12 CHUYEN DE BDHSG TOAN 6

CHỦ ĐỀ 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm khái niệm dãy số viết theo quy luật ( phần tử dãy có mối liên hệ với ) - Biết nhận dạng dãy số viết theo quy luật phân tích để tìm quy luật B DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT THƯỜNG GẶP Định nghĩa: Dãy cộng dãy mà phần tử kể từ phần tử thứ lớn phần tử liền trước số đơn vị TQ: Dãy a1, a2, a3, a4, …… an-1, an dãy cộng ⇔ a2 – a1 = a3 – a2 = a4 - a3 =…= an- an - Ví dụ: Dãy số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4…… Dãy số chia có số dư : 3, 10, 17, 24, 31…… Các loại tập dãy cộng: VD: Xét dãy cộng: a1, a2, a3, a4, …… an-1, an a) Tìm phần tử thứ n dãy: an = a1 + (n - 1) d b) Tính tổng dãy Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +……+ an-1 + an = (a1 + an ) n c) Số số hạng dãy: n= an - a1 +1 (Trong d khoảng cách hai phần tử liên tiếp) d Bài tập áp dụng: Cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13,…… (1) a./ Tìm phần tử thứ 102 dãy? b./ Nếu viết dãy liên tiếp thành số chữ số thứ 302 số tạo thành số mấy? Giải: a./ Phần tử thứ 102 dãy a102 = + (102 - 1) = 304 b./ Phân tích: Dãy số viết liền thành số chia thành dãy sau - Dãy số có chữ số chia dư là: 1, 4, gồm chữ số - Dãy số có chữ số chia dư 10, 13, …, 97 gồm 97 - 10 +1 = 30 số nên có 30 = 60 chữ số - Để viết tiếp dãy đến chữ số thứ 102 ta phải dùng số có chữ số kể từ 100… đảm bảo chia dư Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số hay 79 số có chữ số kể từ 100 chữ số số thứ 80 (là chữ số đầu trong số thứ 80 dãy 100, 103, 106, ) Mà số thứ 80 dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337 Vậy chữ số thứ 302 số tạo dãy (1) ( hàng chục số 337) 147101317……334337340… Chữ số thứ 302 Chú ý: Trong phần b./ chữ số thứ n phải tìm số lớn ta tiếp tục phân tích thành dãy số có 3, có … chữ số tiếp tục làm tương tự II/ Mở rộng VD: Cho dãy sau: 1, 3, 6, 10, 15…… (1) 2, 5, 10, 17, 26 … (2) Tìm phần tử thứ 108 dãy trên? Giải: - Dãy (1) chưa dãy cộng viết lại thành dãy sau: 1.2 2.3 3.4 4.5 , , , 2 2 Xét dãy thừa số thứ tử số: 1, 2, 3, 4, … (1)’ Đây dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 dãy (1)’ 108 Từ suy phần tử thứ 108 dãy (1) 108.109 = 5886 - Dãy (2) viết thành dãy : 12 + 1, 22 +1, 32 + 1, 42+ 1, 52 +1… Tương tự ta tính phần tử thứ 108 dãy (2) 1082 + = 11665 Dãy Fibonaci: Dãy số Fibonaci dãy bắt đầu hai phần tử 1, kể từ phần tử thứ dãy phần tử tổng hai phần tử liền trước phần tử 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Dãy số Fibonaci có nhiều tính chất thú vị ta nghiên cứu phần C CÁC BÀI TẬP Bài 1: Cho dãy sau: 1, 3, 5, 7, 9…… (1) 1, 10, 19, 28, 37, … (2) 1, 3, 6, 10, 15,… (3) 1, 7, 17, 31, 49, … (4) 1, 5, 11, 19, 29, … (5) a) Tìm phần tử thứ 123 dãy trên: b) Giả sử dãy (1 ) có 500 phần tử, dãy (2) có 200 