Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên đường tròn O thì giao điểm M của các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường tròn O chạy trên một đường thẳng cố[r]
(1)HỆ THỐNG BÀI TẬP CƠ BẢN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH 2.3.1 ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI 1: CĂN BẬC SỐ HỌC Điền số vào bảng sau a 0,6 0,09 a CBH CBHSH 0,81 ± √8 0,4 Tính a) √ 26 − 24 1,21 b) √ 52 − e) √ 1, 44 +3 √ , 69 √ √ , 81 √ , 09 h) √ 252 − 242 c) 1,7 √ 852 − 842 f) √ , 04+2 √ , 25 √ ( −7 ) d) g) 16 √16+2 25 √ So sánh a) và √ 82 b) và √ 35 c) √ 15 và d) + √ và e) √ 7+√ 15 và f) √ 2+ √11 và √ 3+5 g) √ 26 và 15 h) −5 √ 35 và -30 30 −2 √ 45 i) và √ 17 k) √ √3 và √ √5 4 Giải phương trình a) √ x −1=3 b) √ x2 + x +1=1 c) √ x2 +1=− d) √ x +5 x+ 20=4 Cho a > Chứng minh a) Nếu a > thì a > √ a b) Nếu a < thì a < √ a Cho a; b > Chứng minh a> b ⇔ √ a> √ b BÀI 2: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI (Giả thiết các thức có nghĩa) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) - x b) x √ x+ c) x √ x − x+12 √ x − d) 25 - - √ x √ y - y e) x + √ x √ y + y - z √ x - z √ y f) 25 - 4x - √ x √ y - y g) x - √ x √ y + 4y - z + √ z √ t - 9t h) x + √ z √ y - √ x √ z - y i) 4x - √ x √ y - + y Phân tích đa thức thành nhân tử: (2) a) x + √ x + b) 4x + √ x - c) x - √ x - 12 d) 4x + √ x √ y - 8y e) x2 + f) 4x4 + g) x - √ x - h) x + 14 √ x + 48 Tìm x biết: a) x √ x - 16 √ x = 0; b) x2 - 2x √ x + 10x -20 √ x = c) (2 √ x - 3)2 =( √ x + 5)2 d) x( √ x - 1) - 4x + √ x - = e) x + √ x - 18 = f) 8x + 30 √ x + = g) x √ x - 11x + 30 √ x = Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x + √ x )2 -2(x + √ x ) - 15 b) (x + √ x )2 + 9x + 18 √ x + 20 c) (x + √ x + 1)(x + √ x + 2) – d) (x + √ x + 7)( √ x + 3)( √ x + 5)+ 15 e) ( √ x + 2)( √ x + 3)( √ x + 4)( √ x + 5) - 24 f) (4 √ x + 1)(12 √ x - 1)(3 √ x + 2)( √ x + 1) - g) 4( √ x + 5)( √ x + 6)( √ x + 10)( √ x + 12)- 3x BÀI 3: HẰNG ĐẲNG THỨC √ A 2=| A| Rút gọn các biểu thức a) √ 14+6 √ b) √ 30− 10 √ c) √ 27 −8 √ 11 − √ 11 d) √ 48 −16 √ − √ e) √ 11+6 √ 2− √6 − √2 f) √ 28− 10 √ 3+ √ 4+2 √ 3− √ − √ g) 2+ √ − − √ √ √ i) x+ 9+ x + x h) x − √ x − x +4 a √ a− 8+2 a − √ a a−4 12 √ m) √7+ √ − √ −2 √ n) √c +2 c+ |c|− p) √ 2+ √ √ 2+ √ 2+ √3 √ − √ 2+√ q) √ k) o) √ −2 √15 − √ 8+ √ 15 2+ √3 2− √ + √2+ √ 2+ √ √ 2− √ 2− √ Tính giá trị các biểu thức sau mà không dùng máy tính a) √ 144 49 √ , 01 √ 64 4 √ ( −3 ) +5 √ ( −2 ) 72: √22 32 36 − √ 225 b) ( √ , 25− √ 225+ √2 , 25 ) : √ 169 c) d) 72: √ 33 +32 −2 √ 52 − 32 e) f) √ ( 1,5 )2 −4 √ ( 0,5 )2 Tìm các giá trị x để biểu thức sau có nghĩa (3) a) √ −5 x −10 d) b) √ x −3 x+ e) √ x2 + x+5 f) √ √ −5 − x −7 x+3 5−x c) g) √ x2 +2 x+ √ x − x +6 Giải các phương trình sau a) √ x2 −10 x+ 25=7 − x b) √ −12 x + x 2=4 c) √ x2 −2 x+1+ √ x − x+ 9=1 d) √ x2 −2 x+1+ √ x − x + 4=3 e) √ x −18 x+28+ √ x − 24 x+ 45=−5 − x 2+ x a) Chứng minh x2 + y2 = thì − √ ≤ x + y ≤ √ 1 1 1 + + b) Cho x, y, z là số thực dương, chứng minh x + y + z ≥ √ xy √ yz √ zx Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau A = √ x − x +1+√ x −12 x+ B = √ 49 x − 42 x +9+ √ 49 x +42 x +9 Tìm các số x; y; z thoả mãn đẳng thức x+ y+ z+8=2 √ x −1+ √ y − 2+ √ z −3 BÀI 4: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC 1) Thực phép tính √ − √ 12+ √ 20 a) ( 382 −172 ) b) c) √ 18 −2 √ 27+ √ 45 √ 40 √12 −2 √ √ 75 −3 √ √ 48 ( 47 −19 2) d) e) f) 3 ( √ 125+ √ 245− √5 ) : √5 √ √ 252− √700+ √ 1008 − √ 448 E= √ − √ √ 3+1− √ √3+1+1 h) i) 16 − + √7 : √ g) 7 √ 3+ √5 − √3 − √5 − √2 √ 6,5+ √ 12+ √6,5 − √12+2 √ j) I =√ − √7 − √ 4+ √ k) l) B=√ 10+ √ 24+ √ 40+ √ 60 2 2 1+ √ + 1− √ √ (√ √ ) F= √ √ 1+ 2) a) Rút gọn √ 6+ √ 10 √21+ √ 35 3) a) b) √ 405+3 √27 √ 3+ √ 45 d) √6 − √ √5 −1 Giải các phương trình 1− √3 x +1=3 x e) √ 7+√ x=3+ √5 c) √ 2+ √3 x − 5= √ x +1 f) √3 x √ x+ =4 x +3 g) −4 x=2 x −3 2√ 2 − 1− √ 3 c) √2+ √ 3+ √ − √ − √ − √ 12 √2+ √ 3+ √ b) √ √ √5 x+ =4 √ x +3 d) h) x+ √ x +6=3 x − x=8 √ x − (4) i) j) √ x −1 − √ x+ 1=1 √ x+ √ x + √1 − x =1 4) Rút gọn biểu thức √ A= C= ( x −5 )4 x − 25 − x−4 (4−x) (x < 4) B= ( x 2+ xy+ y ) (x y, -y) x2 − y2 x − √27+ √ x 3+3 x (x 0) √ x+ D = x − √ 25 x −100 x + 100 x √ (x 1/2) 5) Thực phép tính cách trục thức mẫu khử mẫu biểu thức lấy 3 3+ √ − a) b) c) 2+ √5+2 √ 2+ √10 √ 2− √3 √ 2+3 √ √6+ √ − √5 1 5+2 √ −2 √ − + d) e) √7 − √24 +1 √ − √ 24 −1 −2 √ 5+ √6 √3 − √ 3+ √ − √5 + f) g) − √5 3+ √ √√ 3+1 −1 √ √ 3+1+1 6) Tính √ 5− − + + − a) b) 5+2 √ 2+ √ √ √5+ √ √ −1 − √5 2 √ −4 √ 2− 1+ √6 +√ − + − c) d) 2+ √ √6 3+ √ √ 3− √ 2− √2+3 √ √ √ + −2 e) − 7) Cho biểu thức A=x +3 x √ y +2 y √ √ √ √ f) √ ( √ − √2 ) ( √ 3+ √ ) √3 + √ √ 3+ √ √ − √ a) Phân tích A thành nhân tử 1 ; y= b) Tính giá trị biểu thức A x= 9+ √ √5 −2 BÀI 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN x+ x+ x +1 + √ −√ P = x −1 x √ x −1 x + √ x+ a) Rút gọn P b) Tính P biết x=7 − √ c) Tìm a nhỏ để P < a a+3 √ a+2 a+ √ a 1 P= ( a+2)( a− 1) − a − : a+1 + a − √ √ √ √ √ a+1 − ≥1 a) Rút gọn P b) Tìm a để [ ]( √ x −1 − √ x +1 − √ x P= √ x+1 √ x −1 √ x ( )( ) P ) (5) a) Rút gọn P P >2 √x b) Tìm x để x − √ x x+ √ x 2( x −1) − + P= x+ √ x +1 √x √ x −1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P x c) Tìm x để Q= √ có giá trị nguyên P P= ( √ x√−1x − x −1√ x ) :( √ x1+1 + x −2 ) a) Rút gọn P b) Tìm x để P > c) Tìm tham số m để có giá trị x thoả mãn P √ x=m− √ x √ x −4 √ x+2 − √ x P= x ( x − 2) + x − : √ √ √ √ x √ x −2 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết x = −2 √ c) Tìm tham số n để có giá trị x thoả mãn ( ( √ x+1)P> √ x +n ) x+ x x−4 : √ −√ P= √ x − −x √ x+1 √ x +1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P √x 8x x−1 + : √ − P= 2+ √ x − x x − √ x √ x a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -1 c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m( √ x −3) P> x+1 )( ( ) )( ( ( ) )( x −1 − √ x : √ + P= √ x − x √ √ x x +√ x )( ( ) ) b) Tính giá trị P biết x= 2+ √3 c) Tìm x thoả mãn P √ x=6 √ x − − √ x − x + √ x −3 1 + + −2 : 10 P= x −1 x +√ x − √ x −1 √ x +2 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = − √3 a) Rút gọn P ( ) c) Tìm số tự nhiên x để giá trị P là số tự nhiên √ x − 15 x+5 √ x +3 −√ + 11 P= x −7 √ x +12 √ x − − √ x a) Rút gọn P b) Tìm x để P < c) Tìm số nguyên x để giá trị P là số tự nhiên √ x −2 − 3+ √ x − √ x +1 + : 12 P= − √ x √ x +2 x − √ x − x − √ x −6 x − √ x − a) Rút gọn P b) Tìm x để P > c) Tìm tham số k để có giá trị x thoả mãn P( √ x+ 2)=kx+ (6) x √ x+ 26 √ x −19 x x −3 − √ +√ 13 P= x +2 √ x − √ x − √ x +3 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x=7 − √ giá trị nhỏ P 14 P= x +1 (√ x −1 − x+4 : 1− x + √ x+1 √ x −1 )( c) Tìm ) a) Rút gọn P b) Tìm số nguyên x để giá trị P là số tự nhiên 3+ √ x − √ x x x −1 − + : − √ 15 P= − √ x 3+ √ x x − 3+ √ x √ x + x a) Rút gọn P b) x0 là nghiệm phương trình x2 - 11x + 18 = 0, tính giá trị P xo c) Tìm m để phương trình P = m (ẩn x) có nghiệm √ x x +3 x x −5 + + √ : √ −2 16 A= 3+ √ x − x √ x −3 √x−3 a) Rút gọn biểu thức b) So sánh A và -1 ( )( ( )( ) ) m c) Tìm m để phương trình A= x − có nghiệm √ x − √ x −1 − x+ + 17 A= x +1 : x − √ x +1 x √ x +1 √ x+1 a) Rút gọn biểu thức b) So sánh A và │A│ m x c) Tìm m để phương trình ẩn x: A= √ có hai nghiệm phân biệt [ ] x +1 18 A= [ x −1 x+1 x +2 √ x +1 −√ : +1 x−1 x +3 √ x − √ x −1 ] a) Rút gọn biểu thức nguyên b) Tìm x nguyên để giá trị A x c) Với x > 1, tìm biểu thức Q= √ A 2x+4 8+ x √ x √x − −2 √ x 19 P= x √ x −8 x+ √ x+ 2+ √ x ( )( ) b) Tính giá trị P biết x= a) Rút gọn biểu thức 11 − √ c) Tìm max biểu thức Q = P √ 2− x 2√x−1 x +1 + − 20 P= x √ x+1 √ x +1 √ x −1 √ x a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x nguyên để giá trị P nguyên c) Tìm giá trị x nguyên thoả mãn (x - 1).P - √ x = √ x+2 − √ x +3 − √ x+ : 2− √ x 21 P= x −5 √ x+ − √ x √ x −3 √ x +1 ( ( )( ) )( ) (7) x+ x+ √ x+1 − √ 22 P= x −1 − x √ x −1 x + √ x+1 a) Rút gọn biểu thức Q= + √ x 23 b) Tìm giá trị lớn biểu thức P 3+ √ x 3− √ x 4x x +2 A= − − : − √ 3− √ x 3+ √ x x −9 3− √ x √ x − x ( b) Tìm giá trị x để P ≤− a) Rút gọn biểu thức )( ) a) Rút gọn biểu thức b) Tìm điều kiện x để │A│>-A c) Tìm x để A = 40A xy √ x+ xy √ y xy xy : + 24 A=1+ x + √ xy y + √ xy √ x+ √ y a) Rút gọn biểu thức b) Tìm m để phương trình A = m - có nghiệm thoả mãn √ x+ √ y=6 x −1+ √ x x √ x + x − √ x ( x − √ x)(1 − √ x) + 25 A=1 − 1−x 1+ x √ x 2√ x − a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2000 - M x ≥ c) Tìm x nguyên để giá trị M nguyên CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT BÀI 1: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ a) Chứng tỏ hàm số y = (m2 - m + 1)x - là hàm số bậc với m thuộc R b) Với giá trị nào m, n thì hàm số y = (m - 5m + 6)x2 + (m2 + mn 6n2)x + là hàm số bậc Cho hàm số y = ( (m2 − √3 m − √ m+ √ 6) x+17 Với giá trị nào m thì hàm số đồng biến? Nghịch biến? Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-1;2); B(3; 0); C(3; 5) a) Tính các cạnh tam giác ABC từ đó suy ABC là tam giác cân b) Tính diện tích tam giác ABC Cho hàm số y=( √ 3− √ 5) x+ √ 5+ √3 a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? b) Tìm x để giá trị hàm số c) Tìm x để f2(x) = + √ 15 Cho hàm số bậc y = f(x) = (6 - 3a)x + a - a) Với giá trị nào a thì hàm số đồng biến? Nghịch biến? b) Biết f(2) = 0, hàm số đồng biến hay nghịch biến? c) Biết f(-1) = 8, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Cho hàm số y = √ x a) Vẽ đồ thị hàm số ( ( )( ) )( ) (8) b) Ba điểm A, B, C thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ là -1; 1; Tính khoảng cách từ các điểm đó đến gốc toạ độ a) Trên mặt phẳng toạ độ có đường thẳng d qua gốc và điểm A ( 12 ; −2,5) , d là đồ thị hàm số nào? b) Điểm B thuộc d và có khoảng cách đến trục hoành là -5, xác định toạ độ điểm B Cho hàm số y = -2x (d1) và y = 1/2x(d2) a) Vẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục toạ độ b) Vẽ đường thẳng qua điểm (0; 2) và song song với trục Ox, cắt (d1) và (d2) A; B Chứng minh OAB là tam giác vuông và tính chu vi, diện tích tam giác đó Cho hàm số y = |x| a) Vẽ đồ thị hàm số b) Đường thẳng y = cắt đồ thị trên A và B OAB là tam giác gì? Tính chu vi, diện tích tam giác đó 10 Cho hàm số y = (m2 - 2m + 3)x + a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R b) Tìm m, biết đồ thị qua điểm (1; 14) 11 Xác định hàm số có đồ thị là đường thẳng // với đồ thị hàm số y = ( √ 3− )x và qua điểm (1; √ 3+1 ) 12 Cho ba đường thẳng y = -x + 1(d1); y = x + 1(d2) a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ b) (d1) cắt (d2) A, đường thẳng y = -1 cắt d1 và d2 B và C Tìm toạ độ A; B; C c) ABC là gì? Tính diện tích đó 13 Cho đường thẳng (d): y = -2x + a) Xác định giao điểm A, B (d) với Ox, Oy và tính khoảng cách từ gốc toạ độ tới (d) b) Tính khoảng cách từ điểm C(0, -2) đến (d) 14 Vẽ đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 2| BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1) Xác định hàm số y = ax + b trường hợp sau, biết: a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=− √3 x và qua B(1; 3√3 ) b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = −3 √ x và qua điểm ( 1− √ ; √ 15 −6 ) 2) Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(2; 3), B(-1; -3), C(0; -1) (9) a) b) Tìm hệ số a đường thẳng AB Chứng tỏ ba điểm A, B, C thẳng hàng 3) Tìm giá trị k để ba đường thẳng y = 2x + (d 1); y=− x+ (d2); y = 3 −2x − (d3) đồng quy mặt phẳng tọa độ k k 4) Cho hai đường thẳng y = (m + 1)x - và y = (2m - 1)x + a) Chứng minh m = −1 thì hai đường thẳng trên vuông góc với b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với và tích hai hệ số góc -1 c) Tìm tất các giá trị m để hai đường thẳng đã cho vuông góc với 5) Cho đường thẳng y = 4x (d) a) Viết phương trình đường thẳng (d2) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục hoành điểm có hoành độ -8 b) Viết phương trình đường thẳng (d3) song song với đường thẳng (d) cắt Ox A, cắt Oy B và diện tích tam giác ABO 6) Cho hai đường thẳng y = (k - 3)x - 3k + (d 1) y = (2k + 1)x + k + (d 2) Tìm giá trị k để: a) đường thẳng cắt nhau; đường thẳng cắt điểm trên trục tung b) đường thẳng song song; đường thẳng trùng 7) Cho đường thẳng (d): y = ax + 3a + a) Xác định đường thẳng (d) tạo với tia Ox góc 450 b) Xác định a để đường thẳng (d) qua điểm A (-1; -3) c) Chứng minh với a, họ đường thẳng xác định hàm số trên luôn luôn qua điểm cố định mặt phẳng toạ độ 8) Cho hai đường thẳng (d1) y = (m + 1)x + (d2): y = 3mx + a) Tìm tất các giá trị m để hai đường thẳng song song với b) Tìm tất các giá trị m để hai đường thẳng vuông góc với 9) Cho hai hàm số y = 2x + (d1); y = -1/2x - (d2) a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ Oxy b) Gọi giao điểm đường thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm đường thẳng (d2) với trục Ox là B, còn giao điểm đường thẳng (d 1) và (d2) là C Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm toạ độ các điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC 10) Cho hai đường thẳng y = x + (d1); y = 3x + (d2) (10) a) Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ Oxy b) Gọi giao điểm đường thẳng (d1) và (d2) với trục Oy là A và B Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB c) Gọi J (d1) (d2) Chứng minh OIJ là tam giác vuông Tính S tam giác đó 11) Cho ba đường thẳng: x + y = 1(d1); x - y = (d2); (k + 1)x + (k - 1)y = k + (k ≠ 1) (d3) a) Tìm giá trị k để ba đường thẳng đồng quy mặt phẳng toạ độ Chứng minh k thay đổi thì đường thẳng (d 3) luôn luôn qua điểm cố định mặt phẳng toạ độ Oxy BÀI 3: LUYỆN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ Tìm điểm cố định mà hàm số sau luôn qua với m a) y = (m - 2)x + b) y = mx + m + c) y = (m - 1)x + 2m - a) Cho đường thẳng d: y = 2x + 11 Xác định đường thẳng d' đối xứng với d qua trục hoành b) Cho đường thẳng d: y = 2x + Xác định đường thẳng d' đối xứng với d qua đường thẳng y = x Chứng minh đường thẳng không qua gốc toạ độ, cắt trục hoành điểm có hoành độ a, cắt trục tung điểm có tung độ b thì có x y phương trình là: a + b =0 Xác định các số nguyên a và b cho đường thẳng y = ax + b qua điểm A(4; 3) cắt trục tung điểm có tung độ nguyên dương, cắt trục hoành điểm có hoành độ nguyên dương Cho đường thẳng d: y = (m - 2)x + a) Chứng minh đường thẳng d luôn qua điểm cố đinh với m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d là lớn x y Tính hệ số góc đường thẳng + =1 Các điểm A(m; 3) và B(1; m) nằm trên đường thẳng có hệ số góc m > Tìm giá trị m Chứng minh đường thẳng qua điểm A(x 1; y1) và có hệ số góc a thì đường thẳng đó có phương trình là y - y1 = a(x - x1) Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm toạ độ đỉnh D hình bình hành ABCD 10 Cho điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Tứ giác ABCD là hình gì? CHƯƠNG III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 1: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN (11) Giải các hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số ¿ ( x+2 y ) −3 ( x − y )=99 a) x − y =7 x − y −17 ¿{ ¿ ¿ ( x +1 ) −5 ( y +1 )=8 c) ( x+ ) − ( y +1 )=1 ¿{ ¿ ¿ x −2 √5=√ e) x+ y √ 5=− ¿{ ¿ ¿ √ x +2 √3 y=5 g) √ x − √ y =4,5 ¿{ ¿ ¿ ( y −5 ) +2 ( x − )=0 b) ( x − )+ ( x + y −1 )=14 ¿{ ¿ ¿ (3 y +1 ) − ( x − )=5 d) ( y+ ) − ( x −1 ) =9 ¿{ ¿ ¿ √5 x − y=3 √ f) √ 10 x + √ y=−1 ¿{ ¿ ¿ √ x + √ y=1 h) √ x − √ y=8 ¿{ ¿ Giải hệ phương trình phương pháp ¿ x − √ y=0 a) √ x +2 y=1+ √ ¿{ ¿ ¿ ( √ 3− ) x − y =√3 d) x+ ( √ 3+ ) y =1 e) ¿{ ¿ ¿ √ x − y =√ ( √ −1 ) 14 √ x +2 √ y=28 ¿{ ¿ ¿ x −2 √ y =√ b) √ y + y =− √ ¿{ ¿ ¿ ( − √ ) x −3 y =3+5 √5 x+ y =4 − √5 ¿{ ¿ ¿ c) √ x + √ y=2 x + √ y=2 ¿{ ¿ f) Giải các hệ phương trình sau ¿ ( x +2 ) ( y − )=xy a) ( x+ )( y −3 )=xy +6 ¿{ ¿ ¿ ( x − )( y −2 )= ( x+1 ) ( y − ) ( x −5 ) ( y +4 )=( x −4 ) ( y+ ) c) ¿{ ¿ ¿ ( x − )( y −2 ) − ( x +1 ) ( y − )=0 b) ( x − )( y +1 ) − ( x −3 ) ( y − )=18 ¿{ ¿ ¿ ( x − )2+ ( y −2 )2 =( x+1 )2 + ( y +1 )2 d) 2 ( x − y −3 ) =( x − y −1 ) ¿{ ¿ 10 (12) ¿ x − y − x −2 y + =16 11 e) x+ y + ( x −1 ) =31 ¿{ ¿ f) ¿ x+ x − y + =4 12 x − y x −7 y − =− 55 11 ¿{ ¿ Tìm giá trị a và b để: a) Đa thức sau đây đa thức 0: P(x) = (5a - 4b - 3)x + (3a + b + 5) ¿ x + by=a b) Hệ phương trình bx+ay =5 nhận x = 1; y = làm nghiệm ¿{ ¿ ¿ x − y=b c) Hệ phương trình x+2 y −a=1 nhận x = 2; y = làm nghiệm ¿{ ¿ Giải các hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ ¿ 1 + = x y 10 3 + = x y 12 ¿{ ¿ a) b) ¿ 15 + =1 x −1 y +2 1 + =1 c) x −1 y +2 ¿{ ¿ e) ¿ √ x − 1− √ y +2=2 √ x −1+5 √ y +2=15 ¿{ ¿ ¿ − =1 x +2 y x − y 20 + =1 x −2 y x − y ¿{ ¿ d) ¿ ¿ − =8 x+ y − x − y+1 + =1,5 x + y −3 x − y +1 ¿{ ¿ √ x+3 − √ y +1=2 √ x +3+ √ y +1=4 ¿{ ¿ 11 f) (13) ¿ − = √ x −7 √ y+ 13 h) + = √ x − √ y +6 ¿{ ¿ ¿ √ x +3 −9 √ y +1=2 √ x +3+3 √ y +1=31 ¿{ ¿ a) c) x 3 y 6 e) 3 x 3 y 7 ¿ + =10 x −1 y −1 + =18 x −1 y −1 ¿{ ¿ ¿ x 2+13 y=− 39 x −11 y =33 ¿{ ¿ ( x −1 ) −3 y =7 x −1 ¿ + y =4 ¿ ¿ f) ¿{ 5¿ b) ¿ x + y 2=10 x − y 2=5 ¿{ ¿ d) Biết đa thức P(x) chia hết cho (x - a) và P(a) = Hãy tìm giá trị m và n cho đa thức: P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2) Tìm các giá trị m để: ¿ mx − y =5 a) Hệ phương trình x +3 my=7 có nghiệm thỏa mãn x > 0; y < ¿{ ¿ ¿ mx+ y =3 b) Hệ phương trình x + my=6 có nghiệm thỏa mãn x > 1; y > ¿{ ¿ ¿ mx+ y =2 m c) Hệ phương trình x+ my=m+1 có nghiệm nguyên m nguyên ¿{ ¿ ¿ ( m+ ) x +my=2 m−1 d) Hệ phương trình mx − y =m2 −2 có nghiệm thỏa mãn xy đạt giá ¿{ ¿ trị lớn Giải các hệ phương trình sau 12 (14) ¿ x + y +2 z=4 x − y+ z =6 a) x − y + z=7 ¿{{ ¿ ¿ x+ y+ z=23 x + z+ t=31 z +t + y=27 t + x + y =33 ¿{{{ ¿ d) ¿ x + y + z+ t =0 x − y+ z −t=− x − y − z+ t =2 x + y − z − t=0 ¿{{{ ¿ g) ¿ + x=7 z −1 x −3 y=3 + y=4,5 z −1 ¿{{ ¿ b) e) h) ¿ x+ y −3 z=36 x + y +4 z =39 x − y − z=40 ¿{{ ¿ ¿ 1 + =16 x y 1 + =20 y z 1 + =18 z x ¿{{ ¿ ¿ x+ =2 y y + =2 z z + =2 x ¿{{ ¿ c) f) ¿ xy = x+ y yz 12 = y+z xz 24 = x+ z ¿{ { ¿ Tìm các giá trị k để hệ phương trình sau có nghiệm ¿ x +3 y − 7=0 x − y+ 7=0 x +k y=7 k − ¿{{ ¿ BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giải các hệ phương trình sau a) ¿ |x − 2|+2| y − 1|=9 x +| y −1|=1 ¿{ ¿ b) ¿ x+ y+|x|=25 x − y+| y|=30 ¿{ ¿ tham số) 13 c) ¿ x + y + z=12 ax+ y+ z=46 x+ ay+ z =38 ¿{{ ¿ (a là (15) d) ¿ ax+ y+ z=a2 x+ ay+ z=3 a (a là tham số) e) x + y +az=2 ¿{{ ¿ ¿ (a+b) ( x + y ) − cz=a − b ( b +c ) ( y +z ) −ax=b −c (a, b, c là tham số, a ( a+c )( z + x ) − by=c − a ¿{ { ¿ + b + c ≠ 0) Vẽ đồ thị biểu diễn tập nghiệm phương trình x2 - 2xy + y2 = Đường thẳng ax + by = (a; b > 0) tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích Tìm tích ab Tìm các điểm nằm trên đường thẳng 8x + 9y = -79, có hoành độ và tung độ là các số nguyên và điểm đó nằm góc phần tư thứ III Trong hội trường có số băng ghế, băng ghế quy định ngồi số người Nếu bớt băng ghế và băng ngồi thêm người thì thêm chỗ Nếu thêm băng ghế và ghế ngồi bớt người thì giảm chỗ Tính số băng ghế hội trường Người ta cho thêm 1kg nước vào dung dịch A thì dung dịch B có nồng độ axit là 20% Sau đó lại cho thêm 1kg axit vào dung dịch B thì dung dịch C có nồng độ axit là 33 % Tính nồng độ axit dung dịch A Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì 3/10 bể Nếu vòi I chảy giờ, vòi II chảy thì 4/5 bể Hỏi vòi chảy mình thì bao lâu đầy bể Ba tổ công nhân A, B, C có tuổi trung bình theo thứ tự là 37, 23, 41 Tuổi trung bình hai tổ A và B là 29 Tuổi trung bình hai tổ B và C là 33 Tính tuổi trung bình ba tổ Ba xe ô tô chở upload.123doc.net hàng tổng cộng hết 50 chuyến Số chuyến xe thứ chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ Mỗi chuyến xe thứ chở tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở Hỏi ô tô chở chuyến? 10 Ba ca nô cùng rời bến A lúc để đến B Ca nô thứ hai chậm ca nô thứ 3km nhanh ca nô thứ ba km nên đến B sau ca nô thứ trước ca nô thứ ba là Tính chiều dài khúc sông AB 11 Một bè nứa trôi tự và ca nô đồng thời rời bến A để xuôi dòng sông Ca nô xuôi dòng 96 km thì quay lại A, lẫn vễ hết 14 Trên đường quay A, còn cách A là 24 km thì ca nô gặp bè nứa nói trên Tính vận tốc ca nô và vận tốc dòng nước 12 Hai máy cày có công suất khác cùng làm việc đã cay 1/6 cánh đồng 15 Nếu máy thứ cày 12 giờ, máy thứ hai cày 20 thì hai máy cày 20% cánh đồng đó Hỏi máy làm việc riêng thì cày xong cánh đồng trên bao lâu 14 (16) 13 Một đoàn học sinh tổ chức thăm quan ô tô Người ta nhận thấy xe chở 22 học sinh thì còn thừa học sinh Nếu bớt ô tô thì có thể phân phối học sinh lên các ô tô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô, biết ô tô không chở quá 32 học sinh 14 Đem số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số nó thì 405 Nếu lấy số viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số nó thì 486 Tìm số ban đầu CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN BÀI 1: HÀM SỐ Y = AX2 VÀ ĐỒ THỊ Xác định công thức hàm số y = ax 2, biết hàm số có đồ thị là parabol thoả mãn điều kiện sau: a) Cắt đường thẳng y = hai điểm A và B với độ dài AB = b) Cắt đường thẳng y = -6 hai điểm M và N với độ dài MN = c) Đi qua điểm (-2; -2) Xác định toạ độ điểm C thuộc parabol này, biết khoảng cách từ C đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ C đến trục tung Vẽ đồ thị hàm số y= x |x| 3 a) Vẽ đồ thị hàm số y=− x b) Gọi C là điểm tuỳ ý trên parabol trên K là trung điểm OC Khi điểm C di chuyển trên parabol thì điểm K di chuyển trên đường nào a) Cho parabol y= x , điểm A (0; 1) và đường thẳng d có phương trình y = -1 Gọi M là điểm thuộc parabol Chứng minh MA khoảng cách MH từ điểm M đến đường thẳng d b) Cho điểm A (0; a), gọi d là đường thẳng có phương trình y = -a Chứng minh quỹ tích điểm M(x; y) cho khoảng cách MH từ M tới d MA là parabol Cho hàm số y = x2 (P) Xác định vị trí tương đối (P) và đường thẳng (d) có phương trình: a) y = 2x - b) y = 2x c) y = 2x - BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI Dùng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau: a) 6x2 + 71x + 175 = b) x − ( √ 2+ √ ) x +4=0 c) ( 1+ √ ) x − ( √ 3+1 ) x + √ −1=0 d) -30x2 + 30x - 7,5 = e) ( 1− √ ) x − ( 1+ √2 ) x +1+3 √2=0 f) ( √ 3+1 ) x +2 √3 x + √ −1=0 Giải các phương trình với biến x sau: a) x2 - 11ax + 60a2 = b) x2 + (a + c)x - 2a(a - c) = 15 (17) c) (m2 - n2)x2 - 2mx + = d) x2 + 2(3m + 5)x + 3m + 25 = e) x2 - 2(m + 2)x + m2 - 12 = f) (m - 4)x2 - 2mx + m - = g) x2 - mx - 3(m+ 3) = h) mx2 - 4x + = Với giá trị nào m thì các phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó a) mx2+ 2(m + 2)x + = b) x2 - 2(m - 4)x + m2 + m + = c) (m + 1)x2 - m3x + m2(m - 1) = d) (m + 3)x2 - mx + m = Tìm m để phương trình sau vô nghiệm a) mx2 - 2(m - 1)x + m + = b) (m2 - 4)x2 + 2(m + 2)x + x = c) √ x − m √ x+1=0 Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó? a) 2x2 + (3m + 1)x - = và 6x2 + (7m - 1)x - 19 = b) x2 + 2x + m = và x2 + mx + = c) x2 + mx + = và x2 - x - m = d) x2 + (m - 2)x + = và 2x2 + mx + m + = Cho a, b, c là số đo độ dài cạnh tam giác a) Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: 2 a x + (a2 + b2 - c2)x + b2 = b) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 (a + b - c )x - 4abx + a + b - c ) = Tìm các giá trị m, biết phương trình x + mx + 12 = có hiệu hai nghiệm Chứng minh các phương trình sau có nghiệm với a, b, c