HOC KIEN THUC 12 ON THI CAP TOC

Tính thể tích khối đa diện B‟C‟D‟.ABCD và khoảng cách từ giao điểm O của AC và BD đến mpAB‟C‟D‟ Các bài toán về khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau: 31.Cho hình chóp S.ABC có đáy [r]

TÀI LIỆU MỤC LỤC: 1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan 2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất 3- Lƣợng Giác 4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit 5-Tích Phân và Ứng Dụng 6-Số phức 7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz 8-Hình Học Không Gian Thuần Túy 9-Tổ Hợp và Xác Suất Tài liệu đã đƣợc tinh giảm còn phần và cần thiết, vừa đủ để các em có thể học nhanh và nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 tới Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề tài liệu này thì điểm 6,5-7 là điều không khó khăn Chú ý tập tài liệu đề cập đến các kiến thức xuất kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên không có các phần nâng cao Các em học sinh ôn thi vào các trƣờng lớn hay các trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần thì các kiến thức tài liệu là không đầy đủ Do tài liệu đƣợc biên soạn tác giả nên không tránh đƣợc thiếu xót Nếu có thì mong các em thông cảm Chúc các em học tốt và vƣợt qua kì thi năm cách dễ dàng Thân! KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A Lý thuyết: I Các bƣớc khảo sát hàm số:  Tập xác định  Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có)  Đạo hàm  Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có)  Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị II Tổng kết các dạng đồ thị: Hàm bậc 3: y  ax  bx  cx  d , a   Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn  Dạng đồ thị vào: Số nghiệm y '  và dấu hệ số a  Có trường hợp:  TH1: y '  có nghiệm phân biệt  có cực trị a0 a0  TH2: y '  có nghiệm kép  không có cực trị a0 a0  TH3: y '  vô nghiệm  không có cực trị a0 a0 2 Hàm trùng phƣơng: y  ax  bx  c, a   Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy  Đồ thị có dạng vào : Số nghiệm y '  và dấu hệ số a  TH1: y '  có nghiệm phân biệt  có cực trị a0 a0  TH2: y '  có nghiệm  có cực trị a0 Hàm phân thức: y  a0 ax  b 2 ,a  c  cx  d  Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang  Đồ thị là hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm hai đường tiệm cận  Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu y‟ TCN TCN TCĐ - y '  0, x  D  hàm số đồng biến TCĐ - y '  0, x  D  hàm số nghịch biến B Các dạng toán liên quan: I Đồng biên nghịch biến:  Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2 Cho phương trình: y  ax  bx  c  a   b c  Hệ thức Vi-et: S  x1  x2   ; P  x1 x1  a a  Để phương trình có hai nghiệm trái dấu  P     Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu   P      Để phương trình có hai nghiệm dương   P  S       Để phương trình có hai nghiệm âm   P  S    So sánh nghiệm x1 , x2 phương trình với các số ,  cho trước: Để phương trình có nghiệm x1 , x2 thõa mãn:    x1    x2   a f ()    x1    x2   a f ()       x1  x2    a f ()  S   2       x1  x2  a f ()  S   2   a f ()     x    x  a f ()    S      a f ()   x1    x2    a f ()   S      a f ()     x1  x2    a f ()      S       x1      x2  a f ()  a f ()   Chú ý: Nếu đề có dấu “=” thì ta thêm dấu ”=” tương ứng các điều kiện  Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên TXD hay khoảng nào đó sau đây:  a, b  ,  a, b ,  a,   ,  a,   ,  , b  ,  , b  Phƣơng pháp chung: (nên dùng cách tìm min, max)  Dựa vào tính chất đồ thị hàm số suy luận  Quy bài toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với các số cho trước đây là các số a, b các khoảng đó Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  mx   3m   x Xác định m để hàm số đồng biến trên R Giải: Do a   nên để hàm số đồng biến trên R thì đồ thị hàm số không có cực trị  y '  có nghiệm kép vô nghiệm Ta có y '  x  2mx  3m  ' Để hàm số đồng biến trên R   y '  m  3m     m  Vậy  m  Ví dụ 2: Cho hàm số y   m  1 x3  mx   3m   x Xác định m để hàm số nghịch biến trên R Giải: Để hàm số nghịch biến trên R thì a  và y '  có nghiệm kép vô nghiệm Ta có: y '   m  1 x  2mx  3m  Để hàm số nghịch biến trên R m  a  m  m     '     y '  m   m  1 3m    2m  5m   m   m   m Vậy m  Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  3x  6(m  1) x Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng  2,  Giải: Ta có: y '  x  x  6(m  1) Từ tính chất đồ thị, a  để hàm số có khoảng nghịch biến thì đồ thị hàm số phải có cực đại và cực tiểu Gọi các điểm cực trị là x1 , x2 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng  x1 , x2  Vậy để hàm số nghịch biến trên  2,  thì x1  2   x2   4m      a f (2)   6(m  3)   m  3 a f (0)  6(m 1)    Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  x  6mx Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2,   Giải: Ta có: y '  x  x  6m Từ tính chất đồ thị, a  để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp: + TH1: Hàm số không có cực trị      36m   m  suy hàm số đồng 36 biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng  2,   + TH2: Hàm số có cực trị    Gọi các điểm cực trị là x1 , x2 thì hàm số đồng biến trên các khoảng  , x1  ,  x2 ,   Để hàm số đồng biến trên  2,   thì x1  x2    m     36   14  a f (2)   6  28  6m      m  36 S   2   2  Vậy m   14 thì hàm số đồng biến trên khoảng  2,   Ví dụ 5: Cho hàm số y  xm x  4m a) Xác định các giá trị m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nó b) Xác định các giá trị m để hàm số nghịch biến trên 1,   Giải: Ta có TXD: D   ; 4m    4m;   và y '  3m  x  4m  a) Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nó thì y '  với x  D Có nghĩa là y '  3m  x  4m  0m0 Vậy m  thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nó b) Ta có m  thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nó là:  m  và  4 m,   Để hàm số nghịch biến trên 1,   thì 1,     4m,   Có nghĩa là 4m   m   Kết hợp với điều kiện để nghịch biến    m  Bài tập vận dụng: 1/Cho hàm số y  x  3x  mx  a) Xác định m để hàm số đồng biến trên R b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng     2/Cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2,   3/Cho hàm số y  mx  xm a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng   4/Cho hàm số y  x 1 Xác định m để: xm a) Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định nó b) Hàm số đồng biến trên khoảng  0,   5/Cho hàm số y  x  2mx  3m  Xác định m để a) Hàm số đồng biến trên  0,   b) Hàm số đồng biến trên  2,   c) Xác định giá trị m để hàm số đồng biến trên 1,  2 6/Cho hàm số y   x  2mx  m Xác định m để: a) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1,   b) Hàm số nghịch biến trên khoảng  1,  7/Cho hàm số y  x  3mx  3x  3m  Xác định giá trị m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng 1 8/Cho hàm số y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  Xác định các giá trị m để hàm số nghịch biến trên  2,   2 9/Cho hàm số y  x  3(2m 1) x  (12m  5) x  Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời trên khoảng    và  2,   10/Cho hàm số y  x  3x  (m  1) x  4m Xác định m để hàm số nghịch biến trên  1,1 11/Cho hàm số y  mx  2(m  1) x  (m  1) x  m Xác định m để: a/Hàm số đồng biến trên  , 0 b/Hàm số nghịch biến trên  2,   c/Hàm số đồng biến trên các khoảng  , 1   2;   10 II Cực trị:  Bài toán 1: Xác định m để hàm số đạt cực trị  Phƣơng pháp: Dựa vào tính chất đồ thị hàm số để suy luận  Tìm m để đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d  a  0  Có cực trị   y '   Không có cực trị   y '   Tìm m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c  a  0  Có cực trị: y '  có nghiệm phân biệt  Có cực trị: y '  có nghiệm  Chỉ có cực đại: y '  có nghiệm và a   Chỉ có cực tiểu: : y '  có nghiệm và a   Xác định m để hàm số: a   -Đạt cực đại x  xo   y '( xo )   y "( x )  o  a   -Đạt cực tiểu x  xo   y '( xo )   y "( x )  o  Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y  mx  3x  x có cực đại, cực tiểu Giải: Ta có: y '  3mx  x  (m  0) Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì   ' y '    3m   m  Vậy để hàm số có cực đại, cực tiểu thì m  3, m  Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  2mx  1, tìm m để: a) Có cực trị b) Có cực trị c) Chỉ có cực tiểu, không có cực đại Giải: Ta có: y '  x  4mx  x  x  m  x  Suy ra: y '    x  m 11 a) Để hàm số có cực trị thì y '  có nghiệm phân biệt  x2  m có nghiệm phân biệt  m  b) Để hàm số có cực trị thì y '  có nghiệm  x2  m vô nghiệm có nghiệm  m   c) Để hàm số có cực tiểu, không có cực đại thì a  và hàm số có cực trị a   m0 m   Ví dụ 3: Cho hàm số y  mx  x  1, tìm m để hàm số đạt cực đại x  Giải: Ta có: y '  4mx  x và y "  12mx  Để hàm số đặt cực đại x  thì : m  m  a      y '(1)   4m.1  2.1   m  1/  m   12m.12   m  1/  y "(1)     Vậy m    Bài toán 2: Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hệ thức hay yêu cầu hình học phẳng đề bài ( nhƣ tam giác, khoảng cách…)  Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Tìm điều kiện m để hàm số có cực đại, cực tiểu.(như bài toán 1)  Bƣớc 2: Dựa vào yêu cầu đề bài suy phương trình theo m Giải tìm m  Bƣớc 3: So sánh m tìm với điều kiện bước kết luận  Đối với hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d Ta thấy: xCD , xCT chính là nghiệm y '  nên ta sử dụng hệ thức Viet để giải dạng toán này  Đối với trùng phƣơng : y  ax  bx  c Ta thấy: xCD , xCT chính là nghiệm y '  , ngoài nghiệm x  thì hai nghiệm còn lại ta có thể tính Nên dạng này ta làm thủ công: rút trực tiếp 12 x3 Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y   mx  x có cực đại, cực tiểu x1 , x2 và các 2 điểm cực đại cực tiểu thõa mãn: x1  x2  Giải: Ta có: y '  x  2mx  Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y '  có nghiệm phân biệt:  'y '   m2    m  1  m  (*)  x1  x2  2m Áp dụng Viet cho y '  :   x1 x2  2 2 Theo đề: x1  x2   ( x1  x2 )  x1 x2   (2m)  2(1)   m   m   So sánh với (*) ta nhận giá trị m Vậy m   thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví dụ 2: Xác định m để hàm số y  x  2mx  m có cực đại cực tiểu và điểm cực đại cực tiểu lập thành tam giác vuông Giải: Ta có: y '  x  4mx  x  x  m  x  y '   x( x  m)    x  m Để hàm số có cực đại cực tiểu thì y '  có nghiệm phân biệt  x2  m có hai nghiệm phân biệt khác  m  x  x  y '     Với m  thì  x  m x   m 2 Gọi A, B, C là ba điểm cực trị với A  (0, m) ; B  ( m , m  m ) ; C  ( m , m  m ) Do đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung nên tam giác ABC cân A Nên ABC là tam giác vuông thì vuông A Ta có: AB     m , m2 ; AC   m , m2  Do tam giác ABC vuông A: 13  AB  AC  AB AC   m ( m )  (m2 )(m2 )   m  0(l )  m  m4   m(m3  1)     m  1(n) Vậy m  thỏa yêu cầu bài toán Bài tập vận dụng: 1/ Cho hàm số y  x  x  1  m  x  m Xác định m để hàm số: a) Không có cực trị b) Có cực trị x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x1  x2  4x1x2 c) Có cực trị x1 , x2 thỏa mãn hệ thức 1   3x1 x2 x1 x d) Có cực trị x1 , x2 thỏa mãn hệ thức  3x1 x2  1   3x1  3x2 2 1/ Cho hàm số: y  x  (m  m  2) x  (3m  1) x  m  a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu x  2 2/Cho hàm số: y  (1  m) x  mx  2m  ( m  1) a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Xác định m để hàm số có cực trị c) Xác định m để đồ thị hàm số có cực tiểu và không có cực đại 3/Cho hàm số: y  x  mx  (m  6) x  (2m  1) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ hai điểm cực trị trái dấu 2 4/ Cho hàm số: y  x  2m x  Xác định m để: 2 a) Hàm số có cực trị x1 , x2 , x3 thỏa mãn hệ thức x1  x2  x3  b) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và ba điểm đó lập thành tam giác 5/ Cho hàm số: y  x  mx  x  m  a) Chứng minh hàm số luôn có cực trị b) Xác định m để khoảng cách hai điểm cực trị nhỏ 14 III Tiếp tuyến:  Lý thuyết:  Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm M  xo ; yo   (C) có dạng: y  f '( xo )( x  xo )  yo với: yo  f ( xo )  Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị: Cho hàm số: y  f ( x) có đồ thị (C) y  g ( x) có đồ thị (C‟) Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc là hệ sau có nghiệm:  f ( x)  g ( x) (*)  f '( x )  g '( x )   Số nghiệm hệ (*) là số tiếp điểm hai đồ thị  Hệ vô nghiệm thì hai đồ thị không tiếp xúc  Bài toán 1: Liên quan đến tiếp tuyến điểm M  xo ; yo   (C) :  Phƣơng pháp chung:  Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến M có dạng : y  f '( xo )( x  xo )  yo  Bƣớc 2: Dựa vào giả thuyết bài toán ta tìm xo  Bƣớc 3: Kết luận theo yêu cầu đề bài  Các kiến thức liên quan:  Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b thì f '  xo   a  Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b thì a f '  xo   1 Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  a) Tại điểm có hoành độ 1 b) Tại điểm có tung độ c) Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y  3x d) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  Giải: 15 a) Với xo  1  yo  f (1)  9 Ta có: y '  f '( x)  12 x 12 x Suy ra: f '(1)  24 Vậy tiếp tuyến điểm có hoành độ 1 có phương trình: y  f '(1)( x  (1))  (9) y  24( x  1)  y  24 x  15  xo   b) Với yo   x  x     xo   o o Khi xo  0, yo   f '  xo   Phương trình tiếp tuyến là: y   x  0   y  Khi xo  , yo   f '  xo   Phương trình tiếp tuyến là: 3 25  y   x     y  9x  2  c) Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y  f '( xo )( x  xo )  yo Do tiếp tuyến song song đường thẳng y  3x nên f '  xo   3  12 xo2  12 xo  3  xo  Với xo  1   yo  Phương trình tiếp tuyến là: y  3  x     y  3x  2 2  d) Tương tự, Do tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  nên: 1  f '  xo   1  12 xo2  12 xo   xo    xo  2 1  Với xo    yo  1 Phương trình tiếp tuyến là: y   x     y  x  2 2  Với xo  3 25   yo  Phương trình tiếp tuyến là: y   x     y  x  2 2  16 2x 1 (C ) Tìm điểm M  (C ) để tiếp tuyến (C ) M x 1 cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B thỏa mãn OA=OB Ví dụ 2: Cho hàm số : y  Giải: Gọi tiếp tuyến M ( xo ; yo ) là đường thẳng d có dạng: y  f '( xo )( x  xo )  yo (1) Ta có: y '  1 1  f '( x)  f '( xo )  ( xo  1)2 ( x  1) Ta có phương trình tiếp tuyến : y   Gọi  xo  1 ( x  xo )  xo  xo  A  (d )  Ox  A   xo2  xo  1;0   OA  xo2  xo   2x2  2x   xo2  xo  o o B  (d )  Oy  B   0;   OB  2   x     xo  1 o   Theo đề thì: OA  OB  x  xo   o  xo2  xo   xo  1 2 Do A, B  O  xo  xo    xo   x  2  xo  1  o Vậy các điểm M cần tìm là: (0;1) và (2;3)  Bài toán 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) biết tiếp tuyến qua điểm A( xA; y A) Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến qua A( xA ; y A ) là đường thẳng (d) có dạng: y  k ( x  xA )  y A  Bƣớc 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc:  f ( x)  k ( x  x A )  y A   (d) tiếp xúc (C)  f '( x)  k  Bƣớc 3: Giải tìm k suy tiếp tuyến cần tìm Nhận thấy khác biệt tiếp tuyến điểm M  xo ; yo  và tiếp tuyến qua điểm M Tiếp tuyến M thì có đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường 17 Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x  3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến © biết tiếp tuyến qua điểm A 1, 2  Giải: Gọi tiếp tuyến qua A 1, 2  có phương trình  d  : y  k ( x  1)  k  x  1   x3  3x  k  3x  Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:   3x  3  x  1   x3  3x 2 x3  3x    x   x      2 k  x   k  x     k  3x  Với x   k  Phương trình tiếp tuyến là: y  0( x 1)   y  2 9 Với x    k   Phương trình tiếp tuyến là: y   ( x  1)   y   x  4 4 x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp x 1 tuyến qua giao điểm đồ thị và trục hoành Ví dụ 2: Cho hàm số y  Giải: Giao điểm (C) và trục hoành có tọa độ  2,  Gọi tiếp tuyến qua  2,  có phương trình  d  : y  k ( x  2) Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm: x2  k  x    x    k    x  1  3 x  2 x     3x  3  x  1   x3  3x x    x  1  x      k  3x  k  k   x     Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y 1  x  2  y  x  3 18 Bài tập vận dụng: 1/Cho hàm số: y   x  3x  a) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ -1 c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song đường thẳng: y  9 x d) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x 3 2/Cho hàm số: y  2x 1 x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm đồ thị với trục tung b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y  3x  3/Cho hàm số: y  x  3x  a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(0,3) b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) điểm cách hai trục tọa độ 4/Cho hàm số: y  x  3x  m  (C) m: tham số M là điểm thuộc (C) có hoành độ Xác định m để tiếp tuyến (C) điểm M qua điểm A(3,2) 5/Cho hàm số y  2x (C) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm © và trục Oy b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox A, Oy B cho tam giác OAB cân O 6/Cho hàm số: y  x  mx  Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành 7/Cho hàm số: y  x2 (C) x2 a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b/Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận A và B cho MA=MB 19 IV Giao điểm hai đồ thị:  Lý thuyết: Cho hàm số y  f ( x) và y  g ( x) Số giao điểm hai đồ thị là số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)  g ( x)  Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình: f ( x)  g (m)  Phƣơng pháp chung:  Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  Số nghiệm phương trình f ( x)  g (m) là số giao điểm hai đồ thị:  y  f ( x)  Với y  g (m) là đường thẳng song song Ox  y  g ( m)  Đặc biệt:  Đồ thị hàm số y  f ( x) : Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta bỏ phần đồ thị nằm Ox, lấy đối xứng phần đó qua Ox  Đồ thị thàm số y  f  x  : Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta bỏ phần đồ thị nằm bên trái Oy, lấy đối xứng phần còn lại qua Oy Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3x  a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3  3x2  m  Giải: a) Khảo sát ta đồ thị: -2 -1 -2 20 b) Ta có x3  3x2  m   x3  3x2    m Số nghiệm phương trình x3  3x2  m  là số giao điểm hai đồ thị:  y  x3  3x   Với y   m là đường thẳng song song Ox y  2 m Dựa vào đồ thị ta có: + Nếu  m   m  thì y   m cắt (C) điểm + Nếu  m  2  m  thì y   m cắt (C) điểm + Nếu  m   m  thì y   m cắt (C) điểm + Nếu  m  2  m  thì y   m cắt (C) điểm + Nếu 2   m    m  thì y   m cắt (C) điểm Kết luận: + Nếu m  m  phương trình (1) có nghiệm + Nếu m  m  phương trình (1) có nghiệm + Nếu  m  phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  3x (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Xác định m để phương trình sau có đúng nghiệm phân biệt: x  3x  m c) Xác định m để phương trình sau có đúng nghiệm phân biệt: x  x  m  Giải: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: -2 -1 -2 -3 21 b) Ta có x  3x  m Số nghiệm phương trình x  3x  m là số giao điểm hai đồ thị:  y  x3  3x   y  m Với y  m là đường thẳng song song Ox 3 Ta có đồ thị hàm số y  x  3x Từ đồ thị hàm số y  x  3x ta bỏ phần đồ thị nằm Ox, lấy đối xứng phần đó qua Ox Ta được: -2 -1 -2 Dựa vào đồ thị để phương trình x  3x  m có đúng nghiệm phân biệt thì đường thẳng y  m cắt đồ thị y  x3  3x điểm phân biệt   m  Vậy   m  thì phương trình x  3x  m có nghiệm phân biệt c) Ta có x  x  m   x  x  m 3 Số nghiệm phương trình x  x  m  là số giao điểm hai đồ thị:  y  x  x   y  m Với y  m là đường thẳng song song Ox Ta có đồ thị hàm số y  x  x Từ đồ thị hàm số y  x  3x ta bỏ phần đồ thị nằm bên trái Oy, lấy đối xứng phần còn lại qua Oy Ta được: 22 -2 -1 -2 Dựa vào đồ thị để phương trình x  x  m  có đúng nghiệm phân biệt thì đường thẳng y  m cắt đồ thị y  x  x  m điểm phân biệt  m    m  Vậy m   thì phương trình x  x  m  có nghiệm phân biệt  Bài toán 2: Bài toán giao điểm đồ thị và đƣờng thẳng  Giao điểm đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d và đƣờng thẳng y  kx  m Phƣơng pháp chung:  Bƣớc 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm  Bƣớc 2: Sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích: ( x   )  ax  Bx  C   (1)  Bƣớc 3: Khi đó hoành độ các giao điểm là nghiệm x    (1)   ax  Bx  C  0, g ( x)  Bƣớc 4: Dựa vào đề bài mà ta suy các điều kiện tương ứng Chú ý: Sử dụng Viet cho phương trình ax2  Bx  C  bài toán này Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y  mx  x  x  8m cắt trục hoành điểm phân biệt Giải: Ta có PTHDGD: mx3  x2  x  8m  (*) 23  ( x  2)  mx2  (2m  1) x  4m   x  2   mx  (2m  1) x  4m    g ( x) Để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt thì phương trình (*) có nghiệm phân biệt  g ( x)  mx2  (2m  1) x  4m  có nghiệm phân biệt khác 2    m  12m  4m          g (2)  2  12m  m   1 Vậy   m   m  6  Giao điểm đồ thị hàm số y  ax  b và đƣờng thẳng y  kx  m cx  d Phƣơng pháp chung:  Lập phương trình hoành độ giao điểm  Dựa vào yêu cầu đề bài và tính chất đồ thị hàm số để suy bài toán bậc  Sử dụng Viet Ví dụ: Cho hàm số y  x 1 (C) x 1 Tìm m để đường thẳng y  mx  cắt đồ thị (C) điểm thuộc hai nhánh đồ thị Giải: Ta có PTHDGD: x 1  mx  x 1  mx2  mx   (1)  x  1 Ta thấy hai nhánh đồ thị (C) phân chia tiệm cận đứng x  nên đường thẳng y  mx  cắt (C) điểm thuộc nhánh có hoành độ x1 , x2 thì x1   x2 m2  8m    m  8  m     a f (1)   m(2)    m0 m   a    m  Vậy m  thõa mãn yêu cầu bài toán 24 Bài tập vận dụng: 1/Cho hàm số y  x  (m  3) x  mx   Cm  a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) m  b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3  3x2   m c) Xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt d) Xác định m để phương trình sau có nghiệm x x  m 3 x x m e) Xác định m để  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt f) Xác định m để  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương 2/Cho hàm số y  x 1 (C) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x 1 m x 1 c) Xác định m để phương trình sau vô nghiệm x   m  x  1 3/Cho hàm số y  x  x  a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4  x2  m  c) Xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x  x   m 2/Cho hàm số y  x  mx  m Xác định m để đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt: a) Có hoành độ lớn b) Có hoành độ lập thành cấp số cộng 3/Cho hàm số y  x  3x  Gọi (d) là đường thẳng qua A  3, 20  có hệ số góc là m Tìm m để (d) cắt đồ thị tai điểm phân biệt 4/Cho hàm số y  x  (3m 2) x  3m a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt 25 b) Xác định m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị điểm phân biệt 5/Cho hàm số y  x  mx  m  Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc trục Ox x2 (C) Xác định m để đường thẳng y  mx  m  cắt (C) điểm 2x 1 phân biệt thuộc nhánh đồ thị 6/Cho hàm số y  7/Cho hàm số y  2x 1 (C) và đường thẳng (d) y  2 x  m x 1 a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (C) điểm phân biệt b) Xác định m để (d) cắt (C) điểm A, B cho diện tích tam giác OAB 9/Cho hàm số y  x  2(2m  1) x  4m Xác định m để đồ thị cắt Ox điểm x1 , x2 , x3 , x4 2 2 thỏa mãn x1  x2  x3  x4  17 10/Cho hàm số y  x 1 (C) Xác định m để y   x  m cắt (C) điểm A, B cho độ dài x2 AB nhỏ 2x 1 Xác định k để đường thẳng y  kx  k  cắt (C) điểm A, B x 1 cho khoảng cách từ A đến Ox khoảng cách từ B đến Oy 11/Cho hàm số y  V Các bài toán liên quan đên hình học phẳng đơn giản:  Dạng toán: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y  f ( x) thỏa mãn yêu cầu đề bài Phƣơng pháp chung:  Gọi điểm cần tìm có tọa độ  a, f (a)   Dựa vào giả thuyết suy phương trình theo a Giải tìm a  Các công thức liên quan:  Khoảng cách điểm M   xo , yo  và đường thẳng  : ax  by  c  tính công thức: d  M ,   axo  by  c a  b2  Điểm M cách hai trục thì xM  yM  xM   yM 26 Ví dụ 1: Cho hàm số y  x2 (C) Tìm trên (C) điểm M cách hai trục tọa độ x 1 Giải:  m2 Gọi điểm M thuộc (C) có tọa độ M   m,   m 1  Do M cách hai trục tọa độ nên: m  m2 m 1 m2  m  m   m2  2    m  1  m  m    m  2m    m 1    Vậy M  1  3; 5 3 , M  1  3; 5 3 Ví dụ 2:A-2014: Cho hàm số y   x2 (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho khoảng x 1 cách từ M đến đường thẳng y   x Giải:  m2 Gọi điểm M thuộc (C) có tọa độ M   m,   m 1  Theo đề khoảng cách từ M đên đường thẳng x  y   d M ,   m m2 m 1 12  12  m2   2 m 1  m2   m 1  m    m  m     m  Vậy M   0; 2 , M  2;4  27 Các bài toán các kì thi: TNTHPT-2014: Cho hàm số y  2 x  (C) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) và đường thẳng y  x  3 TNTHPT-2013: Cho hàm số y  x  3x  a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Viêt phương trình tiếp tuyến (C) biết hệ số góc tiếp tuyến TNTHPT-2012: Cho hàm số y  x  2x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ xo biết f " xo   1 TNTHPT-2011: Cho hàm số y  2x 1 2x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Xác định tọa độ giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng y  x  B-2014: Cho hàm số y  x  3mx  Cho điểm A  2,3  Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C cho tam giác ABC cân A D-2014: Cho hàm số y  x  3x  (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc A-2013: Cho hàm số y   x  3x  3mx  Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng  0,   D-2013: Cho hàm số y  x  3mx  (m  1) x  Tìm m để đường thẳng y   x  cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt D-2012: Cho hàm số y  x  mx  2(3m2  1) x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 3 và x2 cho x1 x2  2( x1  x2 )  D-2011: Cho hàm số y  2x 1 Tìm k để đường thẳng y  kx  2k  cắt đồ thị hàm số hai x 1 điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành 28 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Lý thuyết: Cho hàm số y  f  x  xác định trên D f  x  m Nếu f  x   m x  D thì xD f  x  M Nếu f  x   M x  D thì max xD Bài Toán: Tìm Giá Trị Lớn Nhất- Giá Trị Nhỏ Nhất hàm số y  f  x  trên  a, b , a, b  ,  a, b ,  a, b  với a, b là các số thực  :  Bƣớc 1: Tìm tập xác định D suy hàm số liên tục trên  a, b ,  a, b  ,  a, b ,  a, b   Bƣớc 2: Tìm đạo hàm y '  f '  x  cho y '  tìm các nghiệm xi f  x  ,lim f  x   Bƣớc 3: Tính các giá trị f  xi  , f  a  , f  b  lim x a x b  Bƣớc 4: Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên để suy Giá Trị Lớn Nhất-Giá Trị Nhỏ Nhất ( Nếu có) hàm số Tìm Giá Trị Lớn Nhất- Giá Trị Nhỏ Nhất hàm số y  f  x  :  Bƣớc 1: Tìm tập xác định D  Bƣớc 2: Tìm đạo hàm y '  f '  x  cho y '  tìm các nghiệm xi  Bƣớc 3: Tìm cực trị và giới hạn ( Nếu có)  Bƣớc 4: Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên để suy Giá Trị Lớn Nhất-Giá Trị Nhỏ Nhất ( Nếu có) hàm số Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x   x với x  0,1 Giải: Tập xác định: D   ,1 Suy hàm số liên tục x  0,1 Ta có: y '   1    x   1 x   x  , y'   4 1 x 1 x 3 Ta tính được: f    ; f    1; f 1  4 29 So sánh ta suy GTLN hàm y  f  x  là x  4 GTNN hàm y  f  x  là x   x  Chú ý : Với việc xét GTLN-GTNN hàm số trên đoạn  a, b thì ta không cần lập BBT Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN có hàm số y  x3  x  x  với x  1,   Giải : Tập xác định D=R suy hàm số liên tục trên 1,   x  y '   y '  x  12 x  Ta có : , x   y   Ta tính : f 1  , f  3  4 , xlim  Bảng biến thiên : x y‟ y     4 Dựa vào bảng biến thiên suy GTNN hàm số là 4 x  và hàm không có GTLN Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x x 1 Giải : Tập xác định D  0,   Ta có : y '   x2 x  x  1 x  Ta tính : f 1  , y   x  1  x  1 y0 , f    và xlim  Bảng biến thiên : 30 x  y‟   0 y Dựa vào bảng biến thiên suy : GTNN hàm số là x  GTLN hàm số là x  Bài tập : 1) Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x3  3x trên đoạn  1; 2 2) Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x  trên khoảng 1,   x 1 3) Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x  trên khoảng  ,  x 4) Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x  x trên đoạn  1, 4 5) Tìm GTLN-GTNN hàm số y   x   x 2 6) Tìm GTLN-GTNN hàm số f  x   x  x  x  x 7) Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x   x ln x trên đoạn 1, 2 8) Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x  ln 1  x  trên đoạn  2, 0 9) Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x  trên đoạn  2, 4 x x 10 ) Tìm GTLN-GTNN hàm số y  x  x  e trên đoạn  1;1 31 LƢỢNG GIÁC A Các công thức:  Giá trị các cung đặc biệt: Góc (  )      sin  2 cos  2 2 1 tan  3 Ko xđ cot  Ko xđ 1 Ko xđ  Giá trị lƣợng giác các góc có liên quan đặc biệt: Hai góc đối Hai góc bù sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )   cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot  Hai góc phụ   sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2  Hai góc kém  sin(   )   sin  cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot    cot      tan  2  32  Công thức lƣợng giác bản: cot   cos2   sin   1  tan   cos  tan   cot   sin  cos(  k 2 )  cos  sin(  k 2 )  sin  tan(  k )  tan  cot(  k )  cot   Công thức cộng: cos  a  b   cos a cos b sin a sin b sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b tan  a  b   tan a  tan b tan a tan b  Công thức nhân đôi: cos 2  cos2   sin   2cos2  1   2sin  sin 2  2sin  cos  tan 2  tan   tan  cos    cos 2  Công thức hạ bậc: sin    cos 2  Công thức nhân ba: sin 3  3sin   4sin3  cos3  4cos3   3cos   Công thức biến tích thành tổng: cos x cos y  cos( x  y)  cos( x  y) sin x sin y   sin x cos y  cos( x  y)  cos( x  y) sin( x  y)  sin( x  y)  Công thức biến tổng thành tích: 33 cos x  cos y  2cos x y x y cos 2 cos x  cos y  2sin sin x  sin y  2sin x y x y cos 2 sin x  sin y  2cos x y x y sin 2 x y x y sin 2 B Phƣơng trình lƣợng giác: I Công thức nghiệm:  Công thức nghiệm:  cos x  cos y  x   y  k 2  x  y  k 2  sin x  sin y    x    y  k 2  tan x  tan y  x  y  k  cot x  cot y  x  y  k  Các phƣơng trình đặc biệt:   k cos x   x  k 2 cos x   x  cos x  1  x    k 2 sin x   x  k sin x   x    k 2 sin x  1  x     k 2  Phƣơng trình bản:  sin x  a cos x  a  Nếu: a  phương trình vô nghiệm  Nếu: a  phương trình có nghiệm  Thay a  cos  , a  sin  sử dụng công thức  tan x  a cot x  a  Đặt điều kiện cho x  Thay a  tan  , a  cot  sử dụng công thức 34 II Các dạng toán: Phƣơng trình bậc theo sinx, cosx: a sin x  b cos x  c  Điều kiện để phƣơng trình có nghiệm: a  b2  c2 a  b2  Chia hai vế phƣơng trình cho Pt  a a  b2 b sin x  a  b2 cos x  c a  b2 a   cos    a  b2 Đặt :  b   sin  2   a b Pt  cos  sin x  sin  cos x   sin( x   )  c a  b2 c a  b2  Các dạng quen thuộc:     sin x  cos x  2sin  x    2cos  x  6 3       cos x  sin x  2cos  x  2sin    x 6  3      sin x  cos x  sin  x     cos  x  4 4   Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x cos x  cos x  Giải: Ta có: sin x cos x  cos x   sin x  cos x       x    k 2 x   k         sin  x     sin  x       6 6    x        k 2  x  5  k  12  Vậy phương trình có nghiệm x    k  x  5 k  12 35 Đặt ẩn phụ: a Phƣơng trình bậc 2-3 theo hàm số lƣợng giác: sin x  Đặt t   cos x Điều kiện 1  t  3cos x  5sin x   Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Ta có : 3cos x  5sin x    1  2sin x   5sin x    6sin x  5sin x  11  Đặt t  sin x  1  t  t  Pt  t  5t  11     t 1 t   11 (l )  Suy ra: sin x   x    k 2  (  1) tan x   cos2 x Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Ta có:  (  1) tan x    tan x   cos x    tan x   Đặt t  tan x  t  R Pt  t     1 t    t  Với t   tan x   x    t   1 t     t     k Với t     tan x     tan   x    k Vậy phương trình có nghiệm x    k , x    k (với tan    ) 36 b Phƣơng trình đối xứng theo sinx, cosx  Phƣơng trình chứa: sin x  cos x và sin x cos x t 1  Đặt: t  sin x  cos x  sin x cos x  ; Điều kiện:   t  2 1 t2 ; Điều kiện:   t   Đặt: t  sin x  cos x  sin x cos x  Ví dụ 1: Giải phương trình: 6(sin x  cos x)  sin x cos x   Giải: Đặt t  sin x  cos x  t   2sin x cos x Điều kiện:   t  t  1 t2 Pt  6t     t  12t  13    t  13(l )     Suy t   sin x  cos x   sin  x     sin  x    4 4       x    k 2   x   k 2 4     x        k 2  x    k 2  4 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3sin x  2sin x  3cos x  3 Giải: Ta có: 3sin x  2sin x  3cos x  3   sin x  cos x   4sin x cos x   Đặt t  sin x  cos x  t   2sin x cos x Điều kiện:   t  t  1 Pt  t   t  1    t  3t     t    2   x    k 2    Với t  1  sin x  cos x  1  sin  x      4   x    k  Với t    x    k 2 1    sin x  cos x    sin  x      sin   2 4 2   x      k 2  Vậy phương trình có nghiệm x    k 2, x    k , x   k , x     k  37 Phƣơng trình tích: A  A.B    B   Các nhân tử chung bản:  Nhân tử: sin x  cos x  sin x   sin x  cos x   tan x  cos x   cos x  sin x  cos x  sin x  sin x  cos x cos x  cot x    sin  x     sin x  cos x  4   Nhân tử:   cos  x     sin x  cos x  4  sin x  cos x hay cos x  sin x  sin x   sin x  cos x   tan x  cos x   cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x  cot x  1  cos x 1  cos x  sin x  1  cos x 1  cos x   Nhân tử: sin x  cos x sin x   cos  x     cos x  sin x  4    sin  x     sin x  cos x  4   Nhân tử: sin x  cos x sin x tan x  1  cos x 1  cos x  cos x 1  sin x 1  sin x  cos2 x  1  sin x 1  sin x  Ví dụ 1: Giải phương trình: cot x  1  sin x 1  sin x  sin x  2sin x  cos x 1  cos x   sin x Giải: 2 Ta có:  2sin x  cos x 1  cos x   sin x   2sin x  cos x 1  cos x    cos x   2sin x  cos x 1  cos x   1  cos x 1  cos x  cos x   1  cos x  2sin x  cos x  1    sin x  cos x   38  Giải tiếp ta nghiệm x  k 2, x      k 2 ( với cos    ) 2  4sin x  4cos x  sin x  2cos x  Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Ta có: Pt   sin x   sin x  cos x   2cos x    sin x  cos x    sin x  cos x    cos x  sin x  cos x  sin x     sin x  cos x  3cos x  sin x    sin x  cos x   3cos x  sin x    Đến đây các em tự giải tiếp thu nghiệm x    k 2, x      k  Ví dụ 3: Giải phương trình: cos3 x  cos2 x  5sin x   Giải: Ta có: Pt  cos2 x  cos x  1   sin x 1   1  sin x   cos x  1   sin x  1   1  sin x 1  sin x  cos x  1   sin x  1   1  sin x  sin x  cos x  sin x cos x    sin x   sin x  cos x  sin x cos x   Đến đây tự giải tiếp ta nghiệm x  Ví dụ 4: Giải phương trình:   k 2  2cos x 1 2sin x  cos x   sin x  sin x Giải: Ta có : Pt   2cos x  1 2sin x  cos x   2sin x cos x  sin x   cos x  1 2sin x  cos x   sin x  cos x  1   cos x  1 sin x  cos x    cos x    sin x  cos x  Giải tiếp ta nghiệm x      k 2, x    k2  39 C Các hƣớng đánh giá biến đổi phƣơng trình lƣợng giác: Đối với việc giải phƣơng trình lƣợng giác thƣờng có nhiều cách và các bài toán lƣợng giác đề thi càng ngày càng đơn giản Chỉ cần nắm vững các biến đổi là đƣợc nhƣng ta đánh giá đƣợc đặc biệt bài toán thì giải nó gọn gàng Sau đây là vài định hƣớng giải Phƣơng Trình Lƣợng Giác:  Bài toán chứa mũ bậc chẵn theo sinx, cosx: Hạ bậc biến đổi sin x  cos4 x   cos2 x  sin x   2sin x cos2 x   2sin x cos x sin x  cos6 x   sin x  cos2 x  sin x  sin x cos2 x  cos4 x    3sin x cos2 x  Bài toán chứa nhiều số hạng x nhƣ: x, 2x, 3x, 4x, 5x, …  Nếu cho dạng tổng thì ta biến tổng thành tích để đặt nhân tử chung  Nếu cho dạng tích thì ta biến tích thành tổng để rút gọn  Nhóm hạng tử cho các số hạng x tỉ lệ  Nếu chứa các số hạng x, 2x, 3x thì ta dùng công thức nhân đôi, nhân ba  Bài toán chứa số hạng x và k ; chứa x, riêng k thì ta đưa  Bài toán có chứa  Biến đổi thành k k ; thì ta sử dụng công thức để đưa    x   tách để xuất sin x  cos x 4  