1. Trang chủ
  2. » Mẫu Slide

Boi duong hoc sinh gioi hinh hoc 7

18 62 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 18
Dung lượng 2,08 MB

Nội dung

 b Tính EDF Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và trong tại các đỉnh A và C cuả tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài của góc D của tam giác ADC suy ra DE là phân 0 [r]

(1)Toán BDHS Giỏi Hình học 0   Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ABC 30 và BAC 130 Gọi Ax là tia đối tia AB,   đường phân giác góc ABC cắt phân giác CAx D Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD E So sánh độ dài AC và CE Giải: Gọi Cy là tia đối tia CB Dựng DH, DI, DK vuông góc với BC AC, AB Từ giả thiết ta suy DI = DK; DK = DH nên suy DI = DH ( CI nằm trên tia CA vì điểm I thuộc tia đối CA  thì DI > DH) Vậy CD là tia phân giác I Cy và  I Cy là góc ngoài tam giâc ABC suy A  B  300  1300 ACD DCy    800 2 0 0   Mặt khác CAE 180  130 50 Do đó, CEA 50 nên CAE cân C Vậy CA = CE Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm Các đường trung tuyến BD và CE có độ dài theo thứ tự cm và 12cm Chứng minh rằng: BD  CE Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó ta có: 2 GC  CE  12 8  cm  3 2 GB  BD  6  cm  3 Tam giác BGC có 102 62  82 hay BC BG  CG Suy BGC vuông G hay BD  CE Bài toán 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC và CE Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm AM, AN với BE Chứng minh BI = IK = KE Giải: Do AM và BD là hai trung tuyến tam giác ABC cắt I nên I là trọng tâm tam giác ABC, ta có: BI  BD (1) EK  ED Ta có K là trọng tâm tam giác ACE nên (2) 1 ID  BD KD  ED 3 Mà BD = DE từ (1) và (2) suy BI = EK (3) Mặt khác, ta lại có: và IK  BD suy ID = KD ( BD = ED ) nên (4) Từ (3) và (4) suy BI = IK = KE (2) Bài toán 4: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm và trung tuyến CF = 15cm Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm) Giải: Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho DM = DG đó 2 2 AD  12 8(cm) BG  BE  6(cm) 3 AG = GM = ; ;   BDM CDG (c.g c ) nên suy GCD DBM (so le trong) nên 2 CG  CF  15 10(cm) 3 BM//CG và MB = CG mà Mặt 2 2 2 khác, ta có 10 6  hay BM BG  MG Suy BGD 2 2 vuông G Theo định lý Pythagore ta có BD  BG  GD    52 Vậy BC = 2BD = 52 14, 4(cm) Bài toán 5: Chứng minh tổng độ dài ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi và nhỏ chu vi tam giác Giải: Ta có 2AD  AB  AC ; 2BE  AB  BC ; 2CF  BC  AC nên AD  BE  CF    AB  BC  CA  suy  hay  AD  BE  CF    AB  BC  CA  (1) BG  BE Trong tam giác BGC có: BG + GC > BC mà 2 CG  CF BE  CF  BC  BE  CF  BC 3 nên 3 CF  AD  AC BE  AD  AB 2 Tương tự ta có ; Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta có: 3  AD  BE  CF    AB  BC  CA  D  BE  CF   AB  BC  AC  (2)  AB  BC  AC   AD  BE  CF  AB  BC  AC Kết hợp (1) và (2) suy (đpcm) Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm AB và BC Vẽ các điểm M, N cho C là trung điểm ME và B là trung điểm ND Gọi K là giao điểm AC và DM Chứng minh N, E, K thẳng hàng Giải: Tam giác MND có BE = EC = CM nên ME  MB mà MB là trung tuyến nên E là (3) trọng tâm suy NE là trung tuyến tam giác NMD Mặt khác, DE //AC DE là đường trung bình tam giác ABC hay DE // KC mà C là trung điểm ME nên K là trung điểm DM Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Gọi I là trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE = IA Gọi N là trung