Phuong phap toa do trong khong gian

Lập phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của 2 1 2 tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng ABC và vuông góc với đường thẳng d... Tìm điểm M trên  sao cho khoảng cách AM ngắn nhất..[r]

PP toạ độ không gian PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y  z –  Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)      (Q) qua A, B và vuông góc với (P)  (Q) có VTPT n   nP , AB   (0; 8; 12)   (Q) : y  3z  11  Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x  y  3z   ĐS: (Q) : x  y  z   Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm  x  1  t  A(2;1;3), B(1; 2;1) và song song với đường thẳng d :  y  2t  z  3  2t Câu    Ta có BA  (1;3;2) , d có VTCP u  (1;2; 2)  n  BA     Gọi n là VTPT (P)      chọn n   BA, u   (10; 4; 1) n  u  Phương trình (P): 10 x  y  z  19  Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có phương trình: x 1 y 1 z  x  y 1 z      , (d2 ) : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) và (d2 ) (d1 );  Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 = Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, 2 cho mặt cầu (S) có phương trình: x  y  z  x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá  véc tơ v  (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x  y  z  11  và tiếp xúc với (S)   (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = VTPT ( ) là n  (1; 4;1)     VTPT (P) là: nP   n, v   (2; 1;2)  PT (P) có dạng: x  y  z  m   m  21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(P ))    m  Vậy: (P): x  y  z   (P): x  y  z  21  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng x y 1 z x y 1 z  (d1 ) :    và (d2 ) :  Chứng minh điểm M , d1, d2 cùng 2 3 nằm trên mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó    d1 qua M1(0; 1;0) và có u1  (1; 2; 3) , d2 qua M2 (0;1; 4) và có u2  (1;2;5) Câu        u1; u2   (4; 8; 4)  , M1M2  (0;2; 4)  u1; u2  M1M2   d1, d2 đồng phẳng Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang PP toạ độ không gian  Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1, d2  (P) có VTPT n  (1;2; 1) và qua M1 nên có phương trình x  y  z   Kiểm tra thấy điểm M (1; – 1;1)  (P ) Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 y 3 z   và mặt cầu 2 (S): x  y  z2  x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S)   (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = d có VTCP u  (2;2;1)   (P) // d, Ox  (P) có VTPT n   u , i   (0;1; 2)  PT (P) có dạng: y  z  D  (P) tiếp xúc với (S)  d ( I ,( P ))  R   (P): y  z    1  D 12  22 D     D 3    D   (P): y  z    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x  y  z2  x  y   và mặt phẳng (P): x  z   Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; 1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)   (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nP  (1; 0;1) Câu PT (Q) qua M có dạng: A( x  3)  B( y  1)  C (z  1)  0, A2  B  C  (Q) tiếp xúc với (S)  d ( I ,(Q))  R  4 A  B  C  A2  B2  C   (Q)  ( P )  nQ nP   A  C   C   A (**) (*) Từ (*), (**)  B  A  A2  B  8B  A2  10 AB   A  B  A  4 B  Với A  2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2  PT (Q): x  y  z    Với A  4 B Chọn B = –7, A = 4, C = –4  PT (Q): x  y  z   Câu hỏi tương tự: a) Với (S ) : x  y  z2  x  y  z   , (P ) : x  y  z   0, M (1;1;2) ĐS: (Q) : x  y  z   (Q) :11x  10 y  z   Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x  y  z2 – x  y  z –  Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r   (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (P) chứa Ox  (P): ay + bz = Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính cho nên (P) qua tâm I Suy ra: –2a – b =  b = –2a (a  0)  (P): y – 2z = Câu Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x  y  z2  x  y  z –  x  y   và đường thẳng d :  Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu 2 x  z   (S) theo đường tròn có bán kính r   (S) có tâm I(1;1; 1) , bán kính R = PT mặt phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  (a2  b2  c  0) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang PP toạ độ không gian Chọn M (2;0; 2), N (3;1;0)  d  M  (P)  (1) Ta có:  N  (P )   a  b,2c  (a  b), d  3a  b 17a  7b,2c  (a  b), d  3a  b (2) d ( I ,(P ))  R  r  + Với (1)  (P): x  y  z   + Với (2)  (P): x  17 y  5z   Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : x y 1 z   , 1 x 1 y z   và mặt cầu (S): x  y  z2 – x  y  4z –  Viết phương trình 1 1 tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng 1 và 1 2 :  (P): y  z    (P): y  z    Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x  y  z2  x  y  z  11  và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi p  6  Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = (D  17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới () là h = Do đó 2.1  2(2)   D R  r  52  32   D  7   5  D  12    D  17 (loại) 22  22  (1)2 Vậy () có phương trình x  y – z –  Câu hỏi tương tự: a) (S ) : x  y  z2  x  y  z  11  , (a ) : x  y  2z  19  , p  8 ĐS: ( b ) : x  y  z   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang PP toạ độ không gian Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x  y  z  và cách điểm M(1; 2; –1) khoảng  PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax  By  Cz  (với A2  B  C  )  Vì (P)  (Q) nên: A  1.B  1.C   C   A  B (1)  d ( M ,( P ))   A  2B  C A2  B2  C   ( A  B  C )2  2( A2  B  C ) (2) B  (3) Từ (1) và (2) ta được: AB  5B    A  B  (4)   Từ (3): B =  C = –A Chọn A = 1, C = –1  (P): x  z   Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8  C =  (P): 5x  8y  3z  x 1 y  z   và 1 điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách d đường thẳng  và mặt phẳng (P) Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :  Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax  by  cz  2b  ( a2  b2  c2  )   qua điểm A(1; 3; 0) và có VTCP u  (1;1;4)  a  b  4c     ( P )  a  5b  Ta có:    a  4c  d ( A;( P ))  d  a   2c  2  a b c  Với a  4c Chọn a  4, c   b  8  Phương trình (P): x  8y  z  16   Với a  2c Chọn a  2, c  1  b   Phương trình (P): x  y  z   Câu hỏi tương tự: x y z 1 ; M (0;3; 2), d  a) Với  :   1 ĐS: ( P ) : x  y  z   ( P ) : x  8y  z  26  x  t  Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) :  y  1  2t và điểm  z  A(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)    (d) qua điểm M(0; 1;1) và có VTCT u  (1;2;0) Gọi n  (a; b; c) với a2  b2  c2  là VTPT (P) PT mặt phẳng (P): a( x  0)  b( y  1)  c( z  1)   ax  by  cz  b  c  (1)  Do (P) chứa (d) nên: u.n   a  2b   a  2b (2)  a  3b  2c 5b  2c d  A,(P )    3   5b  2c  5b2  c2 a2  b2  c 5b2  c2  4b2  4bc  c2    2b  c    c  2b (3) Từ (2) và (3), chọn b  1  a  2, c  2  PT mặt phẳng (P): x  y  z   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang PP toạ độ không gian Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M (1;1; 0), N (0; 0; 2), I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P)  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  (a2  b2  c2  0)  M  (P)   Ta có:  N  (P )   a  b,2c  a  b, d  a  b (1) 5a  7b,2c  a  b, d  a  b (2) d ( I ,(P ))  + Với (1)  PT mặt phẳng (P): x  y  z   + Với (2)  PT mặt phẳng (P): x  5y  z   Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2) , B(1;3;0) , C(3; 4;1) , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  (a2  b2  c2  0) a  b  2c  d   A  (P )  Ta có:  B  (P )  a  3b  d   3a  4b  c  d d (C ,(P ))  d ( D,(P )) a  2b  c  d    a2  b2  c2 a2  b2  c2    b  2a, c  4a, d  7a c  2a, b  a, d  4a + Với b  2a, c  4a, d  7a  (P): x  y  z   + Với c  2a, b  a, d  4a  (P): x  y  z   Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), B(2;1;3), C (2; 1;1), D(0;3;1) ĐS: ( P ) : x  y  7z  15  ( P ) : x  3z   Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; 1;2) , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( P ) khoảng cách từ C đến ( P )  Vì O  (P) nên ( P ) : ax  by  cz  , với a2  b2  c2  Do A  (P)  a  2b  3c  (1) và d ( B,( P ))  d (C ,( P ))   b  2c  a  b  c (2) Từ (1) và (2)  b  c   Với b  thì a  3c  (P ) : 3x  z   Với c  thì a  2b  ( P ) : x  y  Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2; 0), B(0;4;0), C (0;0;3) ĐS: 6 x  3y  z  x  3y  z  Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C(1;2; 2) và mặt phẳng (P): x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB  IC  PT ( ) có dạng: ax  by  cz  d  , với a2  b2  c2  Do A(1;1; 1)  ( ) nên: a  b  c  d  (1); ( )  ( P ) nên a  2b  2c  (2) IB  IC  d ( B,( ))  2d (C;( ))  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn a  b  2c  d a2  b2  c 2 a  2b  2c  d a2  b2  c Trang PP toạ độ không gian 3a  3b  6c  d   (3)   a  5b  2c  3d  Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau : a  b  c  d  1 3   b  a; c   a; d  a TH1 : a  2b  2c  2 3a  3b  6c  d  Chọn a   b  1; c  2; d  3  ( ) : x  y  z   a  b  c  d  3   b  a; c  a; d  a TH2 : a  2b  2c  2 a  5b  2c  3d  Chọn a   b  3; c  2; d  3  ( ) : x  3y  z   Vậy: ( ) : x  y  z   ( ) : x  3y  z   Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương x 2 y 2 z3 x 1 y  z 1     , d2 : Viết phương trình mặt phẳng cách 1 hai đường thẳng d1, d2 trình d1 :    Ta có d1 qua A(2;2;3) , có ud1  (2;1;3) , d2 qua B(1;2;1) và có ud  (2; 1; 4)    Do (P) cách d1, d2 nên (P) song song với d1, d2  nP  ud1, ud   (7; 2; 4)  PT mặt phẳng (P) có dạng: x  y  z  d  Do (P) cách d1, d2 suy d ( A,( P ))  d (B,(P ))  7.2  2.2  4.3  d  7.1  2.2  4.1  d  d   d 1  d  69 69  Phương trình mặt phẳng (P): 14 x  y  8z   Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương x   t x  y 1 z 1    trình d1 :  y   t , d2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) song song  2  z  với d1 và d2 , cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P)   Ta có : d1 qua A(1;2;1) và có VTCP u1  (1; 1;0)  d2 qua B(2;1; 1) và có VTCP là u2  (1; 2;2)     Gọi n là VTPT (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n  u1, u2   (2; 2; 1)  Phương trìnht (P): x  y  z  m  7m 5 m ; d (d2 ,( P ))  d (B,(P ))  3 17   m  2(5  m)  m  3; m   d (d1,(P ))  2d (d2 ,( P ))   m   m     m  2(5  m) 17 17 + Với m  3  ( P ) : x  y  z –  + Với m    (P) : x  y  z   3 d (d1,(P ))  d ( A;( P ))  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang PP toạ độ không gian Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0; 1;2) , B(1; 0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x  1)2  ( y  2)2  (z  1)2   (S) có tâm I(1;2; 1) , bán kính R  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  (a2  b2  c  0)  A  (P )   Ta có:  B  (P )   a  b, c  a  b, d  2a  3b 3a  8b, c  a  b, d  2a  3b d ( I ,(P ))  R + Với (1)  Phương trình (P): x  y   + Với (2)  Phương trình (P): x  3y  5z   (1) (2) Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và cách gốc tọa độ O khoảng lớn  Ta có d (O,( P ))  OA Do đó d (O,( P ))max  OA xảy  OA  ( P ) nên mặt phẳng (P)  cần tìm là mặt phẳng qua A và vuông góc với OA Ta có OA  (2; 1;1) Vậy phương trình mặt phẳng (P): x  y  z   Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có x 1 y z 1   Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn  Gọi H là hình chiếu A trên d  d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH  HI  HI lớn A  I Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm VTPT  (P): x  y  5z  77  phương trình: Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số  x  2  t; y  2t; z   2t Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc A trên (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa  và có khoảng cách đến (d) là lớn  Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì ( P )  (d ) (P )  (d ) Gọi H là hình chiếu vuông góc I trên (P) Ta luôn có IH  IA và IH  AH d (d ,(P ))  d ( I ,(P ))  IH Mặt khác  H  (P) Trong (P), IH  IA ; đó maxIH = IA  H  A Lúc này (P) vị trí (P0)  IA A    Vectơ pháp tuyến (P0) là n  IA   6; 0; 3 , cùng phương với v   2;0; 1 Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2( x  4)  1.