Các tia AC và AD lần lượt cắt tiếp tuyến Bt của đường tròn ở E và F a, Chừng minh rằng hai tam giác ABD và BFD đồng dạng b, Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp c, Gọi D1 đối xúng với D qua [r]
(1)TỔNG HỢP 63 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRONG TOÀN QUỐC NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN TOÁN TP.HCM Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E và F (ME<MF) Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC (O) (C là tiếp điểm, A nằm hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đường thẳng MO) a) Chứng minh MA.MB = ME.MF b) Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S là giao điểm hai đường thẳng CO và KF Chứng minh đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC d) Gọi P và Q là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng K BÀI GIẢI T B Câu Q a) Vì ta có hai tam giác đồng dạng MAE và MBF A S MA MF V Nên ME MB MA.MB = ME.MF H (Phương tích M đường tròn tâm O) M O F E b) Do hệ thức lượng đường tròn ta có P MA.MB = MC2, mặt khác hệ thức lượng tam giác vuông MCO ta có C MH.MO = MC2 MA.MB = MH.MO nên tứ giác AHOB nội tiếp đường tròn c) Xét tứ giác MKSC nội tiếp đường tròn đường kính MS (có hai góc K và C vuông) Vậy ta có : MK2 = ME.MF = MC2 nên MK = MC Do đó MF chính là đường trung trực KC nên MS vuông góc với KC V d) Do hệ thức lượng đường tròn ta có MA.MB = MV.MS đường tròn tâm Q Tương tự với đường tròn tâm P ta có MV.MS = ME.MF nên PQ vuông góc với MS và là đường trung trực VS (đường nối hai tâm hai đường tròn) Nên PQ qua trung điểm KS (do định lí trung bình tam giác SKV) Vậy điểm T, Q, P thẳng hàng TP.ĐÀ NẴNG Bài 5: (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O’) Đường thẳng BO cắt (O) điểm thứ hai là D 1) Chứ`ng minh tứ giác CO’OB là hình thang vuông 2) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng 3) Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E là tiếp điểm) Chứng minh DB = DE B BÀI GIẢI Bài 5: C O A O ’ E (2) 1) 2) Theo tính chất tiếp tuyến ta có OB, O’C vuông góc với BC tứ giác CO’OB là hình thang vuông Ta có góc ABC = góc BDC góc ABC + góc BCA = 900 góc BAC = 900 Mặt khác, ta có góc BAD = 900 (nội tiếp nửa đường tròn) Vậy ta có góc DAC = 1800 nên điểm D, A, C thẳng hàng Theo hệ thức lượng tam giác vuông DBC ta có DB2 = DA.DC Mặt khác, theo hệ thức lượng đường tròn (chứng minh tam giác đồng dạng) ta có DE = DA.DC DB = DE 3) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MÔN : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21 tháng năm 2012 Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) (O) và tia Mx nằm hai tia MO và MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) điểm thứ hai là A Vẽ đường kính BB’ (O) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C K và E Chứng minh rằng: điểm M,B,O,C cùng nằm trên đường tròn Đoạn thẳng ME = R Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên đường tròn cố định, rõ tâm và bán kính đường tròn đó C4.1 (1,0 điểm) C4.2 (1,0 điểm) C4.3 (1,0 điểm) 1) Chứng minh M, B, O, C cùng thuộc đường tròn B Ta có: ∠ MOB=900 (vì MB là tiếp tuyến) ∠ MCO=90 (vì MC là tiếp tuyến) O => ∠ MBO + ∠ MCO = M 0 = 90 + 90 = 180 K => Tứ giác MBOC nội tiếp E (vì có tổng góc đối =1800) B’ C =>4 điểm M, B, O, C cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh ME = R: Ta có MB//EO (vì cùng vuông góc với BB’) => ∠ O1 = ∠ M1 (so le trong) Mà ∠ M1 = ∠ M2 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => ∠ M2 = ∠ O1 (1) C/m MO//EB’ (vì cùng vuông góc với BC) => ∠ O1 = ∠ E1 (so le trong) (2) Từ (1), (2) => ∠ M2 = ∠ E1 => MOCE nội tiếp => ∠ MEO = ∠ MCO = 900 => ∠ MEO = ∠ MBO = ∠ BOE = 900 => MBOE là hình chữ nhật => ME = OB = R (điều phải chứng minh) 3) Chứng minh OM=2R thì K di động trên đường tròn cố định: Chứng minh Tam giác MBC => ∠ BMC = 600 => ∠ BOC = 1200 => ∠ KOC = 600 - ∠ O1 = 600 - ∠ M1 = 600 – 300 = 300 Trong tam giác KOC vuông C, ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) 0,25 OC OC 3R ⇒ OK= =R : √ = √ OK Cos 30 0,25 Mà O cố định, R không đổi => K di động trên đường tròn tâm O, bán kính = √3 R (điều phải chứng minh) Chú ý: -Câu 4, thừa giả thiết “tia Mx” và “điểm A” gây rối ĐĂKLĂK Câu (3,5đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B và C cắt M AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D E là trung điểm đoạn AD EC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh rằng: 1) Tứ giác OEBM nội tiếp 2) MB2 = MA.MD 3) BFC MOC 4) BF // AM A Câu 1) Ta có EA = ED (gt) OE AD ( Quan hệ đường kính và dây) O C OEM = 900; OBM = 900 (Tính chất tiếp tuyến) E F E và B cùng nhìn OM góc vuông Tứ giác OEBM nội tiếp B MBD sđ BD 2) Ta có ( góc nội tiếp chắn cung BD) D CosKOC= MAB sđ BD ( góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BD) MBD MAB Xét tam giác MBD và tam giác MAB có: MB MD M MBD MAB MBD đồng dạng với MAB MA MB Góc M chung, MB2 = MA.MD 1 MOC BFC BOC = sđ BC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); sđ BC 1) Ta có: (góc nội tiếp) BFC MOC 2) Tứ giác MFOC nội tiếp ( F C = 1800) MFC MOC ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC), mặt khác MOC BFC (theo câu 3) BFC MFC BF // AM HẢI DƯƠNG Câu (3,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Vẽ các đường cao BE, CF tam giác Gọi H là giao điểm BE và CF Kẻ đường kính BK (O) a) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tứ giâc AHCK là mình bình hành c) Đường tròn đường kính AC cắt BE M, đường tròn đường kính AB cặt CF N Chứng minh AM = AN HƯỚNG DẪN - ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm): (4) ^ C=B ^ a) B F E C=90 b) AH//KC ( cùng vuông góc với BC) CH // KA ( cùng vuông góc với AB) c) Có AN2 = AF.AB; AM2 = AE.AC ( Hệ thức lượng tam giác vuông) AEF ABC AE AF AE AC AF.AB AB AC AM = AN HẢI DƯƠNG Câu (3,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (R là độ dài cho trước) Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn đó cho C thuộc cung AD và COD = 1200 Gọi giao điểm hai dây AD và BC là E, giao điểm các đường thẳng AC và BD là F a) Chứng minh bốn điêm C, D, E, F cùng nằm trên đường tròn b) Tính bán kính đường tròn qua C, E, D, F nói trên theo R c) Tìm giá trị lớn điện tích tam giác FAB theo R C, D thay đổi nhung thỏa mãn giả thiết bài toán HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) Ta có : C, D thuộc đường tròn nên : ACB ADB 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 0 => FCE 90 ; FDE 90 ( góc kề bù ) Hai điểm C và D cùng nhìn đoạn thẳng FE góc 900 nên điểm C,D,E,F cùng thuộc đường tròn đường kính EF b) Gọi I là trung điểm EF thì ID = IC là bán kính đường tròn qua điểm C, D, E, F nói trên Ta có : IC = ID ; OC = OD ( bán kính đường tròn tâm O ) suy IO là trung trực CD => OI là phân giác COD 1200 IOD 600 => Do O là trung điểm AB và tam giác ADB vuông D nên tam giác ODB cân O => ODB OBD (1) Do ID = IF nên tam giác IFD cân I => IFD IDF (2) Tam giác AFB có hai đường cao AD, BC cắt E nên E là trực tâm tam giác => FE là đường cao thứ ba => FE vuông góc AB H => OBD IFD 90 (3) 0 Từ (1) , (2) , (3) suy IDF ODB 90 => IDO 90 Xét tam giác vuông IDO có IOD 60 Ta có : ID = OD.tan IOD = R.tan600 = R Vậy bán kính đường tròn qua điểm C,D,E,F là R (5) c) Theo phần b) : OI = ID OD 3R R 2 R Đặt OH = x thì x R => IH = 4R x 2 => FH = R + 4R x 1 S FAB AB.FH R.