De DA HSG THCS Hoang Hoa Tham Quan Tan Binh 20142015

Trên AB, AC lần lượt lấy điểm E, F sao cho HA là tia phaân giaùc cuûa goùc EHF.. Chứng minh: AH, BF, CE đồng quy 2 Cho hình bình haønh ABCD.[r]

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG ĐỀ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI KHOÁI TRƯỜNG HOAØNG HOA THÁM - QUẬN TÂN BÌNH Ngaøy thi: 13/4/2014 Thời gian: 90 Phút Caâu 1: Giaûi phöông trình 1 1)    18 x  9x  20 x  11x  30 x  13x  42 2) 2x    x a2  4a  Câu 2: Cho biểu thức: A  a  2a2  4a  1) Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức A 2) Tìm các số nguyên a để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 3: Với a, b, c là số dương ab bc ca    a b c 1) Chứng minh: c a b a b c    2) Chứng minh: b c c a a b Caâu 4: Tìm nghieäm nguyeân döông (x, y, z) bieát: x2  y2  z2  xy  3y  2z  Câu 5: Cho tam giác ABC có phân giác AD đường cao AH Vẽ DI  AB I DI BC  a) Chứng minh rằng: AH AB  AC MA NA  AB  b) Trên AD lấy M, N cho MBA  NBD Chứng minh:    MD ND  BD  c) Chứng minh: MCA  NCD Caâu 6: 1) Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên AB, AC lấy điểm E, F cho HA là tia phaân giaùc cuûa goùc EHF Chứng minh: AH, BF, CE đồng quy 2) Cho hình bình haønh ABCD Treân AB, AD laáy ñieåm M, N baát kyø Veõ hình bình haønh AMPN Gọi Q là giao điểm BN, MD Chứng minh rằng: C, P, Q thẳng hàng  HEÁT Đề Thi Chọn HSG, Khối Trường Hoàng Hoa Thám (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG HƯỚNG DẪN GIAÛI Caâu 1: 1    18 x  9x  20 x  11x  30 x  13x  42 1     18  x   x  5  x  5 x    x   x   1)  x  4   x  5 ÑK:   x  6  x  7 Với điều kiện trên phương trình trở thành: 1 1 1       18 x4 x5 x5 x6 x6 x7 1    18 x4 x7 x   x  18  x   x      x   x    x   x       18  x   x    x2  11x  28   6x2  66x  167   x2  11x   11 x     11  29  x    0    12  11 x     2) 2x    x  2x   x  167 0 29 12 29 12 Khi đó phương trình trở thành: 2x   x   x  TH2: 2x    x  Khi đó phương trình trở thành: 2x   x   3x   x   4 Vaäy S  2;   3 TH1: 2x    x  Caâu 2: a) A  a2  4a  a3  2a2  4a  Đề Thi Chọn HSG, Khối Trường Hoàng Hoa Thám (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG a  2 A a a  2  a  2 a  2 A a  2 a  2 2 2 a  ÑK:  a  2 Vói điều kiện trên phương trình trở thành: A  Để A có giá trị nguyên thì:  a   a  2  a   Ö 1  a  1; 1  a 3;1 Vậy a  3;1 thì biểu thức a có giá trị nguyên Caâu 3: 1) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có:  ab bc ab bc 2  2b   a c a c  ab ac ab ac  2a   2 c b c b  ac bc ac bc 2  2c   b a  b a  ab bc ca  ab bc ca    a  b  c (ñpcm)        a  b  c  a b c a b  c a b c    b c c a a b x  b  c  Caùch 1: Ñaët y  c  a  x  y  z   a  b  c z  a  b  b) x  y  z xyz xyz Chứng minh tương tự ta được: b  ;c 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x  y  z x  y  z x  y  z x  y  z x  y  z x  y  z       3 2x 2y 2z x y z x y y z z x y z x z x y  1                       x x y y z z y x z y x z  x  y  z  a  x  a  Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có: Đề Thi Chọn HSG, Khối Trường Hoàng Hoa Thám (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG x y y  x   y z x y y z z x            y x z y x z z y z x   2 x z Vậy bất đẳng thức chứng minh Caùch 2: a b c a b c     1 1 1  b c c a a b b c ca a b  a b c a b c a b c 1        a  b  c    9 b c c a a b  b c ca a b Ta coù: 1 1 Áp dụng bất đẳng thức  x  y  z       ; x,y,z > , ta có: x y z   1  1   a  b    b  c    c  a      a  b  b  c  c  a     a  b  c  b  c  c  a  a  