đờng phân giác của hai góc ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đờng phân giác của góc ngoài không kề với nó f Vị trí tơng đối của hai đờng [r]
(1)®i lµ km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« 19, ột ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cùng lúc đó từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô 20, địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h, ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến thì họ gặp nhau, chỗ gặp c¸ch A bao nhiªu km 21, ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở A Thời gian xuôi ít thời gian ngợc là 40' Tính khoảng cách A và B Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dßng níc lµ 3km/h 22, ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp Dạng 2: Các bài toán suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành công việc; s: lợng công việc đã s lµm th× N = t Dạng 2: Các bài toán suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành công việc; s: lợng công việc đã s lµm th× N = t Hai đội công nhân cùng làm công việc thì làm xong Nếu đội làm mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ cần thời gian ít so với đội thứ hai là Hỏi đội làm mình xong công việc bao lâu? Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy đó đã hoàn thành kế hoạch đã định 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá, nhng đã vợt mức đợc tuần nên đã hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đã định Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n NÕu lµm chung giê tæ vµ giê tổ thì hoàn thành đợc mức khoán Nếu để tổ làm riêng thì tổ này làm xong mức kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm bao l©u ? Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc đã định Họ làm chung với thì tổ thứ đợc điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc cßn l¹i 10 giê Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngời thứ hai làm thì họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi ngời làm công việc đó giê th× xong Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngời thứ làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm mình công việc đó mÊy giêi th× xong ? Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do đó cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ? 10 N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ triÖu ngêi D©n sè tØnh A n¨m t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1% Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m lµ 045 000 ngêi TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m ? D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vÒ lµm chung – lµm riªng, vßi níc ch¶y chung – ch¶y riªng Dùa vµo kÕt qu¶ sau - Nếu x (hoặc ngày) làm xong công việc thì (hoặc ngày) làm đợc x công việc đó 1 - Nếu giờ: Đối tợng A làm đợc x công việc, đối tợng B làm đợc y công việc thì lợng công 1 việc mà hai làm đợc là x + y công việc (2) a - Nếu làm đợc x công việc thì a làm đợc x công việc Hai vòi nớc cùng chảy vào cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể 50 phút Nếu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt giê 48 phót NÕu ch¶y riªng, vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê 30 phót Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định thì phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, bơm đợc 15 m3 Do so với quy định, bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau giê 48 phót th× ®Çy Nðu ch¶y cïng mét thêi gian nh thì lợng nớc vòi II lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mÖt bÓ c¹n th× sau giê 55phót bÓ ®Çy bÓ NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ ? Dạng 4: Các bài toán xếp, chia sản phẩm (hàng hóa ) Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho xe; t: s lµ sè xe chë hµng; s: tæng sè lîng hµng ho¸ kho th× N = t Hai đội bóng bàn hai trờng A, B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh Biết đấu thủ đội trờng A phải lần lợt gặp các đối thủ trờng B lần và số trận đấu gấp lần tổng số đấu thủ đội Tìm số đấu thủ trờng Trong mét cuéc gÆp mÆt häc sinh giái cã 35 b¹n häc sinh giái v¨n vµ to¸n tham dù C¸c häc sinh giái v¨n tÝnh sè ngêi quen cña m×nh lµ c¸c b¹n häc sinh giái to¸n vµ nhËn thÊy r»ng : b¹n thø nhÊt quen b¹n; B¹n thø quen b¹n; B¹n thø quen b¹n ; vµ cø thÕ b¹n cuèi cïng quen tÊt c¶ c¸c b¹n häc sinh giái to¸n TÝnh sè häc sinh giái v¨n, giái to¸n BiÕt r»ng kh«ng cã häc sinh nµo võa giái v¨n võa giái to¸n Trong buổi liên hoan, lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế và dãy ghế phải ngồi thêm thì đủ chỗ ngồi Biết dãy ghế có số ngời ngồi nh và ngồi không quá năm ngời Hỏi lớp häc lóc ®Çu cã bao nhiªu d·y ghÕ Mét ®oµn gåm 50 häc sinh qua s«ng cïng mét lóc b»ng lo¹i thuyÒn : Lo¹i thø nhÊt, mçi thuyền chở đợc em và loại thứ chở đợc em thuyền Hỏi số thuyền loại ? Hai đội cờ thi đấu với Mỗi đấu thủ đội này phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đã đấu bình phơng số đấu thủ đội thứ cộng với số đấu thủ đội thứ hai Hỏi đội có bao nhiêu đấu thủ ? Mét khèi líp tæ chøc ®i tham quan b»ng « t« Mçi xe chë 22 häc sinh th× cßn thõa häc sinh Nếu bớt ôtô thì có thể xếp các học sinh trên các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiªu «t«, bao nhiªu häc sinh Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 häc sinh Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có bao nhiêu xe ? Hai tổ học sinh trồng đợc số cây sân trờng Nếu lấy cây tổ chuyển cho tổ thì số cây trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 cây tổ chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc tổ hai gấp đôi số cây tổ Hỏi tổ trồng đợc bao nhiêu c©y ? Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã đã bán cho nhµ níc BiÕt r»ng lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ níc nhiÒu h¬n hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn 10 Mçi ngêi d¸n tÊt c¶ tem cña m×nh vµo mét quyÓn vë NÕu d¸n 20 tem trªn mét tê th× quyÓn không đủ để dán hết số tem Còn tờ dán 23 tem thì ít tờ còn bị bỏ trống Nếu giả sử trên đó mà trên tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên đó với số tem thực có ngời đó là 500 tem Hỏi đó có bao nhiêu tờ và số tem ngời đó có ? D¹ng 5: C¸c bµi to¸n t×m sè Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hµng mét sè Chó ý: ab 10a b ; abc 100a 10b c (3) 1 Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm thì giá trị phân số Nếu tử số thêm và mẫu số tăng gấp thì giá trị phân số 24 Tìm phân số đó Tìm số N gồm chữ số, biết tổng các bình phơng hai chữ số số đó cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số đó thì đợc số có hai chữ số mà các chữ số viết thø tù ngîc l¹i Tìm số có chữ số biết đem số đó chia cho tổng các chữ số nó thì đợc thơng là và d là Còn đem số đó chia cho tích các chữ số nó thì đợc thơng là và d lµ Tìm số gồm ba chữ số cho ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm hai chữ số còn lại, ta đợc có ba chữ số lớn số ban đầu 765 đơn vị D¹ng 6: C¸c bµi to¸n cã néi dung h×nh häc Chú ý đến các hệ thức lợng tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích cña c¸c h×nh Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280 m Ngêi ta lµm lèi ®i xung quanh vên (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất còn lại vờn để trồng trät lµ 4256 m2 Cho mét h×nh ch÷ nhËt NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2 NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu Cho mét tam gi¸c vu«ng NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn cm vµ cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2 NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2 TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng D¹ng 7: Tổng hợp Một ô tô từ A đến B với vận tốc xác định và thời gian đã định Nếu vận tốc ô t« gi¶m 10 km/ h th× thêi gian t¨ng 45 phót NÕu vËn tèc « t« t¨ng 10 km/ h th× thêi gian gi¶m 30 phút Tính vận tốc và thời gian dự định ô tô Hai xÝ nghiÖp theo kÕ ho¹ch ph¶i lµm tæng céng 360 dông cô Thùc tÕ, xÝ nghiÖp I vît møc kÕ hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức kế hoạch 15%, đó hai xí nghiệp đã làm đợc 404 dụng cụ TÝnh sè dông cô mçi xÝ nghiÖp ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm thời gian đã định Nhng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm Mặc dù ngời đó đã làm thêm sản phẩm so với dự kiến, nhng thời gian hoàn thành công việc chậm so với dự định là 12 phút Tính số sản phẩm dự kiến làm ngời đó Biết ngời đó làm không quá 20 sản phẩm Một xe khách và xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách là 20 km/h Do đó nó đến B trớc xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biết quãng đờng AB dài 100km Theo kế hoạch, công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm thời gian định Nhng cải tiến kĩ thuật nên ngời công nhân đó đã làm thêm đợc sản phẩm Vì vậy, hoàn thành kế hoạch sớm dự định 30 phút mà còn vợt mức sản phẩm Hỏi theo kế hoạch, ngời đó phải làm bao nhiêu sản phẩm §Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc, hai tæ ph¶i lµm chung giê Sau giê lµm chung th× tæ II đợc điều làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thì sau bao lâu xong công việc đó Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi b»ng 48 m NÕu t¨ng chiÒu réng lªn bèn lÇn vµ chiÒu dµi lªn ba lÇn th× chu vi cña khu vên sÏ lµ 162 m H·y t×m diÖn tÝch cña khu vên ban ®Çu Một ngời xe máy từ A đến B Vì có việc gấp phải đến B trớc thời gian dự định là 45 phút nên ngời đó tăng vận tốc lên 10 km Tính vận tốc mà ngời đó dự định đi, biết quãng đờng AB dài 90 km Một đội công nhân hoàn thành công việc với mức 420 ngày công thợ (nghĩa là công việc đó có ngời làm thì phải 420 ngày) Hãy tính số công nhân đội biết đội tăng thêm ngời thì số ngày để đội hoàn thành công việc giảm ngày (4) (trÝch §Ò thi Tèt nghiÖp THCS 1999 - 2000, tØnh VÜnh Phóc) 10 Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trờng thì công việc hoàn thành sau giê 20 phót NÕu mçi líp chia lµm nöa c«ng viÖc th× thêi gian hoµn tÊt lµ giê Hái nÕu mçi líp lµm mét m×nh th× ph¶i mÊt bao nhiªu thêi gian 11 Ngời ta muốn làm thùng tôn hình trụ không có lắp có bán kính đáy là 25 cm, chiều cao thùng là 60 cm Hãy tính diện tích tôn cần dùng (không kể mép nối) Thùng tôn đó chøa ®Çy níc th× thÓ tÝch níc chøa thïng lµ bao nhiªu 12 Một tam giác có chiều cao cạnh đáy Nếu tăng chiều cao thêm dm, giảm cạnh đáy dm thì diện tích nó tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao và cạnh đáy tam giác (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 1999-2000, ngµy 09- 07- 1999, tØnh VÜnh Phóc) 13 Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm qui định Vì đội có xe phải điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 0,7 hàng Tính số xe đội lúc ®Çu (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 1999-2000, ngµy 10- 07- 1999, tØnh VÜnh Phóc) 14 Ba « t« chë 100 tÊn hµng tæng céng hÕt 40 chuyÕn Sè chuyÕn thø nhÊt chë gÊp rìi sè chuyÕn xe thø hai Mçi chuyÕn, xe thø nhÊt chë tÊn, xe thø hai chë 2,5 tÊn, xe thø ba chë tÊn TÝnh xem mçi « t« chë bao nhiªu chuyÕn (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2000-2001, ngµy 02- 08- 2000, tØnh VÜnh Phóc) 15 Ba bình có thể tích tổng cộng là 132 lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ lấy nớc đó đổ vào hai bình thì: Hoặc bình thứ ba đầy nớc, còn bình thứ hai đợc nửa bình Hoặc bình thứ hai đầy nớc, còn bình thứ ba đợc phần ba bình (Coi nh quá trình đổ nớc từ bình này sang bình lợng nớc hao phí không) Hãy xác định thể tích bình (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2000-2001, ngµy 03- 08- 2000, tØnh VÜnh Phóc) 16 Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A tíi B Cïng mét lóc mét ngêi kh¸c còng ®i xe m¸y tõ B tíi A víi vËn tốc vận tốc ngời thứ Sau hai ngời gặp Hỏi ngời quãng đờng AB hết bao lâu? (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2001-2002, ngµy 22- 07- 2001, tØnh VÜnh Phóc) 17 Một ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m Tính độ dài các cạnh ruộng BiÕt r»ng nÕu t¨ng chiÒu réng cña thöa ruéng lªn m vµ gi¶m chiÒu dµi cña thöa ruéng ®i m th× diÖn tÝch cña thöa ruéng sÏ t¨ng thªm m2 (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2002-2003, ngµy 03- 08- 2002, tØnh VÜnh Phóc) 18 Tìm hai số biết tổng hai số đó 17 đơn vị Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ hai tăng thêm đơn vị thì tích chúng 105 đơn vị (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2003-2004, ngµy 14- 07- 2003, tØnh VÜnh Phóc) 19 Một ca nô ngợc dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở bến A Thời gian ca nô ngợc dòng từ A đến B nhiều thời gian ca nô xuôi dòng từ B trë vÒ A lµ giê 40 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B BiÕt vËn tèc dßng n íc lµ km/h, vËn tèc riªng cña ca n« lóc xu«i dßng vµ lóc ngîc dßng b»ng (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2003-2004, ngµy 15- 07- 2003, tØnh VÜnh Phóc) 20 Ngời ta dự kiến trồng 300 cây thời gian đã định Do điều kiện thuận lợi nên ngày trồng đợc nhiều cây so với dự kiến, vì đã trồng xong 300 cây trớc (5) ngµy Hái dù kiÕn ban ®Çu mçi ngµy trång bao nhiªu c©y? (Gi¶ sö sè c©y dù kiÕn trång mçi ngµy lµ b»ng nhau) (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2004-2005, ngµy 29- 06- 2004, tØnh VÜnh Phóc) 21 Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt, chiÒu dµi lín h¬n chiÒu réng m, diÖn tÝch b»ng 300 m TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña khu vên (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2004-2005, ngµy 30- 06- 2004, tØnh VÜnh Phóc) 22 Cho hình chữ nhật Nếu tăng độ dài cạnh nó lên cm thì diện tích hình chữ nhËt sÏ t¨ng thªm 13 cm2 NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i cm, chiÒu réng ®i cm th× diÖn tÝch hình chữ nhật giảm 15 cm2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đã cho (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2005-2006, ngµy 06- 07- 2005, tØnh VÜnh Phóc) 23 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 195 m2 Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất 24 Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch 90 km, ®i ng îc chiÒu vµ gÆp sau 1,2 giê (xe thø nhÊt khëi hµnh tõ A, xe thø hai khëi hµnh tõ B) T×m vËn tèc cña xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đờng AB ít thời gian để xe thứ hai hết quãng đờng AB là (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2005-2006, ngµy 07- 07- 2005, tØnh VÜnh Phóc) 25 Một xe lửa từ ga Hà Nội vào ga Trị Bình (Quảng Ngãi) Sau đó giờ, xe lửa khác tõ ga TrÞ B×nh ga Hµ Néi víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña xe thø nhÊt lµ km/h Hai xe gÆp ga chính quãng đờng Tìm vận tốc xe lửa, biết quãng đờng sắt Hà Néi- TrÞ B×nh dµi 900km (trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bà Rịa- Vũng Tàu, năm 2004 - 2005) 26 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II đã vợt mức 21% Vì thời gian quy định họ đã hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm đợc giao tổ theo kế hoạch? (trích đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội, năm 2002- 2003) 27 Hai ôtô khởi hành cùng lúc trên quãng đờng từ A đến B dài120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trớc ôtô thứ hai là Tính vận tốc ôtô?(trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bắc Giang, năm 2002- 2003) 28 Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km; cùng lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc là km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô (trÝch §TTS THPT tØnh B¾c Giang, n¨m 2003- 2004) 29 Có đội xây dựng cùng làm chung công việc Làm chung đợc ngày thì đội III đợc điều động làm việc khác, đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày thì hoàn thành công việc Biết suất đội I cao suất đội II; suất đội III là trung bình cộng suất đội I và suất đội II; và đội làm mình phần ba công việc thì phải tất 37 ngày xong Hỏi đội làm mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trªn (trÝch §TTS THPT n¨ng khiÕu §HQG TP Hå ChÝ Minh, n¨m 2003- 2004) 30 Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng chiÒu réng vµ cã diÖn tÝch b»ng 1792 m2 TÝnh chu vi cña khu vên Êy.(trÝch tèt nghiÖp THCS TP Hå ChÝ Minh, n¨m 2003- 2004) (6) 31 Cïng mét thêi ®iÓm, mét chiÕc «t« X A xuÊt ph¸t tõ thµnh phè A vÒ híng thµnh phè B vµ mét khác XB xuất phát từ thành phố B hớng thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp lần đầu điểm cách A là 20 km Cả hai chiéc xe sau đến B vµ A t¬ng øng, lËp tøc quay trë l¹i vµ chóng gÆp lÇn thø hai t¹i mét ®iÓm C BiÕt thêi gian xe XB từ C đến B là 10 phút và thời gian hai lần gặp là Hãy tính vận tốc tõng chiÕc «t«.(trÝch §TTS THPT n¨ng khiÕu §HQG TP Hå ChÝ Minh, n¨m 2004- 2005) 32 §Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc, hai tæ ph¶i lµm chung giê Sau giê lµm chung th× tæ II đợc điều làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thì sau bao lâu làm xong công việc đó? (trích đề thi tốt nghiệp THCS TP Hà Nội, năm 2003- 2004) 33 Mét xuång m¸y xu«i dßng s«ng 30 km vµ ngîc dßng 28 km hÕt mét thêi gian b»ng thêi gian mµ xuång ®i 59,5 km trªn mÆt hå yªn lÆng TÝnh vËn tèc cña xuång ®i trªn hå biÕt r»ng vËn tèc cña níc ch¶y s«ng lµ km/h 34 NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau giê 55 phót bÓ ®Çy níc NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? 36 Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng cạnh đáy Nếu chiều cao giảm dm và cạnh đáy tăng thªm dm th× diÖn tÝch cña nã gi¶m ®i 14 dm2 Tính chiều cao và cạnh đáy tam giác 38 Méi thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiều dài giảm lần và chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không thay đổi 39 Nhµ trêng tæ chøc cho 180 häc sinh khèi ®i tham quan di tÝch lÞch sö Ngêi ta dù tÝnh: NÕu dïng lo¹i xe lín chuyªn chë mét lît hÕt sè häc sinh th× ph¶i ®iÒu Ýt h¬n nÕu dïng lo¹i xe nhá lµ hai chiÕc BiÕt r»ng mçi xe lín cã nhiÒu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi TÝnh sè xe lín, nÕu lo¹i xe đó đợc huy động 40 Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/ thì đến sớm giờ, giảm vận tốc km/ thì đến muộn Tính vận tốc dự định và thời gian dự định 41 Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 120 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt giê 45 phót TÝnh vËn tèc cña tµu thuû níc yªn lÆng, biÕt r»ng vËn tèc cña dßng níc lµ km/ h 43 Một xe ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10 km thì đến nơi sớm dự định giờ, xe chạy chậm lại 10 km thì đến nơi chËm nhÊt giê Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đờng AB 45 Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt, nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 2m, chiÒu réng thªm m th× diÖn tÝch t¨ng thªm 100 m2 NÕu gi¶m c¶ chiÒu dµi lÉn chiÒu réng ®i m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 68 m Tính diện tích ruộng đó 72 Mét h×nh vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 450 m NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i chiÒu dµi cò, t¨ng chiều rộng lên chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi Tính chiều dài và chiều réng cña vên 73 Một vờn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 20 m, diện tích 3500 m Tính độ dài hàng rào xung quanh vờn biết ngời ta chừa m để làm cổng vào 74 Một tuyến đờng sắt có số ga, ga có loại vé đến ga còn lại Biết có tất 210 loại vé Hỏi tuyến đờng có bao nhiêu ga? 75 Hai trờng A và B thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84% Tính riêng thì trờng A đỗ 80%, trờng B đỗ 90% TÝnh xem mçi trêng cã bao nhiªu häc sinh líp dù thi? 79 Mét ca n« xu«i khóc s«ng dµi 40 km råi ngîc khóc s«ng Êy hÕt giê rìi BiÕt thêi gian ca n« xu«i km b»ng thêi gian ngîc 4km TÝnh vËn tèc dßng níc 80 Mét ca n« ®i xu«i dßng 45 km råi ngîc dßng 18 km BiÕt r»ng thêi gian xu«i l©u h¬n thêi gian ngîc 1giê vµ vËn tèc xu«i lín h¬n vËn tèc ngîc lµ km/h TÝnh vËn tèc cña ca n« lóc ngîc dßng (7) 81 Một ngời xe đạp từ A đến B đờng dài 78 km Sau đó giờ, ngời thứ hai từ B đến A Hai ngời gặp C cách B là 36 km Tính thời gian ngời đã từ lúc khởi hành đến lúc gÆp biÕt r»ng vËn tèc ngêi thø hai lín h¬n vËn tèc ngêi thø nhÊt lµ km/h 85 Hai máy cày làm việc trên cánh đồng Nếu hai máy cùng cày thì 10 ngày xong công việc Nhng thực tế hai máy cùng làm việc ngày đầu, sau đó máy thứ cày nơi kh¸c, m¸y thø hai lµm tiÕp ngµy n÷a th× xong Hái mçi m¸y lµm viÖc mét m×nh th× bao lâu cày xong cánh đồng? 86 Tìm số có ba chữ số cho chia nó cho 11, ta đợc thơng tổng các chữ số số bị chia CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC I C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng HÖ thøc lîng tam gi¸c vu«ng a) Một số hệ thức cạnh và đờng cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH ta có b2 = a b’ c2 = a c’ 2 b +c =a h2 = b’ c’ A 1 2 2 h b c a h = b c b) TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän - Các tỉ số lợng giác góc nhọn đợc định nghĩa nh sau: B b h c' b' H c¹nh kÒ cos = c¹nh huyÒn C a cạnh đối cạnh đối sin = c¹nh huyÒn c c¹nh kÒ (8) cạnh đối tg = c¹nh kÒ c¹nh kÒ cotg = cạnh đối - Víi hai gãc vµ phô ta cã sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg sin300 cos60 - Một số góc đặc biệt 3 t g300 cot g600 cos30 sin60 sin450 cos45 2 tg450 cot g45 1 co t g30 t g60 c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc tam gi¸c vu«ng Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với côsin góc kề Mỗi cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân tang góc đối nh©n víi c«tang gãc kÒ d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c a.h S= a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB 2 S= (h là đờng cao ứng với cạnh a) S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) a.b.c