Khai thác, mở rộng một vài bài tập ở sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh khá giỏi đối với chương trình hình học lớp 7

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐÀN *** S¸ng kiÕn kinh nghiƯm "Khai th¸c, më réng mét vài tập sách giáo khoa để bồi dỡng học sinh giỏi" chơng trình hình học líp MỤC LỤC Trang A Đặt vấn đề 03 B Nội dung 03- 12 C Kết luận 13 - 14 D Tài liệu tham khảo 15 A ĐẶT VẤN ĐỀ Như biết sách giáo khoa Toán THCS hành triển khai thực toàn quốc cho lớp trừ năm học 2002 – 2003 sau bốn năm triển khai thực cho toàn bậc THCS Sách trình bày mức độ kiến thức cho vùng, miền nước Từ lý thuyết đến hệ thống tập lựa chọn Tất giáo viên dạy Toán bậc THCS hiểu rõ điều Tuy nhiên, sử dụng sách giáo khoa hệ thống tập sách cho phù hợp với đối tượng học sinh điều cần quan tâm số Đặc biệt học sinh trường chuyên, lớp chọn phải quan tâm đầu tư nhiều hơn, mạnh Bởi vì: Đối với đói tượng học sinh khá, giỏi giáo viên cần phải khai thác thêm, toán sách giáo khoa là: Mở rộng toán - Chuyển hoá thành toán cách lật ngược vấn đề, xem xét nhìn tốn g tự góc độ khác, nảy sinh toán mới, ý tưởng ,… từ tốn Tơi xin mạnh dạn nêu vài ví dụ vài tốn sách giáo khoa Tốn thuộc phần “Tính chất ba đường trung tuyến tam giác” mà người giáo viên mở rộng tốn để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Hay nói cách khác từ tốn bản, giáo viên mở rộng thêm số câu nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm nhiều kỹ khác củng cố thêm nhiều kiến thức có liên quan, đồng thời phát huy được, tính tích cực hoạt động học sinh, phát huy tính tị mị, tìm kiến thức có giáo viên tự học sách giáo khoa Sau xin trình bày vài suy nghĩ xung quanh việc “Khai thác mở rộng vài tập sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi” chương trình hình học lớp B- NỘI DUNG: I- Kiến thức trọng tâm: + Khái niệm đường trung tuyến tam giác + Tính chất ba đường trung tuyến tam giác + Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, đường trung bình tam giác + Đường thẳng qua đỉnh trọng tâm tam giác đường thẳng qua trung điểm cạnh đối diện với đỉnh + Đường thẳng qua trọng tâm tam giác trung điểm cạnh đường thẳng qua đỉnh đối diện với cạnh + Trong tam giác cân hai đường trung tuyến ứng với cạnh bên + Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tham giác tam giác cân II- Một số tập cần đưa ra: Ví dụ 1: Xét tập 25 - SGK Toán - Tập II - Trang 67 Cho tam giác ABC có hai cạnh góc vng AB = 3cm, AC = 4cm Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm tam giác ABC * Để giải toán em học sinh giỏi cần chứng minh định lý: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Chứng minh định lý (Hình 1) A B M C D Hình Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD Ta có  MAC =  MDB (c.g.c) � AC = BD � � BD // AC Mà BAC �  900 � DBA �  900 Và � ACB  DBC Xét  ABC  BAD có �  DBA �  900 BAC �  ABC =  BAD (c.g.c) AC = BD (chứng minh trên) AB cạnh chung Do BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mặt