( z  1)  x  z   x 1 y z    và điểm 2 A(2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  (a2  b2  c2  0)   (P) có VTPT n  (a; b; c) , d qua điểm M(1; 0;2) và có VTCP u  (2;1;2)  M  (P)   Vì (P)  d nên     a  2c  d   2c  (2a  b) Xét trường hợp: n.u   a  b  2c  d  a  b Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang PP toạ độ không gian TH1: Nếu b = thì (P): x  z   Khi đó: d ( A,( P ))  TH2: Nếu b  Chọn b  ta (P): 2ax  y  (2a  1)z  2a   9 Khi đó: d ( A,( P ))   3 2 8a  4a   1  2a     2 1 Vậy max d ( A,( P ))   2a    a   Khi đó: (P): x  y  z   Câu hỏi tương tự: x 1 y 1 z    , A(5;1;6) a) d : ĐS: (P ) : x  y  z   x 1 y  z   , A(1; 4;2) b) d : ĐS: (P ) : x  13y  z  21  1 Câu 26 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2) và N(1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểm K(0; 0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn  PT (P) có dạng: Ax  B( y  1)  C ( z  2)   Ax  By  Cz  B  2C  ( A2  B2  C  0) N (1;1;3)  ( P )   A  B  3C  B  2C   A  B  C  (P ) : (2 B  C ) x  By  Cz  B  2C  ; d ( K ,( P ))  B 2 B  2C  BC  Nếu B = thì d(K, (P)) = (loại)  Nếu B  thì d ( K ,(P ))  B  2 C    1  B  Dấu “=” xảy B = –C Chọn C = Khi đó PT (P): x  y – z   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn B  2C  4BC  Trang PP toạ độ không gian Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng (): x 1 y z   và tạo với mặt phẳng (P) : x  y  z   góc 600 Tìm tọa độ giao 1 2 điểm M mặt phẳng () với trục Oz    () qua điểm A(1;0; 0) và có VTCP u  (1; 1; 2) (P) có VTPT n  (2; 2; 1)     Giao điểm M (0;0; m) cho AM  (1; 0; m) () có VTPT n   AM , u   (m; m  2;1) () và (P): x  y  z   tạo thành góc 600 nên : 1   cos  n, n      2m  4m    m   hay m   2 2m2  4m  Kết luận : M(0; 0;2  2) hay M(0; 0;2  2) Câu 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng (a ) : x – y –  , (  ) : x – z  và tạo với mặt phẳng 2  Lấy A(0;1;0), B(1;3;2) d (P) qua A  PT (P) có dạng: Ax  By  Cz – B  (P) qua B nên: A  3B  2C – B   A  (2B  2C )  ( P ) : (2 B  2C ) x  By  Cz – B  (Q) : x – y  z –  góc  mà cos   cos   2 B  2C  B  2C (2B  2C )2  B2  C  2  13B  8BC – 5C  13 + Với B  C   ( P ) : 4 x  y  z –  + Với B  , C   ( P ) : 23 x  5y  13z –  13 Chọn C   B  1; B  Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 3), B(2; 1; 6) và mặt phẳng ( P ) : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) góc  thoả mãn cos    PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax  by  cz  d  (a2  b2  c2  0)  a  2b  3c  d   A  (Q)   Ta có:  B  (Q)  2a  b  6c  d    a  4b, c  3b, d  15b   a  b, c  0, d   b  a  2b  c cos      6  a2  b2  c2    Phương trình mp(Q): x  y  3z  15  (Q): x  y   Câu hỏi tương tự: a) A(0;0;1), B(1;1; 0) , (P )  (Oxy),cos   ĐS: (Q): x  y  z   (Q): x  y  z   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang PP toạ độ không gian x  y  z   Viết 2 x  y  z   phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :    600  ĐS: (P ) : x  y  z    (P ) : x  y  z    Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x  y  5z   và (Q) : x  y  8z  12  Lập phương trình mặt phẳng ( R) qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) góc a  450  Giả sử PT mặt phẳng (R): ax  by  cz  d  (a2  b2  c2  0) Ta có: ( R)  ( P )  5a  2b  5c   cos(( R),(Q))  cos 450  (1); a  4b  8c  (2) a2  b2  c2  a  c Từ (1) và (2)  7a2  6ac  c2     c  7a  Với a  c : chọn a  1, b  0, c  1  PT mặt phẳng ( R) : x  z   Với c  7a : chọn a  1, b  20, c   PT mặt phẳng ( R) : x  20 y  7z  Câu hỏi tương tự: a) Với ( P ) : x  y  z  0,(Q)  (Oyz), M (2; 3;1),a  450 ĐS: ( R) : x  y   ( R) : x  3y  z  23  Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: x 1 y 1 z 1 x y z 1 :    Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 và và 2 :  1 2 tạo với 2 góc a  300  Đáp số: (P): x  11y  z   (P): x  y  z   Câu hỏi tương tự: x y2 z x 2 y 3 z5 a) Với 1 :   , 2 :   , a  300 1 1 ĐS: (P): x  y  z   (P): x  y  z   x 1 y z  x y  z 1    b) 1 : , 2 :  , a  300 2 1 1 ĐS: (P): (18  114) x  21y  (15  114)z  (3  114)  (P): (18  114) x  21y  (15  114)z  (3  114)  Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 450 , 30     Gọi n  (a; b; c) là VTPT (P) Các VTCP trục Ox, Oy là i  (1;0; 0), j  (0;1; 0)  sin(Ox ,(P ))    a  b Ta có:  c  b sin(Oy,( P ))   PT mặt phẳng (P): 2( x  1)  ( y  2)  ( z  3)   2( x  1)  ( y  2)  (z  3)  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 10 PP toạ độ không gian Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x  y  z   và đường x 1 y 1 z    Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo 1 với mặt phẳng (Q) góc nhỏ thẳng d :   PT mặt phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  (a2  b2  c2  0) Gọi a  (( P ),(Q))  M  ( P ) c   a  b Chọn hai điểm M (1; 1;3), N (1;0; 4)  d Ta có:    N  (P)  d  7a  b ab  (P): ax  by  (2a  b)z  7a  4b   cos   5a2  4ab  2b2 TH1: Nếu a = thì cos   TH2: Nếu a  thì cos   6 b 2b2   a  300 1 b a b b   2  a a Đặt x  b và f ( x )  cos2  a x2  2x  Xét hàm số f ( x )   4x  2x2 Dựa vào BBT, ta thấy f ( x )   cos    a  900  300 Do đó có trường hợp thoả mãn, tức a = Khi đó chọn b  1, c  1, d  Vậy: (P): y  z   Câu hỏi tương tự: x 1 y  z   a) Với (Q): x  y  z –  , d : ĐS: ( P ) : x  y  5z 3  1 x 1 y  z   b) Với (Q)  (Oxy ), d : ĐS: ( P ) : x  y  z   1  x  t  c) Với (Q) : x  y  z   , d :  y  1  2t ĐS: ( P ) : x  y  z    z   t Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (1; 1;3), N (1; 0; 4) và mặt phẳng (Q): x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N và tạo với (Q) góc nhỏ  ĐS: (P ) : y  z   Câu hỏi tương tự: a) M (1;2; 1), N (1;1;2),(Q)  (Oxy ) ĐS: ( P ) : x  3y  5z   x   t  Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  2  t Viết phương  z  2t trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy góc lớn   PT mặt phẳng (P) có dạng: ax  by  cz  d  (a2  b2  c2  0) Gọi a  (( P ), Oy )  M  ( P )  2c  a  b Chọn hai điểm M (1; 2; 0), N (0; 1;2)  d Ta có:    N  (P )  d   a  2b Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 11 PP toạ độ không gian  (P): ax  by  ab 2b z  a  2b   sin   2 5a  5b  2ab TH1: Nếu b = thì a  00 TH2: Nếu b  thì sin   Đặt x  a a 5    b b Xét hàm số f ( x )  a và f ( x )  sin2 a b Dựa vào BBT, ta max f ( x )   x   a  00 5x  x  a Vậy  lớn  Chọn a  1, b  5, c  2, d   (P): x  5y  z   b x 1 y  z Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :   và 1 x  y 1 z d2 :   Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 cho góc mặt phẳng 1 (P) và đường thẳng d2 là lớn   d1 qua M(1; 2; 0) và có VTCP u  (1;2; 1) Vì d1  (P ) nên M  ( P ) PT mặt phẳng (P) có dạng: A( x  1)  B( y  2)  Cz  ( A2  B2  C  0)  Ta có: d  (P )  u.n   C  A  B  P ), d2 )  sin a  Gọi a  (( TH1: Với B = thì sina  TH2: Với B  Đặt t  Xét hàm số f (t )  (4 A  3B)2  2 A2  AB  5B2 A  AB  5B 2 (4t  3)2 A , ta được: sina  2t  4t  B (4t  3)2 2 t  4t  Khi đó sin a  f (7)  A  3B Dựa vào BBT ta có: max f (t )  25 A t  7   7 B A  7 B  Phương trình mặt phẳng (P) : x  y  5z 9  So sánh TH1 và TH2   lớn với sin a  x 1 y  z 1   và điểm 1 1 A(2; 1;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ  ĐS: (P ) : x  y  2z   Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x  y  z   và điểm A(1;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy góc lớn  ĐS: (P ) : y  z  ( P ) : x  5y  z   Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 12 PP toạ độ không gian Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ I, J, K mà A là trực tâm tam giác IJK x y z  Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c)  ( P ) :    a b c 4    a  b  c  77 77 77 IA  (4  a ;5;6), JA  (4;5  b ;6)    5b  6c   a  ; b  ; c  JK  (0;  b; c), IK  (a; 0; c) 4a  6c  Vậy phương trình mặt phẳng (P): x  5y  z  77  Câu hỏi tương tự: a) Với A(–1; 1; 1) ĐS: (P): x  y  z   Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh rằng: b  c  bc Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ x y z 1 bc  PT mp (P) có dạng:    Vì M  ( P ) nên     b  c  b c b c   Ta có AB(2; b; 0) , AC (2; 0; c) Khi đó S  b2  c2  (b  c)2 Vì b2  c  2bc; (b  c)2  4bc nên S  6bc Mà bc  2(b  c)  bc  bc  16 Do đó S  96 Dấu "=" xảy  b  c  Vậy: S  96 b  c  Câu 42 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng ( P ) : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy điểm B, C cho tam giác ABC có diện tích  Vì (Q) // (P) nên (Q): x  y  z  d  (d  4) Giả sử B  (Q)  Ox , C  (Q)  Oy    B(d ;0; 0), C (0; d ;0) (d  0) S ABC   AB, AC    d  2  (Q) : x  y  z   Câu 43 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3; 0;0), B(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz M cho tam giác ABC có diện tích  ĐS: ( P ) : x  y  2z   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 13 PP toạ độ không gian Dạng 6: Các dạng khác viết phương trình mặt phẳng Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ  Giá sử A(a;0; 0)  Ox, B(0; b; 0)  Oy, C (0; 0; c)  Oz (a, b, c  0) x y z Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng:    a b c 1 Ta có: M (9;1;1)  (P )     (1); VOABC  abc (2) a b c (1)  abc  9bc  ac  ab ≥ 3 9(abc)2  (abc)3  27.9(abc)2  abc  243 a  27 9bc  ac  ab  x y z     Dấu "=" xảy   1  b   (P): 27 3 c   a  b  c  Câu hỏi tương tự: x y z 1 a) Với M(1;2; 4) ĐS: ( P ) :   12 Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA  OB  OC có giá trị nhỏ  ĐS: ( P ) : x  y  3z  14  Câu 46 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA  OB  OC có giá trị nhỏ x y z   1  ĐS: ( P ) :   10  10  15   15 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 14 PP toạ độ không gian 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng cách xác định vectơ phương x 1 y 1 z    và mặt phẳng P : x  y  z   Viết phương trình đường thẳng  qua A(1;1; 2) , song song với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng d Câu 47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y 1 z       u  ud ; nP   (2;5; 3)  nhận u làm VTCP   :   3 Câu 48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x  t ; y  1  2t ; z   t ( t  R ) và mặt phẳng (P): x  y  z   Viết phương trình tham số đường thẳng  nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d)  Gọi A = d  (P)  A(1; 3;1) Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d:  x  y  z    là giao tuyến (P) và (Q)  :  x   t; y  3; z   t Câu 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng : x 1 y 1 z   Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M, cắt và vuông góc 1 với     u  (2;1; 1) Gọi H = d   Giả sử H (1  2t; 1  t; t )  MH  (2t  1; t  2; t )     MH  u  2(2t  1)  (t  2)  (t )   t   ud  3MH  (1; 4; 2) x   t   d:  y   4t  z  2t Câu 50 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + = và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc đường thẳng AB trên (P)  Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P)  (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = (D) = (P)  (Q) suy phương trình (D) Câu 51 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc  x  2z  đường thẳng d :  trên mặt phẳng P : x  y  z   3x  y  z    x  4t    PTTS d:  y    7t Mặt phẳng (P) có VTPT n  (1; 2;1)  z  t   11      Gọi A  d  (P )  A  4; ;2  Ta có B  0;  ;0   d , B  0;  ;   (P )        4 Gọi H ( x; y; z) là hình chiếu vuông góc B trên (P) Ta tìm H   ; ;    3 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 15 PP toạ độ không gian Gọi  là hình chiếu vuông góc d trên (P)   qua A và H  x   16t    11    có VTCP u  3HA  (16;13;10)  Phương trình :  y   13t   z   10t Câu hỏi tương tự:  x   23m x 1 y 1 z     a) Với d : , ( P ) : x  3y  z   ĐS:  :  y   29m  z   32m Câu 52 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C giao điểm mặt phẳng  P : x  y  3z   với Ox, Oy, Oz Lập phương trình đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P)  Ta có: ( P )  Ox  A(1; 0;0); (P )  Oy  B(0;3;0); (P )  Oz  C (0; 0;2) Gọi  là đường thẳng vuông góc (OAB) trung điểm M AB; () là mặt phẳng trung 1  trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Ta có: I    (a )  I  ; ;1  2  Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì IJ  (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ   x   6t   Phương trình đường thẳng d:  y   2t  z   3t  Câu 53 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 1), B(2;1;1); C (0;1;2) và x 1 y 1 z    Lập phương trình đường thẳng  qua trực tâm 1 tam giác ABC, nằm mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d      Ta có AB  (1; 1;2), AC  (1; 1;3)   AB, AC   (1; 5; 2) đường thẳng d :  phương trình mặt phẳng (ABC): x  5y  2z   Gọi trực tâm tam giác ABC là H (a; b; c) , đó ta có hệ:    BH AC   a  b  2c  a       CH AB   a  b  3c   b   H (2;1;1)  H   ABC  a  5b  2c  c   Do đường thẳng  nằm (ABC) và vuông góc với (d) nên:   u  nABC     u   nABC , ud   (12;2; 11) u  u d   Vậy phương trình đường thẳng  : Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn x  y 1 z 1   12 11 Trang 16 PP toạ độ không gian Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác Câu 54 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương x 1 y 1 z   Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M, cắt và 1 vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua d  x   2t    PTTS d:  y  1  t d có VTCP u  (2;1; 1)  z  t trình d :  Gọi H là hình chiếu M trên d  H (1  2t; 1  t; t )  MH  (2t  1; 2  t; t )       2  H  ;  ;   , MH   ;  ;   3 3 3 3 3 x  y 1 z   Phương trình đường thẳng : 4 2 8 4 Gọi M là điểm đối xứng M qua d  H là trung điểm MM  M   ;  ;   3 3 Câu hỏi tương tự: x 1 y z  x  y 1 z      a) M (4; 2;4); d : ĐS:  : 1 1 Ta có MH  d  MH u   t  Câu 55 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x y 1 z 1 và hai điểm A(1;1; 2) ,   1 B(1;0;2) Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc với d cho khoảng cách từ B tới  là nhỏ   d có VTCP ud  (1;2; 1) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên (P) đó đường thẳng  qua A và H thỏa YCBT Ta có: (P): x  y  z   Giả sử H ( x; y; z) H  (P ) 1 2 Ta có:     H ; ;  3 3  BH , ud cuøng phöông  x 1 y 1 z      u  AH  (2;5;8)  Phương trình : 2 x 1 y z 1   và hai điểm 1 A(1;2; 1), B(3; 1; 5) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và cắt đường thẳng  cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  :    Giả sử d cắt  M  M (1  2t;3t; 1  t ) , AM  (2  2t;3t  2; t ), AB  (2; 3; 4) Gọi H là hình chiếu B trên d Khi đó d ( B, d )  BH  BA Vậy d ( B, d ) lớn BA    H  A  AM  AB  AM AB   2(2  2t )  3(3t  2)  4t   t  x 1 y  z 1  M(3;6; 3)  PT đường thẳng d :   1 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 17 PP toạ độ không gian Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường x 1 y 1 z   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B và cắt đường thẳng thẳng : 1  điểm C cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ  x  1  2t   Phương trình tham số :  y   t Điểm C   nên C (1  2t;1  t;2t )  z  2t     AC  (2  2t; 4  t;2t ); AB  (2; 2;6) ;  AC , AB   (24  2t;12  8t;12  2t )       AC , AB   18t  36t  216  S   AC , AB  = 18(t  1)2  198 ≥ 198 x 3 y 3 z6   Vậy Min S = 198 t  hay C(1; 0; 2)  Phương trình BC: 2 3 4 x 1 y  z    và mặt 2 phẳng (P): x + 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng  song song với mặt phẳng (P), qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d) Câu 58 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :  x  1  3t    Đường thẳng (d) có PTTS:  y   2t Mặt phẳng (P) có VTPT n  (1; 3; 2)  z   2t  Giả sử N(1 + 3t ;  2t ; + 2t)  d  MN  (3t  3; 2t;2t  2)   Để MN // (P) thì MN n   t   N(20; 12; 16) x 2 y 2 z4   Phương trình đường thẳng : 7 Câu hỏi tương tự: x y 1 z  x 1 y  z     a) d :  , ( P ) : x  3y  z   , M(2;2;4) ĐS:  : 1 1 x 1 y  z 1 x 2 y z2     b) d : , (P ) : x  y  z   , M(1;2; – 1) ĐS:  : 9 5 x  y  z 1 x 3 y 2 z     c) , ( P ) : x  y  3z   , M(3; 2; 4) ĐS:  : 2 6 Câu 59 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : x  y  z  29  và hai điểm A(4; 4;6) , B(2;9;3) Gọi E , F là hình chiếu A và B trên ( ) Tính độ dài đoạn EF Tìm phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng ( ) đồng thời  qua giao điểm AB với ( ) và  vuông góc với AB    19   AB  (2;5; 3), na  (3; 2;1) , sin( AB,( ))  cos( AB, na )  532 EF  AB.cos( AB,( ))  AB  sin2 ( AB,( ))  38  361 171  532 14 x   t      AB cắt ( ) K(6; 1;9) ; u  AB, n  (1; 7;11) Vậy  :  y  1  7t    z   11t  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 18 PP toạ độ không gian Câu 60 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần x 1 y z 1   Lập 1 phương trình đường thẳng  nằm (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d) lượt có phương trình: ( P ) : x  y  z  0, (Q) : x  3y  3z   0, (d ) :      (P), (Q) có VTPT là nP  (1; 2;1), nQ  (1; 3;3)   nP , nQ   (3; 2; 1) PTTS (d): x   2t, y  t, z   t Gọi A = (d)  ()  A(1  2t; t;1  t ) Do A  (P) nên:  2t  2t   t   t  2  A(3; 2; 1)   u  n    Theo giả thiết ta có:   P  u   nP , nQ   (3; 2; 1) u  n Q   x  y  z 1   Vậy phương trình đường thẳng () : Câu 61 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 1), B(2;1;1), C (0;1;2) và x 1 y 1 z    Lập phương trình đường thẳng  qua trực tâm 1 tam giác ABC, nằm mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d) đường thẳng (d ) :      Ta có AB  (1; 1;2), AC  (1; 1;3)   AB, AC   (1; 5; 2)  phương trình (ABC): x  5y  z      BH AC   a  b  2c  a       Gọi trực tâm ABC là H (a; b; c) CH AB   a  b  3c   b   H (2;1;1)  H  ( ABC ) a  5b  2c  c     u  nABC     u   nABC , nd   (12;2; 11) Do ()  (ABC) và vuông góc với (d) nên:    u  ud  PT đường thẳng  : x  y 1 z 1   12 11 Câu 62 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   , đường x  y 1 z    và điểm A(2;3;4) Viết phương trình đường thẳng  nằm 1 trên (P), qua giao điểm d và (P), đồng thời vuông góc với d Tìm điểm M trên  cho khoảng cách AM ngắn thẳng d :   u  n   Gọi B = d  (P)  B(1; 0;4) Vì   ( P ) nên   P   d u  ud    Do đó ta có thể chọn u   nP , ud   (1; 1; 1)  PT :  x  1  t   y  t  z   t   14 14 Giả sử M (1  t; t;  t )    AM  3t  8t  10   t     3  3  16   16  Dấu "=" xảy  t    M   ; ;  Vậy AM đạt GTNN M   ; ;   3 3  3 3 Câu hỏi tương tự: Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 19 PP toạ độ không gian x   t  a) ( P ) : x  y  z   , d :  y  3  2t  z   t x  t  ĐS:  :  y  1 z   t  Câu 63 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm : A(3; 1;1) , đường thẳng x y2 z   , mặt phẳng ( P ) : x – y  z 5  Viết phương trình đường thẳng d 2 qua điểm A , nằm ( P) và hợp với đường thẳng  góc 450     Gọi ud , u lần lươt là các VTCP d và  ; nP là VTPT ( P)    Đặt ud  (a; b; c), (a2  b2  c2  0) Vì d nằm ( P) nên ta có : nP  ud  a– bc 0  b ac Theo gt: (d , )  450  ( ) a  b  2c a2  b2  c2   2(a  2b  c)2  9(a2  b2  c2 ) (2) 15a x   t  + Với c  : chọn a  b   PTTS d là :  y  1 – t  z  Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c  30ac   c  0; c   15a + Với c   : chọn a  7, c  15, b  8 .PTTS d là:  x   7t   y  1 – 8t  z  – 15t x  y  z 1   và mặt phẳng 1 (P): x  y  z   Gọi M là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng  Câu 64 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: nằm mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới  42  x   2t     PTTS d:  y  2  t  M(1; 3; 0) (P) có VTPT nP  (1;1;1) , d có VTCP ud  (2;1; 1)  z  1  t    Vì  nằm (P) và vuông góc với d nên VTCP u  ud , nP   (2; 3;1)  Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc M trên  , đó MN  ( x  1; y  3; z)   MN  u x  y  z      Ta có  N  ( P )  2 x  3y  z  11   N(5; –2; –5) N(–3; – 4; 5) 2  MN  42 ( x  1)  ( y  3)  z  42   x 5 y 2 z5    Với N(5; –2; –5)  Phương trình  : 3 x 3 y 4 z5    Với N(–3; – 4; 5)  Phương trình  : 3 Câu 65 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (  ): x  y  z   , hai đường thẳng (): x 1 y z x y z 1   , ():   Viết phương trình đường thẳng (d) nằm 1 1 1 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 20 PP toạ độ không gian mặt phẳng (  ) và cắt (); (d) và () chéo mà khoảng cách chúng    () có VTPT n  (1;1; 1) , () có VTCP u  (1; 1;1)  ()  ()  Gọi A  ()  (a )  A(0; 0; 1) ; B  ()  (a )  B(1;0; 0)  AB  (1;0;1) Vì (d)  () và (d) cắt () nên (d) qua A và ()  () nên đường thẳng nằm () và không qua B chéo với ()    Gọi ud  (a; b; c) là VTCP (d)  ud n  a  b  c  (1)   và ud không cùng phương với AB (2)   AB, u  d  Ta có: d (d , )  d (B, d )     ud 2b2  (a  c)2 a2  b2  c2  (3) a  Từ (1) và (3)  ac    c  x     Với a  Chọn b  c   ud  (0;1;1)  d :  y  t  z  1  t x  t    Với c  Chọn a   b   ud  (1; 1;0)  d :  y  t  z  1 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 21 PP toạ độ không gian Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung hai  x   7t x 7 y 3 z9    và 2 :  y   2t 1  z   3t x   t '   Phương trình tham số 1 :  y   2t '  z   t ' Gọi M và N là giao điểm đường vuông góc chung với 1 và 2  M(7 + t;3 + 2t;9 – t) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t) đường thẳng: 1 :   VTCP 1 và 2 là a = (1; 2; –1) và b = (–7;2;3)      MN  a  MN a  Ta có:        Từ đây tìm t và t  Toạ độ M, N  MN  b  MN b  Đường vuông góc chung  chính là đường thẳng MN Câu hỏi tương tự: x   t  x  2  t '   2 x – y  10 z – 47  a) Với (1 ) :  y  1  2t , (2 ) :  y  t ' ĐS:  :   x  3y – z    z   z   4t ' Câu 67 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm x  y  z 1 2 x  3y  11    và d2 : M  4; 5;3  và cắt hai đường thẳng: d1 :  5  y  2z    x   3t1  x   2t2    Viết lại phương trình các đường thẳng: d1 :  y  7  2t1 , d2 :  y  1  3t2 z  t  z   5t   Gọi A  d  d1, B  d  d2  A(5  3t1; 7  2t1; t1 ) , B(2  2t2 ; 1  3t2 ;1  5t2 )   MA  (3t1  9;2t1  2; t1  3) , MB  (2t2  6;3t2  4; 5t2  2)    MA, MB   (13t t  8t  13t  16; 13t t  39t ; 13t t  24t  31t  48) 12 12 12      t  M, A, B thẳng hàng  MA, MB cùng phương   MA, MB     t2    A(1; 3;2), B(2; 1;1)  AB  (3;2; 1)  x  4  3t   Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB  (3;2; 1)  d :  y  5  2t  z   t Câu hỏi tương tự: x  t x y2 z   a) M(1;5;0), d1 :  , d2 :  y   t ĐS: 3 3  z  1  2t b) M(3; 10; 1) , d1 : x  y 1 z  x  y  z 1     , d2 : 2 1 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn  x   2t  ĐS: d :  y  10  10t  z   2t Trang 22 PP toạ độ không gian Câu 68 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1, 2 và mặt phẳng (  ) có x   t x 1 y 1 z     , ( ) : x  y  z   Viết phương phương trình là 1 :  y   3t , 2 : 1  z  t trình đường thẳng d qua giao điểm 1 với (  ) đồng thời cắt 2 và vuông góc với trục Oy x   t  t  1  y   3t  x   Toạ độ giao điểm A (  ) và 1 thoả mãn hệ    A(1;2; 1) z  t y     x  y  z    z  1  Trục Oy có VTCP là  j  (0;1;0) Gọi d là đường thẳng qua A cắt 2    B(1  t; 1  t; 2  2t ) AB  (t; t  3;2t  1); d  Oy  AB j   t   AB  (3;0;5)  x   3u  Đường thẳng d qua A nhận AB  (3;0;5) làm VTCP có phương trình là  y   z  1  5u   x  1 t  Câu 69 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 :  y   2t , đường thẳng d2  z   2t  là giao tuyến hai mặt phẳng (P): x – y –  và (Q): x  y  z –  Gọi I là giao điểm d1, d2 Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2 B và C cho tam giác BIC cân đỉnh I  PTTS d2 :  x  t '; y  1  2t '; z   2t ' I  d1  d2  I (1;1;1) Giả sử: B(1  t;1  2t;1  2t )  d1,C (t '; 1  2t ';3  2t ')  d2 (t  0, t '  1)  IB  IC BIC cân đỉnh I       t   Phương trình d :  x  2; y  3; z   2t [ AB , AC ]  t '  Câu 70 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 3y  11z  và hai x y 3 z 1 x  y z3 = = , = = Chứng minh d1 và d2 chéo 1 1 Viết phương trình đường thẳng  nằm trên (P), đồng thời  cắt d1 và d2  Toạ độ giao điểm d1 và (P): A(–2;7;5) Toạ độ giao điểm d2 và (P): B(3;–1;1) x2 y7 z5   Phương trình đường thẳng : 8 4 đường thẳng d1: Câu 71 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): x  12 y  3z   và (Q): x  y  z   , (d1): x  y  z 1 , (d2):   4 x  y 1 z    Viết phương trình đường thẳng () song song với hai mặt phẳng (P), 2 (Q) và cắt (d1), (d2)    (P) có VTPT nP  (1; 4;  1) , (Q) có pháp vectơ nQ  (3;  4; 9) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 23 PP toạ độ không gian   (d1) có VTCP u1  (2;  4; 3) , (d2) có VTCP u2  (2; 3; 4) (1)  ( P )  (Q) (P )  (d ),(P )  ( P )  1 Gọi:   () = (P1)  (Q1) và () // (1) (Q1 )  (d2 ),(Q1 )  (Q)   u  u1    () có vectơ phương u  [nP ; nQ ]  (8;  3;  4)      (P1) có cặp VTCP u1 và u nên có VTPT: nP1  [u1; u ]  (25; 32; 26) Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) =  25 x  32 y  26 z  55       (Q1) có cặp VTCP u2 và u nên có VTPT: nQ1  [u2 ; u ]  (0; 24;  18) Phương trình mp (Q1): 0( x  3)  24( y  1)  18( z  2)   y  x  10  25 x  32 y  26 z  55  Ta có: ()  ( P1 )  (Q1 )  phương trình đường thẳng () :  4 y  3z  10  Câu 72 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y  z –  và hai x  y 1 z x3 y5 z7     và 2 1 2 Viết phương trình đường thẳng (  ) song song với mặt phẳng (P), cắt (d1) và (d2 ) A và B cho AB =  A  (d1)  A(4  2t;1  2t; t ) ; B  (d2 )  B(3  2t; 5  3t;7  2t) đường thẳng (d1), (d2) có phương trình   AB  (7  2t  2t; 6  3t  2t;  2t  t ) , nP  (2; 1;2)     t   Từ giả thiết ta có:  AB.nP     A(2; 1;1), AB  (1;2;2)  t  1  AB  x  y 1 z 1    Phương trình đường thẳng (): 1 2 Câu 73 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và hai x 1 y  z  x 1 y 1 z      , d2 : Viết phương trình đường 3 thẳng  song song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 điểm E có hoành độ đường thẳng d1 :     d1 có VTCP u1  (2;1;3) , d2 có VTCP u2  (2;3;2) , (P) có VTPT n  (2; 1;1)  Giả sử  có VTCP u  (a; b; c) , E  d2 có xE   E(3; 1;6)    ( P ) u.n     Ta có:      2a  b  c   a  c  Chọn u  (1;1; 1) 2a  b  3c   b  c u.u1    d1  PT đường thẳng :  x   t; y  1  t; z   t Câu 74 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) và mặt phẳng (P) có phương x 1 y  z x  y 1 z 1   , ( d2 ) :   ; ( P ) : x  y  z   Lập phương 2 1 trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d1 ),(d2 ) A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ trình: (d1 ) : Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 24 PP toạ độ không gian   Đặt A(1  a; 2  2a; a), B(2  2b;1  b;1  b)  AB  (a  2b  3; 2a  b  3; a  b  1)    Do AB // (P) nên: AB  nP  (1;1; 2)  b  a  Suy ra: AB  (a  5; a  1; 3) AB  (a  5)2  (a  1)2  (3)2  2a2  8a  35  2(a  2)2  27  3  a  Suy ra: AB  3   , A(1;2;2) , AB  (3; 3; 3)  b  2 x 1 y  z    Vậy d : 1 Câu 75 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) : x  y  z  10   1 x  t  và (d2 ) :  y   t Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1)  z  4  2t A, cắt (d2) B Tính AB  Giả sử: A(8  2t1;6  t1;10  t1 )  d1, B(t2 ;2  t2 ; 4  2t2 )  d2   AB  (t2  2t1  8; t2  t1  4);2t2  t1  14)   t  t   t  22 AB, i  (1; 0;0) cùng phương    1 2t2  t1  14   A(52; 16;32), B(18; 16;32) t2  18  Phương trình đường thẳng d:  x  52  t; y  16; z  32  x  23  8t  Câu 76 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):  y  10  4t và (d2):  z  t x 3 y 2 z   Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt hai 2 đường thẳng (d1), (d2)  Giả sử A(23  8t1; 10  4t1; t1)  d1, B(3  2t2 ; 2  2t2 ; t2 )  d2   AB  (2t2  8t1  26; 2t2  4t1  8; t2  t1 )  17 t1  2t2  8t1  26   17  AB // Oz  AB, k cuøng phöông     A  ; ;   3 6 2t2  4t1   t2     17  Phương trình đường thẳng AB:  x   ; y  ; z   t 3    Câu 77 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và 6 x  y  z  đường thẳng (d):  Viết phương trình đường thẳng  // (d) và cắt các 6 x  3y  z  24  đường thẳng AB, OC  Phương trình mặt phẳng () chứa AB và song song d: (): 6x + 3y + 2z – 12 = Phương trình mặt phẳng () chứa OC và song song d: (): 3x – 3y + z = Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 25 PP toạ độ không gian   là