Về tính hội tụ yếu của các martingale ngược luận văn thạc sỹ giáo dục học

BỘ GI¸O DỤC Vµ ®µO TẠO TRUỜNG ĐẠI HỌC VINH DƯƠNG ANH TUẤN VỀ TÍNH HỘI TỤ YẾU CỦA CÁC MARTINGALE NGƯỢC Chuyªn ngµnh: XAC SUẤT THỐNG KÊ M sè: · 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ GI¸O DỤC HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHAN ĐỨC THÀNH NGHỆ AN - 2011 1 MỤC LỤC. MỤC LỤC ………………………………………………………………… . 1 MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… 2 CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MARTINGALE 1.1. Martingale…………………………………………………… 4 1.1.1.Các định nghĩa……………………………………… 4 1.1.2. Các ví dụ…………………………………………………… 7 1.1.3. Các tính chất……………………………………………… 11 1.1.4. Martingale địa phương…………………………………… 14 1.1.5. Phép biến đổi martingale………………………………… . 14 1.1.6. Hiệu martingale……………………………………………. 17 1.1.7. Khai triển Doob……………………………………………. 18 1.1.8. Compensator……………………………………………… 19 1.2.Các bất đẳng thức cơ bản…………………………………… 20 1.3. Các định lí hội tụ…………………………………………… 21 CHƯƠNG II. VỀ TÍNH HỘI TỤ YẾU CỦA MARTINGALE NGƯỢC 2.1. Định lý giới hạn trung tâm………………………………… . 25 2.2.Martingale ngược và các khái niệm liên quan……………… 27 2.3. Điều kiện Lindeberg ngẫu nhiên…………………………… 29 2.4. Các định lí hội tụ đối với martingale ngược…………………. 30 2.5.Chứng minh các định lý…………………………………… . 31 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết Martingale bắt nguồn từ trò chơi, nay trở thành một loại quá trình ngẫu nhiên có ứng dụng rất nhiều về lý thuyết cũng như thực tiễn, đặc biệt là một công cụ không thể thiếu trong tính toán ngẫu nhiên và trong toán học tài chính. Gọi X là phép biến đổi martingale của V và Y X = (V 0 Y) 2 Trong đó V n là đặt cược của người chơi tại ván thứ n Đặt nn Y ξξξ +++= . 21 là tổng các biến ngẫu nhiên Bernulli độc lập với    − = 1 1 n ξ Theo quan niệm của người chơi thì trò chơi là: - Công bằng nếu (X n , n F ) lập thành Martingale - Có lợi nếu (X n , n F ) lập thành Martingale dưới - Bất lợi nếu (X n , n F ) lập thành Martingale trên Rõ ràng trò chơi là công bằng khi 2 1 == qp , có lợi khi p > q, bất lợi khi p < q. Các định lí giới hạn trung tâm cũng như nguyên lí bất biến đối với các Martingale ngược đã được B.Prakasa Rao, D.J.Seolt, N.C.Weber và nhiều nhà toán học khác quan tâm nghiên cứu. Luận văn này trình bày một số kết quả về tính hội tụ yếu đối với tổng ngẫu nhiên các Martingale ngược. Nội dung của luận văn gồm 2 chương Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về martingale bao gồm các nội dung về khái niệm martingale, martingale trên, martingale dưới, martingale ngược, các thí dụ, các tính chất của martingale, phép biến đổi martingale và các định lí hội tụ của martingale. Chương 2. Trình bày tính hôi tụ yếu của các martingale ngược. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của PGS. TS Phan Đức Thành. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy. Trong quá trình làm luận văn tác giả còn được sự giúp đỡ của các thầy giáo trong tổ Xác Suất Thống Kê, khoa sau đại học , trường Đại học Vinh, BGH, 3 nếu ván thứ n thắng cuộc với xác suất p nếu ván thứ n thua cuộc với xác suất q các thầy cô giáo trường THPT Phan Đình Phùng. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn. Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn động viên giúp đỡ tác giả có thêm nghị lực, tinh thần để hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được các ý kiến phê bình, góp ý của Hội đồng chấm luận văn, các thầy cô giáo và đồng nghiệp để công trình nghiên cứu được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng, xin được cảm ơn mọi tấm lòng ưu ái đã dành cho tác giả. Vinh, tháng 12 năm 2011. Tác giả Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MARTINGALE. Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết Martingale. Nội dung của chương này dựa trên các chuyên khảo [1] và [2]. Lý thuyết Martingale bắt nguồn từ trò chơi nay trở thành một loại quá trình ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng về lý thuyết cũng như thực hành. 1.1. Martingale 4 1.1.1. Các định nghĩa. Giả sử ( ) , , Ω P A là không gian xác suất. ( , n X n∈ ¥ ) là dãy BNN. ( , n n∈ ¥ F ) là dãy tăng các σ -đại số. Khi đó dãy X { } , , n n X n= ∈ ¥ F được gọi là: • martingale trên ( đối với { } , n n∈ ¥ F ), nếu: i) { } , , n n X n∈ ¥ F là dãy tương thích ; ii) , ; n X n < ∞ ∀ ∈ ¥E ; iii) Với , ,m n m n ≤ ∈ ¥ ; ( ) , n m m X X ≤ E F P – hầu chắc chắn. • martingale dưới ( đối với { } , n n∈ ¥ F ), nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và iii’) Với , ,m n m n ≤ ∈ ¥ ; ( ) n m m X X ≥ E F , P – hầu chắc chắn. • martingale ( đối với { } , n n∈ ¥ F ), nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và (iii’’) Với , ,m n m n ≤ ∈ ¥ ( ) n m m X X = E F , P – hầu chắc chắn. • martingale ngược ( đối với { } , n n∈ ¥ F ), nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và (iii’’’) Với , ,m n m n ≥ ∈ ¥ , 0m n ⊂ ⊂ F F F , ( ) n m m X X = E F , P – hầu chắc chắn. Từ đó suy ra { } , ,0 n n X n N≤ ≤ F là martingale ngược khi và chỉ khi { } , ,0 N n N n X n N − − ≤ ≤ F là martingale. Chú ý. 1. Từ định nghĩa kì vọng có điều kiện, ta có: 5 Điều kiện (iii) tương đương với , , n m m A A X d X d A m n≤ ≤ ∀ ∈ ≤ ∫ ∫ P P F . Điều kiện (iii’) tương đương với , , n m m A A X d X d A m n≥ ≤ ∀ ∈ ≤ ∫ ∫ P P F . Điều kiện (iii’’) tương đương với , , n m m A A X d X d A m n= ∀ ∈ ≤ ∫ ∫ P P F . 2. Định nghĩa trên về martingale dưới martingale trên, martingale tương đương với: Giả sử N = {0,1,…, N },( , ,Ω P A ) là không gian xác suất, 0 1 1 . n n A + ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ F F F F . Khi đó,{ , n n X F , n ∈ ¥ } là: • martingale trên, nếu (i) n n X ∈ F , n ∀ ∈ ¥ ; (ii) , n X < ∞E n ∀ ∈ ¥ ; (iii) với n = 1,2,… 1 1 ( | ) n n n X X − − ≤E F , P - hầu chắc chắn. • martingale dưới, nếu các điều kiện (i), (ii), và (iii’) với n = 1,2,… 1 1 ( | ) n n n X X − − ≥E F , P - hầu chắc chắn. • martingale, nếu có các điều kiện (i), (ii), và (iii’’) với n = 1,2,… 1 1 ( | ) n n n X X − − =E F , P - hầu chắc chắn. Thật vậy, xét trường hợp martingale chẳng hạn.Với 0 m n≤ ≤ , 1 . m m n+ ⊂ ⊂ ⊂ F F F , nên theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện ta có 1 2 1 2 ( | ) ( ( | ) | ) ( | ) m m m m m m m m X X X X + + + + = = =E E E E F F F F và tiếp tục như thế, ta thu được ( | ) m n m X X= E F , 0 m n≤ ≤ . 