UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO... Gọi M là trung điểm của AB.[r]
(1)UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỘI THI GVDG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán – THPT, GDTX Câu Đáp án 2x + = - 3x + m PT hoành độ giao điểm x - , với đk x ¹ PT Û 2x + = (x - 1)(- 3x + m) Û 3x - (1 + m)x + m + = (1) 0,75 d cắt (C ) hai điểm phân biệt PT ( 1) có hai nghiệm phân biệt khác ìï D = (1 + m)2 - 12(m + 1) > ém > 11 Û ïí Û (m + 1)(m - 11) > Û ê êm < - ïï - (1 + m) + m + ¹ ê ë ïî 0,75 2.a 1,5 cos4x - cos2x + 2sin6x = 3sin3x cosx Û - 2sin3x sin x + 4sin3x cos3x = 3sin3x cosx ésin3x = Û ê Û - 2sin3x sin x - 2cos3x + 3cosx = ê sin x + 3cosx = 2cos3x ê ë kp sin3x = Û x = ( k Î ¢) é êx = - p + kp ê 12 Û ê ( k Î ¢) æ pö ÷ p k p ç ê ÷ sin x + 3cosx = 2cos3x Û cosç x - ÷= cos3x + ç êx = ÷ 6ø è 24 ë p p kp kp x =+ kp;x = + ;x = ( k Î ¢) 12 24 Vậy nghiệm phương trình là ( ) 2.b 0,5 0,5 0,25 0,25 1,0 n ³ 4, n Î ¥ Điều kiện An - 8C n + C n = 49Û ( n - 2) ( n - 1) n - 4( n - 1) n + n = 49 ( ) Û n3 - 7n2 + 7n - 49 = Û ( n - 7) n + = Û n = ( + x2 ) 0,25 0,25 = å C 7k 27- k.x2k 0,25 k=0 Số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn 2k = Û k = C 4.23 = 280 Vậy hệ số số hạng chứa x là 3.a Điểm 1,5 0,25 1,5 (2) Gọi M là trung điểm AB Tam giác ABC cân C suy AB ^ CM Mặt khác · AB ^ CC ' Þ AB ^ (CMC ') Þ CMC ' = 600 0,25 CM = BM tan30 = a Ta có CC ' = CM tan60 = Þ SABC a a2 = CM AB = = a Þ VABC A 'B 'C ' = SABC CC ' = Mặt phẳng (CA 'B ') chứa CB ' và song song AB nên d(AB ;CB ') = d(AB ;(CA 'B ')) = d ( M ;(CA 'B ')) = MH a2 .a = a3 0,5 , với M ' là trung điểm A 'B ' và H là hình chiếu M trên CM ' MH ^ CM ', MH ^ A 'B ' Þ MH ^ (CA 'B ') Do Tam giác CMM ' vuông M nên 1 a = + = Þ d ( AB ;CB ') = MH = 2 2 MH MC MM ' a 3.b 0,5 0,25 1,5 uuu r uuur uuur uuu r EA = EH + EK Þ EA = ( - 4;1) Ta có Þ A ( - 2;4) uuur uuur uuur uuur AK = 4AH = 4K D Þ AD = AK , AB = 5AH B ( - 2;- 1) ; D ( 3;4) Từ đó tìm uuur uuur uuur C ( 3;- 1) Ta lại có AC = AB + AD Þ A ( - 2;4) ;B ( - 2;- 1) ;C ( 3;- 1) ;D ( 3;4) Vậy ìï xy3 + xy + y3 + y = x2 + x x - 1 () ïï í ïï 2y + = 5x + 3x - ( 2) ïî ( ) ĐK: x ³ éx = - 1,loai ê & Û ê 3 ( 1) Û ( x + 1) y + y - x x - = êêëy + y = ( x - 1) + x - ( 3) ( ) 0,25 0,5 0,5 0,25 1,0 0,25 (3) Xét hàm số f ( t) = t3 + t f ( y) = f ( 3) Nên trở thành ( 2) ta Thay vào 2( x - 1) + 1- ( , có 5x - ( ( ) ) f ( t) ) đồng biến trên ¡ x - Û y = x - 0,25 3x - = Û x2 - 3x + + ( x + 1) Û x2 - 3x + + f ¢( t ) = 3t2 + > 0, " t Î ¡ Þ 5x + x - x2 - 3x + x + 1+ 5x + 0,25 3x - = x2 - 3x + x + 3x - =0 éx2 - 3x + = ê Û ê 1 ê2 + + = ( 4) ê ê x + 1+ 5x x + 3x - ë vô nghiệm æ ö ç 3+ 2+ 5÷ ÷ ç ÷ ; ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ x;y) ç ( è ø Từ đó tìm nghiệm hệ là VT ( 4) > 0, " x ³ ( 4) 0,25 1,0 Lời giải sai sử dụng công thức ( 1) Û Vì vậy, bước AB = A B mà không kiểm tra điều kiện A, B x- x- 2+ x- x- 3=2 x- x- 0,5 thực sai Lời giải đúng: ìï x2 - 3x + ³ ïï é ï x2 - 4x + ³ Û êx ³ í êx £ ïï ê ë ïï x - 5x + ³ î Điều kiện: * TH1: x = 1, thỏa mãn * TH2: x ¹ 1, ta có ( 1) Û Û ( ) ( x2 - 3x + - x2 - 5x + + 2x - 2 x - 3x + + x - 5x + + ) x2 - 4x + - x2 - 5x + = x- 2 x - 4x + + x - 5x + 0,5 =0 + = 0( x ¹ 1) x2 - 3x + + x2 - 5x + x2 - 4x + + x2 - 5x + PT này vô nghiệm vì + > 0, " x Î ( - ¥ ;1) È é ê ë4;+¥ ) 2 2 x - 3x + + x - 5x + x - 4x + + x - 5x + Vậy PT đã cho có nghiệm x = Û 1,0 0,25 Nhận xét sử dụng bất đẳng thức Côsi ax2 + by2 ³ abxy, với a, b > Theo giả thiết thì x, y có vai trò nhau, còn z có vai trò khác x, y Vì ta tìm số < m < để các bất đẳng thức sau thỏa mãn mx2 + 4z2 ³ mxz; my2 + 4z2 ³ myz; ( 3- m) ( x ) + y2 ³ 2( - m) xy (4) ém = m = 2( - m) Þ 4m = - 6m + m2 Þ ê êm = Þ m = ê ë Ta chọn m cho Ta đến lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x2 + 4z2 ³ 4xz; y2 + 4z2 ³ 4yz; x2 + y2 ³ 4xy ( Do đó, ) S ³ 4( xy + yz + zx) = ìï ìï x = y ïï z = ïï ìï x = y = 2z ï 2 S = Û ïí x2 = 4z2 Û íï Û íï ïï ïï 8z = ïï ïï xy + yz + zx = ïî ïï x = y = î ïî Vậy Bài toán tổng quát có thể phát biểu theo số hướng sau: x, y, z 1) Cho ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu 2 2 thức S = x + y + az ,a > x, y, z 2) Cho ba số thực dương thỏa mãn axy + yz + zx = 1,a > Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức S = 3x + 3y + 8z ……………… Lời giải tương tự trên 0,25 0,5 (5)