TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
A. Bài toán đếm tổng quát
II. Các bài toán thường gặp
Xếp thành dãy : Xếp n đối tượng vào một dãy liên tiếp thì ta có !n cách xếp.
Xếp vòng tròn : Xếp n đối tượng vào một bàn tròn thì ta sẽ cố định một đối tượng trước rồi sau đó xếp (n1) đối tượng còn lại.
Xếp thành dãy sao cho có 1 nhóm k đối tƣợng ngồi gần nhau :
Ta xem k đối tượng là một đối tượng lớn, khi đó ta xếp n k 1 đối tượng vào các vị trí.
Và phải xếp vị trí của k đối tượng trong đối tượng lớn.
Xếp xen kẽ : Xếp m đối tƣợng A và n đối tƣợng B vào một hàng sao cho các đối tƣợng xen kẽ với nhau.(các đối tƣợng nhỏ trong A và B là khác nhau)
Nếu mn thì ta có 2. !. !n n cách
Nếu mn thì ta coi như đã xếp n đối tượng B rồi và xếp m đối tượng A vào các vị trí giữa 2 đối tượng của B.
Ví dụ 1 : Trường học tổ chức thi thử, trường có 2 tầng mỗi tầng 10 phòng và có 10 giáo viên nam, 10 giáo viên nữ. Hỏi trường có bao nhiêu cách chia giáo viên coi thi (mỗi giáo viên coi một phòng thi)
a) Chia tùy ý.
b) Chia sao cho tầng một là giáo viên nữ, tầng 2 là giáo viên nam.
c) Mỗi tầng đều có 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ.
Giải :
a) Có 20 giáo viên được chia vào 20 phòng thi một cách tùy ý thì số cách chia chính là số hoán vị của 20. Ta có : 20! cách chia.
b) Chia 20 giáo viên vào 20 phòng sao cho 10 giáo viên nữ ở tầng 1 và 10 giáo viên nam ở tầng 2 :
Giai đoạn 1 : Chia sao cho tầng 1 gồm 10 giáo viên nữ thì ta có : 10! cách chia Giai đoạn 2: Chia sao cho tầng 2 gồm 10 giáo viên nam thì ta có : 10! cách chia Để chia hết 20 người thì ta phải trải qua 2 giai đoạn nên theo quy tắc nhân ta có:
10!.10! cách chia
c) Chia 20 giáo viên sao cho mỗi tầng bao gồm 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ : Giai đoạn 1 :
Chọn 5 giáo viên nam cho tầng 1 : chọn 5 trong 10 người có C105 cách Chọn 5 giáo viên nữ cho tầng 1 : chọn 5 trong 10 người có C105 cách
Sau khi chọn xong 10 người cho tầng 1 ta chia 10 người vào 10 phòng có 10 ! cách chia Suy ra có C C105. 102.10! cách chia giáo viên cho tầng 1.
Giai đoạn 2: còn lại 10 giáo viên gồm 5 nam 5 nữ nên ta chỉ việc chia 10 người vào 10 phòng của tầng 2, ta có: 10! Cách chia.
Vậy theo quy tắc nhân ta có C C105. 102.10!.10! cách chia 20 giáo viên sao cho mỗi tầng gồm 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ.
Ví dụ 2: Bạn Cương và gấu cùng với một nhóm 8 người bạn nữa cùng đi ăn ở một nhà hàng.
Mười người được xếp vào ngồi một bàn tròn 10 chổ ngồi. Hỏi coc bao nhiêu cách chia chổ ngồi sao cho:
a) Ngồi tùy ý.
b) Cương và gấu ngồi gần nhau.
c) Cương và gấu không ngồi gần nhau.
Giải:
a) Xếp 10 người vào ngồi một bàn tròn đầu tiên ta cố định vị trí của một người trước, sau đó ta xếp 9 người còn lại vào 9 vị trí. Ta có: 9! cách xếp
b) Để Cương và gấu ngồi gần nhau ta xem Cương và gấu là một đối tượng lớn cần xếp.
Riêng Cương và gấu ta có 2! cách xếp
Ta xem như đang xếp 9 người vào một bàn tròn, cố định một người ta có: 8! cách xếp.
Theo quy tắc nhân ta có: 2! 8! cách xếp để Cương và gấu ngồi gần nhau.
c) Để Cương và gấu không ngồi cạnh nhau ta sử dụng phần bù. Lấy số cách xếp tùy ý trừ đi số cách xếp sao cho Cương và gấu ngồi cạnh nhau, ta có : 9! 2!8! cách xếp.
