Đang tải... (xem toàn văn)
b Tính EDF Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và trong tại các đỉnh A và C cuả tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài của góc D của tam giác ADC suy ra DE là phân 0 [r]
(1)Toán BDHS Giỏi Hình học 0 Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ABC 30 và BAC 130 Gọi Ax là tia đối tia AB, đường phân giác góc ABC cắt phân giác CAx D Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD E So sánh độ dài AC và CE Giải: Gọi Cy là tia đối tia CB Dựng DH, DI, DK vuông góc với BC AC, AB Từ giả thiết ta suy DI = DK; DK = DH nên suy DI = DH ( CI nằm trên tia CA vì điểm I thuộc tia đối CA thì DI > DH) Vậy CD là tia phân giác I Cy và I Cy là góc ngoài tam giâc ABC suy A B 300 1300 ACD DCy 800 2 0 0 Mặt khác CAE 180 130 50 Do đó, CEA 50 nên CAE cân C Vậy CA = CE Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm Các đường trung tuyến BD và CE có độ dài theo thứ tự cm và 12cm Chứng minh rằng: BD CE Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó ta có: 2 GC CE 12 8 cm 3 2 GB BD 6 cm 3 Tam giác BGC có 102 62 82 hay BC BG CG Suy BGC vuông G hay BD CE Bài toán 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC và CE Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm AM, AN với BE Chứng minh BI = IK = KE Giải: Do AM và BD là hai trung tuyến tam giác ABC cắt I nên I là trọng tâm tam giác ABC, ta có: BI BD (1) EK ED Ta có K là trọng tâm tam giác ACE nên (2) 1 ID BD KD ED 3 Mà BD = DE từ (1) và (2) suy BI = EK (3) Mặt khác, ta lại có: và IK BD suy ID = KD ( BD = ED ) nên (4) Từ (3) và (4) suy BI = IK = KE (2) Bài toán 4: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm và trung tuyến CF = 15cm Tính độ dài BC (hính xác đến 0,1 cm) Giải: Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho DM = DG đó 2 2 AD 12 8(cm) BG BE 6(cm) 3 AG = GM = ; ; BDM CDG (c.g c ) nên suy GCD DBM (so le trong) nên 2 CG CF 15 10(cm) 3 BM//CG và MB = CG mà Mặt 2 2 2 khác, ta có 10 6 hay BM BG MG Suy BGD 2 2 vuông G Theo định lý Pythagore ta có BD BG GD 52 Vậy BC = 2BD = 52 14, 4(cm) Bài toán 5: Chứng minh tổng độ dài ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi và nhỏ chu vi tam giác Giải: Ta có 2AD AB AC ; 2BE AB BC ; 2CF BC AC nên AD BE CF AB BC CA suy hay AD BE CF AB BC CA (1) BG BE Trong tam giác BGC có: BG + GC > BC mà 2 CG CF BE CF BC BE CF BC 3 nên 3 CF AD AC BE AD AB 2 Tương tự ta có ; Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta có: 3 AD BE CF AB BC CA D BE CF AB BC AC (2) AB BC AC AD BE CF AB BC AC Kết hợp (1) và (2) suy (đpcm) Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm AB và BC Vẽ các điểm M, N cho C là trung điểm ME và B là trung điểm ND Gọi K là giao điểm AC và DM Chứng minh N, E, K thẳng hàng Giải: Tam giác MND có BE = EC = CM nên ME MB mà MB là trung tuyến nên E là (3) trọng tâm suy NE là trung tuyến tam giác NMD Mặt khác, DE //AC DE là đường trung bình tam giác ABC hay DE // KC mà C là trung điểm ME nên K là trung điểm DM Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Gọi I là trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE = IA Gọi N là trung điểm EC Chứng minh đường thẳng AM qua N Giải: Tam giác AEC có CI là đường