vấn đề: bài tập liên quan tới tính chất hình học

Một tài liệu hiếm từ Lovebook, tài liệu ôn thi ĐH môn toán, đây là tài liệu hỗ trợ đắc lực cho các bạn trong việc chinh phục chuyên đề hình học giải tích Oxy và Oxyz. Tài liệu được biên soạn từ các anh chị thủ khoa trong lovebook, bộ tài liệu này là một tập hợp những kinh nghiệm của họ truyền cho chúng ta.

2/5/2015 BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH CHẤT HÌNH HỌC Chuỗi tài liệu độc Nhà sách Lovebook VEDU CORP Bài tốn liên quan đến tính chất hình học Chun đề: Bài tốn liên quan đến tính chất hình học Bạn hiểu khơng? Nếu khơng chạy tìm tự điển xem áp chót Làm Chương chờ bạn bạn trở lại Tôi hứa đấy! Hoan hô bạn biết áp chót Hoan hơ bạn chạy tìm từ điển Với bạn bị lười, thơi để tơi nói ngay: Áp chót chương trước chương cuối sách Đó, thơi Đây chương áp chót sách “Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng” Thật khơng thể tin nổi, ngày khám phá phương trình đường thẳng, mà gần tới đích Cịn thử thách cuối đợi bạn chinh phục trước dám khẳng định 100% bạn làm câu Oxy đề thi đại học Tơi phải nói trước, chương khơng dễ Có lấy từ tạp chí Tốn tuổi trẻ, đề thi trường chun Đúng tên gọi “liên quan đến tính chất hình học”, toán chương gồm phần rõ ràng: phần hình phẳng phần giải tích Ở phần hình học phẳng, tính chất liên quan đến hình trịn khai thác triệt để, từ tâm nội tiếp, ngoại tiếp đến góc chắn cung, tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp Còn lên đường Lovebook.vn | Your dreams – Our mission Lovebook.vn PHẦN KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các hệ thức tam giác: Định lý Pitago ABC vuông A  AB2  AC2  BC2 Hệ thức lượng tam giác vuông A B H C 1) AB2  BH.BC; AC2  CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 4) 1   2 AH AB AC2 Hệ quả: Với tam giác cạnh a, ta có: a h ; a2 S Hệ thức lượng tam giác thường : Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó: +) Định lý hàm số cosin: a2  b2  c2  2bc.cos A ; b2  a2  c2  2ac.cosB ; c2  a2  b2  2ab.cosC +) Định lý hàm số sin: ) a b c    2R R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sin A sinB sin C 1 ) SABC  bc.sin A  ac.sin B  ab.sin C 2 II Định lý Ta-lét tam giác đồng dạng: Định lý Ta-lét tam giác: Nếu đoạn thẳng song song với cạnh tam giác định hai đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ BC / /B' C'  AB' AC' AB' AC ' B' B C 'C  ;  ;  AB AC BB' CC ' AB AC Lovebook.vn | Bài tốn liên quan đến tính chất hình học Tam giác đồng dạng: A = A'; B = B'; C = C'  +) Khái niệm: ΔABC ΔA'B'C'   AB AC BC = =   A'B' A'C' B'C' +) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g +) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vng: góc nhọn; hai cạnh góc vng; cạnh huyền - cạnh góc vng… Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì: +) Tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng +) Tỉ số hai diện tich bình phương tỉ số đồng dạng III Các tính chất đường trịn: Góc tâm: +) Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn (góc AOB ) +) Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Định lý: Nếu C điểm nằm cung AB số đo cung AB số đo cung AC cộng số đo cung CB Góc nội tiếp chắn cung: +) Góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn *Tính chất: +) Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Lovebook.vn | Your dreams – Our mission Lovebook.vn 1 1 ABC  sđAC  AOC ABC  sđAC  AOC 2 2 +) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung BA1 A  BA2A  BA3A  sđAB +) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn 90 Cung dây căng cung: Xét cung nhỏ đường tròn: Lovebook.vn | BAD  DAC  BD  DC Bài toán liên quan đến tính chất hình học +) Hai cung căng dây ngược lại hai dây căng cung nhau: AB  CD  AB  CD +) Cung lớn căng dây cung lớn ngược lại: AB  CD  AB  CD Liên hệ đường kính dây căng cung: +) Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm cung qua trung điểm dây căng cung +) Trong đường trịn, đường kín vng góc với dây khơng qua tâm chia cung căng dây thành hai cung Định lý dây song song: +) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song AB / /CD  AC  BD Tiếp tuyến – Góc tạo tiếp tuyến dây căng cung: a) Tiếp tuyến: Nếu hai tiếp tuyến cắt điểm thì: +) Điểm cách hai tiếp điểm: MA = MB +) Tia kẻ từ điểm qua tâm phân giác góc tạo hai tiếp tuyến: AMO  BMO +) Tia kẻ từ điểm qua tâm phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm: AOM  BOM +) Tia kẻ từ điểm vng góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm: OM  AB b) Góc tạo tiếp tuyến dây căng cung: Lovebook.vn | Your dreams – Our mission Lovebook.vn Định lí: Trong đường trịn , số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm nửa số đo cung bị chắn: BAx  sđAB Hệ quả: Góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung nhau: BAx  AMB IV Tứ giác nội tiếp: Chứng minh tứ giác nội tiếp: -Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù -Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm cịn lại hai góc -Chứng minh tổng góc ngồi đỉnh với góc đối diện bù -Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB tứ giác ABCD nội tiếp (Trong M  AB  CD; N  AD  BC ) -Nếu PA.PC = PB.PD tứ giác ABCD nội tiếp (Trong P  AC  BD ) -Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vng; … Lợi ích: Chứng minh góc nội tiếp chắn cung Lovebook.vn | Bài tốn liên quan đến tính chất hình học PHẦN BÀI TẬP NHỎ Đây tốn hình học phẳng nhằm mục đích giúp bạn nhớ lại kiến thức cũ học từ cấp để tiếp cân cách dễ dàng với tốn giải tích phẳng sử dụng tính chất hình học Bài 1: Cho tam giác ABC, trực tâm H Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC CMR: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O nêu cách dựng O Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Lời giải: Gọi đường cao tam giác ABC AN, BM, CN Ta có: ANH  HMA  90  90  180  tứ giác ANHM nội tiếp  BAC  NHM  180 Mặt khác có NHM  CHB (đối đỉnh) CHB  CDB (2 góc đối hình bình hành)  BAC  CDB  180  tứ giác ABDC tứ giác nội tiếp Do BH  AC mà tứ giác BHCD hình bình hành nên BG//CD  CD  AC hay ACD  90 mà AD đường kính nên O trung điểm AD  Ta phải chứng minh G giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ  AI Do IB  IC  OI  BC mà AH  BC  OI / / AH Theo định lý Ta-lét AGH ta có: Do I trung điểm HD O trung điểm AD nên  OI GI  AH AG OI  (tính chất đường trung bình) AH OI GI 1    GI  AG hay GI  AI  G trọng tâm tam giác ABC AH AG 2 Bài : Cho đường trịn (O) điểm P ngồi đường trịn Kẻ hai tiếp tuyến PA PB (A ; B hai tiếp điểm) Từ A kẻ tia song song với PB cắt (O) C C  A  Đoạn PC cắt đường tròn điểm thứ hai D Tia AD cắt PB E CMR: EAB EBD CMR AE trung tuyến tam giác PAB Lời giải: Xét hai tam giác EAB EBD : PEA chung EP ED   ΔEAP ΔEPD  g.g   =  EP = EA.ED  EA EP EAP = EPD  (1) ( EAB = EBD góc nội tiếp góc tạo bỏi tiếp tuyến dây căng cung chắn cung) Lovebook.vn | Your dreams – Our mission Lovebook.vn Xét hai tam giác ΔEAP ΔEPD : PEA chung EP ED   ΔEAP ΔEPD  g.g   =  EP = EA.ED  EA EP EAP = EPD  (2) Từ (1) (2) ta có EB = EP nên AE trung tuyến tam giác PAB Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, BE cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp CMR điểm A, E, D, B nằm đường tròn Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải: Xét tứ giác CEDH ta có: CEH = 90°   CEH  CDH  180  tứ giác CEDH tứ giác nội tiếp  CDH = 90°  (do tổng hai góc đối 180 ) Theo giả thiết : BE đường cao  BE  AC  BEA  90 AD đường cao  AD  BC  BDA  90 Như E D nhìn AB góc 90  E D nằm đường trịn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường trịn Vì