điểm EC Chứng minh đường thẳng AM qua N Giải: Tam giác AEC có CI là đường trung tuyến (vì IE = IA) nên CM  CI nên M là trọng tâm tam giác AEC đó AM qua N Bài toán 8: Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC và   BAH 2C Tia phân giác B cắt AC E  a) Tia phân giác BAH cắt BE I Chứng minh tam giác AIE vuông cân  b) Chứng minh HE là tia phân giác AHC Giải:  AIE a) Chứng minh vuông cân: Ta có AH  BC nên tam giác AHC vuông H nên    CAH  HCA 900 (1) Do AI là phân giác BAH nên 1     IAH BAI  BAH  BAH 2 IAH   mà BAH 2C (gt) nên     IAH C (2) Từ (1) và (2) suy CAH  IAH 90 nên tam 1 ABI  B  BAI   BAH ; giác AIE vuông A Ta có Do   AIE  ABI  BAI   (B  BAH )  900 450 AIE 2 là góc ngoài tam giác BIA nên nên tam giác AIE vuông cân  b)Chứng minh HE là tia phân giác AHC Ta có IA  AC mà AI là phân giác tam giác BAH nên AE là phân giác ngoài tam giác ABH A BE là phân giác tam giác ABH suy  HE là phân giác ngoài AHC  Bài toán 9: Cho tam giác ABC có góc A 120 Đường phân giác AD, đường phân giác ngoài C cắt AB K Gọi E là giao điểm DK và AC Tính số đo góc BED Giải: Tam giác ADC có hai phân giác ngoài A và C cắt K  nên DK là phân giác ADC (4) Trong tam giác BAD có AE và DE là hai phân giác ngoài các góc A và D cắt E nên BE là phân giác góc B       EDC là góc ngoài tam giác BDE nên ta có EDC DBE  DEB mà EDC  ADE ( DE là  phân giác ADC ) suy   1 EDA  ABD ADC  ABC BAD 600 DEB EDC     DBE EDA  ABD     300 2 2  Bài toán 10: Cho tam giác ABC có A 120 các đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE là tia phân giác ngoài tam giác ADB  b) Tính EDF Giải: a) Chứng minh DE là tia phân giác ngoài tam giác ADB Tam giác BAD có AE và BE là hai phân giác ngoài và  đỉnh A và B (Do A 120 ) nên DE là phân giác ngoài tam giác ABD  b) Tính EDF Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và các đỉnh A và C cuả tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài góc D tam giác ADC suy DE là phân  giác đỉnh D nên DE  DF hay EDF 90 Bài toán 11:Cho tam giác ABC cân A, M là trung điểm BC Kẻ MH vuông góc   với AB Gọi E là điểm thuộc đoạn AH Trên cạnh AC lấy điểm F cho AEF 2.EMH  EFC Chứng minh FM là tia phân giác góc Giải: Tam giác ABC cân A có AM là trung tuyến nên AM là phân giác  BAC Tam giác AEF có AM là phân giác góc A nên ta phảI chứng minh EM là phân giác góc ngoài E tam giác AEF   Thật vậy, Do tam giác EMH vuông H nên HEM 90  EMH mà 1  AEF EMH AEF 2.EMH  (gt) nên Do đó   HEM 900  EMH 90  AEF  1 Mặt khác ta có 1     FEM 1800  ( AEF  BEM ) 1800   AEF  900  AEF  900  AEF (2) 2   Từ (1) và (2) suy    HEM = FEM hay EM là phân giác BEF Tia phân giác AM góc A và tia EM là AFE phân giác ngoài tam giác AEF cắt M nên FM là phân giác ngoài  FM là phân giác EFC hay Bài toán 12: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD và CE cắt I và (5)    C ID = IE Chứng minh B = hay B + C 120 Giải: Qua I kẻ IH  AB và IK  AC , Do I là giao điểm hai ID IE gt   nên đường phân giác nên IH IK và IHE IKD (cạnh huyền, cạnh góc vuông) nên suy ADB BEC  (1) 1  BEC  A  C ( a) Trường hợp K  AD; H  BE thì ta có  BEC là góc ngoài AEC ) (2) ADB C  1B  A  C  C  1B   ( ADB là góc ngoài DBC ) (3) Từ (1); (2) và (3) 2 1 1  B   A  A  C  B  1800  A 600  C  B  1200  A  C  B  A C 2   b) Nếu H  AE và K  DC thì suy tương tự trên ta có C  B 120 A  C   A  B  C  B  2 c) Nếu H  EB và K  DC thì  1B  B  1C  C  B  C 2 H  AE K  DA d) và thì   B  1200 B C C