Đây thực chất là các bài toán so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực , nếu xem xét các dạng toán này theo quan điểm, chương trình bộ sách giáo khoa cũ thì các em h[r]
(1)(2) MỞ ĐẦU 1/ Lý chọn đề tài: Trong chương trình môn Toán bậc THPT có nhiều bài toán có tham số liên quan tới phương trình bậc 2, quy bậc 2, và số đó xuất nhiều và đa dạng các bài toán “Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, bốn nghiệm …” Đây thực chất là các bài toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực , xem xét các dạng toán này theo quan điểm, chương trình sách giáo khoa cũ thì các em học sinh không khó để có thể giải vì chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10, các em trang bị đầy đủ nội dung các định lý thuận, đảo dấu tam thức bậc và các hệ Nhưng theo sách giáo khoa phát hành thì phần kiến thức liên quan tới định lý đảo và các hệ đã giảm tải Đứng trước vấn đề “Không có công cụ đó thì cần tìm hướng nào để kiến thức các em học sách giáo khoa các em có thể giải các dạng toán đó?” Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú quá trình học môn Toán, và là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng định lý Vi-et giải số dạng toán phương trình bậc – quy bậc có tham số” hoctoancapba.com 2/Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : I Phần mở đầu II Nội dung đề tài A Cơ sở lý thuyết liên quan đến đề tài nghiên cứu B Bài tập vận dụng C Bài tập thực hành III Kết và bài học kinh nghiệm (3) NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a) Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn x R là phương trình có dạng: b) Cách giải Tính b 4ac Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm ax bx c 0 1 x1 x2 Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 a 0 b 2a b b , x2 2a 2a c) Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm ax bx c 0 1 a 0 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R : có hai b c S x1 x2 , P x1.x2 x , x a a nghiệm thì Dấu các nghiệm: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 P Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 0 P S Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương 0 P S Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm 2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Trong phần này tôi trình bày phương pháp giải cách tổng quát số dạng toán liên quan đến phương trình bậc 2, và quy bậc tập số thực R: Thay vì so sánh nghiệm phương trình bậc với số thực , ta biến đổi để đưa so sánh nghiệm phương trình bậc với số ax bx c 0 1 a 0, x R Bài toán Cho phương trình: a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2 d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2 e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2 (4) Giải at 2a b t a b c 0 Đặt t x x t , thay vào pt (1) ta pt: a) Để phương trình (1) có nghiệm x pt (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 0 t1 t2 P 0 S 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm b) Phương trình (1) có nghiệm x pt (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 0 P 0 S 0 c) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 x2 pt (2) có nghiệm t1 t2 P d) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 x2 pt (2) có nghiệm t1 t2 P S t1 t2 P S e) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 x2 pt (2) có nghiệm 2a b a b c 2a b 4a a b c , P t1.t2 , S t1 t2 a a (Với ) Nhận xét: Thoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm tam thức bậc với số thực , và cách làm trên ta đã hướng dẫn học sinh giải bài toán cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng kiến thức tam thức bậc đã giảm tải sách giáo khoa hoctoancapba.com x a x b x c x d k 1 Bài toán Cho phương trình: a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải Ta biến đổi phương trình (1) với a c b d x a c x ac x b d x bd k a