-Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức A – c.B → D Bài toán trở về tìm ƯCLNB,D.. được kết quả là ƯCLNa,b.[r]
(1)TẬP HUẤN CHUYÊN ĐỀ “ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY” I TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN: Khi số bị chia bé 13 chữ số, số chia bé 10 chữ số: Ví dụ : Tìm số dư các phép chia 2345678901234 cho 4567: Được kết thương là 513614824, số dư là 26 Khi số bị chia nhiều 13 chữ số, số chia bé 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư A chia cho B ( A là số có nhiều 13 chữ số) - Cắt thành nhóm , nhóm đầu có 13 chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu chia cho B - Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa 13 chữ số) tìm số dư lần hai Nếu còn tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 1234567890987654321 cho123456 Ta tìm số dư phép chia 1234567890987 cho 123456: Được kết số dư là : 113259 Tìm tiếp số dư phép chia 113259654321 cho 123456 Kết số dư cuối cùng là 8817 Bài tập áp dụng: Khi chia các số 1059; 1417 và 2312 cho cùng số tự nhiên d ( d > 1) ta nhận số dư là r Tính d và r? Giải: Ta có 1059, 1417, 2312 chia cho d ta cùng số dư r nên: 1059= dq1 + r 1417= dq2 + r 2312= dq3 + r Do đó: 895=2312-1417 chia hết cho d 358=1417-1059 chia hết cho d nên d là ước chung 358 và 895 Ta có: UCLN(358;895) = 179 ( 179 là số nguyên tố) ⇒ 358 và 895 có ước chung ( trừ số 1) là 179 ⇒ d = 179 ⇒ r = 164 Vậy d = 179 và r = 164 *) Dùng kiến thức đồng dư để tìm số dư * Phép đồng dư: (2) + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b(mod c ) + Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z+ a a (mod m) a b(mod m) b a (mod m) a b(mod m); b c(mod m) a c (mod m) a b(mod m); c d (mod m) a c b d (mod m) a b(mod m); c d (mod m) ac bd (mod m) a b(mod m) a n b n (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 + Ta có: 20042 841(mod1975) 20044 8412 231(mod1975) 200412 2313 416(mod1975) 200448 4164 536(mod1975) Vậy 200460 416.536 1776(mod1975) 200462 1776.841 516(mod1975) 200462.3 5163 1171(mod1975) 200462.6 11712 591(mod1975) 200462.6 591.231 246(mod1975) Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 là 246 Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia cho Ta có: (mod ) (mod ) 17 274 (mod ) 17 20 2744 (mod ) (mod ) 80 17 254 1332 (mod 100 17 17 200 1332.254 1849 (mod ) ) 1849 254 (mod ) (mod ) (mod ) Suy (mod ) Vậy số dư phép chia cho là Ví dụ 3: Tìm số dư phép chia cho Vì là số nguyên tố Theo định lý Fermat (với p là số nguyên tố thì ap-1≡1 mod (3) (p) với số nguyên a ), ta có: (mod ) Suy ra: (mod ) (mod 2003) Vậy số dư phép chia cho là 2008 Ví dụ 4:Tìm số dư phép chia:2 chia cho 25 Giải: Ta có: 25=52 Áp dụng hệ định lí Ferma nhỏ ( với p là số nguyên tố, (a,p)=1 thì ap(p-1) ≡1 mod (p2) ), ta có: 5(5-1} ≡1mod (52) 220 ≡1mod 25 Ta có: 2008 = 20 × 100 +8 suy 22008≡28 mod 25 suy 22008≡256 mod 25 suy 22008≡6 mod 25 Vậy số dư phép chia 22008 chia cho 25 là Bài tập thực hành: 1) Tìm số dư phép chia : a) 1111201020112012 cho 2013 b) 138 cho 27 c) 2514 cho 65 d) 197838 cho 3878 e) 20059 cho 2007 f) 715 cho 2001 2) Tìm số tự nhiên A lớn để các số 367222, 440659, 672268 chia cho A có cùng số dư II TÌM N CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA: * T×m m ch÷ sè tËn cïng cña sè A lµ t×m sè d chia A cho 10m Tìm chữ số tận cùng : * Nếu a có chữ số tận cùng là , , thì có chữ số tận cùng là , , * Nếu a có chữ số tận cùng là , , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác : 24k đồng dư ( mod 10 ) 34k đồng dư ( mod 10 ) 74k đồng dư ( mod 10 ) Do đó để tìm chữ số tận cùng an với a có số tận cùng là , , ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r với r {0 , , , 3} Nếu a đồng dư ( mod 10 ) thì an dồng dư 2n = 24k+r đồng dư 6.2r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư ( mod 10 ) thì an = a4k+r đồng dư ar (mod 10) (4) Tìm chữ số tận cùng an : Ta có nhận xét sau : 220 đồng dư 76 ( mod 100 ) 320 đồng dư ( mod 100 ) 65 đồng dư 76 ( mod 100 ) 74 đồng dư 01 ( mod 100 ) Mà 76n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n và 5n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n Suy kết sau với k là các số tự nhiên khác : a20k đồng dư 00 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 ) a20k đồng dư 01 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; (mod 10 ) a20k đồng dư 25 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 ) a20k đồng dư 76 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; (mod 10 ) Vậy để tìm chữ số tận cùng an ta lấy số mũ chia cho 20 Ta có : 100k a đồng dư 000 ( mod 103 ) a đồng dư ( mod 10 ) a100k đồng dư 001 ( mod 103 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a100k đồng dư 625 ( mod 103 ) a đồng dư ( mod 10 ) a100k đồng dư 376 ( mod 103 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) Để tìm chữ số tận cùng luỹ thừa , ta tìm chữ số tận cùng số mũ IV TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM CỦA MỘT LUỸ THỪA: Ví dụ 1: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm số 232005 Giải: + Tìm chữ số hàng chục số 232005 231 23(mod100) 232 29(mod100) 233 67(mod100) 234 41(mod100) Do đó: 2320 234 415 01(mod100) 232000 01100 01(mod100) 232005 231.234.232000 23.41.01 43(mod100) Vậy chữ số hàng chục số 232005 là (hai chữ số tận cùng số 232005 là 43) (5) + Tìm chữ số hàng trăm số 232005 231 023(mod1000) 23 841(mod1000) 235 343(mod1000) 2320 3434 201(mod1000) 232000 201100 (mod1000) 2015 001(mod1000) 201100 001(mod1000) 232000 001(mod1000) 232005 235.232000 343.001 343(mod1000) Vậy chữ số hàng trăm số 232005 là số (ba chữ số tận cùng số 232005 là số 343) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm số tự nhiên: Ví dụ 2: A 2 92010 Giải: Ta có: 91 2 512 mod 1000 (6) 29 299 29 5129 5125 5124 352 (mod 1000) 93 2 2 93 9 95 2 96 98 2 910 911 2 94 93 3529 912 (mod 1000) 9129 952 (mod 1000) 9529 312 (mod 1000) 95 9 96 9 712 152 (mod 1000) 152 112 (mod 1000) 112 752 (mod 1000) 2 99 312 552 (mod 1000) 552 712 (mod 1000) 2 97 92 94 2 92 9 97 98 99 910 2 9 9 9 7529 512 (mod 1000); Do đó chu kỳ lặp lại là 10, nên A 2 752 92010 có ba số cuối là: Bài tập thực hành: 1) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn số tự nhiên: A 20112010 2) Tìm ba chữ số tận cùng số 112012 (7) III MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TỔNG, TÍCH Một số bài toán liên quan đến tính tổng Ví dụ: Cho Sn = 13+23+33+…+n3 Tính S30? Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=A+X3 Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= A? Bấm 0= ===…… Trong đó X là tổng thứ X; A là giá trị tổng thứ X Một số dạng toán tính tích Ví dụ: Cho Vn=12.32.52….n2 Tính V15 ? (n là số lẻ) Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=AX^2 Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= A? Bấm 1= === …… Trong đó X là tích thứ X; A là giá trị tích thứ X Tìm điều kiện x để tổng tích thỏa mãn điều kiện đề cho Ví dụ: Tìm giá trị gần đúng x để: Thuật toán: Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES): Bấm CALC máy hỏi X? Bấm = (8) Bấm = = = … nhiều lần đến nào kết gần là 1234 thì dừng Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:B=B+ Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= B? Bấm 0= Bấm = = = … nhiều lần nào kết gần là 1234 thì dừng Ví dụ 3: Tìm giá trị gần đúng x để: Thuật toán: Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES): X X x X=1 Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0= Bấm = = = … nhiều lần đến nào kết gần là thì dừng Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:B=B+ Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= B? Bấm 0= Bấm = = = … nhiều lần nào kết gần là thì dừng Bài tập 4 1) Cho Sn= +2 +3 + +n4 Tính S29? 2) Cho Sn= Tính S39? 3) Cho Sn = Tính S99? 4) Cho Vn = Tính V33? 5) Tìm giá trị gần đúng x để: a) b) c) (9) Tính tổng: 1 1 T 1 2 3 2007 2008 7.Nêu quy trình bấm phím tính 1 1 1 1 10 chính xác đến chữ số thập S = 2 3 4 phân Ví dụ 1: Cho Tính ? Thuật toán: k Cách 1: Dùng chức có sẵn 30 X X=1 X=1 Đọc kết Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=A+X3 Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0= A? Bấm 0= ===…… Trong đó X là tổng thứ X; A là giá trị tổng thứ X Ví dụ 2: Cho (n là số lẻ) Tính ? Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=AX^2 Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= A? Bấm 1= === …… Trong đó X là tích thứ X; A là giá trị tích thứ X Ví dụ 3: Tìm giá trị gần đúng x để: Thuật toán: Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES): X X x X=1 Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0= (10) Bấm = = = … nhiều lần đến nào kết gần là thì dừng Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:B=B+ Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= B? Bấm 0= Bấm = = = … nhiều lần nào kết gần là thì dừng Bài tập thực hành: Bài 1: Cho Tính ? Bài 2: Cho Tính ? Bài 3: Cho Tính ? Bài 4: Cho Tính ? Bài 5: Tìm giá trị gần đúng x thỏa: a) b) c) Bài 6: Tính tổng: a) A = 1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+ +1+2+3+4+ +2011 b) S = 1.3.5 + 2.4.6 + 3.5.7 + + 95.97.99 33 - 37 + 311 - 3107 - 3111 11 107 111 c) B = + + + 1 1 1 2011 2012 d) C = II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Ví dụ 1: Cho dãy số xác định bởi: Tìm ? Thuật toán: Cách 1: Nhập thuật toán: E=E+1:A=2B+C-3D: D=C:C=B:B=A CALC E? ấn 3== B? ấn 3= (11) C? ấn 2= D? ấn 1= = = = Cách 2: Nhập thuật toán: D=D+1:A=2B+C-3A: D=D+1:C=2A+B-3C: D=D+1:B=2C+A-3B CALC D? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= A? ấn 1= Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi: Tính và tổng 20 số hạng đầu tiên Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES): X=X+1:B=5A-2X:C=C+B:X=X+1:A=5B-2X:C=C+A Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 1= A? Bấm 1= C? Bấm 1= === Trong đó X là số hạng thứ X; A, B là các giá trị ; C là tổng X số hạng đầu tiên dãy Ví dụ 3: Cho dãy số xác định bởi: Tính tích 10 số hạng đầu dãy Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:C=B+2A: D=DC:X=X+1:A=C+2B: D=DA:X=X+1:B=A+2C: D=DB Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 2= B? Bấm 1= A? Bấm 1= D? Bấm 1= === Trong đó X là số hạng thứ X; A, B, C là các giá trị ; D là tích X số hạng đầu tiên dãy Ví dụ 4: Cho dãy số u1 u2 1 ; u3 3 un xác định sau: (12) 4un 3 2un 2 un 1 5un u a) Viết qui trình ấn phím liên tục tính n 3 theo un , un 1 , un2 và tính tổng n+3 số hạng đầu tiên dãy b) Tính u16 và tổng 16 số hạng đầu tiên dãy Giải: a) A 1 B 3 C 3 D 5 X D=D+1: A= (2C+B-5A): X=X+A: D=D+1: B= (2A+C-5B):X=X+B : D=D+1: C= (2B+A-5C):X=X+C : Bấm Calc = = = 2875 u16 8192 b) 66277 S16 8192 u Ví dụ 5: Dãy số n xác định sau: u0 ; u3 8 u 3u 2u n 1 n ; n2 a) Tính u1 và u2 u b) Viết qui trình ấn phím liên tục tính n 2 theo un , un 1 và tổng n + số hạng đầu tiên dãy c) Tính u20 và tổng 20 số hạng đầu tiên dãy Giải: a) Ta có: u2 = 3u1 + 2u0 = 3u1 - và u3 = 3u2 + 2u1 = 9u1 - + 2u1 = 11u1 - Suy ra: u1 = (8 + 3): 11 = u2 = 3.1 - = b) 1 1 A B D X (13) D = D + : A = 3B + 2A : X = X + A : D = D + : B = 3A + 2B : X = X + B Bấm Calc = = = u c) 20 18811665124 Tổng 20 số hạng đầu tiên dãy là: 7343852147 Bài tập thực hành: an3 an Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; an + = an a) Lập quy trình bấm phím tính an + b) Tính an với n = 2, 3, 4, , 10 x3 1 xn 1 n Bài 2: Cho dãy số x1 = ; a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + b) Tính x30 ; x31 ; x32 xn 1 xn xn (n 1) xn 1 xn2 xn2 (n 1) Bài 3: Cho dãy số a) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = và tính x100 b) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = -2 và tính x100 Bài 4: Cho dãy số a) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị xn + b) Tính x100 n Un 5 7 5 7 n Bài 5: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh Un + = 10Un + – 18Un c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + theo Un + và Un HD giải: a) Thay n = 0; 1; 2; 3; vào công thức ta U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 b) Chứng minh: Giả sử Un + = aUn + + bUn + c Thay n = 0; 1; vào công thức ta hệ phương trình: U aU1 bU c U aU bU1 c U aU bU c a c 10 10a b c 82 82a 10b c 640 Giải hệ này ta a = 10, b = -18, c = c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U1 vào A, tính U2 đưa U2 vào B SHIFT STO A x 10 – 18 x SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + với n = 2, 3, x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3) (14) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4) n n 3 3 U n 2 Bài 6: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5 b) Lập công thức truy hồi tính Un + theo Un và Un – c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức 13 − √ ¿n ¿ 13+ √ ¿n − ¿ với n = , , , k , ¿ U n=¿ a) Tính U ,U , U ,U ,U , U , U ,U b) Lập công thức truy hồi tính U n+ theo U n và U n −1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+ theo U n và Un U n −1 Bài 8: Cho dãy số tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau tích hai số trước cộng với 1, U0 = U1 = a) Lập quy trình tính un b) Tính các giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; c) Có hay không số hạng dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu không hãy chứng minh Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + = Un + Un + 1, (n =1; 2; ) Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên: SHIFT STO A x + SIHFT STO B Lặp lại dãy phím x ALPHA A + SHIFT STO A x ALPHA B + SHIFT STO B b) Ta có các giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; bảng sau: U0 = U5 = 22 U1 = U6 = 155 U2 = U3 = U7 = 3411 U8 = 528706 U4 = U9 = 1803416167 Bài 9: Cho dãy số thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở tính theo công thức Un + = 2Un + Un + (n 2) a) Tính giá trị U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị Un với n = 22; 23, 24, 25 Bài 10: Cho dãy số xác định bởi: Tính ? Bài 11: Cho dãy số xác định bởi: (15) Tính và tính tổng 16 số hạng đầu tiên dãy Bài 12: Cho dãy số xác định sau: Tính ; tính tích 16 số hạng đầu tiên dãy Bài 13: Cho dãy số xác định sau: Tính , tổng 26 số hạng đầu tiên và tích 24 số hạng đầu tiên dãy số PHÇN I NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP I GIỚI THIỆU CƠ BẢN VỀ MÁY FX-500MS Các phím thông thường: - Có loại phím: + Phím màu trắng: bấm trực tiếp + Phím màu vàng: bấm sau phím + Phím màu đỏ: bấm sau phím SHIFT ALPHA - Các phím chức năng: (xem CATANO giới thiệu máy) - Cài đặt cho máy: (16) + Ấn MODE nhiều lần để chọn các chức máy + Ấn MODE + Ấn MODE + Ấn MODE MODE + Ấn MODE MODE + Ấn MODE MODE + Ấn MODE MODE + Ấn SHIFT CLR : Xoá giá trị các ô nhớ A,B + Ấn SHIFT CLR : Xoá cài đặt trước đó (ô nhớ còn) + Ấn SHIFT CLR - Phép gán vào các ô nhớ: : Xoá tất cài đặt và các ô nhớ : Tính toán thông thường : Tính toán với bài toán thống kê + 10 SHIFT STO + 12 SHIFT STO + SHIFT STO + STO A: B : A: A ( ALPHA A ): : Giải hệ phương trình bậc1, ẩn : Giải hệ phương trình