S = 4R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác) S= p p a p b p c (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c) §êng trßn: a) Sự xác định đờng tròn Tính chất đối xứng đờng tròn - Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O kho¶ng b»ng R - Tuú theo OM = R; OM < R; OM > R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, n»m bªn ngoài đờng tròn - Qua ba điểm không thẳng hàng, vẽ đợc và đờng tròn - Đờng tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đờng tròn Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đờng kính nào nó b) Đờng kính và dây cung đờng tròn Liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Trong đờng tròn, dây lớn là đờng kính - §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Trong đờng tròn: Hai dây và chúng cách tâm Trong hai dây kh«ng b»ng nhau, d©y lín h¬n vµ chØ nã gÇn t©m h¬n c) Vị trí tơng đối đờng thẳng và đờng tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đờng tròn Căn vào số điểm chung 0, 1, đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt ứng với vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng và bán kính R đờng tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R Ta có các định lí - Nếu đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính qua tiếp ®iÓm - Nếu đờng thẳng qua điểm đờng tròn và vuông góc với bán kính qua điểm đó thì đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm thì: - Điểm đó cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai bán kính qua các tiếp điểm e) §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c - Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đờng ph©n gi¸c c¸c gãc tam gi¸c - Đờng tròn qua ba đỉnh tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các đờng trung trùc tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh là đờng tròn bàng tiếp tam giác Tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm hai (9) đờng phân giác hai góc ngoài tam giác giao điểm tia phân giác góc và hai đờng phân giác góc ngoài không kề với nó f) Vị trí tơng đối hai đờng tròn Căn vào số điểm chung 0, 1, hai đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đờng tròn kh«ng giao nhau, tiÕp xóc nhau, c¾t Do tính chất đối xứng đờng tròn, hai đờng tròn cắt thì giao điểm đối xứng với qua đờng nối tâm, hai đờng tròn tiếp xúc thì giao điểm nằm trên đờng nối tâm g) Góc với đờng tròn: + Góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi là góc tâm Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung đó Số đo cung lớn hiệu 3600 và số đo cung nhỏ Số đo nửa đờng tròn 1800 + Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa dây cung đờng tròn đó Cung bên góc gọi là cung bị chắn Trong đờng tròn số đo góc nội tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Góc tạo tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến (O) A, AB là dây cung Góc tạo tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi là góc tạo bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Góc có đỉnh bên đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh bên đờng tròn chắn hai cung: cung nằm bên góc và cung nằm bên góc đối đỉnh cung đó Số đo có đỉnh bên đờng tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn nửa hiệu hai cung bÞ ch¾n Chú ý: Trong đờng tròn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng ch¾n c¸c cung b»ng - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng th× b»ng - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d l Rn 180 - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 S - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n R 2n lR 360 Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam giác thờng: - Có hai góc đôi (g-g) - Cã mét gãc b»ng xen gi÷a hai c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-g-c) - Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ - Cã c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ D¹ng Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới góc - Dựa vào phơng tích đờng tròn II C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã - Diện tích xung quanh: Sxq = 2 R h (R là bán kính đáy; h là chiều cao) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2 R h + 2 R2 - Thể tích hình trụ: V = S h = R2 h (S là diện tích đáy) H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vuông nó Hình nón cụt là phần hình nón đáy và thiết diện vuông góc với trục H×nh nãn: - Diện tích xung quanh: Sxq = R l (R là bán kính đáy; l là đờng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = R l + R2 .R h - ThÓ tÝch: V = (h lµ chiÒu cao) Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2) l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l là đờng sinh) (10) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = (R1 + R2) l + (R12 + R22) .h.(R12 R 22 R1 R ) - ThÓ tÝch: V = (h lµ chiÒu cao) - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4 R2 (R lµ b¸n kÝnh) H×nh cÇu: .R - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = Dạng 1: Hình học phẳng Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M và N Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh: DEA ACB Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA là phân giác góc MAN Chứng tỏ: AM2=AE AB y A x N D E M O B Bài 2: C Cho(O) đường kính AC trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC Gọi M là trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I Tứ giác ADBE là hình gì? D C/m DMBI nội tiếp C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD I C/m MC DB=MI DC A M C/m MI là tiếp tuyến (O’) Bài 3: B O C O' E H×nh Cho ABC có A =1v Trên AC lấy điểm M cho AM < MC Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM cắt BC E;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S C/m BADC nội tiếp A BC cắt (O) E Cmr:MD là phân giác AED D S M C/m CA là phân giác góc BCS O K E B C Hình Bài 4: A Cho ABC có A = 1v Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM > MC Dựng đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O)tạiD và đường thẳng AD cắt (O) S C/m ADCB nội tiếp D M S C/m ME là phân giác góc AED O B H×nh E C (11) C/m: ASM = ACD Chứng tỏ ME là phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD và đường kính AA’ Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B vàC xuống đường kính AA’ C/m AEDB nội tiếp C/m DB A’A=AD A’C C/m:DE AC Gọi M là trung điểm BC Chứng minh MD = ME = MF A P N E O B I C M D F Bài 6: A' Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là điểm trên cung H×nh nhỏ AC Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE M C/m MFEC nội tiếp A C/m BM EF=BA EM C/M AMP FMQ C/m PQM = 90o P F O Q B C E Bài 7: H×nh Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G C/m BGDC nội tiếp Xác định tâm I đường tròn này C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD C/m GEFB nội tiếp Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD Có nhận xét gì I và F A B O C D F E G H×nh 7 (12) Bài 8: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn E và F,cắtA AC I(E nằm trên cung nhỏ BC) F C/m: BDCO nội tiếp O 2 C/m: DC = DE DF C/m: DOIC nội tiếp Chứng tỏ I là trung điểm FE I C B E H×nh D Bài 9: Cho (O),dây cung AB Từ điểm M trên cung AB(MA và MB),kẻ dây cung MN vuông góc với AB H Gọi MQ là đường cao tam giác MAN C/m điểm A;M;H;Q cùng nằm trên đường tròn C/m:NQ NA=NH NM C/m MN là phân giác góc BMQ Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí M trên cung AB để MQ AN+MP BN có giác trị lớn M N Q P A I H B A I B H P Q O O M N Bài 10: H×nh b H×nh a Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E Chứng minh tam giác ABC vuông A O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên đường tròn Chứng tỏ : BC2= Rr B E Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r C N F O A H×nh 10 I (13) Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm trên đoạn OB) Từ B hạ đường vuông góc với AM H,cắt AO kéo dài I y C/m OMHI nội tiếp A Tính góc OMI Từ O vẽ đường vuông góc với BI K C/m OK=KH Tìm tập hợp các điểm K M thay đổi trên OB E M O x B H K I H×nh 1 Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E C/m: MA là phân giác góc CMD C/m: EFBM nội tiếp Chứng tỏ: AC2 = AE AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I C/m NI//CD Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM C M N E A F O B I D Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB;AC H×nh 12 và cát tuyến ADE Gọi H là trung điểm DE C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên đường tròn C/m HA là phân giác góc BHC Gọi I là giao điểm BC và DE C/m AB2=AI AH.E BH cắt (O) P C/m AE//CP B H I D O K A P C H×nh 13 Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) B CD là đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự là M;N CMR: MCDN nội tiếp Chứng tỏ: AC AM = AD AN Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN CMR: AOIH là hình bình hành (14) y Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? M C O A B K I H D N H×nh 14 Bài 15: ho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là 1x điểm trên cung nhỏ BC Kẻ DE;DF;DG vuông góc với các cạnh AB;BC;AC Gọi H là hình chiêu D lên tiếp tuyến Ax (O) C/m AHED nội tiếp Gọi giao điểm AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) M A C/m: HA DP=PA DE H C/m: QM = AB Q C/m: DE DG = DF DH P C/m: E;F;G thẳng hàng O B G F E C M D Bài 16: H×nh 15 Cho tam giác ABC có A =1v; AB < AC Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IKBC (K nằm trên AC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK Chứng minh:ABIK nội tiếp đường tròn tâm O C/m: BMC 2 ACB Chứng tỏ: BC2= AC KC AI kéo dài cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN C/m: NMIC nội tiếp N M A K B C I Hình 16 (15) Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường tròn Tia phân giác góc M ACB cắt (O) tai M Gọi H;K là hình chiêu M lên AC và CB C C/m: MOBK nội tiếp Tứ giác CKMH là hình vuông H C/m: H;O;K thẳng hàng B O A Gọi giao điểm HK và CM là I Khi C di động trên nửa đường I tròn thì I chạy trên đường nào? F E M K H×nh 17 Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a Kẻ tia phân giác góc ACD, từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên Chứng minh: AHDC nội tiếp đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a HB cắt AD I và cắt AC M;HC cắt DB N Chứng tỏ HB = HC Và AB AC = BH BI Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC K và cắt (O) J Chứng minh HOKD nội tiếp y A 2a B M I a O H J N K C D x Bài 19: H×nh 18 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC AB Gọi M là điểm trên cung BC Kẻ đường cao CH tam giác ACM Chứng minh AOHC nội tiếp Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác góc COM Gọi giao điểm OH với BC là I MI cắt (O) D N C M D I Cmr: CDBM là hình thang cân H BM cắt OH N Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN MC=IN MA A B O H×nh 19 F Bài 20: Cho ABC nội tiếp (O;R) Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N cho BM=AN Chứng tỏ OMN cân C/m :OMAN nội tiếp A I (16) D K N O BO kéo dài cắt AC D và cắt (O) E C/m BC2+DC2=3R2 B C J Đường thẳng CE và AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I;AO kéo dài cắt BC J H×nh 20 C/m BI qua trung điểm AJ Bài 21: Cho ABC ( A =1v) nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M là trung điểm cạnh AC Đường A tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N và cắt (O) D D C/m ABNM nội tiếp và CN AB=AC MN M Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến (I) I B Tia IO cắt đường thẳng AB E C/m BMOE là hình bình hành O C N C/m NM là phân giác góc AND E H×nh 21 Bài 22: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi I là điểm trên đường chéo AC Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA P;Q;N;M C/m INCQ là hình vuông A P B Chứng tỏ NQ//DB BI kéo dài cắt MN E;MP cắt AC F F C/m MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm Chứng tỏ MPQN nội tiếp Tính diện tích theo a C/m MFIE nội tiếp M Q I E D C N H×nh 22 Bài 23: Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN (O) cắt AC E BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I Q A B A C/m MDNE nội tiếp Chứng tỏ BEN vuông cân E M C/m MF qua trực tâm H BMN H O C/m BI=BC và IE F vuông I F C/m: BM là đường trung trực QH (H là giao điểm BE và AB) và MQBN là thang cân K D C N B Bài 24: M J H×nh 23 H C Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) Vẽ đường cao AH Từ H kẻ HK;HM vuông góc với I N D H×nh 24 (17) AB;AC Gọi J là giao điểm AH và MK C/m AMHK nội tiếp C/m JA JH=JK JM Từ C kẻ tia Cx với AC và Cx cắt AH kéo dài D Vẽ HI;HN vuông góc với DB và DC Cmr : HKM HCN Bài 25: C/m M;N;I;K cùng nằm trên đường tròn Cho ABC ( A =1v),đường cao AH Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB D và cắt AC E;Trung tuyến AM ABC cắt DE I A Chứng minh D;H;E thẳng hàng C/m BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn này C/m: AMDE C/m AHOM là hình bình hành E I M H B C D O H×nh 25 Bài 26:Cho ABC có góc nhọn,đường cao AH Gọi K là điểm đối xứng H qua AB;I là điểm đối xứng H qua AC E;F là giao điểm KI với AB và AC Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI = AK C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên đường tròn C/m CE;BF là các đường cao ABC Chứng tỏ giao điểm đường phân giác I A F E M K HFE chính là trực tâm ABC B H C H×nh 26 Bài 27: D Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O) Gọi M là điểm trên cung nhỏ AC Trên tia BM lấy điểm K cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D cho AD=AC A C/m: BAC 2 BKC I C/m BCKD nội tiếp Xác định tâm đường tròn này K M O Gọi giao điểm DC với (O) là I C/m: B;O;I thẳng hàng C/m DI = BI C B H×nh 27 Bài 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I là điểm chính cung AB (18) (Cung AB không chứa điểm C;D) ID và IC cắt AB M;N C/m D;M;N;C cùng nằm trên đường tròn C/m NA NB=NI NC DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E C/m:EF//AB C/m :IA2=IM ID F E I B A N M C O D Bài 29: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F H×nh 28 Kẻ trung tuyến AI AEF, AI kéo dài cắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G C/m AECF nội tiếp B A C/m: AF2=KF CF C/m:EGFK là hình thoi G Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK E và chu vi CKE có giá trị không đổi I Gọi giao điểm EF với AD là J C/m:GJ JK J F C K D H×nh 29 Bài 30: Cho ABC Gọi H là trực tâm tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I là giao điểm A HD và BC 1, C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O M 2, So sánh BAH và OAC Q 3, CH cắt