trung tuyến (vì IE = IA) nên CM CI nên M là trọng tâm tam giác AEC đó AM qua N Bài toán 8: Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC và BAH 2C Tia phân giác B cắt AC E a) Tia phân giác BAH cắt BE I Chứng minh tam giác AIE vuông cân b) Chứng minh HE là tia phân giác AHC Giải: AIE a) Chứng minh vuông cân: Ta có AH BC nên tam giác AHC vuông H nên CAH HCA 900 (1) Do AI là phân giác BAH nên 1 IAH BAI BAH BAH 2 IAH mà BAH 2C (gt) nên IAH C (2) Từ (1) và (2) suy CAH IAH 90 nên tam 1 ABI B BAI BAH ; giác AIE vuông A Ta có Do AIE ABI BAI (B BAH ) 900 450 AIE 2 là góc ngoài tam giác BIA nên nên tam giác AIE vuông cân b)Chứng minh HE là tia phân giác AHC Ta có IA AC mà AI là phân giác tam giác BAH nên AE là phân giác ngoài tam giác ABH A BE là phân giác tam giác ABH suy HE là phân giác ngoài AHC Bài toán 9: Cho tam giác ABC có góc A 120 Đường phân giác AD, đường phân giác ngoài C cắt AB K Gọi E là giao điểm DK và AC Tính số đo góc BED Giải: Tam giác ADC có hai phân giác ngoài A và C cắt K nên DK là phân giác ADC (4) Trong tam giác BAD có AE và DE là hai phân giác ngoài các góc A và D cắt E nên BE là phân giác góc B EDC là góc ngoài tam giác BDE nên ta có EDC DBE DEB mà EDC ADE ( DE là phân giác ADC ) suy 1 EDA ABD ADC ABC BAD 600 DEB EDC DBE EDA ABD 300 2 2 Bài toán 10: Cho tam giác ABC có A 120 các đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE là tia phân giác ngoài tam giác ADB b) Tính EDF Giải: a) Chứng minh DE là tia phân giác ngoài tam giác ADB Tam giác BAD có AE và BE là hai phân giác ngoài và đỉnh A và B (Do A 120 ) nên DE là phân giác ngoài tam giác ABD b) Tính EDF Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và các đỉnh A và C cuả tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài góc D tam giác ADC suy DE là phân giác đỉnh D nên DE DF hay EDF 90 Bài toán 11:Cho tam giác ABC cân A, M là trung điểm BC Kẻ MH vuông góc với AB Gọi E là điểm thuộc đoạn AH Trên cạnh AC lấy điểm F cho AEF 2.EMH EFC Chứng minh FM là tia phân giác góc Giải: Tam giác ABC cân A có AM là trung tuyến nên AM là phân giác BAC Tam giác AEF có AM là phân giác góc A nên ta phảI chứng minh EM là phân giác góc ngoài E tam giác AEF Thật vậy, Do tam giác EMH vuông H nên HEM 90 EMH mà 1 AEF EMH AEF 2.EMH (gt) nên Do đó HEM 900 EMH 90 AEF 1 Mặt khác ta có 1 FEM 1800 ( AEF BEM ) 1800 AEF 900 AEF 900 AEF (2) 2 Từ (1) và (2) suy HEM = FEM hay EM là phân giác BEF Tia phân giác AM góc A và tia EM là AFE phân giác ngoài tam giác AEF cắt M nên FM là phân giác ngoài FM là phân giác EFC hay Bài toán 12: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD và CE cắt I và (5) C ID = IE Chứng minh B = hay B + C 120 Giải: Qua I kẻ IH AB và IK AC , Do I là giao điểm hai ID IE gt nên đường phân giác nên IH IK và IHE IKD (cạnh huyền, cạnh góc vuông) nên suy ADB BEC (1) 1 BEC A C ( a) Trường hợp K AD; H BE thì ta có BEC là góc ngoài AEC ) (2) ADB C 1B A C C 1B ( ADB là góc ngoài DBC ) (3) Từ (1); (2) và (3) 2 1 1 B A A C B 1800 A 600 C B 1200 A C B A C 2 b) Nếu H AE và K DC thì suy tương tự trên ta có C B 120 A C A B C B 2 c) Nếu H EB và K DC thì 1B B 1C C B C 2 H AE K DA d) và thì B 1200 B C C Vậy bốn trường hợp trên ta luôn có = Bài toán 