Bài tiểu luận linh hóa tử

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——————– * ——————— TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN Đề tài: LINH HÓA TỬ Giảng viên hướng dẫn : GS.TS Lê Văn Thuyết Học viên thực : Hà Văn Quý Lớp Cao học Toán K20 HUẾ, 11-2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo, Giáo sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành tốt tiểu luận Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế tận tâm truyền đạt kiến thức cho suốt q trình học tập khoa Tơi xin cảm ơn quan tâm, giúp đỡ, động viên quý thầy cô giáo bạn bè suốt thời gian làm tiểu luận Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Sinh viên thực Hà Văn Quý i MỤC LỤC Lời cảm ơn Mở đầu i iii Chương Một số kiến thức Môđun 1.1 Vành Iđêan 1.2 Môđun 1.3 Môđun môđun thương 1.4 Song môđun 1.5 Đồng cấu môđun Chương Lý thuyết Linh hóa tử 2.1 Linh hóa tử 2.2 Bài tập Kết luận 12 Tài liệu tham khảo 13 ii MỞ ĐẦU Chúng ta biết cấu trúc đại số nhóm, vành khái quát hóa từ tập hợp số với hai phép tốn (+) (×) thơng thường Mơđun khái niệm mở rộng khái niệm nhóm aben khái niệm không gian vectơ Một cấu trúc R-môđun M xây dựng từ vành R Vấn đề đặt tìm hiểu tính chất môđun M thông qua vành R Một công cụ hỗ trợ khảo sát mối liên hệ linh hóa tử Để có tính hệ thống trình bày, tiểu luận nhắc lại ngắn gọn khái niệm, tính chất cần thiết vành, mơđun Chương Chương nội dung tiểu luận, giới thiệu chi tiết linh hóa tử cuối giải ba toán liên quan đến vành nửa đơn Để hoàn thành tiểu luận này, xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Giáo sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết giảng dạy tạo điều kiện Mặc dù có nhiều cố gắng, song trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong quý thầy cô giáo bạn bày thêm để tiểu luận hoàn thiện Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Học viên thực Hà Văn Quý iii CHƯƠNG Một số kiến thức Môđun Phần trình bày ngắn gọn số khái niệm tính chất cần thiết để chuẩn bị cho Chương Các khái niệm vành, iđêan, môđun, song môđun xem biết chứng minh đầy đủ [1], [2] Những chứng minh lại (mà [2] chưa trình bày) thân học viên, mong nhận góp ý Thầy người đọc 1.1 Vành Iđêan Định nghĩa 1.1 ([1], tr 78) Một tập hợp R gọi vành R có hai phép tốn hai ngơi, gọi phép cộng gọi phép nhân, cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tập hợp R nhóm aben phép cộng (ii) Phép nhân R kết hợp (iii) Luật phân phối: Phép nhân phân phối phép cộng Tức, với phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta có (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy Vành R phép cộng có phần tử khơng, ký hiệu 0; phép nhân có phần tử đơn vị gọi vành có đơn vị Trong tồn tiểu luận này, khơng nói thêm, ta quy ước vành R ln có đơn vị khác không ký hiệu Định nghĩa 1.2 (i) Một tập hợp A vành R gọi vành R, A lập thành nhóm aben với phép cộng R đóng phép nhân, tức ab ∈ A, ∀a, b ∈ A (ii) Một tập hợp I vành R gọi iđêan trái (hoặc iđêan phải) R, I vành R thỏa mãn tính chất RI ⊂ I(hoặc IR ⊂ I) (iii) Nếu I vừa iđêan phải vừa iđêan trái R gọi iđêan R 1.2 Môđun Định nghĩa 1.3 ([2], tr 4) Cho R vành có đơn vị khác không Một R-môđun phải M là: 1) Một nhóm cộng aben M với 2) Ánh xạ M × R −→ M, (m, r) −→ mr gọi phép nhân môđun, thỏa điều kiện sau: i) Quy tắc kết hợp: (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) ii) Quy tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r, m(r1 + r2 ) iii) Quy tắc unita: m1 = mr1 + mr2 =m m, m1 , m2 phần tử tùy ý M , r1 , r2 ∈ R Lúc đó, R gọi vành sở Nếu M R-môđun phải ta ký hiệu M = MR Tương tự ta định nghĩa khái niệm R-môđun trái Nhận xét Từ định nghĩa ta có kết sau: 0M r = 0M , m0R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r) với m ∈ M, r ∈ R Định nghĩa 1.4 Một R-môđun trái M đơn khơng có mơđun không tầm thường Một R-môđun trái M nửa đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Một vành R nửa đơn trái R tổng trực tiếp iđêan trái cực tiểu.