Các bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

aViết phương trình đường phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC.. bViết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.[r]

các bài tập phương pháp tọa độ mặt phẳng I Đường thẳng :( Phân dạng cố tính tương đối) Câu 2.Viết phương trình các đường trung trực tam giác ABC, biết trung điểm c¸c c¹nh lµ : M(-1;-1), N(1;9), P(9;1) Câu 3.Cho tam giác ABC, biết các cạnh AB, AC, BC nằm trên các đường thẳng có phương trình x  y   , 3x  y   và y  a)Viết phương trình đường phân giác góc A và tính diện tích tam giác ABC b)Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC C©u 4.Cho ®iÓm A(1;1) H·y t×m ®iÓm B trªn ®­êng th¼ng y=3, vµ ®iÓm C trªn trôc hoành , cho ABC là tam giác C©u 5.Cho tam gi¸c víi mét c¹nh cã trung ®iÓm lµ M(-1;1), cßn hai c¹nh cã phương trình là x  y   và x  y   Xác định tọa độ các đỉnh tam giác Câu Lập phương trình các cạnh tam giác ABC B(2;-1), đường cao và phân giác qua đỉnh A, C là 3x  y  27  ; x  y   Câu Lập phương trình các cạnh tam giác ABC cho A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là x  y   và y   tâm tam giác thuộc đường thẳng 3x  y   Tìm tọa độ đỉnh C C©u 11 Cho hai ®iÓm A(-1;3), B(1;1) vµ ®­êng th¼ng d : y  x Câu 10 Cho diện tích tam giác ABC là S  ; hai đỉnh là A(2;-3), B(3;-2) và trọng Xác định điểm C trên d cho ABC là tam giác Câu 12 Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2;-1) cho đường thẳng đó cïng víi hai ®­êng th¼ng d1 : x  y   vµ d : 3x  y   t¹o mét tam gi¸c cân có đỉnh là giao điểm d1 , d C©u 13 Cho ®iÓm P(3;0) vµ hai ®­êng th¼ng d1 : x  y   vµ d : x  y   Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1 , d A và B Viết phương trình d biết PA=PB Câu 14.Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(2;1) và tạo với đường thẳng x  y   mét gãc b»ng 45 Câu 15 Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua P cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó Câu 16 Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-4;5) và đường chéo nằm trên đường thẳng x  y   Lập phương trình các cạnh và đường chéo còn lại nó Câu 18.Lập phương trình các cạnh hình vuông , biết hình vuông đó có đỉnh là (-4;5) và đường chéo có phương trình x  y   C©u 19.(NguyÔn Thµnh Giang-Chuyªn H­ng Yªn-THTT419)   1350 và khoảng cách từ M đến đường thẳng Cho A(1;2), B(4;3) T×m M cho MAB AB b»ng 10 Hướng dẫn : Lop12.net B 10 M A H Câu 20.(Nguyễn Lái-Chuyên Lương Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418) Cho ( d1 ): x  y    , ( d ): x  y    , vµ A lµ giao ®iÓm cña ( d1 ) vµ ( d ) Xách định đường thẳng (  ) cắt ( d1 ), ( d ) B và C cho tam giác ABC và có diện tích 3 Hướng dẫn: A 600 H B C -2 Câu 21 (Dương Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417) Cho ta gi¸c ABC, biÕt A(1;2); ®­êng ph©n gi¸c vµ ®­êng trung tuyÕn kÎ tõ B là: x  y   và x  y  15  Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn: Lop12.net C M A' H A B -5 C©u 22.(THTT415) Cho tam gi¸c ABC, cã AB  AC ;®­êng ph©n gi¸c gãc A lµ (AD): x  y  ; vµ ®­êng cao (BH): 3x  y  16  BiÕt ®iÓm M(4;10) thuéc ®­êng th¼ng (AB) T×m täa độ các đỉnh A, B và C Hướng dẫn: M 10 I B M' C A O 10 C©u 23.