khác AM = 1 AD � AM = BC (đ.p.c.m) 2 Lời giải ví dụ (Hình 2): A G B M C Hình Gọi G trung tâm  ABC; AM đường trung tuyến � AG = AM (1) mà AM = BC (2) (theo định lý vừa xây dựng trên) Ta có  ABC vng A; AB = 3cm; AC = 4cm � BC = 5cm (3) (theo định lý pitago) Từ (1); (2) (3) � AG =  (cm) (Điều cần tìm) Xét ví dụ 2: Bài 30 - SGK Toán - Tập II - Trang 67 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trên tia AG lấy điểm D cho G trung điểm AD a) So sánh cạnh tam giác BGD với đường trung tuyến tam giác ABC b) So sánh đường trung tuyến tam giác BGD với cạnh tam giác ABC Lời giải ví dụ (Hình 3): A N E G Q B M C F D Hình a) Gọi M; N; E thứ tự trung điểm BC; AC AB � AM; BN CE ba đường trung tuyến  ABC mà G trung tâm, suy ra:BG = AG = BN (1) 2 AM mà AG = GD nên GD = AM (2) 3 Và GM = 1 AM nên GM = AG = GD MG = MD 2 Xét  MDB  MGC có MG = MD, MB = MC �  MDB =  MGC (c.g.c) �  CMG � (đđ) BMD Do BD = GC mà GC = 2 CE nên BD = CE (3) 3 Từ (1); (2) (3) � Ba cạnh BG; BD GD tam giác BDG tương ứng đường trung tuyến BN; CE AM tam giác ABC b) Goi F, Q thứ tự trung điểm BD BG Ta có BM; GF DQ đường trung tuyến  BDG, suy ra: BM = BC (4) QG = QB = GN = BN Xét  GQD  GNA có �  GQD =  GNA (c.g.c) GD = GA GQ = GN �  NGA � QGD (đ đ) Do DG = AN mà AN = 1 AC � DG = AC 2 (5) Ta có:  MDB =  MGC (chứng minh trên) � � �  GBD � � GCM � CG // BD hay CE // BD � EGB (so le trong)  DBM Ta có: EG = Và BF = GC G trọng tâm  ABC 1 BD mà BD = GC � BF = GC nên EG = BF 2 Xét  BGE  GBF có �  BGE =  GBF (c.g.c) GE = BF; BG chung �  GBF � (chứng minh trên) EGB Do GF = BE = AB (6) Từ (4); (5) (6) � đường trung tuyến BM; DQ GF tam giác BDG trình tự nửa BC, AC AB cạnh tam giác ABC Như giải xong 30, em ý vào  DAB có G trung điểm DA F trung điểm DB chứng minh GF = AB GF // AB Đây định lý mở rộng với định lý: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh cịn lại (HS tự chứng minh) Hai định lý trình bày sách giáo khoa Tốn em số câu bổ sung sau đây: Câu thứ nhất: Chứng minh G trọng tâm  MNE Câu thứ hai: Chứng minh đường thẳng qua đỉnh C trung điểm AM qua điểm I AB AI = AB Câu thứ ba: Đảo câu thứ hai Chứng minh đường thẳng qua điểm I C qua trung điểm AM Câu thứ tư: Chứng minh ba đường trung tuyến  ABC nhỏ tổng hai đường lại Câu thứ năm: Trên tia AB lấy điểm B’ cho B trung điểm EB’ Trên tia MC lấy điểm C’ cho C trung điểm MC’ Gọi A’ giao điểm EC’ với AC Chứng minh N, E, A’ thẳng hàng Câu thứ sáu: Chứng minh: BN + CE > BC Câu thứ bảy: Cho AB < AC Chứng minh: CE > BN Câu thứ tám: Cho AM = 12 cm, BN = cm, CF = 15 cm Tính độ dài cạnh BC Câu thứ chín: G trọng tâm  ABC có cạnh BC cố định Chứng minh đường thẳng AG qua điểm cố định đỉnh A thay đổi Câu thứ mười: Cho điểm O thay đổi  ABC lấy điểm O’ cho M trung điểm OO’ Gọi M’ trung điểm AO’ Chứng minh OM’ qua điểm cố định Lời giải câu bổ sung thứ (Hình 4): A K E N G S Hình C B M Gọi K giao điểm AM với EN Xét  ABC có E trung điểm AB N trung điểm AC � EN // BC Xét  ABM có E trung điểm AB EN // BC � K