Vậy bốn trường hợp trên ta luôn có = Bài toán 13: Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngoài đỉnh A cho tam giác EBC có chu vi nhỏ Giải: Chu vi tam giác EBC nhỏ và tổng EB + CE nhỏ Vẽ BH vuông góc với phân giác ngoài góc A cắt AC D vì đường thẳng a ( đường phân giác ngoài đỉnh A) cuả tam giác ABC nên a là đường trung trực BD nên EB = ED Do đó EB  EC ED  EC DC với điểm E thuộc a ta có EB  EC DC xảy dấu đẳng thức thì E nằm D và C Vậy E  A thì chu vi tam giác EBC nhỏ Bài toán 14: Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M trên cạnh BC cho vẽ các điểm D, E đó AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực ME thì DE có độ dài nhỏ Giải: Ta có AB là đường trung trực MD nên AD  AM ( 1) AC là đường trung trực ME nên AM  AE (2) Từ (1) và (2) suy AD  AE nên tam giác ADE cân A và   DAE 2.BAC không đổi nên DE đạt nhỏ AD nhỏ AD  AM  AH với AH  BC xảy dấu M H đó DE đạt giá trị nhỏ (6)  Bài toán 15: Cho A nằm góc xOy nhọn Tìm điểm B,C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải: Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox Nên Oy, Ox là các đường trung trực AD và AE Khi đó ta có CA = CD và BE = BA nên chu vi tam giác ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE DE Dấu đẳng thức xảy và B M ; C N Do đó ABC có chu vi nhỏ vị trí AMN Bài toán 16: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tia phân giác góc  HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh giao điểm các đường phân giác tam giác ABC là giao điểm các đường trung trực tam giác ADE Giải: Ta có ADE là góc ngoài tam giác ADB nên    ADE DBA    BAD Mặt khác ta có: DAC CAH  HAD mà ABH HAC     DAH ( cùng phụ với BAH ); BAD (Do AD là ADC DAC  BAH tia phân giác nên Vậy tam giác CAD cân C mà CK là đường phân giác nên CK là đường trung trực AD Tương tự ABE cân E mà BP là đường phân giác nên BP là đường trung trực AE Nên M là giao điểm hai đường phân giác CK và BP là giao điểm hai đường trung trực tam giác ADE Bài toán 17:Cho tam giác ABC cân A, các điểm E và D theo thứ tự di chuyển trên hai cạnh AB và AC cho AD = CE Chứng minh các đường trung trực DE luôn qua điểm cố định Giải: Khi D B  E  A Đường trung trực DE chính là đường trung trực AB Khi D  A  E C Đường trung trực DE chính là đường trung trực AC Gọi O là giao điểm hai đường trung trực AB và AC Ta phải chứng minh đường trung trực DE qua O Ta có tam giác ABC cân A nên O nằm trên đường trung trực BC Suy AH = KC mà AD = CE (gt) nên DH = KE và OH HDO KEO c.g.c   Do đó OD = OC Vậy đường = OK nên trung trực DE qua điểm cố định O Khai thác bài toán trên: (7) Nếu ABC với AC > AB và BD = CE thì các đường trung trực DE luôn qua điểm cố định nào? Tìm điểm đặc biệt: Khi D B  E C Đường trung trực DE chính là đường trung trực BC Khi D  A  E G Với G  AC Đường trung trực AG là (d’) cắt đường trung trực (d) BC K Vậy đường trung trực DE qua K Thật vậy, trên cạnh AC lấy điểm G cho AB = CG Gọi K là giao điểm hai đường trung trực (d) và (d’) các đoạn thẳng BC và AG đó ta có KB = KC và KA = KG nên AKB GKC  c.c.c      nên suy ABK GCK , hay DBK ECK nên KD = KE Vậy đường trung trực DE luôn qua K (đpcm) DKB EKC  c.g c  suy Bài toán 18: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD   Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E và F cho ABE CBF ACE BCF  Chứng minh Giải: Vẽ K, H, I cho BC, AC, AB là các đường trung trực     KF, EH, EI Khi đó ta có