c t x a c x t 0 Đặt , thay vào (2) ta phương trình: 2 a c ac a c t ac bd t ac bd k 0 3 a) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 (5) 0 t1 t2 P 0 S 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét trường hợp sau: TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 P 0 t1 t2 S TH2: Phương trình (2) có nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm thỏa: t1 t2 P 0 S d) Phương trình (1) có nghiệm phận biệt phương trình (2) có nghiệm thỏa: t1 t2 P S (Trong đó là biệt thức phương trình (2), P t1.t2 , S t1 t2 ) Nhận xét: Trong các tài liệu sách giáo khoa, sách tham khảo, cách giải đưa a c t t x a c x dạng toán này là đặt: với điều kiện , đó để giải các yêu cầu nêu trên học sinh lúng túng, đôi là không thể giải là các em học sinh lớp 10,vì các em không trang bị công cụ để so sánh nghiệm phương trình bậc với số thực khác ax bx3 cx bx a 0 a 0 Bài toán Cho phương trình: a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải Ta thấy x = không là nghiệm phương trình (1), chia hai vế phương trình (1) cho x 0 , ta được: 1 1 a x b x c 2a 0 x x t x x t 2 (Thông thường tới đây học sinh đặt , đó nhận phương trình at bt c 2a 0 và việc giải các yêu cầu đặt khó khăn vì học sinh không trang bị công cụ Để giúp học sinh vượt qua trở ngại này chúng ta giải sau) 1 t x t 0 x t x x a) Vì x , đặt suy , thay vào phương trình (2) được: at 4a b t 2a 2b c 0 (3) Để phương trình (1) có nghiệm x thì phương trình (3) có nghiệm t 0 , ta xét: TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2 P 0 (6) TH2: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 1 t x t 0 x t x x b) Vì x , đặt suy , thay vào phương trình (2) được: at b 4a t 2a 2b c 0 (4) Để phương trình (1) có nghiệm x thì phương trình (3) có nghiệm t 0 , ta xét: TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2 P 0 0 t1 t2 0 P 0 S 0 TH2: Phương trình (3) có nghiệm c) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t 0 , phương trình (4) có nghiệm t 0 (Đây chính là kết tổng hợp phần a và b) d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau; TH1: Phương trình (3) có nghiệm thỏa: 1 t1 t2 P1 S t1 t2 P2 S TH2: Phương trình (4) có nghiệm thỏa: P P2 TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu Nhận xét: Với cách tiếp cận này học sinh có thể dễ dàng giải các bài toán như: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, nghiệm ax bx c ax bx c 0 1 0; a 0 Bài toán Cho phương trình a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm hoctoan capba.com b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải Xét a > (với a < 0, làm tương tự) b b 4ac b 4ac ax bx c a x t ax bx c 2a 4a 4a Ta có nên đặt đó t 0 t k t k 0 Thay vào phương trình (1) ta phương trình sau: k b 4ac 4a t 2 k t k k 0 Phương trình (2): (3) a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 (2) với (7) TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì pt (3) có nghiệm thỏa t1 t2 P S c) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có nghiệm thỏa t1 t , phương trình (3) có nghiệm thỏa t1 t2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 P 0 t1 t2 S TH2: Phương trình (2) có nghiệm (Trong đó là biệt thức pt (3), S t1 t2 , P t1.t2 ) Nhận xét: Khi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt t ax bx c với điều kiện t b 4ac t b 4ac 4a a > 0, a < Phương trình nhận t t 0 , và để giải các yêu cầu bài toán học sinh gặp trở ngại vì cần so sánh nghiệm phương trình bậc với số thực khác Chính vì với cách giải đã trình bày trên tạo cho các em học sinh hứng thú, vì các em có thể sử dụng công cụ đơn giản, quen thuộc là định lý Viet để giải dạng toán này 4a 2 ax b x c 0 1 Bài toán Cho phương trình với 0, a 0 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Giải ĐK x R Đặt t x2 t 0 suy x2 t , thay vào pt (1) ta phương trình: at 2a b t b c 0 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì pt (2) có nghiệm thỏa c) Để phương trình (1) có nghiệm ta xét trường hợp sau: TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 P 0 S t1 t2 P S (8) 0 t1 t2 S 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm (Trong đó là biệt thức pt (3), S t1 t2 , P t1.t2 ) t x2 t Nhận xét: Với dạng toán này hầu hết các sách tham khảo đặt , và đưa phương trình bậc có dạng: at bt c a 0 , đó để giải các câu hỏi đặt thì phải sử dụng tới định lý đảo dấu tam thức bậc và các hệ quả, sử dụng công cụ đạo hàm Cả hai cách này không phù hợp với tư duy, kiến thức học sinh lớp 10, 11 và học sinh lớp 12, vì công cụ dùng đạo hàm để giải không phải lúc nào tối ưu hoc toancapba.com ax bx c x Bài toán Cho phương trình: a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Giải x 0 2 ax bx c x Phương trình (1) Đặt t x , vì x 0 nên ta có điều kiện t 0 , thay vào (2) ta phương trình: a 1 t 2a b t a b c 0 3 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (3) có nghiệm t 0 TH1: Xét a 1 , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 0 a 1 t1 0 t2 P 0 TH2: Phương trình (3) có nghiệm a 1 0 t1 t2 P 0 S 0 TH3: Phương trình (3) có nghiệm a 1 t1 t2 P 0 S b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì pt (3) có nghiệm c) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có đúng nghiệm t 0 TH1: Xét a 1 , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 0 a 1 t1 t2 P TH2: Phương trình (3) có nghiệm a 1 t1 t2 P 0 S TH3: Phương trình (3) có nghiệm (9) TH4: Phương trình (3) có nghiệm a 1 t1 t2 0 S 0 (Trong đó là biệt thức phương trình (3), S t1 t2 , P t1.t2 ) Nhận xét: Dạng toán này hay xuất chuyên đề phương trình chứa căn, và bài toán xuất các đề thi Đại học, Cao đẳng, tất đưa phương án là so sánh nghiệm phương trình (2) với số thực Song với cách giải trên thì ta đã đưa bài toán so sánh nghiệm phương trình (3) với số log a x x log a x b 1 Bài toán 7.Cho phương trình: a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Giải với a 1 x b x x x b Phương trình (1) Đặt t x b x t b , vì x b nên ta suy điều kiện t Thay vào phương trình (2) t 2 b 1 t b b 0 3 ta phương trình: a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t TH1: Xét 0 , thay vào pt (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 0 t1 t2 P TH2: Phương trình (3) có nghiệm 0 0 t1 t2 P S TH3: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S TH4: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t2 P S b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì pt (3) có nghiệm c) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có đúng nghiệm t TH1: Xét 0 , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 0 t1 t2 P TH2: Phương trình (3) có nghiệm (10) TH3: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 t1 t2 0 S TH4: Phương trình (3) có nghiệm Nhận xét: Đây là dạng toán giống với bài toán đã giải trên, ta đã đưa so sánh nghiệm phương trình có dạng bậc với số B BÀI TẬP VẬN DỤNG x 2mx m m 0 1 Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1 c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 Giải Đặt t x x t , thay vào pt (1) ta phương trình: t m t m 3m 0 a) Để phương trình (1) có nghiệm x 1 phương trình (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 m 3m 0 m 2 TH2: Phương trình (2) có nghiệm : ' 0 t1 t2 P 0 S 0 m 0 m 3m 0 m 0 m 1 m 1 m 2 m 2 m 1 m 1; thì phương trình (1) có nghiệm x 1 Kết luận: với b) Để phương trình (1) có nghiệm x 1 phương trình (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 m 3m 0 m 2 TH2: Phương trình (2) có nghiệm Kết luận: với m 1; 2 ' 0 t1 t2 0 P 0 S 0 m 0 m 3m 0 m 1 m 0 thì phương trình (1) có nghiệm x 1 b) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 x2 phương trình (2) có nghiệm: t1 t2 m 3m m Kết luận: với m thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 x2 d) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 x2 phương trình (2) có nghiệm: (11) ' t1 t2 P S m m 3m m (vô nghiệm) Kết luận: không tồn m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 Nhận xét: Đây là ví dụ minh họa cho bài toán tổng quát, tương tự học sinh có thể giải nhiều bài toán với phương pháp trên mà không sử dụng kiến thức tam thức bậc hai Rất nhiều em học sinh sau học ứng dụng đạo hàm để giải số dạng toán “Tìm tham số m để phương trình f x, m 0 có nghiệm?”, thì gặp bài tập này g m h x để khảo sát lúng túng không giải vì không thể đưa bài toán dạng: Do đó cách chuyển hóa phương trình trên, đưa bài toán so sánh nghiệm phương trình bậc với số dựa vào ứng dụng định lý Vi-et là lựa chọn tối ưu bối cảnh các kiến thức so sánh nghiệm tam thức bậc với số thực đã giảm tải sách giáo khoa x x m 1 x Ta biến đổi phương trình (1) Đặt t x mx m t 0 m x m 3m 1 Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải , với tham số m 0 x mx x mx m 3m , thay vào phương trình (2) ta phương trình: t m 1 t 2m 0 a) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 t1 0 t2 P 0 2m 0 m m 12m 19 0 5 55 m m 2 m m 55; Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét trường hợp sau: TH1: Phương trình (2) có nghiệm TH2: Phương trình (2) có nghiệm: t1 t2 P 2m m m 12m 19 0 0 t1 t2 S m m 55 m 55 m 55 m (12) 5 m ; 55 2 Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm thỏa: t1 t2 P 0 S m2 12m 19 m 5 m 0 m 1 thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt Kết luận: Với d) Phương trình (1) có nghiệm phận biệt phương trình (2) có nghiệm thỏa: m t1 t2 P S m 12m 19 55 m 5 2m m 1 5 m 55; thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt Kết luận: với Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải Ta thấy x = không là nghiệm phương trình (1), chia hai vế phương trình (1) cho x 0 , ta được: x 2mx m 3m x 2mx 0 1 1 1 x 2m x m 3m 0 x x 1 t x t 0 x t x x a) Vì x , đặt suy , thay vào phương trình (2) được: t m t m m 0 (3) Để phương trình (1) có nghiệm x > thì phương trình (3) có nghiệm t 0 Xét trường hợp: TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2 m 7m 0 m 6 ' 0 t1 t2 P 0 S 0 3m 0 m m 0 m 6 m 0 TH2: Phương trình (3) có nghiệm Kết luận: Với m 1 thì phương trình (1) có nghiệm dương 1 t x t 0 x t x x b) Vì x , đặt suy , thay vào phương trình (2) được: 2 t m t m m 0 (4) Để phương trình (1) có nghiệm x > thì phương trình (3) có nghiệm t 0 Xét trường hợp: (13) TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2 m m 0 (vô nghiệm) ' 0 t1 t 0 P 0 S 0 3m 0 m m 0 m 0 TH2: Phương trình (3) có nghiệm Kết luận: Không tồn m để phương trình (1) có nghiệm âm c) Để phương trình (1) có nghiệm thì m 1 d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau: TH1: Phương trình (3) có nghiệm thỏa: TH2: Phương trình (4) có nghiệm thỏa: t1 t2 P2 S 1 t1 t2 P1 S (vô nghiệm) 3m m m m m 3m m m m (vô nghiệm) TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu: P1 P2 m 7m m m (vô nghiệm) Kết luận: Với m thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt x Bài 4: Cho phương trình 2 x 2m x x m 0 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải 2 Đặt t x x đó t 0 , suy x x t Thay vào phương trình (1) ta t m t m 0 phương trình sau: a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 m 0 m TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 m m 0 13 m m 0 m 0 13 m ; 4 ; thì phương trình (1) có nghiệm Kết luận: với b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có nghiệm thỏa: t1 t2 P S m m 13 m m m 13 m ; thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt Kết luận: với (14) c) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì pt (3) có nghiệm thỏa t1 t2 , phương trình (3) có nghiệm thỏa t1 t2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 P m m m m 0 0 13 t1 t2 m S m TH2: Phương trình (2) có nghiệm 13 m ; thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Kết luận: với Nhận xét: Tương tự ta có thể giải bài toán: “Tìm m để pt (1) có nghiệm nhất” x m x 3m 0 Bài Cho phương trình a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải ĐK x R Đặt t x t 0 suy x t 1 , thay vào phương trình (1) ta phương t m t 3m 0 trình: a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (2) có nghiệm TH2: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 3m 0 m 0 t1 t2 P 0 S 0 2 m 16m 0 m 8 68 3m 0 m 0 2 m ; 68; 3 Kết luận: với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm thỏa: t1 t P S m 16m m 68 3m m m 68; Kết luận: Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để pt (1) có nghiệm ta xét trường hợp sau: TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 P 0 S 0 t1 t2 S 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm 2 m thì pt (1) có nghiệm Kết luận: với Bài Cho phương trình: m 16m 2 m 3m 0 m m 16m 0 m 0 (vô nghiệm) 2x m 1 x m m x 1 (15) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải x 0 2 x m 1 x m m x 1 Phương trình (1) Đặt t x , vì x 0 nên ta có điều kiện t 0 , thay vào phương trình (2) ta phương t m 1 t m m 0 3 trình: a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2 P 0 m m 0 m 1 TH2: Phương trình (3) có nghiệm ' 0 t1 t2 P 0 S 0 1 m 0 m m 0 m 1 m 0 m 0;1 thì phương trình (1) có nghiệm Kết luận: Với b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có nghiệm t1 t2 P 0 S 1 m m m 0 m (vô nghiệm) Kết luận: Không tồn m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có đúng nghiệm t 0 TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 t2 P m m m TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 t2 P 0 S 0 t1 t2 S 0 TH3: Phương trình (3) có nghiệm m 0;1 Kết luận: Với 1 m m m 0 m 0 m 1 m 0 m 1 m 0 thì phương trình (1) có nghiệm 2 Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải log Phương trình (1) tương đương x 2mx m 3m 1 log 2 log 2 x x m 1 0 1 2mx m2 3m 1 log x m 1 x m 2 x 2m 1 x m 4m 0 Phương trình (2) Đặt t x m x t m , vì x m nên ta suy điều kiện t Thay vào phương t 4m 3 t 4m m 0 3 trình (2) ta phương trình: a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t (16) TH1: Phương trình (3) có nghiệm TH2: Phương trình (3) có nghiệm TH3: Phương trình (3) có nghiệm t1 t2 P 4m2 m m 0 t1 t2 P S t1 t2 P 0 S 4m2 20m 0 4m m 3 4m 1 m 2 m 0 4m 20m 4m m 0 3 4m m 0 m 1 1 m ; thì phương trình (1) có nghiệm Kết luận: Với b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có nghiệm : 4m 20 m 1 m 4 m m 3 m m 0 1 1 m ;0 ; thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt Kết luận: Với t1 t2 P S c) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có đúng nghiệm t TH1: Phương trình (3) có nghiệm TH2: Phương trình (3) có nghiệm TH3: Phương trình (3) có nghiệm: t1 t2 P 4m2 m m t1 t2 P 0 S 4m 20m 4m m 0 3 4m m 0 m 1 m 4m 20 m 0 0 t1 t2 m m 2 S 3 4m m 1 m 0; thì phương trình có nghiệm Kết luận: Với 2 x 1 2m 1 x 2 m 3m 0 1 Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải t 2 x 1 t 0 , đó x 1 t , thay vào phương trình (1) ta phương trình: t 2m 1 t m 11m 0 Đặt 2 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (2) có nghiệm t 0 TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2 P 0 m 11m 0 m 11 (17) TH2: Phương trình (3) có nghiệm ' 0 t1 t2 P 0 S 0 3m m 0 m 11 m 11m 0 2m 0 m 0; thì phương trình (1) có nghiệm Kết luận: Với b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn các trường hợp sau: TH1: Phương trình (2) có nghiệm thỏa t1 t2 m 11m m 11 3m m 0 0 t1 t S 2m TH2: Phương trình (2) có nghiệm thỏa (vô nghiệm) m 0;11 Kết luận: Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì pt (2) có nghiệm thỏa: ' t1 t2 P S Kết luận: Với 3m m 1 m 11 m 11m 2m m 11; thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt C BÀI TẬP THỰC HÀNH x 3m 1 x 2m 4m 0 1 Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2 c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2 d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1; x m 1 x 3m x m 1 x 0 (1) Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm x x x x 2m Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt 1 x x 2m 1 x x m 3m 0 1 Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt (18) d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 3m x 2m2 3m 0 Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm (1) x 3mx 2m m x m Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 2 log 2 x 2m 3 x 2m 3m 4 log Bài 7.Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1 m 1 x2 1 5 x 2m 1 0 1 m 3m 0 1 Bài Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm KẾT QUẢ Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh môn Toán trường THPT, tôi nhận thấy các em học sinh hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ mà số bài toán tưởng chừng không thể giải không có công cụ là định lý đảo dấu tam thức bậc và các hệ quả, thì lại giải cách đơn giản, dễ hiểu thông qua định lý quen thuộc là định lý Vi-et Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên năm học tôi nhận thấy chất lượng môn Toán nói riêng, và kết học tập các em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm học là học sinh yếu, TB cuối năm đã vươn lên để trở thành học sinh TB, khá và giỏi, các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm 8, 9, 10 môn Toán, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Khi tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, khu vực, Olympic 30 tháng có nhiều em đạt giải cao ( 02 em đạt HSG cấp Quốc gia, 09 em đạt huy chương tham gia thi Olympic 30 – ) Cụ thể: 1) Kết học tập môn: Năm học 2003 – 2004 2004 – 2005 2005 – 2006 Đầu năm học (%) Yếu TB Khá Giỏi 0 21 17 14 63 64 68 26 19 18 Cuối năm học (%) Yếu TB Khá Giỏi 0 12 54 58 60 34 38 40 (19) 2006 – 2007 2007 – 2008 2008 – 2009 0 12 16 15 66 51 57 22 23 28 0 0 64 56 61 36 41 37 2) Kết thi HSG cấp tỉnh: Kết thi HSG cấp tỉnh lớp 12 Năm học 2004 – 2005 2005 – 2006 2006 – 2007 2007 – 2008 2008 – 2009 2009 – 2010 Giải nhất 10 1 Giải nhì 01 9 Giải ba 0 Giải khuyến khích 1 BÀI HỌC KINH NGHIỆM Đất nước ta trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng giáo dục nước nhà thì việc đổi phương pháp giảng dạy Bộ Giáo dục luôn coi là nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực cách có hiệu Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu cao nhất, tạo hứng thú và niềm tin học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một cách để tạo chuyển biến tích cực công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học Từ nhận thức đó, hàng năm tôi chọn đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao lực chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học tốt Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh ngại và lúng túng gặp các bài toán có chứa tham số, bên cạnh đó việc sách giáo khoa lớp 10 đã giảm tải phần định lý đảo dấu tam thức bậc và các hệ quả, nên gặp các dạng toán chuyên đề này đã trình bày các em cảm thấy lúng túng, là các em học sinh lớp 10, các em học sinh lớp 12 đã trang bị công cụ là đạo hàm thấy khó khăn Từ thực tế đó nhằm giúp các em học sinh cảm thấy hứng thú học toán, biết cách vận dụng, khai thác số dạng toán có chứa tham số, quy lạ quen nên tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Ứng dụng định lý Vi-et giải số dạng toán phương trình bậc – quy bậc 2” Rất mong góp ý quý thầy, cô (20) TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Phương pháp giảng dạy môn Toán Tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục 2) Giải bài tập nào Tác giả: G.Polya – Nhà xuất giáo dục 3) Trong tâm kiến thức Đại số lớp 10, 12 Tác giả: Phan Huy Khải – Nhà xuất Giáo dục 4) Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10, 12 Nhà xuất Giáo dục (21)