Ví dụ 3 : Anh Dương có 10 quyển sách gồm 5 quyển sách Toán khác nhau và 5 quyển sách Văn khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để anh Dương xếp thành một chồng 10 quyển sách sao cho :
a) Sách Toán và sách Văn nằm xen kẽ nhau.
b) 5 quyển sách Toán luôn nằm gần nhau.
c) Không có 2 quyển sách Toán nào nằm gần nhau.
Giải :
a) Để sách Toán và sách Văn nằm xen kẽ nhau thì ta có 2 trường hợp : TH1 : T-V-T-V-T-V-T-V-T-V
Với trường hợp này ta thấy sách toán nằm ở 5 vị trí cố định là 1-3-5-7-9 nên có : 5! cách Sách Văn nằm ở 5 vị trí cố định là 2-4-6-8-10 nên có 5! Cách
Theo quy tắc nhân cho trường hợp này ta có 5!5! cách xếp.
TH2 : V-T-V-T-V-T-V-T-V-T
Với trường hợp này ta xếp tương tự với TH1 nên có 5!5! cách xếp
Do chia ra 2 TH khác nhau nên theo quy tắc cộng ta có 5!5! 5!5! 2.5!5! cách xếp.
b) Để 5 quyển sách toán luôn nằm gần nhau ta xem 5 quyển sách Toán là 1 đối tượng lớn, số cách xếp cho 5 quyển Toán là : 5! cách.
Sau đó ta xếp 1 đối tượng sách Toán với 5 quyển cách Văn thì ta coi như xếp 6 quyển sách nên có : 6! Cách.
Theo quy tắc nhân ta có 5!6! cách xếp.
c) Để không có 2 cuốn sách toán nào nằm gần nhau thì giữa hai cuốn sách Toán phải là sách Văn.
Đầu tiên ta xếp 5 cuốn sách Văn tùy ý, ta có : 5! cách xếp
Khi đó sách Toán sẽ nằm ở các khoảng trống - giữa các sách Văn hoặc hai vị trí ngoài
cùng : -V-V-V-V-V-
Ta thấy có 6 vị trí - mà sách Toán có thể xếp vào. Ta có 5 quyển Toán và 6 vị trí có thể xếp nên ta có A65 cách xếp.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 5!A65 cách xếp.
Bài tập vận dụng :
1) Xếp một nhóm có 10 nam và 10 nữ vào một dãy bàn có 20 chổ ngồi . Hỏi có bao nhiêu cách xếp để :
a) Ngồi tùy ý. Đ/s : 20 !
b) Nam nữ ngồi xen kẽ. Đ/s : 2.10!10!
c) 10 nam luôn ngồi gần nhau. Đ/s : 10!11!
2) Một gia đình 8 người bao gồm: ông, bà, cha, mẹ, anh trai, chị gái và em út đi ăn tại một nhà hàng. Họ được xếp ngồi vào một bàn tròn, Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí:
a) Các thành viên gia đình ngồi tùy ý. Đ/s : 7 !
b) Em út luôn ngồi gần mẹ. Đ/s : 2 !6 !
c) Em út luôn ngồi gần bà và mẹ. Đ/s : 2 !5 !
3) Một lớp học có 12 nam và 6 nữ chụp hình lưu niệm cuối năm cùng cô giáo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí để chụp hình sao cho mỗi một nữ đứng giữa hai nam.
Đ/s : 12!A117
4) Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 nam và 10 nữ vào một bàn tròn sao cho nam nữ ngồi xen kẽ.
Đ/s : 9!10!
5) Một bữa tiệc gồm 10 nam 10 nữ được xếp vào ngồi hai bàn tròn mỗi bàn 10 chổ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí để nam nữ ngồi xen kẽ.
Đ/s : C C105 105 4!5!2
6) Một nhóm học sinh chuyên toán bao gồm 4 học sinh lớp 12 và 4 học sinh lớp 11. Hỏi có bào nhiêu cách xếp 8 học sinh này vào hai dãy ghế đối diện (mỗi dãy 4 ghế) sao cho hai học sinh ngồi cạnh nhau không cùng lớp và hai học sinh đối diện nhau khác lớp.
Đ/s : 2.4!4!
