Vận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán oxy liên quan đến đường tròn trần duy thúc

Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Lời nói đầu Chào Em học sinh thân mến! Câu hình học phẳng Oxy chắn xuất đề thi THPT Quốc Gia hàng năm Nhằm đáp ứng xu hướng đề Bộ Giáo Dục Đào Tạo nội dung câu này.Thầy biên soạn tài liệu với mục đích giúp Em chinh phục câu hình học phẳng Từ xây dựng lịng tin để đạt kết tốt kì thi Tài liệu đựơc chia thành chương: Chương Các tốn liên quan đến đường trịn Chương Các tốn hình vng – hình chữ nhật Chương Các tốn hình thang- hình bình hành-hình thoi Chương Các toán tam giác Mỗi chương nhắc lại lí thuyết,có tập mẫu tập rèn luyện hướng dẫn tập rèn luyện Dù cố gắng chắn tài liệu khơng tránh khỏi sai sót định.Hy vọng Bạn thơng cảm mong nhận đóng góp ý kiến từ Bạn đọc! Để lần sau tài liệu hoàn chỉnh ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRỊN Phần Một số kiến thức cần nhớ Đường kính dây cung Cho đường trịn tâm I có dây cung AB khác đường kính H trung điểm AB Khi đó, IH đường trung trực AB Thật ra, IAB cân I (IA=IB=R) nên IH vừa đường cao, đường trung I A H tuyến, đường trung trực, đường phân giác B Tiếp tuyến tính chất hai tiếp tuyến cắt a Cho d tiếp tuyến đường tròn tâm (I;R) H tiếp điểm Khi đó: i) d  I ; d   R ii) IH vuông góc d B b Giả sử AB, AC tiếp tuyến đường tròn (I;R) với B,C tiếp điểm đó: I H i) AI đường trung trực BC ii) Tứ giác ABIC nội tiếp A C Góc tâm a Định nghĩa:Góc tâm góc có đỉnh tâm hai cạnh hai bán kính b Tính chất:Hai góc tâm chắn hai cung Góc nội tiếp a Định nghĩa:Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh hai dây cung b Tính chất: i) Các góc nội tiếp chắn hai dây cung nhau.Đặt biệt, góc nội tiếp chắn dây cung ii) Các góc nội tiếp chắn dây cung iii) Góc nội tiếp (  90 ) góc tâm chắn dây cung A iv) Góc nội tiếp chắn đường kính góc vng Góc tạo tiếp tuyến dây cung x a Định nghĩa:Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm, có cạnh tia tiếp tuyến cạnh lại dây cung ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 I B C Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM xAC góc tạo tiếp tuyến dây cung b Tính chất: i) Góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn ii) Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn dây cung Tứ giác nội tiếp Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Ta có phát biểu tương đương sau: a.Tứ giác nội tiếp  tổng hai góc đối tứ giác 180 b Tứ giác nội tiếp  hai góc kề chắn cạnh c Tứ giác nội tiếp  góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh Phần Rèn luyện kỉ chứng minh vận dụng tính chất biết trước để giải toán 1.Bài toán 1(BT1) Cho  ABC nội tiếp đường tròn (I;R).H trực tâm,M trung điểm BC G trọng tâm  ABC AKlà đường kính Chứng minh: a) BKCH hình bình hành b) AH  2IM ; BH  2IN CH  2IP N,P trung điểm AC AB c) H,G,I thẳng hang HI  3GI d) Trong trường hợp A  60 Chứng minh: AH  AI Chứng minh   a) CH  AB  CH KB; BH  AC  BH KC Do đó, KB  AB KC  AC ABKC hình bình hành b) ABKC hình bình hành M trung điểm BC, suy M trung điểm HK Do IM đường trung bình  AHK   AH IM  AH  2IM  AH  2IM Các ý lại tương tự Bạn đọc thử chứng minh để nhớ c) G trọng tâm  ABC nên AM  AG Mà AM đường trung tuyến  AHK nên G trọng tâm  AHK HI đường trung tuyến  AHK nên H,G,I thẳng hàng HI  3GI A E F B H D G I C M K d) A  60  BIC  120  MIC  60 (góc nội tiếp 1/2 góc tâm chắn dây cung) IMC vng M Ta có: IM  IC.cos60  IC  2IM  IA  IC  2IM Mà AH  2IM (câu b) Suy AH  AI ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có đỉnh A  1;2  , trực tâm H 1;1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I  2;  Viết phương trình cạnh BC Phân tích: BC có vtpt AH   2; 1 Nếu tìm điểm thuộc cạnh BC bải tốn giải?? Gọi M trung điểm BC Nhớ lại AH  2IM (BT1 câu b).Thế có điểm M Giải BC có vtpt AH   2; 1 Gọi M trung điểm BC Khi đó:   1 2   x M    M  3;   AH  2IM   2   1   yM     BC qua M có vtpt AH nên BC :  x  3  y    BC : x  y  13 /  Chú ý: Trong làm em phải chứng minh AH  2IM (xem BT1 câu b)   Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trực tâm H 1;3 ,trọng tâm G ; tiếp 3 tuyến A đường trịn ngoại tiếp ABC có phương trình x  3y   Tìm tọa độ đỉnh ABC Giải Đặt d : x  3y   tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi M,I trung điểm BC tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Khi đó: HI  3GI (xem A BT1 câu c) AM  3GM (tính chất trọng tâm)   4   xI    xI   x   I     I  3;1  Từ: HI  3GI      2 2 y   3 y   y   I  I  I  3   Ta có: IA  d  IA : 3x  y  m  I  IA  3   m   m  5 2 E F B H D G I C M K Vậy IA : 3x  y   A  d  IA nên tọa độ A nghiệm hệ: 3x  y   x    A 1;2    x  3y   y  Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA        25 IA   ;  IA   IA2  C  : x  2 2 ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89  y1 2 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   4  xM    xM   3  3   Ta có AM  3GM    M  ;1 2  y   3 y    