phần tử Tìm dãy phần tử giống hai dãy? Bài 2: Cho dãy : 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 2008 số Bài 3: Ta có: ak = ( k + 3k + 3k +1) ( k +1) k k3 = 1 k ( k +1) Do đó: a1 + a2 + a3 + … + a2008 ỉ1 ÷ ổ1 ổ 1ữ ữ ỗ ç =ç + + + ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç13 23 ÷ ç23 33 ÷ ç20083 20093 ÷ è ø è ø è ø 8108486728 = 1= 2009 8108486729 CHỦ ĐỀ 2: CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA ĐỒNG DƯ _ SO SÁNH HAI LUỸ THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm cách tìm số tận luỹ thừa với số số tự nhiên - Hiểu đồng dư, vận dụng tốt kiến thức đồng dư thức vào làm tập tìm chữ số tận chứng minh chia hết - Nắm phương pháp dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên Vận dụng tốt kiến thức để làm tập B PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA Chú ý: a./ Các số có tận 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 0, 1, 5, b./ Các số có tận 2, 4, nâng lên luỹ thừa có tận c./ Các số có tận 3, 7, nâng lên luỹ thừa có tận d./ Số a a4n+1 có chữ số tận giống ( ∀n, a ∈ N , a ≠ ) CM: d./ Dùng phương pháp quy nạp: Xét toán: CMR a4n+1 – a M10 ( ∀n, a ∈ N * ) - Với n = ta dễ dàng chứng minh a5 – a M 10 - Giả sử toán với n = k (a4k+1 – a M10 ( ∀k , a ∈ N * )) - Ta CM toán với n = k + ⇔ a 4(k+1) +1 - a M10 - Ta có: a 4(k+1) +1 – a = a4 a4k+1 – a ⇔ a4 a4k+1 – a5 (Vì a5 a có chữ số tận cùng) - Mà a4 a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a) M 10 Þ a 4(k+1) +1 – a M 10 Đpcm 2./ Phương pháp Để giải tốn tìm chữ số tận luỹ thừa ta tìm cách đưa số luỹ thừa dạng đặc biệt đưa số mũ dạng đặc biệt biết cách tính theo phần ý VD1: Tìm chữ số tận 108 6195 ; 5151 ; 21000 ; 9999 … Giải: - Tận 6195 - Tận 5151 - Ta có 21000 = 23 24 249 +1 mà 23 có tận 24 249 +1 có tận 21000 = ( ) ( Hoặc - Ta có : 250 =16250 ) nên 21000 9999 = 99 ( 99 ) 49 49 = 99 (….1) có tận có tận nên 108 9999 = (… 9)108 = [(… 9)2]54 có tận 3./ Mở rộng 3.1/ Đồng dư: a/ Khái niệm: Trong ý d./ phần ta nói a đồng dư với a 4n+1 theo modun 10 (là hai số có số dư chia cho 10) Tổng quát : Số tự nhiên a đồng dư với số tự nhiên b theo modun m (m ≠ 0) a b chia cho m có số dư Ký hiệu a º b( mod m ) với a, b, m ∈ N m ≠ (1) Khi a M m ta viết a º (mod m ) Hệ thức (1 ) gọi đồng dư thức b/ Một số tính chất đồng dư thức Nếu a º b(mod m) c º d (mod m) a + c º b + d (mod m) a.c º b.d (mod m) a n º b n (mod m) thì: a - c º b - d (mod m) Các tính chất áp dụng cho nhiều đồng dư thức modun c/ Ví dụ: VD1 Tìm số dư 3100 cho 13 Tìm số dư phép chia nghĩa tìm số tự nhiên nhỏ 13 đồng dư với 100 theo modun 13 Ta có 3100 = 3.399 = 3.