( R R x ) 2 S FAB R R R x Ta có : 4R2 - x2 4R2 Dấu xảy x = 0 Khi đó : SFAB = R2 + 2R2 và H O => O, I, F thẳng hàng => CD // AB => ADO DAO 15 => BD = AC = 2RSin150 Vậy diện tích lớn đạt tam giác AFB là R2 + 2R2 AC = BD = 2Rsin150 CHUYÊN HẢI DƯƠNG Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC < BC (C A) Các tiếp tuyến B và C (O) cắt điểm D, AD cắt (O) E (E A) 1) Chứng minh BE2 = AE.DE 2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB H, DO cắt BC F Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp 1) Gọi I là giao điểm AD và CH Chứng minh I là trung điểm CH TUYÊN QUANG Câu (2,5 điểm) Trên đường tròn (O) lấy hai điểm M, N cho M, O, N không thẳng hàng Hai tiếp tuyến M , N với đường tròn (O) cắt A Từ O kẻ đường vuông góc với OM cắt AN S Từ A kẻ đường vuông góc với AM cắt ON I Chứng minh: a) SO = SA b) Tam giác OIA cân Hướng dẫn chấm, biểu điểm A M S I O 0,5 N 1,0 a) Chứng minh: SA = SO Vì AM, AN là các tiếp tuyến nên: MAO SAO (1) 0,5 (6) Vì MA//SO nên: MAO SOA (so le trong) (2) 0,5 Từ (1) và (2) ta có: SAO SOA SAO cân SA = SO (đ.p.c.m) b) Chứng minh tam giác OIA cân 1,0 0,5 Vì AM, AN là các tiếp tuyến nên: MOA NOA (3) Vì MO // AI nên: góc MOA góc OAI (so le trong) (4) 0,5 Từ (3) và (4) ta có: IOA IAO OIA cân (đ.p.c.m) HÀ NỘI Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K là hình chiếu H trên AB 1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM ACK 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân C 4) Gọi d là tiếp tuyến (O) điểm A; cho P là điểm nằm trên d cho hai điểm P, C nằm AP.MB R cùng nửa mặt phẳng bờ AB và MA Chứng minh đường thẳng C PB qua trung điểm đoạn thẳng HK M H Bài IV: (3,5 điểm) E A K B O Ta có HCB 90 ( chắn nửa đường tròn đk AB) HKB 900 (do K là hình chiếu H trên AB) => HCB HKB 180 nên tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đường kính HB 1) Ta có ACM ABM (do cùng chắn AM (O)) và ACK HCK HBK (vì cùng chắn HK đtròn đk HB) Vậy ACM ACK 2) Vì OC AB nên C là điểm chính cung AB AC = BC và sd AC sd BC 90 Xét tam giác MAC và EBC có MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và MAC = MBC vì cùng chắn cung MC (O) MAC và EBC (cgc) CM = CE tam giác MCE cân C (1) 0 Ta lại có CMB 45 (vì chắn cung CB 90 ) CEM CMB 45 (tính chất tam giác MCE cân C) 0 Mà CME CEM MCE 180 (Tính chất tổng ba góc tam giác) MCE 90 (2) Từ (1), (2) tam giác MCE là tam giác vuông cân C (đpcm) C S M P N H E (7) A K O B 4) Gọi S là giao điểm BM và đường thẳng (d), N là giao điểm BP với HK Xét PAM và OBM : AP.MB AP OB R MA MA MB (vì có R = OB) Theo giả thiết ta có Mặt khác ta có PAM ABM (vì cùng chắn cung AM (O)) PAM ∽ OBM AP OB 1 PA PM PM OM (do OB = OM = R) (3) AMB 90 Vì (do chắn nửa đtròn(O)) AMS 90 tam giác AMS vuông M PAM PSM 90 PMS PSM PS PM (4) và PMA PMS 90 Mà PM = PA(cmt) nên PAM PMA Từ (3) và (4) PA = PS hay P là trung điểm AS NK BN HN NK HN PS Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có: PA BP PS hay PA mà PA = PS(cmt) NK NH hay BP qua trung điểm N HK (đpcm) HAI PHONG (8) (9) (10) THANH HÓA Bài 4: (3.0 điểm) Cho tam tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ vuông góc với các cạnh AB ; AC ( P thuộc AB ; Q thuộc AC) 1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn 2- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH PQ 3- Chứng minh : MP +MQ = AH (11) (12) CHUYÊN THANH HOÁ Câu (3.0 điểm) : Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) Các tiếp tuyến (O) A và M cắt C Đường tròn (I) qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC C CD là đờng kính (I) Chứng minh rằng: (13) Ba điểm O, M, D thẳng hàng Tam giác COD là tam giác cân Đờng thẳng qua D và vuông góc với BC luôn qua điểm cố định M di động trên đường tròn (O) I C H M N A K D 1.0 O B Ba điểm O, M, D thẳng hàng: Ta có MC là tiếp tuyến đường tròn (O) MC MO (1) Xét đường tròn (I) : Ta có CMD 90 MC MD (2) Từ (1) và (2) => MO // MD MO và MD trùng O, M, D thẳng hàng Tam giác COD là tam giác cân CA là tiếp tuyến đường tròn (O) CA AB(3) Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC C CA CD(4) Từ (3) và (4) CD // AB => DCO COA (*) ( Hai góc so le trong) CA, CM là hai tiếp tuyến cắt (O) COA COD (**) Từ (*) và (**) DOC DCO Tam giác COD cân D Đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn qua điểm cố định M di động trên đờng tròn (O) * Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H CHD 90 H (I) (Bài toán quỹ tích) DH kéo dài cắt AB K Gọi N là giao điểm CO và đường tròn (I) 900 CND NC NO COD can tai D => Ta có tứ giác NHOK nội tiếp Vì có H O1 DCO ( Cùng bù với góc DHN) NHO NKO 180 (5) * Ta có : NDH NCH (Cùng chắn cung NH đường tròn (I)) 1.0 1.0 (14) CBO HND HCD DHN COB (g.g) HN OB HD OC OB OA HN ON OC OC HD CD OA CN ON OC CD CD Mà ONH CDH NHO DHC (c.g.c) 0 NHO 90 Mà NHO NKO 180 (5) NKO 90 , NK AB NK // AC K là trung điểm OA cố định (ĐPCM) THÀNH PHỐ CẦN THƠ Câu 5: (3,5 điểm) O , từ điểm A ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC ( B, C là các tiếp Cho đường tròn điểm) OA cắt BC E Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp Chứng minh BC vuông góc với OA và BA.BE AE.BO AB, AC theo thứ tự Gọi I là trung điểm BE , đường thẳng qua I và vuông góc OI cắt các tia BCO D và F Chứng minh IDO và DOF cân O Chứng minh F là trung điểm AC GỢI Ý GIẢI: Tam giác BOC cân O => góc OBC = góc OCB Tứ giác OIBD có góc OID = góc OBD = 900 nên OIBD nội tiếp => góc ODI = góc OBI Do đó IDO BCO Lại có FIOC nội tiếp ; nên góc IFO = góc ICO Suy góc OPF = góc OFP ; DOF cân O HD C4 Xét tứ giác BPFE có IB = IE ; IP = IF ( Tam giác OPF cân có OI là đường cao=> ) Nên BPEF là Hình bình hành => BP // FE Tam giác ABC có EB = EC ; BA // FE; nên EF là ĐTB tam giác ABC => FA = FC Sở GD – ĐT NGHỆ AN C©u 4: ®iÓm Cho điểm M nằm ngoài đờng tròn tâm O Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyÕn MCD kh«ng ®I qua t©m O ( C n»m gi÷a M vµ D), OM c¾t AB vµ (O) lÇn lît t¹i H vµ I Chøng minh a) Tø gi¸c MAOB néi tiÕp B.MC.MD = MA2 c.OH.OM + MC.MD = MO2 b) CI lµ tia ph©n gi¸c gãc MCH Tự viết GT-KL A D C M O I H H (15) B a, Vì MA, MB là các tiếp tuyến đường tròn (O) A và B nên các góc tứ giác MAOB vuông A và B, nên nội tiếp đường tròn b, MAC và MDA có chung M và MAC = MDA (cùng chắn AC ), nên đồng dạng Từ đó suy MA MD MC.MD MA2 MC MA (đfcm) c, MAO và AHO đồng dạng vì có chung góc O và AMO HAO (cùng chắn hai cung đường tròn nội tiếp tứ giác MAOB) Suy OH.OM = OA2 Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông MAO và các hệ thức OH.OM = OA MC.MD = MA2 để suy điều phải chứng minh MH MC d, Từ MH.OM = MA2, MC.MD = MA2 suy MH.OM = MC.MD MD MO (*) Trong MHC và MDO có (*) và DMO chung nên đồng dạng MC MO MO MC MO HC MD OA hay CH OA (1) Ta lại có MAI IAH (cùng chắn hai cung nhau) AI là phân giác MAH MI MA Theo t/c đường phân giác tam giác, ta có: IH AH (2) MHA và MAO có OMA chung và MHA MAO 90 đó đồng dạng (g.g) MO MA OA AH (3) MC MI Từ (1), (2), (3) suy CH IH suy CI là tia phân giác góc MCH HÀ NAM Câu 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn (O) A lấy điểm M ( M khác A) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C là tiếp điểm) Kẻ CH vuông góc với AB ( H AB ), MB cắt (O) điểm thứ hai là K và cắt CH N Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKNH là tứ giác nội tiếp b) AM2 = MK.MB c) Góc KAC góc OMB d) N là trung điểm CH (16) QUẢNG TRỊ Câu 5:(3,5 điểm) Cho đường tròn (O) Đường thẳng (d) không qua tâm (O) cắt đường tròn hai điểm A và B theo thứ tự, C là điểm thuộc (d) ngoài đường tròn (O) Vẽ đường kính PQ vuông góc với dây AB D ( P thuộc cung lớn AB), Tia CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC là phân giác góc ngoài đỉnh I tam giác AIB d) Cho ba điểm A, B, C cố định Đường tròn (O) thay đổi qua A và B Chứng minh IQ luôn qua điểm cố định NINH THUẬN Bài 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R Từ điểm E trên đoạn OA (E không trùng với A và O) Kẻ dây BD vuông góc với AC Kẻ đường kính DI đường tròn (O) (17) a) Chứng minh rằng: AB = CI b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2 2R c) Tính diện tích đa giác ABICD theo R OE = Bài 4: (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: AB = CI Ta có: BD AC (gt) DBI = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BD BI Do đó: AC // BI AB CI AB = CI b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2 Vì BD AC AB AD nên AB = AD B A I E O C D Ta có: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = AB2 + CD2 = AD2 + CD2 = AC2 = (2R)2 = 4R2 2R c) Tính diện tích đa giác ABICD theo R OE = 1 SABICD = SABD + SABIC = DE.AC + EB.(BI + AC) 2R R 2R 5R * OE = AE = và EC = + R = R 5R R R 5R * DE2 = AE.EC = = DE = Do đó: EB = R 4R * BI = AC – 2AE = 2R – = R R 4R R 16 R 8R Vậy: SABICD = 2R + ( + 2R) = = (đvdt) (18) ĐỀ CHÍNH THỨC (19) (20) (21) THỪA THIÊN HUẾ Bài 4:(3,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Lấy điểm A trên tia đối tia CB.Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) ( F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn (O) D ( tia tiếp tuyến Bx nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)) Gọi H là giao điểm BF với DO ; K là giao điểm thứ hai DC với nửa đường tròn (O) a/ Chứng minh : AO.AB=AF.AD b/ Chứng minh tứ giác KHOC nội tiếp BD DM =1 c/ Kẻ OM BC ( M thuộc đoạn thẳng AD).Chứng minh DM AM (22) (23) PHÚ THỌ Câu (3đ) Cho tam giác ABC vuông A Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt điểm thứ là D.Vẽ AM, AN là các dây cung đường tròn (B) và (C) cho AM vuông góc với AN và D nằm M; N a) CMR: ABC=DBC b) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng d) Xác định vị trí các dây AM; AN đường tròn (B) và (C) cho đoạn MN có độ dài lớn Câu (3đ) Hướng dẫn a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung ABC = DBC (c-c-c) b) ABC = DBC góc BAC =BDC = 900 ABDC là tứ giác nội tiếp c) Có gócA1 = gócM1 ( ABM cân B) A gócA4 = gócN2 ( ACN cân C) gócA1 = gócA4 ( cùng phụ A2;3 ) gócA1 = gócM1 =gócA4= gócN2 M B gócA2 = gócN1 ( cùng chắn cung AD (C) ) 0 C Lại có A1+A2 + A3 = 90 => M1 + N1 + A3 = 90 Mà AMN vuông A => M1 + N1 + M2 = 90 => A3 = M2 => A3 = D1 CDN cân C => N1;2 = D4 D D2;3 + D1 + D4 =D2;3 + D1 + N1;2 = D2;3 + M2 + N1 + N2 N = 900 + M2 + N1 + M1 ( M1 = N2) 0 = 90 + 90 = 180 M; D; N thẳng hàng d) AMN đồng dạng ABC (g-g) Ta có NM2 = AN2 +AM2 để NM lớn thì AN ; AM lớn Mà AM; AN lớn nhât AM; AN là đường kính (B) và (C) Vậy AM; AN là đường kính (B) và (C) thì NM lớn Hng yªn 2 Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF Tiếp tuyến B và C cắt S, gọi BC và OS cắt M a) Chứng minh AB MB = AE.BS b) Hai tam giác AEM và ABS đồng dạng c) Gọi AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR NP vuông góc với BC Bài (24) C S P M E Q N A O F B a) Suy từ hai tam giác đồng dạng là ABE và BSM AE MB AB BS (1) b) Từ câu a) ta có Mà MB = EM( tam giác BEC vuông E có M là trung điểm BC AE EM AB BS Nên Có MOB BAE, EBA BAE 90 , MBO MOB 90 Nên MBO EBA đó MEB OBA( MBE) MEA SBA Suy (2) Từ (1) và (2) suy hai tam giác AEM và ABS đồng dạng(đpcm.) c) Dễ thấy SM vuông góc với BC nên để chứng minh bài toán ta chứng minh NP //SM + Xét hai tam giác ANE và APB: Từ câu b) ta có hai tam giác AEM và ABS đồng dạng nên NAE PAB , Mà AEN ABP ( tứ giác BCEF nội tiếp) AN AE AP AB Do đó hai tam giác ANE và APB đồng dạng nên AM AE AS AB ( hai tam giác AEM và ABS đồng dạng) Lại có AM AN AP nên tam giác AMS có NP//SM( định lí Talet đảo) Suy AS Do đó bài toán chứng minh HƯNG YÊN (25) Bài 4: (3 điểm) Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến Am, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt B,C (O không thuộc (d), B nằm A và C) Gọi H là trung điểm BC a) Chứng minh các điểm O, H, M, A, N cùng nằm trên đường tròn, b) Chứng minh HA là tia phân giác MHN c) Lấy điểm E trân MN cho BE song song với AM Chứng minh HE//CM Bài : a) Theo tính chất