M  M  3   BC qua M có vtpt AH   0;1 nên BC có phương trình:   BC : x    y  1   BC : y   B, C  BC  (C) nên tọa độ B,C nghiệm hệ phương trình: y      y1  x   2     x  x     B(0;1), C(3;1)  B(3;1), C(0;1)  5 y  y  Vây: A(1;2), B(0;1), C(3;1) A(1;2),B(3;1), C(0;1) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trực tâm H  1;3 , tâm đường tròn ngoại tiếp I  3; 3 đỉnh B 1;1 Tìm tọa độ đỉnh A,C, biết x A  xC Giải Ta có: IB  (2;4)  IB  20 Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I bán kính IB có phương trình: 2  x  3   y  3  20 B Gọi M trung điểm AC, ta có BH  2IM (xem BT1 câu b)   x M    1  1 x  BH  2IM    M  M  2; 2   yM  2  y     1  M E F Đường thẳng AC vng góc IM qua M có phương trình: A H D G I C M AC : x  y   K A, C  BC  (C) nên tọa độ A,C nghiệm hệ phương trình:   x  1, y  x  y     A  5;1 ,C  1;5  2  x  5, y  1   x  3   y  3  20  x A  xc  Vậy tọa độ điểm cần tìm A  5;1 ,C  1;5 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trực tâm H 1;2  , tâm đường tròn ngoại tiếp I  3; 2  , A  60 Tìm tọa độ đỉnh ABC , đỉnh A thuộc đường thẳng d : x  y   ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM xB  xC Giải Với A  60 ta chứng minh AH  AI Suy A thuộc đường trung trực IH Đường trung trực IH qua trung điểm N(2; 0) IH có vtpt HI   2; 4  nên có phương trình  : x  2y   Điểm A  d   nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình:  x  2y   x   x  5y     y   A  4;1   2 Đường trịn ngoại tiếp ABC có tâm I bán IA nên có phương trình:  x  3   y    10 Gọi M trung điểm BC, ta có  3   x  3 x  3 3  AH  2IM     M  ;  2 2  y   1   y    BC qua M có vtpt AH   3;1 có phương trình BC : 3x  y   B, C  BC  (C) nên tọa độ B,C nghiệm hệ phương trình:  x   , y  3  3 x y            2   B   ; 3   ;C   ;    Vì  2   2    x   , y     x  3   y    10  2     xB  xC Vậy điểm cần tìm A  4;1 , B   ; 3   ;C   ;      2   Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trọng tâm G 1;1 , tâm đường tròn ngoại tiếp   I ; 37 cạnh AC có phương trình x  y   18 18 Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết x A  Giải Gọi M trung điểm AC, ta có IM  AC  IM : x  2y  m  I thuộc IM nên suy IM : x  y   M  AC  IM nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 2 x  y    5   x    M  ;1 Do G trọng tâm ABC ,ta có   x  2y   2     y   x   3(1  )  x  2   B MB  3MG   B  B(2;1) Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I bán yB    y   3(1  1)  B 2  7  37  1105 kính IB có phương trình: (C ) :  x     y    Các điểm A, C  AC  (C) nên tọa độ A,C 18   18  162  nghiệm hệ phương trình: 2 x  y      y  37 x    18 18      x  3, y    A  3;2  ,C  2;  1105   x  2, y  162  xA  2 Vậy tọa độ điểm cần tìm A  3;2  ,B(2;1),C  2;0  Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trực tâm H  3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I  3;0  đỉnh C  3; 7 Tìm tọa độ đỉnh A,B ABC Giải C Đường trịn ngoại tiếp ABC có tâm I bán kính IC có phương trình:  x  3  y2  85 E Gọi M trung điểm AB, ta có CH  2IM (xem BT1 câu b)   x M     3  x  3 2IM  CH    M  M  3;3 y   M  y   1    M F H A D I M Đường thẳng AB vuông góc IM qua M có phương trình: K AB : y   A,B  AB  (C) nên tọa độ A,B nghiệm hệ phương trình:  x  3  19, y   y      2  x  3  y  85  x  3  19, y            A 3  19;3 ,B 3  19;3  A 3  19;3 ,B 3  19;3         Vậy tọa độ điểm cần tìm là: A 3  19;3 ,B 3  19;3  A 3  19;3 ,B 3  19;3 ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có đường trung tuyến đường cao xuất phát từ A có phương trình 13x  6y   x  2y  14  Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết tâm đường tròn ngoại tiếp ABC I (6;0) Giải Đặt d1 :13x  6y   0,d : x  y  14  đường trung tuyến đường cao xuất phát từ A 13x  y    x  4 Khi đó, tọa độ A nghiệm hệ phương trình    A(4; 9) Gọi H M  x  y  14   y  9 trực tâm trung điểm BC Khi đó: H  d1  H(2h  14; h),M  d  M (m; 13m  ) Ta có: AH  2IM (xem BT1 câu b) 2h  14    m   2h  2m  6   h  1 AH  2IM   29    13m     13 m  h m    h         3     Vậy H 12; 1, M 2;4  Đường thẳng BC qua M có vtpt IM nên có phương trình BC : x  y   Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I bán kính IA có phương trình:  x  6  y2  85 Các điểm B, C  BC  (C) nên tọa độ B,C nghiệm hệ phương trình:   x  3, y  2 x  y     B  3;2  ,C 1;6   B 1;6  ,C 3;2    x  1, y  x   y  85      Vậy tọa độ điểm cần tìm A  4; 9  , B  3;2  ,C 1;6  A  4; 9  , B 1;6  ,C 3;2  Bài toán 2(BT2) Cho  ABC nội tiếp đường tròn (I;R) D,E,F chân đường cao kẻ từ A,B,C  ABC H trựctâm Chứng minh: a) IA  FF ; IB  DF IC  DE b) H tâm đường tròn nội tiếp DEF Chứng minh a) Kẻ tiếp tuyến xy A Khi đó: xAB  ACB 1 Ta có BFC  BEC  90  tứ giác BCEF nội tiếp Suy AFE  ACB   (góc ngồi tứ giác nội tiếp) A x E Từ (1) (2) suy AFE  xAB  xy EF Mà xy  IA ,do IA  EF Các ý lại Em chứng minh tương tự nhé.! b) Tứ giác BDHF nội tiếp  HDF  HBF 1 Tứ giác CDHE nội ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 F B H D I C Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM tiếp  HDE  HCE   Tứ giác BCEF nội tiếp  FBE  FCE  3 (1),(2) (3)  HDE  HDF Khi DH tia phân giác FDE Chứng minh tương tự ta có H giao điểm ba đường phân giác DEF Nên H tâm đường trịng nội tiếp DEF Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC nội tiếp đường tròn (C ) :  x  1   y    2 Chân đường cao kẻ từ B C E  0;1 F 1;3 Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết x A  Giải Đường trịn (C ) có tâm I (1;2) Ta có IA  EF (xem BT2 câu a) A x IA qua I có vtpt EF  (1;2) có phương trình E F IA :1( x  1)  2(y  2)   IA : x  2y   Khi tọa độ điểm A I nghiệm hệ phương trình: C B 2   x  3, y   x  1   y       x  1, y    x  2y   Vậy A(3;1) (vì x A  ) AC qua A E có phương trình AC : y   C  AC (C) nên tọa độ ,C nghiệm hệ phương trình: 2   x  3, y  1(l)  x  1   y      C(1;1) Ở ta loại x  3, y  trùng điểm A AB qua  x   1, y  1( n )  y     A F có phương trình AC : x y   B  AB (C) nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình:  x  12   y  2   x  3, y  1(l)    B(0; 4) Ở ta loại x  3, y  trùng điểm A  x  0, y  4( n )  x  y     Vậy tọa độ điểm cần tìm A  3;1 ,C  1;1 , B(0;4) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho chữ nhật ABCD Gọi M điểm đối xứng B qua C N hình chiếu vng góc B MD Tam giác BMD nội tiếp đường tròn (C ) :  x     y  1  25 Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết đường thẳng CN 2 có phương trình 3x  4y  17  Đường thẳng BC qua điểm E  7;  M có tung độ âm Giải M Đường trịn (C ) có tâm I (1;2) bán kính R  Do BMD nội tiếp đường N tròn (C) N,C chân đường cao nên ta chứng minh IM  NC D C I (xem BT2 câu a) IM qua I IM  NC nên có phương trình ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 B A Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM IM : 4( x  4)  3(y  1)   IM : x  3y  19  M giao điểm (C) IM nên tọa độ M  x  2   y  12  25  x  7, y  3  nghiệm hệ:    M  7; 3 (vì tung độ M âm) x  1, y   x  y  19    Đường thẳng BC qua M E có phương trình BC : x  Điểm C giao điểm BC NC nên tọa 3x  y  17  x  C nghiệm hệ    C  7;1 Điểm C trung điểm M B  B(7;5) DC x  y  qua C vng góc BC có phương trình DC : y   x  2   y  12  25  x  9, y   Tọa độ D nghiệm hệ  Vì B D phải nằm phía so với  x   1, y   y     đường thẳng CN nên ta nhận D  1;1 Do DA  CB  A  1;5 Vậy tọa độ điểm cần tìm A  1;5 ,B  7;5 ,C  7;1 , D  1;1 3.Bài tốn 3(BT3) Cho  ABC nội tiếp đường trịn (I;R) Điểm E là giao điểm tiếp tuyến A BC D chân đường phân giác kẻ từ A Chứng minh: EAD cân Chứng minh Đặt: A1  EAB; A2  BAD; A3  DAC; D  ADE; C  ACB A Ta có: D  A3  C (1) (góa ngồi DAC ) EAD  A1  A2 (2) Mà A3  A2 (3) ( AD đường phân E I giác góc A A1  C (4) (góc tạo tiếp tuyến dây B D cung Từ (1),(2),(3), (4) suy EAD  D  EAD cân C Ví dụ 10 Trong mặt phẳng Oxy.Cho  ABC có A 1;  , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp  ABC cắt BC D, đường phân giác góc ADB có phương trình x  y   Điểm M  4;1 thuộc cạnh AC Viết phương trình cạnh AB Giải A Gọi K chân đường phân giác góc A,khi DAK cân D(xem BT3) Đặt d : x  y   đường M' phân giác góc ADB DAK cân D suy N I AK  d  AK : x  y  m  Do điểm A thuộc AK nên ta ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 M D B K C 10 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Giải Ta có BMH  BNH  90  bốn điểm BNHM thuộc đường A trịn đường kính BH B  d  B   2t; t  , I trung điểm BH suy N H   2t; t   AH    2t; t   , BH   2t  1; t   H Do H trực tâm ABC I B C P M AH BH   5t  10t    t  1 Suy H(0;1), B(4;-1) Đường thẳng AC qua A có vtpt BH   4; 2  có phương trình AC : x  y   Đường thẳng BC qua B P có phương trình BC : x  3y   Tọa độ điểm C nghiệm hệ 2 x  y    C  5; 4  Vậy tọa độ điểm cần tìm là: B(4;-1) C(-5;-4)   x  3y   Ví dụ 22 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có ABC nhọn, đỉnh A(-2;-1) Gọi H,K,E hình chiếu vng góc A đường thẳng BC,BD,CD Phương trình đường tròn ngoại tiếp HKE C  : x  y  x  4y   Tìm tọa độ đỉnh B,C,D biết H có hồnh độ âm Điểm C có hồnh độ dương thuộc đường thẳng x  y 3  Phân tích: Các em cố gắng vẻ hình tốt ghi giả thuyết, phân tích xem tìm điểm trước Rõ ràng ta suy nghĩ đến điểm C H trước hai điểm có nhiều điều kiện Lại thấy đường tròn ngoại tiếp, mà điểm C thuộc (C) tốt nhỉ?? Thật khơng may,khi vẽ đường trịn em nhân điểm C không thuộc (C) Nếu vẽ tốt ta thấy đường tròn (C) dường qua tâm I hình bình hành?? Liệu ta gì?? Điểm C ẩn điểm A có A D tính I theo ẩn C(vì I trung điểm AC) Mà I thuộc (C) ta tìm I!! Có vẽ hợp lí rồi! Vậy ta cố gắng chứng minh I thuộc I (C), muốn ta chứng minh tứ giác IKHE nội tiếp ! Các Em theo dõi K B H E giải chi tiết ! C Giải Ta có AHC  AEC  90  bốn điểm A,H,C,E thuộc đường tròn   đường kính AC Gọi I tâm hình bình hành Ta có HIE  2HAE  180  BCD Các tứ giác AKED,AKHB nội tiếp ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 24 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM  EKD  EAD nên   BKH  BAH Do đó:     HKE  180  EKD  BKH  180  EAD  BAH  