giao tuyến () và ()  : 6 x  3y  2z  12  3 x  3y  z  Câu 78 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD  Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P)  (Oxy)  (P): 5x – 4y = (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q)  (Oxy)  (Q): 2x + 3y – = Ta có (D) = (P)(Q)  Phương trình (D) Câu 79 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:  x  1  2t x y z  d1 :  y  t   Xét vị trí tương đối d1 và d2 Viết phương trình và d2 : 1  z   t đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với d2   Đường thẳng  cần tìm cắt d A(–1–2t; t; 1+t)  OA = (–1–2t; t; 1+t)   d  d2  OA.u2   t  1  A(1; 1; 0)  PTTS d : x  t; y  t; z  Câu hỏi tương tự:  x  2  2t  x  y z 1   a) Với M(1;1;1) , (d1 ) : , (d2 ) :  y  5t 2  z   t ĐS: d : x 1 y 1 z 1   1 Câu 80 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình: x  t x  t '   (d1) :  y   t và (d2) :  y  3t '   z   2t  z  t '  Gọi K là hình chiếu vuông góc điểm I(1; –1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)    (d1) có VTCP u1  (1; 1; 2) ; (d2) có VTCP u2  (1; 3; 1)   K (d2 )  K (t; 3t  6; t  1)  IK  (t  1; 3t  5; t  2)   18 12  18  K ;  ;  11  11 11 11    18  56 59 Giả sử (d ) cắt (d1) H (t;  t;  2t ), (H  (d1 )) HK    t;   t;   2t  11 11  11  IK  u2  t   9t  15  t    t     18 56 118 26 t  t  4t   t    HK  (44;  30;  7) 11 11 11 11 11  18 12 Vậy, PTTS đường thẳng (d ):  x   44 ; y    30 ; z   7 11 11 11  HK  u1  Câu 81 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và đường thẳng (d1), (d2) x 1 y  z   ; (d2) là giao tuyến mặt phẳng (P): x   và (Q): x  y  z   Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2) với: (d1):  Phương trình mặt phẳng () qua M(0;1;1) vuông góc với (d1): x  y  z   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 26 PP toạ độ không gian 3 x  y  z    8   A  1; ;  A = (d2)  ()   x   3   x  y  z    Phương trình AM: x y 1 z 1   3 Câu 82 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  y  z  và đường x 1 y  z x 1 y 1 z 1   Viết phương trình đường thẳng ()   ,  d ' : 2 1 nằm mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d')  x   2t     Ta có nP  (2; 1;2), ud  (1;3;2) và PTTS (d'):  y   t  z  t thẳng (d ) : Gọi A = (d')  (P)  A(1  2t;2  t; t ) Do A  (P) nên: 2(1  2t )   t  2t   t   A(1;2;0)    Mặt khác () nằm (P), vuông góc với (d) nên u vuông góc với nP , ud  ta có thể x 1 y  z      chọn u   nP , ud   (8; 2;7)  Phương trình  : 8 2 Câu 83 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và hai x 1 y  z  x 1 y 1 z      , (d2): Viết phương trình đường 3 thẳng () song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2) điểm E có hoành độ   x   t a  nP      E  (d2)  E(3; 7; 6)     a   nP , ad1   4(1;1; 1)  ():  y   t a  ad1  z   t đường thẳng (d1): Câu 84 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x  8y  7z   Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB giao điểm đường thẳng AB với (P)  Giao điểm đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1)   x  y z 1   Đường thẳng d qua C và có VTCP là  AB, nP   d: 1 2 Câu 85 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x 1 y 1 z 1   ; 1 x 1 y  z 1   và mặt phẳng (P): x  y  z   Viết phương trình đường thẳng 1  nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2  Gọi A = d1  , B = d2   Vì   (P) nên A = d1  (P), B = d2  (P)  A(1; 0; 2), B(2; 3; 1) x 1 y z      chính là đường thẳng AB  Phương trình : 1 d2: Câu 86 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 27 PP toạ độ không gian mặt phẳng (P): x  y  z   đồng thời cắt hai đường thẳng (d1 ) : x 1 y 1 z   và 1  x  1  t  (d2 ) :  y  1 , với t  R  z  t  Lấy M   d1   M 1  2t1; 1  t1; t1  ; N   d2   N  1  t; 1; t   Suy MN   t  2t1  2; t1; t  t1   t     M   ; 3;  (d )  ( P )  MN  k.n; k  R*  t  2t1   t1  t  t1     5 5  t  2   d: x   y   z  5 Câu hỏi tương tự: x 1 y 1 z x  y z 1   , ( d2 ) :   a) Với (P): x  y  5z   , (d1 ) : 2 1 2 x 1 y  z    ĐS: d : x 1 y 1 z  x2 y2 z     b) Với ( P ) : x – y – 5z   , d1 : , d2 : 1 2  ĐS: x 1 y  z    1 5 Câu 87 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): x – y  z   , (Q): x  y 1 z   Gọi 2 là 2 giao tuyến (P) và (Q) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt hai đường thẳng 1 , 2 x – y  z   , (R): x  y – 3z   và đường thẳng 1 :  1 có PTTS:  x   2t; y  1  t; z  3t ; 2 có PTTS: x   s; y   3s; z  s Giả sử d  1  A; d  2  B  A(2  2t; 1  t;3t ), B(2  s;5  3s; s)   AB  (s  2t;3s  t  6; s  3t ) , (R) có VTPT n  (1;2; 3)    1 23  s  2t 3s  t  s  3t 23   t  A ; ;  3 24  12 12  23 1 z x y 12  12  Vậy phương trình d: 3 d  ( R)  AB, n cùng phương  Câu 88 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình x  t x y2 z x 1 y 1 z   d1 :  y   t , d2 :     , d3 : Viết phương trình đường    z  1  2t thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d1, d2 , d3 các điểm A, B, C cho AB  BC  Xét ba điểm A, B, C nằm trên ba đường thẳng d1, d2 , d3 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 28 PP toạ độ không gian Giả sử A(t; – t; 1  2t ), B(u;2 – 3u; 3u), C (1  5v;1  2v; 1  v) Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC  B là trung điểm AC t  (1  5v)  2u t     4  t  (1  2v)  2.(2  3u)  u   A(1;3;1), B(0;2;0), C (1;1; 1) v  1  2t  (1  v)  2(3u) x y2 z  Đường thẳng  qua A, B, C có phương trình:  1 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 29 PP toạ độ không gian Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách  x   4t  Câu 89 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):  y   2t và mặt phẳng  z  3  t (P):  x  y  z   Viết phương trình đường thẳng () nằm (P), song song với (d) và cách (d) khoảng là 14  Chọn A(2;3;  3), B(6;5;  2)  (d), mà A, B  (P) nên (d)  (P)   u  ud  Gọi u là VTCP ( d1 )  (P), qua A và vuông góc với (d) thì    u  uP    nên ta chọn u  [ud , uP ]  (3; 9;6)  x   3t  Phương trình đường thẳng ( d1 ) :  y   9t (t  R)  z  3  6t Lấy M(2+3t;  9t;  3+6t) ( d1 ) () là đường thẳng qua M và song song với (d) Theo đề : AM  14  9t  81t  36t  14  t  1 t x 1 y  z    1 x  y z 1    t =  M(3;0;  1)  (2 ) : 1  t =   M(1;6;  5)  (1) : Câu 90 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và đường thẳng: d: x  y 1 z 1   Gọi I là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường 1 3 thẳng  nằm (P), vuông góc với d cho khoảng cách từ I đến  h     (P) có VTPT nP  (1;1; 1) và d có VTCP u  (1; 1; 3) I  d  ( P )  I (1;2; 4)    Vì   ( P );   d   có véc tơ phương u   nP , u   (4;2; 2) Gọi H là hình chiếu I trên   H  mp(Q) qua I và vuông góc   Phương trình (Q): 2( x  1)  ( y  2)  (z  4)   2 x  y  z   x     Gọi d1  (P )  (Q)  d1 có VTCP  nP ; nQ   (0;3;3)  3(0;1;1) và d1 qua I  d1 :  y   t  z   t  Giả sử H  d1  H (1;2  t;  t )  IH  (0; t; t ) Ta có: t  IH   2t    t  3 x 1 y  z    2 1 x 1 y  z 1    Với t  3  H (1; 1;1)  Phương trình  : 2 1 Câu hỏi tương tự: x  y  z 1 a) ( P ) : x  y  z   , d : , h  42   1  Với t   H (1;5;7)  Phương trình  : Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 30 PP toạ độ không gian ĐS:  : x 5 y 2 z5 x 3 y 4 z5     ; : 3 3 Câu 91 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và đường x 1 y 1 z    Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với (P) và cắt d 1 điểm M cách (P) khoảng   Vì   (P) nên  nhận nP  (2;1; 2) làm VTCP thẳng d :  t   11 Giả sử M (t  1;7t  1;3  t )  d Ta có: d ( M ,(P ))   11t     t   11  19 45 41   19 45 41 + Với t    M   ;  ;   :  x    2t; y    t; z   2t  11 11 11   11 11 11 11  39 29   39 29 + Với t   M   ; ;    :  x    2t ; y   t ; z   t  11 11 11   11 11 11 11 Câu 92 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  3y  z   và các điểm A(1;0; 0) ; B(0; 2;3) Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A và cách B khoảng lớn (nhỏ nhất)   Ta có: A(1; 0;0)  (P ) Gọi VTCP đường thẳng d là: u  (a; b; c), a2  b2  c2   Ta có: d  (P )  u.nP   c  a  2b    AB  (1;2; 3) ; ud , AB   (2a  7b;2a  2b;2a  b)  u , AB  12a2  24ab  54b2  d ( B, d )      u 2a2  4ab  5b2 + TH1: Nếu b = thì d ( B, d )  + TH2: Nếu b  Đặt t  Xét hàm số f (t )  12t  24t  54 a   d ( B, d )  b 2t  4t  12t  24t  54 2t  4t  So sánh TH1 và TH2  Do đó: ta suy f (t )  d (B, d )  f (t )  14  d (B, d )  14 a) min(d ( B, d ))   b  Chọn a =1  c= x   t   Phương trình đường thẳng d:  y   z  t b) max(d (B, d ))  14  a  b Chọn b = –1  a =1 , c = –1 x   t   Phương trình đường thẳng d:  y  t  z  t Câu 93 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   và các Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 31 PP toạ độ không gian điểm A(3;0;1) ; B(1; 1;3) Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) và cách B khoảng nhỏ x  y z 1    ĐS: d : 26 11 2 x 1 y z    , hai điểm 1 A(0; 1;2) , B(2;1;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt đường thẳng  cho khoảng cách từ B đến d là lớn (nhỏ nhất) Câu 94 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  :    Gọi M  d   Giả sử M (1  2t; t;2  t ) VTCP d: ud  AM  (2t  1; t  1; t )    AB(2;2; 1) ;  AB; ud   (1  t;1;4  2t )   AB, u  12t  18t  18  d ( B, d )    d    ud 6t  2t  Xét hàm số f (t )   12t  24t  54 2t  4t  f (t ) Ta có max f (t )  f (0)  18; f (t )  f (2)  11  d ( B, d )  18 11  x  3t   y  1  3t  z   2t  x  t  b) max(d ( B, d ))  18  t   Phương trình đường thẳng d:  y  1  t  z   t a) min(d ( B, d ))   t   Phương trình đường thẳng d: 11 Câu hỏi tương tự: x  y  z 1  a)  :  , A(2;1; 1), B(1;2; 0) x  y  z 1  x    x  2y   ĐS: dmax :  ; dmin :  y  z    y  z   x 1 y  z 1   , A(3; 2;1), B(2;1; 1) b)  : 1 x  y  z 1 x  y  20 z      ĐS: dmax : ; dmin : 19 3 5 20 7 x 1 y  z   , A(1; 4;2), B(1;2; 4) c)  : 1 x 1 y  z  x 1 y  z      ĐS: dmax : ; dmin : 4 3 15 18 19 x 1 y  z   , hai điểm 1 A(1;1;0), B(2;1;1) Viết phương trình đường thẳng  qua A và vuông góc với d, cho khoảng cách từ B đến  là lớn Câu 95 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :    Ta có VTCP d là: ud  (2;1;1) và AB  (1;0;1) Gọi H là hình chiếu B lên  ta có: d ( B, )  BH  AB Do đó khoảng cách từ B đến  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 32 PP toạ độ không gian lớn H  A Khi đó  là đường thẳng qua A và vuông góc với AB      d Ta có   Có thể chọn VTCP  là u  ud , AB   (1; 1; 1)   AB x   t   PT  là:  y   t  z  t toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua x 1 y z  A(0; 1;2) , cắt đường thẳng 1 :   cho khoảng cách d và đường 1 x5 y z   là lớn thẳng 2 : 2 Câu 96 Trong không gian với hệ    Gọi M  d  1 Giả sử M (1  2t; t;2  t ) VTCP d : ud  AM  (2t  1; t  1; t )     2 qua N(5; 0; 0) và có VTCP v  (2; 2;1) ; AN  (5;1; 2) ;  v ; ud   (t  1; 4t  1;6t )     d (2 , d )   v , ud  AN (2  t )2   f (t )    v , ud  53t  10t  Xét hàm số f (t )  (2  t )2 53t  10t  Ta suy max f (t )  f ( 26 ) 37  max(d (, d ))  26  Phương trình đường thẳng d:  x  29t; y  1  41t; z   4t Câu hỏi tương tự: a) A(2; 1;2), 1 : x 1 y 1 z 1 x  y 1 z   x  2y  z     ĐS: d :   , 2 :  1 41 68 27 x  y  z   toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1;2) , song song với mặt phẳng (P ) : x  y  z   cho khoảng cách d và Câu 97 Trong không gian với hệ x  y  z   đường thẳng  :  là lớn 2 x  y  z   x    ĐS:  y  1  t  z   t Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 33 PP toạ độ không gian Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc Câu 98 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng : x y2 z   và mặt phẳng (P): x  y  z   Viết phương trình tham số đường 2 thẳng d qua A, nằm (P) và hợp với đường thẳng  góc 450     Gọi ud , u , nP là các VTCP d,  và VTPT (P)  Giả sử ud  (a; b; c) (a2  b2  c2  0)   + Vì d  (P) nên ud  nP  a  b  c   b  a  c +  d ,    450  a  b  2c a2  b2  c2  (1)  2(a  2b  c)2  9(a2  b2  c2 ) (2) c  14c  30ac    15a  7c  + Với c = 0: chọn a = b =  PTTS d:  x   t; y  1  t; z  + Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8  PTTS d:  x   7t; y  1  8t; z   15t Từ (1) và (2) ta được: Câu 99 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  nằm mặt x   t x   t   ; d2 :  y   t và tạo với phẳng (P ) : x  y – z   , cắt các đường thẳng d1 :  y  t  z   2t  z   2t d1 góc 300   Ta có d1  (P ) Gọi A  d2  (P )  A(5; 1;5) d1 có VTCP u1  (1;1;2)  Lấy B(1  t; t;2  2t )  d1  AB  (t  4; t  1;2t  3) là VTCP  Ta có cos(, d1 )  cos300  6t  (t  4)2  (t  1)2  (2t  3)2   t  1  t  x   t   + Với t  1 thì AB  (5; 0; 5)  d:  y  1  z   t x    + Với t  thì AB  (0;5;5)  d:  y  1  t  z   t Câu 100 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) OBC  Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan BC  BC:  x   t; y  2t; z  Câu 101 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;1), B(0;1; 2) và đường thẳng d : x y  z 1   Viết phương trình đường thẳng  qua giao điểm đường 1 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 34 PP toạ độ không gian thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d góc  cho cos    PT mặt phẳng (OAB): x  y  z  Gọi M = d  (OAB)  M(10;13; 21)  Giả sử  có VTCP u  (a; b; c) + Vì   (OAB) nên a  4b  2c  (1) a  b  2c + cos     (2) 2 6 a b c  b  c , a   c  Từ (1) và (2)  11 11  b  c , a   6c  x  10 y  13 z  21  c, a   c  u  (2; 5; 11)  PT :   11 11 5 11 x  10 y  13 z  21  + Với b  c, a  6c  u  (6; 1; 1)  PT :   1 1 + Với b  Câu 102 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  