b       Vậy bất đẳng thức chứng minh Caâu 4: Tìm nghieäm nguyeân döông (x, y, z) bieát: x2  y2  z2  xy  3y  2z  Ta coù: x2  y2  z2  xy  3y  2z   4x2  4y  4z2  4xy  12y  8z  16        4x2  4xy  y  3y  12y  12  4z  8z     2x  y    y     z  1  2 2x  y  x     y    y  Vaäy (x, y, z) = (1, 2, 1) z   z    Câu 5: Cho tam giác ABC có phân giác AD, đường cao AH Vẽ DI  AB I A I B H D Đề Thi Chọn HSG, Khối Trường Hoàng Hoa Thám (2013-2014) C Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG DI BC  AH AB  AC DI BD  BID ∽ BHA  1 AH AB a) Chứng minh rằng: BD DC  2 AB AC DI BD DC BD  DC BC Từ (1) và (2) ta suy ra:     AH AB AC AB  AC AB  AC Xét ABC , ta có: AD là đường phân giác  MA NA  AB  b) Trên AD lấy M, N cho MBA  NBD Chứng minh:    MD ND  BD  B M2 N1 N2 M1 A M BMM1 ∽ BN2 N  MM1 BM  1 N N BN BM2 M ∽ BN1N  M2 M BM  2 N1N BN Từ (1) và (2) ta suy ra: Ta coù :  SBAM    SBND   SBAN  S  BMD N D MM1 M2 M   MM1 N1N  M2 M.N N N2 N N1N MA MM1 AB  ND NN BD MA.NA MM1 NN1 AB   Maø MM1 NN1  MM2 NN2 ND.MD MM2 NN BD2 NA NN1 AB  MD MM1 BD MA NA  AB  Neân    MD ND  BD  c) Chứng minh: MCA  NCD Đề Thi Chọn HSG, Khối Trường Hoàng Hoa Thám (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A P S E M I N Q B D KF C Veõ MS,NE  AC taïi H vaø E Veõ MK,NF  CD taïi K vaø F MK caét AC taïi P, NE caét CD taïi Q ABC có AD là đường phân giác (gt)  AB AC (tính chất đường phân giác)  BD CD 2 MA NA  AB  MA NA  AC  Maø      Neân  (1) MD ND  BD  MD ND  CD   MA SMAC   MAC; MDC có chung đường cao vẽ từ C đến AD   MD SMDC Ta coù :   SMAC  AC.MS S  MDC CD.MK MA AC.MS   (2) MD CD.MK NA AC.NE  Cmtt, ta : (3) ND CD.NF MA NA  AC  MS NE    Từ (2) và (3) ta suy : 4   MD ND  CD  MK NF Từ (1) và (4) ta suy : MS NE MS MK    MS.NE  MK.NF   MK NF NF NE Mà SMK  FNE (vì cùng bù với ACD ) Neân MSK ∽ NFE c  g  c PS PM PC PM    Maø CPM  KPS PK PC PK PS Neân PCM ∽ PKS  c  g  c PHM ∽ PKC g  g   Cmtt, ta : QCN ∽ QEF Đề Thi Chọn HSG, Khối Trường Hoàng Hoa Thám (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Ta coù : MCA  SKM  PCM ∽ PKS    SKM  FEN  MSK ∽ NFE  MCA  NCD  FEN  NCD  QEF ∽ QCN   Caâu 6: 1) Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên AB, AC lấy điểm E, F cho HA là tia phaân giaùc cuûa goùc EHF A F E' E I N K H M B H C Chứng minh: AH, BF, CE đồng quy Gọi I là giao điểm AH và BF, CI cắt AB E’ Ta chứng minh E trùng E’ Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, E’H, FH, AC H, M, N, K MI HI HI.HC   MI  Áp dụng hệ định lý Thales vào E'HC, E'BC , ta được: 1 HC BC BC IK.AB Cmtt, ta được: IN  2 BC HI IK  AI   Maët khaùc:    HI.HC  IK.HB  BH CH  AH  Từ (1), (2), (3)  MI  IN  I là trung điểm MN HMN có HI là đường trung tuyến là đường cao  HMN cân H nên HI là đường phân giác  E'HI  FHI  EHI  Tia HE’ truøng tia HE  E  E' (Vì E, E’ thuoäc AB) 2) Cho hình bình haønh ABCD Treân AB, AD laáy ñieåm M, N baát kyø Veõ hình bình haønh AMPN Gọi Q là giao điểm BN, MD Chứng minh rằng: C, P, Q thẳng hàng Đề Thi Chọn HSG, Khối Trường Hoàng Hoa Thám (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A M B E Q N P' P I C D BN caét MP taïi E vaø caét tia CD taïi I NQ DQ QI NQ QE Deã thaáy:     1 QE QM QB QI QB Qua N vẽ đường thẳng song song với DC cắt QC P’ QN QP'   2 QI QC QE QP'   P’E // BC Maø EM // BC Neân P’, E, M thaúng haøng QB QC  MP’ // AN Laïi coù: NP’ // AM (NP’ // CD // AB)  Tứ giác ANP’M là hình bình hành  P  P'  đpcm Từ (1) và (2) ta suy  HEÁT Đề Thi Chọn HSG, Khối Trường Hoàng Hoa Thám (2013-2014) Trang