3; : sin   cos  hay cos   sin  đưa phương trình  Nhóm thừa số chung tương ứng với giá trị chứa 3; để đưa phương trình tích  Bài toán chứa số hạng tự : Hướng biến đổi là làm triệt tiêu số hạng tự do, không triệt tiêu thì ta nghĩ đến đặt ẩn phụ nhóm nhân tử chung Thường thì số hạng tự là 1: ta dùng các công thức sau để triệt tiêu 1  sin x   sin x  cos x  2cos2 x   cos x  2sin x  cos x  cos x  2cos2 x  cos x  2sin x 40 Bài tập: x x  1)  sin  cos   cos x  2 2  2) cos3x  cos x  cos x 1  3) sin x  4cos x   2sin x 4)  sin  2cos x    sin x 5) 2 sin x  tan x  6)     sin 3x  cos  x    sin  x   4 4       4 7) cos x  sin x  cos  x   sin  3x     4  4  8) 2sin x 1  cos x   sin x   2cos x 9) cos5x  2sin 3x cos x  sin x  10) 3   tan x  sin x  cot x  sin  x     11) sin 3x  cos2 x  sin 5x  cos2 x 12) cot x  tan x  4sin x  13) 5sin x   3(1  sin x) tan x 14)  sin x  cos x  sin x  cos x  15) x  cot x  sin x 1  tan x tan   2  16) 2sin 2 x  sin x 1  sin x 17) sin3 x  cos3 x  sin x cos x  sin x cos x 18) sin x  cos x sin x  cos3x  2(cos x  sin x) 19)  sin x  cos x  cos x  2cos x  sin x  20) sin x cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x 21) cos x  sin x cos x  cos x  sin x   sin x  41 22) sin 5x  2cos2 x  23)  sin x  2cos x    sin x 24) sin x  cos x  2cos x  25)    tan x  2 sin  x   4  26) sin x  4cos x   sin x 27) 2cos2 x  2cos2 x   4cos x sin 2 x 28) 2cos x  8cos x   cos x Mới từ đề mẫu bộ: 1) Cho góc  thỏa mãn  tan      và sin   Tính A   tan  2) Cho góc  thỏa mãn     3 cot  và sin    Tính A   tan  3) Cho góc  thỏa mãn     cot   tan  và cos   Tính A  cot   tan  tan   sin   4) Cho góc  thỏa mãn     và sin   Tính A  cot   cos  5) Cho sin   cos   Hãy tính giá trị các biểu thức: a) A  sin  cos  b) B  sin   cos  c) C  sin3   cos3  6) Cho tan   cot   Hãy tính giá trị các biểu thức: a) A  tan   cot  b) B  tan   cot  c) C  sin   cos  42 PHƢƠNG TRÌNH BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Mũ và Lũy Thừa: Tính chất: a x a y  a x  y n ax  a x y y a n a  x y a na  n b b    a xy a x b x   ab  ax  a    bx  b  a n b  n ab n x a m n x k  n ak a  m.n a m n a  n am    n m a n a na Hệ : Tính chất bất đẳng thức : + Với a  : ax  a y  x  y + Với  a  : ax  a y  x  y + Với  a  b : a x  bx  x  a x  bx  x  Logarit Định nghĩa: Cho  a  1, b  đó tồn số thực  cho a  b Số  đó gọi là logarit số a b Kí hiệu : log a b Có nghĩa : log a b    a  b Điều kiện để log a b có nghĩa :  a, a  1và b  Logarit tự nhiên và logarit thập phân : + Logarit tự nhiên : ln x  loge x n  1 Với e  lim     2, 718281828 x   n + Logarit thập phân : lg x  log x  log10 x 43 Các tính chất logarit : Tính chất đẳng thức : Cho a  0, a   log a  và log a a   log a x y  log a x  log a y Mở rộng : log a x1 x2 xn  log a x1  log a x2   log a xn Hệ : log a a N  N Đk : xi  log a x M  M log a x  log a  Hệ : x  log a x  log a y y log a b  log c b log a c log a x N log aM b N  Đk : x, y  hay log a c.logc b  log a b  logb a log a b  log a N x  Hệ ; Đk : x  N log a b M Đk : b, c  0, c  Đk : b  0, b  Đk : x  Đk : x  log b  a a b log x log a  a b x b Tính chất cho bất đẳng thức : : log a x  log a y  x  y + Với  a  : log a x  log a y  x  y + Với a  44 HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT x A Hàm số mũ: y  a (a  0, a  1) Đạo hàm: Hàm mũ Hàm hợp (e x ) '  e x (eu ) '  u'.eu (a x ) '  a x ln a (au ) '  u '.au ln a ex 1 lim 1 x 0 x Giới hạn: Tính chất và đồ thị:  Tập xác định : D=R  Tập giá trị : T  (0; )  Sự biến thiên : y '  a x ln a + Nếu a   y '  : hàm số đồng biến x + Nếu  a   y '  : hàm số ngịch biến   y’ x   y’ +  y y   0 1   Đồ thị: Luôn qua điểm  0,1 , 1, a ,  1,  a   Nhận y=0 làm tiệm cận ngang  a 1 a 1 y y 1 O x O x 45 Hàm số Logarit: y  log a x (a  0, a  1, x  0) Đạo hàm: Hàm hợp Hàm logarit (ln x) '  x (log a x) '  (ln u ) '  x.ln a u' u (log a u ) '  u' u.ln a ln(1  x) 1 x 0 x lim Giới hạn: Tính chất và đồ thị:  Tập xác định : D  (0; )  Tập giá trị : T=R  Sự biến thiên : y'  x.ln a + Nếu a   y '  :hàm số đồng biến x  y x +   y  y + Nếu  a   y '  : hàm số ngịch biến y    1)  Đồ thị: luôn qua ba điểm (1;0),( a;1),( ;  a  Nhận x=0 làm tiệm cận đứng a 1  a 1 y 1 O y x O x 46 Phƣơng trình, Bất phƣơng trình mũ và logarit: Đƣa cùng số: Mũ Logarit a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  f ( x)  log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x) a f ( x)  a g ( x) log a f ( x)  log a g ( x) Nếu a  :  f ( x)  g ( x ) Nếu  a  :  f ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)   f ( x)  Ví dụ 1: Giải các phương trình mũ sau: x2 x 3 a)  b) 3.2x1  5.2x  2x2  21 c) 2x1  3x  3x1  2x2 Giải: a) Ta có: x 2 x 3  43 x 2  x 3  21.2    x 3  26 x 5  x   x   x  b) Ta có: 3.2x1  5.2x  2x2  21  3.2.2x  5.2x  22.2 x  21  7.2 x  21  x   x  log c) Ta có: x x 1 3  x x 1 2 x2 2x 3x x x 2x 2 2 x x     2    x      3 27 3 3  x3 Ví dụ 2: Giải các phương trình: a) log  x  x   1 b) log x   log  x  x  c) 4log  x    log  x  1  2 Giải: 2 a) Ta có : log  x  x   1  log 61  x  x   1  log  x  x   47  x   x  x   x  x  x      x   x  2   x  x   x   x  2 x  x    x  x    x 1   b) Ta có điều kiện: x   x  x  x    Pt  log x  log 2  log  x  x   log x x  log  x  x    x  x 2  x  0(l )   x  3x    x  x  ( n)  2   x  2 x    c) Ta có điều kiện:   x  1   x  1  Pt  log 22  x    log 21  x  1   log  x    log x   2  log  x     log x   log  x    log  x    x   x    x     x  1 2  x  0(n)  3x  x     x   ( n)  Chú ý: Với bài toán biểu thức log có mũ chẵn thì đưa lũy thừa thì phải lấy trị tuyệt đối biểu thức để tránh trường hợp thiếu nghiệm giải Ví dụ 3: Giải các bất phương trình: 1 a)   2 x 1  x 1 b) ln  x  1  2ln x   c) log x   log  x  1 2 Giải: 1 a) Ta có:   2 x 1  x 1  21 x  x 1   x  x   x  x 1   x  1 b) Ta có điều kiện  x   Pt  ln  x  1  2ln x    ln  x  1  ln  x     ln  x  1 x      x  1 x     x  3x    x  3   x  3  Kết hợp điều kiện x  3  48 x   x0 c) Ta có điều kiện  2 x   Pt   log x   log  x  1  log  x  1   log x  log  x  1  log  x   2x 1  4x  x  Kết hợp điều kiện x  Bài tập: 1) Giải các phương trình mũ sau: x1  a) 27 x 27 x 3  c) 0.125 b) 232 x x2  5.1252 x 1 25 d) 2x2.5x2  23 x.53 x x x  32 x 1 e)  9.5   9.7 f)  g) log5  x      x  h) log5  x  1  2log5    x 1  i) 3log x  log x  j) log3 x  log9 3x  log 27 x  3x 2x 2x 3x x k) log  x  3  log  log  x  1  log  x  1 2 2 2) Giải các bất phương trình sau: 1 b)   2 x 1  x  a) 2 c)  e)  1 x 1 g) log x2  x    1 6 x  x2  x d)  1  2  4   x x  1 x 5  x 3  x   5x 1  5x  f) log3  x  8   log9 x  x  1  log2   x   1 5   h) 2log  x    log  x  1  log  x    log 2 2     i) log log  x  1     x 1 j) log5  3.5  10   x 49 Đặt ẩn phụ: Bài toán phƣơng trình có thể đƣa hàm số định:  f  a h ( x )  Đặt t  ah( x )  DK : t   f  log a h( x)  Đặt t  loga h( x)  DK : t  R  Đối với hàm mũ thì ta đưa tất cùng mũ cùng số  Đối với hàm logarit thì đưa tất cùng số Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) 4x  3.2x   b) 52 x 1  20.5x  52 c) 21 x  21 x 5 Giải: a) Đặt t  2x  4x  t  t  2x  t  x  Pt  t  3t      x  t  x  2  2 b) Ta có: 52 x 1  20.5x  25  5.52 x  20.5x  25   52 x  4.5x   2 2 Đặt t  5x  t  52 x  t  2 2 t  1(l ) Pt  t  4t      5x   5x   x   x  1 t  1 c) Ta có: Đặt t  x x  21 x   2 x  2 x 5 t 0 2 t  2 2 Pt  t    t   5t  t  5t       2 t  t   x 2 x   x 1   x 1  x  1(vn) Ví dụ 2: Giải các phương trình: a) log x  log x   b) log3 x  log x  c) 3log x  2log x  6log16 x Giải: a) Ta có điều kiện x  : log 22 x  log x3    log 22 x  3log x   50 Đặt t  log2 x  t  R  1 x t  1 log x  1  x   Pt  t  3t         t  log x  x      x  16 x  3 b) Điều kiện  : log3 x  log x   log3 x  2log x   log x  log3 x x  Đặt t  log3 x  t  R  x  31 log3 x  t  x  2 Pt  t    t  3t        x  t t   log3 x  x  x  x  x  x       c) Điều kiện x    x  1/  16 x    x  1/16 Pt   log x  log x  6 log16 x   3   log x log x log 16 x 3 3      log x log  log x log 16  log x log x  log x  log x Đặt t  log2 x  t  R 3     t   t    2t  t    3t  t   t 2t 4t  x   log x  1 t  1  t  4t       t  3 log x  3 x   Pt  So sánh với điều kiện nhận hai nghiệm x x Phƣơng trình đẳng cấp theo a , b : Nhận diện: Có thể phân tích các tất các số mũ phương trình hai số giống   x  Chia hai vế phương trình cho a n thường thì n=2,3 và a là số bé x b  Đặt t     DK : t  a 51 2.4x  6x  3.9x Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: x x x x x x x x x Nhận diện    ,  ,9    đưa theo ,3 2 x x x x Để dễ nhận xét ta biến đổi thành sau: 2.    3.  2 x x x x Đó là phương trình đẳng cấp bậc theo ,3 , ta chia vế cho    2x x 3  3 Pt         2  2 x 3 Đặt t     t  ta giải bài toán đơn giản 2 Chú ý:   x  Ở đây ta chia cho 2   x không nên chia cho , Vì sao?  Vì chia cho mũ có số bé thì ẩn phụ ta nhân có số lớn 1, để tránh các trường hợp sai sót sau x  Ngoài ta có thể giải cách chia vế cho x x Chia cho cái nào Ví dụ 2: Giải phương trình: 3.8x  4.12x 18x  2.27 x  Giải:     x x x x x x x x x x Nhận diện:  ,12  ,18  , 27  3 x x đưa theo ,3 Trước tiên ta phân tích phương trình thành: 3.23x  4.22 x.3x  2x.32 x  2.33x  x x Dễ thấy đó là phương trình đẳng cấp bậc theo ,3 x 3x Chia hai vế cho 3 đặt t    ta thu phương trình: 2  4.t  t  2.t  Bài toán giải 52 Bài toán liên hiệp: Ví dụ 1: Giải phương trình: (2  3) x  (2  3) x  Giải: x Suy (2  3)  x Đặt: t  (2  3)  t  2  3    2 t    Pt  t    t  4t      t t       x x x  t  2 x    x  1  2 Chú ý: Dạng toán mà số có dạng (a   b ) và (a   b ) với (a   b )(a   b )  Ta luôn đặt ẩn phụ t  (a   b ) f ( x ) (3  2) Ví dụ 2: Giải: x x  2(1  2) x x 1  Giải :   Với bài toán này ta thấy  2    Đặt : t    x x   3 2  x x  t2 Pt  t  2t   Với bài toán chứa thức dạng này ta biến đổi theo hƣớng ví dụ Bài tập : 1) Giải các phương trình: a) 4x  2.2x   b) 5.25x  6.5x   c) 52 x1  5x1  250 d) e) 3x  6.3 x   f) 5x2  51 x  30  g) i) x x2  x  10  4 2 2 x  x2  1  x 3x x x h) 5 x x x k) 9.4  5.6  4.9 1  36.3x x  1 x j) 3 x x 3 3 4 x x x l) 3.16  4.9  7.12 53 m) 3.25x2  5.9x2  8.15x2       3  2  o)  x q)  2  2  x  14 x x 6 n) 8x  18x  2.27 x p)  2  r)     x 2  4    x2  x 1 x  2 x  x 1   2  2) Giải các phương trình: a) log  x  1  log  x  1  2 c) log x   3log x  log  x /  e) log x  log x  0 2 b) log3 x  5log3 x  1 d) log x  log x  f) log 2  4log x   x log8 x log x  log x log16 x g) log x 64  log x2 16  h) i) 5log x x  log x  8log9 x2 x  x x j) log  4.3  6  log2   6  x x k) log3   8   x x l) log7     x  x x m) log3   1 log3  3.3  3  n) log3 x  log3 3x  3) Giải các bất phương trình sau: 1  2.3x 1  15  a) 52 x  5x  x b) c) 7 x  3.7 x1  d) 32 x  32 x  30 e) 3.9   2.4 2x  g)  2x   x x  2 x x f) 5.36  2.81  3.16  2x  x 4  h)   x 1   3  x  i) 4log x  3log x   j) log3  x  1  8log  x  1   k) log x  log5 x    19  x l) log 19   log    m) log x 2.log x  log x 2 n) 2log x  3log x o) log3     x  x 1 p) log5   20     x x     x  11 54 Phƣơng pháp hàm số : Nhận diện : Phƣơng trình, bất phuơng trình chứa nhiều hàm số khác nhƣ vừa mũ vừa đa thức, vừa logarit vừa đa thức, vừa mũ vừa logarit và ta không giải các phƣơng pháp trên đƣợc Chứng minh nghiệm : Phương pháp chung :  Nhẩm nghiệm  Đặt điều kiện (D), chuyển tất vế Pt  f ( x)   Xét hàm y  f ( x) và chứng minh hàm đơn điệu x  D  Nếu f ( x)  có nghiệm D thì đó là nghiệm Đối với bất phương trình:  Nếu f(x) đồng biến: f ( x)  f ( )  x    Nếu f(x) nghịch biến: f ( x)  f ( )  x   5x   x Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Pt  5x  x   f ( x)  x  x  Xét hàm f ' ( x)  5x.ln   x Suy hàm f(x) đồng biến Ta thấy f (1)   x  là nghiệm phương trình 2x  3x  5x Ví dụ 2: Giải bất phương trình: Giải: x x x ' x x x Nếu ta đặt f ( x)     f ( x)  ln  ln  ln ta không chứng minh ' f ( x)  0or  Do vế phương trình là hàm đồng biến nên ta chia vế cho x x x  2 3 Bpt         5 5 x Xét hàm x  2  3 f ( x)         5 5 55 x x  3 2  f ( x)    ln    ln 5 5 ' ' Do ln  0, ln   f ( x)  x 5 Suy hàm f(x) nghịch biến Ta thấy f (1)   f ( x)  f (1) x  x  Suy tập nghiệm bất phương trình S   ;1 Chú ý: Với dạng tổng nhiều mũ với các số khác trước xét hàm ta phải chia cho số mũ lớn bé Ví dụ 3: Giải phương trình: log5  x     x Giải: Nhẩm nghiệm x=5 Ta có: log5  x     x  log5  x    x   điều kiện x  Xét hàm : f  x   log5  x  4  x  với x   f ' x    với x   x   ln Hàm số đồng biến Ta thấy f  5  nên x=5 là nghiệm phương trình Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 2x 1  log3 x   x Giải: Nhẩm nghiệm x=1 Ta có: Xét hàm x 1 2x  log3 x   x   log3 x  x   điều kiện x  2x f  x    log3 x  x  2 x.ln  f ' x     với x  x ln Hàm số đồng biến Ta thấy f 1   f x   f 1   x  Kết hợp điều kiện suy S   0,1 56 Bài tập: 1) Giải các phương trình sau: a) 2x   x b) 31 x  x c) 3x2   x  d) 22 x1.3x1   x e) 2x  3x 1  4.5x f) x  2.3x  g)  2x  3x  6x1 h) 9x  5x  4x  20x 2) Giải các phương trình sau: a) log x  x  c) log x  2x  b) log3 x   x d) log 1  x   x  10 e) log x  log3  x    f) log3 x  log5  x     x 57 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A NGUYÊN HÀM Từ định nghĩa ta có các công thức nguyên hàm các hàm thƣờng gặp sau:  0.dx  C  dx   1.dx  x  C x 1  x dx     C , (  1)  x dx  ln x  C  e x  ax  b  ax  b dx   C , (  1)    a  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C ax b ax  b e dx  e C  a  ax b ax  b   dx  a ln   C cos  ax  b  C  sin  ax  b  dx   a sin  ax  b  cos ax  b dx  C    a 1  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C  .dx  e x  C ax  a dx  ln a  C cos kx sin kx dx   C  k sin kx  cos kx.dx  k  C  cos2 x dx  tan x  C  sin x dx   cot x  C x  1 1 dx   cot  ax  b   C  sin  ax  b  a Tính chất nguyên hàm:  Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên D thì:   f ( x)  g ( x).dx   f ( x).dx   g ( x).dx  Với số thực k  thì:  k f ( x).dx  k  f ( x).dx 58 I Các phƣơng pháp tính nguyên hàm: Phƣơng pháp biến đổi: Biến đổi các hàm số cần tìm nguyên hàm trở thành tổng hiệu các hàm số có công thức tính Phƣơng pháp đổi biến số: Định lí: Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên D và hàm số y  f (u ) liên tục cho f (u( x)) xác định trên D Khi đó F là nguyên hàm f , tức là:  f (u)du  F (u)  C thì :  f u( x) u '( x)dx  F u( x)  C Có nghĩa là :  f ( x)dx   f u .u '( x)dx  F u( x)  C (*)  Các bƣớc tìm nguyên hàm phƣơng pháp đổi biến số:  Bƣớc 1: Biến đổi hàm cần tìm nguyên hàm cho có dạng giống (*)  Bƣớc 2: Đặt t  u( x)  dt  u '( x).dx  Bƣớc 3: Thay t và dt vào tìm nguyên hàm theo t  Bƣớc 4: Lấy kết tìm theo t thay t thành u ( x) Phƣơng pháp nguyên hàm phần: Định lí: Nếu hai hàm u, v có đạo hàm liên tục trên D thì:  u( x).v '( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u '( x)dx Viết gọn:  udv  uv   vdu Sử dụng phương pháp phần hàm cần tìm nguyên hàm cho dạng tích các hàm số khác nhau: đa thức,phân thức, lượng giác, mũ, logarit  Các bƣớc tìm nguyên hàm phần:  Bƣớc 1: Chọn u và dv, hướng chọn cho v.du đơn giản  Bƣớc 2: Suy du và chọn v phù hợp  Bƣớc 3: Thay vào tính nguyên hàm  Cách chọn u, dv :  Nếu hàm cần tìm nguyên hàm có chứa hàm lnx thì đặt u là lnx  Nếu hàm cần tìm không chứa lnx thì đặt u là hàm đa thức 59 B TÍCH PHÂN I Định nghĩa:  Cho hàm số f(x) có nguyên hàm và xác định trên [a;b], đó tích phân từ a đến b hàm f(x) kí hiệu: b  f ( x)dx  F ( x) a b a  F (b)  F (a) + F(x) là nguyên hàm f(x) + a: cận tích phân + b: cận trên tích phân  Các tính chất: Cho các hàm số f, g liên tục trên D và a, b, c là ba số bất kì thuộc D Khi đó ta có: a 1)  f ( x)dx  a b a 2)  f ( x)dx    f ( x)dx a b b b a a 3)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx b b b a a a 4)   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx b c c a b a 5)  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b 6) f ( x)  0;   a, b    f ( x)dx  a b b a a 7) f ( x)  g ( x);   a, b    f ( x)dx   g ( x)dx b 8)m  f ( x)  M ;    a, b   m(b  a )   f ( x)dx  M (b  a) a  Đặc biệt: Tích phân cùng hàm số khác biến số trên cùng đoạn [a,b] thì nhau: b b b a a a  f ( x)dx  f (t )dt  f (u )du 60 Các phƣơng pháp tính tích phân: II Phƣơng pháp biến đổi: Sử dụng các phép biến đổi để đưa các hàm số cần tìm tích phân tổng hiệu các hàm có công thức nguyên hàm Các phép biến đổi bản:  Chia đa thức  Tách biểu thức dấu trị tuyệt đối Cho biểu thức giải tìm nghiệm đem so sánh với hai cận tách thành nhiều tích phân  Tách mẫu dạng tích  Biến đổi lượng giác Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:  2x 1 dx a)  2x 1 b) x   cos  x  dx c) x  1dx Giải: 1 2x 1 2x 1 2   dx   dx     a)  dx   x  2ln x     2ln 2x 1 2x 1 2x 1  0 0 b) x 2  x  dx   x  x  dx   x  x  dx     x  x  dx    x  x  dx 2 1  x3 x   x3 x 2      2x      2x     0  1     3  3   cos x  1 1  1dx    cos x  dx   sin x  x   c)   cos x  1dx    2 2   4 0 0 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân: 1 dx a)  x  x2  x dx b)  x  1 x   1  c)  2x dx x 1 1 Giải: 1 x  1   x  1  1  1  dx  dx  dx   a)      x  x   dx x  x  x  x  x        0 0 61 0   x2  x x2  x   2 dx   dx   1   dx b)  x  x  x  x  x  x           1 1 1   0  x    x  1    1  2  0   1    dx   1     dx   x  ln x   ln x   1  x  1 x     x  x   3   1  1    ln  2x dx   x 1 1 1  c) 2  2 3  x  1   x 1 1  dx  x  1 x 1 1   2 x   dx   3  x  1 1  x 0   10  x  0 Bài tập: Tính các tích phân: x3  x  dx a)  x2 b)  c)  sin xdx 2 d) x 2  3x  dx f) 1 2x  dx g)  x  x  x2  x dx i)  x  x     2x dx 2x 1 1  m) dx x 1  x 1  o)  1 x dx x 1 1 dx 9 2x  1 x2  3x  2dx h) k) x 1  x  1dx 0 e) x2 0 x  1dx j)  x dx x 1 12 dx x4 2 l)  n)  p)  x dx x   3x  3x dx 2x 1  x 1 62 Phƣơng pháp đổi biến số: Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên D và hàm số y  f (u ) liên tục cho f (u( x)) xác định trên D, a và b là hai số thuộc D đó ta có: u (b ) b  f u( x).u '( x)dx   a f (u )du u (a)  Các bƣớc