Bài toán 7 : Cho tam giác ABC biết tọa độ ba tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Hướng giải : Giả sử R; S ; T là tâm ba đường tròn bàng tiếp Tam g[r]
(1)Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết tọa độ ba điểm Đào Chí Thanh-THPT chuyên Vĩnh Phúc Trong các bài thi ĐH hay các đề thi thử ĐH các trường THPT ta thấy bài toán có nội dung hình học giải tích phẳng là bài toán tương đối khó Nó đòi hỏi học sinh có kiến thức hình học tương đối chắn Bài viết này nhằm củng cố cho học sinh số kiến thức vài điểm đặc biệt (các điểm này có cùng chất) thường gặp tam giác, từ đó xác định tam giác Bài toán : Cho tam giác ABC biết toa độ trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Hướng giải : Giả sử M; N ; P là ba trung điểm ba cạnh AB; BC; CA theo công thức tính tọa độ trung điểm ta có x A xB y A yB yM xM xC xB yC xB xN yN x A xC y A yC yP xP Giải hệ này ta có tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài tập minh họa Cho tam giác ABC biết M(1;2); N(2;1) P(4;0) là toa độ trung điểm ba cạnh AB; BC;CA Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Bài giải : Áp dụng công thức trên ta có x A xB y A yB 2 (4) 1 (1) xC xB yC xB 2 (2) 1 (5) x A xB xC 7; y A y B yC 3 x A xC y A yC 0 (6) 4 (3) Vậy : x A 3; xB 1; xC 5; y A 1; yB 3; yC A(3;1); B ( 1;3); C (5; 1) Bài toán : Cho tam giác ABC nhọn biết tọa độ chân đường cao Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Hướng giải : Giả sử AD; BE; CF là các đường cao tam giác ABC với trực tâm H Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp dễ chứng minh HD;HE;HF là các đường phân giác tam giác DEF Bài tập minh họa 2: (HSG Thanh Hóa 2011) Cho tam giác ABC nhọn có tọa độ chân các đường cao hạ từ đỉnh A; B; C xuống các cạnh tương ứng là D(-1; - 2); E( 2; 2) ; F(-1; 2) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AC Bài giải : Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có phương trình DE : 4x – 3y – = ; EF : y – = 4x 3y ( y 2) Vậy phương trình phân giác góc FED là : Ta có hai phương trình đường thẳng là : x y 0 ( ) hay x y 0 (d ) Khi thay tọa độ F; D vào (d) thấy F; D cùng phía (d) nên phương trình AC : 2x + y – = (Ta có thể tìm phương trình các cạnh còn lại và từ đó xác định các định tam giác ABC) (2) Bài toán : Cho tam giác ABC biết tọa độ P;Q;R là ba điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp tam giác ABC và các cạnh tam giác ABC Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác \ Hướng giải Ta gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì IP BC ; IQ AC ; IR AB Do đó ta lập phương trình đường tròn qua P; Q; R và lập phương trình các cạnh tam giác ABC Bài tập minh họa 3: Cho tam giác ABC biết tọa độ P (3;0);Q (4;1);R 11 ; 5 là ba điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC; CA; AB tam giác ABC Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Bài giải : 2 x 3 y 1 1 Do đường tròn nội tiếp tam giác ABC qua P; Q; R nên phương trình nó là : Ta có tâm I(3;1) vì các đường thẳng AC; BC; AB qua Q; P ; R có véc tơ pháp tuyến là IQ; IP; IR có phương trình tương ứng là : AC : x = BC: 4x – 3y – = ; AB : y = Nên tọa độ các đỉnh tam giác là A(4;4) ; B(1;0) ;C(4;0) Bài toán 4: Cho tam giác ABC biết H là trực tâm tam giác ABC Biết tọa độ trung điểm E; F; K ba đoạn HA; HB; HC.Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Hướng giải: Ta có EK // AC; EF // AB; FK // BC nên tam giác ABC là ảnh tam giác EFK qua phép vị tự tâm H tỷ số Bài tập minh họa 4: Cho tam giác ABC nhọn với H là trực tâm tam giác ABC Biết 5 3 1 E 4; ; F 1; ; K ; tọa độ trung điểm 2 ; ba đoạn HA; HB; HC.Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Bài giải Ta thấy trực tâm tam giác ABC là trực tâm tam giác EFK Phương trình EH vuông góc với FK : - 3x + 4y + = Phương trình FH vuông góc với EK : x + 2y – = x y 0 H (2;1) x y Tọa độ điểm H là nghiệm hệ 5 3 1 E 4; ; F 1; ; K ; Do 2 là trung điểm HA; HB; HC nên tọa độ đỉnh A (6;4);B(0;2); C(3 ;- 2) Bài toán : Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm các đường cao với đường tròn ngoại tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Hướng giải : Giả sử các đường cao cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác P,Q,R Theo tính chất trực tâm H ta có HE= EP; HG= GR nên EF//PQ; FG//QR vì QC là phân giác góc PQR Hay đỉnh C là giao đường tròn và phân giác QC , tương tự ta xác định đỉnh A; B Bài tập minh họa 5: (3) Cho tam giác ABC biết ba đường cao AH; BH; CH tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp 11 ; tam giác R(-1;-1) ; P (1;3); Q 5 Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Bài giải : 2 Do đường tròn ngoại tiếp tam giác qua P; Q; R nên có phương trình : x ( y 1) 5 Lại có phương trình các đường thẳng RP : 2x – y =1; PQ : 2x + y – = 0; RQ : x – 2y – = Nên phương trình các đường phân giác góc QPR là: x= 1; y = thử lại ta thấy phân giác góc x ( y 1) 5 C ( 2; 2); C (1;3) F (1;3) x 1 QPR là x = nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ : Vậy tạo độ đỉnh C ( -2 ; 2) Tương tự tọa độ đỉnh A(2; 2) và B(1; -1) Bài toán : Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm các phân giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Hướng giải : Ta có : 1 AQP sd ( AP Q1 N ) sd (CP BN Q1B ) 2 sd ( AQ1 NP ) AQQ1 AQP 900 Hay AN Q1 P Từ đó ta có cách dựng sau : Dựng đường tròn qua ba điểm đã cho, sau đó dựng các đường thẳng Vuông góc với dây cung cắt đường tròn các điểm đó là đỉnh tam giác Bài tập minh họa 6: Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm các phân giác kẻ từ đỉnh A; B; C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác P( 2;3); Q(6;3); R(1; 2) Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Hướng dẫn giải Nhu chứng minh trên ta lập phương trình đường tròn qua P; Q; R 2 x y 17 Ta có phương trình : Phương trình PQ : y = 3; QR : x – y – = 0; PR : 5x – 3y – = Vậy đường thẳng qua R vuông góc với PQ : x = 1; đường thẳng qua P vuông góc với RQ : x + y = 1; đường thẳng qua Q vuông góc với PR : 3x – 5y = 3; x y 17 x 1 Do đó tọa độ đỉnh C là nghiệm hệ : x y 17 x y 1 Do đó tọa độ đỉnh A là nghiệm hệ : Do đó tọa độ đỉnh B là nghiệm hệ : 39 18 A 3; ; B ; ; C 1;6 51 17 Giải các hệ này ta có (4) Bài toán : Cho tam giác ABC biết tọa độ ba tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Hướng giải : Giả sử R; S ; T là tâm ba đường tròn bàng tiếp Tam giác ABC hình vẽ Theo tính chất phân giác ngoài và ta có R;A; S thẳng hàng; S;C; T thẳng hàng; R; B T thẳng hàng Bên cạnh đó ta còn có : RS AT ; RC TS ; SB RT Từ đó ta có cách giải sau : Lập phương trình đường thẳng RS; ST; RT, sau đó tìm hình chiếu T; R; S lên ba đường thẳng đó Tọa độ hình chiếu là tọa độ đỉnh cần tìm Bài tập minh họa 7: Cho tam giác ABC biết tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A là T(-3;-1); tâm đường tròn bàng tiếp góc B là S(4;0) tâm đường tròn bàng tiếp góc C là R(-2;4) Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Bài giải : Ta có phương trình qua R; S; T là : RS : x y 0; RT : x y 14 0; ST : x y 0 Khi đó phương trình đường cao TA; SB; RC là : TA : x y 0; RC : x y 10 0; SB : x y 0 Vậy : tọa độ ba đỉnh A; B; C là nghiệm các hệ sau: 2 x y 0 17 x y 0 12 5 x y 14 0 33 19 A ; ; B ; ; C ; 13 13 x y 0 13 13 7 x y 10 0 25 25 3x y 0 Bài toán 8: Cho tam giác ABC biết tọa độ ba điểm M; N; P là ba điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Hướng giải : Giả sử M ; N; P là ác điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Khi đó xét tứ giác BHCP đễ thấy tứ giác này là hình bình hành nên BH // CP hay AC vuông góc với AC A; I ; P thẳng hàng; tương tự B; I; N và C; I ; M thẳng hàng (Với I là tâm đường tròn Từ đó ta xác định ba đỉnh tam giác biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đó chính là đường tròn qua ba điểm M; N; P Bài tập minh họa 8: Cho tam giác ABC biết tọa độ ba điểm M (1;3); N (9;3); P(8; - 4) là ba điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài giải : Qua ba điểm M; N; P ta có phương trình đường tròn là : ( x – ) + y2 = 25 Vậy tâm đường tròn là : I(5;0) Do A đối xứng với P(8; -4) qua tâm I nên A(2:4); Do B đối xứng với N(9; 3) qua tâm I nên B(1:-3) Do C đối xứng với M(1; 3) qua tâm I nên C(9:-3) Vậy tọa độ ba đỉnh là A(2;4); B(1;-3) ; C(9;-3) Do khuôn khổ bài báo có hạn nên tôi xin đưa vài bài tập để luyện tâp Bài : Cho tam giác ABC nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC biết tọa độ chân các đường cao hạ từ A; B; C tương ứng là : H(2;-1)’; Q(2;2) K(-2;2) Bài : Cho tam giác ABC biết trung điêm ba cạnh AB; BC ; CA là M(-2;1); P( -1;-2) Q( 0; 0) Bài Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm các phân giác kẻ từ đỉnh A; B; C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác P (5; 4); Q(5;0); R( 1; 4) Hãy xác định tọa độ các đỉnh tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC biết tọa độ ba điểm M (0;5); N (1;0); P(5; 0) là ba điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC (5) (6)