90  EAD  90  BAH  ABC  ADC    180  BCD  HIE Suy tứ giác HKIE nội tiếp Dẫn đến điểm I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp HKE   Gọi C  c;c 3  d ,  c    I c  ; c  Do I thuộc (C) nên ta có phương trình 2 c2  c    c   c  1 (loại c>0) Suy C  2; 1 I  0; 1 Điểm E,H nằm đường trịn đường kính AC đường trịn (C) nên tọa độ thỏa mản hệ phương trình : 2  x  0, y  3   x  y  x  4y     2  x   ,y   11   x   y  1   5   Vì điểm H có hồnh độ âm H  ;  11 , E  0;3 Đường thẳng BC qua H C nên có phương trình 5 BC : x  3y   Đường thẳng AB qua A song song CE nên có phương trình AB: x  y   Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: x  y 1   x  4   B  4; 3  BA   2;2  , BC   6;2   BA.BC  16  0(t / m)   x  3y    y  3 Vì BA  CD  D  4;1 Vậy B  4; 3 , C 2; 1 , D 4;1  Bình luận: Tới Thầy nghĩ khả phân tích Em tiến chứ!.Thầy nghĩ phần lại rèn luyện cách chứng minh kỉ tính tốn thật tốt Ví dụ 23.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC cân A Điểm M thuộc BC(M khác trung điểm BC) Các điểm E,F hình chiếu M cạnh AB AC EF : x  y   Cạnh BC có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết I(1;2) trung điểm AM E có hồnh độ dương Phân tích: Chắc chắn ta phải nghĩ đến tìm điểm E,F,M điểm thuộc cạnh BC Vì điểm thuộc đường thẳng có phương trình Đề cho ABC cân A?? Ta xem gì? Ta thử nghĩ đến trung điểm H BC AH đường cao đường phân giác ABC Ta dễ nhận điểm A,E,M,H,F thuộc đường tròn đường tâm I, với I trung điểm AM, MEA  MFA  MHA  90 ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 25 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Thử nối IH lại ta thấy IH  EF ?? Nếu ta có tọa độ điểm H ? Ta xem giải chi tiết nhé…! Giải Gọi H trung điểm BC I trung điểm AM Ta có: MEA  MFA  MHA  90 suy điểm A,E,M,H,F thuộc đường tròn (C) tâm I  IE  IF 1 Mặt khác, ABC cân A suy ra: EAH  FAH  HE  HF   (tính chất góc nội tiếp) Từ (1) (2) dẫn đến IH đương trung trực EF nên IH vng góc EF Ta có A IH  EF  IH : x  2y  m  , mà I  IH  IH : x  2y   Điểm H  IH  BC  H  5;4  Đường tròn (C) tâm I(1;2) bán kính R  IH  có phương trình C  :  x  1   y    20 Đường I F thẳng AH qua H(5;4) vng góc BC nên có phương trình E B AH : x  y   M H C Điểm A  AH  C  nên tọa độ điểm A nghiệm hệ:  x  12   y  2  20  x  5, y   Điểm A(5;4) loại trùng H, nên A(3;6)    x  3, y   x  y   Các điểm E, F  EF  C  nên tọa độ E,F nghiệm hệ:  x  12   y  2  20  x  1, y   Vì E có hồnh độ dương nên E(3;2) F(-1;6)   x  3, y    x  y     Đường thẳng AB qua điểm A(3;6) E(3;2) nên có phương trình AB : y  Điểm B  AB  BC  B  4;3 Điểm H trung điểm BC nên C(6;5) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(3;6), B(4;3), C(6;5) Kết cần nhớ qua ví dụ 18: Cho ABC cân A; M điểm thuộc đoạn BC (khác trung điểm BC); E F hình chiếu M AB AC; I trung điểm AM; H trung điểm BC Khi đó: a) Các điểm A,E,M,H,F thuộc đường tròn tâm I b) HI đường trung trực EF Em nhớ chứng minh trước áp dụng vào giải toán nhé…! Ví dụ 24.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường trịn (C) tâm I D điểm cung BC không chứa A) P(4;5) giao điểm AB DC Phương trình đường ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 26 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM trịn ngoại tiếp APC có phương trình T  : x   y    25 Phương trình đường thẳng DI: x  2y  10  Tìm đỉnh ABC Phân tích: Gọi K tâm đường trịn (T) Một số sai lầm xãy ta dự đốn PK  PD PK  PD vẽ hình đơi vơ tình vậy! Bởi có hai điều tìm D Nhưng chứng minh khơng Chịu khó vẽ hình lại ta thấy dự đoán sai Rõ ràng ta phải chuyển yếu tố (C) qua (T) (C) chưa có phương trình Gọi M  AD (T ) ,cần nhớ AM đường phân giác góc A( D nằm cung BC) Vậy PAM  CAM  MP  MC (tính chất góc nội tiếp đường tròn (T)) Vậy KM đường trung trực PC Nếu tìm M xong?? Phương trình ID dùng làm ??AK Nối PM ta thấy PM song song BC?? Nếu qua tốt PM BC  BM  ID Khi viết phương trình PM có điểm M, dẫn đến có C Ta xem giải chi tiết nhé…! Giải Đường trịn (T) có tâm K(0;2) Gọi M  AD (T ) ,do D nằm cung BC nên AD đường phân giác góc A Xét đường trịn A (C) có DAB  DCB (cùng chắn DB),mà DAB  DAC suy I DAB  DAC  DBC 1 Xét đường trịn (T) có MPC  MAC   Từ K C B vng góc ID PM qua P vng góc ID có phương trình D x  y   Điểm M  PM  T  nên tọa độ điểm M nghiệm hệ: M P (1) (2) suy MPC  PCB  PM BC Mà BC vng góc ID nên PM  x   y  2  25  x  0, y  3  Điểm M(4;5) loại trùng P, nên   x  4, y   x  y     M(0;-3) Do KP  KC MP  MC nên KM đường trung trực PC KM qua M K có phương trình x  PC qua B vng góc KM nên có phương trình y  Gọi N  PC  KM  N (0;5)  C  4;5 BC qua C vng góc ID nên có phương trình BC : x  y  13  ID đường trung trực BC nên   ta tìm B 92 ; 11 AP qua P P nên có phương trình AP : x  2y  14  5 Điểm A  AP  T  nên tọa độ điểm M nghiệm hệ: ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 27 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   x  0, y   x   y    25 Điểm A(4;5) loại trùng P, nên A(0;7)    x  4, y    x  y  14    Vậy tọa độ điểm cần tìm A(0;7), B 92 ; 11 , C(-4;5) 5 Ví dụ 25.