tìm tích phân phƣơng pháp đổi biến số:  Bước 1: Biến đổi hàm cần tìm tích phân  Bước 2: Đặt t  u (x)  dt  u '(x ).dx  Bước 3: Đổi cận  Bước 4: Thay t vào tính tích phân theo biến t  Các nhận diện : b  f  x  x n n 1 Đặt t  xn  dt  n.xn1dx dx a b  f  sin x  cos xdx Đặt t  sin x  dt  cos xdx a b  f  cos x  sin xdx Đặt t  cos x  dt   sin xdx a b  a f  ln x  dx x Đặt t  ln x  dt  dx x b  f  e  dx x Đặt t  e x  dt  e x dx a Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:  x a)  dx x 1 e ln x dx c)  x b)  sin x.dx d) 0 e x  dx Giải: x a)  dx x 1 Đặt: t  x   dt  xdx  dt  xdx 63 x   t  Đổi cận  x  1 t  2 x 11 dx  dt  ln t  ln Suy   x  t 2   b)  sin  xdx   sin x sin xdx   1  cos x  sin xdx 2 0 Đặt t  cos x  dt  sin xdx x   t    Đổi cận  x t 0    t3   cos x sin xdx   t dt  t          Suy  1 1  0 2 e c) ln x dx x  Đặt: t  ln x  dt  dx x x  1 t  Đổi cận  x  e  t  e ln x t2 1 dx   tdt   Suy  x 2 1 1 ex dx   x x dx d)  x e 1 0 e  e  1 x x Đặt t  e  dt  e dx x   t  Đổi cận  x  1 t  e 1 e ex t 1 t 1  dx  dt  dt   dt  ln t  ln t    Suy  x x 0 t  t  1 0 t t  1 0  t t   e  e  1  e 1    ln     64 Bài tập: Tính các tích phân sau: 2x  dx b)  x  x  a) x x  3dx 2 1 x2 dx c)  ( x  1) ln x dx d)  x  x  e) e x ln e  1dx x f) ln x  dx g)  x  ex dx e2 x   /3 sin x dx h)   cos x i)  sin x cos xdx Phƣơng pháp tích phân phần: Nếu hai hàm u, v có đạo hàm liên tục trên D, a và b là hai số thuộc D thì: b b b  u( x).v '( x)dx  u( x)v( x) a   v( x).u '( x)dx a a b b b  udv  uv a   vdu Viết gọn: a a Các nhận diện bản: Dùng phần hàm cần tìm tích phân cho dạng tích các hàm khác u  ln x Đặt  dv  u  x  dx b Dạng  ln x.u  x  dx a b Dạng b  e f  x  dx  sinax f  x  dx ax a a b  cos ax f  x  dx a  u  f  x  Đặt  với f(x) là hàm đa thức ax dv  e ,sin ax , cos ax dx   Ví dụ: Tính các tích phân sau: a)  ln xdx  e b)  xe dx x c)   x  1 sin xdx Giải: e a)  ln xdx 1  u  ln x du  dx  x Đặt  dv  dx v  x  65 e e e e e ln xdx  x ln x  x dx  x ln x  x 1 Suy   1 x 1 u  x du  dx  Đặt   x x dv  e dx v  e b)  xe dx x Suy  xe dx  xe x  c)   x  1 sin xdx x 1   e x dx  xe x  ex 1 u  x  du  dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x      Suy   x  1 sin xdx   x cos x     cos x dx   x cos x  sin x  0 0 Bài tập: Tính các tích phân sau:  /3 a)  x sin xdx e b)  ( x  1) ln xdx 0 c)  ( x  1)e 2x dx d) e e)   x  1 ln xdx ln g)  x ex dx x2 x ln x  dx i)  x  ln  x  1 1 x2 dx   x  sin x  e  dx f) x h)  x ln  x  1dx x2 1 j)  ln xdx x  3 k) ln x dx x  l)  x sin x 0 cos2 x dx 66 C ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH I Diện tích hình phẳng: Các bài toán: Đồ thị:  Diện tích hình phẳng giới bạn đường cong, trục Ox và hai đường thẳng: y  y  f ( x) Ox( y  0)   x  a  x  b b S   f ( x) dx y=f(x) O a b x a  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong và hai đường thẳng: y  y  f ( x)  y  g ( x)   x  a  x  b b S   f ( x)  g ( x) dx y=f(x) y=g(x) O a b x a  Diện tích hình phẳng tạo đường cong, trục Ox và đường thẳng:  y  f ( x)  Ox( y  0) x  a  y y=f(x)  Tìm hoành độ giao điểm x  xo đường cong và trục Ox a S  f ( x) dx Nếu xo  a O xo a x xo S xo  f ( x) dx Nếu xo  a a 67  Diện tích hình phẳng tạo hai đường cong:  y  f ( x)   y  g ( x) Y y=f(x)  Tìm tất các hoành độ giao điểm x1 , x2 , , xi hai đường cong (là y=g(x) nghiệm phương trình f ( x)  g ( x) )  Với x1  x2   xi , đó diện tích O x1 x2 x3 hình phẳng tính công thức: xi S   f ( x)  g ( x) dx x1 Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y  x2  3x  , y  , x  và x  Giải: Ta có diện tích hình phẳng giới hạn các đường y  x2  3x  , y  , x  và x  tính: 6 S   x  3x  dx   x  3x  dx   x  3x  dx 2 2 4 S     x  3x   dx    x  3x   dx  x3 3x   x3 3x 6 S     4x      x   20(dvdt ) 2  2  4 x Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y  x.e x  và trục Ox Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: xe x   x  x Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y  x.e x  và trục Ox tính: 1 S   xe dx   xe x dx x 0 Các em tự tính tích phân và tìm kết Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y  x ln  x  1 và y  x 68 Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x  x  x ln  x  1  x  x  ln  x  1  1     ln  x  1   x  e  Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y  x ln  x  1 và y  x tính: e 1 S  x ln  x  1  x dx  e 1 e 1 e 1 0   x  x ln  x  1  dx   xdx   x ln  x  1 dx Các em tự tính tích phân và tìm kết Chú ý:  Do diện tích tính tích phân trị tuyệt đối nên phải xét xem hàm số âm hay dương trên các khoảng để mở trị tuyệt đối  Một mẹo nhỏ là các em cần thay giá trị bất kì khoảng xét để biết hàm số âm hay dương trên khoảng đó Bài tập: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: a) y  x  5x  x , y  , x  và x  b) y  sin x cos x , y  , x  và x   x c) y  ( x  1) e , y  , x  và x  d) y  ln x , y  , x  và x  e x x e) y  xe , y   x ,và đường thẳng x  2 f) y  x  x và y  x  x g) y  1   ,y và x  , x  2 cos x sin x x x h) y  e , y  e và x  x i) y  và y   x 69 II Thể tích khối tròn xoay Bài toán Đồ thị  Thể tích vật tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường cong: y  f ( x) và hai đường thẳng x  a, x  b  Xoay quanh Ox: b V     f ( x) dx O a b x a  Thể tích vật tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường cong: y  f ( x) và hai đường thẳng y  a, y  b y  Ta biến đổi y  f ( x)  x  g(y) b  Xoay quanh Oy: b V     g ( y ) dy a a O  Thể tích vật tròn xoay tạo hai đường cong: y  f ( x) và y  g ( x) x y  Xác định diện tích tạo hai đường cong  Tìm tất các hoành độ giao điểm x1 , x2 , , xi hai đường cong x1 O x2 x  Với x1  x2   xi , đó thể tích hình tròn xoay tính công thức: xi V   f ( x)  g ( x) dx x1 70 Ví dụ 1: Cho hình phẳng S giới hạn các đường y  x  x x  x  và trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Ox Giải: Ta có thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Ox tính:  x5 x 4 x3  241 V    x  x  dx    x  x3  x  dx      (dvdt )   30   1 2 2 Ví dụ 2: Cho hình phẳng S giới hạn hai đường y  x và y  x  a) Tính thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Ox b) Tính thể tích khối tròn xoay cho S quay quanh Oy Giải:  x 1 x  x  x     a) Phương trình hoành độ giao điểm: x   x  Thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Ox tính:  V   x  4   x   dx    x  x  dx     x  x   dx 2 1  x3 x  9 V      4x   (dvtt )  1 b) Ta có: y  x  x  y và y  x   x  y  Phương trình hoành độ giao điểm y  y  y2  y  Thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Oy đươc tính:   2 V    y    y   dy    y  y  y  dx  81   6   V     y  y  y   dx 81  1  y5 y3 6 V      y2  y   405 3 12 V (dvtt ) 71 Bài tập: 1) Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng quay quanh Ox: a) y  x  , trục hoành, x  và x  b) y  ln x , y  và x  e c) y  tan x , x  và x   x d) y  xe , y  và x  2 e) y   x , y  x  f) y  x  x , y  , x  và x  g) y  x x  , y  và x  15 x2 h) y  ,y x 1 2) Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng quay quanh Oy: x2 a) y  , y  , y  và trục Oy b) y  x , y  và y   x x c) y  x.2 và y  x 72 SỐ PHỨC I Lý thuyết:  Định nghĩa: Số phức là biểu thức có dạng a  bi Trong đó a, b là các số thực và i thõa mãn i  1 Kí hiệu số phức: z  a  bi  i là đơn vị ảo  a là phần thực  b là phần ảo  Tập hợp các số phức kí hiệu là : C  a  bi, i  1; a, b  R  Số thực hay số thực là số phức có dạng : z  a a  R   Số ảo hay số ảo là số phức có dạng : z  bi  b  R   Đặc biệt số phức z  vừa là số thực vừa là số ảo  Hai số phức nhau: a  a ' Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b ' i Khi đó z  z '  a  bi  a ' b ' i   b  b '  Số phức liên hợp: Cho số phức z  a  bi số phức liên hợp số phức z kí hiệu là z và z  a  bi 2  Tính chất: z.z  z  a  b  Modun số phức: 2 Cho số phức z  a  bi modun số phức z kí hiệu là z và z  a  b  Biểu diễn hình học số phức:  Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức z  a  bi biểu diễn điểm M có tọa độ  a, b   Vậy điểm bất kì trên mặt phẳng đại diện cho số phức tương ứng  Khi đó ta nói mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức là mặt phẳng phức  Trục Ox biểu diễn các số thực nên ta gọi Ox là trục thực  Trục Oy biểu diễn các số ảo nên ta gọi Oy là trục ảo 73  Các phép toán trên tập C:  Cho hai số phức z  a  bi  a, b  R  và z '  a ' b ' i  a ', b '  R   Tổng hai số phức: z  z '   a  a '   b  b ' i  Hiệu hai số phức: z  z '   a  a '   b  b ' i  Nhân hai số phức: z.z '  aa ' bb '  ab ' a ' b  i  Chia hai số phức: z z.z aa ' bb '  ab ' a ' b  i   z' z a  b2  Căn bậc hai số phức:  Định nghĩa: Cho số phức w, số phức z thỏa mãn z  w gọi là bậc hai w  Mỗi số phức có hai bậc hai  Phương pháp tổng quát: Muốn tìm bậc hai số phức w  a  bi  Bƣớc 1: Gọi z  x  yi là bậc hai w  Bƣớc 2: Suy z  w   x  yi   a  bi  x2  y  xyi  a  bi  x2  y  a  (*) xy  b  Giải hệ (*) suy x, y Mỗi cặp nghiệm (x, y) hệ cho ta số phức là bậc w  Giải phương trình bậc hai tập số phức : Trong tập số phức phương trình bậc hai az  bz  c  (*) a, b,c  C luôn có nghiệm Cách giải phương trình (*) tương đối giống giải phương trình bậc hai tập R  Xét   b2  4ac (hoặc  '  b '2  ac )  Nếu   thì (*) có nghiệm kép : z1  z2   b 2a  Nếu   thì (*) có hai nghiệm phân biệt: z1  b   2a z2  b   2a Với  là bậc hai  74 II Các dạng toán: Xác định phần thực, phần ảo, biểu diễn trên mặt phẳng phức, tìm số đối, số phức liên hợp, modun số phức, thực các phép tính cộng trừ nhân chia số phức: Tìm số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài:  Phƣơng pháp chung:  Bƣớc 1: Gọi số phức cần tìm z  x  yi  Bƣớc 2: Dựa vào đề bài để tìm x, y Thường thì ta dùng công thức hai số phức để đưa giải hệ hai ẩn x, y Ví dụ 1: Tìm số phức z biết: 1  i  z  z  Giải: Gọi số phức cần tìm là z  x  yi  z  x  yi Thay vào: 1  i  z  z   1  i  x  yi   x  yi    x  y    x  y  i   x  1  yi x  y  x 1 x   Ta dùng công thức hai số phức   x  y   y  y  1 Vậy số phức cần tìm z   i Ví dụ 2: Tìm số phức z biết z  và z ảo Giải: 2 2 Gọi số phức cần tìm là z  x  yi  z  x  y và z   x  yi   x  y  xyi  x  y   x  y   x  y  1 2   x  y   Theo đề bài:   x   y  1 2   x  y   x  y  Vậy số phức cần tìm z   i; z  1  i; z   i; z  1  i Tìm tập hợp các số phức z mặt phẳng phức:  Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Gọi z  x  yi  Bƣớc 2: Dựa vào đề bài ta suy hệ thức liên hệ theo x, y Hệ thức này chính là tập hợp các điểm cần tìm Ví dụ : Tìm tập hợp các số phức z mặt phẳng phức biết: a/ z    b/  z  1 z  i là số thực 75 Giải : a/ Gọi z  x  yi 2 2 Theo đề bài: z   x  y   x  y  Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức cần tìm là đường tròn: x  y  b/ Gọi z  x  yi  z  x  yi   Theo đề bài:  z  1 z  i là số thực   x  yi  1 x  yi  i  là số thực  x2  y  x  y   x  y  1 i là số thực  x  y 1  Vậy tập hợp xác điểm biểu diễn số phức cần tìm là đường thẳng: x  y   Tìm bậc hai số phức - Giải phƣơng trình tập số phức: a Tìm bậc hai số phức z: Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Gọi w  x  yi là bậc hai z  a  bi  Bƣớc 2: Suy w  z   x  yi   a  bi  x2  y  xyi  a  bi  x2  y  a  (*) xy  b  Giải hệ (*) suy x, y Ví dụ: Tìm các bậc hai số phức:  4i Giải: Gọi w  x  yi là bậc hai số phức  4i 2 Ta suy ra: w   4i   x  yi    4i  x  y  xyi   4i   x  y   x    x  3x   x  y    x     x       y  1 2 xy  y  y  y  x x    x 2 Vậy các bậc hai số phức  4i là  i và 2  i 76 b Giải phƣơng trình tập số phức:  Phƣơng trình bậc nhất: a.z  b  Chuyển z vế chia qua tìm z Ví dụ: Giải phương trình z  i   1  2i  z  3i Giải: Ta có: z  i   1  2i  z  3i  z  1  2i  z  3i   i  1  2i  z  1  4i z 1  4i  1  4i 1  2i   6i     i  2i  22 5 Vậy z   i 5  Phƣơng trình bậc hai: a.z  b.z  c   Xét   b2  4ac (hoặc  '  b '2  ac )  Nếu   thì (*) có nghiệm kép z1  z2   b 2a  Nếu   thì (*) có hai nghiệm phân biệt: z1  b   2a z2  b   2a Với  là bậc hai  Ví dụ 1: Giải phương trình z  z   tập số phức Giải: Ta có:   12   3 Chọn bậc  là 3i Vậy phương trình có hai nghiệm: z  1  3i 1  3i ; z 2 Ví dụ 2: Giải phương trình z  i.z  2i   Giải: Ta có:   i   2i    15  8i Gọi w  x  yi là bậc hai   w2  15  8i  x2  y  xyi  15  8i 77  x  y  15  x   y  1    w   i  w  4  i x    y  xy     Chọn bậc hai  là  i i   i i   i   i; z   2 2 Suy phương trình có hai nghiệm z   Phƣơng trình bậc ba: a.z  b.z  c.z  d  Nhẩm nghiệm dùng hoocne để phân tích đưa giải phương trình bậc  z  zo   z  z0   a.z  B.z  C     a.z  B.z  C  Ví dụ: Giải phương trình tập số phức: z  1  i  z    i  z  2i  Giải: Nhẩm nghiệm z  i ta phân tích thành: z  i pt   z  i   z  z       z  z   0(*) Giải (*) ta có:   7 Chọn bậc hai  là 7i Suy (*) có hai nghiệm : z  1  7i 1  7i ;z  2 Vậy phương trình có ba nghiệm z  i; z  1  7i 1  i ;z  2 c Các bài toán liên quan đến tính chất i: Sử dụng: i  1 i3  i i4  Ví dụ 1: Rút gọn A  i2014  i 2015  i 2016 Giải: 2014 2015 2016 Ta có: A  i  i  i   i  1007  i i  1007  i  1008  1  i   i Ví dụ 2: Chứng minh 1  i    2i  n  N * 2n n Giải: Ta có: 1  i  2n n n  1  i    1  2i  i    2i    n 78 Bài tập: III 1) Xác định phần thực, phần ảo, modun, số phức liên hợp, số phức đối các số phức sau: a) z   3i b) z   i d) z  1  3i  i   2i e) z   c) z   2i  3i  f) z  2  i z   3i  i  2i g) z   2i h) i) z   2i  2i  2i  2i   2i  2i 2) Biểu diễn các số phức câu 1) trên mặt phẳng phức  1 i Tính , z, z , z , z 3) Cho số phức z   z 2 4) Tìm phần thực và phần ảo và modun số phức z biết:   3i   b) z    1 i  a) z 1   2i c)  i   3i  z   2i z z d) z   5i  2  i 1 i 5) Tìm các bậc hai các số phức sau: a) z  b) z  5 c) z  9i d) z  2i e) z   4i f) z   6i 6) Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z biết: a) z  i là số ảo b) z  là số thực d) z  i  e) z là số thực   f)  z    z  i  là số thực g) z  h) z  z   4i i) k) z   4i  l) z  i  1  i  z n) z   z   10 o) z   z  j) z i 1 z  3i m) z  2 z c)   z  z  i là số ảo z i là số thực z i 7) Giải phương trình tập C: a) i.z   i  b)   3i  z  c) z   z   i   79 d)   i  z   e) 2i 3i  z 1 i 2i f)  z  1 i  1   z  1 i  1   2i 8) Giải phương trình tập C: a) z  z   b) 3z  z   c)  z  3z  d) z   i  2 z   i  e) z  1  3i  z   i  1  f) z    3i  z   i  9) Giải phương trình tập C: a) z   b) z   c) z   2i  1 z   2i  1 z   d) iz3  2iz  z   10) a) Tìm số phức z biết:  z i    b) z.z  z  z   4i  2i 5i 1 z c) z    3i  z   9i d) z  e) z  z  f) z  z  11) Tìm số phức z biết: a) z  z b) z   i  10 và z.z  25 c) z  và z ảo d) z  z   2i vàc e) z  và z  7i thực z 1  f) z  z z  2i ảo z2  và z  i  z  z  2i   i) z   i  và số phức  z  i  z  i có phần ảo 12) Tính : a) A  i 2015 b) B  i 2014  i 2015  i 2016 20 34 23 105 c) C  i  i  i  i n n 1 n2 n 3 d) D  i  i  i  i 13) Chứng minh rằng: 4n n 1 4n2  1 , i 4n3  i a) i  , i  i , i b) 1  i    2i  n 1 c) 1  i   1  i    1 d) 1  i    1 1  i  4n 4n n 2n 2n n n 2n 80  3i   z Tính z  iz 14) Cho số phức z thỏa mãn 15) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z '   i z  Biết z   16) Tìm số phức z biết 1  2i  z là số thực và z  z   2 17) Tìm số phức z thỏa mãn z   và 17 z  z  5zz  18) Cho số phức z thỏa mãn z   4i    i  iz Tìm phần ảo số phức w  z  i 19) Cho số phức z thỏa mãn z    i  z   5i Tìm phần thực và phần ảo z 1 i    z i   2i   Tính modun số phức w   z  z 20) Cho số phức z thỏa mãn 21) Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z   9i Tính modun z 22) Cho số phức z thỏa mãn 3z  z 1  i   5z  8i  Tính modun z z 1   81 PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ I Tọa độ điểm- Tọa độ véc-tơ:  Các công thức Véctơ: Cho hai véctơ a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3  k a   k a1; k a2 ; k a3   a  a12  a22  a32  Hai véctơ nhau: a1  b1  a  b  a2  b2 a  b  3  Hai véctơ cùng phương: a, b cùng phương   Tích vô hướng hai véctơ:  Hai véctơ vuông góc: a1 a2 a3   b1 b2 b3 a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3 a  b  a.b   a1.b1  a2 b2  a3 b3     Góc hai véctơ: cos a, b  a1.b1  a2 b2  a3 b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32  Tọa độ điểm: M  OM  ( xM ; yM ; zM )  Cho A  ( xA ; yA ; z A ), B  ( xB ; yB ; zB ), C  ( xC ; yC ; zC )  Tọa độ véctơ AB:  Tọa độ trung điểm I AB: AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  z A   x  x y  yB z A  z B  I  A B ; A ;  2    Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC:  x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC  G  A B C ; A ;  3    A, B, C thẳng hàng  AB và AC cùng phương 82 II Tích có hƣớng hai véctơ: Định nghĩa: Cho hai véctơ a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) Tích có hướng hai véctơ a và b là véctơ, kí hiệu:  a, b  và cho  a2 a3 a3 a1 a1 a2    a , b  công thức:    b b ; b b ; b b    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1   3 1  Tính chất tích có hƣớng:   a; b    b; a    a, b   a và  a, b   b  a, b cùng phương   a; b    Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng: a, b, c đồng phẳng   a; b  c   Hệ quả: + Để ba điểm A, B, C thẳng hàng   AB; AC   + Để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  AD  B MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Phƣơng trình mặt phẳng: Véctơ pháp tuyến là véctơ có giá vuông góc mặt phẳng Kí hiệu: n Phƣơng trình tổng quát mặt phẳng: Mặt phẳng qua điểm M (xo ; yo ; z o ) và nhận n  (a; b; c) làm véc tơ pháp tuyến thì có phương trình tổng quát: a( x  xo )  b( y  yo )  c( z  zo )  Thông thường phương trình mặt phẳng cho dạng: Ax  By  Cz  D  Khi đó véc tơ pháp tuyến mặt phẳng là: n  ( A; B; C ) Chú ý: Một mặt phẳng có vô số véctơ pháp tuyến và các véctơ đó cùng phương 83 Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng ( P) : Ax  By Cz D  và (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D '   (P) cắt (Q)  A B C   A' B ' C '  (P) song