HCE 2 ACE ; KCF 2.FCB   Ta phải chứng minh ACE BCF Ta có AI = AE = AH (vì AB là đường trung trực EI) nên tam giác AHI cân A mà AE là phân giác nên AD là đường trung trực IH đó IF = FH (1) Ta lại có BK = BF ; BEK BIF  c.g.c    IBE FBK và BI = BE nên suy EK = IF (2) Từ (1) và (2) suy EK = FH (3) Xét tam giác HCF và ECK ta có HC = EC (4) ( vì AC là đường trung trực EH); CF = CK (vì BC là đường trung trực KF) (5) Từ (3) ,(4) và (5) nên HCF ECK  c.c.c  suy          HCF ECK  HCE  ECF KCF  FCE  HCE KCF  ACE BCF (đpcm) Bài toán 19: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác tam giác ABC, ABH, ACH Chứng minh AE  IK Giải:    Ta có B HAC ( vì cùng phụ với BAH ) B ABI IBC   ( Do BI là tia phân giác góc B)  CAH   HAD DAC   ( Do AD là tia phân giác góc CAH ) ABI DAC  Từ đẳng thức trên suy mà    DAC  KAB 900  ABI  KAB 900  ADB 900 nên BD  AD Chứng minh tương tự ta (8) có CE  AI Tam giác AIK có hai đường cao cắt E nên E là trực tâm tam giác nên AE  IK Bài toán 20: Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ ngoài tam giác các tam giác   C vuông cân ABD, ACE với B = 90 a) Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng HA K Chứng minh DC  BK b) Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy Giải: a) Chứng minh DC  BK :    Ta có BEC KCA cùng phụ với KCE      HKC HBE cùng phụ với KIE nên suy KAC ECB và KAC BCE g.c.g   suy KA = BC AC = CE (gt) nên   Mặt khác ta có BD =AB ; KAB DBC ; KA = BC nên DBC BAK  c.g c      suy BKH DCB và HKB  KBH 90 0    suy DCB  KBH 90  BMC 90 ( với M giao điểm DC và KB) nên DC  BK M b) Trong tam giác KBC ba đường cao AH, CD, BE nên đồng quy I Bài toán 21: Gọi H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC < AB + AC b) HA  HB  HC   AB  BC  AC  Giải: a) Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC Ta kẻ NH // AC và HM //AB Khi đó ta có HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tính chất đoạn chắn) Do BH vuông góc với AC mà HN //AC nên BH  HN Do đó BH < BN (2) Tương tự ta chứng minh đựơc HC < CM (3) Từ (1) ; (2) và (3) suy HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm) b) Ta có HA + HB + HC < AB + AC ( Theo câu a) Tương tự HA + HB + HC < BC + AC HA + HB + HC < AB + BC Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:  HA  HB  HC    AB  BC  AC   HA  HB  HC  Bài toán 22:  AB  BC  AC  (đpcm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N là trung điểm AB, AC Kẻ NH  CM H Kẻ HE  AB E Chứng minh tam giác ABH cân và HM là phân giác góc BHE Giải: (9) Từ A ta kẻ AK  CM K và AQ  HN Q Hai tam giác 1   AB     ACH MAK vuông MAK và NCH có MA = NC =  (cùng  MAK  NCH phụ với góc KAC) nên (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AK = HC (1) Ta lại có  BAK ACH  c.g c   BKA  AHC  Hai tam giác vuông AQN  và CHN có NA = NC và ANQ HNC (đ.đ) nên ANQ CNH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AQ = CH (2) Từ (1) và (2) suy AK = AQ nên HA là tia phân giác góc KHQ suy AHQ 450  AHC 900  450 1350  AKB 1350 0     Từ AKB  BKH  AKH 360  BKH 135  KHA 450  KA KH Tam giác AKH có nên nó vuông cân K Xét hai tam giác BKA cà     BKH có BK chung ; BKA BKH 135 ; AK KH  BKA BKH  c.g c   KHB MAK ; AB BH hay tam giác BAH cân B       MAK Ta có KHB và KE // CA nên ACH EHM (đồng vị) vì ACH MAK suy   EHM MHB nên HM là tia phân giác EHB Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh hình học: Bài toán 23: Tam giác ABC có hai góc B