(THTT413) Cho tam gi¸c ABC, cã A(-1;1), trùc t©m H(1;3), trung ®iÓm cña BC lµ M(5;5) X¸c định tọa các đỉnh B và C Hướng dẫn: x   t Suy B(5  t;5  t ), C (5  t;5  t ) vµ y  5t     AC  (6  t ;  t ), HB  (4  t ;  t ) Khi đó : AC.HB   t  16 Ta cã ( BC ) :  Lop12.net 10 B M H A C 10 C©u 24.(THTT359) Cho h×nh thoi ABCD cã A(0;2), B(4;5) vµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo n»m trªn đường thẳng (d): x  y   Tìm tọa độ C và D Hướng dẫn: B A I C -2 D C©u 25.(NguyÔn Thµnh Giang-Chuyªn H­ng Yªn-THTT358) Cho A(1;1), B(2;3) Lập phương trình đường thẳng (d) cách A khoảng 2, c¸ch B mét kho¶ng b»ng Hướng dẫn: B A M H K -2 C©u 26.(NguyÔn V¨n Th«ng-Chuyªn Lª Quý §«n-§µ N½ng-THTT356) Lop12.net Cho (d1 ) : 3x  y   0, (d ) : x  y   0, (d3 ) : x   Tìm tọa độ các đỉnh hình vu«ng ABCD biÕt: A, C thuéc (d3 ) , B thuéc (d1 ) , C thuéc (d ) Hướng dẫn: A D B C Câu 27.(Phan Tuấn Cộng-Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương-THTT343) Cho tam gi¸c ABC, cã A(1;0), c¸c ®­êng cao (BH): x  y   , (CH): 3x  y   Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: C H A -5 B -2 Bài tập tương tự: 27.1.Cho tam giác ABC đỉnh A(2;2) Lập phương trình các cạnh tam giác , biết : x  y   , x  y   là các đường cao kẻ từ B và C 27.2 Lập phương trình các cạnh tam giác ABC cho B(-4;5) và hai đường cao có phương trình x  y   và 3x  y  13  27.3 Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là x  y   , các đường cao qua đỉnh A và B là x  y   ; x  y  22  Lập phương trình hai cạnh AC, BC vµ ®­êng cao thø ba C©u 28.(HSG12A-NA: 2007-2008) Cho tam gi¸c ABC cã A(2;-3), B(3;-2), träng t©m G thuéc ®­êng th¼ng (d): x  y   , vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c b»ng tam gi¸c ABC Hướng dẫn: Lop12.net TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp C G -2 B A -4 f x = C©u 29.(HSG12B-NA:2011-2012)(§Ò nµy cã sai) Cho tam giác ABC có A(2;-1) Đường phân giác góc B và góc C là x  y   0, x  y   Viết phương trình đường thẳng BC x+ Hướng dẫn:  A' x-2 y+1=0 x+y+3=0 O -5 A -2 -4 A'' C©u 30.Cho A(4;1), B(0;4) T×m ®iÓm M thuéc (d): 3x  y   cho MA  MB lín nhÊt Hướng dẫn: Lop12.net M0 B M A' A O Ta cã MA  MB  MA ' MB  A ' B Bài tập tương tự: 30.1)Cho A(-7;1), B(-5;5) vµ (d): x  y   T×m ®iÓm M thuéc (d) cho MA  MB nhá nhÊt 30.2)Cho A(-3;2), B(2;5) T×m ®iÓm M thuéc trôc Oy cho MA  MB lín nhÊt 30.3)(HSG12A-NA:2011-2012) Cho (C): ( x  1)2  ( y  1)2  25 vµ A(7;9), B(0;8) T×m ®iÓm M thuéc (C) cho biÓu thức P  MA  2MB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn: 10 A B M M0 J I -5 O 10 -2 -4 VËy P  5 MB  MJ  BJ hay M  M (1;6) LÊy J ( ;3) Ta cã: MA  2MJ Suy P  MA  2MB  2( MJ  MB)  BJ  5 ( Bài toán gốc: Cho hai điểm cố định A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) Tìm quỹ tích điểm M cho MA  k MB ( víi k  0, k  )) Lop12.net 30.4)Cho đường thẳng d có phương trình x  y   , và hai điểm A(1;6), B(-3;-4) Tìm điểm M trên  cho vec tơ AM  BM có độ dài nhỏ Hướng dẫn: A A' M C -5 -2 B -4 -6      Ta cã MA  MB  CM  MB  CB  d ( B,  ')  d ( A, )  d ( B, )  II.