O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH  OA  OE  AOE cân O  E1  A1  E1  E3  E1  E2  E3  E2  BEA  90 Tam giác DEB cân D nên E3  B1 Mà B1  A1 (cùng phụ với góc ACB)  E1  E3  E1  E2  E3  E2  BEA  OED Mặt khác BEA  90  OED  90  DE  OE Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi I giao điểm đường chéo, E điểm đối 3 3 1 3 xứng D qua C Biết điểm M  ;  nằm đường thẳng BC, điểm I  ;  phương trình đường thẳng AE 2 2 2 2 x = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Lời giải: Lovebook.vn | Bài toán liên quan đến tính chất hình học Có C trung điểm DE, mặt khác BC  DE  BC trung trực DE  NE = DN = AN  AND cân A mà N nằm BC  N trung điểm BC Mặt khác IN lại vng góc với BC nên tam giác INM vuông N Do N giao đường trịn đường kính IM với đường thẳng x =  3 Gọi O trung điểm IM tọa độ O  1;   2 3   phương trình đường tròn  O; OM  :  x  1   y    2  Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình:  3   x =1; y =1  x -1 +  y -  = M 3; 1 4   2  x =1; y =  x =1  Suy N(1; 1) N(1; 2) Nếu N(1; 1) BC: y = - x + 2, suy AD: y = - x + Suy A(1;3), B(0;2) C(2;0) D(3;1) Nếu N(1; 2) BC: y = x + 1, suy AD: y = x - 1, suy A(1;0), B(0;1) C(2;3) D(3;2) Bài 5: Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia CB, lấy điểm M tia đối tia CD lấy điểm N cho DN = BM Đường thẳng song song với AN kẻ từ M đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt F Chứng minh AC  CF Lovebook.vn | Bài toán liên quan đến tính chất hình học Theo định lí đảo Thales HK//AB Ta lại có AH, Bk đường cao tam giác AIB, AH  BK  E  E trực tâm tam giác AIB  IE  AB  IE  HK (do HK//AB) PHẦN BÀI TẬP LỚN: Bài 1: Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có A  4;3 , đường phân giác góc A có phương trình x – y –1=0  3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I  2;  Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC  2 gấp lần diện tích tam giác IBC Định hướng: Tơi biết nhiều bạn có thói quen làm hình Oxy lười khơng vẽ hình Nào thử làm tốn mà khơng vẽ hình xem Tôi dám cá bạn ngồi ngắm giám thị buổi Cầm thước kẻ compa lên vẽ hình thơi Bạn thấy xuất điều kỳ diệu chưa? Nếu bạn nhận thưởng tự thưởng cho thân nhé, cịn chưa để cho bạn thấy Kéo dài phân giác góc A cắt đường trịn ngoại tiếp D Bằng mắt thường ta thấy D điểm cung BC Nhắc lại kiến thức khái niệm liên quan đến cung đường tròn: +) Tính chất liên hệ góc nội tiếp cung bị chắn: hai góc nội tiếp hai cung tương ứng bị chắn hai góc +) Tính chất liên hệ cung dây căng cung: hai cung hai dây căng cung tương ứng hai cung Dây căng cung đoạn thẳng nối hai đầu mút cung Quay lại bài, AD phân giác góc BAC nên BAD  DAC  BD  CD  BD  CD (tính chất góc chắn cung hai cung tương ứng dẫn đến dây căng cung nhau)  ID  BC I D nằm trung trực BC Từ viết pt ID Gọi pt BC vng góc ID thơng qua ẩn m dựa vào kiện khoảng cách để tìm m có pt BC Bài giải: IA =  25   (C):  x -2 +  y -  =  2 Tọa độ D nghiệm hệ phương trình:   x – y –1=0 x =   -1    D ;    25    2    x -2 +  y -  =  y = -1  2    AD phân giác góc BAC  BAD=DAC  BD=DC  D điểm cung BC  ID  BC x -2  -8x+6y +7=0 Phương trình  ID : = -1 -2 2 y- SΔABC =2SΔIBC  d  A;  BC   =2d  I;  BC    -6.4- 8.3+m  =2  MàID  BC  (BC):-6x –8y +m =0  62 +82  -6.2- +m 62 +82  m - 48 =2 m -24  m =0 Lovebook.vn | 11 Your dreams – Our mission Lovebook.vn Vậy phương trình  BC :3x+4y =0  Bình luận: Bài tốn trở nên “đẹp” nhiều nhờ hình vẽ Đây tính chất hay nhằm tạo mối liên hệ tâm đường tròn ngoại tiếp với phân giác – hai yếu tố tưởng chừng chẳng có liên quan lại đến với Đây đầu tiên, sau có nhiều “mối quan hệ ngầm” vơ thú vị có sợi dây liên kết yếu tố gần không tưởng Bài (Ams lần 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có đỉnh A 1;5 Tâm đường tròn nội tiếp 5  ngoại tiếp tam giác I  2;2 K  ;3  Tìm tọa