( 33 ) 33 Vì 33 = 27 = 13 +1, nên 33 º 1(mod 13) (33)33 º 133 (mod 13) hay 399 º 1(mod 13) ⇒ 399 º (mod 13) º (mod 13) nên 3100 º (mod 13) Vậy 3100 chia cho 13 có số dư VD Chứng minh 22008 – chia hết cho 31 Để chứng minh 22008 – chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 – º (mod 31) Ta có : 22008 = 23 22005 = 23 (25)401 mà 25 =32 º (mod 31) nên ta có (25)401 º 1401(mod 31) Þ 23 22005 º 23 1(mod 31) ⇒ 22008 º 8(mod 31) Mặt khác º 8(mod 31) ⇒ 22008 - º - (mod 31) Nên 22008 - º (mod 31) Vậy 22008 – chia hết cho 31 Đpcm VD 3: CM với số tự nhiên n số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Ta có: 122n+1 =12.122n = 12 144n Vỡ 144 º 11(mod133) nên 144n º 11n (mod 133) suy 12 144n º 12 11n (mod 133) (1) Mặt khác: 11n+2 = 121 11n Mà 121 º - 12 (mod 133) nên 121 11n º - 12 11n (mod 133) (2) Cộng vế (1) (2) ta 122n+1 + 11n+2 º (mod 133) Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 VD 4: CM 58 2008 Đpcm + 23M24 Ta có 58 = 254 mà 25 º 1(mod 24) nên 254 º 1(mod 24) Þ 254 2008 º 1(mod 24) cũn 23 º 23(mod 24) Suy 58 2008 + 23 º (mod 24) Vậy 82008 + 23M24 3.2/ So sánh hai luỹ thừa a/ Phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta dùng tính chất sau: - Trong hai luỹ thừa số luỹ thừa có số mũ lớn lớn - Trong hai luỹ thừa số mũ luỹ thừa có số lớn lớn - Dùng luỹ thừa trung gian b/ Ví dụ: So sánh 10200 99100 6100 3170 Giải: Xét VD 3: Ta có: 6100= 2100.3100 3170= 370.3100 ⇒ Để so sánh 6100 3170 ta cần so sánh 2100 370 Vì 23 < 32 nên (23)34 < (32)34 hay 2102 < 368 mà 2100 < 2102 < 368 < 370 648 1612 Đpcm ⇒ 2100 < 370 Vậy 6100 < 3170 C CÁC BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: a) 714n – chia hết cho b) 124n + + 34n +1 chia hết cho c) 92001n + chia hết cho 10 d) n2 +n + 12 M Bài 2: Tìm chữ số tận a) 2008 2009 e) 97 19 1997 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979 f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68 Bài 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + … + 220 B = 31 + 32 + 33 + … + 3300 a) Tìm chữ số tận A b) Chứng minh B chia hết cho b) Chứng minh B – A chia hết cho Bài 4: Tìm số dư phép chia sau: a) 3100 : c) (2100 + 3105) : 15 b) 9! : 11 d) (15325 – 1) : Bài 5: Chứng minh rằng: a) 301293 – M9 b) 2093n – 803n – 464n – 261n M271 c) 62n + 3n+2 3n M11 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 M19 (với " n Ỵ N) Bài 6: Ngày tháng năm 2010 bạn Nam kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 Biết ngày tháng năm 2008 ngày thứ a) Hãy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày b) Bạn Nam tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy? Bài 7: Chứng minh a2 + b2 + c2 M9 thỡ ớt cỏc hiệu a – b2 a2 – c2 b2 – c2 chia hết cho Bài 8: So sánh số sau: a) 3281 3190 b) 11022009 – 11022008 11022008 - 11022007 c) A = (20082007 + 20072007)2008 B = (20082008 + 20072008)2007 D HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 7: Nhận xét: Khi chia số nguyên tuỳ ý n cho số dư nhận