a) x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x - b) = b) x2 + (a + b)x - 2(a2 - ab + b2) = c) 3x2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = d) (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = Tìm các số nguyên m để nghiệm phương trình sau là số nguyên mx2 - 2(m - 1)x + m - = BÀI 3: ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ÁP DỤNG Tính nhẩm nghiệm các phương trình a) mx2 - 2(m - 1)x + m - = b) (m - 1)x2 + (m +1)x + = Không giải phương trình, hãy xét dấu các nghiệm phương trình, có a) 3x2 - 7x + = b) 5x2 + 3x - = c) 2x2 + 13x + = d) 4x2 - 11x + = Xác định giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu a) (m - 1)x2 - 2x + = b) mx2 + 2(m + 1)x - + m =0 Gọi x1; x2 là các nghiệm phương trình 2x - 3x - = Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau 16 (18) 1 b) (x1 - x2)2 a) x + x e) x +5 x1 x 2+ x x1 − x 2 c) x13 + x23 1 d) x + x 2 2 a) Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 1 x1 + x2 + = x1 x2 b) Cho phương trình x2 - (m + 2)x + 2x - = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình mà không phụ thuộc vào m Cho phương trình x2 + mx + n = có 3m2 = 16n Chứng minh hai nghiệm phương trình có nghiệm gấp lần nghiệm Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm a) √ va √ b) 2− √ va 2+ √3 c) Bình phương các nghiệm phương trình x2 - 2x - = d) Nghịch đảo các nghiệm phương trình x2 + mx - = e) Luỹ thừa bậc bốn các nghiệm phương trình x2 + 5x - = Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + m - = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = a) Giải và biện luận số nghiệm phương trình b) Tìm m cho hai nghiệm phương trình thoả mãn 10x 1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó 10 Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + =0 Tìm giá trị lớn biểu thức A = |x1x2 - 2x1 - 2x2| 11 Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - = a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm mà không phụ thuộc vào m c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu 12 Cho các số a, b, c khác đôi một, c khác Biết các phương trình: x2 + ax + bc = và x2 + bx + ca = có ít nghiệm chung a) Tìm các nghiệm còn lại hai phương trình b) Chứng minh các nghiệm còn lại đó là nghiệm phương trình x + cx + ab = 13 Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu 17 (19) a) x2 + 3mx +3x - = b) x2 - 7x + m2 - = c) (2m- 1)x2 - (3m + 4)x + m + = 14 Cho phương trình (k - 1)x2 - 2kx + k - = Gọi x và x2 là hai nghiệm phương trình Lập hệ thức liên hệ x1 và x2 không phụ thuộc vào k 15 Tìm giá trị m để các nghiệm x1 và x2 phương trình: a) x2 + (m - 2)x + m + = thoả mãn x12 + x22 = 10 b) x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = thoả mãn x1 = 2x2 c) x2 - mx + m + = thoả mãn x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 16 Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3=0 Tìm giá trị lớn biểu thức M = |x1x2 - 2x1 -2x2| 17 Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phương trình x2- mx + m - 1= x x +3 Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P= x + x +2(x x + 1) 2 18 Cho các phương trình ax + bx + c = có hai nghiệm là m và n và cx + bx + a = có hai nghiệm là p và q Chứng minh m2 + n2 + p2 + q2 ≥ 19 Cho phương trình x2 + bx + c = có các nghiệm x và x2, phương trình x2 b2x + bc = có các nghiệm x3 và x4 Biết x3 - x1 = x4- x2 = Tính b, c 20 Tìm các số a và b cho các phương trình x + ax + = và x2 + bx +12 = có ít nghiệm chung và |a| + |b| nhỏ BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I Phương trình đa thức bậc cao Phương trình tam thức a) x4 + 17x2 + 52 = b) 2x4 - 34x2 + 113 = c) x4 + 25x2 + 144 = d) x6 + 9x3 + = e) x8 - 17x4 + 16 = f) x6 + x4 + x2 = Giải các phương trình sau a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = b) x3 + x2 - 7x + = c) x3 - 13x2 + 42x - 36 = d) x3 - 10x2 + 31x - 30 = e) x3 - 5x2 + x + = f) x3 + 2x - √ = g) x − x − √ 2=0 h) (x - 2)3 + (x + 1)3 =8x3 - i) √2 x − 22 x 2+ 17 √ x − 6=0 k) x −12 x +16 √ x −12=0 m) (x2- 6x)2 - 2(x - 3)2 = 81 n) x4 + (x - 1)(3x2 + 2x - 2) = p) x4 + (x + 1)(5x2 - 6x - 6) = q) x5 + x2 + 2x + = Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 3.Phương trình đối xứng (phương trình hồi quy) a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = b) 6x4+ 5x3 -38x2 + 5x + = c) 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + = d) 6x5 - 29x4 + 27x3+ 27x2 - 29x + = e) x7 - 2x6 + 3x5- x4 - x3 + 3x2 - 2x + = f) 6x5 - 11x4 - 11x + = g) x4 + = 5x(x2 - 3) h) (x2- 6x - 9)2 = x(x2 - 4x - 9) 4.a) (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = 18 (20) b) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 = c) x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = d) (x + 1)(x+ 4)(x + 5x + 6) = 24 e) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 2 2 f) (x - 2x + 4)(x + 3x + 4) = 14x g) (2x - 3x + 1)(2x2 +5x + 1) = 9x2 h) (4x + 3)2(x + 1)(2x + 1) = 810 i) (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35 k) (x2 - 3x + 1)(x2 + 3x + 2)(x2 - 9x + 20) = -30 a) (x + 5)4 + (x + 3)4 = b) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 c) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 d) (x - 4,5)4 + (x - 5,5)4 = e) (x - 2)3 + (x - 4)3 = f) ( x+ √ ) + ( x+ )4=33+ 12 √ Giải phương trình cách biến đổi hai vế thành bình phương lập phương đúng a) x4 - x2 + 2x - = b) x4 - 9x2+ 24x - 16= c) x4 = 2x2 + 8x + d) (x2 - 16)2 = 16x + e) (x2 - a2)2 = 4ax + f) x4 = 4x - g) x4 = 2x2 - 12x + h) (x2 - x + 1)4 - 6x2(x2 - x + 1)2 + 5x4 = i) x4 = 4x + k) x4 = 8x + m) x3- 3x2 + 9x - = n) x3 - x2 - x = 1/3 II Phương trình chứa ẩn mẫu (phương trình phân thức hữu tỉ) Giải các phương trình sau a) x2 x2 2x − = x −1 x +1 x −1 b) x −1 2x−1 − = x x +1 x + x 2 c) x +7 x+ = x −2 x −16 x+1 x −2 4 − − + =0 d 2 x + x −8 x − 12 x − x +7 x+ x+3 Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 1 a) x + −16 x+ x +26=0 x ( ) ( ) 1 b) x + =6 x + x x ( ) x 11 x c) 25 + − 5 − x =0 x ( ) d) + = x −3 x+ x −3 x +4 x −3 x +5 + = e) f) ( x +1 ) ( x+2 ) + ( x −1 ) ( x+ ) =1 x −2 x+2 x −2 x+3 2( x −2 x+ 4) 2 2 x +2 x+1 x +2 x+ x −1 x −1 40 + = + = g) h) x x −2 x +2 x+2 x +2 x+3 ( ) ( ) Chia tử và mẫu cho x đặt ẩn phụ 19 (21) 4x 3x + =1 x − x+7 x −10 x+7 x2 −13 x+ 15 x − 15 x +15 − =− 12 x −14 x +15 x − 16 x+15 2x 3x + =1 c) x − x+7 x −10 x+7 3x 7x + =− e) f) x −3 x+1 x + x +1 x −10 x+15 x −5 x +5 − = g) x − x+ 15 x −6 x +5 a) b) 2x 13 x + =16 x − x +3 x +2+ x −10 x+15 4x = 2 x − x+ 15 x − 12 x +15 d) Thêm bớt hạng tử để bình phương đặt ẩn phụ a) c) x +5 ¿2 ¿ ¿ 25 x2 x 2+ ¿ x2 x+ =15 ( x +1 )2 81 x b) x + ( x +9 )2 =40 x2 =5 d) x + ( x +2 ) Một số dạng khác a) c) e) g) 2 2 x x +1 x+2 x −2 x −4 + =2 b) x+1 + x −1 − =0 x +1 x x −1 2 x ( − x ) 3−x x −2 x+ x −4 x+ =2 −5 + 48 =0 d) x +1 x +1 x +1 x −1 x −1 x (5 − x ) x (8 − x ) 5−x 8−x x+ =5 f) x− =15 x +1 x +1 x −1 x −1 x+1 x −2 x − x+ x + x −4 x+ x −8 + + + =4 + = + − h) x −1 x+2 x+3 x −4 x −1 x +1 x −2 x +2 ( ) ( ) ( ( ) ( )( ) ) 11 x −6 i) x = x − 11 ( ( ) ) 133 x −78 k) x =133 −78 x III Phương trình vô tỉ Giải phương trình cách nâng lên luỹ thừa để khử a) √ x +5 − √ x −5=2 b) √ 1+ x √ x2 + 4=x+1 c) √ √ 3+ x 1 = + + 3x x x2 d) √ 15− x+ √3 − x=6 e) g) √ x −2 √ x −1 − √ x − 1=1 h) i) √ x+ √ x − 9+ √ x − √ x −9=√ √ x +1− √ x + 4=1 f) √ x −1 − √ x+ 1=2 √ x+ √2 x −1+ √ x − √ x −1=√ 2 Giải các phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ a) x 2+3 x −6+ √ x2 +3 x − 6=0 b) x − x +4=4 √ x2 − x+ c) x −5+ √ x − 6=7 d) x − x − 10− √ ( x +2 ) ( x − )=0 20 (22) e) √ x −3 x +2=2 x − ( x +2 ) f) √ x+ x +2 − = x+ 2 x +2 12 √ Giải phương trình cách đưa dạng phương trình chứa dấu GTTĐ a) √ x2 − x+ 4+ √ x − x+ 9=1 b) √ x+ − √ x+ √ x +9 −6 √ x=1 c) √ x+6 − √ x +2+ √ x+11 − √ x +2=1 d) √ x+2 − √ x −2+ √ x +7 −6 √ x − 2=1 Giải phương trình cách nghiệm nhờ ĐKXĐ đánh giá vế a) √ x −1+ √ x −2=√ x +1 b) √ x +15 − √ x+17=√ x+ c) √ x −1+√ x+ 3+2 √( x −1 ) ( x −3 x +5 ) =4 − x d) √ x+1+ √ x +10=√ x +2+ √ x +5 2.3.2 HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI 1: HỆ THỨC CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông A Biết AB = , đường cao AH = 15 cm AC Tính HB, HC Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 26 cm, AD = 10 cm và đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC Tính diện tích hình thang ABCD Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD, đường cao AH AB = 12 cm, AC = 16 cm Tính độ dài các đoạn HB, HC, HD Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính chu vi tam giác HB ABC biết AH = 14 cm, HC = Cho hình thang vuông ABCD có góc A = góc D = 90 0, AB = 15 cm, AD = 20 cm, các đường chéo AC và BD vuông O Tính diện tích hình thang ABCD Cho hình vuông ABCD và điểm I nằm A và B Tia DI cắt BC E Đường thẳng qua D vuông góc với DE cắt BC F a) DIF là tam giác gì? b) Chứng minh 1 + không đổi I di DI DE chuyển trên AB Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE cắt H Gọi M, N là điểm nằm trên HB HC cho góc AMC = góc ANB = 90 Tam giác AMN là tam giác gì? Cạnh huyền tam giác vuông lớn cạnh góc vuông tam giác là 9cm, còn tổng hai cạnh góc vuông lớn cạnh huyền là 6cm Tính chu vi và diện tích tam giác vuông đó Cho tam giác ABC, đường cao BH đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = c', HC = b' Chứng minh a) Nếu góc A < 900 thì a2 = b2 + c2 - 2bc' a) Nếu góc A > 900 thì a2 = b2 + c2 + 2bc' 21 (23) BÀI 2: HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG 0) Chứng minh với góc nhọn ta luôn có: a) sin2 + cos2 = b) tg.cotg = 1 c) 1+tg α= 2 d) 1+cot g α= cos α sin α Tính A = (sin + cos)2 - 2sin.cos - B = (sin - cos) + 2sincos + C = (sin + cos)2 + (sin - cos)2 + D = 4cos2 - 6sin2 biết sin = 1/5 E = sin.cos , biết tg + cotg = F = cos4 - cos2 + sin2 biết cos = 4/5 Cho tam giác nhọn ABC có BC = a; AB = c; AC = b a b c a) Chứng minh sin A =sin B =sin C 1 b)SABC= ab sin C= bc sin A= ac sin B A a c) sin ≤ √ bc Cho tam giác ABC có BC = a; AB = c; AC = b và b + c = 2a Chứng minh a) 2sinA = sinB + sin C 1 b) h = h + h đó ha; hb; hc là chiều cao ứng với a, b, c a b c Cho tam giác ABC vuông A, C = ( < 450), trung tuyến AM, đường cao AH Biết BC = a, AC = b, AH = h a) Tính sin, cos, sin2 theo a, b, h b) Chứng minh sin2 = 2sincos Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AH, BI, CK Chứng minh SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C) SABC Cho tam giác ABC vuông A a) Kẻ đường cao AA' Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu điểm A' trên AC và AB Chứng minh CE AC3 = BF AB3 b) Cho D là điểm trên cạnh BC, M và N là hình chiếu điểm D trên AB và AC Chứng minh DB DC = MA MB + NA NC Cho tam giác AMB vuông M Qua B kẻ đường thẳng d vuông góc với AB Gọi H và K là hình chiếu điểm M trên đường thẳng d và trên AB Cho biết MAB = ( 450) và AB = 2a a) Tính MA, MB, MH theo a và b) Tính MH theo a và 2 c) Chứng minh cos2 = - sin2, cos2 = 2cos2 - Giải ABC vuông A, biết: a) a = 50 cm, góc B = 500 b) b = 21 cm; góc C = 410 22 (24) Tam giác ABC có AB = 16 cm; AC = 14 cm và góc B = 600 a) Tính BC b) Tính SABC 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đặt BC = a; AC = b; AB = c Chứng minh AH = asinBcosB; BH = acos2B, CH = asin2B 11 Cho tam giác nhọn ABC, BC = a; CA = b; AB = c Chứng minh b = a2 + c2 - 2accosB 12 Cho tam giác ABC cân A, đường cao thuộc cạnh bên h, góc đáy Chứng minh S ABC= h sin α cos α 13 Cho tam giác ABC có AB = AC = 1, góc A = 2 Vẽ các đường cao AD, BE a) Các tỉ số sin; cos, sin2, cos2 biểu diễn đoạn nào hình? b) Chứng minh ADC đồng dạng BEC, từ đó suy ra: sin2 = 2sincos cos2 = - 2sin2 = 2cos2-1 = cos2 - sin2 c) Chứng minh tg α = tg α − tg α cot g 2α = cot g α − cot g α 14 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh 1 = 2+ AB AE AF Gợi ý: Nhân hai vế đẳng thức trên với và chứng minh hệ thức thu cách vẽ thêm đường phụ 15 Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE Chứng minh a) SADE = SABC cos2A b) SBDCE = SABC sin2A 16 Cho tam giác ABC cân A, đường cao BH = h, góc C = Hãy giải ABC theo h và 17 Hình bình hành ABCD có góc A = 120 0, AB = a, BC = b Các đường phân giác góc tạo thành hình tứ giác MNPQ Tính diện tích MNPQ KIỂM TRA 45' MÔN: HÌNH HỌC - CHƯƠNG I Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo vuông góc với Biết AC = 16cm, BD = 12 cm Tính chiều cao hình thang Cho tam giác ABC có AB = 1; góc A = 105 0; góc B = 600 Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = Vẽ ED // AB (D AC) Chứng minh 1 + = 2 AC AD Gợi ý: Kẻ AK vuông góc AC (KCB), chứng minh AK = AD Biết sin + cos = 7/5 (00 < < 900) Tính tg Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Cho biết góc AOD = 70 Tính diện tích tứ giác ABCD (kết làm tròn đến chữ số thập phân 23 (25) CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG VÀ LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG KÍNH - DÂY CUNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN Gọi I và K là các điểm thuộc cạnh AB, AD hình vuông ABCD cho AI = AK Đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DI P, cắt BC Q Chứng minh C, D, K, P, Q cùng thuộc đường tròn Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi M và N là hai điểm tuỳ ý trên các cạnh AB và AD cho chu vi tam giác ANM = 2a Gọi H là hình chiếu C trên MN Chứng minh điểm H luôn thuộc đường tròn cố định hai điểm M, N di chuyển trên AB và AD Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh các dây qua I thì dây vuông góc với OI có độ dài nhỏ Cho nửa đường tròn (O), đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy điểm B và C Biết AB = AC = √ , CD = Tính bán kính đường tròn Cho đường tròn (O), đường kính AB, dây cung AC a) Cho biết khoảng cách từ O đến AC, BC là và Tính độ dài các dây AC, BC và bán kính đường tròn b) Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = CA Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABD C chuyển động trên đường tròn (O) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB, dây cung DE Tia DE cắt AB C Biết góc DOE = 900 và OC = 3R a) Tính độ dài CD và CE theo R b) Chứng minh CD.CE = CA.CB Cho đường tròn (O, R) và điểm M nằm bên đường tròn a) Nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm b) Tính độ dài dây AB nói trên biết R = 7,5 cm, OM = 2,1 cm Cho ABC cân A nội tiếp (O), AC = 40cm, BC = 48cm Tính khoảng cách từ O đến BC Cho ABC cân A nội tiếp (O), cạnh bên b, đường cao AH = h Tính bán kính (O) theo b và h 10 Cho điểm A, B, C bất kì và đường tròn (O) bán kính Chứng minh tồn điểm M nằm trên (O) cho MA + MB + MC BÀI 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 24 (26) 1.Cho hình thang vuông ABCD có góc A = góc B = 90 0, AB = BC = 1cm, AD = 2cm Chứng minh đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (D; √ cm) Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I cho BI = BA Đường thẳng kẻ qua I vuông góc với BD cắt AD E a) So sánh các đoạn AE, EI, ID b) Xác định vị trí tương đối đường thẳng BD với đường tròn (E, EA) Dựng đường tròn bán kính 2cm, tiếp xúc với đường thẳng xy cho trước và qua điểm A cách xy khoảng 3cm Cho đường tròn (O, 15cm), AB là dây cung đường tròn Tìm tập hợp trung điểm I AB AB thay đổi (O)sao cho độ dài AB luôn 24cm Cho nửa (O), đường kính AB Qua C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến xy nửa đường tròn Gọi M, N là hình chiếu A và B trên xy Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB Chứng minh: a) C là trung điểm MN b) CH2 = AM BN c) Tam giác MHN vuông Cho (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn Qua M dựng hai tiếp tuyến MA, MB với (O) cho AMB = 900 Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MA và MB P và Q Chứng minh 1 ( MA+MB)<PQ < (MA+ MB) Cho nửa (O), đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By Trên Ax, By lấy các điểm C và D Biết AC + BD = CD Chứng minh a) Góc COD = 900 b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD còn CD là tiếp tuyến (O) Cho tam giác ABC có BC < AC, trung tuyến CD Đường tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD tiếp xúc với CD E và F Chứng minh 2EF = AC - BC Cho tam giác ABC, biết BC = a; CA = b; AB = c Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC, S là diện tích tam giác Chứng minh S= s ( a+b+c ) 10 Cho tam giác ABC vuông A, gọi r, R là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC Chứng minh AB + AC = 2(r + R) BÀI 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài A Đường nối tâm OO' cắt (O) B, cắt đường tròn (O') C DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đường 25 (27) tròn (D (O), E (O')) Gọi M là giao điểm hai đường thẳng BD và CE Chứng minh: a) Góc DME = 900 b) MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O') c) MD MB = ME MC Cho tam giác ABC vuông A Vẽ (O1) qua A và tiếp xúc BC B, (O 2) qua A và tiếp xúc BC C a) Chứng minh (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài A b) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh AM là tiếp tuyến chung hai đường tròn A Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài M Qua M vẽ hai đường thẳng, đường thẳng thứ cắt hai đường tròn A, B, đường thẳng thứ hai cắt hai đường tròn C, D Chứng minh: a) Tam giác O1AM đồng dạng tam giác O2BM b) Tam giác MAC đồng dạng tam giác MBD c) AC // BD Cho nửa (O) đường kính AB Vẽ đường tròn (O'), đường kính OA Qua A vẽ dây cung AC đường tròn (O) cắt (O') M Chứng minh: a) Hai đường tròn tiếp xúc b) O'M // OC c) M là trung điểm AC và OM // BC Cho hai đường tròn (O, R) và (O'; R') cắt A và B Biết góc OAO' = 900; R = 6cm, R' = 4,5 cm a) Tính OO'; AB b) Gọi P là trung điểm OO', qua A kẻ cát tuyến vuông góc với AP cắt đường tròn (O) C, cắt đường tròn (O') D So sánh AC, AD và AB Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài A Gọi OM và O'M' là các bán kính hai đường tròn và OM // O'M' a) Chứng minh đường thẳng MM' luôn qua điểm cố định S các bán kính OM và O'M' thay đổi b) Tính SO và SO' biết bán kính hai đường tròn (O) và (O') cm và cm c) Tam giác AMM' là tam giác gì? Vì sao? Cho hai đường tròn (O) và (O') giao A và B (O, O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Một cát tuyến qua A cắt đường tròn (O), (O') C, D Kẻ OM vuông góc CD, O'N vuông góc CD 26 (28) a) Chứng minh MN = 1/2CD b) Gọi I là trung điểm MN Chứng minh đường thẳng kẻ qua I và vuông góc với CD luôn qua điểm cố định cát tuyến CAD thay đổi c) Qua A kẻ cát tuyến song song với đường nối tâm OO', cắt đường tròn (O); (O') P, Q So sánh độ dài các đoạn CD và PQ BÀI 4: ÔN TẬP CHƯƠNG II Cho (O1; 17cm) và (O2; 10cm) AB là tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc với (O1) A và với (O2) B Đường thẳng AB cắt đường nối tâm C Tính độ dài các đoạn CO1; CO2 biết O1O2 = 21 cm Cho tứ giác ABCD biết đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ADC tiếp xúc nhau, chứng minh đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và CBD tiếp xúc Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài A, tiếp tuyến chung ngoài BC Biết AB = 6cm, AC = 8cm a) Tính độ dài đoạn BC b) Tính bán kính hai đường tròn Cho hai đường tròn (O,5cm) và (O', 2cm) tiếp xúc ngoài K AD là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn Vẽ đường kính AB đường tròn (O) Chứng minh AB2 = BK.BD Cho hai đường tròn (O) và (O') nằm ngoài Một tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung CD Tính độ dài đoạn OO' biết AB = 1,5CD Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB và điểm M nằm trên đường tròn Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB H Qua A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M) a) Chứng minh ba điểm C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến đường tròn (O) điểm M b) Chứng minh AC + BD không đổi, tính tích AC.BD theo CD c) Giả sử CD cắt AB K Chứng minh OB2 = OH.OK Cho điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng và AB = 4BC Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AC vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O' đường kính BC Tiếp tuyến chung ngoài FG hai nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và C hai nửa đường tròn đó D và E Tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn B cắt DE I a) Chứng minh các tam giác OIO', OID và O'IE là các tam giác vuông b) Đặt O'C = a Tính BI, EG và AD theo a c) Tính SADEC theo a Cho (O,R) và đường thẳng xy không giao Từ điểm M tuỳ ý trên đường thẳng xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O) Qua O kẻ OH vuông xy, dây PQ cắt OH I, cắt OM K Chứng minh: 27 (29) a) OI OH = OK OM = R2 b) PQ luôn qua điểm cố định M thay đổi trên xy Cho (O, R) tiếp xúc với (O', R') điểm A Đường nối tâm cắt hai đường tròn B và B' Chứng minh tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn đường kính OO' và BB' luôn qua điểm A cố định 10 Cho (O) và điểm P nằm (O) không trùng O Gọi Q là điểm tuỳ ý trên đường tròn (O) Chứng minh điểm Q chuyển động trên đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q đường tròn (O) chạy trên đường thẳng cố định 11 Cho nửa (O; R), đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax và By và tia Oz vuông AB(Ax, By, Oz nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi E là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Qua E kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By, Oz C, D, M Chứng minh điểm E thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì a) Tích AC BD không đổi b) Điểm M chạy trên tia c) Tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nó là hình chữ nhật Tính diện tích nhỏ đó 12.Cho đoạn thẳng AB Vẽ phía AB các tia Ax, By song song a) Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn AB và tiếp xúc với các tia Ax, By b) Tính góc AOB c) Gọi các tiếp điểm (O) với Ax, By, AB là M, N, H Chứng minh MN là tiếp tuyến đường tròn đường kính AB d) Các tia Ax, By có vị trí nào thì HM = HN? 13 Cho tam giác ABC cân A có BC = 16 cm, AB = 10cm Tính bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp và khoảng cách hai tâm hai đường tròn đó 14 Cho hình thang ABCD (góc A = góc D = 90 0) Tia phân giác góc C qua trung điểm I AD a) Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn (I, IA) b) Cho AD = 2a, tính AB CD theo a c) Gọi H là tiếp điểm BC với đường tròn (I), K là giao điểm AC và BD Chứng minh KH // DC 15 Cho tam giác ABC cân A, O là trung điểm BC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC H và K Một tiếp tuyến (O) cắt các cạnh AB, AC M, N a) Cho góc B = góc C = Tính góc MON theo 28 (30) b) Chứng minh OM, ON chia tứ giác BMNC thành tam giác đồng dạng c) Cho BC = 2a Tính tích BM.CN theo a d) Tiếp tuyến MN vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ 16 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, HB = 20 cm, HC = 45 cm Vẽ đường tròn (A,AH) Kẻ các tiếp tuyến BM,CN với đường tròn với M, N là các tiếp điểm a) Tính diện tích tứ giác BMNC b) Gọi K là giao điểm CN và HA Tính độ dài AK, KN c) Gọi I là giao điểm AM và CB Tính các độ dài IM, IB 17 Cho (O) và (O') cắt A và B a) Nêu cách dựng cát tuyến chung CAD (C (O), D (O')) cho A là trung điểm CD b) Tính độ dài đoạn CD nói trên biết OO' = cm, OA = 4cm, O'A = 3cm 18 Cho góc vuông xOy Các điểm A và B theo thứ tự di chuyển trên Ox, Oy cho OA + OB = k (k là số) Vẽ các đường tròn (A, OB) và (B, OA) a) Chứng