13: Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngoài đỉnh A cho tam giác EBC có chu vi nhỏ Giải: Chu vi tam giác EBC nhỏ và tổng EB + CE nhỏ Vẽ BH vuông góc với phân giác ngoài góc A cắt AC D vì đường thẳng a ( đường phân giác ngoài đỉnh A) cuả tam giác ABC nên a là đường trung trực BD nên EB = ED Do đó EB EC ED EC DC với điểm E thuộc a ta có EB EC DC xảy dấu đẳng thức thì E nằm D và C Vậy E A thì chu vi tam giác EBC nhỏ Bài toán 14: Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M trên cạnh BC cho vẽ các điểm D, E đó AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực ME thì DE có độ dài nhỏ Giải: Ta có AB là đường trung trực MD nên AD AM ( 1) AC là đường trung trực ME nên AM AE (2) Từ (1) và (2) suy AD AE nên tam giác ADE cân A và DAE 2.BAC không đổi nên DE đạt nhỏ AD nhỏ AD AM AH với AH BC xảy dấu M H đó DE đạt giá trị nhỏ (6) Bài toán 15: Cho A nằm góc xOy nhọn Tìm điểm B,C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải: Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox Nên Oy, Ox là các đường trung trực AD và AE Khi đó ta có CA = CD và BE = BA nên chu vi tam giác ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE DE Dấu đẳng thức xảy và B M ; C N Do đó ABC có chu vi nhỏ vị trí AMN Bài toán 16: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh giao điểm các đường phân giác tam giác ABC là giao điểm các đường trung trực tam giác ADE Giải: Ta có ADE là góc ngoài tam giác ADB nên ADE DBA BAD Mặt khác ta có: DAC CAH HAD mà ABH HAC DAH ( cùng phụ với BAH ); BAD (Do AD là ADC DAC BAH tia phân giác nên Vậy tam giác CAD cân C mà CK là đường phân giác nên CK là đường trung trực AD Tương tự ABE cân E mà BP là đường phân giác nên BP là đường trung trực AE Nên M là giao điểm hai đường phân giác CK và BP là giao điểm hai đường trung trực tam giác ADE Bài toán 17:Cho tam giác ABC cân A, các điểm E và D theo thứ tự di chuyển trên hai cạnh AB và AC cho AD = CE Chứng minh các đường trung trực DE luôn qua điểm cố định Giải: Khi D B E A Đường trung trực DE chính là đường trung trực AB Khi D A E C Đường trung trực DE chính là đường trung trực AC Gọi O là giao điểm hai đường trung trực AB và AC Ta phải chứng minh đường trung trực DE qua O Ta có tam giác ABC cân A nên O nằm trên đường trung trực BC Suy AH = KC mà AD = CE (gt) nên DH = KE và OH HDO KEO c.g.c Do đó OD = OC Vậy đường = OK nên trung trực DE qua điểm cố định O Khai thác bài toán trên: (7) Nếu ABC với AC > AB và BD = CE thì các đường trung trực DE luôn qua điểm cố định nào? Tìm điểm đặc biệt: Khi D B E C Đường trung trực DE chính là đường trung trực BC Khi D A E G Với G AC Đường trung trực AG là (d’) cắt đường trung trực (d) BC K Vậy đường trung trực DE qua K Thật vậy, trên cạnh AC lấy điểm G cho AB = CG Gọi K là giao điểm hai đường trung trực (d) và (d’) các đoạn thẳng BC và AG đó ta có KB = KC và KA = KG nên AKB GKC c.c.c nên suy ABK GCK , hay DBK ECK nên KD = KE Vậy đường trung trực DE luôn qua K (đpcm) DKB EKC c.g c suy Bài toán 18: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E và F cho ABE CBF ACE BCF Chứng minh Giải: Vẽ K, H, I cho BC, AC, AB là các đường trung trực KF, EH, EI Khi đó ta có HCE 2 ACE ; KCF 2.FCB Ta phải chứng minh ACE