song (Q)   (P) trùng (Q)  A B C D    A' B ' C ' D ' A B C D    A' B ' C ' D ' Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm A(x A; y A; z A ) đến mp(P) : Ax  By  Cz  D  cho công thức: d  A;( P)   A.xA  B y A  C.z A  D A2  B  C Góc hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng: ( P) : Ax  By  Cz  D  và (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D  Gọi  là góc hai mặt phẳng (P) và (Q) thì: cos   cos(nP , nQ )  II A A ' B.B ' C.C ' A2  B  C A '2  B '2  C '2 Bài tập: 1) Viết phương trình mặt phẳng: a) Qua gốc tọa độ và nhận n  (1; 2;3) làm véctơ pháp tuyến b) Qua điểm A(1; 1;2) và nhận n  (1;0; 2) làm véctơ pháp tuyến 2) Cho A(1;1;1), B(1;2;1), C(2;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua A và vuông góc với BC b) Đi qua ba điểm A, B, C (0;0; 1) 3) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1;0;0), B(0; 2;0), C 4) Cho A(1;2;1), B(1;1;0) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực đoạn AB b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M (1;1; 2) và song song với mp: x  y  z  84 c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(Q), khoảng cách từ điểm M đến mp(P) d) Tính góc hai mp(P) và mp(Q) 5) Xét vị trí tương đối các cặp mặt phẳng sau: a) ( P) : x  y  z   và (Q): x  y  z   b) ( P) : x  y  3z   và (Q): 4 x 2 y 6 z 1  c) ( P) : x y z    và (Q) : x  y  z   1 6) Xác định m, n để hai mặt phẳng song song với nhau: ( P) : (m  3) x  y  (m  1) z   (Q) : (n  1) x  y  (2n  1) z   7) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm (3; 2;2) 8) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và qua điểm (3; 2;2) 10 ) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oz và qua điểm (3; 2;2) 1) 11 ) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(2; 1;4), B(3;2;  và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x  y  z  C ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Phƣơng trình đƣờng thẳng: Véctơ phƣơng là véctơ có giá song song trùng với đường thẳng, Kí hiệu: u Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng: Đường thẳng (d) qua điểm M (xo ; yo ; z o ) và nhận u  (a; b; c) làm véctơ phương có phương trình tham số:  x  xo  at  (d ) :  y  yo  bt  z  z  ct o  (t  R) Phƣơng trình chính tắc: Đường thẳng (d) qua điểm M (xo ; yo ; z o ) và nhận u  (a; b; c) làm véctơ phương có phương trình chính tắc: (d ) : x  xo y  yo z  zo   (abc  0) a b c 85 Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng và mặt phẳng: Cho mp( P) : Ax  By  Cz  D  có n  ( A; B : C )  x  xo  at  Và đường thẳng (d ) :  y  yo  bt có u  (a; b; c) và M ( xo ; yo ; zo )  z  z  ct o   (d) cắt (P)  n.u   A.a  B.b  C.c    A.a  B.b  C.c  n  u    (d) song song (P)     Axo  Byo  Czo  D   M  ( P) n  u  A.a  B.b  C.c  D     (d) nằm (P)    M  ( P)  Axo  Byo  Czo  D    Phƣơng pháp xét vị trí tƣơng đối:  Bƣớc 1: Xác định n, u và điểm M bất kì thuộc đường thẳng  Bƣớc 2: Tính n.u :  Nếu n.u  thì đường thẳng cắt mặt phẳng  Nếu n.u  thì ta xem tọa độ M có thõa mãn phương trình mặt phẳng ko?  Nếu có suy (d) nằm mặt phẳng (P)  Nếu không suy (d) song song mặt phẳng (P)  Tọa độ giao điểm đƣờng thẳng (d) và mp(P) là nghiệm hệ:  x  xo  at  y  y  bt  o   z  zo  ct  Ax  By  Cz  D   Phƣơng pháp:  Thay tọa độ x, y, z vào phương trình mặt phẳng giải tìm t  Có t thay vào tìm x, y, z 86 Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng: Cho hai đường thẳng: (d) có véc tơ phương u và điểm M thuộc (d) (d‟) có véc tơ phương u ' và điểm M‟ thuộc (d‟)  (d) cắt (d‟)  u, u ' MM '   u, u '      (d) song song (d‟)   MM '  k u  u, u '     (d) trùng (d‟)    MM '  k u  (d) chéo (d‟)  u, u ' MM '   Phƣơng pháp xét vị trí tƣơng đối:  Bƣớc 1: Xác định u, u ' và hai điểm M, M‟ bất kì thuộc hai đường thẳng  Bƣớc 2: Tính u, u ' và MM '  Nếu u, u '  ta tính tích vô hướng u, u ' MM '  Nếu u, u ' MM '  suy hai đường thẳng cắt  Nếu u, u ' MM '  suy hai đường thẳng chéo  Nếu u, u '  ta xét MM ' và u có cùng phương không:  Nếu MM ' và u cùng phương suy hai đường thẳng trùng  Nếu MM ' và u không cùng phương suy hai đường thẳng song song 87 Khoảng cách và góc: a Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng: Cho đường thẳng () có véc tơ phương u và điểm M bất kì thuộc () Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng () xác định công thức:  MA, u    d  A;    u b Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo nhau: Cho đường thẳng () có vectơ phương u và điểm M thuộc () và đường thẳng ( ') có véctơ phương u và điểm M‟ thuộc ( ') Khoảng cách hai đường thẳng chéo () và ( ') xác định công thức: u, u ' MM '   d (;  ')  u , u '    c Góc hai đƣờng thẳng: Cho đường thẳng () có vectơ phương u và đường thẳng ( ') có véctơ phương u Gọi  là góc hai đường thẳng () , ( ') thì    90o Khi đó:   cos   cos u, u ' d Góc đƣờng thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng () có vectơ phương u và mp ( ) có véctơ pháp tuyến n o Gọi  là góc () và mp ( ) thì    90 Khi đó:   sin   cos n, u 88 II Bài tập: 1) Viết phương trình tham số các đường thẳng các trường hợp sau: a) Đi qua A(1;1;3) và có véc tơ phương u  (0; 2; 2) b) Đi qua hai điểm O và A c) Đi qua hai điểm M (1;2;3), N(3;1;2) 2) Chỉ véc tơ phương và điểm thuộc các đường thẳng sau: x   t  b) () :  y  5t z   t  a) Ox, Oy, Oz c) (d ) : x 1 y  z    1 3) Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M (0;1;2) và song song với Ox 4) Cho điểm A(1;3; 2) và đường thẳng (d ) : x 1 y  z    1 a/ Viết phương trình tham số đường thẳng (d‟) qua A và song song (d) b/ Tìm điểm M thuộc (d) biết M có hoành độ c/ Tìm điểm N thuộc (d‟) biết N có tung độ băng 5) Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) và mp(P) : a) (d ) : x  y 1 z    1 5 x  1 t  b) (d ) :  y   2t  z  1  3t  và và mp( P) : x  y  z  mp( P) : x  y  z   6) Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau : a) (d1 ) : x 1 y  z    3  x  2t  b) (1 ) :  y   3t z   t  và  x   3t  ( d ) :  y  2t c/ z   ( ) : và và (d ) : x  y  z 1   2  x  3  4t  (1 ) :  y   6t  z  2t  x 1 y  z   1 89 D CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  Trƣớc đến dạng này cần nắm vững các kiến thức sau:  Đại diện cho mặt phẳng là véctơ pháp tuyến: có nghĩa đề cho phương trình mặt phẳng thì ta suy véctơ pháp tuyến nó  Đại diện cho đường thẳng là véctơ phương: có nghĩa đề cho phương trình đường thẳng thì ta suy véctơ phương nó  Các bài toán giải dựa trên các véctơ này  Nhớ các công thức khoảng cách và góc  Ta định nghĩa lại:  Véctơ pháp tuyến là véctơ có giá vuông góc (với mp đường thẳng)  Véctơ phương là véctơ có giá song song trùng (với mp đường thẳng) I Viết phƣơng trình mặt phẳng:  Mục tiêu tìm véctơ pháp tuyến và điểm Dạng toán 1:  Từ giả thuyết ta có thể tìm véctơ pháp tuyến và điểm mặt phẳng  Ta dùng định nghĩa viết phương trình mặt phẳng có dạng: a( x  xo )  b( y  yo )  c( z  zo )   Bài toán thường liên quan đến:  Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  Mặt phẳng song song với mặt phẳng Dạng toán 2:  Từ đề bài ta không tìm véctơ pháp tuyến ta có thể tìm hai véctơ phương u1 , u2 mặt phẳng  Khi đó véctơ pháp tuyến mặt phẳng là tích có hướng hai véctơ phương n  u1 , u2   Bài toán thường liên quan đến:  Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cho trước  Mặt phẳng song song với hai đường thẳng cho trước  Mặt phẳng chứa đường thẳng qua hai điểm 90 II Viết phƣơng trình đƣờng thẳng:  Mục tiêu tìm véctơ phương và điểm Dạng toán 1:  Từ đề bài ta tìm véctơ phương và điểm đường thẳng:  Ta dùng định nghĩa viết phương trình tham số  x  xo  at  (d ) :  y  yo  bt  z  z  ct o  (t  R)  Hoặc phương trình chính tắc: (d ) : x  xo y  yo z  zo   (abc  0) a b c  Bài toán thường liên quan đến:  Đường thẳng song song đường thẳng  Đường thẳng vuông góc mặt phẳng Dạng toán 2:  Từ đề bài ta không tìm véctơ phương tìm hai véctơ pháp tuyến n1 , n2 đường thẳng  Khi đó véc tơ phương đường thẳng là tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến ud   n1 , n2   Bài toán thường liên quan đến:  Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cho trước  Đường thẳng song song (hoặc nằm trong) hai mặt phẳng cho trước  Đường thẳng vuông góc với đường thẳng và song song (hoặc nằm trong) mặt phẳng Dạng toán 4:  Xác định hai điểm mà đường thẳng qua viết phương trình qua hai điểm đó  Ta gọi điểm thuộc đường thẳng theo tham số t (t‟)  Dựa vào đề bài tìm t (t‟) 91 III Bài tập: 1) Viết phương trình mặt phẳng qua A(0;1;2) và vuông góc đường thẳng: (d ) : x y 1 z   1 2) Viết phương trình mặt phẳng qua A(1;1;1) và chứa đường thẳng (d ) : 3) Cho (d1 ) : x y 1 z   1 x 1 y  z  x  y  z 1     và (d ) : 3 2 a) Chứng minh (d1 ) và (d ) cắt b) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1 ) và (d ) 4) Cho (1 ) : x y 2 z 3 x3 y 2 z     và ( ) : 2 4 2 a) Chứng minh (1 ) và ( ) song song b) Viết phương trình mặt phẳng chứa (1 ) và ( ) 5) Cho mp( ) : x  y z  và () : x 1 y 1 z    2 1 a) Xác định giao điểm () và ( ) b) Tính cosin góc () và ( ) c) Viết phương trình mp(P) chứa () và vuông góc mp ( ) x  y z 1   và M(1;2;1) , N(1;2; 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 3 đường thẳng () và cách hai điểm M, N 6) Cho () : 7) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;1;2) và vuông góc mặt phẳng:   : x  y  1  8) Viết phương trình đường thẳng qua A(1;1;2) và vuông góc với hai đường thẳng: (1 ) : x y 1 z   1 ( ) : x 1 y z    9) Cho mp( ) : x  y z  , A(1;1; 2) và (d) : x 1 y  z   1 Viết phương trình đường thẳng qua A song song mp( ) và vuông góc với đường thẳng (d) 92 10 ) Cho mp( ) : x  y z  , (d1 ) : x 1 y  z x y 1 z    , (d ) :   1 1 1 Viết phương trình đường thẳng vuông góc mp( ) và cắt hai đường thẳng (d1 ) và (d ) x 1 y  z 1   Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc 1 1 A lên đường thẳng (d) 11 ) Cho A(1; 2;3) và (d) : 12 ) Cho A(1;1;2) và mp   : x  y  z   Tìm tọa độ hình chiếu A lên mp( ) x 2 y 3 z    và mp   : x  y  z   Viết phương trình đường 5 thẳng (d‟) là hình chiếu đường thẳng (d) lên mp( ) 13 ) Cho (d) : 14 ) Cho A(1; 2;2) và (d) : x 1 y  z    Tìm tọa độ điểm A‟ đối xứng với điểm A 1 1 qua đường thẳng (d) 15) Cho A(1;1;2) và mp   : x  y  x   Tìm tọa độ điểm A‟ đối xứng với A qua mp( )  x   2t  x y 1 z   16) Cho (d1 ) :  và (d ) :  y  1  t z   a) Chứng minh (d1 ) và (d ) chéo b) Tìm điểm A  (d 1) và B  (d ) cho AB là đoạn vuông chung (d1 ) và (d ) c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung (d1 ) và (d ) x 2 y 3 z 4   và mp( ) : x  y z1  Viết phương trình đường 5 thẳng (d‟) đối xứng với đường thẳng (d) qua mp( ) 17) Cho (d) : 18) Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(1;2;3) vuông góc và cắt đường thẳng: (d) : x y z 3   19) Cho (d1 ) : x  y 1 z  x2 y2 z     , (d ) : và mp   : x  y  z  1 2 Lập phương trình đường thẳng nằm mp( ) và cắt hai đường thẳng (d1 ) và (d ) 93 20) Cho (d1 ) : x 1 y  z  x  y  z 1     và (d ) : Chứng minh (d1 ) và (d ) 3 2 cùng nằm mặt phẳng, lập phương trình mặt phẳng đó 21) Cho hai đường thẳng song song () : x 7 y 5 z 9 x y  z  18    và ( ') :  1 1 a) Viết phương trình mặt phẳng chứa () và ( ') b) Tính khoảng cách () và ( ') 22) Cho hai đường thẳng (d1 ) : x 2 y 3 z 4 x 1 y  z      và (d ) : 5 2 1 Viết phương trình đường vuông góc chung (d1 ) và (d ) 23) Cho (d1 ) : x 1 y  z x y 1 z    , (d ) :   1 1 1 Viết phương trình mặt phẳng song song và cách hai đường thẳng (d1 ) và (d ) 24) Cho hai đường thẳng chéo nhau: x   (d1 ) :  y  4  2t z   t   x  3t '  (d ) :  y   t' z  2  a) Tìm khoảng cách hai đường thẳng (d1 ) và (d ) b) Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng (d1 ) và (d ) c) Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ O, cắt (d1 ) và (d ) hai điểm M, N cho MN ngắn 25) Cho A(1; 1;0) và (d) : x 1 y  z   1 a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) b) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (d) và tạo với (d) góc 30o 26) Cho mp( ) : x  3y z  và (d1 ) : x 1 y  z  x 1 y  z      , (d ) : 3 a/Chứng minh (d1 ) và (d ) chéo b/Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1 ) và song song (d ) c/Xác định điểm M  (d 1) và N  (d ) cho MN song song mp( ) và MN  14 94 E MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN: I Phƣơng trình mặt cầu:  Mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R  Dạng khai triển: x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  (*) 2 Điều kiện để (*) là phương trình mặt cầu : A  B  C  D  Khi đó (*) là phương trình mặt cầu có tâm I( a;  b;  c) và bán kính R  A2  B2  C  D II Vị trí tƣơng đối mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S ( I ; R) và mp( ) Gọi d  d ( I ; )  IH với H là hình chiếu I lên mp( )  Nếu d  R thì mp( ) không cắt (S)  Nếu d  R thì mp( ) tiếp xúc (S) và H là tiếp điểm  Nếu d  R thì mp( ) cắt (S) đường tròn có bán kính r  R  d III Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S ( I ; R) và mp( ) Gọi d  d ( I ; )  IH với H là hình chiếu I lên đường thẳng ()  Nếu d  R thì () không cắt (S)  Nếu d  R thì () tiếp xúc (S) và H là tiếp điểm  Nếu d  R thì () cắt (S) hai điểm phân biệt A, B và AB  R  d , H là trung điểm AB  Phƣơng pháp viết phƣơng trình mặt cầu: Mục tiêu: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R  Đề bài cho tiếp xúc đường thẳng () hay mp( ) thì: R  d ( I , ) hay R  d ( I ,  ) Chú ý: Chỉ quan tâm đến các dạng tiếp xúc vì đề thi có thuộc dạng toán này 95 IV Bài tập: 1) Cho mp   : x  y  z   và I(2;0;1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mp( ) x 1 y z   và I(1;2;1) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với 1 đường thẳng () 2) Cho () : 3) Cho A(1;2;0) , B(2; 2;3) và C(1;1;1) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O,A,B,C 4) Cho A(1;0;2) , B(2; 1;1) và (d) : x y 1 z   Viết phương trình mặt cầu qua A, B 1 và có tâm thuộc đường thẳng (d) 5) Cho A(1;2;3) và mp( ) : x  y  z   Viết phương trình mặt cầu qua A và tiếp xúc mp( ) điểm M(0;0;2) 6) Cho (d) : x  3y 1  x 1 y  z   và () :  Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp 1 3x  y  z   xúc với (d) A(1;1; 2) và có tâm I  () 7) Cho (d) : x y 1 z 1   và hai mặt phẳng (1 ) : x  y  z   , ( ) : x  y  z   2 Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc hai mặt phẳng (1 ) , ( ) 8) Cho ba đường thẳng có phương trình: x  1 t  (d)  y  t  z  2  t  x   (d1 )  y  z  1 t '   x  2  2t "  (d )  y  z   Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với (d1 ) , (d ) 9) Cho mp( ) : x  y  z   và đường thẳng () : x 1 y  z   1 Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên () , tiếp xúc mp( ) và có bán kính 10 ) Cho mặt cầu: (S) : x  y  z  10 x  y  26 z  113  và đường thẳng :  x  5  2t  d  :  y   3t  z  13  2t  Viết phương trình mp( ) tiếp xúc (S) và vuông góc (d) 96 11 ) Cho mặt cầu (S) : x2  y  z  4x  y  4z   và hai đường thẳng : x  y  z  13 (d1 ) :   3  x  7  3t  (d )  y  1  2t z   Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) đồng thời song song với hai đường thẳng (d1 ) và (d ) 97 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lý thuyết Quan hệ song song và vuông góc không gian: Cho đường thẳng a song song mp(P) Mọi mặt phẳng qua a và cắt mp(P) theo giao tuyến d thì d song song a (P) a / /( P)  d / /a  a  ( Q )  ( P )  d  a d (Q) Hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng song song với (P) đường thẳng a Nếu mp(P) và mp(Q) cắt theo giao tuyến d thì d song song a a (Q) d ( P ) / / a   d / /a (Q) / / a ( P)  (Q)  d  Cho hai đương thẳng song song a và b Mọi mặt phẳng qua a và mặt phẳng qua b hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến d thì d song song a và b b a (Q) d a / / b a  (P)   d / / a / /b  b  (Q)  (Q)  ( P)  d (P) 98 Đường thẳng d vuông góc vơi mp(P) thì d vuông góc với đường thẳng nằm mp(P) d (P) a b Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mp(P) thì đường thẳng d vuông góc mp(P) a  ( P)   d  ( P) b  ( P)  d  a, d  b  Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a và mp(P), a‟ là hình chiếu vuông góc a lên mp(P) Một đường thẳng d bất kì thuộc mp(P) d vuông góc a‟ thì d vuông góc a và ngược lại a (P) d a' d  a'  d  a Hai mặt phẳng gọi là vuông góc và tồn đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng (Q) a  (Q) ( P)  (Q)   a  ( P) a (P) d a  (Q)  ad a  ( P) (Q)  ( P)  d  99 Góc hai đường thẳng là góc nhỏ 90o d '/ / d  (d , a)  (d ', a)  O  d '  a  O  d ) a O d' Góc đương thẳng và mặt phẳng là góc a o nhỏ 90 Góc đường thẳng và mặt phẳng là góc đường thẳng và hình chiếu nó lên mặt phẳng (P) ) a'  a, ( P)    a, a ' o Góc hai mặt phẳng là góc nhỏ 90 (Q) Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến điểm a  ( P), (Q)    a, b  (P) ) b Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) a ( R)  (Q)  a ( R) :   a / /b ( R )  ( P )  b  (R) (Q) b (P) ( P) / /(Q)  ( R)  (Q)  ( R )  ( P )  ( R)  (Q)   P) / /(Q)  ( R )  ( P )  100 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là: A d  A, a   AH a H Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: A d  A,(P)   AH H (P) Khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng là khoảng cách từ điểm bất kì A a trên đường thẳng đến mặt phẳng d  a,( P)   d  A,( P)   AH H (P) Khoảng cách hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng A (Q) d  (Q),( P)   d  A,( P)   AH H (P) 101 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: d TH1: Nếu a, d vuông góc - Xác định mp(P) chứa a và vuông góc d - Tìm giao điểm d và mp(P), hạ AH vuông góc a A a H (P) - Khi đó AH là khoảng cách hai đường thẳng a và d, còn gọi là đoạn vuông chung a và d TH2: Nếu a, d không vuông