số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Bởi Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Vậy dù với số nguyên n số n chia cho có số dư số 0, 1, 4, Gọi số dư chia a2, b2, c2 cho r1, r2, r3 Ta có: a2 + b2 + c2 º r1 + r2 + r3 º (mod 9) ( Vì a2 + b2 + c2 chia hết cho 9) Như r1, r2, r3 nhận giá trị 0, 1, 4, nên r + r2 + r3 chia hết cho trường hợp sau 1) r1 = r2 = r3 = 2) Một số r1, r2, r3 hai số lại 3) Một số r1, r2, r3 hai số lại 4) Một số r1, r2, r3 hai số lại Vậy trường hợp có hai số r1, r2, r3 Điều có nghĩa hai số a 2, b2, c2 có số dư chia cho Vậy có hiệu a – b2 a2 – c2 b2 – c2 chia hết cho Đpcm Bài 8: Ta có c) A = (20082007 + 20072007)2008 = (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007 (20082007 + 20072007)2007 = (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 + 2007.20072007)2007 = (20082008 + 20072008)2007 = B Vậy A > B Mở rộng: Ta chứng minh tốn tổng quát : (an + bn)n + > (an + + bn + 1)n với a, b, n số ngun dương Thật vậy, khơng tính tổng quát, giả sử a ≥ b Ta co (an + bn)n + = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + + bn + 1)n Trong ví dụ với a = 2008, b = n = 2007, ta có A > B CHỦ ĐỀ CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT, ƯỚC VÀ BỘI A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết tổng - Hiểu mối quan hệ ước bội với tính chia hết B MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH VỀ TÍNH CHIA HẾT I Chú ý : Nhắc lại ước bội - Nếu a Mb ta nói b ước a a bội b - Khi a Md b Md ta nói d ước chung a b Khi d số lớn tập hợp ước chung a b ta nói d ước chung lớn a b Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d (a,b) = d - - Khi mM a mMb ta nói m bội chung a b Khi m # m số nhỏ tập hợp bội chung a b ta nói m bội chung nhỏ a b Ký hiệu BCNN(a,b) = m [a,b] = m Một số dấu hiệu chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 tổng chữ số vị trí lẻ tổng chữ số vị trí chẵn số chia hết cho 11 Dấu hiệu chia hết cho 4, 25 Những số có hai chữ số tận chia hết cho (hoặc 25) chia hết cho (hoặc 25) số chia hết cho (hoặc 25) Dấu hiệu chia hết cho 8, 125 Những số có ba chữ số tận chia hết cho (hoặc 125) chia hết cho (hoặc 125) số chia hết cho (hoặc 125) Một số tính chất: - Nếu tích chia hết cho số ngun tố p tích chứa thừa số chia hết cho p - Nếu tích a.b chia hết cho m b m hai số nguyên tố a chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m n a chia hết cho bội chung nhỏ m n Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho số nguyên tố a chia hết cho tích hai số - Nếu A MB mA ± nB MB (m,n ∈ N, A B biểu thức số tự nhiên) II Các phương pháp chứng minh chia hết Sử dụng tính chất chia hết tổng Ví dụ: a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 … + 299 CMR: A chia hết cho 31 Giải: Ta có A = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25 … + 299 = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+… + 295 (20+21+ 22+23+ 24) = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) (1 + 25 + 210 + … + 295) = 31 (1 + 25 + 210 + … + 295) chia hết cho 31 Đpcm b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + chia hết cho n – Giải: Để 3n + 4Mn - Û [1.