BCF Ta có AI = AE = AH (vì AB là đường trung trực EI) nên tam giác AHI cân A mà AE là phân giác nên AD là đường trung trực IH đó IF = FH (1) Ta lại có BK = BF ; BEK BIF c.g.c IBE FBK và BI = BE nên suy EK = IF (2) Từ (1) và (2) suy EK = FH (3) Xét tam giác HCF và ECK ta có HC = EC (4) ( vì AC là đường trung trực EH); CF = CK (vì BC là đường trung trực KF) (5) Từ (3) ,(4) và (5) nên HCF ECK c.c.c suy HCF ECK HCE ECF KCF FCE HCE KCF ACE BCF (đpcm) Bài toán 19: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác tam giác ABC, ABH, ACH Chứng minh AE IK Giải: Ta có B HAC ( vì cùng phụ với BAH ) B ABI IBC ( Do BI là tia phân giác góc B) CAH HAD DAC ( Do AD là tia phân giác góc CAH ) ABI DAC Từ đẳng thức trên suy mà DAC KAB 900 ABI KAB 900 ADB 900 nên BD AD Chứng minh tương tự ta (8) có CE AI Tam giác AIK có hai đường cao cắt E nên E là trực tâm tam giác nên AE IK Bài toán 20: Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ ngoài tam giác các tam giác C vuông cân ABD, ACE với B = 90 a) Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng HA K Chứng minh DC BK b) Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy Giải: a) Chứng minh DC BK : Ta có BEC KCA cùng phụ với KCE HKC HBE cùng phụ với KIE nên suy KAC ECB và KAC BCE g.c.g suy KA = BC AC = CE (gt) nên Mặt khác ta có BD =AB ; KAB DBC ; KA = BC nên DBC BAK c.g c suy BKH DCB và HKB KBH 90 0 suy DCB KBH 90 BMC 90 ( với M giao điểm DC và KB) nên DC BK M b) Trong tam giác KBC ba đường cao AH, CD, BE nên đồng quy I Bài toán 21: Gọi H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC < AB + AC b) HA HB HC AB BC AC Giải: a) Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC Ta kẻ NH // AC và HM //AB Khi đó ta có HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tính chất đoạn chắn) Do BH vuông góc với AC mà HN //AC nên BH HN Do đó BH < BN (2) Tương tự ta chứng minh đựơc HC < CM (3) Từ (1) ; (2) và (3) suy HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm) b) Ta có HA + HB + HC < AB + AC ( Theo câu a) Tương tự HA + HB + HC < BC + AC HA + HB + HC < AB + BC Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: HA HB HC AB BC AC HA HB HC Bài toán 22: AB BC AC (đpcm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N là trung điểm AB, AC Kẻ NH CM H Kẻ HE AB E Chứng minh tam giác ABH cân và HM là phân giác góc BHE Giải: (9) Từ A ta kẻ AK CM K và AQ HN Q Hai tam giác 1 AB ACH MAK vuông MAK và NCH có MA = NC = (cùng MAK NCH phụ với góc KAC) nên (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AK = HC (1) Ta lại có BAK ACH c.g c BKA AHC Hai tam giác vuông AQN và CHN có NA = NC và ANQ HNC (đ.đ) nên ANQ CNH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AQ = CH (2) Từ (1) và (2) suy AK = AQ nên HA là tia phân giác góc KHQ suy AHQ 450 AHC 900 450 1350 AKB 1350 0 Từ AKB BKH AKH 360 BKH 135 KHA 450 KA KH Tam giác AKH có nên nó vuông cân K Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung ; BKA BKH 135 ; AK KH BKA BKH c.g c KHB MAK ; AB BH hay tam giác BAH cân B MAK Ta có KHB và KE // CA nên ACH EHM (đồng vị) vì ACH MAK suy EHM MHB nên HM là tia phân giác EHB Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh hình học: Bài toán 23: Tam giác ABC có hai