7) Xếp 12 học sinh bao gồm 6 nam và 6 nữ vào một dãy bàn dài 12 chổ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp :
a) Nam nữ ngồi xen kẽ. Đ/s : 12!
b) Luôn có đúng năm bạn nữ ngồi cạnh nhau. Đ/s : 6!A A65 72
c) Luôn có ít nhất năm bạn nữ ngồi cạnh nhau. Đ/s : 6!A A65 72 A17
8) Có 5 cuốn sách Toán giống nhau, 4 cuốn sách Lý như nhau, 3 cuốn sách Hóa như nhau.
Có bao nhiêu cách xếp 12 cuốn sách lên một dãy trên kệ sách:
a) Xếp tùy ý.
b) Sách Toán và sách Lý xen kẽ nhau.
c) Với trường hợp các quyển sách là khác nhau hỏi có bao nhiêu cách xếp để sách Toán và Lý xen kẽ?
Đ/s : a) 27720 b) 4 c) 4.3!4!5!
9) Một buổi tiệc sinh nhật được tổ chức tại một nhà hàng gồm 25 người tham dự trong đó có 15 nam và 10 nữ có cả chủ bữa tiệc. Họ được sắp xếp vào một bàn hình chữ nhật dài có 26 chổ ngồi ( bao gồm cả hai đầu, mỗi đầu một chổ ngồi). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để chỉ riêng chủ buổi tiệc được ngồi ở hai đầu bàn và:
a) Bên cạnh anh ta luôn là nữ.
b) Bên cạnh anh ta là nữ và một nữ bao giờ cũng ngồi giữa hai nam.
Đ/s : a) 2.A102.22! b) 16.C C106 1466!6!8!A3750.C C105 147 7!A642
10) Một lớp học gồm 41 thành viên tham gia học quân sự ở sân trường, gồm 24 nam và 17 nữ. Khi đại đội trưởng ra hiệu thì 41 thành viên sẽ xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp :
a) Bạn nữ luôn đứng đầu và cuối hàng.
b) Không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau.
c) 17 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau.
Đ/s : a) A172.39! b) 24!A2517 c) 17!24!A251
2. Bài toán 2 : Tìm số.
Số chẵn : Số có số hạng cuối cùng là số chẵn : 0, 2, 4, 6, 8.
Số chia hết cho 3: Số có tổng các số hạng chia hết cho 3.
Số chia hết cho 5: Số có số hạng cuối cùng là 0, 5.
Số chia hết cho 4: Số có hai số hạng cuối cùng là 00 hoặc chia hết cho 4.
Số chia hết cho 6: Số chẵn và chia hết cho 3.
Số chia hết cho 8: Số có ba số hạng cuối cùng là 000 hoặc chia hết cho 8.
Số chia hết cho 9: Số có tổng chia hết cho 9.
Phương pháp:
Gọi số cần tìm có dạng a a1 2....ai : Liệt kê các kết quả rồi dùng qui tắc cộng.
Nếu số cần tìm có các số hạng khác nhau và khác 0 thì ta dùng chỉnh hợp.
Nếu số cần tìm chưa khác 0 thì ta phải chia TH để xét a1.
Bài toán tìm số cũng tương đối giống bài toán xếp vị trí nếu ta coi một số hạng là một đối tƣợng.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 3 chữ số?
b) Có 3 chữ số khác nhau đôi một?
c) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 d) Có 3 chữ số và chia hết cho 5
Giải:
a) Gọi số cần tìm có dạng a a a1 2 3 với ai0,1, 2,...,9
Chọn số cho a1 : Có 9 cách chọn ( do số hạng đầu phải khác 0) Chọn số cho a2 : Có 10 cách chọn
Chọn số cho a3 : Có 10 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 9.10.10900 số tự nhiên thỏa mãn.
b) Gọi số cần tìm có dạng a a a1 2 3 với ai0,1, 2,...,9
Chọn số cho a1 : Có 9 cách chọn (do số hạng đầu phải khác 0) Chọn số cho a2 : Có 9 cách chọn (do phải khác số hạng đầu)
Chọn số cho a3 : Có 8 cách chọn (do phải khác hai số đã chọn) Theo quy tắc nhân ta có 9.9.8648 số tự nhiên thỏa mãn.
c) Gọi số cần tìm có dạng a a a1 2 3 với ai0,1, 2,...,9
Số chia hết cho 2 thì là số chẵn nên a3 sẽ là một trong các số : 0, 2, 4, 6, 8 Do a1 phải khác 0 nên ta chia ra hai trường hợp
TH1 : Chọn a3 0 khi đó :
Chọn số cho a1 : Có 9 cách chọn
Chọn số cho a2 : Có 8 cách chọn (do phải khác số hạng đầu và 0) Theo quy tắc nhân ta có 1.9.872 số tự nhiên thỏa mãn.