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vng A, có H chân đường cao kẻ từ A Gọi D E hình chiếu H cạnh AB AC Điểm K(-1;2) thuộc AB M(0;-1) trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp CDE có phương trình C  :  x  1   y  3 2  10 Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết B có hồnh độ dương Giải Ta có ADHE hình chữ nhật  ADE  AHE 1 , A K E   AHE  EHC  90 Mà   AHE  ECH   Từ (1) (2) suy EHC  ECH  90   D M B C ADE  ECH  tứ giác DBCE nội tiếp Do điểm B,C,D,E H thuộc đường trịn (C) Đường trịn (C) có tâm I(1;3) Do M trung I điểm BC nên IM đường trung trực BC BC qua M vng góc IM nên có phương trình BC : x  2y   Ta có B, C  BC  C  nên tọa độ điểm B C nghiệm hệ:  x  12   y  32  10  x  2, y   Do điểm B có hồnh độ dương nên B(2;0) C(-2;2)   x   2, y     x  2y   Đường thẳng AB qua B K nên có phương trình AB : x  3y   AC qua C vng góc AB   có phương trình AC : 3x  2y  10  A  AB  AC  A 22 ; 32 13 13   Vậy tọa độ điểm cần tìm A 22 ; 32 ; B  2;0  ; C  2;2  13 13 Ví dụ 26.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có A(4;6) Gọi M N điểm thuộc cạnh BC CD cho MAN  45 , điểm M(-4;0) đường thẳng MN có phương trình MN :11x  2y  44  Tìm tọa độ đỉnh B,C,D Giải ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 28 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM A B Ta có FAN  FDN  45  FADN nội tiếp Mà F M I Gọi F  AM  BD; E  AN  BD, I  NF  ME ADN  90  NFA  90  NF  AM Tương tự MAE  EBM  45  ABME nội tiếp Mà ABM  90  ME  AN Do I trực tâm H E AMN Gọi H giao điểm AI MN, AH vng gc MN Từ   ta có AH : x  11y  58  Điểm H  AH  MN  H 24 ; 22 5 D C N Tứ giác ABME nội tiếp  BEM  BAM 1 Tứ giác AEIF nội tiếp  IEF  IAF   Từ (1) (2) ta có IAF  BAM hay HAM  BAM Do MAH  MAB (cạnh huyền- góc nhọn) suy MB  MH , AB  AH Vậy AM đương trung trực BH AM có phương trình 3x  4y  12  B H đối xúng qua AM nên ta tìm B(0;-2) AB   4;8  AB  BC  5; BM   4;2   BM  Ta có BC    BC  2BM  C  8;2  Mặt khác AD  BC  D  4;10  BM Vậy tọa độ điểm cần tìm B  0;2  ; C  8;2  , D  4;10  Ví dụ 27.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I đỉnh A(3;1) Điểm   M 3; thuộc đoạn ID F giao điểm AM BC Lấy điểm K thuộc tia CD cho KFA  45 Tìm tọa độ đỉnh B,C,D biết KF : x  y   Giải A B Ta có KFA  KCA  45  tứ giác KFCA nội tiếp Mà KCF  90  KAF  90  AKF vuông cân A I Đường thẳng AM có phương trình x   Điểm M F  AM  KF  F  3;6  Gọi H trung điểm KF, ta K D C H F có AH vng góc KF AH có phương trình x  y     Điếm H  AH  KF  H 11 ;  K  8;1 Tứ giác 2 AHCB nội tiếp ABH  ACH  45 Mà ABD  45 , B,D,H thẳng hàng Đường thẳng BD qua H M có phương trình BD : x  3y   B  BD  B  3t  5; t  , AB   3t  8; t  1 , FB   3t  8; t   ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 29 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   t   B 11 ; Ta có: AB.FB   10t  55t  70    2 Điểm B 11 ; loại trùng H nên B(1;2) 2 t   B(1;2)    BC qua B vuông góc AB có phương trình BC : 2 x  y  Đường thẳng DC qua K vng góc BC nên có phương trình DC : x  2y  10  C  DC  BC  C  2;4  Ta có AD  BC  D  4;3 Vậy tọa độ điểm cần tìm B 1;2  ; C  2;4  , D  4;3 Ví dụ 28.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trực tâm H(3;2) K(1;4) giao điểm AH đường trịn ngoại tiếp ABC Viết phương trình cạnh BC Giải A Gọi D E chân đường cao kẻ từ A B Ta có tứ giác ADBE nội tiếp E B  EBC  EAD (cùng chắn DE), mà EAD  DBC (cùng chắn CK) Do EBC  KBC I H D K C Vậy EBC  KBC BC vng góc HK nên BC đường trung trực HK D trung điểm HK nên D(2;3) Đường thẳng BC qua D có vtpt HK   2;2  có phương trình BC : x  y   Ví dụ 29.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trực tâm H K(1;0) điểm đối xứng H qua BC D chân đường cao kẻ từ A E(2;1) hình chiếu K AC.F(0;2) giao điểm ED AB Tìm tọa độ đỉnh ABC Giải Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi M giao điểm BH AC Ta có tứ giác AMDB  DBM  DAM A Mặt khác, DBM  DBK (do H K đối xứng qua BC) Do  KBC  KAC  K thuộc đường tròn (C) M Do ABKC nội tiếp nên KBF  KCA 1 Tứ giác KDEC nội tiếp I H E ( KEC  KDC  90 )  KDF  KCE   Từ (1) (2) ta có KBF  KDF  tứ giác KDBF nội tiếp Mà KDB  90 nên KBF  90 hay KF vng góc AB AB qua F vng góc B D C F K KF nên có phương trình AB :  x  2y   Đường thẳng AC qua E vng góc KE nên có phương trình AC : x  y   ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 30 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM   D  EF  AK  D  10 ; 21  BC qua D vng góc AK có phương BC : x  7y  137  13 13 13 B  BC  AB  B   18 ; 17  C  BC  AC  C  17 ; 22  13 13 13 13 Vậy tọa độ điểm cần tìm A  ;  , B   18 ; 17  , C  17 ; 22  3 13 13 13 13 A  AB  AC  A ; AK có phương trình AK : 7x  y   EF có phương trình EF : x  2y   3 Ví dụ 30.