góc B và C nhọn Kẻ AH BC Chứng minh H nằm BC Giải: Ta thấy H, B, C là ba điểm phân biệt Thật vậy, H trùng với 0 B C thì B 90 C 90 Trái với giả thiết Trong ba điểm phân biệt thì có và điểm nằm hai điểm 0 Giả sử C nằm B và H thì ACH 90 suy BCA 90 trái với giả thiết Giả sử B nằm C 0 và H thì ABH 90 suy CBA 90 trái với giả thiết Vậy H nằm B và C BC AB B 600 Bài toán 24: a) Tam giác ABC có và C 900 Chứng minh 600 B b) Tam giác ABC có và BC = 2dm; AB = 3dm Gọi D là trung điểm BC Chứng minh AD = AC Giải: a) Giả sử C 90 Kẻ AH BC thì H không trùng C nên ABH vuông H suy 1 BH AB BC AB BAH 300 2 nên Theo giả thiết ta có nên BH = BC suy H trùng với C mâu thuẩn Nên C 90 (10) BH AB b) Gọi H là trung điểm DC thì BH 1,5dm Do đó Theo câu a) AHB 90 AHD AHC c.g.c nên suy AD = AC Bài toán 25: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH Trên tia HD lấy điểm C cho HD = HA Trên nửa mặt phẳmg bờ BD không chứa điểm A vẽ tia Dx cho BDx 15 Dx cắt AB E Chứng minh HD = HE Giải: 0 Giả sử HD > HE thì HED 15 (1) Mặt khác HD > HE nên HA > HE đó AEH 30 0 0 (2) Từ (1) và (2) BED 45 nên ABD BED BDE 45 15 60 TráI với giả thiết tam giác ABC Tương tự giả sử HD < HE ta chứng minh ABD 60 , trái với giả thiết Nên HD = HE (đpcm) Bài toán 26: Tam giác ABC nhọn , đường cao AH, đường trung tuyến BI, đường phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Chứng minh tam giác DEF không thể là tam giác Giải: CFH 600 Giả sử tam giác DEF thì nên FCH 30 0 suy ACF 30 Ta lại có CEI 60 suy BIC 90 Tam giác ABC có BI là trung tuyến là đường cao nên tam giác ABC cân B lại có ACB 60 nên tam giác ABC Do đó AH, BI, CK đồng quy tức là D, E, F trùng nhau, trái với giả thiết Vậy tam giác DEF không thể là tam giác Bài toán 27: Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường phân giác AD, đường trung tuyến BM, và đường cao CH đồng quy Chứng minh A 45 Giải: 0 Giả sử A 45 Trên tia Hx lấy điểm E cho HE = HA thì AEC EAC 45 ACE 90 Ta ACB ACE chứng minh nên trái với giả thiết tam giác ABC các góc nhọn Thật vậy, ta chứng tỏ B thuộc tia Ex Gọi O là giao điểm các đường CH,BM,AD và F là giao điểm EO và AC Xét tam giác EAC có EA > EC ( vì EA đối diện với góc AC còn M là trung điểm lớn hơn) mà FE là phân giác góc CEA nên AF > FC suy ABC ACE AF AC nên M nằm A và F vì B thuộc tia Ex Do đó ACE 900 ACB 900 Trái với giả thiết nên A 45 mà Bài toán 28: Cho tam giác ABC có BC = AB Gọi M là trung điểm BC và D là trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Giải: (11) Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE nên ta có ADB EDM (đ.đ) DB = DM nên ABD EMD (c.g.c) suy BC AB = ME và ABD DME Vì AB = ME = MC = nên MC = ME Ta lại có AMC B BAM ( góc ngoài tổng hai góc ABD DME không kề nó tam giác ABM) mà BAM BMA (Do tam giác BAM cân B) Suy và AMC BME AME AMC c.g c BMA AMC AME Vậy Suy AC = AE =2AD (đpcm) Bài toán 29:Cho tam giác ABC vuông cân A và M là trung điểm BC Trên tia BC lấy điểm D với D khác B và M Kẻ BK vuông góc với AD K Chứng minh KM là phân giác phân giác ngoài tam giác BKD đỉnh K Giải: Khi D trùng với C thì K trùng với A Khi đó AM BC M nên kết luận đúng Từ M ta hạ MH KB và MI KD nên MH MI M và MH //KD Do đó AMI 900 AMH BMH và AMI 90 BMI BMH Khi M nằm ngoài đoạn