bậc1, ẩn : Giải phương trình bậc : Giải phương trình bậc Gán 10 vào ô nhớ A Gán 10 vào ô nhớ B Xoá ô nhớ A Kiểm tra giá trị ô nhớ A Chú ý: Các ô nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y, M là các biến nhớ mà gán giá trị vào thì giá trị thay giá trị trước đó Còn riêng ô nhớ M-ngoài chức trên-Nó còn là số nhớ độc lập, nghĩa là có thể thêm vào bớt ô nhớ này Cách SD phím EXP : Tính toán với các số dạng a.10n VD: 3.103 + 4.105 = ? Ấn phím: x EXP x EXP Cách SD phím (Kết là 403 000) Ans : Kết tự động gán vào phím Ans sau lần ấn phím SHIFT % M SHIFT M hay SHIFT STO ( là chữ cái) (17) 1+ 1+ VD: Tính giá trị biểu thức: 1+ 1+ 1+ Cách ấn phím và ý nghĩa lần ấn sau: Nhớ vào phím Ans a b c Ans Máy thực phép tính Máy thực phép tính Máy thực phép tính Máy thực phép tính Máy thực phép tính An s 1+ An s 1+ An s 1+ An s 1+ An s 1+ kq là nhớ vào Ans kq là nhớ vào Ans kq là nhớ vào Ans kq là 11 nhớ vào Ans 11 kq là 18 nhớ vào Ans 11 Kết cuối cùng là 18 Ans máy thực liên tục.Sau lần ấn dấu Nhận xét: Dòng lệnh 1 thì kết lại nhớ vào phím Ans ( Ans → Ans ), ấn dấu số lần 1 định ta nhận kết biểu thức Phím Ans có tác dụng hữu hiệu với bài toán tính giá trị biểu thức dạng phân số chồng VD trên II SỬ DỤNG CASIO FX-500MS ĐỂ GIẢI TOÁN NHƯ THẾ NÀO? Quy trình lặp máy FX-500MS Dòng lệnh Dòng lệnh Dòng lệnh # # # SHIFT # (Gọi các dòng lệnh để đưa vào quy trình) (Máy thực dòng lệnh lần thứ nhất) (18) (Máy thực dòng lệnh lần thứ nhất) (Máy thực dòng lệnh lần thứ nhất) (Máy thực dòng lệnh lần thứ hai) (Máy thực dòng lệnh lần thứ hai) (Máy thực dòng lệnh lần thứ hai) (Máy thực dòng lệnh lần thứ ba) (Máy thực dòng lệnh lần thứ ba) (Máy thực dòng lệnh lần thứ ba) (Máy thực dòng lệnh lần thứ tư) VD1: Dòng lệnh Dòng lệnh Dòng lệnh Dòng lệnh # # # SHIFT # 10 10 10 10 # # # SHIFT # (máy thực dòng lệnh 10 + 1) (máy thực dòng lệnh 10 + 2) (máy thực dòng lệnh 10 + 3) (máy thực dòng lệnh 10 + 4) (máy thực dòng lệnh 10 + 1) (máy thực dòng lệnh 10 + 2) Lần thứ Lần thứ hai (19) (máy thực dòng lệnh 10 + 3) (máy thực dòng lệnh 10 + 4) VD2: 10 SHIFT 100 STO A STO B SHIFT DL1: ALPHA A SHIFT STO DL2: ALPHA B SHIFT STO # Lặp: SHIFT A (A tăng thêm 1, 11 và 11 nhớ vào A) B (B tăng thêm 1, 101 và 101 nhớ vào B) # (A tăng thêm 1, 12 và 12 nhớ vào A) (B tăng thêm 1, 102 và 102 nhớ vào B) (A tăng thêm 1, 13 và 13 nhớ vào A) (B tăng thêm 1, 103 và 103 nhớ vào B) * Chú ý: ALPHA A SHIFT STO A sau này kí hiệu là A+1→ A ALPHA B SHIFT STO B sau này kí hiệu là B+1→ B VD3: 10 SHIFT 100 STO SHIFT 1000 A STO SHIFT B STO C DL1: ALPHA A SHIFT STO A (A tăng thêm 1, 11 và 11 nhớ vào A) DL2: ALPHA B SHIFT STO B (B tăng thêm 1, 101 và 101 nhớ vào B) DL3: ALPHA C SHIFT STO C (C tăng thêm 1, 1001 và 1001 nhớ vào C) Lặp: # # SHIFT # (A tăng thêm 1, 12 và 12 nhớ vào A) (20) (B tăng thêm 1, 102 và 102 nhớ vào B) (C tăng thêm 1, 1002 và 1002 nhớ vào C) (A tăng thêm 1, 13 và 13 nhớ vào A) (B tăng thêm 1, 103 và 103 nhớ vào B) (C tăng thêm 1, 1003 và 1003 nhớ vào C) DẠNG I:Tính toán trên dãy các phép tính cồng kềnh Kiến thức bổ sung cần nhớ: Cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số Nhận xét: 0, (1) 0, (01) 99 0, (001) 999 Ta có: 0, (3) 3.0, (1) 3 9 1 2, (3) 2 0, (3) 2 3.0, (1) 2 2 3 1 1 2,5(3) 25, (3) 25 0,(3) 25 2 10 10 10 3 15 53 53 2, (53) 0, (53) 0, (01).53 2 99 99 VD1: Tính giá trị biểu thức (Tính chính xác đến 0,000001) a A = 4 0,8:( , 25) (1 ,08 − ) : 25 + +(1,2 0,5): 5 ,64 − (6 − ) 25 17 (ĐS: ) (21) 1 90 0,3(4) 1, (62) :14 : 11 0,8(5) 11 b B = 106 (ĐS: 315 ) VD2: Tìm x (Tính chính xác đến 0,0001) (2,3 : 6, 25).7 : x :1,3 8, 1 8.0, 0125 6,9 14 a 1 x : 0, 003 2,65 : b 20 (x = -20,384) 0,3 1 20 : 62 17,81: 0, 0137 1301 1 20 1,88 25 (x= 6) DẠNG II: Tính giá trị biểu thức đại số VD1: Tính giá trị biểu thức: 20x2 -11x – 2006 a) x = 1; b) x = -2; c) x = −1 ; ,12345 d) x = , 23456 ; Cách làm: *Gán vào ô nhớ X: SHIFT STO X Nhập biểu thức đã cho vào máy: 20 ALPHA X x 11 ALPHA X 2006 (Ghi kết là -1 997) *Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: Rồi dùng phím # SHIFT STO X để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết (Ghi kết là -1 904) Làm tương tự với các trường hợp khác ta thu kết cách nhanh chóng, chính xác (ĐS c) 1995 2 ; d) -2006,899966) VD2: Tính giá trị biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y - y3 tại: a) x = 2; y = -3 (22) −3 ; b) x = √ c) x = y = -2 , 35 2+ √ y = , 69 Cách làm: Gán vào ô nhớ X: SHIFT STO X Gán -3 vào ô nhớ Y: 3 SHIFT STO Y Nhập biểu thức đã cho vào máy sau: ALPHA X ^ ALPHA X ALPHA Y x a b c ALPHA X x ALPHA Y ALPHA Y ^ (Ghi kết là - ) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: 3 2 Rồi dùng phím SHIFT # STO SHIFT # X STO Y để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết (Ghi kết là 25,12975279) Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết là -2,736023521) Nhận xét: Sau lần ấn dấu ta phải nhớ ấn tổ hợp phím SHIFT a b c để đổi kết phân số (nếu được) DẠNG III: Tính giá trị biểu thức số có