3. Trong các định nghĩa trên điều kiện (ii) ( tức là, điều kiện: có kỳ vọng hữu hạn) có thể thay bằng điều kiện có kỳ vọng có điều kiện.Theo định nghĩa, 6 biến ngẫu nhiên X được gọi là có kỳ vọng có điều kiện đối với σ -trường F , nếu với xác suất 1 min ( ( | ), ( | )X X + − < ∞E E F F . Trong trường hợp như thế, đặt ( | ) ( | ) ( | ),X X X + − = −E E E F F F trong đó ,X X + − là phần dương, âm của X , tức là: 0 X X +  =   0 X X − −  =   Đặc biệt, nếu X có dấu không đổi, thì ( )XE F luôn luôn có nghĩa. Cần lưu ý rằng X có kỳ vọng hữu hạn khi và chỉ khi X X X + − = + < ∞E E E . Ta đưa ra định nghĩa: Dãy X = { , n n X F , n∈ ¥ }, được gọi là martingale suy rộng (đối với { n F , n ∈ ¥ }), nếu: (i) { n X , n F , n∈ ¥ } là dãy tương thích; (ii) n X có kỳ vọng có điều kiện đối với n F với mọi n∈ ¥ ; (iii)với m n≤ , ,m n∈ ¥ . ( | ) n m m X X=E F , P - hầu chắc chắn. 4. Khi không chỉ rõ họ σ - trường, thì ta ngầm hiểu họ đang xét họ σ - trường tự nhiên. Chẳng hạn, khi nói { n X , n∈ ¥ } là martingale, thì ta hiểu đó là martingale đối với dãy σ - trường tự nhiên n σ ≤ , n∈ ¥ . 1.1.2. Các ví dụ Ví dụ 1. Giả sử ( n ξ , n∈ ¥ ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với n ξ E = 0, n∈ ¥ . Khi đó các tổng riêng 7 nếu X ≥ 0 nếu X ≤ 0 nếu X ≤ 0 nếu X ≥ 0. n S = 0 . n ξ ξ + + là dãy martingale đối với n F = 0 ) ( , ., n σ ξ ξ . Thật vậy, do 1n S − 1n− ∈ F , tính độc lập của n ξ với 1n F − , ta có E ( 1 | n n S − F )= E ( 1 1 | n n n S ξ − − + F )= 1 1n n S S ξ − − + = n E . Ví dụ 2. Giả sử ( n ξ , n∈ ¥ ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập với 1 n ξ =E , n∈ ¥ . Khi đó các tích riêng 0 n n n k X ξ = = ∏ là dãy martingale đối với 0 ( , ., ) n n σ ξ ξ = F . Điều này được chứng minh như trên, cụ thể là E ( 1 | n n X − F )= E ( 1 1 | n n n X ξ − − × F ) = 1n n X ξ − × E = 1n X − . Ví dụ 3. Giả sử X là biến ngẫu nhiên nào đó có X < ∞E và { n F , n∈ ¥ } là dãy σ - trường con không giảm của A. Khi đó, dãy n X = ( ( | ) n XE F ) là dãy martingale dưới đối với { n F , n ∈ ¥ }. Thật vậy, với 1n n− ⊂ F F , ta có 1n X − = E ( 1 | n X − F )= E ( 1 ( | ) | ) n n X − E F F )= 1 ( | ) n n X − E F . Ví dụ 4. Dễ kiểm tra lại rằng, nếu ( n ξ , n∈ ¥ ) là dãy biến ngẫu nhiên không âm có kì vọng hữu hạn, thì các tổng riêng 0 . n n X ξ ξ = + + là dãy martingale dưới đối với 0 ( , ., ) n n σ ξ ξ = F . Ví dụ 5. Nếu X = { n X , n F , n∈ ¥ } là martingale và g là hàm lồi với ( ) n g X < ∞E , n∈ ¥ , thì { ( ) , n n g X F , n∈ ¥ } là martingale dưới. Thật vậy theo bất đẳng thức Jensen với m n≤ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | m n m n m g X g X g X= ≤E E F F . 