độ đỉnh B C 2  Định hướng: Về lý thuyết để tìm tọa độ điểm ta cần phương trình Ở thấy phương trình thứ (K) Vấn đề đặt tìm thêm đường cắt (K) B C Việc lập pt BC điều ko thể để đáp ứng nhu cầu ta phải kẻ thêm đường phụ Ta có tọa độ điểm, ta lập đường thẳng tương ứng AI, AK IK Rõ ràng việc lập pt IK AK khơng giúp ích Vậy ta phải dựa vào phân giác AI Kéo dài AI cắt (K) D điểm cung BC  DB =DC  B C thuộc (D) Vẽ (D) thật kì diệu I nằm (D)  phải chứng minh ID = BD = CD hay IBD cân D thơng qua tính chất tứ giác ABDC nội tiếp góc ngồi tam giác Có phương trình (D) ta tìm B C Bài giải: AK = 25  5   K  :  x -  +  y -3 =  2 Pt  AI  : x -1 y -5 =  3x+y -8=0 2-1 2-5 Tọa độ D nghiệm hệ phương trình:  3x + y - 8=0  x =1;y =5  5 1   5 -1  D  ;  25   x = ;y = 2 2   x -  +  y -3 = 2   2 AD phân giác ABC  BAD = DAC  BC = CD (góc chắn cung)  D điểm cung BC  BD = CD  Xét IBD: 1 BID= IAB+IBA = A + B 2      IBD=BID  IBD cân D  IB = ID  1  IBD= IBC+CBD= IBC+CAD= B+ A 2   Từ    ID = BD = CD  I, B, C thuộc đường trịn tâm D bán kính ID = 2  5  1   D :  x -  +  y -  =  2  2 Khi tọa độ B C nghiệm hệ phương trình: Lovebook.vn | 12 10 Bài tốn liên quan đến tính chất hình học   2  2   x -  + y -  =  2  2  25  5   x -  +  y -3 =    x = 4;y =1    B  4;1 C 1;1 B 1;1 C 4;1  x =1;y =1 Bình luận: Sang tốn thứ 2, hình vẽ “ảo diệu” nhiều Lần khơng cịn “mối quan hệ bí mật” điểm mà phần tử nhìn hiền lành vơ hại thực tế bắt tay “D” chủ mưu Bật mí thêm với bạn “D” chủ mưu khơng tốn mà cịn Bài 3: Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H  -1;3 , tâm đường tròn ngoại tiếp I 3;-3 , chân đường cao kẻ từ A điểm K  -1;1  Tìm tọa độ A, B, C  Định hướng: Từ kinh nghiệm trước, gặp tốn liệu liên qua đến tâm đường tròn chắn phải kẻ thêm đường phụ Điểm khác biệt toán nằm trực tâm H thay tâm đường trịn nội tiếp Đề không cho thông tin liên quan đến đường phân giác trong, vẽ vào ta vừa có tính chất đặc biệt liên hệ tâm đường tròn ngoại tiếp phân giác Kẻ phân giác AD, ID cắt BC M M trung điểm BC Nếu dừng chưa làm mà ta cần kẻ tiếp hình Nào nhìn cho kỹ kẻo kẻ nhầm đường phát toi Mấu chốt liên quan đến điểm M mà ta vừa tạo Chỉ có điểm chưa nối vào M A H Trời đến mà bạn nối AM buồn ==” Nối HM tiện tay dắt dê nối AI cho AI HM cắt thử xem “2 đứa nó” cắt điểm nằm đường trịn đấy, thú vị khơng? Đặt tên cho cháu E, cháu thiên tài tin khơng? Này AIE đường kính nên ACE  ABE  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) dẫn đến EC  AC EB  AB Mặt khác H trực tâm nên BH  AC CH  AB từ ta có tứ giác BHCE hình bình hành tâm M Với tọa độ đỉnh cho với tính chất vng góc ta viết phương trình HK, BC, ID từ có tọa độ M, E, A  Bài giải: + Kẻ đường tròn ngoại tiếp ABC + Kẻ phân giác góc ABC cắt đường tròn ngoại tiếp ABC D  D điểm cung BC Nối  M trung điểm BC ID cắt BC M + Kẻ đường kính AIE  BH / / CE (cùng  AC) ACE= ABE  90   CH / / BE (cùng  AB)  tứ giác BHCE hình bình hành mà M trung điểm BC  M trung điểm HE Phương trình  HK  : x =-1    HK    phương trình  BC  :   BC  : y =1  qua K  -1;1     BC    ID : x =3  phương trình  ID :   qua I 3;-3  mà M=ID  BC  M 3;1 M trung điểm HE  E 7;-1 I trung điểm AE  A  -1;-5  IA = Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC:  x -3 +  y +3 =20 2 Lovebook.vn | 13 Your dreams – Our mission Lovebook.vn Gọi B( xB ;1) C( xC ;1) ta có hệ:  ( x –3)2 + 1+32 =20  B    ( xC –3)2 + 1+3 =20  x B =5 x =1  B  xC =1 xC =5 Vậy A  -1;-5 , B 5;1  , C 1;1  A  -1;-5 , B 1;1 , C 5;1  Xét cách giải khác sau: x -3 y +3 =  3x+2y -3=0 -1-3 3+3 Phương trình  HK  : x =-1  A  -1;a  Phương trình  IH  :    HK    BC  : y =1  phương trình  BC  :   qua K  -1;1  Gọi M trung điểm BC   IM   BC  / /(HK)  Phương trình  IM  :   IM  : x =3  M 3;1  quaI 3;-3  Gọi G trọng tâm ABC Theo tính chất đường thẳng Ơ-le  I, G, H thẳng