DE THI HSNK TOAN 8 TB

§Ò thi häc sinh giái M«n: To¸n 8 Thêi gian lµm bµi: 150 phót Giáo viên ra đề: Nguyễn Hoàng Thuỷ-Trờng THCS Đỗ Xuyên.. Đờng cao AH, đờng phân giác AD, đờng trung tuyến AM.[r]

Phßng GD&§T Thanh Ba §Ò thi häc sinh giái M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót (Giáo viên đề: Nguyễn Hoàng Thuỷ-Trờng THCS Đỗ Xuyên) Bµi 1:(2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2+2009x-2010 b) x4+2010x2+2009x+2010 Bµi 2: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) x2-4+ x  =0 2 1 1       x     x    x     x    x   x   x  x x  b)  Bµi 3:(2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu a+b+c=0 th× a3+b3+c3=3abc b) Chøng minh r»ng: 1.2.3  2.3.4  3.4.5   2007.2008.2009  2007.2008.2009.2010 Bµi 4:(4 ®iÓm) Cho tam giác ABC có AB=3cm, BC=5cm, CA=4cm Đờng cao AH, đờng phân giác AD, đờng trung tuyến AM  a) Chøng minh r»ng: AD lµ tia ph©n gi¸c cña HAM b) TÝnh diÖn tÝch c¸c tam gi¸c: AHB , AHD , AMD , AMC HÕt §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Bµi C©u §¸p ¸n a (1®iÓm) x2+2009x-2010=(x2-x)+(2010x-2010)=x(x-1)+2010(x-1) =(x-1)(x+2010) b (1 ®iÓm) x4+2010x2+2009x+2010= x4+x2+1+ 2009x2+2009x+2009 =(x2+1)2-x2+2009(x2+x+1) =(x2+x+1) (x2-x+1)+ 2009(x2+x+1) §iÓm 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 =(x2+x+1) (x2-x+2010) a b 0,25 (1 ®iÓm) x2-4+ x  =0 (1)  x 2  x  + NÕu x 2 th× (1)  (x-2)(x+3)=0   lo¹i x=-3 v× x 2  x 2  x  + NÕu x<2 th× (1)  (x-2)(x+1)=0   lo¹i x=2 v× x<2 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-1 ; x=2 (1 ®iÓm) 2 1 1       x     x    x     x    x   x   x  x x   §iÒu kiÖn x 0       x2     x2    x    x   1  x  x  2  1     x    x   x    1     x        x    x   x  x   0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25  4= (x-2)2  x=0 hoÆc x=4 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn trªn lo¹ix=0 VËy ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x=4 a b ( ®iÓm) Ta cã a+b+c=0  a+b=-c  (a+b)3=-c3  a3+b3+3ab(a+b)=-c3  a3+b3+c3=-3ab(a+b)  a3+b3+c3=-3ab(-c)  a3+b3+c3=3abc (1 ®iÓm) §Æt A=1.2.3  2.3.4  3.4.5   2007.2008.2009 Ta cã: 4A=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+… +2007.2008.2009.4 =1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+…+2007.2008.2009.(2010-2006) =1.2.3.4-1.2.3.4+…-2006.2007.2008.2009+2007.2008.2009.2010 =2007.2008.2009.2010 2007.2008.2009.2010 Suy A= Suy §PCM H×nh vÏ: A 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a b (2 ®iÓm) Theo định lí Pitago đảo suy ABC là tam giác vuông A B H D M  C V× AD lµ ph©n gi¸c cña BAC suy DAB DAC (1) MÆt kh¸c AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng ABC  MAC   MA=MC Suy C (2)    ) (3) Ta l¹i cã HAB C (v× cïng phô víi B     Tõ (1), (2), (3) suy DAB  HAB DAC  MAC   DAM Hay DAH Suy §PCM (2 ®iÓm) V× ABC vu«ng t¹i A vµ cã AB=3cm, AC=4cm suy SABC=6 cm2 SAMB SAMC  SABC V× AM lµ trung tuyÕn ABC nªn suy Suy SAMC 3cm Ta có AHB đồng dạng với CAB suy ra: SAHB  AB  SAHB 54   SAHB   SCAB  CB   SCAB 25  25 cm2 Vì AD là tia phân giác nên theo tính chất đờng phân giác ta có: SADB DB SADB DB AB     DC AC mµ SADC DC Suy SADC 18 SADB  SABC SADB  7 cm2  Suy Ta l¹i cã SAHD SADB  SAHB 72 SAHD  175 cm2 Suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5