Đường tròn: (Phân dạng có tính tương đối) Câu Cho tam giác ABC, biết : A(-1;3), B(1;1), C(2;4) Viết phương trình đường trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC C©u 2.Cho hai ®­êng trßn ( C1 ) x  y  x   vµ ( C ) x  y  12 x  y  44  Xác định các đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn trên C©u 3.Cho c¸c ®­êng trßn ( C ) x  y   vµ ( C m ) x  y  2(m  1) x  4my   a)Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ( C m ) m thay đổi b)Chøng minh r»ng cã hai ®­êng trßn ( C m ) tiÕp xóc víi ®­êng trßn (C), øng víi hai giá trị m Viết phương trình các tiếp tuyến chung hai đường tròn ( C m ) đó Câu 4.Cho họ đường tròn ( C m ) có phương trình : x  y  (m  2) x  2my   a)T×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn ( C m ) b)Chứng tỏ m thay đổi, các đường tròn ( C m ) qua điểm cố định c)Cho m=-2 và điểm A(0;-1) Viết phương trình các tiếp tuyến đường tròn ( C 2 ) kÎ tõ ®iÓm A Câu 5.Lập phương trình đường tròn qua điểm A(1;-2) và các giao điểm đường th¼ng x  y  10  víi ®­êng trßn x  y  x  y  20  C©u (NguyÔn Thµnh Giang-Chuyªn H­ng Yªn-THTT419) Cho A(2;3) lµ mét hai giao ®iÓm cña ( C1 ) : x  y  13 vµ ( C ): x  y  12 x  11  Viêt phương trình đường thẳng qua A và cắt ( C1 ),( C ) theo hai dây cung khác có độ dài Hướng dẫn: Lop12.net K H A I O 10 -2 -4 -6 Câu 7.(Nguyễn Lái-Chuyên Lương Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418) Lập phương trình đường tròn bán kính R  , có tâm I nằm trên đường thẳng ( d1 ): AIB  1200 x  y   , vµ c¾t ( d ): x  y   t¹i hai ®iÓm A, B cho  Hướng dẫn : A I H B Câu 8.(THTT413)(Tài liệu chuẩn không nhắc đến phương tích) Cho M(2 ;1) và (C) : ( x  1)2  ( y  2)2  Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB ngắn Hướng dẫn : Ta chøng minh AB ng¾n nhÊt MA=MB A I M B Lop12.net   P ThËt vËy M/(C)= MA.MB  d  R 2 Suy MA.MB  Mµ AB  MA  MB  MA.MB  Suy AB  MA  MB Câu 9.(Huỳnh Tấn Châu-Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên-THTT) Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A(2 ;5), B(4 ;1) và tiếp xúc với đường th¼ng (d) : 3x  y   Hướng dẫn : A M H I B -2 C©u 10.(HSG12A-NA :2006-2007) Cho tam gi¸c ABC v«ng t¹i B, néi tiÕp ®­êng trßn (T) : ( x  1)2  ( y  2)2  , cã A(2 ;0) và diện tích tam giác Tìm tọa độ B và C Hướng dẫn : A -2 T K C -4 B C©u 11.(HSG12B-NA :2007-2008) Cho (C) : x  y  x  y   vµ (d) : x  y   Tõ ®iÓm M thuéc (d), kÎ hai tiÕp tuyến MA, MB đến (C)(A, B là hai tiếp điểm) Chứng minh đường thẳng AB luôn qua điểm cố định M chạy trên (d) Hướng dẫn : Lop12.net A I A H I H M H0 B d B O M Ta cã I(1 ;2), R=1 vµ M  (d )  M (m; m  1) (víi m lµ tham sè)  Khi đó MH  d  R  2m  m  4m  15m  17 MI  H ( ; ) d2 2m  8m  10 2m  8m  10  x  2m  m  4m  15m  17  )  (m  3)( y  )  0, m   Suy (AB) : (m  1)( x  2m  8m  10 2m  8m  10 y   3 VËy (AB) lu«n ®i qua ®iÓm H ( ; ) 2 2 C©u 12.(HSG12B-NA:2010-2011) Cho tam gi¸c ABC, cã t©m G(1;2) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC BiÕt đường tròn qua ba trung điểm ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là x  y  x  y   Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: A I L M H F E K J B G N C D Ta cã D, K, E, M, I, L, F, J, N cïng thuéc mét ®­êng trßn (T) : x  y  x  y   Mµ V(G ;2) (DEF )  ABC Suy V(G ;2) ((T ))  (T ') : ( x  1)2  ( y  10)2  C©u 13.