hàng  G   IH  Do G   xG +1= 3+1  5 a 2  trọng tâm ABC  AG = AM   G ; +  3 3  y - a = 1- a   G   a 2 G   IH   +2  +  -3=0  a =-5  A  -1;-5 3 3 Tiếp theo bạn làm tương tự cách Bình luận : Cách làm bạn nên đọc để tham khảo đường thẳng Ơ-le khơng có sách giáo khoa Nhưng nhìn chung ngắn gọn cách phải không ! Một cách giải khác nữa: Kéo dài AK cắt đường tròn ngoại tiếp ABC M Ta có: MBC=MAC (góc nội tiếp chắn MC ) HBC=MAC (góc có cạnh tương ứng  )  MBC = HBC  HBM cân B  K trung điểm HM  M  -1;-1  IM =  phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC:  x -3 +  y +3 =20 Tiếp theo bạn làm tương tự cách Lovebook.vn | 14 Bài toán liên quan đến tính chất hình học  Bình luận : Đây có lẽ cách làm tối ưu cho toán Thế để làm cần sáng tạo cảm nhận hình học tuyệt vời Phải nói thêm bạn làm theo cách tuyệt vời rồi, ‘’vượt giỏi’’ cách nghĩ thêm nhiều cách giải khác cho tốn Đó kinh nghiệm người huy chương vàng toán quốc tế ! Bài 4: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H 2; 1 tâm đường tròn ngoại tiếp I 1; 0 Trung điểm BC nằm đường thẳng có phương trình x – 2y – = Tìm tọa độ đỉnh B, C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E 6; 1 hoành độ điểm B nhỏ Định hướng: Tiếp tục với sê – ri “các loại tâm”, toán đề cập đến tâm ngoại tiếp trực tâm Nhưng có ảo khơng nhẹ với đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC Quả thật cho kiện việc vẽ hình thơi vơ khó khăn Có điều bạn cần phải rèn luyện được, “cảm nhận hình học” Hay nói theo cách khác “nghĩ theo cách người đề” Không người đề lại cho q khó đến mức khơng giải chuyên đề Oxy câu điểm Và thơng thường gợi ý cách làm nằm sẵn kiện đề Dữ kiện “đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E 6; 1 ” hướng đến hai luồng suy nghĩ: - Đã có tọa độ H, ta tìm thêm điểm thuộc đường trịn viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC Tìm thêm phương trình BC giải hệ ta tọa độ B C - Đề cho kiện mù mờ “Trung điểm BC nằm đường thẳng có phương trình x – 2y – = 0” Phải muốn hướng ta đến việc gọi trung điểm BC ? Hướng thứ đâm vào ngõ cụt khơng có sở để tìm thêm điểm, mặt khác có viết khơng có phương trình BC để giải hệ tìm tọa độ B C Theo phương án 2, ta tham số hóa tọa độ trung điểm BC M 2t  1; t  Việc tìm tâm ngoại tiếp HBC thơng qua M Phán đốn tâm J cách B C nên I, M, J thẳng hàng Đến phải “liều” thôi, ta lấy thử J đối xứng với I qua BC trường hợp đặc biệt Lấy compa vẽ thử đường trịn tâm J bán kính JB Kỳ diệu chưa, tâm ngoại tâm ngoại tiếp tam giác HBC Ta có AI = IB = IC mà J đối xứng I qua BC nên IB = IC = JB =JC từ AH song song IJ  tứ giác AHJI hình bình hành  JH = AI = JB =JC Bây ta tham số hóa điểm J theo M, cụ thể J  4t  1; 2t  Ta có JH = JE, giải phương trình tìm “t” có tọa độ M J Đến thay viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC phương trình BC, ta việc giải phương trình JB = JE kết hợp kiện hoành độ điểm B nhỏ ngắn gọn Lời giải: Gọi M trung điểm BC nên M 2t  1; t  Gọi J điểm đối xứng I qua BC, J tâm ngoại tiếp tam giác HBC  J  4t  1; 2t  Do E nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC nên ta có: JH  JE   4t  1  2t  1   4t  5  2t  1 2 2  24t  24  t   M 3;1 Do M trung điểm BC nên BC nhận IM   2; 1 làm vtpt suy phương trình BC: 2 x  3  y    2x  y    B k;7  2k  ,k  Với t = ta có tọa độ điểm J 5; 2 , kết hợp với B E nằm đường tròn tâm J nên k = 2 JB2 = JE   k -5 +  5- 2k  =10  k - 6k +8 =   k = So sánh với điều kiện k < ta k =  B  2;3 Mặt khác M 3; 1  C  4; 1 Lovebook.vn | 15 Lovebook.vn Your dreams – Our mission Bài (THTT số đặc biệt 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  d  : x+y +2=0 đường tròn C : x2 +y2 – 4x –2y =0 I tâm đường tròn (C), M  d  Qua M kẻ tiếp tuyến MA cát tuyết MBC (B nằm M C) Tìm tọa độ M biết SΔABC =5 Định hướng: Sau vẽ hình, ta