và C nhọn Kẻ AH  BC Chứng minh H nằm BC Giải: Ta thấy H, B, C là ba điểm phân biệt Thật vậy, H trùng với 0   B C thì B 90 C 90 Trái với giả thiết Trong ba điểm phân biệt thì có và điểm nằm hai điểm 0   Giả sử C nằm B và H thì ACH  90 suy BCA  90 trái với giả thiết Giả sử B nằm C 0   và H thì ABH  90 suy CBA  90 trái với giả thiết Vậy H nằm B và C BC  AB B 600 Bài toán 24: a) Tam giác ABC có và C 900 Chứng minh  600 B b) Tam giác ABC có và BC = 2dm; AB = 3dm Gọi D là trung điểm BC Chứng minh AD = AC Giải:  a) Giả sử C 90 Kẻ AH  BC thì H không trùng C nên ABH vuông H suy 1 BH  AB BC  AB BAH 300 2 nên Theo giả thiết ta có nên BH = BC suy H trùng  với C mâu thuẩn Nên C 90 (10) BH  AB  b) Gọi H là trung điểm DC thì BH 1,5dm Do đó Theo câu a) AHB 90 AHD AHC  c.g.c  nên suy AD = AC Bài toán 25: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH Trên tia HD lấy điểm C cho HD  = HA Trên nửa mặt phẳmg bờ BD không chứa điểm A vẽ tia Dx cho BDx 15 Dx cắt AB E Chứng minh HD = HE Giải: 0   Giả sử HD > HE thì HED  15 (1) Mặt khác HD > HE nên HA > HE đó AEH  30 0 0     (2) Từ (1) và (2) BED  45 nên ABD BED  BDE  45  15 60 TráI với giả thiết tam  giác ABC Tương tự giả sử HD < HE ta chứng minh ABD  60 , trái với giả thiết Nên HD = HE (đpcm) Bài toán 26: Tam giác ABC nhọn , đường cao AH, đường trung tuyến BI, đường phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Chứng minh tam giác DEF không thể là tam giác Giải: CFH 600  Giả sử tam giác DEF thì nên FCH 30 0    suy ACF 30 Ta lại có CEI 60 suy BIC 90 Tam giác ABC có BI là trung tuyến là đường cao  nên tam giác ABC cân B lại có ACB 60 nên tam giác ABC Do đó AH, BI, CK đồng quy tức là D, E, F trùng nhau, trái với giả thiết Vậy tam giác DEF không thể là tam giác Bài toán 27: Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường phân giác AD, đường trung  tuyến BM, và đường cao CH đồng quy Chứng minh A  45 Giải: 0     Giả sử A 45 Trên tia Hx lấy điểm E cho HE = HA thì AEC EAC 45  ACE 90 Ta ACB  ACE chứng minh nên trái với giả thiết tam giác ABC các góc nhọn Thật vậy, ta chứng tỏ B thuộc tia Ex Gọi O là giao điểm các đường CH,BM,AD và F là giao điểm EO và AC Xét tam giác EAC có EA > EC ( vì EA đối diện với góc AC còn M là trung điểm lớn hơn) mà FE là phân giác góc CEA nên AF > FC suy ABC  ACE AF  AC nên M nằm A và F vì B thuộc tia Ex Do đó ACE 900  ACB  900  Trái với giả thiết nên A  45 mà Bài toán 28: Cho tam giác ABC có BC = AB Gọi M là trung điểm BC và D là trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Giải: (11) Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE nên ta có ADB EDM  (đ.đ) DB = DM nên ABD EMD (c.g.c) suy BC  AB = ME và ABD DME Vì AB = ME = MC = nên MC =    ME Ta lại có AMC B  BAM ( góc ngoài tổng hai góc ABD DME  không kề nó tam giác ABM) mà   BAM BMA (Do tam giác BAM cân B) Suy và AMC BME    AME AMC  c.g c   BMA  AMC  AME Vậy Suy AC = AE =2AD (đpcm) Bài toán 29:Cho tam giác ABC vuông cân A và M là trung điểm BC Trên tia BC lấy điểm D với D khác B và M Kẻ BK vuông góc với AD K Chứng minh KM là phân giác phân giác ngoài tam giác BKD đỉnh K Giải: Khi D trùng với C thì K trùng với A Khi đó AM  BC M nên kết luận đúng Từ M ta hạ MH  KB và MI  KD nên MH  MI M và MH //KD Do đó AMI 900  AMH BMH     và AMI 90  BMI BMH Khi M nằm ngoài đoạn BD Do đó BMH AMI ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy MI =  MH Do M cách hai đoạn thẳng KB