8 Ví dụ 6. Tương tự ta có: Nếu X = { n X , n F , n∈ ¥ } là martingale dưới và g là hàm lồi không giảm với ( ) X n g < ∞E , n∈ ¥ , thì { ( ) , n n g X F , n∈ ¥ } là martingale dưới. Bây giờ xét những ví dụ cụ thể hơn. Ví dụ 7. (Martingale Walsh-Paley). Ví dụ cụ thể sau, tuy đơn giản nhưng đóng vai trò quan trọng trong xác suất và có nhiều ứng dụng hay trong giải tích. Ta kí hiệu {-1,+1} là tập gồm hai phần tử: -1,+1, mỗi phần tử này có xác suất 2 1 . {-1,+1}Ω = ¥ là không gian của tất cả các dãy vô hạn ( ) ( ) 1 2 , , ., , . n n ω ε ε ε ε = = , trong đó các toạ độ , 1,2, . n n ε = chỉ nhận hai giá trị: -1 hoặc +1. ( ) : {-1,+1}, , 1,2 . n n n n ε ε ω ε Ω → = = , hàm toạ độ thứ n ; 0 ={ , } φ Ω F là σ - trường tầm thường, n F là σ - trường trên Ω sinh ra từ các hàm toạ độ 1 , ., n ε ε , tức là, n n ε σ ≤ = F . Chẳng hạn, 1 1 ε σ = F sinh ra từ phân hoạch gồm hai tập “trụ” ( ) 1 2 { | = 1, , ., , . } n C ω ω ε ε − = ∈Ω − ; ( ) 1 2 { | = 1, , ., , . } n C ω ω ε ε + = ∈Ω + ; 2 2 ε σ ≤ = F sinh ra từ phân hoạch gồm bốn tập “trụ” ( ) 1, 1 3 { | = 1, 1, , ., , . } n C ω ω ε ε − − = ∈Ω − − ; ( ) 1, 1 3 { | = 1, 1, , ., , . } n C ω ω ε ε − + = ∈Ω − + ; ( ) 1, 1 3 { | = 1, 1, , ., , . } n C ω ω ε ε + − = ∈Ω + − ; ( ) 1, 1 3 { | = 1, 1, , ., , . } n C ω ω ε ε + + = ∈Ω + + ; Như vậy n n ε σ ≤ = F sinh ra từ phân hoạch gồm 2 n tập “trụ”. A là σ - trường bé nhất chứa các tập trụ. Trên A tồn tại duy nhất độ đo xác suất P sao cho mỗi tập trụ có xác suất là n       2 1 (Định lí tồn tại kolmogorov). 9 Với các kí hiệu trên, ta gọi martingale walsh-paley là martingale đối với ( ) , , n Ω P F . Trong giải tích có khái niệm “cây” như sau. Cây là tập gồm các phần tử 1 . { |1 , 1}, 1,2, ., k k x k n n ε ε ε ≤ ≤ = ± = sao cho ( ) 1 1 1 . . 1 . 1 1 2 k k k x x x ε ε ε ε ε ε − = + . Như vậy, với n = 1 cây gồm hai phần tử 1 1 ,x x − ; với n = 2 cây gồm bốn phần tử 1 1 11 1 1 11 , , ,x x x x − − − − ; cây ứng với n có 2 n phần tử. Khi đó, nếu ta đặt ( ) 0 1 1 1 2 X x x − = + , ( ) k X ω = 1 . , 1, ., , k x k n ε ε = m n X X= đối với m n> , thì { } , , m m X m∈ ¥ F là martingale walsh-paley. Ví dụ 8. ( Hệ Haar). Trong không gian xác suất ( ) , ,AΩ P , một dãy σ − trường con không giảm ( ) n F của A được gọi là hệ Haar nếu A ∞ = F , và với mỗi 0,1,2, .n = , n F được sinh bởi phân hoạch gồm 1n + tập con ( ) ( ) 0 ( , ., ) n n n A A thuộc A sao cho ( ) ( ) 0 n k A >P . Lấy 0 { , }= ∅ Ω F . 1 F sinh ra từ phân hoạch ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 ,A A . Tiếp theo 2 F nhận được bằng cách tách một và chỉ một trong hai tập này thành hai tập con có xác suất dương; 1n+ F nhận được bằng cách tách một và chỉ một trong n + 1 tập ( ) ( ) 0 ( , ., ) n n n A A thành hai tập con có xác suất dương. Đặt 0 1X = 1 0 n a d b +   =    10 trên tập con ( ) 1n k A + trên tập con ( ) 1n l A + trên tập con khác, . phép biến đổi martingale và các định lí hội tụ của martingale. Chương 2. Trình bày tính hôi tụ yếu của các martingale ngược. Luận văn này được hoàn thành dưới. quả về tính hội tụ yếu đối với tổng ngẫu nhiên các Martingale ngược. Nội dung của luận văn gồm 2 chương Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về martingale