BÀI GIẢNG: BÊTÔNG CƠ SỞ. TÍNH TOÁN CẤU KIỆN CHỊU UỐN - XOẮN

Bài giảng: BÊTƠNG CƠ SỞ Chương TÍNH TỐN CẤU KIỆN CHỊU UỐN - XOẮN 5.1 Đại cương cấu kiện chịu uốn - xoắn: 5.1.1 Sơ lược tình hình phát triển nghiên cứu uốn xoắn: Trong khoảng đầu kỷ 20 tiêu chuẩn không đưa quan điểm thiết kế kết cấu chịu xoắn Khi tính tốn kết cấu người ta gia tăng khả chịu xoắn hệ số an toàn Càng sau khoa học ngày phát triển phương tiện phục vụ cho công tác thực nghiệm kết cấu nhiều nên ngày nhiều, phương pháp phân tích kết cấu phát triển Trong sau kỷ 20 có nhiều nghiên cứu uốn xoắn xuất với tiết diện kín đặc rỗng Năm 1929 Rausch lần đưa phương pháp phân tích dàn (space struss analogy) dựa ứng xử kết cấu uốn xoắn Năm 1934 Andersen công bố nghiên cứu ông dựa thực nghiệm 48 mẫu dầm bêtông bêtông cốt thép với giá trị khác cốt dọc cốt đai Nghiên cứu Bresler Pister dựa 24 mẫu dầm rỗng vào năm 1958 Các nghiên cứu số nghiên cứu tác giả khác tiền đề cho tiêu chuẩn tính tốn xoắn xuất lần đầu ACI318-63 Các tác giả Evans (1965), Thomas.T.C Hsu (1968) đưa mơ hình uốn xiên (Skew bending model) mà nghiên cứu T.T.C.Hsu đóng vai trò quan trọng Đến năm 1971 tiêu chuẩn tương đối hoàn thiện qui định không đổi đến 1992 Những nghiên cứu đưa công thức bán thực nghiệm áp dụng với bêtông thường không ứng suất trước Đến 1995 tiêu chuẩn tính xoắn điều chỉnh bổ sung lại chấp nhận đến Đó tính tốn tiết diện đặc rỗng dựa lý thuyết thành mỏng, mơ hình hệ khơng gian (Space truss analogy) Lý thuyết áp dụng cho bêtông thường dự ứng lực Sự làm việc chịu xoắn: Cấu kiện chịu xoắn cấu kiện có xuất nội lực mơmen xoắn Mt tác dụng mặt phẳng vng góc với trục Thơng thường với Mt cịn xuất mômen uốn M lực cắt Q Khi làm việc bêtơng có ứng suất kéo σkc ứng suất nén σnc Khi có Mt (xoắn túy) vết nứt thường xiên góc 450 chạy vịng quanh theo tiết diện Khi có đồng thời M Q vết nứt xiên xuất theo mặt, mặt thứ tư chịu nén tạo thành tiết diện vênh không gian Sự phá hoại xảy theo tiết diện vênh, ngồi cấu kiện cịn hư hỏng ứng suất nén σnc vượt khả chịu nén bêtông Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 67 Bài giảng: BÊTƠNG CƠ SỞ Hình 5.1 Mặt cắt phá hoại cấu kiện xoắn túy (Thomas T.C Hsu – 1968) a Phá hoại mặt bên dầm b Phá hoại đáy dầm Hình 5.2 Mặt phá hoại cấu kiện uốn (cắt) xoắn (Dương Nguyễn Hồng Toàn - 2008) 5.1.2 Phân loại chịu xoắn: Khảo sát làm việc chịu xoắn người ta chia hai trường hợp: xoắn cân (equilibrium torsion) xoắn tương hỗ (compatibility torsion) - Xoắn cân mơmen xoắn đóng vai trị cân kết cấu mái cơng xôn, dầm ngang chịu xoắn cân Lúc khả chống xoắn không đủ kết cấu trở nên ổn định sụp đổ Lúc mômen xoắn Mt không phụ thuộc vào độ cứng chống xoắn Bt = GJt với G mô đun dàn hồi chống cắt bêtơng, Jt mơmen qn tính chống xoắn tiết diện Trường hợp thường xuất cấu kiện tĩnh định Mt truyền đến từ phận tĩnh định Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 68 Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ Hình 5.3 Minh họa cấu kiện”xoắn cân bằng” - Xoắn tương hỗ xuất có phân phối lại momen xoắn cho