tiếp tuyến căt ta có : AMO ANO 900 Do H là trung điểm BC nên ta có: AHO 900 Do đó điểm A, M, H, N, O thuộc đường tròn đường kính AO b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: AM = AN Do điểm A, M, H, O, N cùng thuộc đường tròn nên: AHM AHN (góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Do đó HA là tia phân giác MHN c) Theo giả thiết AM//BE nên MAC EBH ( đồng vị) (1) Do điểm A, M, H, O, N cùng thuộc đường tròn nên: MAH MNH (góc nội tiếp chắn cung MH) (2) Từ (1) và (2) suy ENH EBH Suy tứ giác EBNH nội tiếp Suy EHB ENB Mà ENB MCB (góc nội tiếp chắn cung MB) Suy ra: EHB MCB Suy EH//MC ĐỒNG NAI Câu : ( 3,5 điểm ) Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E thuộc cạnh BC , với E không trùng B và E không trùng C Vẽ EF vuông góc với AE , với F thuộc CD Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC G Vẽ đường thẳng a qua điểm A và vuông góc với AE , đường thẳng a cắt đường thẳng DE điểm H AE CD / Chứng minh AF DE / Chứng minh tứ giác AEGH là tứ giác nội tiếp đường tròn / Gọi b là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE E , biết b cắt đường trung trực đoạn thẳng EG điểm K Chứng minh KG là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE (26) HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu : ( 3,5 điểm ) / Chứng minh tứ giác AEFD nội tiếp D A 1 AEF DCE ( g – g ) AE AF = DC DE AE DC = AF DE / Ta có A phụ với A1 a A E I Ta có E1 phụ với D1 Mà A1 D1 E A B D H K F C b G Suy tứ giác AEFD nội tiếp đường tròn đường kính HE Gọi I trung điểm HE I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFD là đường tròn ngoại tiếp ΔAHE I nằm trên đường trung trực EG IE = IG Vì K nằm trên đường trung trực EG KE = KG Suy IEK = IGK ( c-c-c ) 900 IGK IEK KG IG G đường tròn ngoại tiếp ΔAHE KG là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔAHE CHUYÊN TỈNH ĐỒNG NAI Câu : (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH, đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự D và E 1/ Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp đường tròn 2/ Chứng minh điểm D, O, E thẳng hàng 3/ Cho biết AB = cm, BC = cm Tính diện tích tứ giác BDEC CHUYÊN TỈNH ĐỒNG NAI Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không là tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D,E,F là các tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn (I) Gọi M là giao điểm đường thẳng EF và đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn (I) điểm N (N không trùng với D), giọi K là giao điểm AI và EF 1) Chứng minh các điểm I, D, N, K cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh MN là tiếp tuyến đường tròn (I) Câu : (3,5 điểm) (27) A E O D C B H 1/ Nối H với E 0 + HEA 90 ( vì AH là đường kính), AHC 90 ( AH là đường cao) => AHE ACB (cùng phụ với EHC ) (1) + ADE AHE ( góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (2) Từ (1) và (2) => ADE = ACB =>Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn ( có góc đối góc kề bù góc đối) 2/ Vì DAE 90 => DE là đường kính => D, O, E thẳng hàng (đpcm) 3/ Ta có S BDEC SABC SADE + ABC vuông có AH là đường cao: sABC AB AC 6 (cm2) AC BC AB 4cm => AB AC 12 DE AH BC (cm) ( cùng là đường kính đt O) + ADE và ABC có : A chung , ADE = ACB ( câu 1) => ADE ~ ABC (g.g) => tỉ số diện tích bình phương tỉ đồng dạng : S ABC DE SAED DE S AED BC S ABC BC + S BDEC S ABC SADE S ABC (1 DE 122 ) 6(1 ) BC 52.52 = 4,6176 (cm2) Câu A E N K F I M B D C 1)Nối N và F, D và F (28) - Xét ANF và AFD có: AFN = ADF ( vì AF là tt) và FAD chung => ANF∽ AFD (g.g) => AN AF AF2 AN AD AF AD (1) - Xét AFI có: AF IF ( vì AF tiếp tuyến, FI là bán kính) và FK AI ( vì AF và AE tt chung và AI nối tâm) => AFI vuông F có FK là đường cao) => AK.AI = AF2 (2) - Xét ANK và AID có: + IAD chung AN AI + Từ (1) và (2) => AN.AD = AK.AI => AK AD => ANK∽ AID (c.g.c) => NKA = IDN (3) - Từ (3) => tứ giác DIKN nội tiếp đt (vì có góc đối góc kề bù góc đối) => các điểm I,D,N,K cùng thuộc đường tròn (đpcm) 2) Ta có ID DM ( DM là tiếp tuyến, DI là bán kính) và IK KM ( câu 1) => tứ giác DIKM nội tiếp đường tròn đường kính MI Vì điểm D, I, K, N thuộc đường tròn ( câu 1) => hai đường tròn này cùng ngoại tiếp DIK => hai đường tròn trùng => N nằm trên đường tròn đường kính MI => INM = 900 Vì IN là bán kính đường tròn (I), MN IN => MN là tiếp tuyến đường tròn (I) tiếp điểm N (đpcm) ĐỒNG THÁP ĐỀ CHÍNH THỨC GỢI Ý GIẢI: Câu : a MH = 20 ( cm ) ; ME = 12 ( cm) NPFE là h thang cân b) (29) b1 b2 Tam giác ABC vuông A có AH là đg cao => AB2 = BH.BC (1) BH BE BH BC BD.BE Tam giác BHE đg dạng với tam giác BDC => BD BC (2) Từ (1) và (2) => AB2 = BD BE TỈNH NINH BÌNH Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d không qua O và cắt đường tròn hai điểm phân biệt A và B Trên d lấy điểm M cho A nằm M và B Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm) Chứng minh MCOD là tứ giác nội tiếp Gọi I là trung điểm AB Đường thẳng IO cắt tia MD K Chứng minh KD KM = KO KI Một đường thẳng qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD E và F Xác định vị trí M trên d cho diện tích tam giác MEF đạt giá trị nhỏ TỈNH NINH BÌNH Câu (3 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp (O) Giả sử M là điểm thuộc đoạn thẳng AB (M A, B); N là điểm thuộc tia đối tia CA cho MN cắt BC I thì I là trung điểm MN Đường tròn ngoại tiếp AMN cắt (O) điểm P khác A C MR các tứ giác BMIP và CNPI nội tiếp Giả sử PB = PC Chứng minh ABC cân TỈNH LÀO CAI Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn c) Chứng mình ADE ACO Giải M (30) a) MAO MCO 90 nên tứ giác AMCO nội tiếp b) MEA MDA 90 Tứ giác AMDE có D, E cùng nhìn AM cùng góc 900 Nên AMDE nội tiếp ADE AME cùng chan cung AE ACO AME cùng chan cung AO c) Vì AMDE nội tiếp nên Vì AMCO nội tiếp nên Suy ADE ACO GIA LAI Câu (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE tam giác ABC (D AC, E AB) a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn b Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, J, I thẳng hàng 1 2 DA DM c Gọi K, M là giao điểm AI với ED và BD Chứng minh DK Câu a BCDE nội tiếp BEC BDC 900 Suy BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC b H, J, I thẳng hàng IB AB; CE AB (CH AB) Suy IB // CH IC AC; BD AC (BH AC) Suy BH // IC Như tứ giác BHCI là hình bình hành J trung điểm BC J trung điểm IH Vậy H, J, I thẳng hàng 1 ACB AIB AB c ACB DEA cùng bù với góc DEB tứ giác nội tiếp