trung điểm AM tam giác ABM có EK = BM MC mà BM = MC KE = KN nên K trung điểm EN � MK đường trung tuyến  MNE Tương tự KN = Gọi S giao điểm BN EM Chứng minh tương tự NS trung tuyến  MNE, mặt khác MK NS cắt G (vì AM BN cắt G) � G trọng tâm  MNE (đ.p.c.m) Lời giải câu bổ sung thứ (Hình 5): A I K J B C M Hình Gọi J trung điểm IB mà M trung điểm BC �  BCI có MJ // IC hay IK // JM Xét  AJM có K trung điểm AM IK // JM � I trung điểm AJ � IA = IJ mà IJ = JB nên AI = AB Lời giải câu bổ sung thứ 3: Gọi J trung điểm IB mà M trung điểm BC �  BIC có MJ // IC hay IK //JM Mặt khác AI = 1 AB � AI = IJ = JB = AB nên  AJM có I trung 3 điểm AJ IK // JM � K trung điểm AM, hay CI qua trung điểm AM Lời giải câu bổ sung thứ (Hình 6): A N E G P B Hình C M Gọi P trung điểm GC � PG = 1 GC = CE (7) mà GM = AM (8) Xét  CBG có M trung điểm BC; P trung điểm CG � MP = 1 BG = BN (9) Xét  MGP có MP + PG > GM Từ (7); (8); (9) (10) � (10) 1 BN + CE > AM � AM < BN + CE 3 Tương tự ta chứng minh BN < AM + CE CE < AM + BN Lời giải câu bổ sung thứ (Hình 7): A E A' B C M B' Hình C' Xét  BAC có E trung điểm AB M trung điểm BC � EM // AC hay CA’ // EM Xét  C’EM có C trung điểm MC’ CA’ // EM � A’ trung điểm C’E � B’A’ đường trung tuyến  B’C’E (11) Mặt khác C’B đường trung tuyến  B’C’E � M trọng tâm  B’C’E có C’M = C’B (12) Từ (11) (12) � B’; M; A’ thẳng hàng (đ.p.c.m) Lời giải câu bổ sung thứ (Hình 8): A E N G B C Hình Xét  ABC có đường trung tuyến BN CE; G trọng tâm suy ra: BG = 2 BN CG = CE 3 Xét  GBC có BG + CG > BC Do đó: 2 BN + CE > BC 3 � BN + CE > BC (đ.p.c.m) Lời giải câu bổ sung thứ (Hình 9): A E N G Hình B C M Định lý bổ sung: Nếu hai tam giác có cặp cạnh tương ứng nhau, cặp cạnh thứ không cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn hơn: (HS tự chứng minh định lý này) � � �  GMB � Xét  ABC có AB < AC � � ACB  � ABC � AMC AMB hay GMC Xét  GBM  GMC có � BG < GC (theo định lý trên) BM = CM; GM cạnh chung �  GMC � GMB � 3 BG  CG � BN  CE (đ.p.c.m) 2 Lời giải câu bổ sung thứ (Hình 10): A N E G 10 B M 10 C D Hình 10 Do G trọng tâm  ABC suy ra: BG = CG = AG = 2 BN = = (cm) 3 2 CE = 15 = 10 (cm) � GD = cm 3 2 1 AM = 12 = (cm) � GD = cm Và GM = AM = 12 = (cm) 3 3 Xét  GBD có GB = cm, GD = cm DB = 10 cm �  GBD vuông G (theo định lý pitago đảo) Do  GBM vng G � BM = GB  GM Hay BM = 62  42  52 (cm) � BC = 52  13 (cm) �14, (cm) Lời giải câu bổ sung thứ 9: Đường thẳng qua đỉnh A trọng tâm G  ABC qua trung điểm M BC mà BC cố định � điểm M cố định Vậy đỉnh A thay đổi, cạnh BC cố định đường thẳng AG qua điểm M cố định trung điểm BC Lời giải câu bổ sung thứ 10 (Hình 11): A N O M' G B C M O' Hình 11 Ta có AM đường trung tuyến  ABC G trọng tâm  ABC mà AM đường trung tuyến tam giác AOO’ => G trọng tam giác AOO’ OM’ trung tuyến  AOO’ (vì M’ trung điểm AO’) � OM’ qua điểm G cố định (đ.p.c.m) C- KẾT LUẬN: I- Q trình thí nghiệm kết quả: Qua trình giảng dạy làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi, nghiên cứu thấy: Hầu hết tập