phần tử liền kề trường hợp dầm phụ sàn, dầm biên biến dạng gây góc xoay tạo nên xoắn tương hỗ hệ liền khối Thường xuất cấu kiện siêu tĩnh Mt phụ thuộc vào độ cứng chống xoắn Bt Hình 5.4 Cấu kiện”xoắn tương hỗ” 5.1.3 Cấu tạo cốt thép Để chịu momnen xoắn phải đặt cốt dọc theo chu vi cấu kiện cốt đai phải khép kín Một phần cốt dọc đặt vùng kéo uốn với lượng thép diện tích thép tính tốn chịu uốn, phần lại phân bố theo chu vi Các cốt dọc cần neo chắn vào gối tựa với chiều dài lan Cốt đai khung buộc cần phải tạo thành vịng kín neo chắn hai đầu, đoạn chập vào không nhỏ 30 ( - đường kính cốt đai ) Đầu mút cốt đai uốn móc ôm lấy thép dọc Nếu khung hàn - cần làm thành vịng kín, đầu mút hàn với cốt dọc Đối với tiết diện chữ T, chữ I cần đặt cốt đai thành vịng kín sườn cánh Khi cạnh tiết diện h ≤ 200 cần hai cốt dọc, h>200 cần ba cốt dọc dọc theo cạnh tiết diện (hình 5.2) Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 69 Bài giảng: BÊTƠNG CƠ SỞ Hình 5.5 Cốt thép cấu kiện chịu xoắn 5.2 Ngun tắc tính tốn Khi tính toán tiết diện ta dựa giả thiết sau: - Bỏ qua khả chịu kéo bê tông; - Vùng chịu nén tiết diện coi phẳng, nằm nghiêng góc với trục dọc cấu kiện, khả chịu nén bê tông lấy Rb sin  xem phân bố vùng chịu nén x; - Ứng suất kéo, nén cốt thép dọc cốt thép ngang cắt qua vùng chịu kéo tiết diện không gian lấy cường độ tính tốn Rs, Rsc Rsw Tính tốn cấu kiện chịu uốn xoắn tương đối phức tạp nên ta thực toán kiểm tra Từ momen uốn tính sơ cốt thép chịu kéo As, chọn đặt cốt thép tăng giá trị tính được, bố trí thêm cốt dọc theo phương cạnh h Từ lực cắt ta tính cốt đai, chọn khoảng cách bé giá trị tính Sau sơ tính bố trí thép dọc đai ta tiến hành tính tốn kiểm tra xoắn theo trình tự sau:  Kiểm tra điều kiện ứng suất nén chính: Mt  0.1Rbb 2h (5.1) Nếu bêtơng có cấp độ bền > B30 lấy Rb ứng với cấp B30 để tính  Điều kiện khả chịu lực tiết diện vênh: M t  M gh  R s As   w 2 h0  0,5 x  q    (5.2) Chiều cao vùng nén x xác định theo công thức: R s As  R sc A s  R b bx Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn (5.3) 70 Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ Nên hạn chế 2a’ ≤ x ≤ ξRh0 δ, λ – tỉ số cạnh tiết diện tương ứng song song vng góc với đường giới hạn vùng chịu nén b  (5.4) 2h  b  c ; c ≤ 2h + b b w – hệ số quan hệ cốt thép ngang cốt thép dọc R A b  w  sw sw Rs As s (5.5) (5.6) Giá trị w cần hạn chế khoảng: w,min ≤ w ≤ w,max w,min  0,5  M / 2 w M u  M    w, max  1,5 1  M  u  (5.7) (5.8a) (5.8b) Nếu w < w,min RsAs (5.3) giảm xuống (RsAs)x(w/w,min) Trong công thức dùng ký hiệu sau: b – kích thước cạnh song song vùng nén; h – kích thước cạnh vng góc với đường giới hạn vùng nén; As’ – diện tích cốt thép dọc đặt theo cạnh b vùng nén; As – diện tích cốt thép dọc đặt theo cạnh b đối diện vùng nén; ho – khoảng cách từ trọng tâm As đến mép vùng nén; Rs, Rsc – cường độ tính tốn kéo nén cốt thép dọc; Rsw – cường độ tính tốn cốt thép ngang; Asw1 – diện tích tiết diện cốt đai nằm cạnh phía cốt thép As sơ đồ xét; s – khoảng cách cốt đai; M – mômen uốn, sơ đồ lấy