thấy ABC vng B, có độ dài AC đường kính (C) Nhắc lại kiến thức lớp cho bạn khơng nhớ : Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 90 Ở ta có góc BAC  90 Theo Pitago ta có AC2 = AB2 + BC2 đồng thời SABC = AB.BC = ta có phương trình ẩn độ dài 1 AB BC Sau có độ dài AB, thông qua hệ thức lượng   tam giác vuông AMC h a b Pitago tam giác vng AMI ta tìm độ dài MI tọa độ điểm M Bài giải: I  2;1   R = IA =   C : Đặt AB=a >0 Xét ABC ( ABC = 90০): AC2 = AB2 + BC2    =a2 +BC2  BC2 =20-a2  B C = 2 a -  1 SABC = AB.BC= a 20-a2 =5  100=a2 20-a2 2     a4 -20a2 +100=0  a2 -10 =0  a2 =10 Xét AMC ( MAC = 90০ ): 1 1 1 = + = +   AM2 =20 2 10 AM 20 AB AM AC Xét AMI ( MAI = 90০ ): MI2 = AM2 + AI2 =20+5=25 Do M   d  : x+y +2=0  M  t;-t –2 t = 2 MI2 =  t –2 +  - t –3 =25t – 4t +4+t +6t +9=25  2t +2t –12=0    t = -3 M(2;-4) Vậy M(-3;1)   Bình luận : Tự dưng phần chun đề hình học lại tịi giải dùng toàn đại số Thế thực tế khơng vẽ hình phát ngần tam giác vuông Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc  1  A phân giác ngồi góc B    : x   d  : x  y   I  ;  , J 2;1  tâm đường   tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Tìm toạ độ A,B,C  Định hướng : Phân giác ngồi ? Bài lạ phân giác ngồi ta gặp chương trình Thực ta học tính chất liên quan đến đường phân giác ngồi, phân giác phân giác ngồi góc tam giác vng góc với Vậy cịn chờ mà khơng áp dụng để viết phương trình phân giác BJ có tọa độ điểm B Kinh nghiệm cần nhớ gặp đường phân giác kỹ Lovebook.vn | 16 Bài tốn liên quan đến tính chất hình học thuật bắt đối xứng Ở ngồi điểm A khơng cịn lựa chọn khác Gọi A '  x0 ; y0  điểm đối xứng với A  x  y0   qua BJ ta có trung điểm AA’  ;   BJ  ta phương trình thứ Mặt    khác BJ  AA'  uBJ  AA '  uBJ AA '  ta phương trình thứ hai Giải hệ ta tìm A’ từ có pt BC  Bài giải : Do J tâm đường tròn nội tiếp ABC nên BJ phân giác góc B Ta có tính chất phân giác ngồi góc tam giác vng góc   BJ    d  : x  y    phương trình  BJ  : x  y   Tọa độ B nghiệm hệ phương trình x - y -1=0 x =-3   B  -3;-4   x +y +7= y =-4 5 1 125   R  BI    I  :  x     y  1  2  Gọi  A  2;6  a =6 125  1 A  2;a      : x        a  1     2 a = -4  A  2; -4   Lấy A’ đối xứng A qua BJ, dễ thấy A ' BC Gọi A '  x0 ; y0   x  y0   ;   BJ  Với A  2;6  tọa độ trung điểm AA’      x0  y    ;    BJ  : x  y    x0  y      Mặt khác BJ  AA'  uBJ  AA '  uBJ AA '   x0   y    x =7  A' 7;1  Giải hệ phương trình   ta  y =1 x 3 y    x  2y   73 1  1 125 C 0;5   xC +  +  y C -1 =  Gọi C  xC ; yC   tọa độ C nghiệm hệ phương trình:  2   C  -3;-4 (  B) x - 2y -5=0  C  C  phương trình  A ' B   BC  : Tương tự với A  2;-4 ta có C  3; 6 Bình luận: Bài tốn thực tế thay “1+2=3” thành “2+1=3” mà Các bạn thấy cốt lõi kỹ thuật bắt đối xứng qua phân giác Hãy khai thác triệt để vấn đề liên quan khơng ngẫu nhiên mà người đề cho đường “trên trời” Người ta chọn tức chắn có liên quan, bạn yên tâm Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang vng ABCD (góc vng A D) Biết BC = CD = 2AB Điểm N(1;0) trung điểm BC, đường thẳng AD có phương trình x - 2y =0 Tìm tọa độ đỉnh A Lovebook.vn | 17 Lovebook.vn Your dreams – Our mission Định hướng: Bài toán có nhiều kiện hình học, đặc biệt nằm chỗ BC = CD = 2AB nên trước hết ta phải vẽ hình cho thật xác Các bạn vẽ hình chứ, ý chi tiết khêu gợi CD = 2AB Dường người đề gợi ý cho lấy trung điểm CD M DM = MC = AB tứ giác ABMD hình chữ nhật dẫn đến BM  CD  BCD cân B mà BC = CD  BCD Thừa thắng xơng lên kẻ tiếp DN  BC có tiếp AND  DAN  60 Đến ta gọi tọa độ điểm A thơng qua phương trình AD dùng cơng thức cos góc đường thẳng AN AD cos60° = n AN n AD n AN n AD để tìm điểm A Bài giải: Gọi M trung điểm CD  DM = MC = AB  BM  CD  BCD cân B mà BC = CD  BCD  DN  BC  NDC = 30০  NDA = 60০  1  DM= DC= DB  DBM= 30০  DBN = 60০ 2  ANB = 