minh hai đường tròn (A) và (B) luôn giao b) Gọi M,N là các giao điểm hai đường tròn trên Chứng minh MN luôn qua điểm cố định 19 Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài A Gọi AB là đường kính (O) và AC là đường kính (O') DE là tiếp tuyến chung hai đường tròn , K là giao điểm BD và CE a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung (O) và (O') c) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh MK vuông DE 20 Cho hai đường tròn (O, R) và (O', r) tiếp xúc ngoại A Gọi BC và DE là hai tiếp tuyến chung hai đường tròn a) Chứng minh BDEC là hình thang cân b) Tính diện tích hình thang cân đó theo R và r 21 Cho hai đường tròn (O) và (O') ngoài Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung EF a) Gọi M là giao điểm AB và EF Chứng minh AOM và BMO' đồng dạng b) Chứng minh AE vuông BF c) Gọi N là giao điểm AB và EF Chứng minh O, N, O' thẳng hàng 22 Cho ABC có Ab = c, AC = b, BC = a Gọi S là diện tích tam giác Chứng minh (a + b + c)(b + c - a) = 4S thì ABC vuông A CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1: VỊ TRÍ CỦA GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN 29 (31) Hoàn thành bảng sau để so sánh các vị trí góc với đường tròn Tên Hình vẽ Vị trí tâm, Liên hệ với Hệ cạnh góc số đo cung bị chắn Cho tam giác OBC cân O, đường cao OH Vẽ đường tròn (O, OB), tia HO cắt đường tròn A Biết góc B = 500 Tính số đo các cung nhỏ BC, CA, AB Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D Vẽ (O) ngoại tiếp tam giác BCD a) So sánh số đo các cung DB, BC, DC b) Kẻ OI, OH, OK vuông góc với DC, DB, BC So sánh các đoạn OI, OH, OK Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác S, N, P a) Chứng minh MP // AH b) So sánh các góc MAP, MPA, PAS c) Chứng minh cung BN = cung CS 30 (32) Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đường tròn Kẻ MH vuông AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa (O), vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) đường kính AH và BH cắt MA và MB P và Q a) Chứng minh MH = PQ b) Xác định vị trí tương đối đường thẳng PQ với hai đường tròn (O1) và (O2) c) Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn để tứ giác MPHQ là hình vuông Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, nội tiếp (O) Tia AO cắt đường tròn D a) Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao? b) Gọi I là trung điểm BC, chứng minh OI = 1/2 AH Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và điểm M nằm tren cung nhỏ BC Trên tia MA lấy điểm D cho MD = MB a) Tam giác BMD là tam giác gì? Vì sao? b) So sánh hai tam giác ADB và CMB c) Chứng minh MA = MB + MC Cho đường tròn (O), dây AB Gọi M là điểm trên cung AB, K là trung điểm MB Qua K kẻ KP vuông AM Chứng minh M chuyển động trên cung AB thì đường thẳng KP luôn qua điểm cố định Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R), đường cao AH Đặt AB = c, BC = a, CA = b, AH = h Chứng minh a) b c = 2Rh b) SABC = abc/4R Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Một đường tròn (O) thay đổi có bán kính đường cao AH, tiếp xúc với cạnh BC (O và A nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC) cắt Ab và AC D và E Chứng minh số đo cung DE nằm tam giác ABC không đổi 10 Cho tam giác ABC vuông C Tìm điểm N tam giác cho góc NBC = góc NCA = góc NAB 11 Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt A và B (O, O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O) A, cắt đường tròn (O') D Các tiếp tuyến hai đường tròn kẻ từ C và D cắt I Chứng minh cát tuyến CAD thay đổi thì a) Góc CBD không đổi b) Góc CID không đổi 12 Cho đường tròn (O, R), hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên tia đối tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn M, tiếp tuyến đường tròn M cắt CD P, BM cắt CD T Chứng minh: a) PT.MA = MT.OA b) PS = PM = PT 31 (33) c) Biết PM = R, tính TA.SM theo R 13 Cho đường tròn (O), đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn A, qua điểm T trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến TM với đường tròn Gọi P và Q là hình chiếu điểm M trên AB và trên đường thẳng d Chứng minh a) Các đường thẳng AM, PQ, OT đồng quy I b) MA là tia phân giác các góc QMO và TMP c) Các tam giác AIQ và ATM, AIP và AOM là cặp tam giác đồng dạng 14 Cho đường tròn (O) và điểm C nằm bên ngoài đường tròn Qua C kẻ hai tiếp tuyến CA, CB với đường tròn Vẽ đường tròn (O') qua C và tiếp xúc với AB B, cắt đường tròn (O) M Chứng minh đường thẳng AM qua trung điểm BC 15 Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt A và B, tiếp tuyến chung ngoài MN cắt đường nối tâm I (M, A, N nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ OO') Chứng minh AI là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN 16 Từ điểm M nằm bên ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB (C nằm M và B) Phân giác góc BAC cắt BC D, cắt (O) N Chứng minh: a) MA = MD b) MA2 = MC MB c) NB2 = NA ND 17 Từ điểm P nằm ngoài (O) vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn Qua trung điểm B đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với đường tròn Các đường thẳng PC và PD cắt (O) E và F Chứng minh: a) Góc DCE = góc DPE + góc CAF b) AP // EF 18 Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD, AD và BC cắt I nằm bên đường tròn, AB và CD cắt E nằm bên ngoài đường tròn Đường thẳng kẻ qua E song song với AD cắt CB F Qua F vẽ tiếp tuyến FG với (O) Chứng minh: a) Góc EFC = góc ADB + góc CAD b) EF = FG 19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là điểm thuộc cung AB, qua D kẻ dây DD' // BC cắt AC F Đường thẳng AD' cắt BC E a) So sánh tam giác ABD và tam giác AEC, tam giác ABE và ADC b) Chứng minh AD AE = AB AC c) Chứng minh tam giác AFD đồng dạng tam giác AD'B 20 Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA và SA' Phân giác góc BAC cắt BC D, cắt (O) E Gọi H là giao điểm OS và AA', G và F là giao điểm OE và AA' với BC Chứng minh: a) SA = SD b) SA2 = SF SG 32 (34) 21 Cho tam giác ABC, phân giác AD Vẽ (O) qua A, D và tiếp xúc với BC D, đường tròn này cắt AB, AC E và F Chứng minh: a) EF // BC b) AE AC = AB AF c) AE AC = AB AF 22 Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R) Gọi M là điểm thuộc cung BC a) Chứng minh MA = MB + MC MD MD b) Gọi D là giao điểm MA và BC Chứng minh MB + MC =1 c) Tính AM2 + BM2 + CM2 theo R 23 Hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính cắt hai điểm A và B Một đường thẳng d song song với OO' cắt các đường tròn trên C, D, E, F theo thứ tự trên d (C, E thuộc (O), D, F thuộc (O')) a) Chứng minh CDO'O là hình bình hành b) Tính độ dài CD biết AB = a c) Chứng minh số đo góc CAD không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d (d luôn // OO') 24 Cho đường tròn (O') tiếp xúc với (O) A Dây BC đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ H Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm AB, AC với đường tròn nhỏ Chứng minh rằng: a) DE // BC b) AH là tia phân giác góc BAC 25 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tiếp tuyến A cắt BC I IB AB a) Chứng minh IC = b) Tính IA, IC biết AB = 20cm, AC = AC 28 cm, BC = 24 cm 26 Cho hình bình hành ABCD có góc A < 90 Đường tròn (A, AB) cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Đường tròn (C, CB) cắt đường thẳng AB điểm thứ hai K Chứng minh rằng: a) DE = DK b) Năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc đường tròn BÀI 2: CUNG CHỨA GÓC VÀ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MB Tìm quỹ tích các điển N điểm M chuyển động trên nửa đường tròn Cho tam giác ABC vuông A.Về phía ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC Một cát tuyến thay đổi qua A cắt hai nửa đường tròn nói trên D và E Tìm quỹ tích các trung điểm I