sau : Tử số: Mẫu số : Số phần mẫu số nhiều tử số là: – = (phần) Tử số phân số : : × = 14 Số tự nhiên cộng thêm : 14 – = 11 Đáp số : 11 30.CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ THÊM BỚT TỬ SỐ MẪU SỐ ,CẢ TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ * TÌM PHÂN SỐ BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ VD1:Cho phân số có tổng tử số mấu số 68 Tìm phân số biết chuyển đơn vị từ mẫu số lên tử số phân số có giá trị * Tìm số tự nhiên a cho bớt tử số mẫu số a đơn vị ta phân số (Hiệu không thay đổi dựa vào hiệu để giải) VD2: Cho phân số 35/45 Tìm số tự nhiên a cho ta bớt tử số mẫu số di a đơn vị ta đợc phân số 2/3 *Tìm số tự nhiên a cho thêm tử số mẫu số a đơn vị ta đợc phân số ( Hiệu không thây đổi dựa vào hiệu để giải) VD3: Cho phân số 17/25 Tìm số tự nhiên a cho ta bớt tử số mẫu số di a đơn vị ta đợc phân số 2/3 -Tìm số tự nhiên a cho thêm (hoặc bớt) tử số a đơn vị ta phân số (Mẫu số không đổi cần dựa vào mẫu số để giải) 62 VD 4: Cho phân số 34/90 Hỏi phải bớt tử số đơn vị để đợc phân số có giá trị 1/5 *Tìm số tự nhiên a cho thêm bớt mẫu số a đơn vị ta phân số (Tử số không đổi cần dựa vào tử số để giải ) BÀI TÂP Cho phân số 35/54 Hỏi phải bớt tử số đơn vị để đợc phân số 5/9 2.Cho phân số 15/54 Hỏi phải bớt mẫu số đơn vị để phân số 3/10 * Chuyển từ tử số xuống mẫu số a đơn vị (hoặc mẫu số lên tử số a đơn vị phân số có giá trị ) Tổng tử số mẫu số không thay đổi dựa vào tổng để giải Ví dụ : Cho phân số 13 /47 Hỏi phải chuyển đơn vị từ tử số xuống mẫu số để phân số 1/5 CHÚ Ý: Dạng cần xác định hiệu tử số mẫu số (Lưu ý có cụm từ phân số nghĩa tử số mẫu số) 31.CÁC PHÂN SỐ NẰM GIỮA HAI SỐ Một dạng toán thú vị yêu cầu tìm phân số nằm hai số cho trước Một lưu ý với bạn : hai số cho trước có nhiều phân số Nếu yêu cầu thêm phân số không viết hết phân số nằm hai số cho trước Thí dụ : Hãy thử tìm phân số nằm 3/7 5/7 Nhiều bạn cho “Làm có phân số hai phân số ?” Ta thử nhân tử mẫu hai phân số với 8/14 10/14 Đến bạn “ kiếm” 9/14 Nếu nhân tiếp tử mẫu hai phân số với 16/28 20/28 Thế bạn kể phân số thỏa mãn toán 17/28, 18/28, 19/28 Cứ tiếp tục bạn viết phân số Thí dụ : Hãy viết tất phân số nằm 1/3 16/27 mà mẫu số Giải : Ta có1/3 = 9/27 Các phân số lớn 9/27 nhỏ 16/27 : 10/27, 11/27, 12/27, 13/27, 14/27, 15/27 Trong tử số có 12 15 chia hết có hai phân số thỏa mãn toán : 12/27 = (12 : 3)/(27 : 3) = 4/9 15/27 = (15 : 3)/(27 : 3) = 5/9 Thí dụ : Có phân số nằm 5/6 6/7 mà tử số nhỏ 2004 ? Ta có 2004 : = 334 nên viết 6/7 = (6 x 334)/(7 x 334) = 2004/2338 Mặt khác : 5/6 = (5 x 2338/6 )/2338 = (1948 1/3)/2338 Do phân số thỏa mãn toán có mẫu 2338 tử số tự nhiên từ 1949 đến 2003 Vậy số phân số thỏa mãn toán : 2003 - 1949 + = 55 (số) Các bạn giải toán cách khác Sau vài toán để bạn thử giải : 63 [...]... thì lên lớp 4 mới học tổng -hiệu giải theo tổng hiệu thì làm như sau bố và me = 74 mẹ và an =43 suy ra hiệu số tuổi của bố và an là 74- 43 =31 mà tổng số tuổi bố và an là 49 suy ra tuổi an là (49 -31) :2 = 9 bố an : (49 +31) :2 =40 mẹ an =43 -9= 34 *Dạng 4: Tổng số tuổi của Bố và Mẹ là 74 tuổi Tổng số tuổi của mẹ và An là 43 Tổng số tuổi của Bố và An là 49 Hỏi tính tuổi của mỗi người Tuổi bố + tuổi An = 49 Tuổi... theo dấu hiệu chia hết Bài 1 : Với 3 chữ số 2; 3; 5 hãy lập các số có 3 chữ số chia hết: a) Cho 2? b) Cho 5? Lời giải: a) Số chia hết cho 2 phải là số chẵn Do đầu bài không yêu cầu các chữ số phải khác nhau, nên những số lập được là: 222; 232; 252 322; 332; 352 52 2; 53 2; 55 2 b) Tương tự phần a, các số đó là: 2 25; 2 35; 255 14 3 25; 3 35; 355 52 5; 53 5; 55 5 c Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa... 123 đều chia hết cho 3 nên: a) 240 + 123 chia hết cho 3 b) 240 – 123 chia hết cho 3 c) 45 9, 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 45 9 + 690 + 1236 chia hết cho 3 d) 2 45 4 chia hết cho 3 và 