chuyên đề vế bất đẳng thức hình học

Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Tiền bạc ? Rồi hết Sắc đẹp ? Rồi phai … Chỉ có : Tri thức vào khồi óc Tình cảm vào tim Sẽ Sống với thời gian (Trần Phương 1990) Cuộc sống người liên tục kiếm tìm khẳng địng giá trị thân Mỗi vật có chỗ đứng giới ln thay đổi nhờ giá trị người ta không nhận vật nhận giá trị quan hệ so sánh Chính quan hệ tạo bất đẳng thức Bất đẳng thức Hình học sống Vì tơi kính gừi đến q thầy bạn chun đề vế “Bất đẳng thức Hình học”, tơi mong muốn người bạn thân thiết người yêu Toán học Trong trình soạn thảo, dù cố gắng, chắn chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót định tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ q thầy bạn Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Chương 1: Các kiến thức hình học số bất đẳng thức thường dùng………… Chương 2: Bất đẳng thức Hình học……….……… ………………………………………… 13  Bất đẳng thức tam giác………………………… ……………………….………13  Bất đẳng thức đa giác giác hình trịn…………………………………… 23  Bất đằng thức diện tích……………………………………………………………… 31  Bất đẳng thức khác ………………………………………………………………………36 Chương 3: Bài tập tự rèn luyện bất đẳng thức Hình học ……………………………………47 Phụ lục: Sơ lược vài nét Lịch sử Tốn học …………………………………………………52 (O) : Đường trịn tâm O Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học (O; R) : Đường trịn tâm O, bán kính R ABC : Tam giác ABC SABC : Diện tích ABC Tác giả: Phạm Trung Vinh (ABC) : Đường tròn ngoại tiếp ABC a,b,c : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC ha, hb, hc : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC ma, mb, mc : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC la, lb, lc : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC R, r : Bán kính đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác ra, rb, rc : Bán kính đường trịn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ABC đpcm : Điều phải chứng minh 2p : Chu vi tam giác n a k 1 k n a k 1 k  a1  a2   an  a1a2 an Ở chương này, nhắc lại số kiến thức hình học số bất đẳng thức thường sử dụng Chương gồm phần: Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học  Các kiến thức hình học  Một số bất đẳng thức thường dùng I Tác giả: Phạm Trung Vinh Các kiến thức hình học: Định lí 1: Gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp ABC, d khoảng cách tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Khi đó,ta ln có 2Rr = R2 – d2 Định lí 2: Cho ABC Nếu ABC  ACB AC > AB ngược lại Định lí 3: Cho trước ABC A’B’C’ có cặp cạnh AB = A’B’ AC = A’C’ Ta có bất   ' A ' C ' BC > B’C’ đẳng thức BAC B Định lí 4: Trong đường xiên nối điểm M cho trước với điểm N dường thẳng d cho trước, đường xiên có hình chiếu dài dài (tương tự cho mặt phẳng (P) bất kì) Định lí 5: Trong đường xiên nối điểm M cho trước với điểm N mặt phẳng (P) cho trước, đường xiên có hình chiếu dài dài Định lí 6: tam giác vng ABC A’B’C’ có A  A '  900 AB = A’B’ Nếu ABC  A ' B ' C ' AC ≥ A’C’ Định lí 7: Trong góc tam diện, mặt nhỏ tổng hai mặt Định lí 8: Tổng mặt góc đa diện lồi nhỏ 2π Định lí 9: Tổng góc nhị diện góc tam diện lớn π nhỏ 3π Định lí 10: Bán kính hai đường tròn R ≥ r, khoảng cách tâm chúng d Điều kiện cần đủ để hai đường trịn cắt R – r  d  R + r Định lí 11: Các số dương a, b, c độ dài cạnh tam giác a + b > c, b + c > a c + a > b Định lí 12: Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác.Khi ta ln có: MB + MC < AB + AC Định lí 13: Trong tam giác ABC ứng với cạnh dài đường cao, đường trung tuyến,đường phân giác ngắn Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Định lí 14: Trong tam