30০  AND = 60০  Từ    AND  DAN = 60০      Gọi A y 2;y  AN 1- y 2;-y  n AN = y;1- y  Từ phương trình (AD): x - 2y =0  n AD =(1;- 2) Ta có: cos60° =  n AN n AD n AN n AD y - 2(1- y 2) =   y + 1- y 1+2    3 3y -2 2y +1 = 3y -  3y -2 2y +1 = 3y -  27y2 -18 2y +5=0  y =  2± 6±  x= 9  6± ±  Vậy A    ;    Bình luận: Số liệu xấu khiến cho nhiều bạn giải nghi ngờ khơng biết làm hay sai Thực tế kinh nghiệm cho thấy nghiệm xấu sốt lại để tìm thấy lỗi sai chắn 200% làm tốt rất nhiều so với việc tìm nghiệm đẹp để đáp số sai Nhiều chủ quan, thấy số đẹp mẩm khơng thèm sốt lại cuối thành điểm đáng tiếc Bài : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho tam giác ABC vuông A Biết B 3; 0  AC : x  y  M trung điểm AB H hình chiếu M lên BC Cho AHC  45 Tìm tọa độ H  Định hướng : Nhìn đề thật ngắn gọn xúc tích phải khơng ? Nhưng đừng vội mừng, tất đẹp đẽ cốt che giấu chất nguy hiểm bên mà Để giải toán ta phải lật lại từ lớp với kiến thức tứ giác nội tiếp Trước hết dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: +) Tổng góc đối tứ giác 180 Trường hợp dễ nhận có góc vng đối diện Lovebook.vn | 18 Bài tốn liên quan đến tính chất hình học +) Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn xuống cạnh đối diện góc Vậy tứ giác AMHC tứ giác nội tiếp Suy ngược lại dấu hiệu nhận biết ta có góc AHC  AMC  45 góc nội tiếp chắn cung AC nên tam giác MAC vuông cân A Ta viết phương trình AB có tọa độ điểm A tọa độ điểm M trung điểm AB Tham số hóa C (AC) giải phương trình độ dài AM = AC ta có điểm C Viết phương trình BC phương trình MH giải hệ ta tìm điểm H  Bài giải : Xét tứ giác AMHC có MHC  MAC  90  AHMC tứ giác nội tiếp  AHC  AMC  45 (cùng chắn cung AC )  MAC vuông cân C nên AM = AC n = u AC = 1;1  Phương trình  AB :  AB   AB : x +y -3=0 quaB 3;0  Do A  AC  AB  tọa độ A nghiệm hệ phương trình:  x= x + y -3=0     A ;3      2 2 x - y =0 y =   9 3 M trung điểm AB  M  ;  4 4 C  AC : x  y   C  c;c  Ta có :  9 9  C  ;  c =    3 2 AM = AC  AM = AC   c -  =    3 3   16 c = C  ;     4 4  nBC = 3;1 9 9  3  Với C  ;   BC   ;   phương trình  BC  :   BC  : 3x  y   4 4  4 quaB 3;0  nMH = uBC 1;-3  Phương trình  MH  :   MH : x  3y  9 3 quaM  ;  4 4  Tọa độ H nghiệm hệ phương trình :  x = x -3y =0    -1    H ;   4  3x + y - 9=0 y = -1   3 3  51  Tương tự với C  ;  ta có H  ;  4 4  20 20  Bài (Moon lần 2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B  -4;-2 , ACB=75° Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình 2x+y =0 , D điểm thuộc cạnh BC cho DC = 2DB Tìm tọa độ đỉnh A biết ADC=60° điểm A có hồnh độ âm Lovebook.vn | 19 Your dreams – Our mission Lovebook.vn Định hướng: Từ giả thiết ta tính góc CAD  45 Một suy nghĩ tự nhiên tạo tam giác vng cân cách hạ vng góc từ C xuống AD I Tiếp tục phát triển lên cách lấy E đối xứng C qua I 1 ta CAE vuông cân A CDE cân D  DE  DC  DE  DC  DE  DB Nếu ta gọi K trung 2 điểm DE hiển nhiên BKD  EBD vuông B  tứ giác AEBC tứ giác nội tiếp  ABC  AEC  ABH 45 từ cơng thức cos ta tìm A  Bài giải: Lấy E đối xứng với C qua AD Vì CAD=180° -75° -60° =45°  CAE=90° ADC=60°  ADE=60°;BDE=60° Gọi K trung điểm DE Ta có: 1 DK = DE= DC = DB  BDK 2 Do BK =DK = DE  BDE vuông B Vậy tứ giác ACBE tứ giác nội tiếp  ABC= AEC=45° hay BAH=45° Do A (AH):2x+y =0  A a;-2a  BA = a+4;2-2a   Ta có: cos BA;u AH =cos45°    a+4 -22-2a  =  a+42 + 2-2a 2  a =±2 Vì A có hồnh độ âm nên A  -2;4  điểm cần tìm Xét cách giải khác sau:  (AH)  Phương trình  BC  :   BC : x - 2y =0 quaB  -4;-2  Lại có BH  d(B; AH)  10 2 Đặt AH= x (x >0) Xét tam giác vuông ACH ADH Ta có: CH= x x x x x ,DH= =  DC= + tan75° tan60° tan75° 3  x    + Mặt khác DC =2DB  x   =2  x= 3 3  tan75°  Gọi A  t;-2t  (AH):2x +y =0  AH=d  A;BC  = Vì A có hồnh độ âm nên A  -2;4  điểm cần tìm Lovebook.vn | 20 =2 + tan75°  t =2  A 