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD tâm I Điêm M(1;2) N(0;1) trung điểm BC ID Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có hồnh độ dương Giải Kẻ ME vng góc AD, ABME hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn (C) đường kính MA hay BE A B EN đương trung bình tam giác AID  EN AI  EN  BD  AI  BD   ENB  90  N thuộc (C) dẫn đến ANM  90 hay AN vng góc MN Hơn nửa, ANM  ABN  45 Do E I M tam giác AMN vng cân N Đường thẳng AN qua N vng góc MN có phương trình AN : x  y   A  AN  A  t;1  t  , AN   t; t  , MN  1;1 Từ N D C  A 1;  (n) Vậy A  1;2  AN  MN    A  1;2  (l) Bình luận:Đối với tốn hình vng hay tốn có góc vng tỉ lệ cạnh nói chung Ta sử dung phương pháp tọa độ hóa để chứng minh tính chất sau: Chọn hệ trục tọa độ Ox ' y ' hình vẽ Ta có     AN  a ; 3a   AN  a 10 ; AM  3a ; a   AM  a 10 4 4 A  0;0  , B  a;0  , C  a; a  ,D  0; a  , M a a , N a ; 3a 4 Ta tính : AN AM  AM  AN suy tam giác AMN vuông cân y' D C N I N x' A B N Sau giải tiếp Ví dụ 31.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH 3x  y   , trung điểm cạnh BC M(3;0) Gọi E F chân đường ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 31 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM coa hạ từ B C tam giác ABC Phương trình EF x  y   Tìm tọa độ điểm A,biết A có hồnh độ dương Giải A Gọi I trung điểm AH D chân đường cao kẻ từ A Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I bốn điểm BFEC thuộc đường tròn tâm M E I Do E,F giao tuyến hai đường trịn nên EF vng góc IM F Ta có: IE  IH  IEH  IHE  BHD H MEB  MBE  MEB  IEH  MBE  BHD  90 Tức ta có ME  IE I B giao điểm IM EF suy I(1;6) Điểm E thuộc vào đường thẳng EF C M D suy E  3t  7; t  Ta có: IE.ME  E  5;4   E  1;2  Với E  2;3  IE  5; E  1;2  IE  Vì điểm A thuộc AH nên A(a;3a+3) Ta có: IA  IE  IA2  IE   a  1   3a  3  20  a     Vì A có hồnh độ dương A  2;6  Ví dụ 32.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I Phân giác góc A tam giác ABC cắt BC D cắt đường tròn (C) E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Biết K(1;1),E(0;4) AB có phương trình x  y   điểm B có hồnh độ dương.Tìm tọa độ đỉnh A Giải Gọi F trung điểm BD K tâm đường tròn ngoại tiếp ABD nên ta có KF  BD BKD  2BAD (góc nội tiếp có số đo nửa góc tâm chắn cung)  BAD  BKF Mặt khác, EBC  EAC  BAD A Từ điều trước ta suy EBC  BKF  EBC  FBK  BKF  FBK  90  KB  EB K Ta có: B  AB  B  b; b  3 KB  EB  KB.EB   b   b  1 Do B có hồnh độ dương nên ta chọn B(1;4) A  AB  A  a;a 3 , a  I F B D C E Từ KA  KB  a   a  2 Do điểm A khác B nên ta chọn A(-2;1) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(-2;1) ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 32 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ 33.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vng tai A nội tiếp đường tròn T  : x  y2  x  2y   Gọi H chân đường cao kẻ từ A ABC Đường trịn đường kính AH cắt AB,AC M N Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC, biết MN có phương trình 20 x  10y   H có hồnh độ nhỏ tung độ Giải A Đường trịn (T) có tâm I(3;1) trung điểm BC bán kính R  Do N IA  IC  IAC  ICA 1 Đường đường kính AH cắt AB M nên E M B MH  AB  MH AC (cùng vng góc AB) suy MHB  ACH   Mặt C I khác ANM  AHM  3 (cùng chắn AM) Từ (1),(2),(3) ta cóÌ IAC  ANM  ICA  AHM  MHB  AHM  90 Suy ra: AI vng góc MN Từ ta viết phương trình AI : x  2y   Điểm A  IA  T  nên tọa độ A nghiệm  x  2y    x  1, y   Điểm A(1;2) nhận thỏa A I nằm hai phía MN hệ:  2  x  5, y   x  y  x  2y   Điểm A(5;0) loại A I nằm phía MN Gọi E tâm đương trịn đường kính AH E trung điểm AH Do AMHN hình chữ nhật (tứ giác có góc vng) nên E trung điểm     MN E  MN  E t;2t  Do E trung điểm AH nên H 2t  1; 4t  38 10 10   t   H 11 ; 13  5 Vì AH  HI  AH IH   20t  272 t  896    Do H có hồnh độ nhỏ 25 28 31 17 H ; t   25 25 25     tung độ nên ta nhận H 11 ; 13 Đường thẳng BC qua H vng góc AH nên có phương trình 5 BC : x  y   Vậy A 1;2  BC : x  y   Ví dụ 34.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp   I ; ,tâm đường tròn nội tiếp ABC J 1;0  Đường phân giác 16 A góc BAC đương phân giác ngồi góc ABC cắt K(2;-8) Tìm tọa độ đỉnh ABC ,biết đỉnh B có hoành độ dương Giải J I B C H 33 ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 K Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ABC H giao điểm AK đường trịn tâm (C) Xét tam giác BHJ có HJB  JAB  JBA (góc ngồi tam giác) HBJ  JBC  HBC Mà JBH  JBA;; HBC  HAC  HAB (do AJ BJ đường phân giác) Từ điều ta có HBJ  HJB 1  HBJ cân H  HB  HJ Mà HAC  HAC  HC  HB (tính chất góc nội tiếp) Do HJ  HB  HC Mặt khác, BJ BK đường phân giác phân giác góc ABC nên KB vng góc JB Suy ra: HJB  HKB  90  HBK  HBJ   Từ (1) (2) suy HBK  HKB  HBK cân H  HB  HK Vậy HB  HC  HK  HJ H trung điểm KJ      nên H ; 4 Đường tròn(C) có bán kính IH có phương trình (C ) : x  2  y 16    2  65 Từ 16 HB  HC  HK  HJ  điểm B,C,K,J thuộc đường trịn (T) có tâm H bán kính HJ Ta viết     y  4  654 Các điểm B,C thuộc đường tròn (C) (T) nên tọa độ B C nghiệm (T ) : x  2 hệ:     y  4  654   x  5, y  2 Do B có hồnh độ dương nên B(5;-2) C(-2;-2)  x  2, y  2 65     y  16    16     x2    x3   2 2 2 Đường thẳng AH qua H J có phương trình AH : 8x  y   Điểm A giao điểm AH (C)      x3  y nên tọa độ điểm A nghiệm hệ:  16  x  y          65 16 x  , y    Vì điểm A phải khác  x  , y  4    H nên A ; Vậy tọa độ điểm cần tìm A ; , B(5;-2) , C(-2;-2) 2 Bài tập tự rèn luyện: Bài 11.