giác ABC kí hiệu độ dài đường cao, la độ dài đường phân giác, ma độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A ta có bất đẳng thức : ma ≥ la ≥ Định lí 15: Đường trung tuyến AM tam giác ABC nhỏ nửa tổng cạnh AB AC xuất phát từ đỉnh A Định lí 16: Hình trịn nội tiếp hình trịn lớn chứa nột tam giác Định lí 17: Một tứ giác lồi bị chứa tứ giác khác ( không thiết lồi ) chu vi tứ giác bị chứa nhỏ chu vi tứ giác chứa bên Định lí 18: Trong nửa mặt phẳng bị chia đường thẳng qua điểm A B có đường gấp khúc AC1C2…CkB AD1D2…DpB cho đa giác AC1C2…CkB AD1D2…DpB đa giác lồi Nếu đa giác AC1C2…CkB chứa đa giác AD1D2…DpB bên đường gấp khúc AC1C2…CkB dài đường gấp khúc AD1D2…DpB Định lí 19: Một đa giác có chu vi khơng nhỏ chu vi đa giác tạo bao lồi Định lí 20: Nếu đa giác lồi chứa đa giác lồi khác chu vi đa giác ngồi lớn chu vi đa giác nằm Định lí 21: Độ dài đoạn thẳng nằm đa giác lồi không lớn khoảng cách lớn nối đỉnh Định lí 22: Cho (O; r) điểm M Khi ta có : R – d ≤ MN ≤ R + d Với N điểm đường trịn d khoảng cách từ M tới tâm đường trịn Định lí 23: Cho (O; r) điểm M ngồi đường trịn Khi ta có : d – R ≤ MN ≤ d + R Định lí 24: Cho trước điểm M hình trịn tâm O Trong dây cung qua M, dâycungvng góc với MO có độ dài nhỏ Định lí 25: Gọi P giao điểm đường tròn ( O1 ) ( O2 ) Khi đó, ta có bất đẳng thức MN ≤ 2O1O2 cho dây cung qua P.Dấu  « = » xảy  MN // O1O2 Định lí 26: Diện tích tam giác ABC khơng lớn AB.BC Định lí 27: Diện tích tứ giác ABCD khơng vượt Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn AB.BC  AD.DC Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Định lí 28: Trong tam giác có chu vi tam giác có diện tích lớn Ngun lí đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB đường ngắn nối hai điểm A B cho trước mặt phẳng  Ta có hệ sau: 1/ Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba 2/ Đường gấp khúc nối hai điểm A B cho trước ln có độ dài lớn độ dài đoạn thẳng AB 3/ Độ dài cung AB đường tròn cho trước qua A B lớn độ dài đoạn thẳng AB Ngun lí đường vng góc ngắn đường xiên: Đoạn vng góc ngắn đường xiên Định lí cạnh góc tam giác: Trong tam giác ứng với góc lớn cạnh lớn ngược lại Hệ thức lượng tam giác :  Trong tam giác vuông : A B H  AB2 + AC2 = BC2  BH.BC = AB2  AH2 = BH.CH   C 1   2 AH AB AC Trong tam giác thường  Định lí hàm Cos: a  b  c  2bc cos A Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh b  c  a  2ca cos B c  a  b  2ab cos C  Định lí hàm số Sin: a b c    2R sin A sin B sin C  Các cơng thức tính diện tích: S 1 abc aha  bc sin A   2 4R p  p  a   p  b   p  c   pr   p  a   Bán kính đường trịn nội tiếp, bàng tiếp: r   p  a  tan A A ;  p tan 2  Công thức tính độ dài trung tuyến: m  a  b2  c2   a  Cơng thức tính độ dài phân giác: la   4bc  b  c p  p  a Phép toán vector: Phép cộng vector:     Quy tắc điểm: AB  BC  AC     Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành AB  AD  AC  Phép trừ vector:     Quy tắc: AC  AB  BC  Tích vector với số: Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh     Cho số k ≠ a  Tích vector a với số k vector kí hiệu ka , hướng  vector a k > ngược hướng vector a k < có độ dài | k || a |  Tích vơ hướng hai vector:   Cho a, b khác vector Ta có :     a.b | a | | b | cos(a, b) Một số điểm đặc biệt tam giác:  Điểm Lemoine:  Định nghĩa: Trên cạnh BC, CA, AB ABC lấy điểm A1 , B1 , C1 tương ứng cho AC1 b BA1 c CB1 a  ,  ,  (các đường AA1 , BB1 , CC1 đường đối C1 B a A1C b B1 A c trung) Khi đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm L gọi điểm Lemoine  Tính chất: Cho ABC , L điểm tam giác Gọi H, K, N theo thứ tự hình chiếu L BC, CA, AB Khi