2;-4  =2    t =-2  A  -2;4   5t Bài toán liên quan đến tính chất hình học Bình luận : Cách thứ đậm chất hình học cịn cách thứ nặng tính đại số Cách phải suy nghĩ nhiều bù lại phép tính cịn cách không cần suy nghĩ mà phụ thuộc vào kỹ tính tốn Các bạn thích cách ? Bài 10 (THPT Đặng Thúc Hứa lần 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi E trung  11 2   6  điểm AD H  ;  hình chiếu vng góc B lên CE M  ;  trung điểm BH Xác định tọa độ 5   5  đỉnh hình vng ABCD biết điểm A có hồnh độ âm Định hướng: Đề cho kiện A có hồnh độ âm tức hướng theo đường gọi tọa độ điểm A giải phương trình Vẽ hình ta phán đốn AM // EH khơng có kiện liên quan để bám vào, BH  EC M trung điểm BH Đề khơng cho ta phải tự tạo mà xài Chú ý điểm E trung điểm AD, lại có AD//BC nên ta lấy điểm F đối xứng với E qua A ta EF song song BC nên tứ giác BCEF hình bình hành Hơi ảo chút phải không ? Nhiều bạn thắc mắc ‘’Tại lại biết mà lấy đối xứng ?’’ Thực lần đầu làm anh chị phải nháp nát bét giấy tẩy tẩy lại tìm đường lấy đối xứng =.= Cái khó có đường để làm Từ BCEF hình bình hành ta BHEF hình thang vng dẫn đến AM đường trung bình BHEF từ có AM  BH  ta có pt AM Đến nút thắt tháo gỡ Bỏ lại điều hụt hẫng để đến với điều hẫng hụt hơn, nút thắt thứ cịn bị giấu kỹ Có kiện ẩn đề mà khơng để ý, cos góc ECD hồn tồn tính Ngạc nhiên chưa, CD CD a với a độ dài cạnh hình vng Làm để chuyển từ góc C cosECD     EC CD2  ED2 a a  góc A ? Nhìn kỹ nhé, ECD  BAM góc có cạnh tương ứng song song Ta có cosBAM   AB.u AM AB u AM  Đến gọi A theo ẩn giải phương trình thơi, nhớ A nằm AM có phương trình nhé! Bài giải: Gọi F điểm đối xứng E qua A  tứ giác BCEF hình bình hành  tứ giác BHEF hình thang vng  AM đường trung bình BHEF  AM // EH  AM  BH M trung điểm BH  B  1; 2  (BH)  Phương trình  AM  :   -6  ( AM) : 2x  y   uAM  2; 1 qua M  ;     / /(AM)  Phương trình  CE  :   11 -2  (CE) : 2x  y   qua H  ;     Do góc ECD  BAM (góc có cạnh tương ứng song song)  cosECD  cosBAM Lovebook.vn | 21 Your dreams – Our mission Lovebook.vn  cosBAM   AB.u AM AB u AM   a = -1 Giả sử A  a; 2a   AB   1  a; 2  2a  vào  ta được: 5a -6a -11=0   a = 11 (L)    (AB)  ( AD) : y   A  1; 2  phương trình (AB): x =-1  phương trình  AD :  qua A  -1;2  E  AD  CE  tọa độ E nghiệm hệ phương trình:  (AB) 2x + y - 4=0  (BC): y =-2  E(1;2)  D(3;2)  phương trình  BC  :   y =2 quaB  -1;-2   C  BC  CE  tọa độ C nghiệm hệ phương trình: 2x + y - 4=0  C(3;-2)  y = -2 Bài 11 (THPT Hà Huy Tập lần 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2  y2  25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có chân đường cao hạ từ B C M  1; 3 , N 2; 3 Tìm tọa độ A, B, C biết A có tung độ âm Định hướng: Để giải toán này, ta cần nhớ lại vài kiến thức hình học phẳng lớp 9: + Tứ giác có hai góc nhìn cạnh góc 90 độ tứ giác nội tiếp  ta có tính chất góc nội tiếp + Góc chắn cung góc tạo tiếp tuyến dây căng cung chắn cung Quay trở lại, đề cho M N chân đường vng góc hạ từ B C nên có tứ giác BCMN tứ giác nội tiếp ta có CNM  CBM hai góc nội tiếp chắn cung CM Nếu ta gọi tiếp tuyến AT có TAB  ACB góc chắn cung góc tạo tiếp tuyến dây căng cung chắn cung Từ ta chứng minh MN / / AT  MN  OA Sau có phương trình OA, A giao OA với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta tìm A AM  1; 2 , AN 2; 2 vecto phương AC AB ta có phương trình AB AC tiếp tục giải hệ ta có tọa độ B C Bài giải: (C) có tâm O  0; 0 Ta có CMB  CNB  90 nên tứ giác CMNB tứ giác nội tiếp  CNM  CBM  Gọi AT tiếp tuyến (C), TAB  ACB  CBM+ ACB= 90°  Mà  kết hợp với    MNA = TAB CNM+MNA = 90°   MN / / AT  MN  OA MN 3; 0 vecto pháp tuyến OA nên OA có phương trình OA  : x  Lovebook.vn | 22 Bài toán liên quan đến tính chất hình học Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình : x =0 x   mà theo giả thiết y A