7 34 không chia hết cho 3 nên 2 45 4 + 3 74 không chia hết cho 3 E.Các bài toán về phép chia có dư Những tính chất cần lưu ý: 1 Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1, 3 ,5, 7 hoặc 9 2 Nếu a chia cho 5 dư... số 25, 36, 49 , 64 Ta lần lượt thử các kết quả vào bảng sau: 33 Tuổi bố Tuổi mẹ Tuổi con(2) Tuổi con(1) Thử So sánh Kết quả Loại 22 5 10 25 + 22 + 5+ 10 = 62 < 87 ( 25 - 3 = 22) (5 x 5 = 25) (5 x 2 = 10) 62 33 6 12 36 + 33 + 6 + 12 = 87 = 87 Chọn 36 (36 - 3 = 33) (6 x 6 = 36) (6 x 2 = 12) 87 46 7 14 49 + 46 + 7 + 14 = 116 >87 Loại 49 (49 - 3 = 46 ) (7 x 7 = 49 ) (7 x 2 = 14) 116 Vì tuổi bố mới là 49 mà... cộng và số thứ ba rồi đưa bài toán về dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số Từ hướng phân tích ấy ta có thể giải bài toán đó như sau : Bài giải : Sơ đồ : Nhìn trên sơ đồ ta thấy trung bình cộng của ba số lớn hơn số thứ ba là : 260 - 54 0 = 720 Số thứ ba là : 720 : (31 - 1) = 24 Số trung bình cộng của ba số là : 24 x 31 = 744 Số thứ hai là : 744 + 1260 = 20 04 Số thứ nhất là : 744 - 54 0 = 2 04 Ví... tổng số học sinh tiên tiến của trường bao gồm 3 /4 số bạn nam và 1/2 số bạn nữ Vì số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 40 học sinh nên 3 /4 số bạn nam nhiều hơn 3 /4 số học sinh nữ là 30 học sinh Từ đó ta có thể đưa bài toán về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ Bài giải : Nếu coi số học sinh nữ toàn trường là 4 phần thì 3 /4 số học sinh nữ là 3 phần, 3 /4 số bạn nam (số học sinh nam đạt học sinh... Tiểu học có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 40 học sinh Trong đó 3 /4 số bạn nam và 1/2 số bạn nữ đạt danh hiệu học sinh tiên tiến Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của trường đó Biết số học sinh tiên tiến của trường đó là 53 0 bạn Phân tích : Khi vừa đọc bài toán nhiều học sinh sẽ nghĩ ngay đây là loại toán tìm hai số biết tổng và hiệu Tuy nhiên đầu bài không cho biết tổng số học sinh... anh và tuổi em, biết rằng 62 ,5% tuổi anh thì lớn hơn 75% tuổi em là 2 năm, và 50 % tuổi anh thì lớn hơn 37 ,5% tuổi em là 7 năm Bài giải: 50 % tuổi anh - 37 ,5 tuổi em = 7 năm (1) 62 ,5% tuổi anh - 75% tuổi em = 2 năm (2) Cùng nhân (1) với 2 ta có: 100% tuổi anh - 75% tuổi em = 14 năm (3) 62 ,5% tuổi anh - 75% tuổi em = 2 năm (4) Cùng so sánh (3) và (4) bằng phép trừ ta có: (100% - 62 ,5% ) tuổi anh = 14 năm... +43 +49 ) bố và an : 49 nhìn vào sơ đồ ta có : 2 lần số tuổi của bố , mẹ và an cộng lại 74+ 43 +49 =166 tổng số tuổi của bố , mẹ , an = 166:2=83 tuổi an là :83- 74= 9 tuổi bố an : 83 -43 =40 tuổi mẹ an : 83 -49 = 34 *Dạng 3: Tổng số tuổi của Bố và Mẹ là 74 tuổi Tổng số tuổi của mẹ và An là 43 Tổng số tuổi của Bố và An là 49 Hỏi tính tuổi của mỗi người 19 cách 3 : nếu em đã học bài toán tổng hiệu , nhưng chương... rổ đựng 1 15 quả cam Số cam còn lại bằng 1 5 số quả chưa bán Mặt khác: ( 1 04+ 132+136+ 148 ): 5 = 1 04 (quả) Trong 4 rổ còn lại chỉ có rổ đựng 1 04 quả là có số quả bằng là rổ cam và 3 rổ đựng 132,136, 148 quả là các rổ chanh Số cam của cửa hàng có là: 1 04+ 1 15 = 219(quả) Số chanh của cửa hàng có là: 6 35- 219 = 41 6(quả) 1 5 số quả còn lại Vậy theo đầu bài 1 04 quả 10 CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC -Nếu tăng ... nht l: 45 - + 14 = 52 S th hai l: 45 + 28 - 14 = 49 S th ba l: 45 + - 28 = 24 Tr li: Ba s cn tỡm l: 52 ; 49 v 24 Li gii bi toỏn trờn cú th th hin bng sau: Tr li: Ba s cn tỡm l: 52 ; 49 v 24 II Mt... = 74 m v an =43 suy hiu s tui ca b v an l 74- 43 =31 m tng s tui b v an l 49 suy tui an l (49 -31) :2 = b an : (49 +31) :2 =40 m an =43 -9= 34 *Dng 4: Tng s tui ca B v M l 74 tui Tng s tui ca m v An l 43 ... ln hn s th ba l : 260 - 54 0 = 720 S th ba l : 720 : (31 - 1) = 24 S trung bỡnh cng ca ba s l : 24 x 31 = 744 S th hai l : 744 + 1260 = 20 04 S th nht l : 744 - 54 0 = 2 04 Vớ d : i tuyn hc sinh