L điểm Lemoine ABC L trọng     tâm HKN a LA  b LB  c LC  Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh  Điểm Toricelli: Cho ABC có góc nhỏ 1200 Khi tồn điểm T có tính chất nhìn cạnh BC, CA, AB góc 1200 Điểm T gọi điểm Toricelli ABC  Điểm Gergone: Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A1 , B1 , C1 Khi đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm J gọi điểm Gergone  Điểm Naghen: Các đường tròn bàng ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A1 , B1 , C1 Khi đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm N gọi điểm Naghen Các phép biến hình:  Cho trước tập hợp T điểm Một Phép biến hình f tập hợp T ánh xạ 1-1 T vào Với diểm M  T, ta kí hiệu ảnh M f  M  gọi M tạo ảnh điểm f  M   Với phép biến hình tập hợp điểm T cho trước, cần biết tính chất sau đây:  Tích phép biến hình T phép biến hình T  Phép đồng biến điểm M  T thành phép biến hình tập hợp T  Cho trước phép biến hình f : T  T ánh xạ f 1 nghịch đảo f phép biến hình tập hợp T  Các tính chất hiển nhiên phép dời hình: Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh  Phép dời hình bảo tồn độ lớn góc  Phép dời hình biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bảo tồn quan hệ thuộc yếu tố hình học  Phép dời hình biến hình H thành hình H’  Tích phép dời hình phép dời hình  Một số phép dời hình quan trọng:   Phép tịnh tiến theo a : phép biến hình mặt phẳng khơng gian  cho vector nối tạo ảnh ảnh vector a cho trước Tích phép tịnh     tiến theo a b phép tịnh tiến theo a  b  Phép quay quanh tâm O với góc : phép biến hình mặt phẳng cho với điểm M mặt phẳng ảnh M’ ta ln có góc  Tich phép quay tâm O với góc   phép quay quanh O với góc  +   Phép đối xứng qua tâm O: phép biến hình mặt phẳng không gian biến điểm M thành điểm M’ cho doạn thẳng MM’ nhận điểm O làm trung điểm Phép đối xứng qua tâm O mặt phẳng thực chất phép quay góc 1800 quanh điểm O  Phép đối xứng qua đường thẳng (trục) d: phép biến hình mặt phẳng không gian biến điểm M thành M’ cho đoạn thẳng MM’ nhận d đường trung trực  Phép quay góc  quanh trục d: phép biến hình khơng gian biến điểm M thành M’ cho điểm M’ nằm mặt phẳng qua M vng góc với đường  thẳng d cho MOM '   Khi góc  = 180 phép quay quanh trục thực chất phép dối xứng trục không gian  Một số phép biến hình khơng ln phép dời hình:  Phép vị tự hệ số k ≠ với tâm vị tự O: phép biến hình khơng gian mặt   phẳng, biến điểm M thành M’ cho OM '  kOM  Phép nghịch đảo hệ số k ≠ với tâm nghịch đảo S: phép biến hình tập hợp điểm khác S không goan tập hợp điểm khác S mặt phẳng biến  k  SM Phép nghịch đảo có điểm M ≠ S thành điểm M’ cho SM  SM tính chất sau: Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 10 Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh 38/ Trên bàn cờ 88 ta đánh dấu tâm tất ô Hỏi 13 đường thẳng chia bàn cờ làm phần cho phần có không điểm đánh dấu hay không? 39/ Bên tam giác nhọn lấy điểm P Chứng minh khoảng cách lớn số khoảng cách từ P đến đỉnh tam giác không nhỏ hai lần khoảng cách nhỏ số khoảng cách từ P đến cạnh 40/ Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm M1, N1, P1 cho đường thẳng MM1, NN1, PP1 chia chu vi tam giác thành phần nhau, M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh đường thẳng MM1, NN1, PP1 đồng qui điểm K b) Chứng minh tỉ số có tỉ số khơng bé Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 79 Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Tác giả: Phạm Trung Vinh Page 80 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Tác giả: Phạm Trung Vinh Page 81 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Cuốn