sách giáo khoa người giáo viên khai thác, mở rộng để bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt số tập hình học thuộc phần “Tính chất ba đường trung tuyến tam giác” Vì thời lượng định khoảng đến 10 tiết cung cấp cho học sinh cách khai thác, mở rộng số tập sách giáo khoa , qua học sinh nắm tập sách giáo khoa, tự tìm tịi, nhìn nhận tốn theo ý tưởng góc độ … mở rộng, phát triển,… để giải nâng cao từ làm, số em tự trả lời “Học hình học chúng em say mê, hứng thú không sợ làm tập trước nữa” + Phần tập dành cho học sinh đại trà “Bài tập sách giáo khoa” 100% học sinh khối trường nắm biết cách trình bày lời giải chặt chẽ, vẽ hình trực quan + Phần tập dành cho học sinh học sinh giỏi bồi dưỡng khối có 85% hiểu bài, nhớ lâu Ngồi thân tơi khai thác thêm nhiều thật nhiều sách giáo khoa khối lớp bậc THCS để bồi dưỡng cho học sinh giỏi khối II- Bài học kinh nghiệm: Trên đưa số tập: Mở rộng, khai thác Thưa đồng nghiệp: Toán học đa dạng phong phú, khai thác phát triển toán từ sách giáo khoa để phục vụ cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, khám phá nhiều điều thú vị tập, dạy tốn đỡ đơn điệu, làm cho học sinh say mê, hứng thú Vì chuyên đề toán học nên dạy theo dạng, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp kích thích tị mị, lịng say mê giúp cho em học sinh rèn luyện khả tư duy, lơgíc, sáng tạo qua tập, giúp cho việc Dạy Học đạt kết cao Vì trình độ lực thân có hạn, với chút kinh nghiệm ỏi trên, tơi xin trao đổi với đồng nghiệp, bên cạnh thời gian có hạn nên đề tài cịn nhiều thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành đồng chí, đồng nghiệp Xin cảm ơn ! Tháng 03 năm 2010 D- TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1- Sách giáo khoa Tốn - Tập II Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Tơn Thân (Chủ biên) Trần Đình Châu - Trần Phương Thảo - Trần Kiều 2- Sách tập Tốn - Tập II Tơn Thân (Chủ biên) - Vũ Hữu Bình Trần Đình Châu - Trần Kiều 3- Nâng cao phát triển Toán - Tập II Vũ Hữu Bình Bồi dưỡng Tốn - Tập II Đỗ Đức Thái PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐÀN *** S¸ng kiÕn kinh nghiƯm " Khai thác, mở rộng vài tập SGK để bồi dỡng học sinh giỏi "đối với chơng trình hình học lớp Họ tên : Nguyễn Viết Quân Môn : Toán Tổ KHTN Trờng : THCS Đặng Chánh Kỷ Năm thực : 2010 Số ®iƯn tho¹i : 0984419581 ... học sinh, phát huy tính tị mị, tìm kiến thức có giáo viên tự học sách giáo khoa Sau tơi xin trình bày vài suy nghĩ xung quanh việc ? ?Khai thác mở rộng vài tập sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh. .. I- Q trình thí nghiệm kết quả: Qua trình giảng dạy làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi, nghiên cứu thấy: Hầu hết tập sách giáo khoa người giáo viên khai thác, mở rộng để bồi dưỡng học sinh giỏi, ... Phần tập dành cho học sinh đại trà ? ?Bài tập sách giáo khoa? ?? 100% học sinh khối trường nắm biết cách trình bày lời giải chặt chẽ, vẽ hình trực quan + Phần tập dành cho học sinh học sinh giỏi bồi dưỡng