(3n + 4) - 3.(n - 1) ] Mn - Û Mn - hay n – Ỵ Ư(7) én - =1 ⇔ ê Þ ê ën - = én = Vậy với n = n = ê ê n = ë 3n + 4Mn - Sử dụng đồng dư thức Ví dụ: Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10 Giải: Ta có 175 º 7(mod10) 244 º 6(mod10) 1321 =13.( 134 ) º 3(mod10) Þ 175 + 244 - 1321 º + - 3(mod10) Hay 175 + 244 - 1321 º 0(mod 10) Vậy 175 + 244 - 1321 M10 Sử dụng tính chất số nguyên tố Ví dụ: CMR: n5 – n M 30 Giải: Bài tốn ln với n = n =1 Xét n ≥ 2: Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1) Đpcm b) Tia MO trùng với tia MP tia Mx’ Tia MO tia đối tia MN tia Mx c) Muốn chứng tỏ M trung điểm đoạn thẳng NP ta phải chứng tỏ điểm M nằm hai điểm N P, NM = MP Thật : - Theo câu a, điểm M nằm hai điểm O N theo đầu bài, điểm N P thuộc hai tia Ox Ox’ đối Vậy, điểm M phải nằm hai điểm N P - Từ câu a ta có : ON = NM + MO Thay số vào ta có : = NM + ⇒ NM = 4(cm) (1) - Theo đầu M ∈ Ox, P ∈ Ox’ Vậy, điểm O nằm hai điểm M P Ta có : MP = MO + OP Thay số vào ta có : MP = + ⇒ MP = 4(cm) (2) - Từ (1) (2) có NM = MP = 4(cm) Điểm M thỏa mãn hai điều kiện trung điểm Vậy, M trung điểm đoạn thẳng NP Bài a) Giả sử điểm O nằm hai điểm M N, ta có : MN = MO + ON Thay số vào ta có : = + => vơ lí Vậy, O khơng thể nằm hai điểm M N b) Giả sử điểm M nằm hai điểm O N, ta có : ON = OM + MN Thay số vào ta có = + vơ lí Giả sử điểm N nằm hai điểm lại O M, ta có : OM = ON + NM Thay số vào ta có = + vơ lí Vậy, theo câu a : O nằm hai điểm M N; theo câu b: M nằm hai điểm O N; N nằm hai điểm O M Ta không điểm nằm hai điểm lại Vậy, ba điểm O, M, N với ba khoảng cách thẳng hàng Bài -Theo đầu : AB = 36 cm, EH = 30 cm Vậy AE + HB = 36 – 30 = 6(cm) Mà AE = AM (1) ; HB = PB (2) (E H trung điểm AM PB) Từ (1) (2) ta có : AE + HB = AM PB AM + PB + = 2 AM + PB = ⇒ AM + PB = 12(cm) Mà AE + HB = 6(cm) , nên Vậy, MP = AB – ( AM +PB ) = 36 – 12 →MP = 24 (cm) -Theo đầu : F trung điểm MN, nên Và G trung điểm NP, nên NG = FN = MN (3) NP (4) Từ (3) (4) suy : FN + NG = MN NP MN + NP + = 2 (5) Theo thứ tự lấy điểm chia thứ tự lấy trung điểm đoạn thẳng, N điểm nằm hai điểm F G; N điểm nằm hai điểm M P Vậy FN + NG = FG MN + NP = MP Thay vào (5) ta có : FG = MP 24 = = 12(cm) 2 Vậy độ dài đoạn thẳng FG 12 cm Bài 10 Khi vẽ hình có hai trường hợp: - Trường hợp 1( H.a) : Hai điểm B C phía với A, tức hai tia AB AC trùng Trường hợp chia làm hai trường hợp nhỏ : AB > AC, AC > AB ( hai trường hợp chứng minh tương tự ) Ta chứng tỏ AB < AC: N trung điểm AC, nên : AN = AC M trung điểm AB, nên : AM = AB (1) (2) Từ (1) (2) ta có : AN − AM = AC AB AC − AB − = 2 (3) Ta xét AB < AC, nêm điểm B nằm hai điểm A C Ta có : AC = AB + BC => BC = AC - AB (4) AB < AC => AM < AN nên điểm M nằm hai điểm A N Ta có AN = AM + MN => MN = AN - AM (5) Thay (4) (5) vào (3), ta có: MN = BC/2 hay BC = 2MN - Trường hợp ( H.b) : Hai điểm B C thuộc hai tia đối AB AC Suy hai trung điểm thuộc hai tia đối M trung điểm AB, nên : AM = N trung điểm AC, nên : AN = AB (6) AC (7) Từ ( 6) (7) có : AM + AN = AB + AC (8) Mà AB AC hai tia đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm B C Ta có : BC = BA + AC (9) M ∈ AB N∈ AC hai tia đối, nên điểm A nằm hai điểm M N ta có : MN = AM + AN Thay (9) (10) vào (8), ta có : MN = (10) BC hay BC = 2MN Bài 11 Học sinh tự làm Bài 12 a) Có tia chung gốc O tia OA, Ox, OB, Oy, OC Oz b) - Tại gốc A có tia Ax tia đối tia Ay, AO AB – Tại gốc O có tia Ox tia đối tia OB Oy – Tại gốc B có tia By tia đối tia Bx, BA BO – Tại gốc C có tia Cz tia đối tia CO c) – Tại gốc O có tia OA trùng với tia Ox, tia OB trùng với tia Oy tia OC trùng với tia Oz – Tại gốc A có tia AO trùng với tia AB Ay – Tại gốc B có tia BO trùng với tia BA Bx d) Có đoạn thẳng đoạn OA, OB, OC AB Bài 13 a) Nếu O trung điểm đoạn thẳng MN ta có : OM = ON = MN = ⇒ OM = ON = 4cm 2 b) O nằm hai điểm M N, nên : MN = MO + ON (1) mà MO = ON +2, thay vào (1) ta có : = ON + + ON ⇒ = 2ON + ⇒ ON = 3(cm) Vậy OM = + = (cm) Bài 14 Vì O nằm hai điểm M N, nên ta có : MN = MO + ON Trong phép tính trên, biết hai số hạng tính số thứ ba Vậy cần biết độ dài hai đoạn thẳng tính đoạn thẳng lại Bài 15 1) Tia CA CD hai tia đối nhau, tia CA CB hai tia đối Những tia gốc C trùng tia CB trùng với tia CD 2) – Theo đầu bài, D nằm hai điểm C B Vậy, hai tia CD CB trùng – Theo đầu bài, C nằm hai điểm A B Vậy, hai tia CA CB hai tia đối – Tia CA tia CB, mà tia CB trùng với tia CD Vậy, tia CA tia đối tia CD Suy điểm C nằm hai điểm A D Bài 16 Xét hai trường hợp : – Trường hợp ( H.a) : Hai điểm B C hai tia đối AB AC Vậy, điểm A nằm hai điểm B C Ta có: BC = BA + AC Thay số vào ta : 13,5 = 12 + AC Vậy AC = 1,5 ( cm) – Trường hợp ( H.b) : Hai điểm B C phía với điểm A Vì BC > BA ( 13,5 cm > 12cm), nên xảy trường hợp điểm C nằm hai điểm A B Chỉ xảy điểm B nằm hai điểm A C Ta có : AC = AB + BC ⇒ AC = 12 + 13,5 = 25,5 (cm) Vậy AC = 25,5 (cm) Bài 17 Chia làm hai trường hợp : - Trường hợp 1: Điểm O nằm hai điểm A B Ta có : AB = 21cm - Trường hợp 2: Điểm A B phía với điểm O Ta có : AB = cm Bài 18 Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AC, CD, DB Vậy, hai điểm C D nằm hai điểm A B, hay đoạn thẳng CD nằm hai đoạn thẳng AC DB E trung điểm AC nên AE = AC (1) F trung điểm DB nên FB = DB (2) Từ (1) (2) có : AE + FB = AC DB AC + BD + ⇒ AE + FB = 2 Trong AE + FB = AB – EF Vậy, AE + FB = AC + BD = 28 − 16 = 12 Suy ra: AC + BD = 24 (cm) Vậy đoạn CD = AB – ( AC + BD ) = 28 – 24 = (cm) Bài 19 a) Tia BC tia đối tia BA, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng qua B C) Tia CB tia đối tia CD nên ba điểm B, C, D thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng qua B C) Vậy A D nằm đường thẳng qua B C, nên bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng b) Tia BC tia đối tia BA, nên điểm B nằm hai điểm A C Ta có : AC = AB + BC Thay số ta có : AC = + = (cm) Tia CB tia đối tia CD, nêm điểm C nằm hai điểm B D Ta có : BD = BC + CD Thay số ta có : BD = 3+4 = (cm) Vậy AC = BD = cm c) I trung điểm BC, suy : BI = IC = = 1,5(cm) Từ ta tính độ dài đoạn AI ID để suy AI = Id kết luận I trung điểm đoạn AD Bài 20 a) Điểm C thuộc tia đối tia AB, nên điểm A nằm hai điểm B C Vậy ta có : BC = BA + AC Độ lớn đoạn BC, BA, BC số dương, nên tổng hai số phải lớn số hạng Vậy, BC phải lớn AC b) F trung điểm đoạn CB, nên : CF = CB E trung điểm đoạn CA, nên : CE = (1) CA (2) Mà CA < Cb ( câu a), nên CE < CF, chứng tỏ điểm E nằm hai điểm C F Suy : CF = CE + EF ⇒ EF = CF – CE Thay (1) (2) vào (3), ta có : EF = (3) CB CA CB − CA AB − = = = = 3(cm) 2 2 Vậy EF = cm Bài 21 Có thể biểu thị 6cm chữ khác Coi bắt tay hai em đường thẳng nối hai điểm Theo cách giải thứ 12 ( chủ đề – Dạng 2), ta có : 6×5 = 15 ( bắt tay) Bài 22 Giải tương tự 51 Ta có số đoạn thẳng vẽ 7×6 = 21 ( đoạn thẳng) Bài 23 Gọi điểm chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn C, điểm C phải nằm hai điểm A B Ta có : AB = AC + CB I trung điểm AC, nên : IC = AC Q trung điểm CB, nên : CQ = CB / (1) (2) Tia CA CB hai tia đối nhau, mà I ∈ AC, Q ∈ CB, nên C phải nằm I Q Ta có : IQ = IC + CQ (3) Thay (1), (2) vào (3) có : IQ = AC CB AC + CB AB a + = IQ = = 2 2 hay ( a độ dài đoạn AB) Bài 24 a) Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AP, PQ, QB Vậy AB = AP + PQ + QB Mà AP = PQ (1) (2) 2QP = 2QB ⇒ PQ + QB Vậy AB = 2QB + BQ + QB ⇒ AB = 4QB (3) I trung điểm QB, nên : IB = QB (4) I trung điểm QB, mà Q nằm hai điểm A B, nên I nằm hai điểm A B Vậy ta có : AB = AI + IB (5) Từ (3) ta có : AB = 4QB ⇒ QB = Vậy IB = AB QB AB ⇒ = QB AB = Thay (6) vào (5) có : (6) AB AB AB − AB ⇒ AI = AB − = 8 AB a ⇒ AI = = (cm) 8 AB = AI + ( a độ dài đoạn AB ) b) Theo (3) : AB = 4QB Theo (1) : 2QB = AP Vậy ta suy : AB = AP ⇒ AP = Mà E trung điểm AP, nên AB EP = AP AB = (7) QB AB = Theo (6) : Suy QB = AB AB , mà PQ + QB, : PQ = 4 (8) Theo (6) : QB AB AB = ⇒ QB = Mà I trung điểm QB, nên QI = Thay QB = QB AB AB , có QI = (9) Theo đầu bài, đoạn AB chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP, PQ, QB nên EI = EP + PQ + QI (10) Thay (7), (8), (9) vào (10) có: EI = ⇒ EI = AB AB AB + + 4 AB 5a ⇒ EI = (cm) , ( a độ dài đoạn AB) 8 CHUYÊN ĐỀ 11: GĨC ( NÂNG CAO) Bài tập: Bài 1: Trong góc xOy nhọn lấy tia