M = 0, sơ đồ lấy M với dấu trừ; Mu – mô men uốn lớn mà tiết diện thẳng góc với trục dọc cấu kiện chịu được; p,  – xác định theo sơ đồ Tiêu chuẩn 356 - 2005 đưa ba sơ đồ để tính Mgh tiết diện vênh, sơ đồ ứng với vùng nén khác Sơ đồ 1: Cạnh bị nén uốn cấu kiện Sơ đồ 2: Cạnh cấu kiện song song với mặt phẳng tác dụng mômen uốn Sơ đồ 3: Cạnh bị kéo uốn cấu kiện Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 71 Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ x As As h0 a x h A's b h h0 x a A's h0 h As b Sơ đồ a A's b Sơ đồ Sơ đồ Hình 5.6 Sơ đồ vị trí vùng nén tiết diện vênh a' 5.2.1 Tính theo sơ đồ (Mt M) : B A's M  D R sA s a Mt h ho x  A As b E Rsw Asw b A  h B b  D h E A C Hình 5.7 Sơ đồ tính tốn theo sơ đồ Trong sơ đồ này:  = M/Mt p = Thông thường chọn As, As’, Asw, s tiến hành tính tốn Xác định x theo công thức (5.3), kiểm tra 2a’ ≤ x ≤ ξRh0 Nếu x > ξRh0 cần tăng As’, b, h0, Tính Mu theo cơng thức sau: Mu = Rbbx(h0 – 0.5x) + RscAs’(h0 – a’) Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn (5.9) 72 Bài giảng: BÊTƠNG CƠ SỞ Tính w,min , w , w,max theo (5.6) (5.8a), (5.8b) Tính hệ số  = M/Mt , δ = b/(2h+b), p = λ = c/b Đem hệ số vào (5.2) vế phải hàm số theo c Giá trị c xác định từ điều kiện tiết diện vênh nguy hiểm ứng với vế phải (5.2) bé Thực việc tính tốn cách tính đạo hàm, giá trị c đồng thời phải thỏa điều kiện: c ≤ 2h + b (5.10) Ví dụ 5.1: Cho dầm tiết diện chữ nhật 25x35cm, bêtông cấp B20, cốt dọc nhóm AII, cốt đai nhóm AI Mơmen uốn M = 4,50Tm = 450000 daNcm, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm = 90000 daNcm Chọn, bố trí kiểm tra theo sơ đồ Số liệu: B20 có Rb = 11.5MPa = 115 daN/cm2, ξR = 0.62 (bêtông nặng,  =0.85) AII có Rs = Rsc = 280 MPa = 2800 daN/cm2 AI có Rsw = 175 MPa = 1750 daN/cm2 Chọn a = 4cm, h = h – a = 35 – = 31cm Xác định As theo toán cốt đơn với γ =0.8, ta có: w  M 450000   6.48cm Rs h0 2800 x0.8 x31 Chọn As = 18 = 10.18cm2, đặt thành hàng Hình 5.8 Mặt cắt tính tốn dầm theo ví dụ 5.1 Chương Tính toán cấu kiện chịu uốn - xoắn 73 Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ Chọn chiều dày lớp bảo vệ 2.0cm, cốt đai 10, ta có: a = 2.0 + 10+ 18/2 = 3.9cm  4.0 cm (thỏa giả thiết) Chọn thép vùng nén 214 có As’ = 3.08cm2 Thép dọc đặt cạnh h 214 Cốt đai 10, khoảng cách s = 5cm có Asw = 0.785cm Tính hệ số:  = M/Mt = (450000)/(90000) = 5.0 δ = b/(2h+b) = 25/(2x35+25) = 0.263 p = Kiểm tra điều kiện ứng suất nén chính: 0.1Rbb2h = 0.1x115x252x35 = 251562 daNcm Mt = 90000  0.1Rbb2h = 251562 daNcm Thỏa điều kiện bắt buộc theo (5.1) Kiểm tra theo tiết diện vênh: a’ = 2.0+1.0+1.4/2 = 3.7cm Theo (5.3) ta có: (115x25)x = 2800(12.56 – 4.02)  x = 8.32cm > 2a = 3.7x2 = 7.4cm Tính Mu theo (5.9): Mu = 115x25x7.6(31 – 7.6/2) + 2800x3.08(31 – 3.6) = 830617 daNcm  8.3 Tm w  Rsw Asw b 1750 x0.785 25  x  0.241 Rs As s 2800 x10.18 w,min  0,5 0.5   0.235  M / 2 w M u  4.5 (2x0.241x8.3)  M      1.51   w , max  1,5 1    0.687 Mu     Thỏa theo điều kiện w,min ≤ w ≤ w,max λ = c/b = c/25 Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 