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C  :  x  1   y    10 Từ điểm A nằm đường 2 tròn kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn(C) (B tiếp điểm) Điểm D(0;-1) thuộc đường thẳng qua B song song AI Tìm tọa độ điểm A, biết A thuộc đường thẳng d : x  y   Bài 12.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C  : x   y    10 Từ điểm A thuộc đường thẳng d : x  y   kẻ tiếp tuyến AB,AC (B,C tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm A, biết D(4;0) thuộc đường thẳng BC ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 34 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Bài 13.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh A(-2;-1),trực tâm H(2;1) độ dài cạnh BC  Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C Biết trung điểm M BC thuộc đường thẳng d : x  2y   M(3;-4) thuộc DE Viết phương trình cạnh BC Bài 14.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trực tâm H(2;2) độ dài cạnh BC  nội tiếp đường tròn C  : x  y  3x  5y   Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết A có hồnh độ dương Bài 15.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn C  : x  y  20 Chân đường cao hạ từ B C M(-1;3) N(2;-3) Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết A có tung độ âm Bài 16.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C,phương trình EF : 3x  y   Biết tiếp tuyến A đường tròn (C) qua điểm M(3;-2) điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ đỉnh ABC Bài 17.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC Gọi H, K chân đường cao hạ từ đỉnh B C Tìm   tọa độ đỉnh ABC , biết H(5;-1), K ; , phương trình cạnh BC : x  3y   B có hồnh độ 5 âm Bài 18.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang vng ABCD vng A D có CD  AB , đỉnh B(1;2) Hình chiếu D AC H(-1;0) Gọi N trung điểm HC Tìm đỉnh cịn lại hình thang, biết DN : x  2y   Bài 19.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vuông A(-2;0) Gọi E chân đường cao kẻ từ A F điểm đối xứng E qua A Trực tâm BCF H(-2;3) Tìm tọa độ đỉnh B C ABC , biết trung điểm BC thuộc đường thẳng d : x  y   Bài 20.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có H(1;2) hình chiếu A BD M(5;1) trung điểm BC đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A AHD có phương trình d : x  y   Viết phương trình cạnh BC Bài 21.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC cân A(-1;3) D điểm thuộc đoạn AB cho BD  AD   H hình chiếu B CD Điểm B thuộc đường thẳng d : x  y   M ; 3 trung điểm 2 CH Tìm tọa độ đỉnh B C ABC ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 35 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Bài 22.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(5;8) đường thẳng d : x  y   Tìm điểm B thuộc đường thẳng d cho khoảng có ba đường thẳng d1 , d2 , d3 thỏa mản khoảng cách từ A đến d1 , d2 , d3 khoảng cách từ B đến   Bài 23.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn C  :  x     y  3  26 G 1; 2 trọng tâm ABC Điểm M(7;2) thuộc đường thẳng qua A vng góc BC  M  A  Tìm tọa độ đỉnh ABC biết tung độ đỉnh B lớn tung độ đỉnh C Bài 24.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn C  :  x  1   y    25 Các điểm 2 K(-1;1),H(2;5) chân đường cao kẻ từ A B Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết đỉnh C có hồnh độ dương Bài 25.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trực tâm H(3;0) trung điểm cạnh BC M(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x  2y   Gọi D E chân đường cao kẻ từ B C ABC Xác định tọa độ đỉnh ABC , biết điểm D có tung độ dương Bài 26.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C  :  x     y  3  điểm M(1;-8) Viết phương 2 trình đường thẳng d qua M cho d cắt (C) hai điểm A B thỏa mản diện tích ABI lớn (I tâm đường tròn (C)) Bài 27.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C  :  x  1   y    đường thẳng 2 d : 3x  4y  m  Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA,PC tới (C)(A,C tiếp điểm) cho PAC   Bài 28.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh A(2;6),chân đường phân giác góc A D 2; 3   Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC I 1 ;1 Tìm tọa độ đỉnh B C ABC   Bài 29.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trọng tâm G ; ; tâm đường tròn ngoại tiếp I(1;-2); 3 điểm E(10;6) thuộc đường trung tuyến kẻ từ A F(9;-1) thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ đỉnh ABC , biết đỉnh B có tung độ lớn Bài 30.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC cân A nội tiếp đường tròn C  : x  y  10y  25    Đường kính qua B cắt (C) M(5;0) Đường cao kẻ từ C cắt (C) N 17 ; 6 Tìm tọa độ đỉnh 5 ABC , biết đỉnh A có hồnh độ dương ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 36 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Bài 31.