BD Do đó BMH AMI ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy MI = MH Do M cách hai đoạn thẳng KB và KD nên KM là phân giác BKD Tính số đo các góc tam giác Bài toán 30: Tam giác ABC cân A có A 20 Trên cạnh AB lấy ACD điểm D cho AD = BC Tính Cách giải 1: ? Vẽ tam giác BCE ( với E nằm cùng phia với A có bờ đường thẳng 1800 200 ECA 600 200 BC) nên Hay ECA DAC 20 Xét tam giác DAC và ECA có DA = EC; ECA DAC ; AC cạnh chung nên DAC = ECA (c.g.c) suy CAE ACD mà AEB AEC c.c.c nên BAE CAE 10 Vậy ACD 100 Cách giải 2: Vẽ tam giác ADE nằm ngoài tam giác ABC thì CAE 800 Do đó CAE ABC c.g c nên CE =AC (12) ACE BAC 200 Nên ACD ECD c.c.c suy ACD ECD 100 Cách giải 3: Vẽ tam giác ACK ta chứng minh tam giác CDK cân K (vì KAD ABC c.g c KAD 800 , KA = AB; AD = BC nên DKC AKC AKD 600 200 400 suy suy KD = AC = KC ) nên KCD (1800 DKC ) : (1800 400 ) : 700 DCA 700 600 100 Cách giải 4: Vẽ tam giác FAB với F và C cùng phía AB Nên tam giác AFC cân A Tính FAC 40 nên 0 AFC 180 40 700 BFC 100 CBF 200 ADC BCF c.g.c ACD BFC 100 Chú ý : Nếu giả thiết cho ACD 10 thì AD = BC ta xét DAC = ECA (c.g.c) Bài toán 31: Cho tam giác ABC cân có B C 50 Gọi K là điểm tam giác cho KBC 10 ; KCB 30 Chứng minh tam giác ABK cân và tính BAK ? Giải: Dựng tam giác EBC có đỉnh E và A cùng nằm trên nửa EAB EAC c.c.c Do B C 50 nên mặt phẳng có bờ là BC Nên EBA ECA 600 500 100 và EA là phân giác BEC BEA CEA 300 Do đó EBA CBK (g.c.g) nên AB = BK hay tam giác BAK cân B BAK 1800 ABK : 1800 400 : 700 Bài toán 32: Tính các góc tam giác ABC cân A biết trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = DC = BC Giải: A x ACD x Đặt thì Do đó BDC 2 x ; B 2 x mà tam giác ABC có 0 0 A B C 1800 nên x x x 180 x 180 x 36 Vậy x A 36 Nên C 1800 360 : 720 B Bài toán 33: Tam giác ABC có B 60 ; C 30 Lấy điểm D trên cạnh AC Điểm E trên 0 cạnh AB cho ABD 20 ; ACE 10 Gọi K là giao điểm BD và CE Tính các góc tam giác KDE Giải: Tam giác ABC có B 60 ; C 30 suy A 90 Do đó CEA 900 100 800 ; BDA 900 200 700 ; (13) CKB DKE 1800 KCB CBK 1800 (200 400 ) 1200 Gọi I là giao điểm hai đường phân giác các góc BCK ; KBC nên CKI BKI 60 Do đó KEA BKE KBE BKE KEA KBE 800 200 600 nên IKB EKB g c.g suy KI = KE Tương tự ta chứng minh KI = KD Do đó KD = KE Tam giác KDE cân K suy IKC DKC g c.g suy KDE KED (1800 120 ) : 300 Bài toán 34: Cho tam giác ABC góc A 90 và các góc B, C nhọn, đường cao AH vẽ điểm D và E cho AB là đường trung trực HD , AC là đường trung trực HE Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm DE với AB và AC Tính các góc AIC và AKB Giải: Trường hợp A 90 Thì IB và KC là hai phân giác ngoài tam giác IHK Do đó HA là phân giác Do AHC 90 nên HC là phân giác ngoài đỉnh H Các phân giác ngoài cắt C nên IC là phân giác góc HIK Do đó 1800 BIH HIC 900 BIC 900 hay AIC 90 Chứng minh tương tự ta có BK KC ( phân giác KB và phân giác ngoài góc K) nên AKB 90 Trường hợp A 90 Tam giác HIK có KC, IB là các tia phân giác góc HKI , HIK và KB , IC là các tia phân giác ngoài HKI , HIK nên AIC AKB 90 Bài toán 35: Cho tam giác ABC có AH là đường cao, phân giác BD và AHD 45 Nêu cách vẽ hình và tính ADB Giải: *) Vẽ tam giác BHD cho BHD 135 , vẽ đường thẳng vuông góc với BH H vẽ tia Bx cho HBD DBx cắt đường thẳng