qua điểm A(0;1; 2) , vuông góc với đường thẳng d : x 3 y2 z   và tạo với mặt phẳng (P): 1 x  y  z   góc a  300   Giả sử  có VTCP u  (a; b; c)  a  b  c  a  d   2a  b  c Ta có:     cos   2  c  0, a  b  c  2a, b   a 2  a  b  c   + Với c  0, a  b  u  (1;1;0)  :  x  t; y   t; z  2  + Với c  2a, b   a  u  (1; 1; 2)  :  x  t; y   t; z  2  2t Câu 103 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1;2) , song song với mặt phẳng ( P ) : x  y  z   , đồng thời tạo với đường thẳng x 1 y 1 z :   góc lớn (nhỏ nhất) 2     có VTCP u  (1; 2;2) Gọi VTCP đường thẳng d là u  (a; b; c)  d  ( P )  u.nP   c  2a  b Gọi góc hai mặt phẳng là  (5a  4b)2   cos   2 5a2  4ab  2b2 5a  4ab  2b + TH1: Nếu b = thì cos   5a  4b (5t  4)2 a  f (t ) + TH2: Nếu b  Đặt t   cos   5t  4t  b Xét hàm số f (t )  (5t  4)2 5t  4t  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Ta suy được:  cos   f (t )  Trang 35 PP toạ độ không gian So sánh TH1 và TH2, ta suy ra:  cos   Do đó: a) min(cos  )   b) max(cos  )  a x 1 y 1 z    Phương trình đường thẳng d :   b 5 a x 1 y 1 z        Phương trình đường thẳng d: b 5 toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua x 1 y  z  A(1; 0; 1) , cắt đường thẳng 1 :   cho góc d và đường thẳng 1 x 3 y 2 z3 2 :   là lớn (nhỏ nhất) 1 2  Gọi M  d  1 Giả sử M (1  2t;2  t; 2  t ) Câu 104 Trong không gian với hệ   d , 2 ) VTCP d : ud  AM  (2t  2; t  2; 1  t ) Gọi a  ( t2 f (t )  cos   6t  14t  t2 9 Ta suy max f (t )  f ( )  ; f (t )  f (0)  6t  14t  x 1 y z 1   a) min(cos  )   t   Phương trình đường thẳng d : 2 1 x 1 y z 1  t    Phương trình đường thẳng d :   b) max(cos  )  Xét hàm số f (t )  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 36 PP toạ độ không gian Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác Câu 105 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác BD là: x 2 y 3 z3 x 1 y  z  d1 :     , d2 : Lập phương trình đường thẳng chứa 1 2 2 cạnh BC  ABC và tính diện tích  ABC  Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH  ( P )  d1  (P ) : x  y  2z   B  ( P )  d2  B(1;4;3)  phương trình BC :  x   2t; y   2t; z  Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB K và M Ta có: (Q) : x  y  z    K (2;2;4)  M (1;2;5) (K là trung điểm CM) x      AB :  y   2t , A  AB  d1  A(1;2;5)  S ABC   AB, AC    z   2t Câu 106 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  ABC với A(1; 1;1) và hai đường trung x   t  x y 1 z   tuyến có phương trình là d1 :  , d2 :  y  Viết phương trình 3 2  z   t đường phân giác góc A  Ta có A  d1, A  d2 Gọi M  d1, N  d2 là trung điểm AC, AB  B(0;1;2) M (2t;1  3t;2  2t )  C (4t – 1;3 – 6t;3 – 4t ) C  d2  t   C (1; 0;1) N (1 – t; 0;1  t )  B(1 – 2t;1;1  2t ) B  d1  t    Ta có: AB  6, AC  Gọi AD là đường phân giác góc A thì DB   DC   1   2   ; ; ; ;  D    AD     1 1 1    6;    Vậy phương trình đường thẳng AD là: Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn x 1 y 1 z 1   1  Trang 37 PP toạ độ không gian 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu cách xác định tâm và bán kính Câu 107 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy  Gọi M là hình chiếu I(1; 2;3) lên Oy, ta có: M(0; 2;0)  IM  (1; 0; 3)  R  IM  10 là bán kính mặt cầu cần tìm Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  10  Câu 108 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) : x  2t; y  t; z  và (d2) :  x   t ; y  t ; z  Chứng minh (d1) và (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung (d1) và (d2)  Gọi MN là đường vuông góc chung (d1) và (d2)  M (2; 1; 4); N (2; 1; 0)  Phương trình mặt cầu (S): ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  2)2  Câu hỏi tương tự:  x   t 2 x  y 1 z   11   13   1   , d2 :  y  a) d1 : ĐS: (S ) :  x     y     z    6  6  3 1   z  t  x  y 1 z x 2 y4 z2   ,(d2 ) :   b) (d1 ) : 1 2 2  5 ĐS: (S ) : ( x  2)   y    (z  3)2   2 Câu 109 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 : x  y 1 z    và 1 2 x   t  d :  y  3  3t Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường z  t  thẳng d1 và d2  Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung hai đường thẳng là đường kính Câu hỏi tương tự:  x  2t x   t   a) d1 :  y  t , d2 :  y  t  z   z  ĐS: (S ) : ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  2)2  Câu 110 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (1) có phương trình  x  2t; y  t; z  ; (2 ) là giao tuyến mặt phẳng ( ) : x  y   và (  ) : x  y  3z  12  Chứng tỏ hai đường thẳng 1, 2 chéo và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung 1, 2 làm đường kính  Gọi AB là đường vuông góc chung 1 , 2 : A(2t; t; 4)  1 , B(3  s; s; 0)  2 AB  1, AB  2  A(2;1; 4), B(2;1;0) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 38 PP toạ độ không gian  Phương trình mặt cầu là: ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  2)2  Câu 111 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A  O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’  Kẻ CH  AB’, CK  DC’  CK  (ADC’B’) nên CKH vuông K 49 49 Vậy phương trình mặt cầu: ( x  3)2  ( y  2)2  z2  10 10  CH  CK  HK  Câu 112 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x  y  z   Gọi A’ là hình chiếu A lên mặt phẳng Oxy Gọi (S) là mặt cầu qua điểm A, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao (P) và (S)  Dễ thấy A( 1; –1; 0) Phương trình mặt cầu ( S): x  y  z  x  y  z   5 29   (S) có tâm I  ;1;1 , bán kính R  2  +) Gọi H là hình chiếu I lên (P) H là tâm đường tròn ( C) x  /  t 5 1  +) PT đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P): d:  y   t  H ; ;  3 6  z   t IH  75 29 75 31 186  , (C) có bán kính r  R  IH     36 36 6 Câu 113 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có x 1 y  z    Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết 1 phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d phương trình    BA, a   196  100  d(A, (d)) =     5 a 11 PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = : ( x – 1)2  ( y  2)2  ( z – 3)2  50 x5 y7 z   và điểm 2 M(4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, hai điểm A, B cho AB  Viết phương trình mặt cầu (S) Câu 114 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :    d qua N(5;7; 0) và có VTCP u  (2; 1;1) ; MN  (9;6; 6) Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d  MH = d ( M , d )   AB  Bán kính mặt cầu (S): R  MH     18   2  PT mặt cầu (S): ( x  4)2  ( y  1)2  ( z  6)2  18 Câu 115 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   : x  y  z   và mặt cầu  S  : x  y  z2  x  y  8z   Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) và mặt phẳng   Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 39 PP toạ độ không gian 2  (S ) :  x  1   y     z    25 có tâm I 1; 2;4  và R = Khoảng cách từ I đến () là: d  I ,( )    R  () và mặt cầu (S) cắt  x   2t  Gọi J là điểm đối xứng I qua () Phương trình đường thẳng IJ :  y  2  t  z   2t  x   2t t  1  y  2  t  x  1 Toạ độ giao điểm H IJ và () thoả    H  1; 1;2  z   t y     2 x  y  z    z  Vì H là trung điểm IJ nên J  3; 0;0  Mặt cầu (S) có tâm J bán kính R = R = nên có phương trình: (S ) :  x  3  y  z2  25 Câu 116 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P): z  cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính và  Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT Gọi (S0) là mặt cầu có tâm I (0; 0; m) thuộc trục Oz Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S0) theo đường tròn tâm O1  O(0;0; 0) , bán kính R1  và tâm O2 (0;0;2) , bán kính R2   R  22  m Gọi R là bán kính mặt cầu thì    m  64  (m  2)2  m  16  R  82  m   R  65 và I (0; 0;16) Suy mặt cầu (S) có tâm I (a; b;16) (a, b  R), bán kính R  65 Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  16)2  260 (a, b  R) Câu 117 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và đường x y 1 z    Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) 1 khoảng và (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính  Giả sử I (t;2t  1; t  2)  d , R là bán kính (S), r là bán kính (C) thẳng d:  t  Ta có: d ( I ,(P ))   6t     R   d ( I ,(P )   r  13 t   11  2  13   1    13  + Với t   I   ;  ;   (S):  x     y     z    13 6  3  6  6  2  11 14   11   14   1 11 + Với t    I  ;  ;   (S):  x     y     z    13 6 6  3  6 6  Câu 118 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x  y  z   Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng (P) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 40 PP toạ độ không gian  Giả sử (S): x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  a   + Từ O, A, B  (S) suy ra: c   I (1; b;2) d  + d ( I ,( P ))   b5    b   b  10 Vậy (S): x  y  z2  x  z  (S): x  y  z2  x  20 y  z  Câu 119 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;3; 4), B(1;2; 3), C (6; 1;1) và mặt phẳng ( ) : x  y  z   Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng ( ) và qua ba điểm A, B, C Tính diện tích hình chiếu tam giác ABC trên mặt phẳng ( )  Goi I (a; b; c) là tâm mật cầu ta có : (1  a)2  (3  b)2  (4  c)2  (1  a)2  (2  b)2  (3  c)2  IA  IB   2 2 2  IA  IC  (1  a)  (3  b)  (4  c)  (6  a)  (1  b)  (1  c) a  2b  2c    I  (a )  b  7c  a     5a  4b  3c   b  1  I (1; 1;1)  R  IA2  25 a  2b  2c   c   Phương trình (S ) : ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  25 25        AB  (0; 1; 7), AC  (5; 4; 3)  p   AB, AC   (25; 35;5) 17   cos(( ),( ABC ))  cos  na , p   15 Gọi S ' là diện tích hình chiếu tam giác ABC lên mặt phẳng ( ) Tam giác ABC cạnh nên S ABC  Ta có S '  SABC cos(( ),( ABC ))  50 17 85  (đvdt) 15 Câu 120 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 1 z   và mặt 1 phẳng (P): x  y  z   Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) và qua điểm A(1; –1; 1)  Gọi I là tâm (S) I  d  I (1  3t; 1  t; t ) Bán kính R = IA = 11t  2t  Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d ( I ,(P ))  5t  R t   R   37t  24t    24 77 R t  37  37 Vì (S) có bán kính nhỏ nên chọn t = 0, R = Suy I(1; –1; 0) Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x  1)2  ( y  1)2  z2  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 41 PP toạ độ không gian x 1 y  z   và mặt phẳng (P): 1 x  y – z   Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và qua điểm A(2; –1; 0)  Gọi I là tâm (S)  I 1  t; t – 2; t  Ta có d(I, (P)) = AI  t  1; t  13 Câu 121 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: Vậy: (S ) : ( x – 2)2  ( y  1)2  ( z – 1)2  2  20   19   7 121 (S ) :  x –  y  z–   13   13   13  169  với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2; 2) , đường thẳng : x   y   z và mặt phẳng (P): x  y  z   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi 8 Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và tiếp xúc với (S)  Ta có: d  d (I ,(P ))  Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện Ta có: 2 r  8  r  Câu 122 Trong không gian Suy bán kính mặt cầu: R  r  d  25  (S ) : ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  2)2  25 5 4 Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với () điểm M  ;  ;  3 3   11 10  5 4 Do đó: (Q) chứa () và tiếp xúc với (S) qua M  ;  ;  và có VTPT MI  ;  ;  3 3 3 3   PT mặt phẳng (Q): x  33y  30 z  105   Câu 123 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x  t; y  1; z  t và mặt phẳng (P): x  y  z   và (Q): x  y  z   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q)  Giả sử: I (t; 1; t )  d Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d ( I ,(P ))  d ( I ,(Q))  R  1 t  t   t  Suy ra: R  , I (3; 1; 3) 3 2 Vậy phương trình mặt cầu (S):  x  3   y  1   z  3  Câu hỏi tương tự: a) d :  x   t; y   2t; z   t , ( P ) : x  y  z   , (Q) : x  y  z  13  2  16   11   5 ĐS: (S ) :  x     y     z    7  7  7  Câu 124 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z  10  , hai x  y z 1 x2 y z3     , (2): Viết phương trình mặt cầu (S) 1 1 1 có tâm thuộc (1), tiếp xúc với (2) và mặt phẳng (P) x   t    1 :  y  t ; 2 qua điểm A(2;0; 3) và có VTCP u2  (1;1;4)  z   t Giả sử I (2  t; t;1  t )  1 là tâm và R là bán kính mặt cẩu (S) đường thẳng (1): Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 42 PP toạ độ không gian   AI , u  5t    2  Ta có: AI  (t; t;  t )   AI , u2   (5t  4;4  5t;0)  d ( I , 2 )     u2 d ( I ,(P ))   t  2t  2(1  t )  10 1   t  10  (S) tiếp xúc với 2 và (P)  d ( I , 2 )  d (I ,( P ))  5t   t  10  t   t  1   Với t   11   I  ; ;  , R    2 2 2 2  11   7  5 81 PT mặt cầu (S):  x     y     z     2  2  2  Với t  1  I (1; 1;2), R   PT mặt cầu (S): ( x  1)2  ( y  1)2  (z  2)2  Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu cách xác định các hệ số phương trình Câu 125 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + =  PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = (S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = (S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = Tâm I  (P): a + b – 2c + = Giải ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3 Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – = Câu 126 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích Gọi M là trung điểm CC’ Biết điểm A(0; 0; 2) và điểm C có tung độ dương Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCM  Ta có: AB  và S ABC  nên AC  Vì AA’  (ABC) và A, B  (Oxy)  nên C  (Oxy) Gọi C ( x; y; 0) AB  (1;2; 0), AC  ( x; y; 0)  x  2y   AB  AC  x  4  x     Ta có:  Vì yC  nên C(–4; 2; 0) y   y  2  AC   x  y  20     Do CC '  AA '  C(–4; 2; 2), BB '  AA '  B(1; 2; 2) và M là trung điểm CC nên M(–4; 2; 1) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 43 PP toạ độ không gian PT mặt cầu (S) qua A, B’, C’ và M có dạng: (S ) : x  y  z2  x  2by  2cz  d   A(0; 0;0)  (S )  B '(1;2;2)  (S ) 3 2 C '(4;2;2)  (S )  a  ; b   ; c   ; d  (thoả a  b  c  d  ) 2  M (  4;2;1)  ( S )  Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (S ) : x  y  z2  x  3y  3z  Câu 127 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0) Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD  Ta tính AB  CD  10, AC  BD  13, AD  BC  Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi Từ đó ABCD là tứ diện gần Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là trọng tâm G tứ diện này 3 3 14 Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là G  ; 0;  , bán kính là R  GA  2 2 Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID Câu 128 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   , gọi A, B, C là giao điểm (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC, tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến (P) và (S)  Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) PT mặt cầu (S) có dạng: x  y  z2  Ax  By  2Cz  D  ( A2  B  C  D  0) D  36  12 A   3 A, B, C, O  (S)     A  3; B   ; C   ; D  2  9  B   C    3 Vậy (S): x  y  z2  x  3y  3z  có tâm I  3; ;  , bán kính R   2 8 5 Gọi H là hình chiếu vuông góc I trên (P)  H là tâm (C) Tìm H  ; ;  3 6  Bán kính (C): r  R  IH  27 1  2 Câu 129 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M là trung điểm đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua các điểm B, C’, M, N  Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: D  O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C(0; 2; 2) PT mặt cầu (S) qua điểm M, N, B, C có dạng: x  y  z2  Ax  By  2Cz  D  1  A  D  2  B  2C  D   5 M, N, B, C  (S)     A   ; B   ;C   ; D   A  C  D  2   8  B  4C  D  Vậy bán kính R = A2  B  C  D  15 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 44 PP toạ độ không gian Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu Câu 130 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn đó  I (1; 2; 3); R =    11  ; d (I; (P)) = 2(1)  2(2)   4  1  < R = Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C)  x   2t  Phương trình d qua I, vuông góc với (P) :  y   2t  z   t Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C) J  d  J (1 + 2t; – 2t; – t) J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – =  t = Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R  IJ  Câu 131 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC  Gọi I , r là tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC 1 1 VOABC  VIOAB +VIOBC +VOCA +VABC = r SOAB  r.SOBC  r.SOCA  r.S ABC = r STP 3 3 Mặt khác: VOABC  OA.OB.OC   (đvtt); SOAB  SOBC  SOCA  OA.OB  6 3 AB2   (đvdt)  STP   4 3V r  OABC  Do đó: (đv độ dài) STP 62 S ABC  (đvdt) Câu 132 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0) Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi cho m  n  và m > 0, n > Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Từ đó suy mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định     Ta có: SM  (m; 0; 1), SN  (0; n; 1)  VTPT (SMN) là n  (n; m; mn) Phương trình mặt phẳng (SMN): Ta có: d(A,(SMN))  n  m  mn nx  my  mnz  mn    m.n n2  m  m n2  2mn  m2n2 Suy (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định   mn 1  mn Câu 133 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình x  t x    d1 :  y  , d2 :  y  t Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R  , có tâm nằm  z   t  z   t trên đường phân giác góc nhỏ tạo d1, d2 và tiếp xúc với d1, d2  Phương trình mp(P) chứa d1, d2 là ( P ) : x  y  z   Phương trình mp(Q) chứa d1 và vuông góc với (P là (Q) : x  y  z   Phương trình mp(R) chứa d2 và vuông góc với (P) là ( R) : x  y  z   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 45 PP toạ độ không gian Phương trình hai mặt phân giác hai mặt (Q) và (R):  PG1  : x  y  0,  PG2  : x  y  2z   x  t  x  t   b : y  t Phương trình hai đường phân giác d1, d2: a :  y  t  z   2t  z  Vì cos(a, d1)  cos(b, d1 ) nên đường thẳng a là phân giác d1, d2 thỏa mãn điều kiện Do đó có hai tâm mặt cầu thỏa mãn I1(2;2; 2), I2 (2; 2;6) Suy (S1 ) : ( x  2)2  ( y  2)2  ( z  2)2  (S2 ) : ( x  2)2  ( y  2)2  ( z  6)2  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 46 PP toạ độ không gian 04: TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng Câu 134 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x  y  z   để MAB là tam giác  Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực đoạn AB  (Q): x  y  z   d là giao tuyến (P) và (Q)  d:  x  2; y  t  1; z  t M  d  M (2; t  1; t )  AM  2t  8t  11 Vì AB = 12 nên  MAB MA = MB = AB   18  18   18  2t  8t    t   M  2; ;   2  Câu hỏi tương tự: a) Với A(4; 0; 0) , B (0;0; 4) , (P): x  y  z   ĐS: Câu 135 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x  y  z   để MAB là tam giác  Giả sử M ( x; y; z)  ( P )  3x  y  z   (1)  x   MA2  MB2 4 x  8z  4    10   10  MAB   MA2  AB  6 z  1  y   M  ; ;  3 6  M  (P)  3 x  y  z  1  z    Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;1; 3), B(3;1; 1),( P ) : x  8y  7z     6 6 6 6 ;1  ; 2  ;1  ; 2  ĐS: C    C    3  3    b) Với A(1;2;3), B(1; 4;2),( P ) : x  y  z     11     11   ; ;  C  ; ;  ĐS: C   4 2  4 2 Câu 136 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , B(3;1; 4) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P ) : x  y  z   cho tam giác ABC cân C và có diện tích 17  Giả sử: C ( x ; y ; x  y  1)  (P ) AB  AC  BC  ( x  3)2  ( y  5)2  ( x  y  5)2  ( x  3)2  ( y  1)2  ( x  y  5)2  y  Gọi I là trung điểm AB  I (3;3; 4) x  (3  x )2  (8  x )2  17   x  + x   C (7;3;3) SIAB  17  CI AB  17  CI  17  + Với x   C (4;3; 0) Câu 137 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): x  y  z –  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 47 PP toạ độ không gian cho MA = MB = MC       Ta có AB  (2; 3; 1), AC  (2; 1; 1)  n   AB, AC   (2;4; 8) là VTPT (ABC) Suy phương trình (ABC): x  y  z   Giả sử M(x; y; z) x    MA  MB  MC Ta có:    y   M(2;3; 7)  M  (P)  z  7 Câu 138 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2;1), B (2;0;3) và mặt phẳng ( P ) : x  y  z   Tìm điểm M thuộc (P) cho MA =MB và ( ABM )  ( P )    Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực AB  nQ  AB  (1;1;1) là VTPT (Q) I(1; 1;2) là trung điểm AB  Phương trình (Q) : x  y  z      Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) nR   nP ; nQ   (0;3; 3) là VTPT (R)  Phương trình ( R) : y  z   2 x  y  z    17   Toạ độ M là nghịêm cuả hệ:  x  y  z    M   ;  ;   6  y  z   Câu 139 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mp(Oxy) cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S  OABC là hình chữ nhật  B(2; 4; 0)  Tọa độ trung điểm H OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB + Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) H cắt mặt phẳng trung trực đoạn OS (mp có phương trình z = ) I  I là tâm mặt cầu qua điểm O, B, C, S + Tâm I(1; 2; 2) và R = OI =  22  22   (S): ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  2)2  Câu 140 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(– 1;3; – 2), B(– 3; 7; – 18) và mặt phẳng (P): x – y  z   Tìm tọa độ điểm M  (P) cho MA + MB nhỏ  A, B nằm cùng phía (P) Gọi A là điểm đối xứng với A qua (P)  A'(3;1;0) Để M  (P) có MA + MB nhỏ thì M là giao điểm (P) với AB  M(2;2; 3) Câu hỏi tương tự: a) Với A(0; 1;2), B(1;1;3) , ( P )  (Oxy ) b) Với A(1;0; 0) , B(1;2;0) , ( P ) : x  y  z   c) Với A(1;2; 1), B(3;1; 2),( P ) : x  y  z    ĐS: M   ;  ;   5  ĐS:  13 4 ĐS: M  ;1;   5  Câu 141 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng  có phương trình tham số  x  1  2t; y   t; z  2t Một điểm M thay đổi trên đường thẳng  , xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ  Gọi P là chu vi tam giác MAB thì P = AB + AM + BM Vì AB không đổi nên P nhỏ và AM + BM nhỏ Điểm M   nên M  1  2t;1  t;2t  AM  BM  (3t )2  (2 5)2  (3t  6)2  (2 5)2 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 48 PP toạ độ không gian       Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u  3t;2 và v  3t  6;2     Ta có u  (3t )2  (2 5)2 ; v  (3t  6)2  (2 5)2      AM  BM | u |  | v | và u  v  (6;4 5) | u  v | 29     Mặt khác, ta luôn có | u |  | v || u  v | Như AM  BM  29   Đẳng thức xảy và u, v cùng hướng  3t   t 1 3t   M(1; 0;2) và min( AM  BM )  29 Vậy M(1;0;2) thì minP = 2( 11  29) Câu 142 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  3y  3z  11  và hai điểm A(3; 4;5) , B(3;3; 3) Tìm điểm M  ( P ) cho MA  MB lớn  Xét tương tự câu 6) + Nếu A, B cùng phía so với (P) thì MA  MB  AB + Nếu A, B khác phía so với (P), ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P) Khi đó MA  MA  MA  MB  MA  MB  AB  31 31  ĐS: M   ;  ;   7 7 Câu hỏi tương tự: a) ( P ) : x  y  z   , A(1;2;1) , B(0;1;2) ĐS: b) ( P ) : x  y  z  0, A(1;2; 1), C (1; 2;1)  11  ĐS: M  ; ;1  2  Câu 143 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và các điểm A(– 1;2;3), B(3;0; – 1) Tìm điểm M  (P) cho MA  MB nhỏ  Gọi I là trung điểm AB  I(1; 1; 1) Ta có: MA2  MB2  MI  AB Do đó: MA2  MB nhỏ  IM nhỏ  M là hình chiếu vuông góc I trên (P) x   t  t  1   y   2t  x   IM , n cuøng phöông P    Vậy M(0; 3; –1)  z   t y   M  (P)    x  y  z    z  1 Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x  y  z  , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7) ĐS: M  O(0; 0; 0) b) Với (P): x  5y  7z   , A(4;9; 9), B(10;13;1)  50 192 75  ;  ĐS: M   ;   17 17 17  Câu 144 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   và các điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) Tìm điểm M  ( P ) cho MA2  MB nhỏ      1 5  Giả sử I là điểm thoả mãn: IA  2IB   IA  2 IB  I  ; ;  3 3 Ta có: MA2  MB2  3MI  IA2  IB Do I cố định nên IA2 , IB không đổi Vậy MA2  MB nhỏ  MI nhỏ  MI nhỏ  M là hình chiếu I Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 49 PP toạ độ không gian  14 17  trên (P)  M  ; ;  9 9  Câu 145 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z –  Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  MA2  MB2  MC Khi đó tìm toạ độ M 7  56 32 104 64   Gọi G là trọng tâm ABC  G  ; ;3  ; GA2  GB  GC    9 3        Ta có F  MA2  MB2  MC   MG  GA    MG  GB    MG  GC       3MG  GA2  GB  GC  MG(GA  GB  GC )  3MG  GA2  GB  GC F nhỏ  MG2 nhỏ  M là hình chiếu G lên (P)  33 3 19   MG  d (G,(P ))  111 3  19  64 553 Vậy F nhỏ   M là hình chiếu G lên (P)   3 3 Câu hỏi tương tự: a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x  y  z    11 2  ĐS: F  65 , M  ; ;   3 3  22 61 17  b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(2; 2; 1), (P): x  3y – z   ĐS: M  ; ;   3  3 c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x  y  z   ĐS: M (0; 4; 1) Câu 146 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;1) , B(2; 1; 0) , C(2; 4;2) và mặt phẳng (P): x  y  z   Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu thức T  MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ  Giả sử M ( x; y; z)  ( P )  x  y  2z    ( x  1)  ( y  1)  2(z  1)   (1) Ta có: T  3( x  y  z2  x  y  2z)  31  ( x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2   22 (2) Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho các số: (1;1;2) và ( x  1; y  1; z  1) , ta được: (6)2  1( x  1)  1( y  1)  2( z  1)  (1   4) ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2   T  x   x 1 y 1 z 1  62   22  40 Dấu "=" xảy       y   M(0; 0; 1)  z  1  x  y  z   Câu 147 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   và các điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0; 0;3) Tìm điểm M  ( P ) cho MA2  3MB  MC nhỏ  Giải tương tự Câu 10 Câu 148 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   và các Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 50 PP toạ độ không gian điểm A(1;2; 1) , B(1; 0; 1) , C(2;1; 2) Tìm điểm M  ( P ) cho MA2  MB  MC nhỏ 2 2  Giải tương tự Câu 10 ĐS: M  ; ;  3 3 Câu 149 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x  y  z  và các điểm A(1;2; 1) , B(3;1; 2) , C(1; 2;1) Tìm điểm M  ( P ) cho MA2  MB  MC nhỏ ĐS: M  2; 2; 2   Giải tương tự Câu 10 Câu 150 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x  y  z   Tìm trên (P) điểm M cho    MA  MB  3MC nhỏ      23 13 25   Gọi I là điểm thoả: IA  2IB  3IC   I  ; ;   6             Ta có: T = MA  MB  3MC   MI  IA    MI  IB    MI  IC   MI  MI  Do đó: T nhỏ  MI nhỏ  M là hình chiếu I trên (P) Ta tìm được:  13 16  43 M  ;  ;  Khi đó T  9 9  Cách 2: Giả sử M ( x; y; z)  ( P )  x  y  z   2  23   13   25  Khi đó: MI   x     y     z     6    Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1), ta được: (1) 2 2 2     43    23  13  25   23   13   25      x   y   z   x   y   z                  6    6            43  43   MI  18  18   MI    13 x   23 13 