BCDE BAI AIB 900 vì ABI vuông B 0 Suy BAI AED 90 , hay EAK AEK 90 Suy AEK vuông K Xét ADM vuông M (suy từ giả thiết) DK AM (suy từ chứng minh trên)www.VNMATH 1 2 DA DM Như DK QUẢNG NINH Câu IV (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, trên cạnh AC lấy điểm D (D ≠ A, D ≠ C) Đường tròn (O) Đường kính DC cắt BC E (E ≠ C) (31) Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh ED là tia phân giác góc AEI Giả sử tg ABC Tìm vị trí D trên AC để EA là tiếp tuyến đường tròn đường kính DC HƯỚNG DẪN GIẢI: C©u IV : c §Ó EA lµ tiÕp tuyÕn cña §.Trßn, § kÝnh CD th× gãc E1 = gãc C1 (1) Mµ tø gi¸c ABED néi tiÕp nªn gãc E1 = gãc B1 (2) Tõ (1) vµ (2) gãc C1 = gãc B1 ta l¹i cã gãc BAD chung nªn AB AD AB = ABD ACB AB2 = AC.AD AD = (I) AC AB AC AB AC Theo bµi ta cã : tan (ABC) = = √ nªn ( II ) AC √ AB AB Tõ (I) vµ (II) AD = √2 AB VËy AD = th× EA lµ tiÕp tuyÕn cña §T, §kÝnh CD √2 NĂM HỌC 2011 - 2012 KHÁNH HÒA Bài 4( điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm.Vẽ hình bình hành BHCD.Đường thẳng qua D và song song BC cắt đường thẳng AH E 1) Chứng minh A,B,C,D,E cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh BAE DAC 3) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm BC,đường thẳng AM cắt OH G.Chứng minh G là trọng tâm tam giácABC 4) Giả sử OD = a.Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a Bài : Giải câu c) Vì BHCD là HBH nên H,M,D thẳng hàng Tam giác AHD có OM là ĐTBình => AH = OM Và AH // OM HAG OMG slt tam giác AHG và MOG có AGH MGO (đ đ) AHGMOG (G G ) AH AG 2 MO MG Hay AG = 2MG Tam giác ABC có AM là trung tuyến; G AM Do đó G là trọng tâm tam giác ABC d) BHC BDC ( vì BHCD là HBH) có B ;D ;C nội tiếp (O) bán kính là a Nên tam giác BHC nội tiếp (K) có bán kính a Do đó C (K) = 2 a ( ĐVĐD) BÌNH ĐỊNH Bài 4: (3, điểm) A H G B O C M E D (32) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C là trung điểm OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA C Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm AK và MN a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK.AH = R2 c) Trên KN lấy điểm I cho KI = KM, chứng minh NI = KB K Bài 4: M a) Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp E Ta có : AKB 90 (góc nội tiếp chắn đường tròn) H I HKB 900 ; HCB 900 gt hay A B 0 C O Tứ giác BCHK có HKB HCB 90 90 180 tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp b) AK AH R ΔACH ∽ ΔAKB g.g AC AH R AK AH AC AB 2 R R AK AB N Dễ thấy c) NI KB OAM có OA OM R gt OAM cân O 1 OAM có MC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (gt) OAM cân M 1 & OAM là tam giác MOA 600 MON 1200 MKI 600 600 nên là tam giác MI MK 3 KMI là tam giác cân (KI = KM) có MKI 1 MBN MON 1200 600 MN MB 2 Dễ thấy BMK cân B có nên là tam giác Gọi E là giao điểm AK và MI NKB NMB 600 NKB MIK MIK 600 Dễ thấy KB // MI (vì có cặp góc vị trí so le nhau) mặt AK KB cmt khác nên AK MI E HME 90 MHE HAC 900 HME 900 AHC MHE HME cmt HAC AHC MHE dd Ta có : mặt khác HAC KMB (cùng chắn KB ) NMI KMB 5 HME KMB hay 3 , & 5 IMN KMB c.g c NI KB (đpcm) BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013 Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A cho OA=3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP và AQ đường tròn (O),với P và Q là tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) cho PM song song với AQ.Gọi N là giao điểm thứ đường thẳng AM và đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ K 1.Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp 2.Chứng minh KA2=KN.KP 3.Kẻ đường kính QS đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia phân giác góc PNM Gọi G là giao điểm đường thẳng AO và PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R (33) Xét tứ giác APOQ có APO = 900 (Do AP là tiếp tuyến (O) P) AQO = 900 (Do AQ là tiếp tuyến (O) Q) Þ APO + AQO =1800 ,mà hai góc này là góc đối nên tứ giác APOQ là tứ giác nội 0,75 tiếp P S M N A I G O K Q Xét Δ AKN và Δ PAK có AKP là góc chung APN = AMP ( Góc nt……cùng chắn cung NP) NAK = AMP Mà (so le PM //AQ AK NK Þ = Þ AK = NK KP Δ AKN ~ Δ PKA (gg) PK AK (đpcm) Kẻ đường kính QS đường tròn (O) Ta có AQ ^ QS (AQ là tt (O) Q) Mà PM//AQ (gt) nên PM ^ QS Đường kính QS ^ PM nên QS qua điểm chính cung PM nhỏ = sd SM Þ PNS sd PS = SNM (hai góc nt chắn cung nhau) Hay NS là tia phân giác góc PNM Chứng minh Δ AQO vuông Q, có QG ^ AO(theo Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có OQ R OQ = OI OA Þ OI = = = R OA 3R Þ AI = OA - OI = 3R - R = R 3 2 Do Δ KNQ ~ Δ KQP (gg) Þ KQ = KN KP mà AK = NK KP nên AK=KQ 0,75 0,75 0,75 Vậy Δ APQ có các trung tuyến AI và PK cắt G nên G là trọng tâm 2 16 Þ AG = AI = R = R 3 YÊN BÁI NĂM HỌC 2012 – 2013 Câu 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 12 cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By M là điểm thuộc nửa đường tròn (O), M không trùng với A và B AM cắt By D, BM cắt Ax C E là trung điểm đoạn thẳng BD Chứng minh: AC BD = AB (34) Chứng minh: EM là tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O Kéo dài EM cắt Ax F Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn tâm O cho diện tích tứ giác AFEB đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó QUẢNG NGÃI Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là điểm nằm trên đường tròn cho CA > CB Gọi I là trung điểm OA Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB I, cắt tia BC M và cắt đoạn AC P; AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K 1/ Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp đường tròn 2/ Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng M 3/ Các tiếp tuyến A và C đường tròn (O) cắt Q Tính diện tích tứ giác QAIM theo R BC = R Bài 4:(Bài giải vắn tắt) a) Tứ giác BCPI nội tiếp (hs tự cm) b) Dễ thấy MI và AC là hai đường cao MAB P là trực tâm BP MA 1 MAB BP là đường cao thứ ba BK MA Mặt khác AKB 90 (góc nội tiếp chắn đường tròn) Từ (1) và (2) suy ba điểm B, P, Q thẳng hàng 2 Q C K A P I B O c) AC AB BC R R R Khi BC = R dễ thấy tam giác OBC là tam giác suy CBA 60 Mà QAC CBA (góc tạo tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn AC ) đó QAC 60 Dễ thấy tam giác QAC cân Q (QA = QC) có QAC 60 nên là tam giác AQ AC R R 3R AI ; IB 2 Dễ thấy 3R ta có IM IB.tan B IB.tan 60 Trong tam giác vuông AQ / / IM ; I 90 Ta chứng minh tứ giác QAIM là hình thang vuông IBM I 900 3R SQAIM Do đó 1 3 R R R R 3R AQ IM AI R 2 (đvdt) BẮC