TH2: Chọn a3 là các số 2,4,6,8 : có 4 cách chọn
Chọn số cho a1 : Có 8 cách chọn (do phải khác a3 và khác 0) Chọn số cho a2 : Có 8 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 4.8.8256 số tự nhiên thỏa mãn.
Vậy ta sẽ có 72 256 328 số tự nhiên thỏa mãn.
d) Số chia hết cho 5 sẽ có số hàng đơn vị là 0 hoặc 5 Gọi số cần tìm có dạng a a a1 2 3 với ai0,1, 2,...,9
Do a1 phải khác 0 nên ta chia ra hai trường hợp TH1 : Chọn a3 0 khi đó :
Chọn số cho a1 : Có 9 cách chọn
Chọn số cho a2 : Có 8 cách chọn (do phải khác số hạng đầu và 0) Theo quy tắc nhân ta có 9.872 số tự nhiên thỏa mãn.
TH2: Chọn a3 5
Chọn số cho a1 : Có 8 cách chọn (do phải khác a3 và khác 0) Chọn số cho a2 : Có 8 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 8.864 số tự nhiên thỏa mãn.
Vậy ta sẽ có 72 64 136 số tự nhiên thỏa mãn.
Ví dụ 2: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3.
Giải:
Số chia hết cho 3 là số có tổng chia hết cho 3. Nên ta sẽ chọn ra các bộ số có 3 số khác nhau từ các số 1, 2,3, 4,5 mà có tổng chia hết cho 3. Bao gồm các bộ:
(1,2,3) (2,3,4) (3,4,5)
Một lần hoán vị các bộ số sẽ cho ta một số cần tìm. Mỗi bộ số sẽ cho ta 3! số.
Vậy ta có 3.3! số tự nhiên thỏa mãn.
Ví dụ 3: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có:
a) Có 7 chữ số khác nhau đôi một.
b) Có 8 chữ số khác nhau và khác 0 trong đó số 1 và số 3 xuất hiện đúng 2 lần.
c) Có 8 chữ số khác nhau trong đó số 0 xuất hiện đúng 3 lần.
Giải:
a) Cách 1: Gọi số cần tìm có dạng a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 với ai0,1, 2,..., 6
Các em tự chọn tiếp kết quả là 6.6.5.4.3.2.1 4320 số tự nhiên thỏa mãn.
Cách 2: Ta thấy từ 0-6 có 7 số mà ta lập một số có 7 chữ số nên số các số cần tìm là số các hoán vị của 7, ta có 7! số tự nhiên.
Nhưng do trong các số có số 0 nên sẽ xuất hiện các số có dạng 0a a a a a a2 3 4 5 6 7 không thỏa mãn nên ta chỉ cần tìm số các số này và trừ ra là được.
Ta có số các số có dạng 0a a a a a a2 3 4 5 6 7 được lập từ 0-6 sẽ có : 6! số.
Vậy theo phần bù thì số các số thỏa mãn là 7! 6! 4320 số tự nhiên.
b) Số có 8 chữ số khác nhau và khác 0 trong đó số 1 và số 3 xuất hiện đúng 2 lần có nghĩa là số có 2 số 1, 2 số 3 và các số 2,4,5,6 xuất hiện 1 lần.
Gọi số cần tìm có dạng a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8
Do số 1 và số 3 xuất hiện 2 lần và không xét đến thứ tự nên ta coi như xếp các số đó vào 8 vị trí cho trước :
Chọn 2 vị trí cho số 1 : C82 cách Chọn 2 vị trí cho số 3 : C62 cách
Các vị trí còn lại do mỗi số xuất hiện một lần nên ta chỉ cần xếp tùy ý nên có 4! cách Vậy ta có C C82 624! số tự nhiên thỏa mãn.
Bài tập vận dụng:
1) Có bao nhiêu số tự nhiên:
a) Là số chẵn có 5 chữ số.
b) Là số lẻ có 5 chữ số.
c) Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau.
d) Là số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.
2) Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên từ cac số trên:
a) Có 7 chữ số và là số chẵn.
b) Có 7 chữ số và là số lẻ.
c) Có 7 chữ số và chia hết cho 5.
d) Có 3 chữ số và chia hết cho 3.
3) Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên lập từ các số trên và:
a) Là số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
b) Là số chẵn có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 12.
c) Là một số có 5 chữ số khác nhau và luôn luôn chứa số 5.
d) Là một số có 5 chữ số sao cho số 5 xuất hiện đúng 2 lần và các số còn lại khác nhau.
4) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 6 chữ số phân biệt mà 2 chữ số 1 và 6 đứng liền nhau.
b) Có 6 chứ số phân biệt mà 2 chữ số 1 và 6 không đứng liền nhau.
c) Có 8 chữ số trong đó số 1 và số 6 xuất hiện 2 lần và các số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
5) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà có mặt số 0 và số 9.
6) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần.
7) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.
8) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và lớn hơn 500000.
9) Từ các chữ số 1 đến 9 lập các số tự nhiên có 9 chữ số. Có bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có chữ số 9 đứng giữa.
b) Có chữ số 9 đứng giữa và đôi một khác nhau.
c) Có chữ số chẵn và chữ số lẽ xen kẽ nhau.
10 ) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 3 chữ số khác nhau và bé hơn 345.
b) Có 3 chữ số và bé hơn 345.
11 ) Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó:
a) Chữ số đứng sau bé hơn chữ số đứng liền trước.
b) Chữ số đứng trước bé hơn chữ số đứng liền sau.
12 ) Phương trình x y z 2014 có bao nhiêu bộ nghiệm (x ;y ;z) nguyên dương ? 13 ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số :
a) Các chữ số khác nhau đôi một.
b) Các chữ số khác nhau đôi một luôn có chữ số 1 và 6.
c) Các chữ số khác nhau đôi một luôn có chữ số 1 và 6, hai số 1, 6 phải đứng cạnh nhau.
14 ) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một, tính tổng của tất cả các số đó.
15 ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau đôi một, tính tổng của tất cả các số đó.
3. Bài toán: Rút ra-Phân chia.
Chia một nhóm n đối tƣợng thành k nhóm nhỏ.
Do kết quả là một nhóm đối tượng nên sẽ không có thứ tự: ta dùng tổ hợp.
Chia làm nhiều giai đoạn phân chia: mỗi giai đoạn chọn đối tượng cho 1 nhóm.
Rút ra từ n đối tƣợng k đối tƣợng có tính chất khác nhau:
Tùy vào yêu cầu của đề mà ta phải sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp.
Nếu trong n đối tượng có nhiều nhóm đối tượng (a ,b ,c …) khác loại thì khi chọn đối tượng cho mỗi nhóm đối tượng đó ta dùng qui tắc nhân.
Nhừng bài toán có dạng: Số đối tượng cần chọn thuộc không quá i nhóm, thuộc nhóm a không quá m đối tượng … ta có thể dùng phần bù để làm.
Ví dụ 1: Một tổ 12 thành viên gồm 8 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chia 12 thành viên thành 4 nhóm nhỏ:
a) Mỗi nhóm 3 người.
b) Mỗi nhóm 3 người và có 2 nam và 1 nữ.
Giải:
a) Chia 12 thành viên thành 4 nhóm do cách chọn là không phân biệt thứ tự:
Chọn thành viên cho nhóm 1 có: C123 cách Chọn thành viên cho nhóm 2 có: C93 cách Chọn thành viên cho nhóm 3 có: C63 cách Nhóm cuối là các thành viên còn lại.
Vậy theo quy tắc nhân ta có C C C123 93 63 cách chia.
b) Chọn thành viên cho nhóm 1 có: C82 cách chọn 2 bạn nam và C14 cách chọn 1 bạn nữ nên ta có C C82 14 cách chọn thành viên cho nhóm 1.
Chọn thành viên cho nhóm 2 có: C62 cách chọn 2 bạn nam và C31 cách chọn 1 bạn nữ nên ta có C C62 31 cách chọn thành viên cho nhóm 2.
Chọn thành viên cho nhóm 3 có: C42 cách chọn 2 bạn nam và C12 cách chọn 1 bạn nữ nên ta có C C42 12 cách chọn thành viên cho nhóm 3.
Nhóm cuối gồm các thành viên còn lại. Vậy ta sẽ có C C C C C C82 41. 62 31. 42 21 cách chia.