cẩm nang tính tốn hồn thiện cân đối Từ tốn học có nghĩa "khoa học, tri thức hoặc học tập" Ngày nay, thuật ngữ "toán học" phận cụ thể tri thức - ngành nghiên cứu suy luận về lượng, cấu trúc, và sự thay đổi Lĩnh vực ngành học về Lịch sử Toán học phần lớn nghiên cứu nguồn gốc của nhữngkhám phá mới toán học, theo nghĩa hẹp nghiên cứu các phương pháp và kí hiệutốn học chuẩn trong q khứ Trước thời kì đại phổ biến rộng rãi tri thức tồn thế giới, ví dụ văn phát triển toán học tỏa sáng vùng, miền cụ thể Các văn toán học cổ từ Lưỡng Hà cổ đại (Mesopotamia) khoảng 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cập cổ đạikhoảng 1800 TCN (Rhind Mathematical Papyrus), Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN (Berlin 6619) và Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN (Shulba Sutras) Tất văn tự có nhắc đến Định lý Pythagore; có lẽ phát triển tốn học rộng cổ sau số học cổ đại và hình học Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại với tốn học, nhìn chung coi cống hiến quan trọng nhất, phát triển rực rỡ phương pháp chất liệu chủ đề toán học Một đặc điểm đáng ý lịch sử toán học cổ trung đại theo sau bùng nổ phát triển toán học thường ngưng trệ hàng kỉ Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng Ý vào kỉ 16, phát triển toán học mới, tương tác với phát khoa học mới, thực với tốc độ ngày tăng, điều tiếp điễn cho tới hiện 16, phát triển toán học mới, tương tác với phát khoa học mới, thực với tốc độ ngày tăng, điều cịn tiếp điễn cho tới hiện Tốn học thời sơ khai Nguồn gốc Rất lâu trước văn tự cổ nhất, có vẽ cho thấy kiến thức toán học đo thời gian dựa trên sao trời Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN Cũng các di khảo tiền sử được tìm thấy châu Phi và Pháp, thời gian khoảng 35000 TCN 20000 TCN, cho thấy cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 82 Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Các bằng chứng còn tồn cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu phụ nữ, người giữ vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, ba mươi vạch trên xương hoặc hịn đá, theo sau vạch cách biệt khác Hơn nữa, cácthợ săn đã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng như khơng khi xem xét số bầy thú Xương Ishango Xương Ishango được tìm thấy ở thượng nguồn sơng Nil (phía bắc Cộng hịa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN. Bản dịch thơng dụng hịn đá cho ta thấy chứng sớm thể một dãy các số nguyên tố và phép nhân Ai Cập cổ đại Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ TCN vẽ tranh thiết kế hình học khơng gian Người ta khẳng định đá tế thần ở Anh và Scotland từ thiên niên kỉ thứ TCN, bao gồm ý tưởng hình học như hình trịn, hình elíp vàbộ ba Pythagore trong thiết kế Nền toán học sớm biết trong Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN -2600 TCN ở nền văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) của Bắc Ấn Độvà Pakistan, phát triển hệ thống các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại sử dụng hệ cơ số 10, công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng các tỉ lệ, đường đặt một góc vng hồn hảo, số hình hình học thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ và vẽ các hình trịn và hình tam giác cắt đồng qui Các dụng cụ tốn học tìm bao gồm thước đo số 10 với độ chia nhỏ xác, dụng cụ vỏ sị hoạt động chiếc com pa để đo góc mặt phẳng theo bội 40-360 độ, dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần đường chân trời bầu trời, dụng cụ để đo vị trí nhằm mục đích định hướng Bản viết tay Indus chưa giải nghĩa; ta biết dạng viết tốn học