Oz cho On tia phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ Ox không chứa tia Oy vẽ tia Ot cho Ot vng góc On thấy góc xOy Bài 2: Cho Lần lượt lấy Om Trong góc xOy vẽ tia On1 cho Tìm số đo Trong góc xOn1 vẽ tia On2 cho Trong góc xOn2 vẽ tia On3 cho Cứ làm tương tự đến tia thứ k thấy góc tạo tia Onk tia Ox bắt đầu nhỏ 15o Hỏi tia Onk tia thứ kể từ bắt đầu vẽ tia On1 Bài 3: Cho tia Ox, nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia On1; On2; On3; cho ; ; ; a Tới tia thứ k tia Onk người ta thấy bắt đầu lớn Tìm k b Vẽ tới tia thứ 15 tia On15 góc xOn15 độ? Bài 4: Trong lấy hai tia Oz Ot cho phân giác góc Tính số đo Gọi Om On biết Bài 5: Trên hai nửa mặt phẳng khác bờ tia Ox vẽ hai tia Oy Oz Ox phân giác góc yOz Trên nửa mặt phẳng bờ Ox không chứa tia Oy vẽ tia On cho Trên nửa mặt phẳng bờ Ox không chứa tia Oz vẽ tia Om cho a Chứng minh Ox phân giác góc mOn b Khi Oy phân giác góc mOx Oz có phải phân giác góc xOn khơng? Vì sao? Bài 6: Tia Ox chia mặt phẳng thành hai nửa (I) (II) - Trên nửa mặt phẳng thứ (I) vẽ tia On1 cho nửa mặt phẳng thứ (II) vẽ tia Om1 cho , đồng thời - Trên nửa mặt phẳng thứ (I) vẽ tiếp tia On2 cho thời nửa mặt phẳng thứ (II) vẽ tia Om2 cho - Trên nửa mặt phẳng thứ (I) vẽ tiếp tia On3 cho so với , đồng ( tăng ), đồng thời nửa mặt phẳng thứ (II) vẽ tia Om3 cho (gấp đôi ) Cứ làm Hỏi có tồn cặp tia thứ k ( k Onk Omk cho: a b c Bài 7: Cho góc xOy khác góc bẹt Vẽ Ox’ Oy’ hai tia đối Ox Oy Vẽ Om On phân giác hai góc ; Chứng minh: a = b = c Hai tia Om On hai tia đối Bài 8: Cho lấy tia Oz cho Trong hai góc: lấy hai tia Ot Ot’ cho Gọi Om On phân giác Cho biết Oz phân giác góc nOm Tính số đo góc zOt Bài 9: Gọi M N hai điểm nằm khác phía đường thẳng xy Đoạn thẳng MN cắt xy O Trên tia Ox lấy điểm A cho OA = 2cm a Giả sử Chứng tỏ tia Ay tia phân giác Tính số đo b Trên tia Oy lấy điểm B, giả sử = 10 , =4 Tính số đo c Muốn cho điểm O trung điểm AB OB phải có độ dài bao nhiêu? Bài 10: Hai đường thẳng xx’ yy’ cắt O tạo góc 60o Từ O vẽ hai tia Ot Ot’ vng góc Cho hai tia quay xung quanh O người ta thấy có vị trí mà Tìm vị trí - HẾT - ... 1) (123 50 + 1) => 123 100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125 ) = 1, từ (1) (2) suy ra: 123 100 - chi hết cho 1000 => 123 101 = 123 (123 100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N) Vậy 123 101 có ba chữ số tận 123 ... a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125 Bài toán 11: Tìm ba chữ số tận 123 101 Lời giải: Theo tính chất 6, (123 , 5) = => 123 100 - chia hết cho 125 (1) Mặt khác: 123 100 - = (123 25 - 1) (123 25... n số 122 n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Ta có: 122 n+1 =12. 122n = 12 144n Vỡ 144 º 11(mod133) nên 144n º 11n (mod 133) suy 12 144n º 12 11n (mod 133) (1) Mặt khác: 11n+2 = 121 11n Mà 121 º - 12 (mod