OD E C/m AB AE=AH AC H G O 4, Gọi giao điểm AI và OH là G C/m G là trọng tâm ABC B N I C N Bài 31: D H×nh 30 Cho (O) và sđ AB = 90o C là điểm tuỳ ý trên cung lớn AB Các đường cao AI;BK;CJ ABC cắt H BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM và AN gaëp D C/m:B;K;C;J cùng nằm trên đường tròn C/m: BI KC=HI KB C/m:MN là đường kính (O) C/m ACBD là hình bình hành O C K A B M I D H×nh 31 J 8H (19) C/m:OC // DH Bài 32: Cho hình vuông ABCD Gọi N là điểm trên CD cho CN < ND;Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN (O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E 1,C/m BFN vuông cân B A 2,C/m:MEBA nội tiếp 3,Gọi giao điểm ME và NF là Q MN cắt (O) P F C/m B;Q;P thẳng hàng M 4,Chứng tỏ ME//PC và BP=BC O Q 5, C/m FPE là tam giác vuông E P D C N H×nh 32 Bài 33: Trên đường tròn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB; AB và CD cắt E BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K Q Cm: CB là phân giác góc ACE E C/m: AQEC nội tiếp B C/m: KA KC=KB KD C/m: QE//AD C K A D O H×nh 33 Bài 34: x Cho (O) và tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai điểm B và C cho AB=BC Kẻ C cát tuyến BEF với đường tròn CE và CF cắt (O) M và N Dựng hình bình hành AECD C/m:D nằm trên đường thẳng BF C/m ADCF nội tiếp D C/m: CF CN=CE CM C/m:MN//AC B Gọi giao điểm AF với MN là I Cmr:DF N E qua trung điểm NI J A O I F H×nh 34 M (20) Bài 35: Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với Gọi M là điểm trên cung nhỏ CB C/m:ACBD là hình vuông C AM cắt CD ;CB P và I Gọi J là giao điểm DM và AB C/m IB IC=IA IM M I P Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác góc CJM Tính tích tích AID theo R A O B J D Bài 36: H×nh 35 Cho ABC ( A =1v) Kẻ AHBC Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC M;N C/m: OHO’ là tam giác vuông C/m:HB HO’=HA HO C/m: HOO’ C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp C/m AMN vuông cân A HBA N O' M O C B H H×nh 36 Bài 37: Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn K Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M là N C/m:AIMD nội tiếp C?m CM CA=CI CD C/m ND=NC Cb cắt AD E C/m E nằm trên đường tròn (O) D N và C là tâm đường tròn nội tiếp EIM M K Giả sử C là trung điểm IK Tính CD theo R E Bài 38: A C I B O 37 các Cho ABC Gọi P là điểm nằm tam giác cho PBA PAC Gọi H và K H×nh là chân đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC C/m AHPK nội tiếp C/m HB KP=HP KC (21) Gọi D;E;F là trung điểm PB;PC;BC Cmr:HD=EF; DF=EK C/m:đường trung trực HK qua F A K H P D Bài 39: Cho hình bình hành ABCD ( A > 90o) E B F C Từ C kẻ CE;CF;CG vuông góc với AD;DB;AB H×nh 38 C/m DEFC nội tiếp C/m:CF2 = EF GF Gọi O là giao điểm AC và DB Kẻ OICD Cmr: OI qua trung điểm AG Chứng tỏ EOFG nội tiếp A G B F E O D J C I H×nh 39 Bài 40: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Các đường thẳng AO cắt (O); (O') C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) D và F E C/m:C;B;F thẳng hàng D 2, C/m CDEF nội tiếp A 3,Chứng tỏ DA FE=DC EA 4,C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE O I C O' B F H×nh 40 Bài 41:ho (O;R) Một cát tuyến xy cắt (O) E và F Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB và AC với (O) Gọi H là trung điểm EF Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên đường tròn Đường thẳng BC cắt OA I và cắt đường thẳng OH K C/m: OI OA=OH OK=R (22) Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào? C/m KE và KF là hai tiếp tyueán (O) B O I x y E F H A C K H×nh 41 Bài 42: Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D Qua A kẻ AE và AF vuông góc với BN và CM Các đường thẳng AE và AF cắt BC I;K C/m AFDE nội tiếp A C/m: AB NC = AN BC C/m: FE//BC N M E F Chứng tỏ ADIC nội tiếp D B K C I H×nh 42 Bài 43: Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng ñôn vị đo đoä dài) Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC Hai đường tròn (O) và (O’) cắt điểm thứ hai D Chứng tỏ D nằm trên BC Gọi M là điểm chính cung nhỏ A DC AM cắt DC E và cắt (O) N C/m DE AC=AE MC O O' N C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng Gọi I là trung điểm MN C/m góc I B OIO’=90o Tính tích tích tam giác AMC C E D M H×nh 43 Bài 44: Trên (O;R),ta đặt theo chiều, kể từ điểm A cung AB=60 o, cung BC = 90o và cung CD = 120o P C/m ABCD là hình thang cân Chứng tỏ ACDB A B N J K Tính các cạnh và các đường chéo ABCD Q Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB I Trên DA kéo dài phía A lấy điểm P;PN cắt DB Q O C/m MN là phân giác góc PMQ D M E C H×nh 44 (23) Bài 45: Cho ABC có cạnh a Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B tam giác BC Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D và E nằm hai phía đường thẳng AB) Từ E kẻ EFBC Gọi O là trung điểm EB C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a Kéo dài FE phía F,cắt (D) M EC cắt (O) N C/m EBMC là thang cân Tính tích tích c/m EC là phân giác góc DAC A E C/m FD là đường trung trực MB Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng N Tính tích tích phần mặt trăng tạio O cung nhỏ EB hai đường tròn D C B F M Bài 46: H×nh 45 Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC Gọi a là F điểm trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F Gọi D là điểm chính cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E C/m BD là phân giác góc ABC và OD//AB C/m ADEF nội tiếp Gọi I là giao điểm BD và AC Chứng tỏ A E I CI=CE và IA IC = ID IB D C/m góc AFD AED B C O H×nh 46 Bài 47: Cho nửa đường tròn (O); Đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C cho cung AB < AC; AC cắt BD E Kẻ EFAD F 1C/m: ABEF nội tiếp 2Chứng tỏ: DE DB=DF DA 3C/m:E là tâm đường tròn nội tiếp CBF 4Gọi I là giao điểm BD với CF C/m BI2 = BF BC - IF IC C B E I M A F O D H×nh 47 (24) Bài 48: Cho (O) đường kính AB;P là điểm di động trên cung AB cho PA<PB Dựng hình vuông APQR vào phía đường tròn Tia PR cắt (O) C I P C/m ACB vuông cân Vẽ phân giác AI góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC J Q J C/m điểm J;A;Q;B cùng nằm trên đường tròn Chứng tỏ: CI QJ=CJ QP B A O CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng R C H×nh 48 Bài 49: Cho nửa (O) đường kính AB=2R Trên nửa đường tròn lấy điểm M cho cung AM<MB Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tia tiếp tuyến Ax và By D và C y x Chứng tỏ ADMO nội tiếp Chứng tỏ AD BC = R2 F Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F; MB cắt Ax E Chứng minh: AMFN là hình thang cân Xác định vị trí M trên nửa đường tròn để DE = EF C E M D A N O H×nh 49 Bài 50: Cho hình vuông ABCD,E là điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tựAở H và K B Chứng minh:BHCD nội tiếp Tính góc CHK H E C/m KC KD=KH KB Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào? D C H×nh 50 K Bài 51: Cho (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE AD C/m góc AOC ACB và BDC cân CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB B I B (25) Hình 51 Bài 52: Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng ñôn vị đoä dài), nội tiếp (O) đường kính AA’ Tính bán kính (O) Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ là hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC là hình thang cân Quay ABC voøng quanh trục AH Tính tích tích xung quanh hình tạio A C' K O H B C