MẬT MÃ TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

MẬT MÃ TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Nhóm 07 Bảng phân công  MSV Làm doc Làm slide Làm BT Code Ghi Tổng hợp Nguyễn Tùng Anh AT140102 Hoàng Nguyên Thái AT140340 2, 8.1 Tổng hợp doc, slide Ngô Nguyễn Quỳnh Hương AT140815 Tổng hợp doc, slide Phạm Thành Trung Hiếu AT140420 Nguyễn Thế Bắc AT140103 3,4,7 Nguyễn Văn Chung AT140504 3,4,7 Đào Thành Đạt AT140306 5,6,8.2 Doc (chương 2.1) Slide phần 04, 05 NỘI DUNG 01 03 02 Hệ mật khóa cơng Đường cong Elliptic Mật mã đường khai cong Elliptic 05 04 Nhúng số điểm Bài tập đường cong Elliptic 01 Hệ mật khóa cơng khai Hệ mật khóa bí mật m = D(K, c) C = E(K, m) Plaintext Alice Ciphertext Encrypt Plaintext Decrypt Bob Khóa bí mật Hệ mật khóa công khai m = D(Ks, c) C = E(Kp, m) Plaintext Alice Plaintext Ciphertext Encrypt Khóa cơng khai Decrypt Bob Khóa bí mật 02 Đường cong Elliptic Khái niệm ● Đường cong Elliptic E trường Fp xác định phương trình (*) ● ●   p số nguyên tố ● Fp trường hữu hạn số nguyên theo modulo p ● Với điều kiện:   Khái niệm ● ● ● Một cặp (x, y) gọi điểm thuộc đường cong chúng thỏa mãn (*)   Ngồi có «điểm vô cùng» ký hiệu O, (∞) Các phép toán đường cong Elliptic Phép cộng Phép cộng điểm P Q đường cong Elliptic hoạt động sau:  Kẻ đường thẳng A đi qua điểm P Q  Đường thẳng A cắt đường cong Elliptic điểm E = -(P + Q)  Lấy đối xứng giao điểm qua trục Ox ta điểm R = (P + Q) 10 Bài 2: Tìm số nghịch đảo (nếu có) 30 theo mơđun 101  Giải Cách 1: Sử dụng thuật tốn Euclide mở rộng: Tìm 30 -1 mod 101  Q  A1  A2  A3  B1  B2  B3  -  1  0  101  0  1  30  3  0  1  30  1  -3  11  2  1  -3  11  -2  7  8  1  -2  7  8  3  -10  3  2  3  -10  3  -8  27  2  1  -8  27  2  11  -37  1  => 30 -1 mod 101 = -37 mod 101 = 64  => 64*30 mod 101 ≡ 1  49 Cách 2:   ⇨ b = 30; m = 101 Tìm x cho x*b = y*m + Ta có: ⇨ ⇨ x = = = 3y + o r1 = (0 r130) (*) o 30r1 = 11y + y = = 2r1 + o r2 = (0 r211) (**) o r1 = Chọn r2 = thỏa (**) r1 = thỏa (*) y = 2r1 + r2 = 19 ⇨ x = 3y + r1 = 3.19 + = 64 50 Bài 3: Tìm phần tử nghịch đảo Z*31 * Giả sử b nghịch đảo Z 31  3.b ≡ mod 31  3.b mod 31 ≡  -1 b = mod 31 Áp dụng thuật tốn Euclide mở rộng tính: b = -1 mod 31 i ri qi xi yi -1 31   0   1 10 -10     -1 Ta có: b = mod 31 = -10 mod 31 = 21 * Nghịch đảo Z 31 là: 21 51 Bài 4: Tìm khóa bí mật hệ mật RSA với p=61, q=29 biết khóa cơng khai e=19 Tính mã rõ m=37 tiến hành giải mã ngược lại để kiểm tra lại kết Tính khóa bí mật Trong hệ mật RSA ta có: n = p.q = 61.29 = 1769  Φ(n) = Φ(p.q) = Φ(p).Φ(q)  Φ(1769) = Φ(61) Φ(29) = 60.28 = 1680  Sô mũ giải mã: -1 -1 d = e mod Φ(n) = 19 mod 1680 Sử dụng thuật toán Euclide mở rộng tính 19 -1 mod 1680 52 Q A1 A2 A3 B1 B2 B3 - 1680 19 88 19 -88 -88 -2 177 -2 177 -422 -422 -7 619 Số mũ giải mã d = 19 -1 mod 1680 = 619 53 Mã hóa tin với m = 37 e 19 Trong hệ mật RSA, ta có mã: c = m mod n = 37 mod 1769 Áp dụng thuật tốn nhân bình phương có lặp ta tính: 19 c = 37 mod 1769 19 = 10011 = + +  t=4 i ki 1 0 A 37 1369 790 1412 81 b 37 1121 1121 1121 582  Bản mã: c = 37 19 mod 1769 = 582 54 Giải mã d Để giải mã, ta tìm: m = c mod n  m = 582 619 mod 1769 619 = 1001101011 = + + + + +  t=9 i ki 1 1 0 A 582 845 1118 1010 1156 741 691 1620 973 314 b 582 8 1004 1004 984 648 648 648 37  Vậy rõ ban đầu: m = 582 619 mod 1769 = 37 55   Bài 5: Tính JACOBI (158, 235)   Tính chất (1): m1 ≡ m2 mod n -> () ≡ ()    Tính chất (2): () =  Tính Tính chất chất (3): (3): () = () () m = () () = () () Tính chất (4): m = () (mn) =  Tính chất (5): () = Giải   = = = = = = 56 Bài 6: Hãy tính bậc hai 12 mod 37 57 Bài 6: Hãy tính bậc hai 12 mod 37 Giải − − −   Ta có 37 số nguyên tố 37 ≡ mod Tính d = a (p-1)/4 mod p = 12 mod 37 Áp dụng thuật toán bình phương có lặp ta có: 12 = 12 12 = 33 12 = 16 12 = 34 12 = 12 12 = 12 34 = 408 ⇨ ⇨ ⇨ d = 408 mod 37 = (p+3)/8 Vì d = => r = (a) mod p = mod 37 r=7 Vậy có bậc hai (7, 30) 58 Bài 7: Tìm r với r ≡ (mod 41) Giải   p số nguyên tố Ф(p) = p - Φ(p) = 41 –1 = 40 * i Áp dụng định lý α € Z 41 phần tử sinh β = α mod n phần tử sinh gcd(i, Φ(p)) = * Z 41 = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39} Căn bậc hai r ≡ mod 41: r = 13 13 = 169 ≡ mod 41 59 Bài 8: Cho đường cong E={(x,y) :y2=x3+x+ mod 11} Xác định tất điểm đường cong Tính tất giá trị kα với 1< k