25  y z x  6    y    M  13 ;  ; 16  Dấu "=" xảy    9 9  1   16 z  x  y  z    Vậy T   13 16  43 M  ;  ;  9 9  Câu 151 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   và các    điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0; 0;3) Tìm điểm M  ( P ) cho MA  3MB  MC nhỏ  Giải tương tự Câu 16 Câu 152 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   và ba điểm A(2;1;3), B(0; 6;2), C (1; 1;4) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( P ) cho Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 51 PP toạ độ không gian    MA  MB  MC đạt giá trị bé  Dễ thấy A, B, C không thẳng hàng Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , thì G(1; 2;3)        Khi đó với M  ( P ) ta có MA  MB  MC  3MG , đó MA  MB  MC đạt giá trị  bé  MG đạt giá trị bé  M là hình chiếu vuông góc G trên ( P )  (P) có VTPT n  (1;1;1) Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 )  ( P )  x0  y0  z0    (1)  M là hình chiếu G trên ( P )  GM   x0  1; y0  2; z0  3 cùng phương với n x0  y0  z0  ( x0  1)  ( y0  2)  ( z0  3) ( x0  y0  z0  1)  1      1 111 3  7  7  x0  , y0  , z0  Vậy M  ; ;  3  3 3 Câu hỏi tương tự: 5 2 a) ( P ) : x  y  z  0, A(1;2; 1), B(3;1; 2), C (1; 2;1) ĐS: M  ; ;   2 3  Câu 153 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  3y  z  37  và các điểm A(4;1;5), B(3; 0;1), C (1;2; 0) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu thức sau      đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA.MB  MB.MC  MC.MA  Giả sử M ( x; y; z)  ( P )  x  3y  z  37  (1) Khi đó S  ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  2)2  5 Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được: (44)2  3( x  2)  3( y  1)  2(z  2)  (9   4) ( x  2)2  ( y  1)2  (z  2)2   ( x  2)2  ( y  1)2  (z  2)2  442  88 22  x  4  x  y 1 z    Dấu "=" xảy    y   M(4;7; 2) 3  z  2 Vậy S  3.88   259 M(4;7; 2) Câu 154 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(1;1;0) và mặt phẳng (P): x  y  z  Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho MAB vuông cân B    Giả sử M ( x; y; z)  ( P ) BA  (1;0;2), MB  ( x  1; y  1; z)   1  10 4  10 x  x  3     M  (P)  x   2z      4  10 2  10  Ta có:  BA.BM    x  y  z   y   y  6    BA  BM ( x  1)2  ( y  1)2  z2    2  10 2  10 z  z  6   Câu 155 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B(1; 3; 0) , C(1; 3; 0) , M (0; 0; a) với a > Trên trục Oz lấy điểm N cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC) Tìm a để thể tích khối chóp BCMN nhỏ  VBCMN  VMOBC  VNOBC  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn 3 3  a   đạt nhỏ  a   a   a a Trang 52 PP toạ độ không gian Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng  x  2t  Câu 156 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  t và mặt phẳng  z  1  2t (P): x  y  z   Gọi d  là hình chiếu d trên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc d  cho H cách điểm K(1;1;4) khoảng  x   7t   Gọi A = d  (P)  A(4; 2;3) PT hình chiếu d d trên (P):  y  2  2t  z   5t Giả sử H (4  7t; 2  2t;3  5t )  d  KH  25  t  11  238  H 39 Câu 157 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường x 1 y  z   Tìm toạ độ điểm M trên  cho: MA2  MB  28 1 x   t   PTTS  :  y  2  t M    M (1  t; 2  t;2t )  z  2t thẳng  : Ta có: MA2  MB2  28  12t  48t  48   t   M(1;0; 4) Câu 158 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;0), B(2;2;2), C (2;3;1) và đường x 1 y  z    Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC 1  x   2t      d :  y  2  t Giả sử M (1  2t;   t;  2t )  d n    AB; AC   (1; 2;  2)  z   2t thẳng d : 4t  11 PT mặt phẳng (ABC): x  y  z   h  d ( M ,( ABC )  17 4t  11 VMABC    t   t   3   15 11  1  M   ;  ;  M   ; ;   2 2    S ABC  Câu 159 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: x 1 y z    Tìm trên d hai điểm A, B cho tam giác ABM 1  Gọi H là hình chiếu M trên d Ta có: MH = d ( M , d )  Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = MH  x 2 y z3  1 Do đó, toạ độ A, B là nghiệm hệ:  ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  2)2   Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 53 PP toạ độ không gian  2 2  2 2 ; ;3  ; ;3  Giải hệ này ta tìm được: A   , B2   3   3   Câu hỏi tương tự: x  t   76 10  76    76  76   ; ;1 , B  ; ;1 a) Với M(1; 0; 1) , d :  y  2t ĐS: A  15 15 15 15      z    76 10  76    76  76  ; ;1  , B  ; ;1 A  15 15  15   15  Câu 160 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: x  1 t   y   2t Tìm trên d hai điểm B, C cho tam giác ABC  z    d có VTCP ud  (1;2;0) Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên d  Giả sử H 1  t;  2t;3  AH  1  t;1  2t;0    6  Mà AH  d nên AH  ud  11  t   1  2t    t    H  ; ;3  5   AH = AH 15  Mà ABC nên BC = hay BH = 5 15   2  15 Giả sử B(1  s;2  2s;3) thì    s     2s   25   5  1   6 82   ;3  và C  ; ;3     6 82   ;3  và C  ; ;3      25s2  10s    s   6 8 ; Vậy: B    6 82 B  ;  Câu 161 Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x 1 y z  và mặt phẳng (P) : x – y – z    2  Gọi A(a; 0; 0)  Ox  d ( A; (P ))  d(A; (P)) = d(A; d)  2a  2a 22  12  22  8a2  24a  36 2a ; d ( A; d )  3 8a2  24a  36  4a2  24a  36   4(a  3)   a  Vậy có điểm A(3; 0; 0) Câu 162 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y  z –  và hai x 1 y z  x 1 y  z 1     ; 2 : Xác định tọa độ điểm M 1 2 thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) đường thẳng 1 : Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 54 PP toạ độ không gian   M (–1 + t; t; –9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; –1) có véctơ phương a = (2; 1; –2)    AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8)   AM ; a  = (14 – 8t; 14t – 20; – t) 261t  792t  612  11t  20 Ta có : d (M, 2) = d (M, (P))   35t2 – 88t + 53 =  t = hay t =  18 53  53 Vậy M (0; 1; –3) hay M  ; ;  35  35 35 35  Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x  y  z   , 1 : x 3 y 5 z x 1  y z      , 2 : 1 1 1 ĐS: M(2;4;1) , M(1;1;4) Câu 163 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : x 1 y z    và 1 x 1 y 1 z    Đường vuông góc chung 1 và 2 cắt 1 A, cắt 2 B 1 Tình diện tích OAB    1 có VTCP u1  (2; 1;1) , 2 có VTCP u2  (1;7; 1) 2 : Giả sử A(1  2t1; t1; 2  t1 )  1 , B(1  t2 ;1  7t2 ;3  t2 )  2   AB.u  t   A(1; 0; 2)   Ta có:   1 1  SOAB  OA, OB  = 2 t2   B(1;1;3)  AB.u2  Câu 164 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và các đường thẳng d1 : x 1  y3 3  z ; d2 : x5  y  z5 5 Tìm các điểm M  d1 , N  d cho MN // (P) và cách (P) khoảng  x   2t   PTTS d1 là:  y   3t M  d1 nên tọa độ M 1  2t;3  3t;2t   z  2t Theo đề: d ( M ;( P ))   2t  2(3  3t )  4t  12  (2)2  22 + Với t = ta M1  3;0;2  ; 2 12t  t  2 t  + Với t = ta M2 1;3;0   Ứng với M1, điểm N1  d2 cần tìm phải là giao d2 với mp qua M1 và // (P), gọi mp này là (Q1) PT (Q1) là: ( x  3)  y  2( z  2)   x  y  z   (1)  x   6t  PTTS d2 là:  y  4t (2)  z  5  5t Thay (2) vào (1), ta được: t = –1 Điểm N1 cần tìm là N1(–1;–4;0)  Ứng với M2, tương tự tìm N2(5;0;–5) Câu 165 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và các đường thẳng d1 : x 1  y 3  z 2 , d2 : x5  y  z5 Tìm các điểm A  d1 , B  d cho AB // (P) và AB cách (P) khoảng Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 55 PP toạ độ không gian  Giả sử: A(2t1  1, t1  3, 2t1)  d1 , B(3t2  5,4t2 ,2t2  5)  d2  AB  (3t2  2t1  4, 4t2  t1  3,2t2  2t1  5)   AB.nP   2(3t2  2t1  4)  4t2  t1   2(2t2  2t1  5)   6t2  t1   AB  (P )  d ( AB,( P ))  d ( A,( P ))   Với t1  5  t2   Với t1   t2  4t1   t1   4t1   t1   t  5 1    t1   11   A(9; 2;10), B  7; ;   3   4 17  1  A(3; 4; 2), B  4; ;   3  Câu 166 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ x  1 t    Ta có AB  (1; 4; 3) Phương trình đường thẳng AB:  y   4t  z   3t  Gọi D(1  a;5  4a;4  3a)  AB  DC  (a; 4a  3;3a  3)   Độ dài đoạn CD ngắn  D là hình chiếu vuông góc C trên cạnh AB  AB  DC  46 41  21   a  16a  12  9a    a  Vậy: D  ; ;  26  26 26 26  Câu 167 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x 1 y z 1   và 2 1 x y z   Tìm các điểm M thuộc d1 , N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song 1 với mặt phẳng (P): x  y  z  2012  và độ dài đoạn MN     MN  ( P )  5  MN nP   M (0; 0;0), N   ;  ;    7 7  MN   MN   Lấy M  d1, N  d2 Ta có  x y  z 1   và các 1 điểm A(1; 0;0), B(0;1;1), C (0;0;2) Tìm điểm M thuộc d cho góc hai mặt phẳng Câu 168 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : (MAB) và (CAB) a  300  ĐS: M(0; 2;1) Câu 169 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: x   t x  y 1 z    Xác định điểm A trên 1 và điểm B trên 2 (1) :  y  1  t và (2 ) : 1  z  cho đoạn AB có độ dài nhỏ   Giả sử A(t+1; –t –1; 2) 1, B( t'+3; 2t' +1; t') 2  AB  (t ' t  2;2t ' t  2; t ' 2) Vì đoạn AB có độ dài nhỏ  AB là đoạn vuông góc chung (1) và (2) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 56 PP toạ độ không gian      AB  u1  AB.u1  2t  3t '             t  t '   A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0) 3t  6t '   AB  u2  AB.u2  Câu 170 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) và đường  x   4t  thẳng d :  y  6t Tìm điểm I trên đường thẳng d cho IA + IB đạt giá trị nhỏ  z  1  8t   AB  (2; 3; 4)  AB // d Gọi A1 là điểm đối xứng A qua d Ta có: IA + IB = IA1 + IB  A1B Do đó IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi đó A1, I, B thẳng hàng  I là giao điểm A1B và d Vì AB // d nên I là trung điểm A1B  36 33 15  Gọi H là hình chiếu A lên d Tìm H  ; ;  A’ đối xứng với A qua H nên  29 29 29   43 95 28   65 21 43  A’  ; ;   I là trung điểm A’B suy I  ; ;   29 29 29   29 58 29  Câu hỏi tương tự:  64 45  x  y z 1   a) Với A(1; 1;2), B(3; 4; 2) , d : ĐS: I  ;  ;   6 8  29 29 29  x 2 y z4   b) Với A(1;2; – 1), B(7; – 2;3) , d : ĐS: I (2;0; 4) 2 Câu 171 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường x 1 y 1 z   Tìm toạ độ điểm M trên  cho MAB có diện tích nhỏ 1  x    2t   PTTS :  y   t Gọi M (1  2t;1  t;2t )    z  2t thẳng : Diện tích MAB là S      2  AM , AB   18t  36t  216 = 18(t  1)  198 ≥ 198 Vậy Min S = 198 t  hay M(1; 0; 2) Câu hỏi tương tự: x 1 y  z    a) Với A(0;1;0), B(2;2;2) ,  : 1 x y  z 1   1 x 1 y  z 1   c) Với A(0;1; 2), B(2; 1;1),  : 1 x  y  z 1  d) Với A(2; 1;1), B(1; 1;0),  :  2 x  y   x 1 y  z   e) Với A(1; 4;2), B(1;2;4),  : 1 b) Với A(2; 1;1), B(0;1; 2),  : ĐS: M(3;0; 1) , S  ĐS: M (5;8; 11),min S  2 34 ĐS: M (2;5; 5),min S  22 1 3 ĐS: M  ;  ;   6 2  12 38  ĐS: M   ; ;   7  Câu 172 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; 11) , B(3;5; 4) , C(2;1; 6) và đường thẳng d : x 1 y  z 1   Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d 1 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 57 PP toạ độ không gian    cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ     Giả sử M (2t  1;2t  2; t  1)  d  MA  MB  MC  (2t  1; 2t  4; t )     10  53 53 MA  MB  MC = (2t  1)  (2t  4)  t   t     9   11  10 Dấu "=" xảy  t    M   ; ;   9 9 2 Câu 173 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( P ) : x  y  z   điểm A( –2; 3; 4) x3  y   z  Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) qua giao điểm (d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên  điểm M cho khoảng cách AM ngắn  x  2t    PTTS d:  y  t  Gọi I là giao điểm (d) và (P)  I(1;0;4)  z  t      (d) có VTCP là a  (2;1;1) , (P) có VTPT là n  (1;2; 1)   a, n   (3;3;3) và đường thẳng (d ) : x   u  Gọi u là vectơ phương   u  (1;1;1)   :  y  u  z   u    Vì M    M (1  u; u;4  u) ,  AM  (1  u; u  3; u)   AM ngắn  AM    AM u   1(1  u)  1(u  3)  1.u   u   7 16  Vậy M  ; ;   3 3 Câu 174 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình x  3y  z   Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực đoạn AB Gọi  là giao tuyến (P) và (Q) Tìm điểm M thuộc  cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ  3 3    Gọi I là trung điểm AB  I  ; ;  ; AB  (1; 1; 1)  2 2  PT (Q): x  y  z     là giao tuyến (P) và (Q)  PTTS :  x    2t; y  t; z   t 4    15 25 Giả sử M    2t; t;  t   ; OM  6t  t   4   3 OM nhỏ t   M   ;  ;    8 Câu 175 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn x  y z 1   , (d2): 1 2 Trang 58 PP toạ độ không gian x2 y2 z   Một đường thẳng () qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1) 1 điểm B và cắt đường thẳng (d2) điểm C Chứng minh điểm B là trung điểm đoạn thẳng AC    Lấy B  (d1), C  (d2) Từ : AB  k AC  k   B là trung điểm đoạn thẳng AC Ta có thể tính B(2; –1; 1), C(3; –4; –1) Câu 176 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E (2;1;5), F (4; 3; ) Gọi  là giao tuyến hai mặt phẳng (P ): 2x  y  z   và (Q) : x  y  z   Tìm điểm I thuộc  cho: IE  IF lớn x   t  x   t    PTTS :  y  5t PTTS EF:  y   t  z   3t  z   2t 1  t   t  t   Xét hệ: 5t   t  EF cắt  A(1;0;3) t  1 3  3t   2t Trong mp(  ,EF) điểm I   ta có IE  IF  EF (hiệu cạnh tam giác nhỏ cạnh thứ 3) Dấu "=" xảy  I, E, F thẳng hàng, từ đó suy I trùng A Vậy điểm I(1;0;3) Câu 177 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : A(0; 0;3) , B(0;3;3) Tìm điểm M  d cho: b) MA2  MB nhỏ a) MA  MB nhỏ x  t   a) PTTS d:  y  t Gọi M (t; t; t )  d Ta có: P   x y z   và hai điểm 1   c) MA  3MB nhỏ (t  1)2   (t  2)2    z  t Xét hàm số f (t )  (t  1)2   (t  2)2   f (t )  f (t )   t 1 (t  