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn C  : x  y  x  2y  20  Đường phân giác góc A nằm đường thẳng d : x  y  Biết M(3;-4) thuộc đường thẳng BC điểm A có hồnh độ dương Bài 32.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn C  :  x  1   y    25 M(9;-4) Tìm điểm N thuộc (C) 2 cho MN ngắn Bài 33.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn C  :  x     y  1  Gọi điểm M cho tiếp tuyến qua 2 M tiếp xúc (C) E; cát tuyến qua M cắt (C) A B cho ABE vng cân E Tìm tọa độ điểm M cho MO ngắn (O gốc tọa độ) Bài 34.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn C  : x   y  1  đường thẳng d : x  2y   Gọi (C’) đường trịn có tâm I ; (C’) tiếp xúc ngồi với (C) có bán kính Viết phương trình đường tròn (C’) cho khoảng cách từ I đến d lớn Bài 35.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I(3;0), trực tâm H(2;0) BC có phương trình x  y   Lập phương trình cạnh AB, biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ Đề thi đại học qua năm Bài 36.(THPT Quốc Gia -2016) Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng BC, BD P giao điểm hai đường thẳng MN, AC Biết đường thẳng AC có phương trình x  y   , M(0;4), N(2;2) A có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm P, A B Bài 37.(THPT Quốc Gia -2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A BC; D điểm đối xứng B qua H;K hình chiếu vng góc C AD Giả sử H(-5;-5), K(9;-3) trung điểm AC thuộc đường thẳng x  y  10  Tìm tọa độ điểm A Bài 38.(Đề minh họa THPT Quốc Gia -2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho OAB có A B thuộc đường thẳng  : x  3y  12  K(6;6) tâm đường trịn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm  cho AC  AO điểm B, C khác phía so với A Biết điểm C có hồnh độ 24 , tìm tọa độ đỉnh A B Bài 39.(D -2014) Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1;-1) Đường thẳng AB có phương trình 3x  2y   tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ABC có phương trình x  2y   Viết phương trình cạnh BC ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 37 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Bài 40.(A -2013 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x  y   A(-4;8) Gọi M đối xứng với B qua C; N hình chiếu vng góc B MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4) Bài 41.(A -2013 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  : x  y  Đường tròn (C) có bán kính R  10 cắt  A B cho AB  Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn (C)   Bài 42.(D -2013 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trung điểm cạnh AB M 9 ; , chân đường 2 cao kẻ từ đỉnh B H(-2;4) tâm đường trịn ngoại tiếp ABC I(-1;1) Tìm tọa độ đỉnh C Bài 43.(D -2013 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C  :  x  1   y  1  đường thẳng 2 d : y   Tam giác MNP có trực tâm trùng với tam đường tròn (C); đỉnh N P thuộc d; đỉnh M trung điểm MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P Bài 44.(B -2012 cb)Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn C1  : x  y  4; C2  : x  y  12 x  18  đường thẳng d : x  y   Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc  C2  , tiếp xúc với d cắt C1  A B cho AB vng góc d Bài 45.(D -2012 nc)Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x  y   Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc d cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB  CD  Bài 46.(A -2011 cb)Trong mặt phẳng Oxy, cho đường đường tròn C  : x  y  x  2y  đường thẳng d : x  y   Gọi I tâm đường tròn (C); M điểm thuộc d Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C)( A,B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10   Bài 47.(B -2011 nc)Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh B ;1 , đường trịn nội tiếp ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC, AB tương ứng D, E, F Cho D(3;1) EF : y   Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương Bài 48.(D -2011 nc) Cho điểm A(1;0) đường tròn C  : x  y  x  y   Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) hai điểm M, N cho tâm giác MAN vuông cân A Bài 49.(D -2010 cb) Cho ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1) tâm đường trịn ngoại tiếp I(-2;0) Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có tung độ dương ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 38 ... 2IM Mà AH  2IM (câu b) Suy AH  AI ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy. Cho ABC có đỉnh A  1;2  , trực tâm H 1;1... dụ Trong mặt phẳng Oxy. Cho ABC có trực tâm H 1;2  , tâm đường tròn ngoại tiếp I  3; 2  , A  60 Tìm tọa độ đỉnh ABC , đỉnh A thuộc đường thẳng d : x  y   ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89... 3  19;3  A 3  19;3 ,B 3  19;3 ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy. Cho ABC có đường trung tuyến đường cao xuất