NINH Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn O Từ A là điểm nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AM và AN với (O) ( M; N là các tiếp điểm ) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO 2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B và C (B nằm A và C ) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh I thuộc đường tròn đường kính AO 3) Gọi K là giao điểm MN và BC Chứng minh AK.AI = AB.AC Câu : Theo tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính O tiếp điểm ta có : AMO ANO 90 AMO vuông M A, M , O thuộc đường tròn đường kính AO ( Vì AO là cạnh huyền) (35) ANO vuông N A, N, O thuộc đường tròn đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền) Vậy: A, M, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO Hay tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn đường kính AO Vì I là trung điểm BC (theo gt) OI BC (tc) AIO vuông I A, I, O thuộc đường tròn đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền) Vậy I thuộc đường tròn đường kính AO (đpcm) Nối M với B, C Xét AMB &AMC có MAC chung MCB AMB sđ MB AB AM AB AC AM AMB ~ACM (g.g) AM AC (1) Xét AKM &AIM có MAK chung AIM AMK (Vì: AIM ANM cùng chắn AM và AMK ANM ) AK AM AK AI AM AMK ~AIM (g.g) AM AI (2) Từ (1) và (2) ta có: AK.AI = AB.AC (đpcm) SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH Câu (3điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Hai đường cao AD, BE cắt H (D BC, E AC) a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn b) Tia AO cắt đường tròn (O) K ( K khác A) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành c) Gọi F là giao điểm tia CH với AB Tìm giá trị nhỏ biểu thức: AD BE CF Q HD HE HF a) Vì AD và BE là các đường cao nên ta có: 0,5 ADB AEB 90 A Hai góc ADB, AEB cùng nhìn cạnh AB 0,5 E góc 90 nên tứ giác ABDE nội tiếp đường F tròn H b) Ta có: ABK ACK 90 (góc nội tiếp chắn O đường tròn) CK AC, BK AB (1) 0,5 B C Ta có H là trực tâm tam giác ABC nên: D BH AC, CH AB (2) Từ (1) và (2), suy ra: BH // CK, CH // BK Vậy tứ giác BHCK là hình bình hành (theo định K 0,5 nghĩa) Đặt SBHC = S1, SAHC = S2, SAHB = S3, SABC = S Vì ABC nhọn nên trực tâm H nằm bên 0,25 (36) ABC , đó: S = S1 + S2 + S3 AD SABC S BE SABC S CF SABC S (1), (2), (3) HE SAHC S2 HF SAHB S3 Ta có: HD SBHC S1 0,25 Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được: Q 1 1 AD BE CF S S S S HD HE HF S1 S2 S3 S1 S2 S3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương, ta có: 1 S S2 S3 S1.S2 S3 S S1 S2 S3 3 S1.S2 S3 (4) ; (5) Nhân vế theo vế (4) và (5), ta được: Q 9 Đẳng thức xẩy S1 S2 S3 hay H là trọng tâm ABC , nghĩa là ABC 0,25 0,25 BÌNH DƯƠNG Bài (3,5 điểm): Cho đường tròn (O) và điểm M ngoài đường tròn Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MPQ (MP < MQ) Gọi I là trung điểm dây PQ, E là giao điểm thứ đường thẳng BI và đường tròn (O) Chứng minh: 1/ Tứ giác BOIM nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó 2/ BOM = BEA 3/ AE // PQ 4/ Ba điểm O; I; K thẳng hàng, với K là trung điểm EA Bài (3,5 điểm): 1/ Ta có MB là tiếp tuyến (O) (gt) OB MB OBM = 900 B thuộc đường tròn đường kính OM (1) Ta có IQ = IP (gt) OI QP (Tính chất liên hệ đường kính và dây cung) OIM = 900 I thuộc đường tròn đường kính OM (2) Từ (1) và (2) => BOIM nội tiếp đường tròn đường kính OM 2/ Ta có BOM = AOM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) BOM = BOA mà BOA = SđAB BOM = SđAB Ta lại có BEA = SđAB (Định lý góc nội tiếp) BOM = BEA 3/ Ta có: Tứ giác BOIM nội tiếp (Chứng minh trên) BOM = BIM (Cùng chắn BM) mà BOM = BEA (Chứng minh trên) (37) BIM = BEA Mặt khắc BIM và BEA là hai góc vị trí đồng vị AE // PQ 4/ Ta có OI QP và AE // PQ (chứng minh trên); OI AE (3) mà KE = KA (gt) OK AE (tính chất liên hệ đường kính và dây cung) (4) Từ (3) và (4), ta thấy qua điểm O có hai đường thẳng OI và OK cùng song song với AE OI và OK phải trùng Ba điểm O, I, K thẳng hàng THÁI BÌNH Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), dây cung BC (BC không là đường kính) Điểm A di động trên cung nhỏ BC (A khác B và C; độ dài đoạn AB khác AC) Kẻ đường kính AA’ đường tròn (O), D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC Hai điểm E, F là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AA’ Chứng minh rằng: 1) Bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên đường tròn 2) BD.AC = AD.A’C 3) DE vuông góc với AC 4) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là điểm cố định Bài (3,5 điểm) Nội dung Điểm Vì ADB AEB 90 bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính 0,5 (0,5đ) AB Xét ADB và ACA’ có: ADB ACB 90 ( ACB 900 vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); 'C ABD AA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) ADB ~ ACA’ (g.g) AD BD AC A 'C BD.AC = AD.A’C (đpcm) 0,5 (1,0đ) 0,5 Gọi H là giao điểm DE với AC (1,25đ Tứ giác AEDB nội tiếp HDC BAE BAA ' 0,25 (38) BAA ' và BCA là hai góc nội tiếp (O) nên: BAA ' sđBA ' ; BCA sđBA 2 BAA ' BCA sđBA ' sđBA sđABA ' 90 2 (do AA’ là đường kính) Suy ra: HDC HCD BAA ' BCA 90 CHD vuông H Do đó: DE AC 0,25 0,25 0,25 IBE = ICM (g.c.g) IE = IM EFM vuông F, IE = IM = IF Tứ giác DENM có IE = IM, ID = IN nên là hình bình hành (2) Từ (1) và (3) suy DENM là hình chữ nhật IE = ID = IN = IM ID = IE = IF Suy I là tâm đường tròn ngoại tiếp DEF 0,25 I là trung điểm BC nên I cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là điểm cố định SỞ GD & ĐT TRÀ VINH Bài 5: ( 3,0 điểm ) Từ điểm M ngoài đường tròn O bán kính R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn O bán kính R ( Với A, B là hai tiếp điểm ) Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tâm O E Đoạn ME cắt đường tròn tâm O F Hai đường thẳng AF và MB cắt I a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh IB2 = IF.IA c) Chứng minh IM = IB Vẽ hình: Bài A (3,0 điểm) E F M I B 1) Có MA là tiếp tuyến Nên OA MA OAM 900 Tương tự OBM 90 OAM OBM 1800 0,25 0,5 (39) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn có đường kính là OM Xét IBA và IFB Có : BIA là góc chung IAB IBF ( cùng số đo BF ) IBA đồng dạng IFB IB IA IF IB IB IF IA(1) 3) Ta có : AE // MB ( gt) IMF MEA Nên Mà MEA FAM IMF FAM Xét IMF và IAM Có IAM là góc chung IMF IAM ( Chứng minh trên ) IMF đồng dạng IAM IM IA IF IM IM IA.IF (2) Từ (1) và ( ) IB2 = IM2 IB = IM (đpcm) 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 (40) TỈNH KIÊN GIANG TRƯỜNG CHUYÊN Bài (3 điểm) Cho đường tròn (O, 4cm), đường kính AB Gọi H là trung điểm OA, vẽ dây CD vuông góc với AB H Lấy điểm E trên đoạn HD (E ≠ H và E ≠ D), nối AE cắt đường tròn F a) Chứng minh AD2 = AE AF (41) b) Tính độ dài cung nhỏ BF HE = cm (chính xác đến chữ số thập phân) c) Tìm vị trí điểm E trên đoạn HD để số đo góc EOF 900 *Xét ABC ( A = 900) có: C B 900 C 900 62 280 HC *Xét AHC ( H = 900) có: AC = CosC HC tanC *Xét ABC ( A = 900) có: AB = AC.tanC = CosC AC HC Và BC = CosC Cos C *Chu vi tam giác ABC là: HC HC HC tanC AB + AC + BC = CosC + CosC + Cos C HC 20,3 (tanC + + ) (tan280 ) 61,254908 (cm) CosC Cos28 Cos280 = CosC a Chứng minh: AD2 = AE AF CD AC AD (liªn hÖ gi÷a ®k vµ d©y cung) *Ta có: AB ADC AFD (các góc nt chắn các cung tương ứng nhau) *Xét ADE và AFD có: ADC AFD (cm trên) A : góc chung AD AF AD AE AF ADE ~ AFD (g-g) AE AD b Tính độ dài cung nhỏ BF HE = 1cm (chính xác đến chữ số thập phân) OA 2 (cm ) *Ta có: AH = OH = (Vì H là trung điểm OA và OA = 4cm) HE HAE 2.BAF 540 AH BAF HAE 270 s®BF *Xét AHE ( H 90 ) có: tg OA.n 2 540 l 540 BF 1800 1800 1,88 (cm) (Với n = sđ BF ) c Tìm vị trí của điểm E trên đoạn HD để số đo của góc EOF bằng 900 *Xét EAO có: EH là đường cao (EH AB) là đường trung tuyến (vì AH = OH) nên EAO cân O2 E EAH O1 O1 O2 EAH BAF (cïng ch¾n cung BF) *Mà (42) O2 0 *§Ó EOF 90 O1 O 90 (V× O1 EOF O 180 ) O 900 3O 1800 HE EAH 0 O2 60 EAH 30 tan AH (vì EAH vuông H) HE = AH tanEAH 2 tan300 (cm) 3 Vậy điểm E cách H khoảng HE = (cm) trên đoạn HD thì EOF 90 TỈNH KIÊN GIANG Bài (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C trên đường tròn cho CA = CB Gọi M là trung điểm dây cung AC; Nối BM cắt cung AC E; AE và BC kéo dài cắt D a) Chứng minh: DE DA = DC DB b) Chứng minh: MOCD là hình bình hành MF c) Kẻ EF vuông góc với AC Tính tỉ số EF ? d) Vẽ đường tròn tâm E bán kính EA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là N; EF cắt AN I, cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là K; EB cắt AN H Chứng minh: Tứ giác BHIK nội tiếp đường tròn a Chứng minh DE DA = DC DB Ta có: ACB 90 (góc nội tiếp nửa đường tròn (O)) ACD 900 (vì kề bù với ACB ) Ta lại có: AEB 900 (góc nội tiếp nửa đường tròn (O)) DEB = 900 (vì kề bù với AEB ) Xét ADC và BDE có: ACD DEB 900 (cm trên) D : góc chung ADC ~ BDE (g-g) DA DC DE DA = DC DB DB DE b Chứng minh MOCD là hình bình hành Ta có: MC = MA (gt) OM AC (liên hệ đk và dây cung) CD AC (vì ACD 90 ) OM // CD (cùng vuông góc với AC) (1) Mặt khác: DAB có: BE và AC là hai đường cao cắt M M là trực tâm DM là đường cao thứ ba DM AB DM // CO (2) CB CO AB CA Mà: CA = CB Từ (1) và (2) suy ra: MOCD là hình bình hành (43) MF c Kẻ EF AC Tính tỉ số EF ? Xét MFE và MCB có: MFE MCB 900 FME BMC (đối đỉnh) MF MC MFE ~ MCB (g – g) EF CB Ta lại có: AC = 2MC (gt) Mà: CB = CA CB = 2MC MF MC MC EF CB 2MC d Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp được đường tròn K s®BE Ta có: (góc nội tiếp đường tròn tâm (O)) (3) s®EA) NHB (s®BN Ta lại có: (góc có đỉnh nằm đường tròn (O)) EN EA Mà : EA = EN (bán kính đường tròn (E)) 1 s®EA) s®EN) NHB (s®BN (s®BN s®BE 2 (4) Từ (3) và (4) suy ra: K NHB Mà NHB là góc ngoài H tứ giác BIHK Vậy tứ giác BIHK nội tiếp đường tròn QUẢNG BÌNH Môn thi: TOÁN Câu 4: (3,5 điểm): Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB=2R Gọi M là điểm bất kì trên đờng tròn( M không trùng với A, B) Vẽ các tiếp tuyến Ax, By, Mz đờng tròn Đờng thẳng Mz cắt Ax, By lần lợt N và P Đờng thẳng AM cắt By C và đờng thẳng BM cắt Ax D a) Chứng minh tứ giác AOMN nội tiếp đợc đờng tròn b) Chøng minh N lµ trung ®iÓm cña AD, P lµ trung ®iÓm cña BC c) Chøng minh AD.BC = 4R2 TÂY NINH Câu 4: (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R; P là điểm ngoài đường tròn cho OP = 2R Tia PO cắt đường tròn (O; R) A (A nằm P và O), từ P kẻ hai tiếp tuyến PC và PD với (O; R) với C, D là hai tiếp điểm a) Chứng minh tứ giác PCOD nội tiếp b) Chứng minh tam giác PCD và tính độ dài các cạnh tam giác PCD LẠNG SƠN Câu IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O,đường kính AB, C là điểm cố định trên đường tròn khác A và B Lấy D là điểm nằm cung nhỏ BC Các tia AC và AD cắt tiếp tuyến Bt đường tròn E và F a, Chừng minh hai tam giác ABD và BFD đồng dạng b, Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp c, Gọi D1 đối xúng với D qua O và M là giao điểm AD và CD chứng minh số đo góc AMC không đổi D chạy trên cung nhỏ BC Câu IV (3,5 điểm) (44) ABD và BFD có : ADB= BDF = 900 BAD = DBF ( Cùng chắn cung BD) => BFD ABD Có : E = (SdAB- SdBC): ( Góc ngoài đường tròn) = SdAC: = CDA => Tứ giác CDFE nội tiếp Dễ dàng chứng minh tứ giác ADBD1 là hình chữ nhật Có : AMC = AD1M + MAD1 ( Góc ngoài tam giác AD1M) = (SdAC: 2) + 900 Mà AC cố định nên cung AC cố định=> AMC luôn không đổi D chạy trên cung nhỏ BC SỞ GD & ĐT HÒA BÌNH Bài 3.(3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Các đường cao AD, BE, CF tám giác cắt H Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCEF nội tiếp b) EF vuông góc với AO c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC R Bài 3.(3 điểm) a) Vì BE, CF là đường cao tam giác ABC BE AC ; CF AB BEC CFB 900 E, F thuộc đường tròn đường kính BC Tứ giác BCEF nội tiếp b) EF vuông góc với AO Xét AOB ta có: 1 OAB 900 AOB 900 2 sđ AB 900 ACB (1) Do BCEF nội tiếp nên AFE ACB (2) Từ (1) và (2) suy ra: OAB 900 AFE OAB AFE 900 OA EF (đpcm) c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp BHC R Gọi H ' AH (O) Ta có: HBC 900 HCB 900 ACB HAC ' AC H ' BC H (3) ABC HAB H ' AB H ' CB (4) Từ (3) và (4) BHC BH ' C ( g c.g ) Mà BH'C nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R BHC nội tiếp đường tròn có bán kính R, tức là bán kính đường tròn ngoại tiếp BHC R SỞ GD & ĐT HÒA BÌNH Câu (2,0 điểm) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM HỌC 2012-2013 (45) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm M cho MO = 2R Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) Hai đường cao BD và AC tam giác MAB cắt H 1) Chứng minh tứ giác AHBO là hình thoi 2) Tính góc AMB Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm M cho MO = 2R Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) Hai đường cao BD và AC MAB cắt H 1) Chứng minh tứ giác AHBO là hình thoi Ta có: OA MA (Vì MA là tiếp tuyến với đường tròn (O)) BH MA ( Vì BH là đường cao MAB) OA // BH (1) OB MB OB / /AH AH MB Tương tự ta có: (2) Từ (1) & (2) suy tứ giác AHBO là hình bình hành, mặt khác lại có OA = OB nên tứ giác AHBO là hình thoi 2) Tính góc AMB Dễ thấy MO là đường phân giác góc AMB AMB 2AMO Vì tam giác OAM vuông A nên ta có: sin AMO OA AMO 300 AMB 600 MO QUẢNG NAM CHUYÊN Năm học: 2012 – 2013 Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC Từ trung điểm M cạnh AC kẻ ME vuông góc với BC (E thuộc BC), đường thẳng ME cắt đường thẳng d H và cắt đường thẳng AB K a) Chứng minh: ∆AMK = ∆CMH, từ đó suy tứ giác AKCH là hình bình hành b) Gọi D là giao điểm AH và BM Chứng minh tứ giác DMCH nội tiếp và xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó c) Chứng minh: AD.AH = 2ME.MK d) Cho AB = a và ACB 30 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH theo a Câu Câu Hình (4,0) vẽ (0,25) Nội dung Điểm (46) 0,25 a) (1,0) b) (1,0) c) (1,0) + AM = MC (gt) , KAM HCM 90 , AMK CMH (đđ) AMK CMH g.c.g + + suy ra: MK = MH + Vì MK = MH và MA = MC nên tứ giác AKCH là hình bình hành + Nêu được: CA BK và KE BC , suy M là trực tâm tam giác KBC + Nêu được: KC // AH và BM KC, suy BM AH 0 + HDM HCM 90 90 180 => Tứ giác DMCH nội tiếp + MCH 90 => Tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH là trung điểm MH + Chứng minh hai tam giác ADM và ACH đồng dạng (g.g) AM AD AM AC AH AD AM AH AD vìAC=2AM AH AC + AH AD AM (1) + Ta lại có: MC2 = ME.MH và MH=MK nên MC2 = ME.MK (2) + Mặt khác: MC = MA (gt) (3) AH AD ME.MK Từ (1), (2), (3) => => AH.AD = 2ME.MK d) + ABC vuông A, góc C = 300 nên AC = a (0,75) + ACB MHC 30 (cùng phụ góc CMH) => MH = 2MC Mà AC = 2MC nên: MH = AC = a + Độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH là: a 3 MH C 2 a 2 d + Tam giác ABC vuông A nên: AC = AB.cotC = a (0,75) + CMH 90 ACB 60 MC AC MH AC a cos CMH 2cos60 => Diện tích hình tròn (O): 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (47) S(O) + a 3 MH a QUẢNG NAM CHUYÊN Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm, AD = cm Đường thẳng vuông góc với AC C cắt các đường thẳng AB và AD E và F a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp đường tròn b) Gọi I là giao điểm các đường thẳng BD và EF Tính độ dài đoạn thẳng ID c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD N S1 S2 Gọi S1 là diện tích tam giác CME, S2 là diện tích tam giác AMN Xác định vị trí điểm M để Câu (4,0 điểm) a) (1,0) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp đường tròn Ta có: ADB ACB AEC ACB ( cùng phụ với BAC ) ADB AEC tứ giác EBDF nội tiếp 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,5) Tính ID Tam giác AEC vuông C và BC AE nên: BE.BA = BC2 0,25 BC 1 BA IB BE ID CD BE//CD BD ID ID BD và tính được: BD = BE ID Câu Câu (tt) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (cm) Nội dung Điểm c) (1,5 điểm) Xác định vị trí điểm M để S1 = S2 Đặt AM = x, < x < 0,25 (48) MB = 4− x , ME = − x AN AM BC AM 2.x AN BC MB MB 4 x Ta có: 0,25 1 x2 S1 BC.ME 5 x S2 AM.AN 2 4 x , 3 x S1 = S2 5− x = x x2 + 18x − 40 = 0,25 x = (vì < x < 4) Vậy M là trung điểm AB 0,25 0,25 0,25 (49) (50) (51) VĨNH LONG Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi AH và BK là các đường cao tam giác ABC a) Chứng minh tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn này (52) b) Gọi (d) là tiếp tuyến với đường tròn (O) C Chứng minh ABH HKC và HK OC TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) Trên Ax lấy điểm M cho AM > AB, MB cắt (O) N (N khác B) Qua trung điểm P đoạn AM, dựng đường thẳng vuông góc với AM cắt BM Q a) Chứng minh tứ giác APQN nội tiếp đường tròn b) Gọi C là điểm trên cung lớn NB đường tròn (O) (C khác N và C khác B) Chứng minh: BCN OQN c) Chứng minh PN là tiếp tuyến đường tròn (O) d) Giả sử đường tròn nội tiếp ANP có độ dài đường kính độ dài đoạn OA AM Tính giá trị AB Đáp án bài hình o o a) Tứ giác APQN có APQ ANQ 90 APQ ANQ 180 b) Ta có PA = PM và PQ AM QM = QB OQ // AM OQ AB OQN NAB (cùng phụ với ABN ) BCN NAB (cùng chắn NB ) BCN OQN c) Cách 1: OQN NAB tứ giác AONQ nội tiếp Kết hợp câu a suy điểm A, O, N, Q, P cùng nằm trên đường tròn ONP OAP 90o ON NP NP là tiếp tuyến (O) Cách 2: PAN PNA (do PAN cân P) ONB OBN (do ONB cân O) Nhưng PAN OBN (cùng phụ với NAB ) PNA ONB o o Mà ONB ONA 90 PNA ONA 90 PNO ON PN NP là tiếp tuyến (O) d) Gọi I là giao điểm PO và (O), suy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác APN (53) OE EI AEO R AE R (R là bán kính đường tròn (O)) AIE R AE EO 2PA MA AE R PA AO 2AO AB EO PAO (g-g) TỈNH HẬU GIANG Bài 5: (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm S bên ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O; R) M, N với M nằm S và N (đường thẳng a không qua tâm O) a) Chứng minh SO AB b) Gọi I là trung điểm MN và H là giao điểm SO và AB; hai đường thẳng OI và AB cắt E Chứng minh: OI.OE = R2 c) Chứng minh tứ giác SHIE nội tiếp đường tròn d) Cho SO = 2R và MN = R √ Tính diện tích tam giác ESM theo R BẾN TRE TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN BẾN TRE NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN TOÁN (chung) Câu (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A, B vẽ các tiếp tuyến Ax, By phía có chứa nửa đường tròn (O) Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA; điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác AMN cắt Ax C; đường thẳng CN cắt By D a) Chứng minh tứ giác BMND nội tiếp b) Chứng minh DM là tiếp tuyến đường tròn (O’) 3/ Gọi I là giao điểm AN và CM; K là giao điểm BN và DM Chứng minh IK song song AB MÔN TOÁN CHUYÊN - BẾN TRE Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường cao AH Gọi E, F là hình chiếu H lên hai cạnh AB, AC Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC D 1/ Chứng minh đường thẳng AD qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2/ Gọi I, K là hình chiếu D lên hai cạnh AB, AC Chứng minh tam giác DIK đồng dạng với tam giác HEF BH BD AB2 3/ Chứng minh CD CH AC (54) (55) (56) AN GIANG Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn ( O) bán kính R = cm và điểm I nằm ngoài đường tròn, biết OI = 4cm.Từ I kẻ hai tiếp tuyến IA và IB với đường tròn (A,B là tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp b)Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt tia OA O’.Tính OO’ và diện tích tam giác IOO’ c) Từ O’ kẻ O’C vuông góc BI cắt đường thẳng BI C.Chứng minh O’I là tia phân giác AO'C (57) (58) (59) (60) (61)