đoạn thẳng DE 33 (35) Cho đường tròn (O, R) và tiếp tuyến Ax Gọi P là điểm trên Ax Qua P kẻ tiếp tuyến PB với đường tròn, PO cắt AB I Tìm tập hợp các điểm I P chuyển động trên Ax Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đó Kẻ CD vuông AB Trên đoạn OC lấy điểm E cho OE = CD Tìm tập hợp các điểm E Cho đoạn thẳng AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB Một cát tuyến thay đổi cắt hai tia Ax, By M và N tạo thành hình thang AMNB có diện tích không đổi Gọi E là trung điểm AB, I là hình chiếu điểm E trên MN Tìm tập hợp các điểm I Dựng hình vuông ABCD biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh CD Cho hình chữ nhật ABCD Tìm điểm E trên đường thẳng AB cho E nhìn AD và BC góc Cho hình bình hành ABCD có góc A < 90 Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đường thẳng AB điểm thứ hai K Chứng minh a) DE = DK b) Năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc đường tròn Qua điểm M thuộc đáy BC tam giác cân ABC, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB, AC D, E Gọi I là điểm đối xứng với M qua DE Chứng minh rằng: a) Điểm I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Khi điểm M di chuyển trên BC thì đường thẳng IM qua điểm cố định 10 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, điểm M nằm B và C Đường trung trực BM cắt AB E, đường trung trực CM cắt AC F Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua EF, I là giao điểm MN và AD Chứng minh năm điểm A, B, I, C, N cùng thuộc đường tròn 11 Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo Trên tia OA lấy điểm M cho OM = OB Trên tia OB lấy điểm N cho ON = OA Chứng minh rằng: a) Bốn điểm D, M, N, C cùng thuộc đường tròn b) Góc ACN = góc BDM 12 Cho tam giác ABC (AC > AB) Đường tròn (I) nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, AC D, E Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AC, BC Gọi K là giao điểm MN và AI Chứng minh rằng: a) điểm D, M, N, C cùng thuộc đường tròn a) Ba điểm D, E, K thẳng hàng 13 Cho tam giác ABC, đường cao AH, đường trung tuyến AM thoả mãn góc BAH = góc MAC Chứng minh góc BAC = 900 34 (36) Ngày - 11 - 2010 BÀI 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với O Qua O kẻ OE, OF, OG, OH vuông góc với AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH nội tiếp Cho đường tròn (O) và điểm P nằm bên ngoài đường tròn Từ P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn a) Gọi M là điểm nằm A và B Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với OM cắt PA, PB C và D Chứng minh MC = MD b) Trên cung nhỏ AB lấy điểm I Họi H, K, L là hình chiếu I trên AB, PB, PA Chứng minh IH.HL = KH.IL Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cung CD Gọi E, F, G, H là hình chiếu điểm M trên AB, BC, CD, DA Chứng minh: a) Tam giác MEF đồng dạng tam giác MHG b) ME MG = MF MH Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn B và C cắt D Qua D kẻ cát tuyến cắt đường tròn E và F, cắt cạnh AC I.Cho biết EF //AB, chứng minh I là trung điểm EF Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cung BC Qua M kẻ MP, MQ, MR vuông góc với BC, AC, AB Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC.Vẽ phía ngoài tam giác này ba tam giác A1BC, B1AC, C1AB a) Chứng minh AA1 = BB1 = CC1 b) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác cắt điểm c) Gọi O1, O2, O3 là tâm tam giác nêu trên, chứng minh tam giác O1O2O3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi E là giao điểm hai đường thẳng AB và CD, F là giao điểm hai đường thẳng BC và AD Phân giác góc E cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC P, phân giác góc F cắt cạnh AB N, cắt cạnh CD Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Cho tứ giác ABCD có AB = BD nội tiếp đường tròn (O) Qua A kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng BC Q Gọi R là giao điểm hai đường thẳng AB và CD Chứng minh: a) Tứ giác AQRC nội tiếp b) QR // AD Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) a) Gọi M, N là các điểm trên AB và AC cho BM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN luôn qua điểm cố định M, N thay đổi trên AB,AC 35 (37) b) Phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) E Một đường tròn (O') thay đổi qua A và E cắt AB và AC tương ứng P và Q So sánh BP và CQ 10 Cho góc xAy = 450 và điểm O nằm góc đó Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA cắt Ax B, cắt Ay C Đường tròn đường kính BC cắt Ax, Ay M và N Chứng minh: a) O là trực tâm tam giác AMN b) MN = BC : √ c) SABC = 2SAMN 11 Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm A và B.Vẽ tia Cx vuông AB, CE CA = = √ Đường tròn ngoại tiếp các trên Cx lấy điểm D và E cho CB CD tam giác ACE và BCD cắt H Chứng minh a) Ba điểm B, H, D thẳng hàng và ba điểm A, E, H thẳng hàng b) Đường thẳng HC luôn qua điểm cố định C di chuyển trên đoạn AB 12 Cho hình vuông ABCD Gọi M và N là hai điểm trên các cạnh BC và CD cho góc MAN = 45 AM và AN cắt đường chéo BD theo thứ tự P và Q a) Tam giác AQM là tam giác gì? b) C/m C, M, N, P, Q thuộc đường tròn c) So sánh SAPQ và SMNQP 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Lấy điểm I thuộc cạnh AC cho góc ABI = góc C Đường tròn (O) đường kính IC cắt BI D và cắt BC M Chứng minh: a) CI là tia phân giác góc DCM b) DA là tiếp tuyến đường tròn (O) 14 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh a) BH.BE + CH.CF = BC2 b) AH.AD + BH.BE + CH.CF = 2 AB + AC +BC 2 15 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H Gọi AM, AN là các tiếp tuyến với đường tròn (O) đường kính BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMDN nội tiếp b) Ba điểm M, H, N thẳng hàng 16 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác các góc A, B, C cắt đường tròn theo thứ tự D, E, F Chứng minh rằng: AB+ AC a) AD> b) AD + BE + CF lớn chu vi tam giác ABC 17 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE Vẽ phía ngoài tam giác các nửa đường tròn đường kính AB, AC Gọi I, K là giao điểm CE, BD với các nửa đường tròn đó Chứng minh AI = AK 36 (38) 18 Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C thuộc đường tròn Các tiếp tuyến B và C cắt A Gọi M là điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn M cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi giao điểm OD, OE với BC theo thứ tự là I, K Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBDK, DIKE nội tiếp b) Các đường thẳng OM, DK, EI đồng quy 19 Cho đường tròn (O), qua điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến KB, KD và cát tuyến KAC a) Chứng minh AB CD = AD BC b) Vẽ dây CN song song với BD Gọi I là giao điểm AN và BD Chứng minh I là trung điểm BD 20 Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi E là hình chiếu B trên AD, H là hình chiếu A trên BC, M là trung điểm BC Chứng minh tam giác MEH cân 21 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = a, CD = b (a < b) Một đường tròn (O) qua A và B cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M, N Tính độ dài MN theo a, b, biết các tứ giác ABNM và CDMN có diện tích 22 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE , CF Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF a) Chứng minh OA vuông EF b) Tính tỉ số diện tích các tam giác DEF và ABC theo R và r 23 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), điểm E nằm C và D Vẽ đường tròn (O) qua E và tiếp xúc với AD D Vẽ đường tròn (O') qua E và tiếp xúc với AC C Gọi K là giao điểm thứ hai hai đường tròn Chứng minh rằng: a) điểm A, B, C, D, K cùng thuộc đường tròn b) Ba điểm K, E, B thẳng hàng 24 Cho tam giác ABC, M thuộc BC D đối xứng M qua AB, E đối xứng M qua AC Vẽ hình bình hành DMEI Chứng minh rằng: a) điểm D, A, I, E thuộc cùng đường tròn b) AI // BC 37 (39)