Vì đường kính của mỗi hình tròn lớn hơn 0,1m nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 9 đường thẳng vừa kẻ cắt.. Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì số đường tròn không[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM TRỰC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) Đề thi gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) x2 x 2x x x 1 P x x 1 x x với x > 0, x 1 Rút gọn biểu thức Cho x + = Tính giá trị biểu thức A = 7(x2 – 4x)100 + (x2 – 4x)50 + 2016 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình 2x + = y2 Giải phương trình x 12 3x x Bài 3: (3,0 điểm) Giải hệ phương trình x y z 2 xy z 4 Bài 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = x2 y2 z2 yz zx xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài 5: (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tâm O hai điểm B, C (d không qua O) Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A nằm ngoài đường tròn tâm O) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O M và N Gọi I là trung điểm BC, AO cắt MN H và cắt đường tròn các điểm P và Q (P nằm A và O), BC cắt MN K a Chứng minh điểm O, M, N, I cùng nằm trên đường tròn và AK AI = AM b Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P là trung điểm ME Cho hình vuông có độ dài cạnh 1m, hình vuông đó đặt 55 đường tròn, đường tròn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với ít bảy đường tròn (2) Hết HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM Bài 1: (4,0 đ) Câu Nội dung Điểm P (2,0đ) x x 2x x x 1 x x 1 x x1 x P x x 1 x x x2 x 1 2 x 1 x x x 1 x1 x 1 1,0 x1 x 1 1,0 x 1 x + = => x ( x 2) 3 2 (2,0đ) x x 0 x x A = 7(-1)100 +(-1)50 +2016 A = 2024 1,0 1,0 Bài 2: (4,0đ) Câu (2,0đ) Nội dung Với x = thì y = y = -2 Điểm 0,5 Với x= thì y = (loại) 0,5 Với x 0,5 thì VT chia dư 3, Vì VT là số tự nhiên lẻ => y là số tự nhiên lẻ (2,0đ) => VP chia dư => vô lí 0,25 Vậy nghiệm tự nhiên phương trình là (x,y) =(0;2) 0,25 Để phương trình có nghiệm thì : x 12 x 12 3 x x x2 x 2 x 12 0,25 x2 0,5 x 3x 0 x x2 x 12 x 1 3 x x 5 3 0 x 2 x2 x2 x2 0, x x2 Dễ dàng chứng minh x 12 0,5 Vậy tập nghiệm phương trình là S = {2} 0,25 0,5 (3) Bài 3: (3,0đ) Câu 3,0đ Nội dung x y z 2 xy z 4 z 2 x y xy x z 2 x y 2 xy z 4 z 2 x y 2 y 4 x y 0 Điểm 1,0 (1) (2) Từ phương trình tìm x=2 và y=2 Thay vào phương trình tìm z = -2 1,0 1,0 Bài 4: (2,0đ) Câu 2,0đ Nội dung Điểm Vì x, y, z > ta có: x2 yz Áp dụng BĐT Côsi số dương y z và ta được: x2 yz x2 y z x 2 2 x yz yz (1) Tương tự ta có: y xz y (2) xz z2 xy z (3) x y Cộng (1) + (2) + (3) ta được: x2 y2 z2 x y z P y z z x x y xyz P x y z 1 x y z Dấu “=” xảy Vậy P = x y z 3 0,5 0,5 0,5 0,25 02,5 (4) Bài 5: : (7,0đ) Câu Nội dung Điểm M (5,5 đ) Q P A B O D H K I C E 1a (2,0đ) 1b (2,0đ) N I là trung điểm BC ( dây BC không qua O ) OI BC OIA 90 => I thuộc đường tròn đường kính AO (1) 1,5đ d Ta có AMO 90 ( AM là hai tiếp tuyến (O) ) => M thuộc đường tròn đường kính AO (2) ANO 900 ( AN là hai tiếp tuyến (O) ) => N thuộc đường tròn đường kính AO (3) => điểm A, M, N, O, I cùng thuộc đường tròn đường kính AO Suy điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA là tia phân giác MON mà ∆OMN cân O nên OA MN ∆AMO vuông M đường cao MH nên ta có AH.AO = AM2 ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì AHK=AIO=90 và OAI chung ) Suy AK.AI = AH.AO => AK.AI = AM2 Ta có M thuộc đường tròn (O) => PMQ=90 Xét ∆MHE và ∆QDM có MEH=DMQ ( cùng phụ với DMP ), EMH=MQD ( cùng phụ với MPO ) ∆MHE đồng dạng ∆QDM ME MH MQ DQ ∆PMH đồng dạng với ∆MQH MP MH MH MQ HQ DQ MP ME MQ MQ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 (5) ME = MP P là trung điểm ME (1,5 đ) Kẻ đường thẳng song song cách chia hình vuông thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng là 0,1m Vì đường kính hình tròn lớn 0,1m nên đường tròn bị ít đường thẳng vừa kẻ cắt Nếu đường thẳng cắt không quá đường tròn thì số đường tròn không quá 9.6=54 Vì có 55 đường tròn nên ít phải có đường thẳng cắt đường tròn Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng và chặt chẽ cho điểm tương đương - Giám khảo chấm thống cho điểm đến 0,25 - Nếu học sinh vận dụng kiến thức trước chương trình cho điểm - Điểm học sinh tính đến 0,25 và không làm tròn 0,5 0,5 0,5 (6)