Harappan Các chứng khảo cổ làm nhà sử học tin văn minh sử dụng hệ đếm cơ số 8 và đạt kiến thức tỉ lệ giữa chu vi của đường trịn đối với bán kính của nó, tính số π Tốn học người Maya Chữ số Maya Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 83 Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Kết khảo cổ cho thấy người Maya phát triển toán học từ sớm, với hệ đếm nhị thập phân (từ0 đến 19) ngũ phân (dựa theo cách đếm đầu ngón tay) Hệ nhị thập phân dựa sở tất ngón tay ngón chân-trong tiếng Quiche, từ số 20 huvinak, có nghĩa "tồn thân”, người Maya phát triển khái niệm "số 0" vào năm 357, sớm châu Âu khoảng gần 900 năm Họ biết tính tốn quỹ đạo vận động của Mặt Trăng và các hành tinh khác xác nhiều so với văn minh khác quan sát vũ trụ bằng mắt thường Người Maya xác định xác độ dài năm gồm 365 ngày, thời gian Trái Đất quay hết vịng quanh Mặt Trời, xác nhiều lịch châu Âu sử dụng vào thời (lịch Gregory) Cận Đơng cổ đại Lưỡng Hà Bảng tính vạch đất sét YBC 7289 với giải chữ số đại Tốn học Babylon là ám tốn học thuộc cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầuSumer cho đến đầu thời kì Hy Lạp hóa Nó đặt tên tốn học Babylon vai trị trung tâm Babylon nơi nghiên cứu, nơi không cịn tồn sau thời kì Hy Lạp hóa Các nhà toán học Babylon trộn với nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp Sau dưới Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là Baghdad, lần trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo Đối lập với thiếu thốn nguồn tài liệu toán học Hy Lạp, hiểu biết toán học Babylon từ 400 miếng đất sét khai quật từ năm 1850 Viết bằng kí tự Cuneiform, miếng đất sét viết đất sét ẩm, nung cứng lò nhiệt từ Mặt Trời Một số tập nhà Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 84 Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Bằng chứng sớm văn tự toán học từ thời người Sumer cổ đại, người xây nên văn minh sớm Lưỡng Hà Họ phát triển hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN Khoảng 2500 TCN trở trước, người Sumer viết những bảng nhân trên đất sét giải tập hình học tốn chia Dấu vết sớm hệ ghi số Babylon khoảng thời gian Một lượng lớn đất sét phục hồi vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, bao gồm chủ đề về phân số, đại số, phương trình bậc ba và bậc bốn, tính tốn các bộ ba Pythagore (xemPlimpton 322) Các bao gồm bảng nhân, bảng lượng giác và phương pháp giảiphương trình tuyến tính và phương trình bậc hai Tấm đất sét YBC 7289 đưa xấp xỉ số xác tới năm chữ số thập phân Toán học Babylon viết bằng hệ số 60 Do việc mà ngày ta sử dụng 60 giây phút, 60 phút 360 (60 × 6) độ trong vòng tròn Các tiến người Babylon tốn học phát triển dễ dàng số 60 có nhiều ước số Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp La Mã, người Babylon có hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, chữ số viết cột bên trái thể giá trị lớn hơn, giống như hệ thập phân Thế họ lại thiếu kí hiệu tương đương của dấu thập phân, hàng cách viết số thường suy từ ngữ cảnh Ai Cập Giấy cọ Rhind Toán học Ai Cập ám toán học viết dưới tiếng Ai Cập Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 85 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Tốn học Ai Cập cổ đại được đánh dấu nhân vật truyền thuyết Thoth, người coi đặt ra mẫu tự Ai Cập, hệ thống chữ số, toán học và thiên văn học, vị thần của thời gian Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp đã thay tiếng Ai Cập ngôn ngữ viết nhà học giả Ai Cập, từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp với toán học Hy Lạp Babylon để phát triển toán học Hy Lạp Nghiên cứu tốn học Ai Cập sau