quy luật VD1:Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 1+2+3+ +49+50 Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các số tự nhiên liên tiếp từ đến 50, có quy luật là số sau lớn số liền trước đơn vị Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu ta thu kết biểu thức 1→A Gán vào ô nhớ A (A là biến chứa) 2→B Gán vào ô nhớ B (B là biến chạy) A+B→A Dòng lệnh (23) B+1→ B Dòng lệnh Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu # SHIFT # B + → B có giá trị là 50 thì ấn 275) đến và đọc kq :(1 1 1 49 50 ? b) B = Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các phân số với tử số không đổi, mẫu là các số tự nhiên tăng dần từ đến 50 Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu ta thu kết biểu thức 1→A Gán vào ô nhớ A 2→B Gán vào ô nhớ B Dòng lệnh A+ B →A Dòng lệnh B+1→ B Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu # SHIFT # B + → B có giá trị là 50 thì ấn đến và đọc kết (KQ: 4,499205338) 1 1 c) C = 1 48 49 50 ? Nhận xét: Ta thấy biểu thức trên là dãy các phép toán + và - xen kẽ các phân số với tử số không đổi, mẫu là các bậc hai các số tự nhiên tăng dần từ đến 50 Nếu mẫu là CBH STN lẻ thì dấu là +, còn mẫu là CBH STN chẵn thì dấu là - Ta phải lập quy trình cho máy để sau số lần ấn dấu ta thu kết biểu thức Cách lập tương tự VD2, song ta phải chú ý đến dấu số hạng 1→A Gán vào ô nhớ A 2→B Gán vào ô nhớ B A + (-1)B+1 B → A B+1→ B # SHIFT # Dòng lệnh Dòng lệnh Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu đến (24) B + → B có giá trị là 50 thì ấn và đọc kết (KQ:0,534541474) DẠNG IV: Bài toán số 5.1- Tìm số hạng thứ n dãy số? VD1: Cho U1 = 8; U2 = 13; Un+2 = Un+1+Un (n 2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U13, U17? Cách làm: →A Gán vào ô nhớ A (U1) 13 → B Gán 13 vào ô nhớ B (U2) B+A → A Dòng lệnh (U3) A +B→ B Dòng lệnh (U4) # SHIFT VD2: # Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu đọc kết (U13 = 584; U17 = 17 711) n – lần và Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n 2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U15,U16, U17? Cách làm: 1→A Gán vào ô nhớ A (U1) 2→B Gán vào ô nhớ B (U2) 2B - 4A → A Dòng lệnh (U3) 2A - 4B → B Dòng lệnh (U4) # SHIFT # Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu n – lần và đọc kết (U15 = 0; U16 = -32 768; U17 = - 65 536) (25) VD3: Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un (n 2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U19,U20, U66, U67, U68? c) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên dãy (S20)? Cách làm:Câua+b) 1→A Gán vào ô nhớ A (U1) 2→B Gán vào ô nhớ B (U2) 3→C Gán vào ô nhớ C (U3) 2C – 3B + 2A → A DL1:U4 = 2U3 - 3U2 +2U1 2A – 3C + 2B → B DL2:U5 = 2U4 - 3U3 +2U2 2B – 3A + 2C → C DL3:U6 = 2U5 - 3U4 +2U3 # # SHIFT # Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu lần và đọc kết (U19 = 315; U20 = -142; n–6 U66 = 777 450 630; U67 = -3 447965 925; U68 = -9 002 867 128 ) c) Đặt Sn = U1+U2+U3+U4+ + Un Và từ công thức Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un → Un = 2Un-1 - 3Un-2 +2Un-3 Theo CT truy hồi đó thì ta có: U4 = 2U3 - 3U2 +2U1 U5 = 2U4 - 3U3 +2U2 + U6 = 2U5 - 3U4 +2U3 Un = 2Un-1 - 3Un-2 +2Un-3 U4+U5+U6+ + Un = 2(U3+U4+U5+ + Un-1)-3(U2+U3+U4+ + Un-2) +2(U1+U2+U3+ + Un-3) ↔ Sn-(U1+U2+U3)= 2[Sn-(U1+U2+Un)] - 3[Sn-(U1+Un-1+Un)] +2[Sn-(Un-2+Un-1+Un)] Un =Un-1- 2Un-2 + Rút gọn ta công thức truy hồi mới: Làm tương tự trên với CT truy hồi này ta được: + U4 =U3- 2U2 + U5 =U4- 2U3 + U6 =U5- 2U4 + (26) Un =Un-1- 2Un-2 + U4+U5+U6+ + Un = (U3+U4+U5+ + Un-1)-2(U2+U3+U4+ + Un-2) + (n-4).3 ↔ Sn-(U1+U2+U3)= [Sn-(U1+U2+Un)] - 2[Sn-(U1+Un-1+Un)] +3(n-4) Rút gọn và thay các giá trị đã biết U1; U2; U3 vào ta được: U 2U n 3n Sn n U 2U19 3.20 S 20 20 272 Áp dụng CT trên với n = 20 ta có kq 5.2- Tìm số dư phép chia a cho b (a,b Z, b ≠ 0)? Cách làm: Lập biểu thức: a SHIFT STO A: b SHIFT STO B : A:B= Lấy phần nguyên c (số nguyên lớn không vượt quá số đó) kết thì đó chính là thương phép chia A cho B Sau đó lập bt: A – c.B = Kết này là số dư phép chia VD: Tìm thương và dư phép chia (320+1) cho (215+1)? Cách làm: ^ 20 SHIFT STO A: ^ 15 SHIFT STO B : ALPHA A ALPHA B ALPHA A - 106404 (106 404,9682) ALPHA B (31 726) → thương là 106 404 → số dư là 31 726 5.3-Tìm ước số? Cơ sở: Quy trình: Chia a cho các số không vượt quá a (27) 1→A a A → B A+1→A # SHIFT Gán vào ô nhớ A Dòng lệnh B là biến chứa Dòng lệnh A là biến chạy # VD: Tìm tất các ước 60? 1→A 60 A → B A+1→A # SHIFT Bấm # Được 60 là ước Được 30 là ước Được 20 là ước Được 15 là ước Được 12 là ước Được 10 là ước Được là ước Được là ước Được là ước Được là ước Được là ước Được là ước đến A = 60 thì dừng lại Hoặc có thể đọc kết sau: 1→A 60 A → B A+1→A # Lặp DL trên, ấn dấu và quan sát chọn các kết nguyên – đó là Ước SHIFT # Được 60 và là ước Được 30 và là ước Được 20 và là ước Được 15 và là ước Được 12 và là ước Được 10 và là ước (các dấu đây là các kết nguyên) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60 Vậy Ư(60) = 5.4-Tìm ƯCLN các số? (Ta sử dụng thuật toán Ơclide) (28) Nhận xét: Nếu a không chia hết cho b, giả sử a = b.q + r gọi d là ƯCLN a và b, thì ta có a = d.a’; b = d.b’ thay vào (1) ta d.a’= d.b’.q + r hay d.a’ = d.