A' Bài 53: Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với Gọi I là trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vuông góc với MQ M cắt (O) P C/m: a/ PMIO là thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng C Gọi S là Giao điểm AP với CQ Tính P M Góc CSP S H Gọi H là giao điểm AP với MQ A Cmr: I B O a/ MH MQ= MP2 J b/ MP là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp QHP Q D Bài 54: Cho (O;R) và cát tuyến d không qua tâm O Từ điểm M trên d và ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai là C Gọi H là chân đường vuơng góc hạ từ O xuống d Đường thẳng vuông góc với BC O cắt AM D C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên đường tròn C/m AC//MO và MD=OD Đường thẳng OM cắt (O) E và F Chứng tỏ MA2=ME MF Xác định vị trí điểm M trên d để MAB là tam giác Tính tích tích phần tạio hai tia tiếp tuyến với đường tròn tröđường hợp này (26) B d E F O D C Bài 55: A H Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn Gọi M là điểm chính cung AB và N là điểm trên đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax và By D và C C/m: AMN BMC C/m: ANM = BMC DN cắt AM E và CN cắt MB F C/m FEAx Chứng tỏ M củng là trung điểm DC x D y M C E F B A Bài 56: N O Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I và K là giao điểm AC với DE và BC với DF C/m AECD nội tiếp C/m: CD2 = CE CF Cmr: Tia đối tia CD là phân giác góc FCE C/m: IK//AB A F K C x M D O I E B Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P cho P > R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn (27) C/m BM/ / OP Đường vuông góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN là hình bình hành AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN và OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng N P J Q I K M A B O Bài 58: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I C/m ABI vuông cân Lấy D là điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm AD với Bt C/m AC AI=AD AJ C/m JDCI nội tiếp Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DHAB Cmr: AK qua trung điểm DH I C D N A Bài 59: O H J K B Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M Chứng minh: NMBO nội tiếp CD và đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM và MD là phân giác góc và góc ngoài góc AMB C/m hệ thức: AM DN=AC DM Nếu ON=NM Chứng minh MOB là tam giác (28) E C M N A B O D Bài 60: Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự là hình chiêu A và B lên đường thẳng d C/m: CD=CE Cmr: AD+BE=AB Vẽ đường cao CH ABC Chứng minh AH=AD và BH=BE Chứng tỏ:CH2=AD BE d D C E A B H O Chứng minh:DH//CB Bài 61: Cho ABC có: A=1v D là điểm nằm trên cạnh AB Đường tròn đường kính BD cắt BC E các đường thẳng CD;AE cắt đường tròn các điểm thứ hai F và G K C/m CAFB nội tiếp C/m AB ED = AC EB Chứng tỏ AC//FG A Chứng minh AC;DE;BF F đồng quy D O G B E H×nh 61 C Bài 62: (29) Cho (O;R) và đường thẳng d cố định không cắt (O) M là điểm di động trên d Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn Hạ OHd H và dây cung PQ cắt OH I;cắt OM K C/m: MHIK nội tiếp C/m OJ OH=OK OM=R2 CMR M di động trên d thì vị trí I luôn cố định P O d K I M H Q Bài 63: Cho vuông ABC ( A = 1v) và AB < AC Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia HB lấy HD = HB từ C vẽ đường thẳng CEAD E C/m AHEC nội tiếp Chứng tỏ CB là phân giác góc ACE và AHE cân C/m HE2 = HD HC Gọi I là trung điểm AC HI cắt AE J Chứng minh: DC HJ=2IJ BH EC kéo dài cắt AH K Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi A I J C B H D E K Bài 64: Cho tam giác ABC vuông cân A Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC D,kẻ CE Bx E Hai đường thẳng AB và CE cắt F C/m FDBC,tính góc BFD C/m ADEF nội tiếp Chứng tỏ EA là phân giác góc DEF Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào? (30) A D E B C O Bài 65: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến nửa đường tròn Đường thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By Q Gọi D là giao điểm CP với AM; E là giao điểm CQ với BM x cm: ACMP nội tiếp y Q Chứng tỏ AB//DE C/m: M; P; Q thẳng hàng M P D E A B O C H×nh 65 Bài 66: x nửa đường tròn Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và điểm M trên Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt tia I Ax I Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F; Tia BE cắt Ax H; cắt H×nh 66 AM K C/m: IA2=IM IB F C/m: BAF cân C/m AKFH là hình thoi Xác định vị trí M để AKFI nội tiếp H M E K A B O Bài 67: Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khaùc A; O; B) Đường thẳng CM cắt (O) N Đường vuông góc với AB tạiC M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh: K COMNP nội tiếp CMPO là hình bình hành A CM CN không phụ thuộc vào vị trí M O B M Khi M di động trên AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định N x y D P H×nh 67 (31) Cho ABC có A = 1v và AB > AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Bài 68: vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC E và F Giao điểm FE và AH là O Chứng minh: AFHE là hình chữ nhật BEFC nội tiếp AE.AB = AF AC FE là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Chứng tỏ: BH HC = 4.OE OF A E O Bài 69: F C B I K H 68 là tiếp tuyến Cho ABC có A=1v AHBC Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácH×nh ABC;d đường tròn điểm A Các tiếp tuyến B và C cắt d theo thứ tự D và E Tính góc DOE Chứng tỏ DE = BD + CE Chứng minh: DB CE = R2 (R là bán kính đường tròn tâm O) C/m: BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE E I A D B Bài 70: C O H H×nh 69 Cho ABC ( A =1v); đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đường kính đường tròn (A;AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E Chứng minh BEC cân Gọi I là hình chiêu A trên BE C/m: AI = AH C/m:BE là tiếp tuyến đường tròn C/m: BE = BH + DE Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K Và AH = 2R Tính tích tích hình tạo đường tròn tâm A và tâm K D E I A K C B H H×nh 70 Bài 71: Trên cạnh CD hình vuông ABCD,lấy điểm M Đường tròn đường kính AM cắt AB điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kính CD điểm thứ hai N Tia DN cắt cạnh BC P C/m:Q;N;C thẳng hàng CP CB = CN CQ (32) C/m AC và MP cắt điểm nằm trên đường tròn đường kính AM Bài 72: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O D và E theo thứ tự là điểm chính các cung AB;AC Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K C/m:AHK cân Gọi I là giao điểm BE với CD C/m:AIDE C/m CEKI nội tiếp C/m:IK//AB ABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC Bài 73: Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường này cắt BA’ E C/m: DA ' C DA ' E C/m: A'DC=A'DE Chứng tỏ: AC = AE Khi AA' quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào? C/m: BAC 2 CEB Bài 74: Cho ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB O là trung điểm AB;M là điểm chính cung AC H là giao điểm OM với AC C/m: OM//BC Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM D Cmr: MBCD là hình bình hành Tia AM cắt CD K Đường thẳng KH cắt AB P Cmr: KPAB C/m: AP AB = AC AH Gọi I là giao điểm KB với (O) Q là giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF Từ O vẽ tia Ot EF, noù cắt nửa đường tròn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA = IO Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn; chúng cắt đường thẳng EF B và C (P;Q là các tiếp điểm) Cmr: ABC là tam giác và tứ giác BPQC nội tiếp Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP H,cắt AC K Tính sđ góc HOK Gọi M; N là giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp Chứng minh raèng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, và D cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp HOK Bài 76: Cho hình thang ABCD nội tiếp (O),các đường chéo AC và BD cắt E Các cạnh beân AD;BC kéo dài cắt F C/m: ABCD là thang cân Chứng tỏ FD FA = FB FC C/m: Góc AED = AOD C/m AOCF nội tiếp Bài 77: Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn Kẻ OAxy từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) B và C Tiếp tuyến B và C (O) cắt xy D và E Đường thẳng BD cắt OA;CE F và M;OE cắt AC N C/m OBAD nội tiếp Cmr: AB EN = AF EC (33) So sánh góc AOD và COM Chứng tỏ A là trung điểm DE Bài 78: Cho (O;R) và A là điểm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D và cắt đường tròn E Chứng tỏ EC // với OA Chứng minh raèng: 2AB R = AO CB Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi M di động trên cung nhỏ BC Xác định vị trí M trên cung nhỏ BC để điểm J,I,B,C cùng nằm trên đường tròn Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB C và D Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên đường tròn Chứng minh: COD = AOB Chứng minh: Tam giác COD cân Vẽ đường kính BK đường tròn,hạ AH BK Gọi I là giao điểm AH với PK Chứng minh AI = IH Bài 80: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Chứng minh : AD AB = AE AC Chứng tỏ AK là phân giác góc DKE Gọi I; J là trung điểm BC và DE Chứng minh: OA//JI Bài 81: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn E và F,cắt AC I(Enằm trên cung nhỏ BC) Chứng minh BDCO nội tiếp Chứng minh: DC2 = DE DF Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn Chứng tỏ I là trung điểm EF Bài 82: Cho đường tròn tâm O,đường kính AB và dây CD vuông góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M AM cắt CD E Chứng minh AM là phân giác góc CMD Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn Chứng tỏ AC2 = AE AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I Chứng minh NI//CD Bài 83: Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E và cắt đường thẳng AC G Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ và cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D C/m: AEHF nội tiếp Chứng tỏ: HG HA = HD HC Chứng minh EFDG và FHC = AFE (34) Tìm điều kiện hai đường thẳng HE và HF để EF ngaén Bài 84: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O) M là điểm trên cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I Chứng minh A;O;I thẳng hàng Kẻ AK với đường thẳng MC AI cắt BC J Chứng minh AKCJ nội tiếp C/m: KM JA = KA JB Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi C là điểm trên nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Một đường tròn (O’) qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự D và E Đường thẳng EC cắt By F Chứng minh BDCF nội tiếp Chứng tỏ: CD2 = CE CF và FD là tiếp tuyến đường tròn (O) AC cắt DE I;CB cắt DF J Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF là tiếp tuyến (O) Bài 86: Cho (O;R và (O’;r) đó R>r, cắt Avà B Gọi I là điểm trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O’) Đường thẳng OC và O’D cắt K Chứng minh ICKD nội tiếp 2Chứng tỏ: IC2 = IA IB 3Chứng minh IK nằm trên đường trung trực CD 4IK cắt (O) E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN a/ Chứng minh: IE IF = IM IN b/ E; F; M; N nằm trên đường tròn Bài 87: ChoABC có góc nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC (O) cắt AB;AC D và E BE và CD cắt H 1Chứng minh: ADHE nội tiếp C/m: AE AC = AB AD AH kéo dài cắt BC F Cmr: H là tâm đường tròn nội tiếp DFE Gọi I là trung điểm AH Cmr IE là tiếp tuyến (O) Bài 88: Cho(O;R) và (O’;r) cắt Avà B Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) và cát tuyến EBF bất kỳ(E(O)) Chứng minh AOC và AO’D thẳng hàng Gọi K là giao điểm các đường thẳng CE và DF Cmr: AEKF nội tiếp Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD Chứng tỏ FA EC = FD EA Bài 89: Cho ABC có A = 1v Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C Gọi M;N là trung điểm AB;AC,OM và ON kéo dài cắt K Chứng minh: OAO’ thẳng hàng CM: AMKN nội tiếp Cm AK là tiếp tuyến caû hai đường tròn và K nằm trên BC Chứng tỏ 4MI2 = Rr (35) Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuông góc với Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt E; BC và AD cắt F Cm: BDEF nội tiếp Chứng tỏ: DA DF = DC DE Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF Cmr: DIMF nội tiếp Gọi H là giao điểm AC với FE Cm: AI AM = AC AH Bài 91: Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) B và C (khaùc A) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(D(O)); DB và CE kéo dài cắt M Cmr: ADEM nội tiếp Cm: MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn ADEM là hình gì? Chứng tỏ: MD MB = ME MC Bài 92: Cho hình vuông ABCD Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK với đường thẳng AM Cm: ABKC nội tiếp Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK E Cmr: BD KN = BE KA Cm: MN//DB Cm: BMEN là hình vuông Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M là điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF và NP vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: PEN là tam giác cân Bài 94: Từ đỉnh A hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạio với góc 45 o Một tia cắt cạnh BC E và cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F và cắt đường chéo DB Q Cm: E; P; Q; F; C cùng nằm trên đường tròn Cm: AB PE = EB PF Cm: SAEF = 2SAPQ Gọi M là trung điểm AE Cmr: MC = MD Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC Đường thẳng AH và BK cắt I Gọi E và F là trung điểm DH và BC Từ E dụng đường thẳng song song với AD Đường này cắt AH J C/m: OHIK nội tiếp Chứng tỏ KHOI Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD Đường này cắt AH J Chứng tỏ: HJ KC = HE KB Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn Bài 96: Cho ABC, phân giác góc và góc ngoài các góc B và C gaëp theo thứ tự I và J Từ J kẻ JH; JP; JK vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC (36) Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nội tiếp BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr: AEAJ C/m: AI AJ = AB AC Bài 97: Từ đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q Kẻ BKAx;BIAy và DMAx,DNAy Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2 = AP MD Chứng minh MN = KI Chứng tỏ KIAN Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC I và K Hạ KH và KM vuông góc với CD và AM Chứng minh KHDM nội tiếp Chứng minh: AB = CK + AM Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF Đường thẳng CE và CF gaëp lại đường tròn điểm thứ hai M và N Dựng hình bình hành AECD Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF 2,Chứng minh AFCD nội tiếp 3,Chứng minh: CN CF = 4BE BF 4,Chứng minh MN//AC Bài 100: Trên (O) lấy điểm A;B;C Gọi M;N;P theo thứ tự là điểm chính cung AB;BC;AC AM cắt MP và BP K và I MN cắt AB E 1,Chứng minh BNI cân 2,PKEN nội tiếp 3,Chứng minh AN BD = AB BN 4,Chứng minh I là trực tâm MPN và IE//BC (37)