vừa vẽ điểm A Hai tia AD và BH cắt C, ta hình thoả mãn đề cần vẽ Xét ABH ta có HAx ABH AHB ABH 900 2 ABD 900 ( Do BD là tia phân giác góc B) Ta lại có HAx 2CAx (vì tia BD là phân giác và tia HD là phân giác ngoài cắt D nên 0 AD là phân giác ngoài tam giác BHA) Vậy ABD 90 = 2CAx ABD 45 = CAx (1) Mặt (14) khác, tam giác ABD có CAx ABD ADB (định lý góc ngoài tam giác ABD) Từ (1) và (2) suy ABD 450 ABD ADB ADB 450 = Bài toán 36: Cho tam giác ABC có K là giao điểm các đương phân giác, O là giao điểm các đường trung trực, BC là đường trung trực OK Tính các góc tam giác ABC Giải: Do O là giao điểm các đường trung trực tam giác ABC nên OB = OC Suy OBC cân O suy OBC OCB , Mà BC là đường trung trực OK nên BO = BK ; OC = CK Do đó OBC KBC ; OCB BCK K là giao điểm các đường phân giác nên OBC KBC KBA OCB BCK KCA Ta lại có OA = OB nên OBA OAB và CA = OC nên OCA OAC Do đó, BAC BAO OAC ABO OCA 3 3 6 mà ABC có BAC ABC BCA 1800 2 6 2 1800 10 1800 180 ABC BCA 360 ; BAC 1080 Vậy Bài toán 37: Cho tam giác ABC có B 60 ; C 45 Trong góc ABC vẽ tia Bx cho xBC 150 Đường vuông góc với BA A cắt Bx I Tính ICB Giải: Trên cạnh BC lấy điểm K cho AB = BK nên tam giác ABK cân B có B 60 nên tam giác ABK Do đó KB = KA Ta lại có tam giác ABI vuông A mà ABI ABC IBC 600 150 450 nên tam giác ABI vuông cân A suy AB = AK = AI Do B 60 ; C 45 nên A 75 Nên KAC BAC BAK 750 600 150 ; CAI 900 A 900 750 150 0 Do đó AKC AIC c.g.c ACK ACI 45 ICB ACK ACI 90 Vậy ICB 90 Bài toán 38: Cho tam giác ABC có B 75 ; C 45 Trên cạnh BC lấy điểm D cho BAD 45 Đường vuông góc với DC C cắt tia phân giác ADC CBE E Tính Giải: 0 Ta có B 75 ; C 45 và BAD 45 suy BDA 60 nên ADC 1200 mà DE là phân giác ADC nên ADE EDC 60 Ta lại có CE là phân giác DCE và DA là phân giác ngoài EDC cắt A nên EA là phân giác ngoài E (15) DCE vuông C có EDC 600 DEC 300 Do đó AED 1800 DEC : 1800 300 : 750 Do đó ABD ADE g c.g (do EA là phân giác ngoài E) suy DAE 45 BD = ED nên tam giác BDE cân D nên ta có EBD (1800 1200 ) : 300 Bài toán 39:Cho tam giác ABC, vẽ phía ngoài tam giác các tam giác ABE; ACF Gọi I là trung điểm BC, H là trực tâm tâm giác ABE Tính các góc cuả tam giác FIH Giải: Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho IH = IK Gọi 0 BAC thì HAF 60 30 90 1 ( vì ACF FAC 600 nên và tam giác EAB có H là trực tâm nên HAB 300 900 ) Ta lại có: BIH CIK c.g.c nên ACB 1800 ABC suy KCI HBI ABC 30 nên 0 ACF ABC 300 180 ABC 60 270 KCI BCA Do đó: + KCF 3600 KCI BCA ACF 3600 2700 900 HAF KCF Nên Từ (1) và (2) suy AHF CKF c.g.c HF KF ; AFH CFK HFK 600 đó tam giác HFK suy tam giác HFI là nửa tam giác cạnh HF Các góc tam giác HFI có số đo là: HIF 90 ; IHF 60 ; HFI 30 Bài toán 40: Cho tam giác ABC cân A có BAC 20 Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Cx cho ACx 60 , trên tia ADC lấy điểm D cho AB = CD Tính Giải: Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC vẽ tia Cy cho ACy 60 Tia này cắt AB E Do tam giác ABC cân A có BAC 20 nên C (1800 200 ) : 800 B Trong tam giác BCE có B 80 Góc BEC là góc ngoài tam BEC A ECA 200 600 800 giác AEC nên ta có Nên tam giác CEB cân C suy CE = CB Từ đó ta có AEC ADC c.g.c AEC ADC 1800 800 1000 Bài toán 41: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm E nằm tam giác cho tam giác EAC cân E và có góc đáy 15 Tính góc BEA Giải: (16) Cách giải 1: Vẽ tam giác ACD 0 0 Ta có tam giác EAC cân E nên EAC ACE 15 nên BAE 90 15 75 BAE DAE 750 BAE DAE Xét và có AB = AD = AC ; ; AE cạnh chung Nên BAE DAE c.g.c AEB AED Do AD = AC và EA = EC nên ED là đường trung trực AC Đồng thời AE là phân giác AEC nên AED AEC 180 2.15 750 2 Cách giải 2: Vẽ tam giác EAK nằm ngoài tam giác AEC Ta ABK ACE c.g c ABK BEK c.g c BEA BEK KEA 150 600 750 và Bài toán 42: Cho tam giác ABC cân A có A 100 Điểm M nằm tam giác ABC cho MBC 10 ; MCB 20 Tính AMB Giải: 0 ACB 180 100 400 Tam giác ABC cân A nên mà 0 MBC 20 MCA 20 nên CM là tia phân giác BCA Trên tia CA lấy điểm E cho CB = CE nên MCB MCE c.g c ME MB và EMC BMC 180 30 150 EMB 360 2.BMC 360 300 60 Do đó tam giác BME 0 suy BM =BE Ta có: EAB AEM 80 10 90 nên AB ME suy BA là phân giác 0 0 0 0 0 0 góc MBE EBA MBA 60 : 30 nên ABM ABE c.g.c BEA AMB 60 10 70 Bài toán 43: Cho tam giác cân A có A 80 Trên cạnh BC lấy điểm D cho CAD 300 Trên cạnh AC lấy điểm E cho EBA 300 Gọi I là giao điểm AD và BE Chứng minh tam giác IDE cân và tính các góc nó Giải: 0 Ta có tam giác ABC cân A có A 80 nên B C 50 mà CAD 300 nên BAD A DAC 800 300 500 Khi đó DBA cân D suy AD = BD Trên BI lấy điểm K cho BAK 10 0 0 nên BEA 180 ( BAE EBA) 180 (80 30 ) 70 (1) KAE ABC BAK 800 100 700 (2) Từ (1) và (2) suy KAE cân K nên KA = KE Ta chứng minh tam giác AkD cân A nên AK = AD Do đó AD = KE (3) Mặt khác, KAI AKI 40 IKA cân I nên IA = IK (4) Từ (3) và (4) suy IE = ID nên tam giác IED cân I AIK DIE 1800 IAK 1800 800 1000 (17) 1800 1000 IDE IED 400 Bài toán 44: Cho tam giác ABC cân A có A 20 , các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC cho BCM 50 ; CBN 60 Tính MNA Giải: Trên cạnh AB lấy điểm D cho AN = AD thì DN //BC và AND 80 Ta tính DNM Gọi I là giao điểm BN và CD thì các tam giác IBC và IDN là các tam giác vì IBC 60 và tam giác ABC cân A Ta chứng minh MN là tia phân giác DNB Thật vậy, Trong tam giác BDC có MDI BDC 1800 DBC DCB 180 800 600 400 (1) 0 Trong tam giác BMC có MBC 80 ; MCB 50 BMC 50 BMC cân B Do đó BM = BC mà tam giác BIC nên IB = BC suy MB = BI hay 1800 200 MBI 200 BIM 800 tam giác BMI cân B mà Do đó MID 1800 MIB DIN 1800 800 600 400 DIM (2) Từ (1) và (2) suy MDI nên MDI cân M Suy MD = MI Ta lại có NI = ND nên MN là đường trung trực DI suy DNB 600 DNM 300 DNB 2 MN là phân giác hay 0 MNA MND DNA 30 80 110 Vậy Bài toán 45: Điểm M nằm bên tam giác ABC vuông cân B cho KA: MB: MC = 1: 2: Tính AMB Giải: Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K và A nằm cùng phía BM) Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a Khi đó ta có AB = ABK CBM c.g c suy BC; MBC ABK ; BM = BK nên CM = KA = 3a Xét tam giác vuông MBK vuông B ta có 2 MK MB MK 2a 2a 8a 2 AM MK a 8a 9a 3a AK Xét tam giác AMB có 0 ( vì AK = MC) nên tam giác KMA vuông M Vậy AMB AMK KMB 90 45 135 Bài toán 46: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a b 5c thì c là độ dài cạnh nhỏ 2 Giải: (18) 2 2 2 Giả sử c a thì c c a c b 2c b 4c b và c a c a nên ta có 5c a b trái với giả thiết 2 2 2 Giả sử c b thì c c b c a 2c a 4c a và c b c b nên ta có 5c a b trái với giả thiết Vậy c là độ dài nhỏ tam giác (19)