Mot so bai toan ve ti le thuc

I./ ĐẶT VẤN ĐỀ Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy c¸c bµi to¸n dïng kiÕn thøc vÒ tØ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán là một trong những nội dung kiến thức trọng tâm [r]

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU I./ ĐẶT VẤN ĐỀ Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy c¸c bµi to¸n dïng kiÕn thøc vÒ tØ lệ thức, dãy tỉ số để giải số bài toán là nội dung kiến thức trọng tâm chơng trình toán lớp 7, đó việc phân loại bài tập và phơng pháp suy luận tìm tòi lời giải dạng là việc làm cần thiết để bồi dỡng và nâng cao cho học sinh đặc biệt là đối tợng học sinh khá trở lên Vì từ thực tế giảng dạy tôi xin đa số bài toán để cùng trao đổi với đồng nghiệp hy vọng góp phÇn nhá vµo kinh nghiÖm chung viÖc n©ng cao chÊt lîng d¹y häc C¸c bµi to¸n vÒ tØ lÖ thøc lµ mét m¶ng to¸n rÊt réng nªn t«i kh«ng cã ý định đề cập tới tất các dạng các khối lớp mà hạn chế mức độ toán để sử dụng giảng dạy và bồi dỡng học sinh khá, giỏi lớp Rất mong đợc góp ý đồng nghiệp II./ NỘI DUNG Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức hai tỷ số a c  * Tính chất tỷ lệ thức: b d a c  Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức b d suy a.d = b.c Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ cho ta các tỷ lệ thức: a c a b d c d b     b d , c d, b a, c a a c a b d c    Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức b d suy các tỷ lệ thức: c d , b a , d b  c a * Tính chất dãy tỷ lệ thức nhau: a c a a c a c    Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức b d suy các tỷ lệ thức sau: b b  d b  d , (b ≠ ± d) a c i   Tính chất 2: b d j suy các tỷ lệ thức sau: a c c i a  c i   b b  d  j b  d  j , (b, d, j ≠ 0) a b c   Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, tức là ta có: III./ CÁC DẠNG BÀI TẬP Tôi xin chia dạng cụ thể sau: Toán chứng minh đẳng thức Toán tìm x, y, z, Toán đố Toán lập tỷ lệ thức Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức A Loại toán chứng minh đẳng thức a c a b c d  1  Bài Chứng minh : Nếu b d thì a  b c  d với a, b, c, d ≠ Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì? a c a c a b c  d   1  1   d b d Giải: Với a, b, c, d ≠ ta có: b d b  a b b  c  d d (1) a c a b c d a b b      b d b d c  d d (2) a b a  b a b c d    Từ (1) và (2) => c  d c  d a  b c  d (ĐPCM) a c  Bài 2: Nếu b d thì: 5a  3b 5c  3d  a, 5a  3b 5c  3d a  3ab 7c  3cd  2 2 b, 11a  8b 11c  8d Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh? - Làm nào để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài gợi ý gì cho giải bài 2? a c a b 5a 3b 5a 5c 5a  3b 5c  3d          a Từ b d c d 5c 3d 3b 3d 5a  3b 5c  3d (đpcm) a c a b a b ab 7a 8b2 3ab 11a           2 b b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c a  3ab 11a  8b  7c  3cd 11c  8d (đpcm) a b c  a  Bài 3: CMR: Nếu a bc thì a  b c  a điều đảo lại có đúng hay không? a bc  a b a b a  b a b c a     c a ca c a a b c a Giải: + Ta có: + Điều đảo lại đúng, thật vậy: a b c a    a  b   c  a   a  b   c  a  a b c a ac  a  bc  ab ac  a  bc  ab  2bc a 2 Ta có:  a bc a c ac a  c   2 Bài 4: Cho b d CMR bd b  d a c ac a c a  c ac a  c        bd b  d (đpcm) Giải: b d bd b d b  d a c  Bài 5: CMR: Nếu b d thì a  b4  a b    c4  d  c d  Giải: a c a b a b a4  a  b          1 Ta có: b d c d c  d c  c  d  a b a b4 a  b4     4   Từ c d c d c  d a  b4  a b    4 Từ (1) và (2)  c  d  c  d (đpcm) a c  Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì b d Giải: Ta có: a  c 2b   a  c  d 2bd  3  c  b  d   a  c  d Từ (3) và (2)  cb  cd ad  cd  a c  b d (đpcm) Bài 7: Cho a, b, c, d là số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b ac; c bd và b3  c3  d 0 a  b3  c a  3 CM: b  c  d d b ac  Giải: + Ta có + Ta có c bd  a b   1 b c b c   2 c d a b c a b3 c3 a  b3  c       3 3   + Từ (1) và (2) ta có b c d b c d b  c  d a b c a3 a b c a       4 Mặt khác: b c d b b c d d Từ (3) và (4)  a  b3  c a  b3  c  d d Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong đó a ; b ; c là các số khác và khác thì: y z z x x y     a  b  c b  c  a c  a  b Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các các số (1) cho abc ta có: a  y+z  b  z  x c  x  y y+z z  x x  y       2 abc abc abc bc ac ab ? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta biến đổi nào? Từ (2)  y+z  x  y    z  x   y  z    x  y   z  x    y  z     bc ab  ac bc  ab ac  bc y-z z-x x-y   a  b  c b  c  a  c  a  b (đpcm) bz-cy cx-az ay-bx    1 b c Bài 9: Cho a x y z   CMR: a b c Giải: Nhân thêm tử và mẫu (1) với a b; c Từ (1) ta có: bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx     0 a a2 b2 c2 a  b2  c  bz-cy =  bz = cy   ay-bx =  ay = bx  Từ (2) và (3)  x y = c b  2 x y   3 a b x y z   a b c (đpcm) a b' b c'    1 ' ' Bài 10 Biết a b và b c CMR: abc + a’b’c’ = a b'  1  ab  a ' b ' 1 1 ' Giải: Từ a b Nhân hai vế (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) b c'  1  bc  b ' c ' b ' c (2) ' Ta có: b c Nhân hai vế (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Cộng hai vế (3) và (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = (đpcm) B Toán tìm x, y, z x y z   Bài 11 Tìm x, y, z biết: 15 20 28 và x  y  186 Giải: Giả thiết cho x  y  186 Làm nào để sử dụng hiệu giả thiết trên? x y z 2x 3y z x  y  z 186        3 Từ 15 20 28 30 60 28 30  60  28 62  x = 3.15 = 45  y= 3.20 = 60  z = 3.28 = 84 x y y z   Bài 12 Tìm x, y, z cho: và và x  y  z 372 Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau? Đưa bài này dạng bài trên cách nào? Đưa tử số có cùng số chia x y x y    Ta có: 15 20 (chia hai vế cho 5) y z y z    20 28 (chia hai vế cho 4)  x y z   15 20 28 Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 x y y z   Bài 13 Tìm x, y, z biết và và x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14 Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*) Cách 1: Từ 2x = 3y  x y   y z  3y = 5z Đưa cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ x, y, z tương ứng ta giải (*) + Làm nào để (1) cho ta (*) + chia hai vế (1) cho BCNN (2;3;5) = 30  2x y 5z x y z xy z 95        5 30 30 30 15 10 15  10  19 2x = 3y = 5z => x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15 Tìm x, y, z biết: x  y  z  1 và x – y = 15 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11) BCNN(1 ;2 ;3) = Chia các vế (1) cho ta có x y z x  y 15     5 12 12  => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16 Tìm x, y, z biết: x y z    1 a và 2x + 3y –z = 50 2x y 4z    2 b và x + y +z = 49 Giải: a Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự bài nào? (bài 11)  x  1  y   z  x   y   z     4 9   x  y  z       50  5  9 Từ (1) ta có: x 5  x 11 y 5  x 17 z 5  x 23 b ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15) Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3y 4z 2x 3y 4z      3.12 4.12 5.12 x y z x yz 49      1 18 10 15 18  16  15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17 Tìm x; y; z biết rằng: x y  a và xy = 54 (2) x y  2 b và x  y 4 (x, y > 0) Giải: ? Làm nào để xuất xy mà sử dụng giả thiết x y x x y x x xy 54   1      9 2 6 2 2 a x 4.9  2.3       x 6 Thay vào (2) ta có: x 6  y  54 9 x   y  54  6 x y x2 y2 x2  y2       25 25  16 25  x   x  b  y   x  Bài 18 Tìm các số a1, a2, …a9 biết: a 9 a1  a     9 và a1  a   a 90 a1   a1  a   a        90  45   1    45 Giải : Từ đó dễ dàng suy a1; a2; … Bài 19 Tìm x; y; z biết: y  z 1 x  z  x  y      1 x y z x yz a Giải: Theo tính chất dãy tỷ số ta có từ (1) y  z 1 y  z   x  z   x  y   x  y  z    x x yz x yz 2  x  y  z 0,5 x yz y  z 1 2  y  z  2 x  x  y  z  2 x  x x  1,5 3x  x  xz 2 2  x  y  z  3 y y  2,5 3 y  y  x y 2  x  y  z  3 z z 5   3 z  z  Nếu a + y + z ≠ :  b Tương tự các em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: x y z   x  y  z y  z 1 x  z 1 x  y  Nếu x + y + z ≠ => x + y + z = 0,5 1 x  ; y  ; z  2 ĐS : Nếu x + y + z = => x = y = z = 1 y 1 y 1 y   24 6x Bài 20 Tìm x biết rằng: 18 Giải:  y  y 1  y  y 1 y 8y     18 18  x 18  x 24 18  x 1 y 8y 1 y 24      24 18  x   y  18  x  18  x 24.2    x  6.4.2   x 8  x 5 Bài 21 Tìm x, y,z biết rằng: x y z   và xyz = 810 Giải: x y z x x x x y z xyz          2 2 30 x3  x  810    27  27 10  2  x 8.27 23.33  2.3  x 6 x y 3.6   y 9 mà z 15 Bài 22 Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng: x x x1 x2   n   n a1 a2 an  an và x1  x2  xn c ( a1 0, , an 0; a1  a2   an 0 ) Giải: x x x  x   xn x1 x2 c   n   n   a1 a2 an  an a1  a2   an a1  a2   an xi  Bài c.ai a1  a2   an đó: i = 1, 2,…, n 23 Tìm các số x; y;  x  y  :   z  :  y  z  :   y  3 :1: : Giải: Ta có: x  y 5 z y  z 9 y    k (1)  x  y   z   y  z    y x  y  1    x  y  k    k  x  y  x  y 3k   k 3k  2k  k 2   z k  z 5  k 5  3  y 5k  y 5k  10  1 x  y 3k  x 3k  y 6  5 Từ (1)  x 5    y 1  z 3  z ЄQ biết rằng: Bài 24 Tổng các luỹ thừa bậc ba số là -1009 Biết tỷ số số thứ và số thứ là ; số thứ và số thứ là Tìm số đó? Giải: Ta có: x3  y  z  1009 x x y x y      y 3 x x z x y z       z 9  x 4k , y 6k , z 9k 3 x3  y  z  4k    6k    9k  64k  216k  729k 1009k  1009     k   k  x  1.4  y  1.6  z  1.9  Bài 25 Tìm x, y biết : x 1 y  2 x  y    6x C./ LẬP TỈ LỆ THỨC a 5 b 6 a  (a 5, b 6) ? Bài 26 Cho a  b  tìm b a a  b  c 4 Bài 27 Cho a e d f và e - 3d + 2f 0  a  3b  2c Tìm d  3e  f D./ TOÁN ĐỐ (ngoài dạng đơn giản sgk giáo viên soạn bổ sung thêm) Bài 28 Có đội A; B; C có tất 130 người trồng cây Biết số cây người đội A; B; C trồng theo thứ tự là 2; 3; cây Biết số cây đội trồng Hỏi đội có bao nhiêu người trồng cây? Giải: + Gọi số người trồng cây đội A; B; C là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo bài ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z x y z x  y  z 130        10 12 12 12 6   13 x 60; y 10; z 30 Trả lời: Đội A; B; C có số người trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 Bài 29 Trường có lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B và số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh ít tổng số học sinh lớp là 57 bạn Tính số học sinh lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C là x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo bài ta có: x  y  z  1 và x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12  x y z x y z 57     18 16 15 18  16  15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 30 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng là 3150 và tỷ số 10 số thứ với số thứ là , số thứ với số thứ ba là Giải: Gọi ba số nguyên dương là: x; y; z Theo bài ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 x x 10 x y x z  ;    ;  y z 10 x y z    k 10 18  x 10k 2.5.k  y 18.k 32.2.k  z 7.k BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7 k=5  x=50; y = 90; z = 35 Vậy số nguyên dương là x = 50; y = 90; z = 35 E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC a c Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho số hữu tỷ b và d với b> 0; d >0 a c   ad  bc CM: b d Giải: a c    db cd   ad  bc b d  bd db  + Có b  0; d  0 ad  bc  ad bc a c     + Có: b  0; d   bd db b d a c a a c c     Tính chất 2: Nếu b > 0; d > thì từ b d b b  d d (Bài 5/33 GK Đ7) Giải: a c    b d   ad  bc(1)  + b  0; d  0 thêm vào vế (1) với ab ta có:  ad  ab  bc  ab ab d   cb d   a a c   2 b bd + Thêm vào hai vế (1) dc ta có:  1  ad  dc  bc  dc  d  a  c  c  b  d   a c c   3 bd d + Từ (2) và (3) ta có: a c a a c c     Từ b d b b  d d (đpcm) Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên a a a c 1  a, Nếu b thì b b  c a a a c 1  b, Nếu b thì b b  c Bài 31 Cho a; b; c; d > CMR: Giải: 1 a b c d    2 a b c b c  d c d a d  a b a 1 + Từ a  b  c theo tính chất (3) ta có: ad a   1 a  b  c  d a  b  c (do d>0) a a   2 Mặt khác: a  b  c a  b  c  d a a a d    3 + Từ (1) và (2) ta có: a  b  c  d a  b  c a  b  c  d Tương tự ta có: b b ba    4 a b c  d b c  d a b c  d c c c b    5 a b c  d c  d  a c  d  a b d d d c    6 d+a+b+c d  a  b a  b  c  d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế thì được: 1 a b c d    2 a b c b c  d c  d  a d  a b (đpcm) a c a ab  cd c    Bài 32 Cho b d và b; d  CMR: b b  d d Giải: a c a.b c.d ab cd     Ta có b d và b; d  nên b.b d.d b d ab ab  cd cd a ab  cd c   2   2 b b  d d (đpcm) Theo tính chất (2) ta có: b b  d d