1)2   t2 (t  2)2   t 1 (t  1)2  t 1 (t  1)2   t2  (t  2)2  (t  2)  (t  2) (*) 2   u  Ta có g(u)   u2   u  0   u2  2 u 2 u 2  (u  2)  nên hàm số g đồng biến trên  Do đó từ (*), ta có g(t  1)  g  (t  2)  t   t   t  3 Dựa vào BBT hàm số f ta suy f (t )  f    2 Xét hàm số g(u)  u Vậy min( MA  MB)  3 đạt t  3 3 , tức là M  ; ;  2 2 b) Tương tự câu 1), ta tính Q  MA2  MB  9t  30t  45  (3t  5)2  20 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 59 PP toạ độ không gian 5 5  Q  20 t  , tức M  ; ;   2   c) Theo câu 1) , ta có MA  (t; t;3  t ) , MB  (t;3  t;3  t )     Suy MA  MB  (t; t  6; t  3)  MA  MB  3t  18t  45  3(t  3)2  18    Vậy MA  MB  t  , tức M(3;3;3) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 60 PP toạ độ không gian Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu Câu 178 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x  y  z2  x – y  m  và đường thẳng (d) là giao tuyến mặt phẳng (P): x – y – z   , (Q): x  y – z –  và Tìm m để (S) cắt (d) điểm M, N cho độ dài MN =  (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13  m  IM (m  13) Gọi H là trung điểm MN  MH=  IH = d(I; d) =  m    u; AI   (d) qua A(0;1;-1), VTCP u  (2;1;2)  d(I; d) =  u Vậy : m  =3  m = –12 Câu 179 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và mặt cầu (S): x  y  z2  x  8y  z  23  Tìm trên (S) điểm M cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M và cắt (P) theo đường tròn có bán kính  Mặt cầu (S) có tâm I (3; 4;1) , bán kính R = x   t  Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với (P)  PTTS d:  y   t  z   t Khi đó M là giao điểm d với (S)  Tọa độ điểm M là nghiệm hệ: x   t  t   t  1  y   t  x   x     M1(4;5; 0), M2 (2;3;2) z   t y  y     2  z   z   x  y  z  x  8y  z  23  Ta thấy d ( M1,( P ))  > d ( M2 ,(P ))  Vậy M(4;5;0) là điểm cần tìm Mặt cầu (T) có R '  MH  HE  (4 3)2  42   (T ) :( x  4)2  ( y  5)2  z2  64 Câu 180 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là (S ) : x  y  z2  x  y  z   0, ( P ) : x  y  z  16  Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P) Tính độ dài ngắn đoạn thẳng MN Xác định vị trí M, N tương ứng  Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 2.2  2.(1)   16 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d  d I ,  P    5 d  R Do đó (P) và (S) không có điểm chung Do vậy, MN = d –R = –3 = Trong trường hợp này, M vị trí M0 và N vị trí N0 Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S) Gọi  là đường thẳng qua I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm  và (P)  x   2t   Đường thẳng  có VTCP là n P   2;2; 1 và qua I nên có phương trình là  y  1  2t  z   t Tọa độ N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình:  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn  Trang 61 PP toạ độ không gian 2(2  2t )  2(1  2t )  (3  t )  16   9t  15   t      13 14  Suy N   ;  ;  Ta có IM  IN Suy M0(0;–3;4)  3 3 Câu hỏi tương tự: 15  a) (S ) : x  y  z2  x  y  z  ; (P ) : x  y  z    2 1  ; ;   3 3 ĐS: M(2  2;2  2; 1  2) , N  Câu 181 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1;0; 3), C (1; 2; 3) và mặt cầu (S) có phương trình: x  y  z2  x  z   Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD có thể tích lớn  (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R  PT mp(ABC): x  y  z   Ta có VABCD  d ( D;( ABC )).S ABC nên VABCD lớn  d ( D;( ABC )) lớn Gọi D1D2 là đường kính (S) vuông góc với mp(ABC) Ta thấy với D là điểm thuộc (S) thì d ( D;( ABC ))  max d ( D1;( ABC )); d (D2 ;( ABC )) Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2  D1D2 qua I(1;0;–1), và có VTCP là nABC  (2; 2;1)  D1D2 :  x   2t; y  2t; z  1  t  x   2t   t  y   t  Tọa độ D1 và D2 thỏa:    t  2  z  1  t ( x  1)2  y  (z  1)2     4 1   1 5   D1  ; ;  ; D2  ; ;  3 3   3   1 Ta thấy: d ( D1;( ABC ))  d ( D2 ;( ABC )) Vậy điểm D  ;  ;   là điểm cần tìm  3 3 Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 62 PP toạ độ không gian Dạng 4: Xác định điểm không gian Câu 182 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (): x  y – z   và hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K cho KI vuông góc với mặt phẳng (), đồng thời K cách gốc tọa độ O và () x 2 y 2 z    I(2;2;0) PT đường thẳng KI: 1 Gọi H là hình chiếu I trên (): H(–1;0;1) Giả sử K(xo;yo;zo)  x  y0  z0     1 3 1 Ta có: KH = KO    K ; ;   4  ( x  1)2  y  ( z  1)2  x  y  z 0 0 0  Câu 183 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA2  MB2  MC  MD đạt giá trị nhỏ  14   Gọi G là trọng tâm ABCD ta có: G  ; ;  3  Ta có: MA2  MB2  MC  MD  MG  GA2  GB  GC  GD  14   GA2  GB2  GC  GD Dấu xảy M  G  ; ;  3  Câu 184 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   và điểm A(0; 1; 2) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng (P)   (P) có VTPT n  (1;1;1) Giả sử A(x; y; z)  x y 1 z   ; Gọi I là trung điểm AA  I  ;  2 2   x y 1 z    x  4  AA , n cuøng phöông     A đối xứng với A qua (P)    1   y  3  I  (P)  z  2  x  y 1  z    2 2 Vậy: A(–4; –3; –2) Câu 185 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0;0), B(0;1; 0), C (0;3;2) và mặt phẳng ( ) : x  y   Tìm toạ độ điểm M biết M cách các điểm A, B, C và mặt phẳng ( )  Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) ( x  1)2  y  z2  x  ( y  1)2  z2 (1)  MA  MB 0 0  20  Ta có:  MB  MC   x0  ( y0  1)2  z02  x02  ( y0  3)2  ( z0  2)2 (2)   MA  d ( M ,(a )) ( x0  y0  2)2  2 (3) ( x  1)  y0  z0    x0  1, y0  1, z0   23 23 14   23 23 14  M(1; 1; 2) M  ; ;    x0  , y  , z0   3  3 3  Câu 186 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác S.ABC, biết Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 63 PP toạ độ không gian A(3; 0;0), B(0;3;0), C (0;0;3) Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC 36  Phương trình ( ABC ) : x  y  z   Do hình chóp S.ABC nên đường thẳng SG qua G và vuông góc với (ABC) x   t  Phương trình SG :  y   t Giả sử S(1  t;1  t;1  t )  z   t ABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA=  S ABC  Ta có : VS.ABC=36= SG SABC  t  8, t  8 Vậy: S(9;9;9) S(7; 7; 7) Dạng 5: Xác định điểm đa giác Câu 187 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC  Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P)  BC; (Q) qua B và (Q)  AC  36 18 12  Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta trực tâm H  ; ;   49 49 49  Câu hỏi tương tự: a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) ĐS: Câu 188 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Ta có: AB  BC  CA    ABC Do đó tâm I đường tròn ngoại tiếp  8  ABC là trọng tâm nó Kết luận: I   ; ;   3 3 Câu 189 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC    Ta có: AB  (2; 2; 2), AC  (0; 2;2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x  y  z   0, y  z      VTPT mp(ABC) là n   AB, AC   (8; 4;4) Suy (ABC): x  y  z    x  y  z 1  x    Giải hệ:  y  z     y  Suy tâm đường tròn là I(0; 2; 1) 2 x  y  z    z    Bán kính là R  IA  (1  0)2  (0  2)2  (1  1)2  Câu 190 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B(1;2; 0) , C(1;1; 2) Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  H ( x; y; z) là trực tâm ABC  BH  AC , CH  AB, H  ( ABC ) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 64 PP toạ độ không gian    BH AC      29  CH  x  ; y  ; z   .AB  0 15 15    AB, AC  AH    29  ; ;   15 15   H I ( x; y; z) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  AI  BI  CI , I  ( ABC )  AI  BI    14 61  14 61  CI2  BI  x  ; y  ; z    I  ; ;     15 30   15 30    AB, AC  AI   Câu 191 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1), B(1;2;  1), C (1;2;3) và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)  Phương trình ( ABC ) : x  y  z   Gọi I ( x; y; z) I  ( ABC )  x  y  z   (2) IA  IB  IC  x  y  z   0, y  z   (1) ; Từ (1) (2)  I (0; 2; 1) Bán kính mặt cầu là R  d ( I ,(Oxz))   (S): x  ( y  2)2  ( z  1)2  Câu 192 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng (Oxy) và C nằm trên trục Oz Tìm toạ độ các điểm B, C cho điểm H(2;1;1) là trực tâm tam giác ABC  Giả sử B( x; y;0)  (Oxy), C (0;0; z)  Oz      AH  BC  AH BC         AB H là trực tâm ABC  CH  CH    .AB  0  AB, AC , AH đồng phẳng   AB, AH  AC      3  177 17  177  177 x  z  ;y  ;z  x   4  2 x  y      177 17  177  177  3x  3y  yz  z  ;y  ;z   x  4  3  177 17  177    177  ; ;0  , C  0;0;  B       3  177 17  177    177  ; ;0  , C  0;0; B       Câu 193 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình x 2 y 3 z3 x 1 y  z  và d2 : Chứng minh đường thẳng d1, d2 và     1 2 2 điểm A cùng nằm mặt phẳng Xác định toạ độ các đỉnh B và C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC    d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP a  (1;1; 2) ; d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP b  (1; 2;1) d1 :      Ta có  a,b   ,  a, b  M1M2   d1, d2 cắt Phương trình mặt phẳng chứa d1, d2 : x  y  z –  A  mp(d1, d2 ) t5 t5  Giả sử B(2  t;3  t;3  2t ) d1  trung điểm AB là M  ; ;3  t    Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 65 PP toạ độ không gian M  d2  t  1  M (2;2;4)  B(1;2;5)   Giả sử C (1  t;  2t;3  t )  d2 AC  a  t =  C(1;4;2) Câu 194 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác BM góc B có phương trình là x 2 y 3 z3 x 1 y  z  d1 :     , d2 : Tính độ dài các cạnh tam giác 1 2 2 tam giác ABC  Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d1  (P): x  y – 2z   B là giao điểm d2 với (P)  B(1; 4;3) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d2  (Q): x  y  z   Gọi K là giao điểm d2 với (Q)  K (2;2;4) Gọi E là điểm đối xứng A qua K  E(1;2;5) x   Phương trình đường thẳng BE là  y   t C là giao điểm BE và CH  C(1;2;5)  z   t Ta có AB = AC = BC = 2  Tam giác ABC Câu 195 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A  3; 1; 2  , B 1;5;1 , C  2;3;3 , đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D  Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = Gọi  là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = Điểm D cần tìm là giao điểm  và (S)  x   2t   Đường thẳng  có vectơ phương AB   2;6;3 nên có phương trình:  y   6t  z   3t Phương trình mặt cầu (S ) : ( x  3)2  ( y  1)2  ( z  2)2  Toạ độ điểm D thoả Hệ PT:  x   2t t  1  y   6t   49t  82t  33    33  z   3t t    2 49   x  3   y  1   z     Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD =  Với t    164 51 48  33  D ;  ;  (nhận) 49 49 49   49 Câu 196 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A(1;2;1) , B(2;3;2) Tìm tọa độ các đỉnh C, D và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó biết tâm I x 1 y z    hình thoi thuộc đường thẳng d : và điểm D có hoành độ âm 1 1    Gọi I (1  t; t;2  t )  d Ta có IA  (t;2  t; 1  t ), IB  (3  t;3  t; t )   Do ABCD là hình thoi nên IA.IB   3t  9t    t  1, t  2 Vì C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 66 PP toạ độ không gian + Với t  1  I (0;1;1)  C (1;0;1), D(2; 1;0) + Với t  2  I (1;2; 0)  C (3;2; 1), D(0;1; 2) Do D có hoành độ âm nên ta chọn nghiệm C (1; 0;1), D(2; 1;0)  + Gọi (P) là mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT n      n  IA  (1;1;0) Ta có     có thể chọn n   IA, IB   (1;1; 4) n  IB  (2;2;1) Suy phương trình mặt phẳng ( P ) : x  y – z   Câu 197 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, A(1;0; 0) , C(1;2; 0) , D(1; 0;0) , S(0; 0; 3) Gọi M, N là trung điểm đoạn SB và CD Chứng minh hai đường thẳng AM và BN vuông góc với và xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB    AB  DC  B(1; 2; 0) M là trung điểm SB, N là trung điểm CD 1 3  , N(–1; 1; 0)  AM  BN Vì ONB nằm mp(Oxy) nên tâm I 2   đường tròn ngoại tiếp ONB thuộc mp(Oxy) 1   IO  IN Gọi I ( x; y; 0) Ta có:   I  ; ;0   IO  IB 6   M  ;1; Câu 198 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3;  1) , P(2;3;  4) Tìm toạ độ đỉnh ( R) : x  y  z   Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng  7 5  Gọi I là tâm hình vuông  I  ;3;   Gọi N (a; b; c)  ( R) MP  (3; 0; 3) 2 2   5 IN   a  ; b  3; c   ; MP   IN   2 a  b  c     N  ( R )   7  5  Ta có:  IN  MP  3  a     c      a  2, b  3, c  1  2  2  a  3, b  1, c  2   2  IN    7 5   a    (b  3)2   c    2  2   Nếu N(2;3  1) thì Q(5;3;  4)  Nếu N(3;1;  2) thì Q(4;5;  3) Câu 199 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3; 0;8) , D(5; 4; 0) và đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độ điểm C  Ta có trung điểm BD là I(–1;–2; 4), BD = 12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0)  AB  AD 2 2 2    (a  3)  b   (a  5)  (b  4) ABCD là hình vuông     2 2 1 (a  1)  (b  2)   36  AI   BD  2    17 a   b   2a a   A(1; 2; 0) A  17 ; 14 ;0       2 b   5  (a  1)  (6  2a)  20 b  14  Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 67 PP toạ độ không gian  Với A(1; 2; 0)  C(–3;–6; 8)  17 14   27 6   Với A  ; ;0   C  ; ;8   5   5  Câu 200 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết A(1;2; 0), C (2;3; 4) và đỉnh B nằm trên mặt phẳng (Q): x  y  z   Tìm toạ độ đỉnh D, biết toạ độ B là số nguyên  AC   AB  Gọi B( x; y; z)  x  y  z  (1)  B  (Q)   Ta có:  AB  CB  ( x  1)2  ( y  2)2  z2  ( x  2)2  ( y  3)2  ( x  4)2 (2)  AB  ( x  1)2  ( y  2)2  z2  (3)   x  1; y  1; z   B(1;1;2) Vậy D(4; 4; 6) Sưu tầm: Nguyễn Anh Tuấn Trang 68