Phương trình phân thức Phương trình phân thức là phương trình có chứa các số hạng là phân thức hữu tỉ , đều có thể đưa được về dạng bậc 2, bậc 3, bậc cao có kèm theo điều kiện.. phương p[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH I Phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn Phương trình bậc Dạng tổng quát trên trường K : + =0, ∈ Cách giải và biện luận nghiệm phương trình : Đặt điều kiện ẩn x (nếu có) Nếu Nếu = 0, ℎì ∶ o = ∶ ℎươ o ≠ 0: ℎươ ≠ 0, phương trình có nghiệm ì ℎ ó ô ố ì ℎ ô ℎệ =− ℎ ệ ,∀ ∈ Ví dụ: giải và biện luận phương trình sau : (2 − 1) + + −1=0 Lời giải: − ≠ 0 = −( ≠ , phương trình có nghiệm nhất: + 1) − = 0 o + = − = 0 = ℎ ặ = −1, phương trình có vô số nghiệm o + − ≠ 0 ≠ ℎ ặ nghiệm Phương trình bậc hai 2.1.Phương trình bậc hai có dạng: + + = 0, ≠ −1,phương trình vô ≠0 Cách giải và biện luận nghiệm phương trình : Tính biệt thức ∆= −4 ∆< 0, phương trình vô nghiệm (2) ∆= 0, phương trình có nghiệm kép ∆> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt = ±√∆ 2.2.Tính chất nghiệm phương trình bậc hai 2.2.1 Định lí viét : Nếu phương trình : + + = 0, ≠ (1) có hai nghiệm Ta có : + =− , = − (=S) = (=P) Ngược lại: tồn hai số , và S = + , P = Thì chúng là nghiệm phương trình − + =0 2.2.2 Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac < ∆> 2.2.3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương >0 >0 ∆> Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm >0 <0 2.2.4 Hệ Nếu a + b + c = thì phương trình có nghiệm x = và = Nếu a – b + c = thì phương trình có nghiệm x = -1 và =− 2.3.Ví dụ Cho phương trình − 2(1 + ) + + = a Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b Tính + theo m c Tìm m để phương trình có nghiệm ba nghiệm d Viết phương trình bậc hai có nghiệm là và , đó , là nghiệm phương trình Giải: a Điều kiện để phương trình có nghiệm là : ∆=4 −2≥0 1 : ∈ −∞, − ∪ , +∞ √2 √2 b Theo định lí Viét, ta có: + = 2(1 + 2m) =3+4 (3) + = ( + )[( + ) − = 2(1 + )(16 + − 5) = 2(1 + 2m) = 3+4 =3 Theo bài ra: Suy ra: + + c Ta có : = Giải hệ trên ta nghiệm = d Ta có + = 2(8 = ] ± √ +4 − 1) = (3 + ) Vậy phương trình cần tìm là: − 2(8 II +4 − 1) + (3 + ) = Phương trình bậc ba, bậc bốn Phương trình bậc ba 1.1.Dạng tổng quát phương trình bậc ba + + + = ( ≠ 0) (1) , , , ∈ 1.2.Dạng thu gọn phương trình bậc ba Từ phương trình tổng quát: ′ + ′ + ′ + ′ = ( ′ ≠ 0) (1) Ta chia hai vế cho hệ số cao để đưa phương trình (1) dạng : + + + = (2) Để giải phương trình dạng (2) , ta đặt : = + hay = − Thay vào (2) ta được: − + − Hay Đặt =− + + + , − + = + − − − + =0 + =0 + Ta phương trình : + + = p,q ∈ (3) Dạng (3) là dạng thu gọn phương trình bậc ba 1.3.Công thức Cacđannô Công thức nghiệm phương trình bậc ba thu gọn : = + = − + + + − − + (4) (4) Nếu kí hiệu , là cặp giá trị đã biết hai thức bậc batrong công thức (4) thì nghiệm phương trình (3) là : = + = + (5) = + {1, , } = √1 là các bậc ba đơn vị, cụ thể √3 =− + , 2 √3 =− + 2 1.4.Biện luận số nghiệm thực phương trình bậc ba Ta có ∆= −[4 + 27 ] a Nếu ∆> 0: phương trình (3) có nghiệm thực phân biệt , tính theo công thức (5), đó , là các giá trị nào đó bậc ba công thức (4) b Nếu ∆= 0: phương trình (3) có ba nghiệm thực , đó có nghiệm kép =2 , = =− c Nếu ∆< 0: phương trình (3) có nghiệm thực: = + àℎ ℎệ ℎứ ê ℎợ í ℎ ℎ ô ℎứ (4) Ví dụ: giải phương trình : Đặt Khi đó : = + +3 − − 14 = + tức y = x-1 ,đưa phương trình dạng thu gọn − − = 0(1) = > 0, đó ∆< Theo công thức cacđanô thì = + = Các nghiệm phương trình (1) là : =3 √3 =− + 2 √3 =− − 2 Vậy nghiệm phương trình đã cho là: =2 √3 =− + 2 (5) √3 =− − 2 Phương trình bậc bốn 2.1.Dạng tổng quát : ′ + ′ + ′ + ′ + ′ = ( ′ ≠ 0)(1) Vì ′ ≠ nên phương trình đưa dạng : + + + + = (2) Phương pháp giải: Đặt = − III Khi đó phương trình đưa dạng thu gọn : + + + = 0, với p,q,r ∈ (3) Tiếp theo đưa phương trình (3) bậc 3, bậc cách nhẩm nghiệm 2.2.Phương trình bậc bốn trùng phương Dạng phương trình : + + = 0, ≠ Phương pháp giải : Đặt = đó phương trình thành : + + =0 Đưa giải phương trình bậc Phương trình bậc cao,phương trình phân thức Phương trình tam thức Phương trình tổng quát : + + = 0, ≠ Đặt = đưa dạng: + + =0 Phương trình phân thức Phương trình phân thức là phương trình có chứa các số hạng là phân thức hữu tỉ , có thể đưa dạng bậc 2, bậc 3, bậc cao có kèm theo điều kiện phương pháp giải trên Ví dụ:giải phương trình sau : IV = Giải: đk : ≠ 2, ≠ −3 Phương trình tương đương : −6 +3=0 Nghiệm phương trình là : = ± √6 Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 3.1.Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ: giải phương trình sau: −3 + −3 =0 Phương trình tương đương : ( + 1)( − 3)( − + 1) = Vậy nghiệm phương trình là : = −1 à = 3.2.Phương pháp hệ số bất định 3.3.Phương pháp đặt ẩn phụ 3.4.Phương pháp đồ thị Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối (6) ( )= ( ≥ 0) ( )=− ( )= ( ) ( )=− ( ) )| = ( ) ℎ ặ ( )≥0 ( )≤0 ( )= (− ) = |) = ℎ ặ ≥0 ≤0 ( )= ( ) (− ) = ( ) |) = ( ) ℎ ặ ≥0 ≤0 )| = | ( )| ( ) = ( ) ( ) = − ( ) )| + | ( )| + |ℎ( )| = 0, lập bảng xét dấu | ( )| = | ( (| (| | ( | ( ( ≥ 0) (7)