74 Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ M t  R s As   w 2 h0  0,5 x   2800 x10.18  0.241 x0.263 x (31  4.15) q    1x  Đạo hàm bậc vế phải, cho khơng, ta có: λ = 1.385  c = 1.385x25 = 34.625 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa) Thay λ vào phương trình Mt: Mt = 0.9 Tm ≤ 134437 daNcm = 1.34 Tm Cấu kiện đủ khả chịu lực 5.2.2 Tính tốn theo sơ đồ (Mt Q): b D Q b Rsw Asw As1 A's1 Mt h B Rsw Asw RsAs1 E a'  a x A C1 Hình 5.9 Sơ đồ tính tốn theo sơ đồ 5.2.2.1 Trường hợp : Mt > 0,5Qb Kiểm tra theo tiết diện vênh tức Mt ≤ Mgh theo (5.2), bước tính giống sơ đồ 1, khơng cần xác định Mu lấy  = 0, p sau: φq = + Nếu x < 2a’ (5.2) lấy Qh 2M t x = min(2a’,x1) x1  Rs As bRb (5.11) (5.12) (5.13) Chọn w,min = 0.5 w,max = 1.5 Lúc vị trí vùng nén song song theo cạnh h nên cạnh b, h hoán đổi nhau, As As’ lấy theo hình 5.8 5.2.2.1 Trường hợp : Mt ≤ 0.5Qb Kiểm tra theo điều kiện: Q ≤ Qsw + Qb – Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 3M t b (5.14) 75 Bài giảng: BÊTƠNG CƠ SỞ Trong đó: Qb – khả chịu cắt bêtông, xác định theo công thức (4.48) chương 4, với C C1 Qsw = Rsw Asw C1 s (5.15) Giá trị C1 giá trị làm cho vế phải (5.14) nhỏ nhất, tức ta đạo hàm vế phải (5.14) hai lần theo C1 cho tìm C1 Ví dụ 5.2: Cho dầm tiết diện chữ nhật 25x35cm, bêtơng cấp B20, cốt dọc nhóm AII, cốt đai nhóm AII Lực cắt Q = 2,50T = 2500 daN, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm = 90000 daNcm Chọn, bố trí thép ví dụ 5.1 kiểm tra khả chịu lực dầm theo sơ đồ Ta có: Mt = 90000 > 0.5Qb = 0.5x2500x25 = 31250 daNcm Cần tính tốn theo tiết diện vênh Số liệu: B20 có Rb = 11.5MPa = 115 daN/cm2, ξR = 0.62 (bêtơng nặng,  =0.85) AII có Rs = Rsc = 280 MPa = 2800 daN/cm2 AI có Rsw = 225 MPa = 2250 daN/cm2 a = a’ = 2.0 + 1.0 + 0.9 = 3.9 cm  4.0 cm As = As’ = 18 + 14 +14 = 5.62cm2 Hình 5.10 Mặt cắt tính tốn dầm theo ví dụ 5.2 Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 76 Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ Kiểm tra điều kiện ứng suất nén chính: thực ví dụ 5.1 Kiểm tra theo tiết diện vênh: Do As = As’ , Rs = Rsc theo (5.3) ta có Rs As  Rsc As  Rb bx   x = Rs As 2800x5.62   5.47cm bRb 25x115 Tính x1  Chọn x = min(2a’,x1) = (2x4.0,5.47) = 8.0cm w  Rsw Asw b 2250x0.785 25  x  0.561 Rs As s 2800x5.62 Thỏa điều kiện w,min = 0.5 ≤ w =0.561 ≤ w,max =1.5 δ = b/(2h+b) = 35/(2x25+35) = 0.41 φq = + Qh 2500 x 25 =1+ =1.35 2M t x90000 λ = c/b = c/35 =0   w 2 M t  R s As h0  0,5 x   2800 x5 62  0.561 x 0.41x (31  4) q    1.35 x Đạo hàm bậc vế phải, cho khơng, ta có: λ = 2.085  c = 2.085x25 = 52.128 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa) Thay λ vào phương trình Mt: Mt = 0.9 Tm ≤ 301875 daNcm = Tm Cấu kiện đủ khả chịu lực 5.2.3 Tính tốn theo sơ đồ (Mt Q): Sơ đồ tính với cặp moment xoắn Mt moment uốn –M (ngược dấu với M), vùng nén nằm phía thớ kéo uốn Giá trị Mgh tính tốn theo cơng thức (5.2)  = - M/Mt , p = Các giá trị φwmin, φwmax tính tốn với M mang dấu trừ Do sơ đồ có vị trí vùng nén tiết diện cạnh bị kéo uốn nên