([4], VIII.3, tr 556) 1.3 Môđun môđun thương Định nghĩa 1.5 (Môđun con) Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M , ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR , A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân mơđun hạn chế A Chú ý ký hiệu A ≤ M để phân biệt với ký hiệu có tính tập hợp thơng thường A ⊂ M Ngồi ta ta viết A ≤ M có nghĩa A môđun thực M = A M có nghĩa A khơng phải mơđun M Sau dấu hiệu nhận biết môđun con: Định lý 1.3.1 Giả sử M R-môđun phải Nếu A tập khác ∅ M , khẳng định sau tương đương: i) A ≤ M , ii) A nhóm nhóm cộng mơđun M với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A, iii) Với a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử A = ∅ mơđun M Khi đó, theo Định nghĩa 1.5, A R-môđun Theo Định nghĩa 1.3, A với phép toán cộng M nhóm cộng aben, A nhóm nhóm cộng mơđun M Cũng theo Định nghĩa 1.5, phép nhân mơđun M × R −→ M, (m, r) −→ mr, hạn chế A nên với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A ii) ⇒ iii) Do tính chất nhóm nhóm cộng nên với a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A iii) ⇒ i) Lưu ý rằng, vành R tiểu luận ln giả thiết có đơn vị khác khơng Do đó, từ A = ∅, nên với a ∈ A, ta có 0M = a0R ∈ A −a = (−a)1R ∈ A Hay A nhóm cộng Hơn nữa, tính aben A có A ⊂ M Vậy A nhóm cộng aben Mặt khác phép nhân môđun A thừa hưởng điều kiện định nghĩa 1.3 nên A R-môđun Theo Định nghĩa 1.5, A ≤ M Nhận xét Mỗi iđêan phải vành R môđun RR Định lý 1.3.2 (Xây dựng môđun thương) Cho MR N ≤ M Khi đó: 1) M/N nhóm cộng aben với phép toán cộng : (x + N ) + (y + N ) = x + y + N 2) Quy tắc M/N × R −→ M/N (m + N, r) −→ (m + N ).r = mr + N phép nhân mơđun 3) Nhóm aben M/N với phép nhân môđun trở thành R-môđun phải Định nghĩa 1.6 (Môđun thương) M/N xác định Định lý 1.3.2 gọi môđun thương mơđun M mơđun N 1.4 Song môđun Định nghĩa 1.7 (Song môđun) Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S-bên trái, ký hiệu S MR , nếu: (a) M R-môđun phải M S-mơđun trái, (b) Ta phải có (sx)r = s(xr), r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S-bên phải, ký hiệu MR−S , nếu: (a) M R-môđun phải M S-mơđun phải, (b) Ta phải có (xs)r = (xr)s, r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M 1.5 Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.8 Cho A, B hai R-môđun phải Đồng cấu môđun α từ A vào B ánh xạ α : A −→ B thỏa: ∀a1 , a2 ∈ A, ∀r1 , r2 ∈ R [α(a1 r1 + a2 r2 ) = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 ] Lúc ta viết α : AR −→ BR Định nghĩa 1.9 Đồng cấu α : AR −→ BR gọi đơn cấu (tương ứng tồn cấu, đẳng cấu) đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) Bổ đề 1.5.1 Cho α : AR −→ BR Lúc đó: 1) U ≤ A ⇒ α(U ) ≤ B 2) V ≤ B ⇒ α−1 (V ) ≤ A Định nghĩa 1.10 Theo Bổ đề 1.5.1, α−1 (0) môđun AR Ta gọi nhân đồng cấu α Ký hiệu Ker(α) Nhận xét Nhân đồng cấu mơđun α nhân đồng cấu nhóm nên α đơn cấu Ker(α) = CHƯƠNG Lý thuyết Linh hóa tử 2.1 Linh hóa tử R vành, M R-mơđun trái Ta tìm hiểu tính chất M từ R ngược lại Một khái niệm đề cập để khảo sát mối liên hệ linh hóa tử Các chứng minh phần tham khảo chủ yếu từ [2], [3] Ngoài ra, học viên mạnh dạn đưa chứng minh số ví dụ minh họa khái niệm liên quan Định nghĩa 2.1 Cho M R-môđun trái X ≤ M môđun M Khi đó, linh hóa tử (trái) X R là: lR (X) = {r ∈ R|rx = 0, ∀x ∈ X} Mỗi với A ⊆ R, linh hóa tử (phải) A M là: rM (A) = {x ∈ M |ax = 0, ∀a ∈ A} Với tập {x}, {a}, ta viết tắt lR (x) rM (a) Khi khơng có nhầm lẫn nào, ta lược bỏ số R M Nếu bắt đầu với R - môđun phải M , ta định nghĩa linh hóa tử phải rR (X) linh hóa tử trái lM (A) Nếu A ⊆ lR (X) ta nói A linh hóa X Tiếp theo, tìm hiểu số tính chất khái niệm linh hóa tử Mệnh đề 2.1.1 Cho R MS song môđun, X ⊆ M, A ⊆ R Khi đó: 1) lR (X) iđêan trái R 2) rM (A) môđun MS Hơn nữa, X môđun R M lR (X) iđêan (hai phía) R ... môđun phải M , ta định nghĩa linh hóa tử phải rR (X) linh hóa tử trái lM (A) Nếu A ⊆ lR (X) ta nói A linh hóa X Tiếp theo, tìm hiểu số tính chất khái niệm linh hóa tử Mệnh đề 2.1.1 Cho R MS song... liên hệ linh hóa tử Để có tính hệ thống trình bày, tiểu luận nhắc lại ngắn gọn khái niệm, tính chất cần thiết vành, mơđun Chương Chương nội dung tiểu luận, giới thiệu chi tiết linh hóa tử cuối... Ker(α) = CHƯƠNG Lý thuyết Linh hóa tử 2.1 Linh hóa tử R vành, M R-mơđun trái Ta tìm hiểu tính chất M từ R ngược lại Một khái niệm đề cập để khảo sát mối liên hệ linh hóa tử Các chứng minh phần tham