(b’.q) + r theo tính chất chia hết tổng thì r chia hết cho d nên ƯCLN (a;b) = ƯCLN(b;r) Dựa vào nhận xét trên ta lập quy trình tìm ƯCLN(a;b) sau: ALPHA A a b a SHIFT STO A: b SHIFT STO B : b ALPHA B SHIFT a c m -Nếu kết là phân số n thì B:n = (được kết là ƯCLN(a,b)) c -Nếu kết là số thập phân thì ta tìm số dư cách Lấy phần nguyên c kết lập biểu thức A – c.B → D Bài toán trở tìm ƯCLN(B,D) Ta nhập vào máy biểu thức: ALPHA B a b ALPHA D c SHIFT a p -Nếu kết là phân số q thì D:q = b c (được kết là ƯCLN(a,b)) -Nếu kết là số thập phân thì ta tìm số dư cách Lấy phần nguyên c kết lập biểu thức B – c.D → F Cứ tiếp tục làm đến kết dòng lệnh dạng ALPHA A a b c ALPHA B là phân số thì chia mẫu cho mẫu ƯCLN VD1: Tìm ƯCLN(44 505; 25 413) Cách làm: ALPHA A a b 44505 SHIFT STO 25413 SHIFT STO SHIFT a m 345 Kết máy báo là phân số n = 197 c ALPHA B A: B : b c SHIFT a b c (29) A m Khi đó ta lấy mẫu số phân số B chia cho mẫu phân số n tức là B:n ( ALPHA B 197 129) Vậy ƯCLN(44 505; 25 413) = 129 VD2: Tìm ƯCLN(4 107 530669; 104 184 169) Cách làm: ALPHA A a b c 4107530669 SHIFT STO A: 4104184169 SHIFT STO B : ALPHA B SHIFT a b c Kết máy báo là số thập phân 1,000815387 Ta tìm số dư: A – 1.B → A Lặp lại dòng lệnh: ALPHA B a b c ALPHA A SHIFT a Kết máy báo là số thập phân 1226,410928 b c (lấy phần nguyên là 1226) Ta lại tìm số dư: B – 1226.A → B Lặp lại dòng lệnh: ALPHA A a b c ALPHA B SHIFT a Kết máy báo là số thập phân 2,43351908 b c (lấy phần nguyên là 2) Ta tiếp tục tìm số dư: A – 2.B → A Lặp lại dòng lệnh: ALPHA B a b c ALPHA A SHIFT a b c m 14177 Kết máy báo là phân số n = 6146 B m Khi đó ta lấy mẫu số phân số A chia cho mẫu phân số n tức là A:n ( ALPHA A 6146 97) Vậy ƯCLN(4 107 530 669; 104 184 169) = 97 5.5-Kiểm tra số là nguyên tố hay hợp số? Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là số nguyên tố nó không chia hết cho số nguyên tố không vượt quá a ” Xuất phát từ sở đó, ta lập quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem số a có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ a hay không! (30) Nhận xét: Mọi số nguyên tố là lẻ (trừ số 2), nên ta dùng phép chia a cho các số lẻ không vượt quá a Cách làm: Tính a Lấy phần nguyên b kết Lấy số lẻ lớn c không vượt quá b Lập quy trình c→A Gán số lẻ c vào ô nhớ A làm biến chạy a A → B Dòng lệnh B là biến chứa A–2→A Dòng lệnh A là biến chạy # SHIFT # Lặp DL trên, ấn dấu A = thì dừng Trong quá trình ấn và quan sát đến : - Nếu tồn kq nguyên thì khẳng định a là hợp số - Nếu không tồn kq nguyên nào thì khẳng định a là số nguyên tố VD1: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số? Tính 8191 90,50414355 Lấy phần nguyên 90 Lấy số lẻ lớn không vượt quá nó là 89 Lập quy trình: 89 → A 8191 A → B A–2→A # SHIFT # Quan sát các kết ta thấy không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố VD2: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số? Tính 99873 316,0268976 Lấy phần nguyên 316 Lấy số lẻ lớn không vượt quá nó là 315 Lập quy trình: (31) 315 → A 99 873 A → B A–2→A # SHIFT # Quan sát màn hình thấy có kết nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số 5.6-Phân tích số thừa số nguyên tố? Nhận xét: Các số nguyên tố là số lẻ (trừ số 2) Cách làm: TH1: Nếu số a có ước nguyên tố là 2, (Dựa vào dấu hiệu chia hết để nhận biết) Ta thực theo quy trình: ‘a →C → A (hoặc → A) C:A→B Máy báo kq nguyên → ta nghi (hoặc 3)là SNT B:A→C # SHIFT Các kq là số nguyên thì lần ta nhận TSNT là (hoặc 3) # Tìm hết các TSNT là thì ta phân tích thương còn lại dựa vào trường hợp đây VD1: Phân tích 64 thừa số nguyên tố? Mô tả quy trình bấm phím 64 → C 2→A C:A →B B:A →C # SHIFT # Ý nghĩa kết Gán Gán Kq là số nguyên 32 Ghi TSNT Kq là số nguyên 16 Ghi TSNT Kq là số nguyên Ghi TSNT Kq là số nguyên Ghi TSNT Kq là số nguyên Ghi TSNT Kq là số nguyên Ghi TSNT Vậy 64 = 26 VD2: Phân tích 540 thừa số nguyên tố? (32) Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa kết 540 → C Gán 2→A Gán C:A →B Kq là số nguyên 270 Ghi TSNT B:A→C Kq là số nguyên 135 Ghi TSNT Nhận thấy 135 135 ta gán: 3→A C:A →B Kq là số nguyên 45 Ghi TSNT B:A →C Kq là số nguyên 15 Ghi TSNT C:A →B Kq là số nguyên Ghi TSNT Thương là B = là TSNT Vậy 540 = 22335 TH2: Nếu a là số không chứa TSNT Quy trình minh hoạ qua các VD sau đây VD3: Phân tích 385 thừa số nguyên tố? Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa kết 385 → C Gán 3→A Gán C:A →B Lập dòng lệnh A+2 →A Lập dòng lệnh # SHIFT # Lặp DL trên Kq là số nguyên 77 Chứng tỏ CA, A là số nguyên tố Khi đó ta ấn AC # # ghi SNT là / B:A → C A+2→A # SHIFT # Kq là số nguyên 11 Chứng tỏ BA, A là số nguyên tố Khi đó ta ấn / C:A → B AC # # ghi SNT là (33) A+2→A # SHIFT # Kq là số nguyên (quá trình kết thúc) Chứng tỏ CA, A là số nguyên tố Khi đó ta ấn AC # # ghi SNT là 11 Vậy 385 = 5.7.11 VD3: Phân tích 85 085 thừa số nguyên tố? Mô tả quy trình bấm phím 85085 → C 3→A C:A →B A+2 →A # SHIFT # (2 lần dấu ) Ý nghĩa kết Gán Gán Lập dòng lệnh Lập dòng lệnh Lặp DL trên Kq là số nguyên 17 017 Chứng tỏ CA, A là số nguyên tố Khi đó ta ấn # SHIFT ghi SNT là Kq là số nguyên 2431 AC # # ghi SNT là / C:A → B A+2→A # SHIFT # Kq là số nguyên 221 Chứng tỏ CA, A là số nguyên tố Khi đó ta ấn # # # Chứng tỏ BA, A là số nguyên tố Khi đó ta ấn # / B:A → C A+2→A AC / B:A → C A+2→A SHIFT # AC # # ghi SNT là 11 Kq là số nguyên 17 Chứng tỏ BA, A là số nguyên tố Khi đó ta ấn / C:A → B A+2→A AC # # ghi SNT là 13 (34) # SHIFT # Kq là số nguyên (Dừng lại đây) Chứng tỏ CA, A là số nguyên tố Khi đó ta ấn AC # # ghi SNT là 17 Vậy 85 085 = 5.7.11.13.17 DẠNG V: Các bài toán đa thức 6.1- Tìm thương và dư phép chia đa thức f(x) cho (x-a) Cơ sở: Giả sử f(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) là thương và r là số dư] Thế thì f(a) = g(a).(a-a) + r Suy f(a) = o + r hay r f (a ) Nghĩa là: Để tìm số dư phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc (x-a) ta việc tính giá trị đa thức a Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner với quy trình ấn VD2 sau VD1: Tím số dư phép chia đa thức f(x) = x14-x9-x5+x4+x2+x-723 cho (x-1,624) Cách làm: 1,624 → X Nhập biểu thức x14-x9-x5+x4+x2+x-723 (chữ là X) ấn Kết quả: 85,921 VD2: Tìm thương và dư phép chia đa thức f(x) = x3 -5x2+11x-19 cho (x-2)? Mô hình sơ đồ Hoocner: Quy trình: (35) 1→A x A + (-5) = SHIFT a x A + 11 = SHIFT a x A +(-19)= SHIFT a b b b c (Ghi kết -3) c (Ghi kết 5) c (Ghi kết -9) Vậy thương là 1x2 – 3x + 5, dư là -9 6.2- Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm là x 1, x2 thì nó viết dạng ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)” p “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ q thì p là ước a0, q là ước a0” Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có a1=1 thì nghiệm hữu tỷ là ước a0” Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x-a) VD1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - thành nhân tử? Dùng chức giải phương trình bậc hai cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm là x1 = 2; x2 = -3 Khi đó ta viết được: x2 + x - = 1.(x-2)(x+3) VD2: Phân tích đa thức f(x) = x3+3x2 -13 x -15 thành nhân tử? Dùng chức giải phương trình bậc cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1 Khi đó ta viết được: x3+3x2 -13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1) VD3: Phân tích đa thức f(x) = x3- 5x2 +11 x -10 thành nhân tử? Dùng chức giải phương trình bậc cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm thực là x1 = Nên ta biết đa thức x3- 5x2 +11 x -10 chia hết cho (x-2) Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3- 5x2 +11 x -10 cho (x-2) ta có: Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x-2) Quy trình: 2→X (36) x X 5 x X 11 x X 10 SHIFT a SHIFT a b b c Ghi -3 c SHIFT a Ghi b c Ghi Khi đó ta có f(x) = (x-2)(x2- 3x + 5) Tam thức bậc hai x2- 3x + vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử Vậy x3- 5x2 +11 x -10 = ( x-2)(x2- 3x + 5) VD4:Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? Nhận xét: Nghiệm nguyên đa thức đã cho là Ư(60) Ta có Ư(60) = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm đa thức: Gán: -1 → X Nhập vào máy đa thức:X5 + 5X4 – 3X3–X2 +58X -60 ấn dấu Gán tiếp: -2 → X / Gán tiếp: -3 →X/ # # / / / / máy báo kq -112 máy báo kq -108 máy báo kq Do ta biết x = -3 là nghiệm đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3) Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x-3) Quy trình: -3 → X x X x X SHIFT a x X SHIFT a x X 58 SHIFT a x X 60 SHIFT a SHIFT a b b b c Ghi c Ghi -9 c Ghi 26 b b c Ghi -20 c Ghi Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x4+2x3-9x2+26x-20) * Ta lại xét đa thức g(x) = x4+2x3-9x2+26x-20 Nghiệm nguyên là ước 20 (37) Dùng máy ta tìm Ư(20) = { 1; 2; 4; 5; 10; 20} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm đa thức g(x): Gán: -1 → X Nhập vào máy đa thức: x4+2x3-9x2+26x-20 ấn dấu Gán tiếp: -2 → X / Gán tiếp: -4 → X / Gán tiếp: -5 → X / # # # máy báo kq -96 / / máy báo kq -148 / / máy báo kq -180 / / máy báo kq Do ta biết x = -5 là nghiệm đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+5) Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x+5) Quy trình: -5 → X x X x X 9 SHIFT a x X 26 SHIFT a x X 20 SHIFT a b b b c Ghi -3 c Ghi c Ghi -4 SHIFT a b c Ghi Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x3-3x2+6x-4) * Tiếp tục dùng chức giải phương trình bậc để tìm nghiệm nguyên đa thức h(x) = x3-3x2+6x-4 Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x-1)(x2-2x+4) Ta thấy đa thức (x2-2x+4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x2-2x+4) DẠNG VI: Bài toán thống kê DẠNG VII: Toán tăng trưởng % 8.1- Bài toán dân số VD: Hiện nay, dân số quốc gia là a người, tỷ lệ tăng dân số năm là m% Hỏi sau n năm thì số dân quốc gia đó là bao nhiêu người? Giải: (38) Sau năm, dân số quốc gia đó là A1 = a + a.m = a(1+m) Sau năm, dân số quốc gia đó là A2 = a(1+m) + a(1+m) m = a(1+m)2 Sau n năm, dân số quốc gia đó làA = a(1+m)n n Áp dụng: a) Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010, dân số nước ta là bao nhiêu người Biết tỷ lệ tăng dân số trung bình là 1,2% /năm b) Nếu năm 2020 dân số nước ta có khoảng 100 triệu người, hãy tính tỷ lệ tăng ds bình quân năm? Áp dụng CT trên ta có A2010 = 76,3.