góc Cách 1: H - Xác định mp(P) chứa a và song song d d - Tìm hình chiếu d‟ d lên mp(P), d‟ cắt a A - Từ A hạ AH vuông góc d đó AH chính là đoạn vuông chung a và d d' A a (P) Cách 2: - Xác định hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc chứa a và d - Giao tuyến b mp(P) và mp(Q) cắt a A, hạ AH vuông góc d (Q) H d - Khi đó AH là đoạn vuông chung b A (P) a 102 Thể tích Thể tích hình chóp có đáy là đa giác lồi bất kì: S Vchop  h.S Với: h - h là khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt phẳng đáy - S là diện tích đa giác đáy O Thể tích lăng trụ, hình hộp: V  h.S Với: h - H là khoảng cách hai đáy - S là diện tích đáy Đặc biệt : - Lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương thì h chính là độ dài cạnh bên - Đối vơi hình lập phương cạnh a thì V  a3 h 103 Phương pháp tỉ số thể tích S Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm A‟, B‟, C‟ đó: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC C' A' B' A C B Gọi S là diện tích đa giác H và S‟ là diện tích hình chiếu H‟ H trên mặt phẳng (P) thì: S S '  S.cos  Trong đó  là góc mặt phẳng chứa H là mặt phẳng (P) S' (P) Các tính chất và định lý hình học phẳng thƣờng đƣợc sử dụng: Tam giác: Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác thì G chia các trung tuyến theo tỉ lệ 1:2 AM , GM  AM 3 BG  2GN , BG  AN , GN  AN 3 CG  2GP, CG  AP, GP  AP 3 A AG  2GM , AG  N P G B M C 104 Tính chất đƣờng trung bình: Định lí: M là trung điểm cạnh AB, N là trung A điểm cạnh AC thì MN song song và cạnh BC MN / / BC , MN  BC N M Định lí: M là trung điểm AB, N trên cạnh AC MN song song AB thì N là trung điểm cạnh AC B C Tam giác cạnh a A - O là tâm tam giác ABC : là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp - Chiều cao tam giác đều: h  a a O a2 - Diện tích : S  C B Tam giác vuông - Định lý Pytago: a  b2  c2 - Diện tích: S  h.a  b.c - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là A trung điểm BC - Định lý cạnh và đường cao tam giác vuông: c AB  BH BC , AC  CH BC 1 AH  BH CH ,   AH AB AC b h ) B H a O C - Góc lượng giác: AC , cos B  BC AC tan B  , cot B  AB sin B  AB BC AB AC 105 Tam giác cân: AB  AC, B  C A - Đường trung tuyến từ đỉnh cân đồng thời là đường cao và là đường phân giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp nằm trên AM G ) ( B C M Tứ giác: Hình thang: - a a a / /b - Diện tích S  ab h Hình thang cân: h h b b - Có hai cạnh bên a - Có hai cặp góc tương ứng h - Có hai đường chéo b Hình thang vuông: - Cạnh bên vuông góc hai đáy Hình bình hành - Có các cặp cạnh đối song song và - Hai đường chéo cắt trung điểm đường b h O a - Diện tích S  h.a Hình thoi - Có các cạnh - Có đường chéo vuông góc và cắt trung điểm đường h c O d - Diện tích S  h.a  c.d 106 Hình vuông cạnh a - Diện tích S  a - Hai đường chéo vuông góc, a O - O là tâm hình vuông Hình chữ nhật b - Diện tích S  ab - Hai đường chéo - O là tâm hình chữ nhật a O Định lý Talet A - Trong tam giác:  AM AN MN  AB  AC  BC  AM AN MN / / BC     MB NC   MB  NC  AB AC N M d B C - Trong mặt phẳng: a  AB A ' B '  AC  A ' C '  AB A ' B ' a / /b / / c     BC B ' C '   BC  B ' C '  AC A ' C ' - Trong không gian: A A' b B B' c C C' Tương tự mặt phẳng Cho đường thẳng bất kì các mặt phẳng song song chắn hai đường thẳng theo các đoạn thẳng tỉ lệ 107 Các bài toán thể tích và góc: Góc cạnh bên và mặt phẳng đáy S Phƣơng pháp chung: - Xác định hình chiếu H S lên mặt phẳng đáy - Khi đó góc cạnh bên bất kì là góc cạnh đó và hình chiếu nó Ví dụ: SB với mặt phẳng đáy chính là ( A B góc SBH H C D Góc mặt bên và mặt phẳng đáy S Phƣơng pháp chung : - Xác định hình chiếu H S lên mặt phẳng đáy - Xác định giao tuyến mặt bên và mặt phẳng đáy - Kẻ SM vuông góc giao tuyến suy HM vuông góc giao tuyến A B - Khi đó góc mặt bên và mặt đáy H chính là góc SMH ( M C D - Nếu SA vuông góc đáy thì A là hình chiếu S lên mặt phẳng đáy - Nếu hình chóp có cách cặp cạnh bên thì tâm O đáy chính là hình chiếu S - Sử dụng góc lượng giác tam giác vuông để tính đường cao 108 Các bài toán thể tích: Dạng toán để lấy 0,5 điểm đề thi Các em cần xác định đƣợc góc cạnh bên và mặt phẳng đáy, góc mặt bên và mặt phẳng đáy : Bƣớc : Xác định hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng đáy Bƣớc : Góc cạnh bên và đáy : ta nối hình chiếu và giao điểm cạnh bên và đáy Góc mặt bên và đáy : từ hình chiếu hạ vuông góc với giao tuyến mặt bên và mặt phẳng đáy Sử dụng các công thức cạnh và góc để tính độ dài cạnh và diện tích Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, SA vuông góc đáy các cạnh AB=a, BC=2a Tính thể tích khối chóp các trường hợp sau : o a) SB tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 o b) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45 Giải : a) Ta có : SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu S S lên mặt phẳng đáy Nên góc SB và mp(ABC) là góc SB và AB :  SBA  60o Ta có : SA  AB.tan SBA  a.tan 60o  a Và AC  BC  AB2  3a2  AC  a A C ( Diện tích tam giác ABC : S ABC B 1 a2  AB AC  a.a  2 Vậy thể tích khối chóp S.ABC: VS ABC 1 a a3  SA.S ABC  a  (dvtt) 3 2 109 b) Hạ AH vuông góc BC ta suy SH vuông góc S BC ( Định lý đường vuông góc) Khi đó góc mp(SBC) và mp(ABC) là góc o hai đường thẳng SH và AH:  SHA  45 Áp dụng định lý cạnh và đường cao tam giác vuông ABC : A C AH BC  AB AC  AH  ( H o Suy SA  AH tan 45  B AB AC a.a a   BC 2a a Vậy thể tích khối chóp S.ABC: VS ABC 1 a a a3  SA.S ABC   (dvtt) 3 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có O là giao điểm AC và BD, SO=2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD các trường hợp sau: o a) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc 45 o b) Các mặt bên tạo với mặt đáy góc 45 Giải: a) Ta có S.ABCD là hình chóp nên: S SA=SB=SC=SD suy SO vuông góc đáy Suy O là hình chiếu S lên mặt phẳng đáy o Các cạnh bên cùng tạo với đáy góc 45 A ) ( Ta có: SAO  SBO  SCO  SDO  45o B Suy ra: AO  SO.tan 45o  2a  AC  AO  4a Do ABCD là hình vuông: AB  O ) D ( C   S ABCD  AB  2a Vậy thể tích VS ABCD  AC 4a   2a 2  8a 16a3  SO.S ABCD  (dvtt) 3 110 b) Từ O kẻ OM vuông góc AD suy M là S trung điểm AD Suy SM vuông góc AD (Đ.lý đường v.góc) Suy góc mặt bên (SAD) và mặt đáy là góc o SM và MO  SMO  45 Suy : MO  SO.tan 45o  2a  AB  2MO  4a B A M  S ABCD  AB2  16a ) O Vậy thể tích VS ABCD C D 32a3  SO.S ABCD  (dvtt) 3 Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác cạnh a Mặt phẳng (A‟BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60o Tính theo a thể tích lăng trụ Giải: B' A' Ta có ABC.A‟B‟C‟ là lăng trụ nên AA‟ vuông góc mặt phẳng (ABC) suy A là hình chiếu A‟ lên mặt phẳng (ABC) Từ A hạ AM vuông góc BC suy M là trung điểm BC ( Do ABC là tam giác đều) C' Suy góc mp(A‟BC) và mp(ABC) là góc A B ( M C A‟M và AM  AMA '  60o a2 a Ta có AM  và S ABC  o Suy AA '  AM tan 60  a 3a 3 2 Vậy thể tích lăng trụ: VABC A' B 'C '  AA '.S ABC 3a a 3 3a3   Ví dụ : Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông C, ABC  30o và AB=2a Hình chiếu điểm A‟ lên mặt phẳng (ABC) là điểm H trung điểm cạnh AB Biết o A‟B tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Tính theo a thể tích lăng trụ Giải : 111 B' A' Ta có H là hình chiếu A‟ lên mặt phẳng (ABC) nên suy A‟H vuông góc mp(ABC) Suy góc A‟C và mp(ABC) là góc A‟C và HC  A ' CH  60o C' H A B ( C Tam giác ABC vuông C nên ta có : AC  AB.sin 30o  2a  a BC  AB.cos 30o  2a a HC  AB a o Suy : A ' H  HC.tan 60  a Và S ABC 1 a2  AC.BC  a.a  2 Vậy thể tích lăng trụ : VABC A' B 'C '  A ' H S ABC a 3a3 a  (dvtt) 2 Bài tập : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B có AB=BC=a, SA vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a SB 2a b SC tạo với đáy góc 45o c Mp(SBC) tạo với đáy góc 45o Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A có AB=AC=a, SA vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a SB tạo với đáy góc 45o , đó SBC là tam giác gì ? b Mp(SBC) tạo với đáy góc 60o Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp các thường hợp sau: a SB tạo với đáy góc 60o b Mp(SBC) tạo với đáy góc 60o 112 Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh đáy a Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a Cạnh bên có độ dài a b Các cạnh bên tạo với đáy góc 60o c Các mặt bên tạo với mặt đáy góc 60o Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cạnh 2a, đỉnh S cách điểm A, B, C Gọi O là tâm tam giác ABC, chứng minh SO vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a SA tạo với đáy góc 30o b Mp(SAB) tạo với đáy góc 60o Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB  a, ABC  60o , SA vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a SB tạo với đáy góc 60o b Mp(SBC) tạo với đáy góc 60o Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB  a, BAC  60o , hình chiếu đỉnh S trên mp(ABC) là trung điểm AC Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a Cạnh SA có độ dài 2a b Cạnh SB tạo với đáy góc 60o c Mp(SAB) tạo với đáy góc 60o d Mp(SBC) tạo với đáy góc 45o Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh A, SA=SB=SC Có AB  a, AC  2a , tính thể tích hình chóp các trường hợp sau : a Tam giác SAB là tam giác b Cạnh SA tạo với đáy góc 60o c Mp(SBC) tạo với đáy góc 30o Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, mp(SAB) vuông góc đáy và SAB là tam giác cân S Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau : a SC tạo với đáy góc 60o b Mp(SAC) tạo với đáy góc 45o 113 10.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, M là trung điểm BC Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy là trung điểm AM, mp(SBC) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp 11.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A AB=AC=a, tam giác SBC và tạo vơi mặt phẳng đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp 12.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, điểm H nằm trên AB cho AH  2BH và SH vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau : a Tam giác SAC cân C b SAC tạo với đáy góc 60o 13.Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60o , SBC là tam giác vuông cân S và SB=SC=a Tính thể tích hình chóp 14.Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy góc  , SAB là tam giác cạnh a và ABC là tam giác cân C Tính thể tích hình chóp theo a và  15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a SC tạo với đáy góc 60o b Mp(SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 60o c Mp(SCD) tạo với đáy góc 60o 16.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh AB  a, AC  a SA vuông góc đáy tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a SC tạo với đáy góc 30o b Mp(SCD) tạo với đáy góc 45o 17.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, đỉnh S cách các đỉnh A, B, C, D Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau: a Mặt bên tạo với đáy góc 45o b Góc mp(SAB) và mp(SCD) là 30o 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC  120o có SA=SC, SB=SD Mp(SAB) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp 19.Cho hình chóp S.ACBD có đáy là hình chữ nhật AB=2AC=2a, SA=SB=SC=SD Mp(SAB) vuông góc mp(SAC) Tính thể tích hình chóp 114 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có BAC  30o , SAB là tam giác cạnh a Tính thể tích hình chóp các trường hợp sau : a SD tạo với đáy góc 60o b Mp(SAD) tạo với đáy góc 60o 21.Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông A, ABC  30o cạnh bên AA‟=a Mp(ABC‟) tạo với đáy góc 60o Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ 22.Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác cân A, AA‟=AB=AC=a Mp(A‟BC) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích lăng trụ 23.Cho hình lập phương ABCD.A‟B‟C‟D‟ cạnh a Tính thể tích : a Hình chóp A‟.ABCD b Khối đa diện A‟B‟C‟.ABCD 24.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác đều, A‟ cách đỉnh tam giác ABC Tính thể tích lăng trụ các trường hợp : a Cạnh bên tạo với đáy góc 60o b Mp(ABB‟A‟) tạo với đáy góc 60o 25.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB=2BC Hình chiếu A‟ lên mp(ABC) là trung điểm cạnh AC và AA‟=2a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau : a Mp(A‟BC) tạo với đáy góc 45o b Mp(ABB‟A‟) tạo với đáy góc 45o 26.Cho hình hộp ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy ABCD là hình chữ nhật, các cạnh bên hợp với đáy góc 60o Hình chiếu đỉnh A‟ lên mp(ABCD) nằm trên cạnh AC, AA‟=2a Tính thể tích hình hộp các trường hợp sau : a Cạnh AC=2a và mp(ABB‟A‟) tạo với đáy góc 60o b Cạnh AC=a và AB=2AC 27.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác cạnh a, mp(A‟BC) tạo với mp(ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp A‟.B‟C‟CB 28.Cho hình hộp ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy là hình thoi cạnh a, A‟A=A‟B  a, A‟D  a , mp(A‟BD) vuông góc đáy Tính thể tích hình hộp 115 Ứng dụng thể tích vào tìm khoảng cách: Ta quan tâm đến khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 3Vchop V  d , S  d  day Dùng công thứ:c chop  dinh , day   dinh,day  Sday Trong bài toán ta đã tính đƣợc thể tích khối chóp nên để tính khoảng cách từ điểm đên mặt phẳng ta cần tính đƣợc diện tích mặt phẳng đáy tƣơng ứng Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, SA vuông góc đáy o và SA=a Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Giải: Ta có SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu S S lên mặt phẳng (ABC) Kẻ AM vuông góc BC suy M là trung điểm BC Và góc mp(SBC) và mp(ABC) là góc SM và AM  SMA  45o Suy AM  A B ( M C SA a tan 45o Tam giác ABC vuông cân A nên : BC  AM  2a  AB  Suy S ABC  BC 2a  a 2 AM BC  a 2 Vậy thể tích: VS ABC 1 a3  SA.S ABC  a.a  (dvtt) 3 Khoảng cách: 3V S ABC Ta có: VS ABC  d A, SBC  SSBC  d A, SBC   SSBC Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) 3V d A, SBC   S ABC S SBC a3 a   a 1 Mà: SSBC  SM BC  a 2.2a  a 2 2 2 Do: SM  SA  AM  2a  SM  a 116 Bài tập: Bài toán liên quan khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc và SA=SB=SC=a Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ S đến mp(ABC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD  3a hình chiếu vuông góc S lên mp(ABCD) là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, ABC  30o , SBC là tam giác cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A‟ lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB, góc A‟C và mặt đáy 60o Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ và khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC‟A‟) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Cho lăng trụ ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a Hình chiếu vuông góc điểm A‟ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc hai mặt phẳng (ADD‟A‟) và (ABCD) 60o Tính thể tích khối lăng trụ đã chó và khoảng cách từ điểm B‟ đến mặt phẳng (A‟BD) theo a Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA‟  a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích lăng trụ và khoảng cách hai đường thẳng AM và B‟C Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD  120o , M là trung điểm cạnh BC và SMA  45o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Cho hình hộp đứng ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy là hình vuông, tam giác A‟AD vuông cân, A‟C  a Tính thể tích khối tứ diện ABB‟C‟ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD‟) theo a 10.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, BA=3a, BC=4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC) Biết SB  2a và SBC  30o Tính thể tích khối chớp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a 117 11.Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB=a, AA‟=2a, A‟C=3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A‟C‟, I là giao điểm AM và A‟C Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) 12.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác vuông A, AC=a, ACB  60o Đường thẳng B‟C tạo với mặt phẳng (ACC‟A‟) góc 30o Tính thể tích lăng trụ theo a và khoảng cách điểm C‟ và mặt phẳng (AB‟C) Các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích : 13.Cho tình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi vuông góc M, N là trung điểm SB và SC Tính: a Thể tích hình chóp S.AMN biết AB=AC=SA=a b Mp(AMN) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó 14.Cho hình chóp S.ABC có điểm M là trung điểm SA Mặt phẳng qua M và song song mp(ABC) cắt SB N, SC P Tính: a Tỉ số thể tích S.MNP và S.ABC b Tỉ số thể tích S.MNP và S.AMN 15.Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi vuông góc Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC C‟, cắt SB B‟ chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích phần đó 16.Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng (P) qua SG và song song với AB chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó 17.Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm trên cạnh SA cho SN=3NA Mp(NGB) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó 18.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, có SA=SB=SC và đôi vuông góc a Mặt phẳng qua trung điểm M BC và vuông góc AC chia hình chóp thành hai phần Tính thể tích hai phần đó b Điểm N trên cạnh BD và BD=3BN, mặt phẳng qua N và vuông góc CD chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó 19.Cho hình chóp S.ABC có điểm M trên SA cho AM=2SM, N trên SB cho BN=2SN Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chí khối chóp thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó 118 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành, M là trung điểm SB Mặt phẳng qua AM là song song với BC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó 21.