tiếp tục dưới Đế chế Arab như phần của toán học Hồi giáo, khi tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết nhà học giả Ai Cập Văn tự toán học cổ tìm là giấy cói Moskva, văn tự giấy cói của Vương quốc Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày ta gọi "bài tốn chữ", rõ ràng để giải trí Một toán coi quan trọng mức nói riêng đưa phương pháp tìm thể tích một hình cụt: "Nếu bạn biết: hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ Bạn bình phương số này, 16 Bạn nhân đôi 4, Bạn bình phương 2, Bạn cộng 16, 8, 28 Bạn lấy phần ba 6, Bạn nhân 28 với 56 Và 56 số bạn cần tìm." Eratosthenes Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 86 Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Tác giả: Phạm Trung Vinh Page 87 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Sàng Eratosthenes lọc số nguyên tố Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) văn toán học Ai Cập quan trọng khác, hướng dẫn số học hình học Cùng với việc đưa cơng thức diện tích phương pháp nhân, chia làm việc với phân số đơn vị, chứa chứng kiến thức tốn học khác bao gồm hợp số và số ngun tố; trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hịa; hiểu biết sơ về sàng Eratosthenes và số hồn hảo Nó cách giải phương trình tuyến tính bậc như cấp số cộng và cấp số nhân Cũng vậy, ba thành phần hình học có giấy cọ Rhind nói đến kiến thức đơn giản của hình học giải tích: (1) Đầu tiên quan trọng nhất, làm để xấp xỉ số π xác tới phần trăm; (2) thứ hai, cố gắng cổ đại việc cầu phương hình trịn; (3) thứ ba, sử dụng sớm biết về lượng giác Cuối cùng, giấy cọ Berlin cũng cho thấy người Ai Cập cổ đại giải phương trình đại số bậc hai Tốn học Hy Lạp Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng TCN 550-300) Toán học Hy Lạp ám toán học viết bằng tiếng Hy Lạp khoảng 600 TCN 450 Các nhà toán học Hy Lạp sống thành phố rải rác toàn bộ Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, lại thống văn hóa ngơn ngữ Tốn học Hy Lạp đơi gọi tốn học Hellenistic (Hy Lạp hóa) Thales xứ Miletus Tốn học Hy Lạp trở nên phức tạp nhiều so với văn hóa trước Tất ghi chép cịn tồn toán học tiền Hy Lạp cho thấy việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, quan sát liên tục sử dụng để lập nên phép đo dựa kinh nghiệm Người Hy Lạp sử dụng lí luận logic để đạt kết luận từ định nghĩa tiên đề Định lý Thales-cơ sở cho phép đo hình học và toán học mêtric:  Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 88 Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Toán học Hy Lạp dường bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) và Pythagoras (khoảng 582 — khoảng 507 TCN) Mặc dù tầm ảnh hưởng khơng cịn, họ phát triển ý tưởng từ tốn học Ai Cập, Babylon, cả Ấn Độ Theo truyền thuyết, Pythagoras chu du tới Ai Cập để học tốn học, hình học, thiên văn từ đạo sĩ Ai Cập Thales sử dụng hình học để giải tốn tính chiều cao hình chóp khoảng cách từ tàu tới bờ biển Pythagoras coi người đưa chứng minh cho định lý Pythagore, phát biểu định lý qua chặng đường lịch sử dài Trong lời bình luận về Euclid, Proclus phát biểu Pythagoras diễn đạt định lý mang tên ông dựng nên bộ ba Pythagore một cách đại số hình học. Trường họccủa Plato có câu hiệu: "Khơng để thứ nơng cạn hình học vào đây." Học thuyết Pythagoras đã khám phá tồn số hữu tỉ. Eudoxus (408 khoảng 355 TCN) phát minh ra phương pháp vét cạn, tiền thân khái niệm đại tích phân. Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) lần đầu viết luật vềlogic Euclid (khoảng 300 TCN) ví dụ sớm khn mẫu mà cịn sử dụng ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh Ông nghiên cứu về các đường conic Cuốn sách ông, Cơ bản, tất người có học biết đến phương Tây kỉ 20[15] Thêm vào định lý quen thuộc hình học, như định lý Pythagore, Cơ bản cịn có chứng minh bậc hai hai số vơ tỉ có vô hạn số nguyên tố. Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) sử dụng để tìm số nguyên tố Một số người nói người vĩ đại nhà tốn học Hy Lạp, khơng muốn nói thời đại, là Archimedes (287—212 TCN) xứ Syracuse Theo như Plutarch, tuổi 75, vẽ cơng thức tốn học cát, ơng bị tên lính La Mã dùng giáo đâm chết Roma cổ lại chứng quan tâm vào toán học lý thuyết Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 SCN) Toán học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với Shatapatha Brahmana (khoảng kỉ TCN), có xấp xỉ số π chính xác tới chữ số thập phân[16] và Sulba Sutras (khoảng 800-500 TCN) văn bản hình học sử dụng số vơ tỉ, số nguyên tố, luật ba, và căn bậc ba; tínhcăn bậc hai của tới năm chữ số thập phân; đưa phương pháp cầu phương hình trịn, giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai; phát triển bộ ba Pythagore theo phương pháp đại số, phát biểu nêu chứng minh cho Định lý Pythagore Pāṇini (khoảng kỉ TCN) lập cơng thức cho ngữ pháp của tiếng Phạn Kí hiệu ơng tương tự với kí hiệu tốn học, sử dụng ngôn luật, các phép biến đổi, đệ qui với độ phức tạp đến mức ngữ pháp ơng có sức mạnh tính tốn ngang với máy Turing Cơng trình Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 89 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Panini trước lý thuyết đại ngữ pháp hình thức (formal grammar) (có vai trị quan trọng điện tốn), khi dạng Panini-Backus được sử dụng những ngơn ngữ lập trình hiện đại lại giống với luật ngữ pháp Panini. Pingala (khoảng kỉ thứ đến thứ TCN) luận thuyết về thi pháp đã sử dụng phương pháp ứng với hệ nhị phân Thảo luận ông về tổ hợp của các phách, tương ứng với định lý nhị thức Cơng trình Pingala chứa ý tưởng các số Fibonacci (được gọi làmātrāmeru) Văn Brāhmī được phát triển từ thời triều Maurya vào thế kỉ TCN, với chứng khảo cổ học cho thấy xuất vào khoảng 600 TCN. Chữ số Brahmi ở vào khoảng kỉ TCN Giữa năm 400 TCN và 200 SCN, các nhà toán học Jaina bắt đầu nghiên cứu tốn học với mục đích cho toán học Họ người phát triển transfinite number, lý thuyết tập hợp, logarit, định luật của lũy thừa, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn,dãy số và dãy cấp số, hốn vị và tổ hợp, bình phương lấy xấp xỉ căn bậc hai, và hàm mũ hữu hạn và vô hạn. Bản thảo Bakshali được viết giữa 200 TCN và 200 bao gồm cách giải hệ phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vơ định bậc hai, phương trình khơng mẫu mực, sử dụng số 0 và số âm Các tính tốn xác cho số vơ tỉ tìm ra, bao gồm tính bậc hai số tới chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở lên) Các bạn thân mến! Vậy tơi trình bày tất mà tơi muốn gởi gắm tới bạn ý định, niềm đam mê tơi suốt q trình học tốn Đó kiến thức bất đẳng thức ,là tảng để bạn nghiên cứu sâu giới tứ giác, hình trịn, so sánh, đối chiếu giúp thêm yêu thích mơn Tốn vơ bổ ích Chúc bạn thành công! Và thay cho lời kết, xin gởi đến bạn câu nói bất hủ nhà Toán học tiếng Paul Erdos: "Tại số lại mang vẻ đẹp? Nó giống việc hỏi Giao hưởng số Beethoven lại đẹp Nếu bạn khơng nhận người khác khơng thể nói cho bạn Tơi biết số đẹp Chúng mà khơng đẹp chẳng có thứ đẹp nữa" Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 90 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Tác giả: Phạm Trung Vinh Page 91 Lớp 10 Tốn Bất đẳng thức Hình học Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Tác giả: Phạm Trung Vinh Page 92