và KD nên KM là phân giác BKD Tính số đo các góc tam giác  Bài toán 30: Tam giác ABC cân A có A 20 Trên cạnh AB lấy ACD điểm D cho AD = BC Tính Cách giải 1: ? Vẽ tam giác BCE ( với E nằm cùng phia với A có bờ đường thẳng 1800  200  ECA   600 200   BC) nên Hay ECA DAC 20   Xét tam giác DAC và ECA có DA = EC; ECA DAC ; AC cạnh chung nên  DAC = ECA (c.g.c) suy CAE  ACD mà AEB AEC  c.c.c    nên BAE CAE 10 Vậy ACD 100 Cách giải 2: Vẽ tam giác ADE nằm ngoài tam giác ABC thì  CAE 800 Do đó CAE ABC  c.g c  nên CE =AC (12) ACE BAC   200 Nên ACD ECD  c.c.c  suy ACD ECD 100 Cách giải 3: Vẽ tam giác ACK ta chứng minh tam giác CDK cân K (vì  KAD ABC  c.g c  KAD 800 , KA = AB; AD = BC nên  DKC  AKC  AKD 600  200 400 suy suy KD = AC = KC ) nên    KCD (1800  DKC ) : (1800  400 ) : 700  DCA 700  600 100 Cách giải 4: Vẽ tam giác FAB với F và C cùng phía AB Nên tam giác AFC cân  A Tính FAC 40 nên 0 AFC 180  40 700  BFC     100  CBF 200  ADC BCF  c.g.c   ACD BFC 100  Chú ý : Nếu giả thiết cho ACD 10 thì AD = BC ta xét DAC = ECA (c.g.c)   Bài toán 31: Cho tam giác ABC cân có B C 50 Gọi K là điểm tam giác   cho KBC 10 ; KCB 30 Chứng minh tam giác ABK cân và  tính BAK ? Giải: Dựng tam giác EBC có đỉnh E và A cùng nằm trên nửa EAB EAC c.c.c   Do B C 50 nên mặt phẳng có bờ là BC Nên   EBA ECA 600  500 100 và EA là phân giác    BEC  BEA CEA 300 Do đó EBA CBK (g.c.g) nên AB = BK hay tam giác BAK cân B    BAK  1800  ABK :  1800  400 : 700     Bài toán 32: Tính các góc tam giác ABC cân A biết trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = DC = BC Giải: A  x ACD  x   Đặt thì Do đó BDC 2 x ; B 2 x mà tam giác ABC có 0 0 A  B  C  1800  nên x  x  x 180  x 180  x 36 Vậy x  A 36 Nên  C   1800  360 : 720 B     Bài toán 33: Tam giác ABC có B 60 ; C 30 Lấy điểm D trên cạnh AC Điểm E trên 0   cạnh AB cho ABD 20 ; ACE 10 Gọi K là giao điểm BD và CE Tính các góc tam giác KDE Giải:    Tam giác ABC có B 60 ; C 30 suy A 90 Do đó   CEA 900  100 800 ; BDA 900  200 700 ; (13)       CKB DKE 1800  KCB  CBK 1800  (200  400 ) 1200 Gọi I là giao điểm hai đường     phân giác các góc BCK ; KBC nên CKI BKI 60 Do đó       KEA BKE  KBE  BKE KEA  KBE 800  200 600 nên IKB EKB  g c.g  suy KI = KE Tương tự ta chứng minh KI = KD Do đó KD = KE Tam giác KDE cân K suy IKC DKC  g c.g  suy   KDE KED (1800  120 ) : 300  Bài toán 34: Cho tam giác ABC góc A 90 và các góc B, C nhọn, đường cao AH vẽ điểm D và E cho AB là đường trung trực HD , AC là đường trung trực HE Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm DE với AB và AC Tính các góc AIC và AKB Giải:  Trường hợp A  90 Thì IB và KC là hai phân giác ngoài tam giác IHK Do đó HA  là phân giác Do AHC 90 nên HC là phân giác ngoài đỉnh H Các phân giác ngoài cắt  C nên IC là phân giác góc HIK Do đó 1800 BIH  HIC    900  BIC 900  hay AIC 90 Chứng minh tương tự ta có BK  KC ( phân giác KB và phân giác ngoài góc K)  nên AKB 90    Trường hợp A  90 Tam giác HIK có KC, IB là các tia phân giác góc HKI , HIK     và KB , IC là các tia phân giác ngoài HKI , HIK nên AIC  AKB 90  Bài toán 35: Cho tam giác ABC có AH là đường cao, phân giác BD và AHD 45 Nêu cách vẽ hình và tính ADB Giải:  *) Vẽ tam giác BHD cho BHD 135 , vẽ đường thẳng vuông góc với BH H vẽ tia Bx cho   HBD DBx cắt đường thẳng vừa vẽ điểm A Hai tia AD và BH cắt C, ta hình thoả mãn đề cần vẽ Xét ABH ta có  HAx  ABH  AHB  ABH  900 2 ABD  900 ( Do BD là tia