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là điểm trên cạnh SB Mặt phẳng qua AM và song song BD chia hình chóp thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó các TH sau: a SM=2MB b M là trung điểm SB 22.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD//BC, mặt phẳng qua AD song song BC cắt SB M, cắt SC N chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số SM SB 23.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (P) qua AB cắt SC, SD M và N chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số SM SC 24.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành B‟, D‟ là trung điểm SB, SD Mặt phẳng (AB‟D‟) cắt SC C‟ Tính tỉ số thể tích S.AB‟C‟D‟ và S.ABCD 25.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SA=a Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB B‟, SC C‟, SD D‟ Tính tỉ số thể tích hai hình chóp S.AB‟C‟D‟ và S.ABCD 26.Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành M, N, P là trung điểm AB, AD, SC Chứng minh mp(MNP) chia hình chóp thành hai phần 27.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác a, SA vuông góc đáy và SA=2a M là trung điểm SB Mặt phẳng qua AM song song BC cắt SC N Tính thể tích hình chóp S.AMN và khoảng cách từ A đến mp(SBC) 28.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SB tạo với đáy góc 45o Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB B‟, SC C‟, SD D‟ Tính thể tích hình chóp S.AB‟C‟D‟và: a Khoảng cách từ S đến mp(AB‟C‟D‟) b Khoảng cách từ B‟ đến mp(SAC) 29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA vuông góc đáy SA=AB=a, AC=2a Điểm M là trung điểm SA và N trên SB thõa mãn SN=2NB, mặt phẳng (P) qua MN và song song AD cắt SC P, SD Q a Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp chia mp(P) Từ đó suy thể tích S.NMPQ 119 b Tính khoảng cách từ C đến mp(MNPQ) 30.Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Điểm C‟ là trung điểm SC, mặt phẳng qua AM và song song BD cắt SB B‟, SD D‟ Tính thể tích khối đa diện B‟C‟D‟.ABCD và khoảng cách từ giao điểm O AC và BD đến mp(AB‟C‟D‟) Các bài toán khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo nhau: 31.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a 32.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B, AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a 33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi M, N là trung điểm AB và AD ; H là giao điểm CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a 34.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB  a , AC  a và hình chiếu vuông góc đỉnh A‟ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A‟.ABC và tính cosin góc hai đường thẳng AA‟ và B‟C‟ 35.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A, mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SA, BC 120 F SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN I Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Ráp trục tọa độ vào bài toán hình không gian  Bƣớc 2: Suy tọa độ các đỉnh, các điểm trên hệ trục vừa ghép  Bƣớc 3: Tùy vào yêu cầu bài toán ta viết thêm phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng  Bƣớc 4: Sử dụng các tính chất Oxyz để làm  Chú ý:  Bài toán ghép trục Oxyz yêu cầu tính toán dựa trên tính chất véctơ, đường và mặt không gian nên phải có kiến thức Oxyz phần trên  Phương pháp ghép trục Oxyz làm cho bài toán hình không gian trở nên dễ giải khía cạnh nào đó  Ta thường ghép trục để tính khoảng cách và góc bài toán hình không gian II Các bài toán ghép trục thƣờng gặp và cách suy tọa độ các đỉnh Các bài toán thƣờng gặp Cách ghép trục  S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, y hình vuông  SA vuông góc đáy S Khi đó: A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AB ;0; AD  D   0;0; AD  B A x S   0; SA ;0  D C z 121  S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hình vuông y  Các cạnh bên (SO vuông góc đáy) S Khi đó: A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AB ;0; AD  B A x D   0;0; AD  O  AB AD  S  ; SO ;    C D z  S.ABCD có đáy là hình thoi, hình vuông y  Có SO vuông góc đáy S Khi đó: O  (0;0;0) A  ( AO ;0;0) B   0;0;  OB  C   OC ;0;0  B A D   0;0; OD  O S   0; SO ;0  D z C x 122  S.ABCD có đáy là hình bình hành, hình thoi y  SA vuông góc đáy: S Khi đó : A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AB  AH ;0; DH D   AH ;0; DH  H B A  x S   0; SA ;0  C D z y  Đáy là hình bình hành  Có SO vuông góc đáy S Khi đó: A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AB  AH ;0; DH D   AH ;0; DH  H B A  x O  AB  AH DH  S  ; SO ;  2   D C z 123  S.ABC có đáy là tam giác vuông, tam giác y  SA vuông góc đáy S Khi đó: A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AH ;0; CH  H B A S   0; SA ;0  x C z  S.ABC có đáy là tam giác cạnh a  Các cạnh bên Khi đó: y A  (0;0;0) B   a;0;0  S a a 3 C   AH ;0; CH    ; o;  2   H a a 3 S   AH ; SO ; OH    ; SO ;    B A x O C z 124 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh, SA vuông góc đáy và SA  a 15 Điểm M là trung điểm CD, góc SM và mặt phẳng đáy 30o , N là trung điểm SB Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAM) Giải: Do SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu y S lên mp(ABCD) Suy góc SM và mp(ABCD) là góc S SM và AM  SMA  30o o Suy ra: AM  SA.tan 30  a 15 N a Gọi cạnh hình vuông là x x B A Ta có : AD  x, DM  x x  AM  2 x  a  x  2a  S ABCD  x  4a  ( C D M Vậy thể tích : z VS ABCD   Ta có: AS  0, a 15, , AM   a, 0, 2a     AS , AM   15a , 0,  15a   n SAM    2, 0, 1  SAM  :  x     y     z     SAM  : x  z  Khoảng cách từ N đến mp(SAM) 2a  1 Ghép hệ trục tọa độ hình, với : A trùng với gốc tọa độ O AB trùng với trục Ox AS trùng với trục Oy AD trùng với trục Oz Suy phương trình mặt phẳng (SAM): d N  SAM   15a3  SA.S ABCD  (dvtt) 3  2a Suy ra: A   0, 0,  , B   2a, 0,  , C   0, 0, 2a   D   2a, 0, 2a  , S  0, a 15,  Tọa độ M, N là trung điểm CD và SB nên:  a 15  M   a, 0, 2a  , N   a, ,    125 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông B góc ACB  30o , AC=2a Hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H cạnh AC, SH  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) -Đề minh họa Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo 2015Giải: Ta có: y AB  AC.sin 30o  a S BC  AC cos 30o  a  S ABC a2  AB.BC  2 Vậy thể tích VS ABC K H A ( x C a3  SH S ABC  Ghép hệ trục hình: A trùng với gốc tọa độ O AC trùng với trục Ox Ay trùng với trục Oy B Az trùng với trục Oz z a a 3 Ta có: AB   , 0,  , AS  a, a 2,  2    a2 a2 a2      AB, AS     , ,  2     n SAB    6, 3,   x  0   y  0   z  0  6x  y  2z  Khoảng cách dừ C đến mp(SAB): dC , SAB    6.2a  3.0  2.0     3    2  A   0, 0,  , C   2a, 0,  , S a, a 2,   Hạ BK vuông góc AC, ta có: BK AC  AB.BC  BK  AK  AB  BK  Suy phương trình mp(SAB)  SAB  :   SAB  :  Suy ra: AB.BC a  AC a2 a  AK  a a 3  Suy tọa độ B   , 0, 2   6a 11 126 Những bài toán hình không gian mức Trung Bình nên ta có thể làm nhiều cách khác Chọn cách nào các em thấy phù hợp và dễ hiểu Tự ghép trục cho các bài toán khoảng cách phần trên để rèn luyện 127 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A Bài toán đếm tổng quát I Các định nghĩa: Quy tắc cộng: Khi giải việc chia thành nhiều trường hợp thì ta sử dụng quy tắc cộng: Trường hợp 1: có a cách Trường hợp 2: có b cách ……………………… Trường hợp n: có z cách Vậy ta có a+b+ +z cách thực Quy tắc nhân: Khi giải việc phải trải qua nhiều giai đoạn hoàn thành thì ta sử dụng quy tắc nhân: Giai đoạn 1: có a cách Giai đoạn 2: có b cách …………………… Giai đoạn n: có z cách Vậy ta có a.b…z cách thực Hoán vị : Cho tập hợp A có n phần tử hoán vị n phần tử A là thứ tự n phần tử này, phần tử có mặt đúng lần Số các hoán vị n phần tử : Pn  n!  1.2.3 n Chỉnh hợp : Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên dương k,  k  n Chỉnh hợp n chập k phần tử tập A là thứ tự k phần tử từ n phần tử A Số chỉnh hợp n chập k : Ank  n! (n  k )! Tổ hợp : Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên dương k,  k  n Tổ hợp n chập k phần tử tập A là số tập A có k phần tử Số tổ hợp n chập k : Cnk  n! k!(n  k )! 128 Phân biệt :  Dùng qui tắc cộng làm việc mà có nhiều trường hợp xảy quanh việc đó  Dùng qui tắc nhân làm việc mà phải trải qua đầy đủ các bước hoàn thành công việc đó  Dùng hoán vị ta xếp n vật vào n vị trí cố định  Dùng chỉnh hợp chọn k vật n vật cho trước mà có xét thứ tự, có nghĩa là k vật lấy lần thay đổi vị trí cho ta kết thì ta dùng chỉnh hợp  Dùng tổ hợp chọn k vật n vật cho trước mà không xét thứ tự, có nghĩa là k vật lấy dù có thay đổi vị trí nào là kết mà thôi II Các bài toán thƣờng gặp : Bài toán : Xếp vị trí  Xếp thành dãy : Xếp n đối tượng vào dãy liên tiếp thì ta có n ! cách xếp  Xếp vòng tròn : Xếp n đối tượng vào bàn tròn thì ta cố định đối tượng trước sau đó xếp (n 1) đối tượng còn lại  Xếp thành dãy cho có nhóm k đối tƣợng ngồi gần :  Ta xem k đối tượng là đối tượng lớn, đó ta xếp  n  k  1 đối tượng vào các vị trí  Và phải xếp vị trí k đối tượng đối tượng lớn  Xếp xen kẽ : Xếp m đối tƣợng A và n đối tƣợng B vào hàng cho các đối tƣợng xen kẽ với nhau.(các đối tƣợng nhỏ A và B là khác nhau)  Nếu m  n thì ta có 2.n!.n! cách  Nếu m  n thì ta coi đã xếp n đối tượng B và xếp m đối tượng A vào các vị trí đối tượng B Ví dụ : Trường học tổ chức thi thử, trường có tầng tầng 10 phòng và có 10 giáo viên nam, 10 giáo viên nữ Hỏi trường có bao nhiêu cách chia giáo viên coi thi (mỗi giáo viên coi phòng thi) a) Chia tùy ý b) Chia cho tầng là giáo viên nữ, tầng là giáo viên nam c) Mỗi tầng có giáo viên nam và giáo viên nữ Giải : 129 a) Có 20 giáo viên chia vào 20 phòng thi cách tùy ý thì số cách chia chính là số hoán vị 20 Ta có : 20! cách chia b) Chia 20 giáo viên vào 20 phòng cho 10 giáo viên nữ tầng và 10 giáo viên nam tầng : Giai đoạn : Chia cho tầng gồm 10 giáo viên nữ thì ta có : 10! cách chia Giai đoạn 2: Chia cho tầng gồm 10 giáo viên nam thì ta có : 10! cách chia Để chia hết 20 người thì ta phải trải qua giai đoạn nên theo quy tắc nhân ta có: 10!.10! cách chia c) Chia 20 giáo viên cho tầng bao gồm giáo viên nam và giáo viên nữ : Giai đoạn : Chọn giáo viên nam cho tầng : chọn 10 người có C10 cách Chọn giáo viên nữ cho tầng : chọn 10 người có C10 cách Sau chọn xong 10 người cho tầng ta chia 10 người vào 10 phòng có 10 ! cách chia Suy có C10 C10 10! cách chia giáo viên cho tầng Giai đoạn 2: còn lại 10 giáo viên gồm nam nữ nên ta việc chia 10 người vào 10 phòng tầng 2, ta có: 10! Cách chia Vậy theo quy tắc nhân ta có C10 C10 10!.10! cách chia 20 giáo viên cho tầng gồm giáo viên nam và giáo viên nữ Ví dụ 2: Bạn Cương và gấu cùng với nhóm người bạn cùng ăn nhà hàng Mười người xếp vào ngồi bàn tròn 10 chổ ngồi Hỏi coc bao nhiêu cách chia chổ ngồi cho: a) Ngồi tùy ý b) Cương và gấu ngồi gần c) Cương và gấu không ngồi gần Giải: a) Xếp 10 người vào ngồi bàn tròn đầu tiên ta cố định vị trí người trước, sau đó ta xếp người còn lại vào vị trí Ta có: 9! cách xếp b) Để Cương và gấu ngồi gần ta xem Cương và gấu là đối tượng lớn cần xếp Riêng Cương và gấu ta có 2! cách xếp Ta xem xếp người vào bàn tròn, cố định người ta có: 8! cách xếp Theo quy tắc nhân ta có: 2! 8! cách xếp để Cương và gấu ngồi gần 130 c) Để Cương và gấu không ngồi cạnh ta sử dụng phần bù Lấy số cách xếp tùy ý trừ số cách xếp cho Cương và gấu ngồi cạnh nhau, ta có : 9! 2!8! cách xếp Ví dụ : Anh Dương có 10 sách gồm sách Toán khác và sách Văn khác Hỏi có bao nhiêu cách để anh Dương xếp thành chồng 10 sách cho : a) Sách Toán và sách Văn nằm xen kẽ b) sách Toán luôn nằm gần c) Không có sách Toán nào nằm gần Giải : a) Để sách Toán và sách Văn nằm xen kẽ thì ta có trường hợp : TH1 : T-V-T-V-T-V-T-V-T-V Với trường hợp này ta thấy sách toán nằm vị trí cố định là 1-3-5-7-9 nên có : 5! cách Sách Văn nằm vị trí cố định là 2-4-6-8-10 nên có 5! Cách Theo quy tắc nhân cho trường hợp này ta có 5!5! cách xếp TH2 : V-T-V-T-V-T-V-T-V-T Với trường hợp này ta xếp tương tự với TH1 nên có 5!5! cách xếp Do chia TH khác nên theo quy tắc cộng ta có 5!5! 5!5!  2.5!5! cách xếp b) Để sách toán luôn nằm gần ta xem sách Toán là đối tượng lớn, số cách xếp cho Toán là : 5! cách Sau đó ta xếp đối tượng sách Toán với cách Văn thì ta coi xếp sách nên có : 6! Cách Theo quy tắc nhân ta có 5!6! cách xếp c) Để không có sách toán nào nằm gần thì hai sách Toán phải là sách Văn Đầu tiên ta xếp sách Văn tùy ý, ta có : 5! cách xếp Khi đó sách Toán nằm các khoảng trống - các sách Văn hai vị trí ngoài cùng : -V-V-V-V-VTa thấy có vị trí - mà sách Toán có thể xếp vào Ta có Toán và vị trí có thể xếp nên ta có A6 cách xếp Vậy theo quy tắc nhân ta có 5! A6 cách xếp 131 Bài tập vận dụng : 1) Xếp nhóm có 10 nam và 10 nữ vào dãy bàn có 20 chổ ngồi Hỏi có bao nhiêu cách xếp để : a) Ngồi tùy ý Đ/s : 20 ! b) Nam nữ ngồi xen kẽ Đ/s : 2.10!10! c) 10 nam luôn ngồi gần Đ/s : 10!11! 2) Một gia đình người bao gồm: ông, bà, cha, mẹ, anh trai, chị gái và em út ăn nhà hàng Họ xếp ngồi vào bàn tròn, Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí: a) Các thành viên gia đình ngồi tùy ý Đ/s : ! b) Em út luôn ngồi gần mẹ Đ/s : !6 ! c) Em út luôn ngồi gần bà và mẹ Đ/s : !5 ! 3) Một lớp học có 12 nam và nữ chụp hình lưu niệm cuối năm cùng cô giáo Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí để chụp hình cho nữ đứng hai nam Đ/s : 12!A11 4) Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 nam và 10 nữ vào bàn tròn cho nam nữ ngồi xen kẽ Đ/s : 9!10! 5) Một bữa tiệc gồm 10 nam 10 nữ xếp vào ngồi hai bàn tròn bàn 10 chổ Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí để nam nữ ngồi xen kẽ 5 Đ/s : C10C10  4!5! 6) Một nhóm học sinh chuyên toán bao gồm học sinh lớp 12 và học sinh lớp 11 Hỏi có bào nhiêu cách xếp học sinh này vào hai dãy ghế đối diện (mỗi dãy ghế) cho hai học sinh ngồi cạnh không cùng lớp và hai học sinh đối diện khác lớp Đ/s : 2.4!4! 7) Xếp 12 học sinh bao gồm nam và nữ vào dãy bàn dài 12 chổ ngồi Hỏi có bao nhiêu cách xếp : a) Nam nữ ngồi xen kẽ Đ/s : 12! b) Luôn có đúng năm bạn nữ ngồi cạnh Đ/s : 6!A6 A7 c) Luôn có ít năm bạn nữ ngồi cạnh Đ/s : 6! A6 A7  A7   132 8) Có sách Toán giống nhau, sách Lý nhau, sách Hóa Có bao nhiêu cách xếp 12 sách lên dãy trên kệ sách: a) Xếp tùy ý b) Sách Toán và sách Lý xen kẽ c) Với trường hợp các sách là khác hỏi có bao nhiêu cách xếp để sách Toán và Lý xen kẽ? Đ/s : a) 27720 b) c) 4.3!4!5! 9) Một buổi tiệc sinh nhật tổ chức nhà hàng gồm 25 người tham dự đó có 15 nam và 10 nữ có chủ bữa tiệc Họ xếp vào bàn hình chữ nhật dài có 26 chổ ngồi ( bao gồm hai đầu, đầu chổ ngồi) Hỏi có bao nhiêu cách xếp để riêng chủ buổi tiệc ngồi hai đầu bàn và: a) Bên cạnh luôn là nữ b) Bên cạnh là nữ và nữ ngồi hai nam Đ/s : a) A10 22!  6 b) 16.C10C14 6!6!8!A7  50.C10C14 7! A6  10) Một lớp học gồm 41 thành viên tham gia học quân sân trường, gồm 24 nam và 17 nữ Khi đại đội trưởng hiệu thì 41 thành viên xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp : a) Bạn nữ luôn đứng đầu và cuối hàng b) Không có hai bạn nữ nào đứng cạnh c) 17 bạn nữ luôn đứng cạnh Đ/s : a) A17 39! 17 b) 24!A25 c) 17!24!A25 133 Bài toán : Tìm số  Số chẵn : Số có số hạng cuối cùng là số chẵn : 0, 2, 4, 6,  Số chia hết cho 3: Số có tổng các số hạng chia hết cho  Số chia hết cho 5: Số có số hạng cuối cùng là 0,  Số chia hết cho 4: Số có hai số hạng cuối cùng là 00 chia hết cho  Số chia hết cho 6: Số chẵn và chia hết cho  Số chia hết cho 8: Số có ba số hạng cuối cùng là 000 chia hết cho  Số chia hết cho 9: Số có tổng chia hết cho  Phƣơng pháp:  Gọi số cần tìm có dạng a1a2 : Liệt kê các kết dùng qui tắc cộng  Nếu số cần tìm có các số hạng khác và khác thì ta dùng chỉnh hợp  Nếu số cần tìm chưa khác thì ta phải chia TH để xét a1  Bài toán tìm số tƣơng đối giống bài toán xếp vị trí ta coi số hạng là đối tƣợng Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Có chữ số? b) Có chữ số khác đôi một? c) Có chữ số khác và chia hết cho d) Có chữ số và chia hết cho Giải: a) Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với 0,1, 2, ,9 Chọn số cho a1 : Có cách chọn ( số hạng đầu phải khác 0) Chọn số cho a2 : Có 10 cách chọn Chọn số cho a3 : Có 10 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 9.10.10  900 số tự nhiên thỏa mãn b) Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với 0,1, 2, ,9 Chọn số cho a1 : Có cách chọn (do số hạng đầu phải khác 0) Chọn số cho a2 : Có cách chọn (do phải khác số hạng đầu) 134 Chọn số cho a3 : Có cách chọn (do phải khác hai số đã chọn) Theo quy tắc nhân ta có 9.9.8  648 số tự nhiên thỏa mãn c) Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với 0,1, 2, ,9 Số chia hết cho thì là số chẵn nên a3 là các số : 0, 2, 4, 6, Do a1 phải khác nên ta chia hai trường hợp TH1 : Chọn a3  đó : Chọn số cho a1 : Có cách chọn Chọn số cho a2 : Có cách chọn (do phải khác số hạng đầu và 0) Theo quy tắc nhân ta có 1.9.8  72 số tự nhiên thỏa mãn TH2: Chọn a3 là các số 2,4,6,8 : có cách chọn Chọn số cho a1 : Có cách chọn (do phải khác a3 và khác 0) Chọn số cho a2 : Có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 4.8.8  256 số tự nhiên thỏa mãn Vậy ta có 72  256  328 số tự nhiên thỏa mãn d) Số chia hết cho có số hàng đơn vị là Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với 0,1, 2, ,9 Do a1 phải khác nên ta chia hai trường hợp TH1 : Chọn a3  đó : Chọn số cho a1 : Có cách chọn Chọn số cho a2 : Có cách chọn (do phải khác số hạng đầu và 0) Theo quy tắc nhân ta có 9.8  72 số tự nhiên thỏa mãn TH2: Chọn a3  Chọn số cho a1 : Có cách chọn (do phải khác a3 và khác 0) Chọn số cho a2 : Có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 8.8  64 số tự nhiên thỏa mãn Vậy ta có 72  64  136 số tự nhiên thỏa mãn 135 Ví dụ 2: Từ các số 1, 2, 3, 4, Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác đôi và chia hết cho Giải: Số chia hết cho là số có tổng chia hết cho Nên ta chọn các số có số khác từ các số 1, 2,3, 4,5 mà có tổng chia hết cho Bao gồm các bộ: (1,2,3) (2,3,4) (3,4,5) Một lần hoán vị các số cho ta số cần tìm Mỗi số cho ta 3! số Vậy ta có 3.3! số tự nhiên thỏa mãn Ví dụ 3: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có: a) Có chữ số khác đôi b) Có chữ số khác và khác đó số và số xuất đúng lần c) Có chữ số khác đó số xuất đúng lần Giải: a) Cách 1: Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 a5a6 a7 với 0,1, 2, , 6 Các em tự chọn tiếp kết là 6.6.5.4.3.2.1  4320 số tự nhiên thỏa mãn Cách 2: Ta thấy từ 0-6 có số mà ta lập số có chữ số nên số các số cần tìm là số các hoán vị 7, ta có 7! số tự nhiên Nhưng các số có số nên xuất các số có dạng 0a2 a3a4 a5a6 a7 không thỏa mãn nên ta cần tìm số các số này và trừ là Ta có số các số có dạng 0a2 a3a4 a5a6 a7 lập từ 0-6 có : 6! số Vậy theo phần bù thì số các số thỏa mãn là 7! 