As sơ đồ A’s sơ đồ ngược lại Chương Tính toán cấu kiện chịu uốn - xoắn 77 Bài giảng: BÊTƠNG CƠ SỞ Trong TCXDVN 356-2005 khơng quy định cần khơng cần tính theo sơ đồ 3.Theo nghiên cứu số tác giả cần tính theo sơ đồ đoạn dầm có mơmen xoắn tương đối lớn mômen uốn theo điều kiện: Mt > 2M  b  2h  b     (5.16) Ngoài số đoạn dầm có M = cần kiểm tra theo sơ đồ Ví dụ 5.3: Cho dầm ví dụ 5.1 Mômen uốn M = 0, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm = 90000 daNcm Kiểm tra khả chịu lực dầm theo sơ đồ Số liệu: B20 có Rb = 11.5MPa = 115 daN/cm2, ξR = 0.62 (bêtơng nặng,  =0.85) AII có Rs = Rsc = 280 MPa = 2800 daN/cm2 AI có Rsw = 175 MPa = 1750 daN/cm2 As = 214 = 3.08cm2, A’s = 418 = 10.18cm2 Hình 5.11 Mặt cắt tính tốn dầm theo ví dụ 5.3 Kiểm tra điều kiện ứng suất nén chính: thực ví dụ 5.1 Kiểm tra theo tiết diện vênh x= (3.08  10.18) 2800  0 115 x25 x1  Rs As 2800 x3.08   3.0cm bRb 25 x115 Chọn x = min(2a’,x1) = (2x4.0,3.0) = 8.0cm Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 78 Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ w  Rsw Asw b 2250x0.785 25  x  1.024 Rs As s 2800 x3.08 Với M = theo (5.8a) (5.8b) w,min = 0.5 w,max = 1.5 Vậy thỏa điều kiện w,min = 0.5 ≤ w = 1.024 ≤ w,max = 1.5 δ = b/(2h+b) = 25/(2x35+25) = 0.263 λ = c/b = c/25  = - M/Mt = 0, p = M t  R s As   w  h0  0,5 x   2800 x3.08  1.024 x0.263 x (31  4) q    1x Đạo hàm bậc vế phải, cho khơng, ta có: λ = 1.927  c = 1.927x25 = 48.174 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa) Thay λ vào phương trình Mt: Mt = 0.9 Tm ≤ 121148 daNcm = 1.21 Tm Cấu kiện đủ khả chịu lực Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn 79 Bài giảng: BÊTƠNG CƠ SỞ TĨM TẮT TÍNH TỐN CẤU KIỆN CHỊU UỐN - XOẮN Số liệu biết: M, Mt, Q, b, h, Rb, Rs, Rsc, Rsw, ξR  Từ toán cốt dọc (chịu uốn) biết : As, A’s, bố trí thép thực tế biết: a, a’  Từ toán cốt đai biết : Asw, s Kiểm tra điều kiện tiết diện: thoả Mt  0.1Rbb h Tăng tiết diện, đặc biệt b tăng cấp độ bền bêtông Không thoả Kiểm tra theo Mt M Tính tốn trường hợp khơng thoả đổi vai trị A’s As, với M mang dấu (-) Kiểm tra điều kiện: M b Tính: χ = ;   Mt 2h  b x= Rs As  Rsc A' s , x < 2a’ xem A’s= Rbb Tính Mu=Rbbx(ho -0,5x)+RscA’s(ho –a’) Hốn đổi vị trí b h cơng thức, trừ cơng thức tính φq , với As A’s thép bố trí theo cạnh h Khơng thoả Mt> 0,5Qb không thoả thoả thoả Kiểm tra điều kiện: b Mt > 2M 2h  b Kiểm tra theo Mt Q Tính: Rsw Asw C1 s Tính Qb theo (4.48), chương Qsw = Kiểm tra điều kiện cường độ theo công thức: 3M t b Đạo hàm vế phải theo C1 cho =  C1; khơng thoả đk điều chỉnh b, h, thép đai, thép dọc (theo cạnh h)  tính lại Q ≤ Qsw + Qb – Tính φw = Rsw Asw b 0,5 ; φwmin = M Rs As s 1 2 w M u  φwmax = 1,5 1   M   M u  Nếu φw < φwmin nhân RsAs với tỉ số φw/φwmin tính lại x; tính: h o – 0,5x; =C/b; φq = + Qb 2M t Đạo hàm Mgh theo C, cho =  C; không thoả đk Mt ≤ Mgh điều chỉnh b,h, thép đai, thép dọc (theo cạnh b)  tính lại Chương Tính tốn cấu kiện chịu uốn - xoắn Nếu x>ξRho nhân RsAs với tỉ số ξRh o /x Tính: M gh   w  h0  0,5 x   R s As q    80