phân giác góc B) Ta lại có   HAx 2CAx (vì tia BD là phân giác và tia HD là phân giác ngoài cắt D nên 0     AD là phân giác ngoài tam giác BHA) Vậy ABD  90 = 2CAx  ABD  45 = CAx (1) Mặt (14)    khác, tam giác ABD có CAx  ABD  ADB   (định lý góc ngoài tam giác ABD) Từ (1) và (2) suy ABD  450 ABD  ADB  ADB 450 = Bài toán 36: Cho tam giác ABC có K là giao điểm các đương phân giác, O là giao điểm các đường trung trực, BC là đường trung trực OK Tính các góc tam giác ABC Giải: Do O là giao điểm các đường trung trực tam giác ABC nên OB = OC Suy OBC cân O suy   OBC OCB , Mà BC là đường trung trực OK nên     BO = BK ; OC = CK Do đó OBC KBC ; OCB BCK K là giao điểm các đường phân giác nên       OBC KBC KBA OCB BCK KCA  Ta lại có OA = OB     nên OBA OAB và CA = OC nên OCA OAC Do đó,     BAC BAO  OAC ABO  OCA 3  3 6 mà ABC có   BAC  ABC  BCA 1800  2  6  2 1800  10 1800   180 ABC BCA   360 ; BAC 1080 Vậy   Bài toán 37: Cho tam giác ABC có B 60 ; C 45 Trong góc ABC vẽ tia Bx cho   xBC 150 Đường vuông góc với BA A cắt Bx I Tính ICB Giải: Trên cạnh BC lấy điểm K cho AB = BK nên tam giác ABK  cân B có B 60 nên tam giác ABK Do đó KB = KA Ta lại có tam giác ABI vuông A mà ABI  ABC  IBC  600  150 450 nên tam giác ABI vuông cân    A suy AB = AK = AI Do B 60 ; C 45 nên A 75 Nên     KAC BAC  BAK 750  600 150 ; CAI 900  A 900  750 150 0       Do đó AKC AIC  c.g.c   ACK  ACI 45  ICB  ACK  ACI 90 Vậy ICB 90   Bài toán 38: Cho tam giác ABC có B 75 ; C 45 Trên cạnh BC lấy điểm D  cho BAD 45 Đường vuông góc với DC C cắt tia phân giác ADC  CBE E Tính Giải:   0   Ta có B 75 ; C 45 và BAD 45 suy BDA 60 nên ADC 1200    mà DE là phân giác ADC nên ADE EDC 60 Ta lại có CE là phân giác DCE và DA là phân giác  ngoài EDC cắt A nên EA là phân giác ngoài E (15)   DCE vuông C có EDC 600  DEC 300 Do đó AED  1800  DEC  :  1800  300 : 750  Do đó    ABD ADE  g c.g    (do EA là phân giác ngoài E) suy DAE 45 BD = ED nên tam giác BDE cân D nên ta có  EBD (1800  1200 ) : 300 Bài toán 39:Cho tam giác ABC, vẽ phía ngoài tam giác các tam giác ABE; ACF Gọi I là trung điểm BC, H là trực tâm tâm giác ABE Tính các góc cuả tam giác FIH Giải: Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho IH = IK Gọi 0   BAC  thì HAF 60  30   90    1 ( vì ACF  FAC 600 nên và tam giác EAB có H là trực tâm nên  HAB 300   900 ) Ta lại có: BIH CIK  c.g.c  nên ACB 1800  ABC      suy KCI HBI  ABC  30 nên 0    ACF  ABC  300 180  ABC    60 270   KCI  BCA  Do đó: + KCF 3600  KCI     BCA  ACF 3600  2700   900           HAF KCF Nên     Từ (1) và (2) suy   AHF CKF  c.g.c   HF KF ; AFH CFK  HFK 600 đó tam giác HFK suy tam giác HFI là nửa tam giác cạnh HF Các góc tam    giác HFI có số đo là: HIF 90 ; IHF 60 ; HFI 30  Bài toán 40: Cho tam giác ABC cân A có BAC 20 Trên nửa  mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Cx cho ACx 60 , trên tia ADC lấy điểm D cho AB = CD Tính Giải:  Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC vẽ tia Cy cho ACy 60 Tia này  cắt AB E Do tam giác ABC cân A có BAC 20 nên  C  (1800  200 ) : 800   B Trong tam giác BCE có B 80 Góc BEC là góc ngoài tam   BEC  A  ECA 200  600 800 giác AEC nên ta có Nên tam giác CEB cân C suy CE = CB Từ đó ta có AEC ADC  c.g.c   AEC  ADC 1800  800 1000 Bài toán 41: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm E nằm tam giác cho tam giác EAC cân  E và có góc đáy 15 Tính góc BEA Giải: (16) Cách giải 1: Vẽ tam giác ACD 0 0    Ta có tam giác EAC cân E nên EAC  ACE 15 nên BAE 90  15 75   BAE DAE 750 BAE DAE Xét và có AB = AD = AC ; ;   AE cạnh chung Nên BAE DAE  c.g.c   AEB  AED Do AD = AC và EA = EC nên ED là  đường trung trực AC Đồng thời AE là phân giác AEC nên  AED  AEC 180  2.15 750 2 Cách giải 2: Vẽ tam giác EAK nằm ngoài tam giác AEC Ta ABK ACE  c.g c  ABK BEK  c.g c   BEA    BEK  KEA 150  600 750 và  Bài toán 42: Cho tam giác ABC cân A có A 100   Điểm M nằm tam giác ABC cho MBC 10 ; MCB 20 Tính AMB Giải: 0 ACB 180  100 400 Tam giác ABC cân A nên mà 0    MBC 20  MCA 20 nên CM là tia phân giác BCA Trên tia CA lấy điểm E cho CB = CE nên MCB MCE  c.g c   ME MB và     EMC BMC 180  30 150  EMB 360  2.BMC 360  300 60 Do đó tam giác BME 0   suy BM =BE Ta có: EAB  AEM 80  10 90 nên AB  ME suy BA là phân giác 0 0 0 0 0   0    góc MBE  EBA MBA 60 : 30 nên ABM ABE  c.g.c   BEA  AMB 60  10 70  Bài toán 43: Cho tam giác cân A có A 80 Trên cạnh BC lấy điểm D cho   CAD 300 Trên cạnh AC lấy điểm E cho EBA 300 Gọi I là giao điểm AD và BE Chứng minh tam giác IDE cân và tính các góc nó Giải: 0    Ta có tam giác ABC cân A có A 80 nên B C 50 mà    CAD 300 nên BAD  A  DAC 800  300 500 Khi đó DBA cân  D suy AD = BD Trên BI lấy điểm K cho BAK 10 0 0    nên BEA 180  ( BAE  EBA) 180  (80  30 ) 70 (1)   KAE  ABC  BAK 800  100 700 (2) Từ (1) và (2) suy KAE cân K nên KA = KE Ta chứng minh tam giác AkD cân A nên AK = AD Do đó AD = KE (3)   Mặt khác, KAI  AKI 40  IKA cân I nên IA = IK (4) Từ (3) và (4) suy IE = ID nên tam giác IED cân I   AIK DIE    1800  IAK 1800  800 1000 (17) 1800  1000   IDE IED  400  Bài toán 44: Cho tam giác ABC cân A có A 20 , các điểm M,N theo thứ tự thuộc    các cạnh bên AB, AC cho BCM 50 ; CBN 60 Tính MNA Giải:  Trên cạnh AB lấy điểm D cho AN = AD thì DN //BC và AND 80  Ta tính DNM Gọi I là giao điểm BN và CD thì các tam giác IBC và IDN là các tam  giác vì IBC 60 và tam giác ABC cân A Ta chứng minh MN là tia  phân giác DNB Thật vậy, Trong tam giác BDC có       MDI BDC 1800  DBC  DCB 180  800  600 400   (1)  0   Trong tam giác BMC có MBC 80 ; MCB 50  BMC 50  BMC cân B Do đó BM = BC mà tam giác BIC nên IB = BC suy MB = BI hay 1800  200   MBI 200  BIM  800 tam giác BMI cân B mà Do đó    MID 1800  MIB  DIN 1800   800  600  400   DIM (2) Từ (1) và (2) suy MDI nên MDI   cân M Suy MD = MI Ta lại có NI = ND nên MN là đường trung trực DI suy  DNB 600  DNM   300  DNB 2 MN là phân giác hay 0 MNA MND    DNA 30  80 110 Vậy Bài toán 45: Điểm M nằm bên tam giác ABC vuông cân B cho KA: MB: MC = 1: 2: Tính AMB Giải: Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K và A nằm cùng phía BM) Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a Khi đó ta có AB = ABK CBM c.g c   suy BC; MBC  ABK ; BM = BK nên CM = KA = 3a Xét tam giác vuông MBK vuông B ta có   2 MK MB  MK  2a    2a  8a 2 AM  MK a  8a 9a  3a   AK Xét tam giác AMB có 0    ( vì AK = MC) nên tam giác KMA vuông M Vậy AMB  AMK  KMB 90  45 135 Bài toán 46: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a  b  5c thì c là độ dài cạnh nhỏ 2 Giải: (18) 2 2 2 Giả sử c a thì c  c a  c  b  2c  b  4c  b và c a  c a nên ta có 5c  a  b trái với giả thiết 2 2 2 Giả sử c b thì c  c b  c  a  2c  a  4c  a và c b  c b nên ta có 5c  a  b trái với giả thiết Vậy c là độ dài nhỏ tam giác (19)

Ngày đăng: 25/09/2021, 02:07

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w