6!  4320 số tự nhiên b) Số có chữ số khác và khác đó số và số xuất đúng lần có nghĩa là số có số 1, số và các số 2,4,5,6 xuất lần Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8 Do số và số xuất lần và không xét đến thứ tự nên ta coi xếp các số đó vào vị trí cho trước : Chọn vị trí cho số : C8 cách Chọn vị trí cho số : C6 cách Các vị trí còn lại số xuất lần nên ta cần xếp tùy ý nên có 4! cách 2 Vậy ta có C8 C6 4! số tự nhiên thỏa mãn 136 Bài tập vận dụng: 1) Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Là số chẵn có chữ số b) Là số lẻ có chữ số c) Là số lẻ có chữ số đôi khác d) Là số có chữ số đôi khác và chia hết cho 2) Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi có thể lập bao nhiêu số tự nhiên từ cac số trên: a) Có chữ số và là số chẵn b) Có chữ số và là số lẻ c) Có chữ số và chia hết cho d) Có chữ số và chia hết cho 3) Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên lập từ các số trên và: a) Là số chẵn có chữ số khác b) Là số chẵn có chữ số khác và không bắt đầu 12 c) Là số có chữ số khác và luôn luôn chứa số d) Là số có chữ số cho số xuất đúng lần và các số còn lại khác 4) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên: a) Có chữ số phân biệt mà chữ số và đứng liền b) Có số phân biệt mà chữ số và không đứng liền c) Có chữ số đó số và số xuất lần và các số còn lại xuất đúng lần 5) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà có mặt số và số 6) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và các chữ số khác có mặt tối đa lần 7) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác đôi và chia hết cho 8) Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác và lớn 500000 9) Từ các chữ số đến lập các số tự nhiên có chữ số Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Có chữ số đứng b) Có chữ số đứng và đôi khác c) Có chữ số chẵn và chữ số lẽ xen kẽ 137 10 ) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu số tự nhiên: a) Có chữ số khác và bé 345 b) Có chữ số và bé 345 11 ) Tìm tất các số tự nhiên có chữ số đó: a) Chữ số đứng sau bé chữ số đứng liền trước b) Chữ số đứng trước bé chữ số đứng liền sau 12 ) Phương trình x  y  z  2014 có bao nhiêu nghiệm (x ;y ;z) nguyên dương ? 13 ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Có thể lập bao nhiêu số có chữ số : a) Các chữ số khác đôi b) Các chữ số khác đôi luôn có chữ số và c) Các chữ số khác đôi luôn có chữ số và 6, hai số 1, phải đứng cạnh 14 ) Từ các số 1, 2, 3, 4, Có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác đôi một, tính tổng tất các số đó 15 ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác đôi một, tính tổng tất các số đó 138 Bài toán: Rút ra-Phân chia  Chia nhóm n đối tƣợng thành k nhóm nhỏ  Do kết là nhóm đối tượng nên không có thứ tự: ta dùng tổ hợp  Chia làm nhiều giai đoạn phân chia: giai đoạn chọn đối tượng cho nhóm  Rút từ n đối tƣợng k đối tƣợng có tính chất khác nhau:  Tùy vào yêu cầu đề mà ta phải sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp  Nếu n đối tượng có nhiều nhóm đối tượng (a ,b ,c …) khác loại thì chọn đối tượng cho nhóm đối tượng đó ta dùng qui tắc nhân  Nhừng bài toán có dạng: Số đối tượng cần chọn thuộc không quá i nhóm, thuộc nhóm a không quá m đối tượng … ta có thể dùng phần bù để làm Ví dụ 1: Một tổ 12 thành viên gồm nam và nữ Có bao nhiêu cách chia 12 thành viên thành nhóm nhỏ: a) Mỗi nhóm người b) Mỗi nhóm người và có nam và nữ Giải: a) Chia 12 thành viên thành nhóm cách chọn là không phân biệt thứ tự: Chọn thành viên cho nhóm có: C12 cách Chọn thành viên cho nhóm có: C9 cách Chọn thành viên cho nhóm có: C6 cách Nhóm cuối là các thành viên còn lại 3 Vậy theo quy tắc nhân ta có C12C9 C6 cách chia b) Chọn thành viên cho nhóm có: C8 cách chọn bạn nam và C4 cách chọn bạn nữ nên ta có C8 C4 cách chọn thành viên cho nhóm Chọn thành viên cho nhóm có: C6 cách chọn bạn nam và C3 cách chọn bạn nữ nên ta có C6 C3 cách chọn thành viên cho nhóm 2 Chọn thành viên cho nhóm có: C4 cách chọn bạn nam và C2 cách chọn bạn nữ nên ta có C4 C2 cách chọn thành viên cho nhóm 2 Nhóm cuối gồm các thành viên còn lại Vậy ta có C8 C4 C6 C3 C4 C2 cách chia 139 Ví dụ 2: Anh Dương có tờ 50000đ, tờ 20000đ và tờ 10000đ các tờ tiền cùng mệnh giá là khác Đang là dịp Tết nên anh Dương định lì xì cho em học sinh học sinh tờ Hỏi có bao nhiêu cách lì xì để sau lì xì xong anh Dương còn lại đầy đủ mệnh giá Giải: Để sau lì xì xong anh Dương còn lại đầy đủ mệnh giá thì mệnh giá tiền còn lại ít tờ Do anh Dương lì xì cho học sinh nên không có trường hợp mệnh giá lì xì hết Ta dùng phần bù sau: Chọn cách để anh Dương lì xì hết mệnh giá bất kì lấy phần bù là số cách lì xì mà còn lại đầy đủ mệnh giá TH1: Lì xì hết tờ 50000đ: Chọn tờ 50000đ: có cách Chọn mệnh giá còn lại có: C10 cách Lì xì cho em học sinh có: 6! cách Suy có C10 6! cách TH2: Lì xì hết tờ 20000đ: Chọn tờ 20000đ: có cách Lì xì cho em học sinh có: 6! cách Suy có 6! cách TH3: Lì xì hết tờ 10000đ: Chọn tờ 10000đ có: cách Chọn mệnh giá còn lại có: C11 cách Lì xì cho em học sinh có: 6! cách Suy có C11 6! cách Suy có C10 6! 6! C11 6!  66.6! cách lì xì để hết mệnh giá bất kì Số cách lì xì tùy ý là A15 cách Vậy số cách để anh Dương lì xì mà còn lại đầy đủ mệnh giá là: A15  66.6! cách Cách 2: Các em có thể xem bài toán đếm và đếm, xảy nhiều trường hợp và dài 140 Bài tập vận dụng: 1) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ hỏi có bao nhiêu cách phân công đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam và nữ Đáp số: C124 C31C84C21 2) Các thành viên đoàn trường gồm 12 thành viên, đó gồm thành viên lớp A, thành viên lớp B, thành viên lớp C Cần chọn thành viên làm nhiệm vụ, Có bao nhiêu cách chọn để: a) Bốn thành viên phải có đủ học sinh lớp b) Bốn thành viên này thuộc không quá lớp Đáp số: 1 1 a) C5 C4C3  C5C4 C3  C5C4C3 b) 225 3) Một hộp đựng 18 viên bi khác nhau, đó có viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ hộp viên bi cho: a) Bốn viên bi có đủ màu b) Luôn có bi màu trắng c) Bốn bi lấy không có đủ màu Đáp số: a) 1440 b) 1320 c) 1620 4) Thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dể Hỏi thầy giáo có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra từ 30 câu hỏi biết đề kiểm tra có câu hỏi khác , cho đề phải có đủ loại câu và số câu hỏi dể không ít Đáp số: 56875 5) Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ và nhà Vật lí nam Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác người mà có nam có nữ và có Toán và Lí Đáp số: 90 6) Một thầy giáo có 12 sách khác gồm sách Văn, sách Toán và sách Lí Thầy lấy sách tặng cho học sinh Có bao nhiêu cách tặng mà sau tặng xong thì loại sách còn ít Đáp số: 579600 7) Có đội bóng tham gia giải đấu đó có đội bóng Việt Nam, đội chia thành ba bảng bảng đội bóng Hỏi có bao nhiêu cách chia bảng cho ba đội Việt Nam thuộc ba bảng khác Đáp số: 3!C62C42 141 B NHỊ THỨC NEWTƠN I Các đại lƣợng tổ hợp: Lý thuyết:  Pn  n!  1.2.3 (n  1).n Qui ước : 0!   Ank  Công thức : n!  n  k ! Cnk  Cnnk Cnk  n! k ! n  k ! Cnk  Cnk 1  Cnk11 Ank  Cnk Pk Bài tập : 1/Giải các phương trình, bất phương trình sau : a/ Cx  Cx  Cx  x k k 2 k 1 c/ C14  C14  2C14 e/ A2 x  Ax2  Cx3  10 x  2 b/ Px Ax  72  Ax  2Px  d/ Cx  6Cx  6Cx  x  14 x f/ Ax  Ax  21x  142 II Nhị thức Newton : Lý thuyết :  Nhị thức Newton :  a  b n  Cn0 an  Cn1 an1.b  Cn2 an b2   Cnn1a.bn1  Cnn bn  Có n  số hạng k nk k  Số hạng tổng quát : Cn a b  Số hạng thứ k : Cnk 1a nk 1.bk 1  Số hạng đầu ứng với k   Các dạng thƣờng gặp :   a  b n  Cn0 a n  Cn1a n1.b  Cn2 a n2 b2    1 Cnnbn n k nk k Số hạng tổng quát :  1 Cn a b k  1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn1 x n1  Cnn x n k k Số hạng tổng quát : Cn x  1  x  n k k Hệ số x là : Cn  Cn0  Cn1 x  Cn2 x    1 k k Số hạng tổng quát :  1 Cn x k n 1 Cnn1 x n1   1 Cnn x n n k k Hệ số x là :  1 Cn k Các dạng toán thƣờng gặp : k a Dạng toán : Tìm số hạng thứ k hay hệ số x khai triển P(x)  Bƣớc : Viết số hạng tổng quát của khai triển P(x)  Bƣớc : - Nếu đề yêu cầu tìm số hạng thứ k thì ta lấy số hạng tương ứng với (k-1) k - Nếu đề yêu cầu tìm hệ số x thì ta tìm k tương ứng suy hệ số  Đặc biệt : k  Nếu P(x) cho dạng tổng nhiều khai triển thì hệ số x P(x) k là tổng các hệ số x khai triển nhỏ  Nếu P(x) cho dạng tích nhiều khai triển (thường là 2) thì ta phải chia nhiều trường hợp để tìm số hạng 143 Bài tập vận dụng : 1) Viết ba số hạng đầu tiên khai triển :   2x  2) Tìm hệ số x khai triển biểu thức : b/ Q( x)   3x   a/ P( x)    3x  10 3) Tìm hệ số x khai triển biểu thức : a/ A( x)  1  x   1  x   1  x  b/ B( x)  1  x   1  x   1  x  10 11 c/ C ( x)  1  x 1  x  10 11 12 d/ D( x)   x  3 1  x   4) Tìm số hạng đứng khai triển x  xy  30  1 1002 khai triển  x   2001 5) Tìm hệ số x x   6) Tìm số hạng không chứa x khai triển : 18  3 b/  x   ; x  x   2 a/  x   x   n   n n 1 x   Cnn2  79 c/   Biết : Cn  Cn x   18 1  n 1 n 7) Tìm số hạng chứa x khai triển   x  Biết Cn4  Cn3  7(n  3) x  8) Tìm hệ số x khai triển thành đa thức 1  x (1  x)  9) Tìm hệ số lớn khai triển 1  2x  12 28  y 10 ) Tìm số hạng khai triển  x   có số mũ x gấp bốn lần số mũ y x  n 11 ) Biết hệ số x n2 1  khai triển  x   31 Tìm n 4  n 3 12 ) Với n nguyên dương, a3n 3 là hệ số x khai triển thành đa thức biểu    x  2 Tìm n để a thức : x  n n n 3  26n 144 III Xác suất : Lý thuyết :  Không gian mẫu : Tất các khả xảy phép thử Kí hiệu   Biến cố : Một biến cố A liên quan đến phép thử T mô tả tập  A nào đó không gian mẫu Biến cố A xảy và kết T thuộc tập  A Mỗi phần tử  A gọi là kết thuận lợi A  Xác suất biến cố : Giả sử phép thử T có không gian mẫu là  và các kết T là đồng khả Nếu A là biến cố và  A là tập hợp mô tả A thì xác suất A tính công thức : P( A)  A  Với  A : tất các biến cố thuận lợi A ;  : là độ lớn không gian mẫu Tính chất :  P( A)  với biến cố A  Biến cố xung khắc : Hai biến cố A và B gọi là xung khắc biến cố này xảy thì biến cố không xảy  A  B    Biến cố đối : Là biến cố không A hay A không xảy Kí hiệu : A Ta có : P(A)   P(A)  Biến cố độc lập : Hai biến cố A và B gọi là độc lập việc xảy A không ảnh hưởng gì đến xác suất xảy B và ngược lại  Biến cố hợp : Biến cố hợp hai biến cố A và B là biến cố xảy A xảy B Kí hiệu : A  B  Biến cố giao : Biến cố giao hai biến cố A và B là biến cố xảy đồng thời A và B Kí hiệu : AB 145  Các qui tắc xác suất :  Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì : P( A  B)  P( A)  P( B) Tổng quát : Nếu n biến cố đôi xung khắc A1 , A2 , , An P( A1  A2   An )  P( A1 )  P( A2 )   P( An )  Nếu hai biến cố A và B độc lập thì : P( AB)  P( A).P( B) Tổng quát : Nếu n biến cố đôi độc lập A1 , A2 , , An P( A1 A2 An )  P( A1 ).P( A2 ) P( An ) Phƣơng Pháp Giải Toán :  Bài toán :  Bƣớc : Tính độ lớn không gian mẫu :   Bƣớc : Gọi biến cố cần tìm xác xuất Tính các kết thuận lợi A :  A  Bƣớc : Dùng công thức tính xác suất  Các bước tìm độ lớn KGM và các kết thuận lợi A ta làm phần bài toán đếm  Dùng qui tắc xác suất :  Bƣớc : Tính độ lớn không gian mẫu :   Bƣớc : Gọi các biến cố Ai liên quan Tính P( Ai ) , P( Ai )  Bƣớc : Dựa vào câu hỏi đề gọi biến cố cần tìm Quy các biến cố cần tìm trở thành biến cố hợp biến cố giao các biến cố Ai  Bƣớc : Dùng qui tắc xác suất để tính Bài toán xác suất thực tế là bài toán tổ hợp  Xác định đúng không gian mẫu  Định hình đƣợc đề bài và câu hỏi và tìm các khả xảy biến cố  Xác định đúng chỉnh hợp và tổ hợp để tránh trƣờng hợp sai đáng tiếc  Xử dụng phần bù đúng tránh đƣợc các lỗi lặp  Đề thi cho mức độ Trung Bình-Khá nhƣng phải hiểu đúng làm đƣợc 146 Ví dụ : Có 10 học sinh xếp vào dãy ghế 10 chổ ngồi đó có hai bạn A và B Tính xác suất để A và B ngồi gần Giải : Không gian mẫu là số cách xếp 10 người vào 10 vị trí   10! Goi A là biến cố : „„ Hai bạn A và B ngồi gần ‟‟ Số các kết thuận lợi A :  A  2!9! Xác suất để A và B ngồi gần là P  A  A   2!9!  10! Ví dụ : Bạn A đưa người yêu mắt gia đình Cả nhà người cùng ăn nhà hàng và xếp vào ngồi bàn tròn Cả nhà ngồi vào bàn cách ngẫu nhiên tính xác suất để A và người yêu không ngồi gần Giải : Ta có không gian mẫu là số cách xếp người vào bàn tròn   7! Gọi A là biến cố : „„ A và người yêu không ngồi gần nhau‟‟ Suy A là biến cố : „„ A và người yêu ngồi gần nhau‟‟ Số các kết thuận lợi A là  A  2!6!   Ta có xác suất để A và người yêu ngồi gần P A  A   2!6!  7!   Vậy xác suất để A và người yêu không ngồi gần : P  A   P A    7 Ví dụ : Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi khác nhau, câu hỏi có đáp án để học sinh lựa chọn Một học sinh cá biệt khoanh đáp án cách ngẫu nhiên, tính xác suất để học sinh này đạt đúng điểm ( Mỗi câu đúng điểm) Giải : Gọi Ai là biến cố : „„ Học sinh khoanh đúng đáp án câu thứ i‟‟ với i  1, ,10 Suy Ai là biến cố : „„ Học sinh khoanh sai đáp án câu thứ i‟‟ Ta có : P  Ai      P Ai   P  Ai   4 Gọi B là biến cố : „„ Học sinh đạt điểm‟‟ 147 Để đạt điểm thì học sinh này phải đánh đúng đáp án đúng câu và sai câu Ta có : C10 cách    Theo quy tắc xác suất thì : P  B   C10  P  Ai   P Ai 5  0.0583992 Bài tập: 1) Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối Tính xác suất để: a) Tổng số chấm xuất trên mặt hai xúc xắc nhỏ b) Ít có xúc xắc xuất mặt chấm c) Có đúng xúc xắc xuất mặt chấm Đáp số: a) 7/12 b) 11/36 c) 5/18 2) Một bình đựng bi xanh khác nhau, bi đỏ khác Lấy ngẫu nhiên bi, tính xác suất để: a) Ba bi chọn là ba bi xanh Đáp số : 14/55 b) Ba bi chọn là ba bi đỏ Đáp số : 1/55 3) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Người ta chon viên bi từ hộp đó Tính xác suất để số bi lấy không có đủ ba màu Đáp số : 48/91 4) Một tổ có học sinh nam và học sinh nữ Chi tổ thành nhóm người Tính xác suất để chia ngẫu nhiên nhóm nào có nữ Đáp số : 16/55 5) Gieo ba xúc xắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất ba xúc xắc Đáp số : 25/216 6) Một bình đựng bi xanh và bi đỏ Chọn bi, tính xác suất để : a) Hai bi chọn cùng màu Đáp số : 5/11 b) Hai bi chọn khác màu Đáp số : 6/11 7) Một xe máy có hai động cơ, hai động này hoạt động độc lập với Xác suất để động chạy tốt là 0,8 Xác suất để động chạy tốt là 0,7 Tính xác suất để : a) Cả hai động chạy tốt Đáp số : 14/25 b) Có đúng động chạy tốt Đáp số : 19/50 c) Có ít động chạy tốt Đáp số : 47/50 8) Hai máy bay ném bom mục tiêu, máy bay ném với xác suất trúng mục tiêu là 0,7 và 0,8 Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom Đáp số : 47/50 148 10 ) Có hộp bi Hộp có bi xanh và bi đỏ, hộp có bi xanh và bi đỏ Lấy ngẫu nhiên hộp bi Tìm xác suất để ít bi đỏ Đáp số : 29/50 11 ) Xác suất bắn trúng hồm tâm cung thủ là 0,2 Tính xác suất để ba lần bắn độc lập : a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng lần Đáp số : 48/125 b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít lần Đáp số : 61/125 12 ) Có hộp bi, hộp có bi đỏ và bi trắng Các viên bi khác màu Chia cho người hộp bi và lấy ngẫu nhiên viên từ hộp mình Tìm xác suất để số bi đỏ lấy Đáp số : 33/75 13 ) Một gia đình người vào tiệm ăn trên đường Hùng Vương Thực đơn tiệm có món ăn, thành viên chọn món ngẫu nhiên Tính xác suất để bốn người gọi bốn món khác Đáp số : 105/256 14 ) Một tổ gồm 12 học sinh đó có bạn nam và bạn nữ Tổ chia thành nhóm nhỏ, nhóm học sinh gồm nam và nữ A là bạn nam, B là bạn nữ tổ Tính xác suất để A và B chia cùng nhóm Đáp số : 1/16 15 ) An và Linh cùng bạn khác chia làm nhóm nhóm bạn để chơi rượt bắt Hỏi xác suất để An và Linh chung nhóm là bao nhiêu ? Đáp số : 3/7 16 ) Cuộc thi bóng đá VFF tổ chức có đội bóng tham gia, đó có đội bóng Việt Nam và đội bóng từ các nước khác Các đội bóng tham gia chia làm bảng bảng đội Bang tổ chức cho các đội bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để đội bóng Việt Nam nằm bảng khác Đáp số : 9/28 17 ) Trong thi „„Rung chuông vàng‟‟ thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết đó có bạn nữ và 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi Bang tổ chức chia các bạn thành nhóm A, B, C, D nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc cùng nhóm Đáp số : 1/15504 18 ) Hai thí sinh A và B tham gia buổi thí vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi ; thí sinh chọn phong bì số đó để xác định câu hỏi thi mình Biết 10 câu hỏi dành cho các thí sinh là nhau, tính xác suất để câu hỏi A chọn và câu hỏi B chọn là giống Đáp số : 1/120 149