(1+1,2%)9 = 84,94721606 (triệu người) Cũng từ Ct trên suy m n 100 An m 19 1 1 76,3 a → = 1,4% 8.2- Bài toán lãi suất ngân hàng VD1: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng) Biết lãi suất hàng tháng là m% Hỏi sau n tháng, người có bao nhiêu tiền? Giải: Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m) Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là: a a [(1+m) -1] [(1+m) -1] [(1+m)-1] m a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = = Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là: a a a [(1+m) -1] [(1+m) -1] [(1+m) -1] T2= m + m m = m (1+m) Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền gốc lẫn lãi là: a [(1+m)n -1] m Tn = (1+m) Áp dụng: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 USD Biết lãi suất hàng tháng là 0,35% Hỏi sau năm, người có bao nhiêu tiền? Ta áp dụng công thức trên với a = 100, m = 0,35% = 0,0035, n = 12 ta được: 100 [(1+0,0035)12 -1] T12 = 0,0035 (1+0,0035) = 1227,653435 1227,7 USD VD2: (39) Một người muốn sau năm phải có số tiền là 20 triệu đồng để mua xe Hỏi người đó phải gửi vào ngân hàng khoản tiền hàng tháng là bao nhiêu Biết lãi suất tiết kiệm là 0,27% / tháng Áp dụng công thức với T = 20; m = 0,27% = 0,0027; n = 12 ta suy ra: ‘ a = 637 639,629 đồng Nhận xét: Hai bài toán dân số và gửi tiền tiết kiệm là cùng dạng – toán tăng trưởng Ở đó, học sinh phải vận dụng các kiến thức toán học để thiết lập công thức tính toán MTĐT BT giúp chúng ta tính toán chính xác các kết mà số liệu thường to và lẻ DẠNG VIII: Bài toán hình học VD1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDE theo tỷ số đồng dạng k=1,3 Tính diện tích tam giác CDE biết diện tích tam giác ABC là 112 cm2? Giải: S ABC 112 k 1,32 S S Ta có CDE thay số vào ta CDE → SCDE = 66,2722 cm2 VD2: Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với Đáy nhỏ 13,724 cm; cạnh bên 21,867 cm Tính diện tích hình thang? A 21,867 D 13,724 O B Lời giải: Vì ABCD là hình thang cân → OA = OB = a; OC = OD = b Trong tam giác vuông AOB: Trong tam giác vuông BOC: 2a2 = 13,7242 → a2 = 13,7242 : C a 13,7242 : b 21,867 a 21,867 13,7242 : S d1d 2 Diện tích hình thang có đường chéo d1, d2 vuông góc là (40) S ( a b) 2 Mà ABCD cân nên d1 = d2 = a+b → S 13,7242 : 21,867 13,7242 : Xây dựng quy trình bấm máy để có kq chính xác nhất: 13,7242 : → A A X 21,867 A →B X+B→C C2 : = 10 BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Kết là 429,2460871) Bài 1: 1 60 A 0, 2(3) 1, (45) :12 : 11 0, 6(3) 19 Tính Bài 2: Tính giá trị biểu thức a) x=1; y=2; z=3 P x xy z xyz xy y z z 2 b) ‘x= ; y= ; z= -5 1, 234 2 c) ‘x=1,2(3); y= 2,131 ; z= Bài 3: Tính giá rị các biểu thức: a) A = 1+3+5+ +49 b) B = 1-24+34-44+ +494-504 c) C 1 1 1 2! 3! 4! 49! 50! d) D 40 38 36 Bài 4: a) Cho U1 = 144; U2 = 233; Un+2 = Un+1+Un (n 2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U12, U37, U38, U39? b) Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = Un+2 +2Un+1 -2Un (n 2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? (41) b) Tính số hạng lớn và nhỏ có 10 chữ số? c) Áp dụng quy trình trên để tính U19,U20, U66, U67, U68? d) Tính tổng 59 số hạng đầu tiên dãy (S59)? Bài 5: Phân tích các số sau thừa số nguyên tố: a) 94 325 (527311) b) 323 040 401 (7921913271) Bài 6: Tìm ƯCLN : a) 261 và 149 (19) 20 30 b) – và – (11) Bài 7: Dân số Hà Nội sau năm tăng từ 000 000 người lên 048 288 người, Tính xem hàng năm, trung bình dân số Hà Nội tăng bao nhiêu phần trăm? (1,2%) Bài 8: Dân số nước A là 80 triệu người, tỷ lệ tăng dân số bình quân hàng năm là 1,25% Tính dân số nước đó sau 20 năm? Hướng dẫn: Công thức tính dân số sau n năm là (102 562 979) An = a(1+m)n Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường vuông góc với AC H Biết BH= 1,2547 cm, BAC 37 28 '50 '' Tính diện tích hình chữ nhật ABCD? Bài 10: Cho hình thang ABCD; A D 90 ; AB = cm, CD = cm, AD = cm Tính độ dài cạnh BC và số đo các góc B và C hình thang? * Hạ BH ∟DC → DH = AB = cm A → HC = 8-4 = cm B → BC = cm (Pytago) *B = 1800 – C = 14307’48’’ H D * Sin C = 3/5 → C = 36052’12’’ C ( SHIFT sin 1 KẾT LUẬN CHUNG SHIFT 0' '' ) (42) Sử dụng MTDT BT để giải toán là dạng toán mới, tài liệu và kinh nghiệm giảng dạy vấn đề này còn hạn chế Nên việc trình bày đề tài này chắn không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tôi thực mong muốn nhận nhiều ý kiến đóng góp xây dựng các thày cô giáo, các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này thực hấp dẫn và có hiệu đến với các em học sinh (43)