(§H2011A-ChuÈn) Cho (  ): x  y   vµ (C): x  y  x  y  Gäi I lµ t©m cña (C) vµ M lµ ®iÓm thuộc (  ) Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là hai tiếp điểm) Tìm M, biết diÖn tÝch tø gi¸c MAIB b»ng 10 Hướng dẫn: Lop12.net A M d I B -2 Ta cã M  ()  M (t; 2  t ) III.Elip: Câu 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho elip (E) x  y  và hai điểm M(-2; m), N(2; n) Gọi A1 , A2 là các đỉnh trên trục lớn (E) Hãy viết phương trình các đường thẳng A1 N và A2 M , và xác định giao điểm I chúng Câu 2.Lập phương trình chính tắc elip (E), biết (E) tiếp xúc với các đường thẳng x  y  20  vµ x  y  20  x2 y2   và điểm M(1;1) Lập phương trình đường thẳng qua M và C©u Cho elip 25 16 c¾t elip t¹i hai ®iÓm A, B cho MA=MB x2 y2 x2 y2   vµ   C©u Cho hai elip 16 Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm hai elip C©u Cho elip (E) x2 y2   vµ hai ®­êng th¼ng d1 : ax  by  , d : bx  ay  víi a  b  a)Xác định các giao điểm M, N d1 với (E), và các giao điểm P, Q d với (E) b)TÝnh theo a, b diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ c)Tìm điều kiện a, b để diện tích lớn Câu 6.(Dương Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417) Cho A(3;0) vµ (E): x2 y   T×m B, C  (E) cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A Hướng dẫn: Lop12.net B A C -2 C©u 7.(NguyÔn V¨n Th«ng-Chuyªn Lª Quý §«n-§µ N½ng-THTT369) x2 y Cho (d): x  y   vµ (E):   ; (d) c¾t (E) t¹i B, C a)T×m A thuéc (E) cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A b)Tìm A thuộc (E) cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn Hướng dẫn: C M B -2 A x0  y0  BC AH , AH  , A( x ; y0 )  ( E ) Vµ ( x0  y0 )2  ( x02  y02 ).2  16  4  x0  y0   AH  b)Ta cã S ABC  Bài tập tương tự: (Sáng tạo) 7.1)Cho elip (E) ®i qua ®iÓm B(0;2) vµ cã mét tiªu ®iÓm lµ F(  ;0) T×m ®iÓm A thuéc (E) cho tam gi¸c ABF cã diÖn tÝch lín nhÊt 7.2)Cho elip (E) ®i qua ®iÓm A(-3;0) vµ ®iÓm B( ; ) T×m ®iÓm M thuéc (E) cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt C©u 8.(HSG12A-NA:2006-2007) Cho tam gi¸c ABC cã B(-3;0), C(3;0) vµ AH=3r( víi AH lµ ®­êng cao, r lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC , t©m lµ I) Chøng minh I thuéc mét ®­êng cong cè định A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện trên) Hướng dẫn: Lop12.net A I C B K H -2 2 Gäi I(x;y) Ta cã : S ABC  BC AH  ( AB  BC  CA).IK vµ AH  3IK Suy AB  AC  BC  sin C  sin B  2sin A  cot B C BK CK cot   3 2 IK IK x2 y  1 x2 y C©u 9.(S¸ng t¹o) Cho (E) :   T×m c¸c ®iÓm A, B thuéc (E) cho OAB lµ  BK CK  3IK  tam giác vuông O, và có diện tích nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó Hướng dẫn: A O B TH1)Nếu A, B là hai đỉnh (E) thì SOAB  k 2k TH2)Ta cã (OA): y  kx , (OB): y   x ( k  ) Suy A( hoÆc A(  4k 2 ; 2k  4k 2k ) vµ B( 4k 2k ;  k2 ), ; ) vµ B( ; ),  4k  4k  k2  k2 2k 2k ; ) vµ B( ; ), hoÆc A(  4k  4k  k2  k2 2k 2k ; ) vµ B( ; ) hoÆc A(  4k  4k  k2  k2 Lop12.net Khi đó: S OAB 4(1  k )  (1  4k )(4  k ) XÐt hµm sè f (t )  4(1  t ) 36t  36 , (t  k  0) Ta cã f '(t )  , (1  4t )(4  t ) (4t  17t  4) f '(t )   t  B¶ng biÕn thiªn: t + f'(t) f(t) 16 25 2 2 A( ; ) vµ B( ; ) , 5 5 2 2 2 2 hoÆc A( ;  ) vµ B( ; ) , hoÆc A( ; ) vµ B( ;  ) , 5 5 5 5 2 2 hoÆc A( ;  ) vµ B( ;  ) 5 5 Suy SOAB  Bài tập tương tự: 9.1)Cho (E) : x2 y   T×m c¸c ®iÓm A, B thuéc (E) cho OA vu«ng gãc víi OB, và độ dài đoạn AB nhỏ Hướng dẫn: 1 1     2 OA OB 4 2 x y 9.2)Cho (E):   vµ (C) : 25 x  25 y  144 §­êng th¼ng  tiÕp xóc víi (C) vµ 16 Ta cã: c¾t (E) t¹i hai ®iÓm A, B a)Chøng minh tam gi¸c OAB vu«ng t¹i O b)Lập phương trình đường thẳng  tam giác OAB có diện tích lớn Lop12.net